ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 二次関数 / 夏休み課題

カッコ２がわかりません
詳しい解説お願いします

No.52032 - 2018/07/22(Sun) 11:32:51

☆ Re: 二次関数 / X

(1)の結果を使います。

t=x^2-3x
と置くと、(1)の結果から
-9/4≦t≦4 (A)
で問題の関数は
y=t^2-4t+3 (B)
横軸にt、縦軸にyを取って
(A)の範囲で(B)のグラフを描きます。

No.52033 - 2018/07/22(Sun) 11:58:59

☆ Re: 二次関数 / 夏休み課題

すいません
もっと詳しい解説お願いします
二次関数の分野が苦手なもんで
お願いします

No.52035 - 2018/07/22(Sun) 12:38:08

☆ Re: 二次関数 / X

ではNo.52033の続きを。
(B)は
y=(t-2)^2-1 (B)'
となるので(B)'のグラフは
下に凸の放物線
でその軸は(A)の範囲内
右寄りになります。
よってyは
t=-9/4のときに最大値273/16
t=2のときに最小値-1
を取ります。

ここで(1)の結果により
t=-9/4のときx=3/2
又、t=2のとき
x^2-3x=2
x^2-3x-2=0
∴0≦x≦4により
x=(3+√17)/2

以上からyは
x=3/2のときに最大値273/16
x=(3+√17)/2のときに最小値-1
を取ります。

No.52049 - 2018/07/22(Sun) 18:02:38

★ 約数の個数と総和 / 夏休み課題

やり方が全くわかりません
答えは13個で
12,18,20,28,32,44,45,50,52,63,68,75,76

No.52031 - 2018/07/22(Sun) 11:31:29

☆ Re: 約数の個数と総和 / らすかる

約数の個数は素因数分解した時の指数+1の積です。
6=2×3ですから、約数が6個になるのは
p^5という形かp×q^2 という形のいずれかです。
（p,qは素数）
p^5という形で80以下になるのはp=2の時だけで2^5=32
p×q^2という形で80以下になるのは
2×3^2=18
2×5^2=50
3×2^2=12
3×5^2=75
5×2^2=20
5×3^2=45
7×2^2=28
7×3^2=63
11×2^2=44
13×2^2=52
17×2^2=68
19×2^2=76
の12個ですから、条件を満たす数は
12,18,20,28,32,44,45,50,52,63,68,75,76
の13個となります。

No.52034 - 2018/07/22(Sun) 12:35:42

☆ Re: 約数の個数と総和 / 夏休み課題

数字についている記号は何を表すのですか？

No.52037 - 2018/07/22(Sun) 12:41:16

☆ Re: 約数の個数と総和 / 夏休み課題

わかりました
なぜpqは素数でないといけないのですか？

No.52038 - 2018/07/22(Sun) 12:46:32

☆ Re: 約数の個数と総和 / らすかる

(約数の個数)=(素因数分解した時の指数+1の積)だからです。
例えばp×q^2でpやqが素数でない場合、
p=2,q=6ならばp×q^2=72ですが72=2^3×3^2から約数の個数は(3+1)×(2+1)=12個
p=4,q=3ならばp×q^2=36ですが36=2^2×3^2から約数の個数は(2+1)×(2+1)=9個
p=4,q=4ならばp×q^2=64ですが64=2^6から約数の個数は6+1=7個
のようになります。

No.52039 - 2018/07/22(Sun) 13:09:58

★ (No Subject) / あすなろ3000

高校数学1の範囲の集合の包含関係・相等の証明の問題についての質問です。
「A={3n-1|n∈Z}、B={6n+5|n∈Z}ならばA⊃Bを証明せよ」
というものなのですが、
x∈Bとしてx=6n+5(nは整数)
このときx=6(n+1)-1=3・2(n+1)-1
2(n+1)=mとおくとmは整数でx=3m-1
となるところまではわかったのですが、それがなぜx∈Aとなるのかが分かりません。
教科書や青チャートを見てもイマイチわからなかったので教えていただきたいです。
よろしくお願いします。

No.52027 - 2018/07/22(Sun) 10:28:26

☆ Re: / モモンガ

条件より，Aは「3×(整数)-1」という形で表される数（3を法として-1と合同な数）全体の集合であることが分かります。したがって，「ある数が『3×(整数)-1』という形で表されるならば，その数は集合Aの要素である」と言えるわけです。

いま，集合Bの要素はすべて「3×(整数)-1」という形で表されることが示されたわけですから，集合Bの要素はすべて集合Aの要素である(集合Bは，集合Aの部分集合である)と結論付けることができます。

No.52030 - 2018/07/22(Sun) 11:30:19

★ (No Subject) / 高校二年

なんで正三角形は違うのですか？
教えて下さい

No.52021 - 2018/07/22(Sun) 09:13:28

☆ Re: / らすかる

正三角形は二等辺三角形に含まれますので、「or正三角形」は余計です。
「二等辺三角形」という答えだけで正三角形も含まれます。

No.52023 - 2018/07/22(Sun) 09:24:44

☆ Re: / モモンガ

決して間違いというわけではありませんよ。たしかに，題意を満たす三角形が正三角形である可能性もあります。

ただ，二等辺三角形の中に正三角形も含まれるため，あえて正三角形を分けて書く必要はないというだけのことです。

No.52024 - 2018/07/22(Sun) 09:24:54

★ 三角形の重心 / 高校二年

練習7を全て教えて下さい
カッコ１は正解しましたが意味がわかりません
何でAHとGKは垂直の線なのに重心の法則を使えるのですか？

No.52017 - 2018/07/22(Sun) 05:29:22

☆ Re: 三角形の重心 / X

(1)
△MGKと△AMHに注目しましょう。
条件から
△MGK∽△AMH
となることから相似比を使うと…

(2)
これは(1)の結果を使います。
条件から辺BCを△ABC,△GBCの底辺と見ると
線分AH、GKはそれぞれ△ABC,△GBCの高さ
となっています。
よって
△ABC:△GBC={(1/2)×BC×AH}:{(1/2)×BC×GK}
=AH:GK
となるので(1)の結果により
△ABC:△GBC=3:1

(3)
点Mは辺BCの中点ですので
辺BC,BMを△GBC,△GBMの底辺と見ると
高さは共通となるのでこれをhとして
△GBC:△GBM={(1/2)×BC×h}:{(1/2)×BM×h}
=BC:BM
=2:1
よって
△GBC=2△GBM (A)
一方(2)の結果から
△ABC=3△GBC (B)
(A)を(B)に代入して
△ABC=6△GBM
よって
△ABC:△GBM=6:1
となります。

No.52019 - 2018/07/22(Sun) 07:57:10

★ 面積 / 瑠璃

y=x^2とy=(2p+q)x-p(p+q)とで囲まれる領域の面積を求めなさい。

交点がp、p+qなので1/6の公式を利用して、1/6・q^3となると思ったのですが、答えは-1/6・q^3になってました。どこを間違えているのでしょうか。

よろしくお願いします。

No.52015 - 2018/07/22(Sun) 00:19:56

☆ Re: 面積 / らすかる

他に条件が何もないのであれば
1/6・q^3 と -1/6・q^3 はどちらも正しくありません。
答えは 1/6・|q^3| となります。

No.52016 - 2018/07/22(Sun) 04:08:15

☆ Re: 面積 / 瑠璃

回答ありがとうございます。以下が問題文です。

放物線C:y=x^2と直線lが0≦x≦1において、x=p、x=p+q(0≦p≦p+q≦1)なる2点で交わっている。ただしq=0のときのlはx=pでのCの接線とする。このとき0≦x≦1でCとlに挟まれた部分の面積の和をSとおく。Sをp、qを用いて表せ。

f(x)=x^2-(2p+q)x+p(p+q)とおきます。

S=∫[0,p]f(x)dx+∫[p,p+q]-f(x)dx+∫[p+q,1]を変形して、
S=∫[0,1]f(x)dx-2∫[p,p+q]f(x)dxとします1。この2∫[p,p+q]f(x)dxの部分に1/6公式を当てはめて、1/6・q^3 としました。
解答も同じような方針を取っているのですが、∫[p,p+q]f(x)dxの部分が-1/6・q^3となっているんです。

なぜ-が付くのかがわからないです。

No.52046 - 2018/07/22(Sun) 17:17:18

☆ Re: 面積 / IT

まず、0≦p≦p+q≦1 から　0≦q がいえます。

瑠璃さんは、面積S（0以上）と　定積分の値を混同していませんか？定積分の値は、負になることもあります。

＞この2∫[p,p+q]f(x)dxの部分に1/6公式を当てはめて、1/6・q^3 としました。
p≦p+q,[p,p+q]でf(x)≦0ですから∫[p,p+q]f(x)dx＝-1/6・q^3≦0　が正しいです。

グラフを描いて考えてみてください。

No.52048 - 2018/07/22(Sun) 17:57:38

☆ Re: 面積 / 瑠璃

y=ax^2+bx+cとy=px+qがx=α、βで交わってる時の面積Sは、S=|a|/6・(β-α)^3ですよね。

これに従って、y=x^2とy=(2p+q)x-p(p+q)がx=p、p+qで交わってるので、1/6・q^3 なると思います。今まで解いてきた問題ではこれが通用してました。この問題だけなぜそれが通じないのでしょうか。

No.52065 - 2018/07/22(Sun) 23:23:16

☆ Re: 面積 / らすかる

「この2∫[p,p+q]f(x)dxの部分」は「面積」ではなく「定積分の値」ですから、
「面積」の公式を使うのは誤りです。
「面積」の意味になるのは
∫[0,1]f(x)dx-2∫[p,p+q]f(x)dx
の計算をした結果の値です。

No.52067 - 2018/07/23(Mon) 01:36:23

☆ Re: 面積 / 瑠璃

ありがとうございました。

No.52222 - 2018/07/26(Thu) 22:01:53

★ (No Subject) / マホメット

?@の式から?Aを導くにはどのように解けばいいのでしょうか？

No.52009 - 2018/07/21(Sat) 22:16:46

☆ Re: / マホメット

ちなみにV0は実数です。

No.52010 - 2018/07/21(Sat) 22:24:08

☆ Re: / らすかる

?@の式にθがないのでtanθを出すのは不可能です。

No.52013 - 2018/07/21(Sat) 23:06:26

☆ Re: / マホメット

すみません。色々大事なところが抜けていました。

No.52014 - 2018/07/21(Sat) 23:20:09

☆ Re: / GandB

> すみません。色々大事なところが抜けていました。
　　Z = R + 1/iωC = R - i(1/ωC)
　　cos(θ) = R/|Z|.
　　sin(θ) = -(1/ωC)/|Z| = -1/|Z|ωC.
　　∴tan(θ) = -1/ωCR.

No.52026 - 2018/07/22(Sun) 09:44:05

★ 不等式 / 仁美

x、y、zは自然数で、x≦y≦zとする。
x、y、zが不等式1/x+1/y+1/z<1を満たすとき、1/ 1/x+1/y+1/zの最大値および最小値を求めよ。

よろしくお願いします。

No.52001 - 2018/07/21(Sat) 17:24:06

☆ Re: 不等式 / IT

> 1/ 1/x+1/y+1/z

適切にカッコを付けて、紛れのない式にしてください。
1/{(1/x)+(1/y)+(1/z)} ならいくらでも大きくなりますので最大値はないと思います。

最小値は(1/x)+(1/y)+(1/z)が最大のときを調べればいいです。
x,y,z の値でていねいに場合分けすれば求まります。

No.52003 - 2018/07/21(Sat) 17:30:12

☆ Re: 不等式 / IT

（略解)
x,y,zが自然数であることは断りなしに使います。
f=(1/x)+(1/y)+(1/z),g=(1/x)+(1/y)とおきます。
f＞0です。
f＜1,x≦ｙ≦zより　x≧2,y≧3,z≧4です。以下x≦ｙ≦zは断りなしに使います。

x＝2のとき
　y＝3のとき　g=(1/2)+(1/3)=5/6 より　z≧7
　　　　よって　f≦(5/6)+(1/7)=41/42 (等号はx=2,y=3,z=7のとき).

　y＝4のとき　g=(1/2)+(1/4)=3/4 より　z≧5
　　　　よって　f≦(3/4)+(1/5)=19/20.
　y≧5のとき　　f≦(1/2)+(1/5)+(1/5)=9/10.

x≧3のとき　　　f≦(1/3)+(1/3)+(1/4)=11/12

以上からfは正で最大値は41/42.
よって1/fの最小値は42/41(x=2,y=3,z=7のとき)

No.52004 - 2018/07/21(Sat) 18:27:53

☆ Re: 不等式 / 仁美

x=2、y=3のときz≧7になるのはなぜでしょうか。7はどこから出てきたんですか。

No.52047 - 2018/07/22(Sun) 17:22:43

☆ Re: 不等式 / IT

1 - (5/6) ＝　1/6 ですから　1/z は1/6 より小さい必要があります。よってz≧7です。　

0＜z≦6　だと　f≧（5/6)+(1/6) ＝1　となって、f＜1に反します。

No.52050 - 2018/07/22(Sun) 18:22:03

☆ Re: 不等式 / 仁美

よくわかりました。ありがとうございました。

No.52064 - 2018/07/22(Sun) 23:07:33

★ 関数 / 数学苦手

（１）（２）解けません。詳しい解説お願いします。

No.51995 - 2018/07/21(Sat) 06:55:56

☆ Re: 関数 / X

(1)
点Aから辺BCに下ろした垂線の足をH
点Oから辺PQに下ろした垂線の足をH'
とすると、条件から△ABH,△OPH'は
いずれも直角二等辺三角形
となることに注意します。
(ア)
これは台形ABCDを動かし始めてから
点Dが点Oと一致するまでの間を
指していますので
問題の共通部分は
辺CDと辺OPの交点をEとしたときの
直角二等辺三角形CPE
となります。よって
y=(1/2)×CP×CE
=(1/2)×2x×2x
=2x^2

(イ)
これは点Dが点Oと重なってから、
点Rと重なるまでの間を
指しています。よって
y=(△OPH'の面積)+(長方形OH'CDの面積)
=(1/2)×OP×PH'+H'C×CD
=(1/2)×8×8+(2x-8)×8
=16x-32

(2)
(台形ABCDの面積)=3(△ABHの面積)
ですので、条件のときの
共通部分の面積をSとすると
S=(3/2)(△ABHの面積)
=(△ABHの面積)+(1/2)(△ABHの面積)
=(△ABHの面積)+(1/4)(正方形AHCDの面積)
これを元に考えると条件を満たすのは
次の二つの場合です。
(i)点Dが辺OR上にあり、かつ
OD=(1/4)OR=2[cm]
のとき
(ii)点Aが辺OR上にあり、かつ
AR=(1/4)OR=2[cm]
のとき

(i)について。
このときの線分CPの長さについて
2x=OD+AH=8+2=10
これより
x=5
(ii)について。
このときの線分CPの長さについて
2x=PQ+CH-AR=22
これより
x=11

以上より条件を満たすのは
5秒後、11秒後
となります。

No.52006 - 2018/07/21(Sat) 19:36:39

☆ Re: 関数 / X

(2)の別解((1)の結果を使うことを考える場合)
(1)(イ)と同様に考えると
点Aが辺OR上にあるとき、つまり
(ウ)8≦x≦12
のとき
y=(△ABHの面積)+(長方形AHQRの面積)
=(1/2)×BH×AH+QR×AR
=(1/2)×BH×AH+QR×HQ
=(1/2)×BH×AH+QR×(PQ-PH)
=(1/2)×BH×AH+QR×(PQ-PH)
=(1/2)×BH×AH+QR×{PQ-(CQ-QH)}
=(1/2)×8×8+8×{16-(2x-8)}
=-16x+224

ここで条件のときの共通部分の面積は
(1/2)×(台形ABCDの面積)=(1/2)×{(1/2)×(8+16)×8}
=48[cm^2] (P)
後は(ア)(イ)(ウ)それぞれの場合において
(P)となるようなxの値を求め、それらが
(ア)(イ)(ウ)それぞれの場合のxの値の範囲
に含まれているかどうかをチェックします。

まず(ア)の場合。
2x^2=48
これより
x=√24
となりますが
√24＞√16=4
ですので不適。

次に(イ)の場合。
16x-32=48
これより
16x=80
x=5
これは4≦x≦8に含まれます。

最後に(ウ)の場合。
-16x+224=48
これより
16x=176
x=11
これは
これは8≦x≦12に含まれます。

以上から条件を満たすのは
5秒後、11秒後
となります。

No.52007 - 2018/07/21(Sat) 20:07:55

☆ Re: 関数 / 数学苦手

(1/2)×BH×AH+QR×{PQ-(CQ-QH)}　=(1/2)×8×8+8×{16-(2x-8)} 解説ありがとうございます。すみません{PQ-(CQ-QH)}の部分がよく解りません。できれば図の解説お願いします。数学不得意なのでよろしくお願いします。

No.52018 - 2018/07/22(Sun) 07:23:20

☆ Re: 関数 / X

>>数学が不得意
だそうですが、単にNo.52006の中で
飛ばし読みをし過ぎているだけ
ではありませんか？

No.52006で
=(1/2)×BH×AH+QR×{PQ-(CQ-QH)}
の上の行
=(1/2)×BH×AH+QR×(PQ-PH)
となっているのはみていますか？

つまり
PQ-PH=PQ-(CQ-QH)
PH=CQ-QH (A)
となっているということですが
(A)となる理由が分からない
ということでしょうか？

No.52020 - 2018/07/22(Sun) 08:15:39

☆ Re: 関数 / 数学苦手

解りました。

No.52042 - 2018/07/22(Sun) 14:41:11

★ ガウス / ストークス

この問題の解説をお願いします。

No.51985 - 2018/07/20(Fri) 19:06:32

☆ Re: ガウス / X

(1)
条件から
∇・↑J=(∂/∂x)(xz)+(∂/∂y)(yz)+(∂/∂z)(z^2)
=4z

(2)
D={(x,y,z)|x^2+y^2≦a^2,z=0}
とすると、ガウスの発散定理と(1)の結果より
I=∬[D]∫[z:0→-y+a]4zdzdxdy
=∬[D]{2(y-a)^2}dxdy
=∫[θ:0→2π]∫[r:0→a]{2(rsinθ-a)^2}rdrdθ
=2∫[θ:0→2π]∫[r:0→a]{(r^3)(sinθ)^2-2a(r^2)sinθ+(a^2)r}drdθ
=(2a^4)∫[θ:0→2π]{(1/4)(sinθ)^2-(2/3)sinθ+1/2}dθ
=(2a^4)∫[θ:0→2π]{(1/8)(1-cos2θ)-(2/3)sinθ+1/2}dθ
=(2a^4)・2π・(1/8+1/2)
=(πa^4)(1/2+2)
=(5π/2)a^4

(3)
Ωの平面y+z=aによる切断面をD[1],側面をD[2]とすると
I=∬[D]↑J・↑ndS+∬[D[1]]↑J・↑ndS+∬[D[2]]↑J・↑ndS (A)

(i)Iの第一項について
↑n=(0,0,-1)
となるから
∬[D]↑J・↑ndS=∬[D](-z^2)dS=0

(ii)Iの第二項について
平面y+z=aの法線ベクトルは(0,1,1)
∴↑n=(0,1/√2,1/√2)
∴∬[D[1]]↑J・↑ndS=(1/√2)∬[D[1]](yz+z^2)dS
=(1/√2)∬[D[1]]{y(-y+a)+(-y+a)^2}dS
更に↑nとz軸の正の向きとのなす角をφとすると
cosφ=↑n・↑k=1/√2
∴∬[D[1]]↑J・↑ndS=(1/√2)∬[D]{y(-y+a)+(-y+a)^2}{1/cosφ}dxdy
=∬[D]{y(-y+a)+(-y+a)^2}dxdy
=∬[D](-ay+a^2)dxdy
=∫[θ:0→2π]∫[r:0→a]{-arsinθ+a^2}rdrdθ
=∫[θ:0→2π](a^4){-(1/3)sinθ+1/2}dθ
=πa^4

(iii)Iの第三項について
円筒座標系のr,θを設定し、直交座標を用いると
↑n=(cosθ,sinθ,0)
↑J=(acosθ,asinθ,z)z
∴↑J・↑n=az
となるので
∬[D[2]]↑J・↑ndS=∫[θ:0→2π]{∫[z:0→-asinθ+a]azdz}adθ
={(a^2)/2}∫[θ:0→2π](-asinθ+a)^2dθ
=(1/2)(a^4)∫[θ:0→2π]{(sinθ)^2-2sinθ+1}dθ
=(1/2)(a^4)∫[θ:0→2π]{(1-cos2θ)/2-2sinθ+1}dθ
=(3π/2)a^4

(i)(ii)(iii)により(A)は
I=0+πa^4+(3π/2)a^4
=(5π/2)a^4
となり、(2)の結果と一致します。

No.52005 - 2018/07/21(Sat) 19:02:37

★ 半区間(a,b] の場合と半区間[a,b) の場合で積分の式の形が違うのが理解できない / rinrin

半区間(a,b] の場合と半区間[a,b) の場合で積分の式の形が違うのが理解できないです。
半区間(a,b] の場合は、青線を引いた箇所のようにa+∈になり、
半区間[a,b)の場合は、青線を引いた箇所のようにb-∈になるのが理解できません。

なぜ(a,b] の場合と[a,b) の場合で式が違うのでしょうか？それにはどういう意味があるのでしょうか？

No.51980 - 2018/07/20(Fri) 16:02:56

☆ Re: 半区間(a,b] の場合と半区間[a,b) の場合で積分の式の形が違うのが理解できない / 関数電卓

> 半区間(a,b] の場合は、青線を引いた箇所のようにa+∈になり、

「lim[ε→＋0] a＋ε」は、a より大きな値から、減少しながら、どんどん a に近づく、だけど a にはならない

> 半区間[a,b)の場合は、青線を引いた箇所のようにb-∈になるのが理解できません。

「lim[ε→＋0] b－ε」は、b より小さな値から、増加しながら、どんどん b に近づく、だけど b にはならない

という意味です。

No.51986 - 2018/07/20(Fri) 19:07:41