食うものと食われるものの関係をモデル化する。食うものと食われる者の個体数をx、yとして、以下の関係が成り立つ。
dx/dt=ax+by
dx/dt=-cx+dy
このふたつの式から、xについての2階の微分
方程式を解け。又、a,b,c,d=1の時のx,yの一般解を求めよ。
正直全然わかりません。お手数ですが、ご教示願いたいです。
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No.51899 - 2018/07/18(Wed) 08:34:03
| ☆ Re: 微分方程式 / del | | | dx/dt=x+y
dy/dt=-x+y
と解釈して解きます。
x"=x'+y'=x+y-x+y=2y
よって
x'=x+y は x"-2x'+2x=0 となり、
x=C'[1]e^((1+i)t)+C'[2]e^((1-i)t)
=e^t*(C[1]cost+C[2]sint)
y=(1/2)*x"より y=e^t*(-C[1]sint+C[2]cost)
〜別解〜
u=(x,y)T (Tは転置を意味する) とします。
すると微分方程式は du/dt=Au と表すことができます。
(ただし、Aは2×2の行列で(2,1)成分が-1,他の成分は1です。)
Aの固有値を求めるとλ=1±i (iは虚数単位)となるので
λ=1+iに対応する固有ベクトルをv1=(1,i)T
λ=1-iに対応する固有ベクトルをv2=(i,1)T と選ぶと
P=(v1 v2)としたとき、 A=PΛP'と表すことができます。
ただし、Λは対角行列で(1,1)成分が1+i,(2,2)成分が1-iで、P'はPの逆行列です。
したがって、微分方程式は
d(P'u)/dt=P'Au=P'PΛP'u となりv=P'uとおくと
dv/dt=Λv となります。これはv=(X,Y)Tとすると
dX/dt=(1+i)X
dY/dt=(1-i)Y という微分方程式を表しているので
X=C[1]e^((1+i)t),Y=C[2]e^((1-i)t) と求めることができます。
あとはv=P'uから u=Pv であるので
x=e^t*{C[1](cost+i*sint)+C[2](sint+i*cost)}
y=e^t*{C[1](-sint+i*cost)+C[2](cost-i*sint)}
となります。C[1],C[2]を上手く置き換えることで
x=e^t*(C[1]cost+C[2]sint)
y=e^t*(-C[1]sint+C[2]cost)
を得ます。
被食捕食のモデルについて軽く調べてみたら
ロトカ-ボルテラの被食-捕食式というものがあって、
実際には2次の微分方程式になるようです。
上の答えは数学的には間違いはないと思いますがtによっては
x,y(個体数)が負になるという現象としておかしいことが起こります。
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No.51905 - 2018/07/18(Wed) 16:01:48 |
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