ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ Σlogの展開 / おりづる

この計算がもう少し変形できないのか知りたいです。

(Σ[i=1～n] log2 i)/n
（Σの範囲iは1～n、logの底は2）

これなんですが、
log2 1 + log2 2 + … + log2 n = log2 n!
となり
(log2 n!)/n
で計算は終了で大丈夫ですか？まだ変形できますか？

No.52529 - 2018/08/02(Thu) 01:46:46

☆ Re: Σlogの展開 / らすかる

変形はできますが、目的がわからないと
変形した方が良いのかどうか判断できません。
log[2](n!)/n
=log[2](n!^(1/n))
と変形できます。

No.52531 - 2018/08/02(Thu) 04:25:47

☆ Re: Σlogの展開 / おりづる

そうですよね、すいませんm(_ _)m
1～nまでの数列を÷2を繰り返して目的の数を見つける、要は2分探索の平均探索回数を求めたいのです。答えはlog2 nと分かっているのですが、立式しても求めることが出来ません。
なので本来は

(Σ[i=1～n] [log2 i] + 1)/n
（Σの範囲iは1～n、logの底は2、logはガウス記号(少数以下切り捨て)、+1はΣ内にある）

が log2 n になるのかが確かめたいんです。

No.52532 - 2018/08/02(Thu) 10:12:36

☆ Re: Σlogの展開 / らすかる

n!～√(2πn)(n/e)^n なので
log[2](n!^(1/n))～log[2]nです。

No.52533 - 2018/08/02(Thu) 11:34:56

☆ Re: Σlogの展開 / おりづる

らすかるさん、またまたありがとうございます。
ずっと考えてみたのですが、「～」の記号の意味が分かりません。意味を教えてくださらないでしょうか？
n!< ,<√(2πn)(n/e)^n
と言うようなことですか？

No.52568 - 2018/08/03(Fri) 01:03:16

☆ Re: Σlogの展開 / らすかる

A～Bは（ここでは）lim[n→∞]A/B=(正の定数)（つまりAとBのオーダーが同じ）という意味です。

No.52569 - 2018/08/03(Fri) 03:35:21

☆ Re: Σlogの展開 / おりづる

なるほど。ではn!～√(2πn)(n/e)^nというのは「スターリングの公式」と、オーダの定義(Wikipedia参照)の組み合わせるのですね。そのおかげで厳密に式が同じでなくともlog[2]nと同じになるということですか？

そして何度もすいません。2行目、log[2](n!^(1/n))～log[2]nはどのようにして求めるのですか？
n!をlog[2](n!^(1/n))にするために行う
?@log[2]をとる
?Anで割る
を√(2πn)(n/e)^nに対しても行うと思うのですが、綺麗にlog[2]nに出来ません。

参照資料
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/ランダウの記号
(概要内、・の2式)

No.52571 - 2018/08/03(Fri) 08:39:56

☆ Re: Σlogの展開 / らすかる

n!～√(2πn)(n/e)^n なので
n!^(1/n)～{√(2πn)(n/e)^n}^(1/n)=(2πn)^(1/(2n))・(n/e)
(2πn)^(1/(2n))→1, 1/eは定数なのでn!^(1/n)～nです。

No.52573 - 2018/08/03(Fri) 11:35:19

☆ Re: Σlogの展開 / おりづる

1から10までありがとうございますm(_ _)m
無事に理解することが出来ました！

この度は何度も聞いてしまいご迷惑をおかけしました。
本当に助かりました！

No.52586 - 2018/08/03(Fri) 22:39:00

★ (No Subject) / momo

f(x)が２回微分可能な関数の時、
・f''(x) >0 の時y=f(x)は下に凸なグラフになる
・f''(x) <0 の時y=f(x)は上に凸なグラフになる

と教科書に書いてあったのが理解できません。
グラフの傾きを求めた時、傾き>0なら上に凸なグラフになり、傾き<0なら下に凸なグラフになると考えています。

No.52526 - 2018/08/02(Thu) 00:15:59

☆ Re: / お前のその頭は飾りか!?

関数の凸性と第二次導関数

そもそも、「グラフの傾き」という表現が意味を成すのは、対象が一次関数である場合（グラフが直線になる場合）に限られる。非直線グラフにおいては、「傾き」という概念は端から存在しない。
察するに、質問者は「傾き」という用語を「（二次関数における）最高次係数」の意味で誤用しているものと思われる。

本題である凸性の問題についても言えることだが、用語の定義が曖昧なまま闇雲に知識を拾い集めても、本質的な理解に到達することなど望むべくもない。軟弱な基礎の上に堅牢な構造物が建ち得ないのと同じことだ。猛省すべし

No.52528 - 2018/08/02(Thu) 00:46:09

★ (No Subject) / えきほう

丸をつけた2番と3番です。他の写ってすいません。
これ計算の仕方が良くわかりません。解説お願いします。
あと、昨日投稿した質問に回答してくださったXさんありがとうございました😊。わかりやすかったです

No.52518 - 2018/08/01(Wed) 22:36:24

☆ Re: / X

場合分けして絶対値を外します。
(2)だけやりますので参考にして(3)はご自分でどうぞ。

(2)
(i)x-2≧0、つまり2≦xのとき
問題の方程式から
x-2=2x+1
∴x=-3
これは条件を満たさないので不適。
(ii)x-2＜0、つまりx＜2のとき
問題の方程式から
-(x-2)=2x+1
∴x=1/3
これは条件を満たします。

以上から求める解は
x=1/3

別解)
(2)
両辺を二乗して
|x-2|^2=(2x+1)^2 (A)
ここで
|x-2|^2=(x-2)^2
∴(A)の両辺を展開すると
x^2-4x+4=4x^2+4x+1
これより
3x^2+8x-3=0
(3x-1)(x+3)=0
∴x=1/3,-3
ここで元の方程式の右辺において
2x+1≧0
∴x≧-1/2
よって求める解は
x=1/3

(3)
(2)と同じように両辺を二乗すれば
場合分けなしで絶対値を外せます。
但し、今度は(2)の場合とは異なり
元の方程式の右辺に対する条件が
-x-9≦0
となることに注意しましょう。
(尤も、元の方程式の両辺に-1を
かけて
|3x+6|=x+9
としてしまえば、(2)と同様に
右辺に対する条件により
x+9≧0
となりますが。)

No.52525 - 2018/08/01(Wed) 23:03:34

☆ Re: / えきほう

ありがとうございました！
3番も解けました(^ ^)

No.52540 - 2018/08/02(Thu) 17:56:20

★ コーシー・シュワルツの不等式 / ミケランジェロ

(1)(a^2+b^2+c^2)(x^2+b^2+c^2)≧(ax+by+cz)を示せ
(2)x+y+z=1のとき、x^2+y^2+z^2の最小値を求めよ
（2）の解答でa=b=c=1としたのはなぜでしょうか。私の理解力が乏しく、しばらく考えたのですがよくわかりませんでした。ご教授願います。

No.52513 - 2018/08/01(Wed) 21:29:38

☆ Re: コーシー・シュワルツの不等式 / X

(1)の結果に
x+y+z=1
を使うためです。

a=b=c=1
のとき
((1)の不等式の右辺)=(x+y+z)^2
ですので
x+y+z=1
であることがそのまま使えます。

但し、重要なのは
a=b=c
とすることであって、これを
必ずしも
=1
とする必要はありません。
(0でない実数であればどんな値でもよい。)

=1
としたのは単に計算を簡単にするためです。

No.52515 - 2018/08/01(Wed) 22:07:50

☆ Re: コーシー・シュワルツの不等式 / X

更に補足。

文脈を見る限り、ミケランジェロさんは
数学?U以降はこれから学習することに
なると思いますが、実はこの
コーシー＝シュワルツの不等式は
その中のベクトルの内積の項目
において重要な不等式です。
(但し、対応する不等式に
コーシー＝シュワルツの不等式
とは書かれていないかもしれませんが。)

今は不等式をそのまま鵜呑みにせざるを
得ないかもしれませんが、その時に
この不等式の意味を知れば、この問題の
理解は容易になると思います。

No.52516 - 2018/08/01(Wed) 22:18:08

☆ Re: コーシー・シュワルツの不等式 / ミケランジェロ

親切な解説ありがとうございます！a=b=c=1とする理由はわかりました！しかし、a=b=c=1でない場合については考えなくてもよいのでしょうか。

No.52517 - 2018/08/01(Wed) 22:25:25

☆ Re: コーシー・シュワルツの不等式 / ミケランジェロ

すみません「a=b=c=1でない場合」ではなく、「a=b=cでない場合」です。

No.52519 - 2018/08/01(Wed) 22:39:03

☆ Re: コーシー・シュワルツの不等式 / X

この問題を解くのに必要なのは
x^2+y^2+z^2≧(定数) (A)
の形の不等式です。
ですので
a=b=c
のときに(A)の形の不等式が得られれば
他の場合を考える必要はありません。

No.52538 - 2018/08/02(Thu) 17:30:56

★ 中学受験 / しゅう👦🏻

この鏡の位置ってどうやって決めればいいのでしょうか。よろしくお願いいたします！

No.52509 - 2018/08/01(Wed) 20:37:41

☆ Re: 中学受験 / しゅう👦🏻

この問題はどういう意味なんでしょうか？

No.52510 - 2018/08/01(Wed) 21:11:34

☆ Re: 中学受験 / しゅう👦🏻

この図の仕組みがわからないです！

No.52512 - 2018/08/01(Wed) 21:24:57

☆ Re: 中学受験 / 関数電卓

ABCD の内側すべてが鏡と考えると、解答のような図が得られます。
最も単純に、『A からでた球を辺 BC で１回反射させて D の位置にある球に当てるためには』下図のように BC の中点で反射させればよいですね。
　

No.52514 - 2018/08/01(Wed) 21:30:32

☆ Re: 中学受験 / しゅう👦🏻

ありがとうございます。

No.52524 - 2018/08/01(Wed) 22:49:46

★ 数I 集合 / ボルト

大問6の(1)の問題について、なぜ「a≧7」とはならないのでしょうか。解説を見てもよくわかりませんでした。詳しい説明よろしくお願いします。

No.52505 - 2018/08/01(Wed) 19:48:57

☆ Re: 数I 集合 / モモンガ

そのような疑問を抱かれたのであれば，実際にa＝7の場合について考えてみればよいのです。

a＝7のとき，Aは「-7より大きく，7より小さい実数全体」を，Bは「3以上7以下の実数全体」を，それぞれ表す集合になります。
このとき，「7」は集合Bの要素でありながら集合Aには含まれていません。
したがって，集合Aと集合Bの包含関係は題意を満たしませんね。

No.52507 - 2018/08/01(Wed) 20:16:12

☆ Re: 数I 集合 / ボルト

モモンガさん、回答していただきありがとうございました。おかげで理解することができました。またよろしくお願いします。

No.52520 - 2018/08/01(Wed) 22:42:47

★ 図形の問題 / 数学不得意

（２）36度　解き方が解りません。解説よろしくお願いします。

No.52486 - 2018/08/01(Wed) 09:24:42

☆ Re: 図形の問題 / ヨッシー

∠ＢＣＥ＝θとおきます
条件より
　∠ＢＣＥ＝∠ＦＣＥ＝θ
二等辺三角形ＡＢＣの２つの底角が等しいことより
　∠ＡＢＣ＝２θ
また、
　△ＡＢＣ∽△ＣＢＥ　（二等辺三角形で、底角が等しい）
より
　∠ＢＡＣ＝∠ＢＣＥ＝θ
以上より、△ＡＢＣの内角を考えると
　５θ＝180°
よって、
　θ＝36°

No.52487 - 2018/08/01(Wed) 09:40:51

☆ Re: 図形の問題 / 数学不得意

解りました。解説ありがとうございます。

No.52489 - 2018/08/01(Wed) 11:00:13

★ ルベーグ可測、可測単関数 / くろろ

ルベーグ可測、可測単関数についての質問です。
画像の定理7.12の証明をしたいのですが、証明後半の
「0≦f(x)-Sn(x)≦2^(-n)」
の部分がわかりません。

私の考えとしては、

今、f(x)<nと考えているので、Ankの定義より、k=2^(n)*n
f(x)の範囲に代入すると、n-1/(2^n)≦f(x)<n
同じくSn(x)に代入するとSn(x)=n-1/(2^n)

よって、0≦f(x)-Sn(x)≦2^(-n)になります。

しかし、別サイトで質問したところ
「(k-1)/2^n≦f(x)<k/2^nとなるところでsn(x)=(k-1)/2^nと置いている訳ですから

1/2^n=k/2^n-(k-1)/2^n
≧f(x)-sn(x)≧ (k-1)/2^n-(k-1)/2^n
となります」

と回答をいただきました。

ご教授よろしくお願いします。

No.52483 - 2018/08/01(Wed) 00:43:58

☆ Re: ルベーグ可測、可測単関数 / あ

f(x)<nからはあるk∈{1,2,...,(2^n)n}が存在してf(x)∈[(k-1)/2^n,k/2^n)としか言えないと思いますが。

No.52484 - 2018/08/01(Wed) 00:54:54

★ 値域、存在条件 / 坂下

http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/kakomon/2006/06saitama202.htm
の埼玉大後期の問題で、（１）に関して、
画像のようにα、βの存在条件を考え、βを代入消去し、αの存在条件を考え、という感じでなんとか示したのですが、
模範解答を読むと、α、βの存在条件に関しては不要で、Ｃのｚ座標に当たる変数の存在条件を考えているようです。
自分としては、αーβ＝ｋの値の取る範囲だから、それ以外のα、β、ｚの存在条件を考えるというのは論理的に正しいように思えるのですが、なぜ、ｚの存在条件のみでＯＫなのですか？

No.52476 - 2018/07/31(Tue) 23:55:08

☆ Re: 値域、存在条件 / 坂下

回転してしまいました。
ブラウザを変えてみます。

No.52477 - 2018/08/01(Wed) 00:03:55

☆ Re: 値域、存在条件 / 坂下

ごめんなさい。
原因はよくわからないのですが、画像が９０度回転して表示されてしまいます。
解決できそうにありません。

No.52479 - 2018/08/01(Wed) 00:05:46

☆ Re: 値域、存在条件 / 坂下

スマホから投稿してみます

No.52482 - 2018/08/01(Wed) 00:22:34

☆ Re: 値域、存在条件 / 黄桃

(1)は、四面体OABCが「条件」を満たすならば |α-β|<π/2　を示せ、といっています。
別の言い方をすれば、四面体OABCを観察したら「条件」を満たしていたとすると、必ず|α-β|<π/2　であることを示せ、という意味です。

この問題の「条件」は仮定であり、これが真の場合だけを考えればいいのです。
だからα，βの存在は仮定であり、「条件」が真になる条件（α,βが存在する範囲）を求める必要はありません（もちろん、求めてもかまいません；簡単に求まるならその方が早いでしょうし、別解の解き方はそれに近いでしょう）。

なので、|α-β|<π/2が必要条件であることを示せばいいのです。
つまり、
「|α-β|<π/2」は「|α-β|の値域」（以下「値域」と書きます）がこうだ、
という主張ではなく、こういう不等式が成立する（「値域」は0以上π/2に含まれる）という意味です。
結果的にこの問題では同じ意味になりますが、答案としては「値域」そのものではなく「値域」の必要条件である不等式を示すだけでOKです。

No.52527 - 2018/08/02(Thu) 00:25:41

☆ Re: 値域、存在条件 / 坂下

ありがとうございます。
少し自分でも考えています。

No.52592 - 2018/08/04(Sat) 10:36:23

☆ Re: 値域、存在条件 / 坂下

回答者さんのおっしゃっていることは、わかりました。
この（１）で示すべき式はΙαーβΙはπ/２以上、π/２以下の値をとることはない。という意味の式（いわば「単なる不等式」）で、それよりも強烈な式ΙαーβΙの取りうる値の範囲は（つまり「値域」は）＜π/２というところまでは調べる必要はないということですか？
問題文（条件を満たすとき（１）の不等式の成立を示せ）から「単なる不等式」の成立の証明で十分、「値域」の証明までは不要と判断してよい理由はどこにあるのでしょうか？

No.52595 - 2018/08/04(Sat) 13:06:55

★ 高校1年夏休みの課題 / 相馬永吉

大問7の1番と2番両方ともわかりません。
解説よろしくお願いします

No.52469 - 2018/07/31(Tue) 21:19:02

☆ Re: 高校1年夏休みの課題 / X

(1)
(x+1)/2-(4x-2)/3≦2 (A)
2x-3＜a (B)
とします。

(A)より
3(x+1)-2(4x-2)≦12
-5x≦5
-1≦x (A)'
一方(B)より
x＜(a+3)/2 (B)'
(A)'(B)'から題意を満たすためには
2＜(a+3)/2≦3
これより
4＜a+3≦6
∴1＜a≦3

(2)
問題の不等式から
-2＜2x/3＜a-1
-3＜x＜(3a-3)/2
よって条件を満たす整数xは
x=-2,-1
でなければならないので
-1＜(3a-3)/2≦0
これより
-2/3＜a-1≦0
∴1/3＜a≦1

No.52473 - 2018/07/31(Tue) 22:32:26

☆ Re: 高校1年夏休みの課題 / Z

(1)
-5x≦5
1≦x (A)'

は　-1≦x (A)'　の間違いですね。

No.52549 - 2018/08/02(Thu) 21:14:06

☆ Re: 高校1年夏休みの課題 / X

>>Zさんへ
ご指摘ありがとうございます。

>>相馬永吉さんへ
ごめんなさい。Zさんの仰った点も含めて
No.52473を直接修正しました。
再度ご覧下さい。

No.52550 - 2018/08/02(Thu) 21:36:04

☆ Re: 高校1年夏休みの課題 / 相馬

ありがとうございました😊
すいません。次からは答えもしっかりのせときます！

No.52604 - 2018/08/04(Sat) 16:39:41

★ 式。 / Ran

何してるのかわからない。

この問題の、条件bの概念を教えてください。

また、この問題の解き方を詳しくお願いします。

No.52466 - 2018/07/31(Tue) 20:46:32

☆ Re: 式。 / Ran

ちなみに答えです！

No.52467 - 2018/07/31(Tue) 20:48:49

☆ Re: 式。 / ヨッシー

何を以て概念を説明したことになるのか（どういう答えを求められているのか）
わかりませんが、単に関数 f(x) の性質を表しているものと捉えます。
思いつくのは　f(x)＝ｘ　ですが、他にあるかもしれません。
とにかく、「任意のｘ，ｙについて成り立つ」＝「ｘ、ｙに何を代入しても成り立つ」という
ありがたい性質を問題を解くのに利用します。

(1)
(b) の式に、ｘ＝ｙ＝１を代入して、
　f(1)＝f(1)²
よって、
　f(1)＝０，１
f(1)＞０　より　f(1)＝１
(b) の式に、ｘ＝ｙ＝－１を代入して
　f(1)＝f(-1)²＝１
f(-1)＞０　より　f(-1)＝1

(2)
(b) の式に、ｙ＝－１を代入して、
　f(-x)＝f(x)・f(-1)＝f(x)

(3)
(b)の式に、ｘ＝ａ、ｙ＝1/a (a≠0) を代入すると
　f(1)＝f(a)・f(1/a)＝１
f(a)＞０より、
　f(1/a)＝1/f(a)
なので、
　f(a)＞1 ならば f(1/a)＝1/f(a)＜1
となります。

結局、添付された解答と同じになります。

No.52488 - 2018/08/01(Wed) 10:04:40

☆ Re: 式。 / Ran

返信ありがとうございます！

またよろしくお願いします。

No.52511 - 2018/08/01(Wed) 21:23:38