ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 中学受験算数 / しゅう👦🏻

解説の赤いラインの所がわかりません。よろしくお願いいたします！

No.51790 - 2018/07/15(Sun) 12:37:06

☆ Re: 中学受験算数 / しゅう👦🏻

解説です。

No.51791 - 2018/07/15(Sun) 12:37:34

☆ Re: 中学受験算数 / IT

(少し違う解法）
2×15＝30、6×15＝90、なので
２の倍数と３の倍数以外の整数は１から90までにちょうど30個ある。

90,89,88,87,86,85 のうち　２の倍数と３の倍数以外の整数は　89、85
30番目は89

（その本の解法）
６個の連続する整数を１組としたとき
１４組までには,２の倍数と３の倍数以外の整数がちょうど２×１４＝２８個あることを使っています。

No.51793 - 2018/07/15(Sun) 13:04:07

☆ Re: 中学受験算数 / しゅう👦🏻

ありがとうございます！

No.51796 - 2018/07/15(Sun) 16:34:43

★ 計算問題。 / 蘭

「x^9+1をx^2-1で割った時の余りを求めよ」

という問題があり、

その解法が、「x^9+1をx^2-1で割った余りは一次以下であるから、余りをpx+q、商をP(x)とおくと、

x^9+1=(x^2-1)P(x)+px+qだから、

x=±1を代入して、
p=q=1だから、余りはx+1」

とあります。

この、冒頭部分の、x^9+1をx^2-1で割った余りは一次以下であるの意味がわかりません。
なぜそーなるのでしょうか。

よろしくお願いします。

No.51783 - 2018/07/14(Sat) 21:59:00

☆ Re: 計算問題。 / らすかる

例えば125を10で割ったら答えが10で余りが25とはなりませんよね。
それと同じで、余りが2次以上だったらまだx^2-1の何倍かが引けますので
余りが2次以上にはなりません。
従って余りは必ず1次以下です。

No.51784 - 2018/07/14(Sat) 22:21:17

☆ Re: 計算問題。 / 蘭

…………ん？？？

………わからない…………。

125と10はどちらも0次ですよね？？

その例えは、どのような例えですか？？

.

No.51807 - 2018/07/15(Sun) 21:26:35

☆ Re: 計算問題。 / らすかる

整式の割り算の余りを、
整数の割り算の余りでたとえました。
整数の割り算では
125÷10=10余り25ではなく
125÷10=12余り5ですよね。
つまり余りは必ず割る数より小さくなりますね。
それと同様に、整式の割り算では例えば
(x^3+2x^2+3x+4)÷(x^2+1)=x余り2x^2+2x+4とするのは誤りで
(x^3+2x^2+3x+4)÷(x^2+1)=x+2余り2x+2のように
余りが割る式よりも次数が少なくなるまで割ります。
よって整式の割り算では余りの次数は
割る式よりも次数が少なくなりますので、
割る式が2次ならば余りは必ず1次以下になります。

No.51808 - 2018/07/15(Sun) 22:14:01

☆ Re: 計算問題。 / 蘭

なるほど！！！

理解できました！

ありがとうございました！

No.51812 - 2018/07/15(Sun) 23:27:28

★ 数学1 二次関数 / ボルト

大問3の(3)の(i)と(ii)の解き方がわかりません。どなたか教えてください。よろしくお願いします。

No.51780 - 2018/07/14(Sat) 18:36:01

☆ Re: 数学1 二次関数 / らすかる

(i)
C3はy=(x-t)^2+4(x-t)+1
直線PQはy=1なので代入して整理すると(x-t)(x-t+4)=0
よってC3は直線PQと(t,1),(t-4,1)の2点で交わります。
(t,1)が線分PQ上にあるためには -2≦t≦2
(t-4,1)が線分PQ上にあるためには -2≦t-4≦2 すなわち 2≦t≦6
従ってC3が線分PQと共有点を持つのは、両方を合わせた-2≦t≦6となります。

(ii)
C3を左の方から右の方へ平行移動していく様子をグラフ上で考えると、
t＜-2のときC3は△PQRの左側にあって共有点は0個
t=-2のときC3は△PQRの左側で点Pを通るので共有点は1個
-2＜t＜-√2のときC3は辺PQ、辺PRと交わるので共有点は2個
t=-√2のときC3は辺PQと交わり点Rを通るので共有点は2個
-√2＜t＜√2のときC3は辺PQ、辺QRと交わるので共有点は2個
t=√2のときC3は辺PQ、辺QRと交わり、さらに点Rを通るので共有点は3個
√2＜t＜2のときC3は辺PQ、辺PR、辺QRと交わり、辺QRとは2回交わるので共有点は4個
t=2のときC3は点P、点Qを通り辺QRと交わるので共有点は3個
2＜t＜6のときC3は辺PQ、辺QRと交わるので共有点は2個
t=6のときC3は△PQRの右側で点Qを通るので共有点は1個
6＜tのときC3は△PQRの右側にあって共有点は0個
従って条件を満たすtの範囲は-2＜t＜√2,2＜t＜6

No.51786 - 2018/07/14(Sat) 22:54:27

☆ Re: 数学1 二次関数 / ボルト

らすかるさん、ありがとうございました。
(i)の問題は理解できたのですが、(ii)の問題について、t=-2のとき、なぜ点Pを通るのでしょうか？
あと、4行目から出てくる、-√2とは、何でしょうか？
よろしくお願いします。

No.51788 - 2018/07/15(Sun) 09:55:05

☆ Re: 数学1 二次関数 / らすかる

y=(x-t)^2+4(x-t)+1 にPの座標(x,y)=(-2,1)を代入してtを求めると
t=±2となりますので、C3はt=±2のときにPを通ります。
同様に
y=(x-t)^2+4(x-t)+1 にRの座標(x,y)=(-2,-1)を代入してtを求めると
t=±√2となりますので、C3はt=±√2のときにRを通ります。

No.51794 - 2018/07/15(Sun) 13:37:49

☆ Re: 数学1 二次関数 / ボルト

らすかるさん、ありがとうございました。(ii)の問題はもう一度自分でじっくり考えてみようと思います。本当にありがとうございました。

No.51795 - 2018/07/15(Sun) 15:58:41

★ 関数の変形? / 大学生

理系大学生です。内容に関しては高校数学レベルだと思います。

2つの関係式
x=a*(1-x-y)^2
y=b*(1-x-y)^2
から、xとyだけの関係式を求めたいです。つまり、
x=f(a,b):f(a,b)はa,bの関数
y=g(a,b):g(a,b)はa,bの関数
を求める(変形する)にはどうすればよいでしょうか。

ただ展開して、解の公式を使って代入して、、、とやりましたが解けませんでした。よろしくお願いします。

No.51779 - 2018/07/14(Sat) 18:12:50

☆ Re: 関数の変形? / らすかる

二式を足してx+y=1-tとおくと
1-t=(a+b)t^2
(a+b)t^2+t-1=0 … (1)
a+b=0のときt=1すなわちx+y=0なので
x=a,y=b
a+b≠0のとき
t=(-1±√(1+4a+4b))/(2(a+b))
(ただし1+4a+4b＜0すなわちa+b＜-1/4のときtは虚数)
(1)からt^2=(1-t)/(a+b)
={2a+2b+1±√(1+4a+4b)}/{2(a+b)^2}
従って
x=at^2=a{2a+2b+1±√(1+4a+4b)}/{2(a+b)^2}
y=bt^2=b{2a+2b+1±√(1+4a+4b)}/{2(a+b)^2}
（複号同順）

No.51782 - 2018/07/14(Sat) 19:18:11

★ 絶対値のついた２次方程式の解の個数 / 浪人

青チャート1Aの重要例題118の問題です。

Kは定数とする。方程式｜X^2-X-2|=2X+K の異なる実数解の個数を調べよ。

青チャートが解説している解法は Y=|X^2-X-2|-2X と Y=K のグラフを利用する方法で、理解できました。
しかし、自分で絶対値を場合分けする方法で解いたところ答えがあいませんでした。
なので、絶対値を場合分けして解く回答が知りたいです。
よろしくお願いします。

No.51777 - 2018/07/14(Sat) 18:02:04

☆ Re: 絶対値のついた２次方程式の解の個数 / らすかる

x^2-x-2=(x-2)(x+1)

x^2-x-2≧0すなわちx≦-1,2≦xのとき
x^2-x-2=2x+k
x^2-3x-k-2=0
(x-3/2)^2-k-17/4=0
軸はx=3/2
f(x)=x^2-3x-k-2とおく
f(2)＞0すなわちk＜-4のとき解なし
f(2)≦0かつf(-1)＞0すなわち-4≦k＜2のとき解は一つ
f(-1)≦0すなわち2≦kのとき解は二つ

x^2-x-2＜0すなわち-1＜x＜2のとき
-(x^2-x-2)=2x+k
x^2+x+k-2=0
(x+1/2)^2+k-9/4=0
軸はx=-1/2
g(x)=x^2+x+k-2とおく
g(2)≦0すなわちk≦-4のとき解なし
g(2)＞0かつg(-1)≦0すなわち-4＜k≦2のとき解は一つ
g(-1)＞0かつg(-1/2)＜0すなわち2＜k＜9/4のとき解は二つ
g(-1/2)=0すなわちk=9/4のとき解は一つ
g(-1/2)＞0すなわち9/4＜kのとき解なし

従って両者を合計すると
k＜-4のとき解なし
k=-4のとき解は一つ
-4＜k＜2のとき解は二つ
k=2のとき解は三つ
2＜k＜9/4のとき解は四つ
k=9/4のとき解は三つ
9/4＜kのとき解は二つ
となります。

No.51781 - 2018/07/14(Sat) 18:54:32

☆ Re: 絶対値のついた２次方程式の解の個数 / 浪人

絶対値を場合分けしてはずした後に、２次方程式の判別式を使って解の個数を調べる方法はできませんか？

No.51785 - 2018/07/14(Sat) 22:35:25

☆ Re: 絶対値のついた２次方程式の解の個数 / らすかる

判別式では解がどこにあるかわかりませんのでできません。

No.51787 - 2018/07/14(Sat) 22:56:05

☆ Re: 絶対値のついた２次方程式の解の個数 / 浪人

理解できました。ありがとうございました。

No.51797 - 2018/07/15(Sun) 17:54:54

★ 分数式 / クト

x+4y=y-3x≠0のとき
2x^2-xy-y^2/2x^2+xy+y^2の値を求めよ
この問題の答えが7/11で自分は
x+4y=y-3x 4x+3y=0でこれを満たすx,yの一組を決めて（自分はx=3,y=-4としました）そして
2x^2-xy-y^2/2x^2+xy+y^2の式に代入して求めたのですがこれは記述で減点されるのでしょうか。もし好ましい書き方があったら教えていただきたいです

No.51760 - 2018/07/13(Fri) 22:37:04

☆ Re: 分数式 / IT

与式=(2x^2-xy-y^2)/(2x^2+xy+y^2) でしょうか？

その答えでは、減点されるでしょうね。
他のx,yの組の場合も与式＝7/11であることを示す必要があります

与式の分子と分母をy^2 で割ってx/y の式にするといいと思います。

No.51761 - 2018/07/13(Fri) 22:53:58

★ (No Subject) / よーた

この問題、教えてください！

No.51756 - 2018/07/13(Fri) 19:58:57

☆ Re: / 人

時間が今ないので(1)だけまず、x^3-3xを微分し導関数を求め、 3x^2-3です。xにaを代入して3a^2-3でこれが傾きつまり1と2の部分です。もとの関数にaを代入してa^3-3aつまりa^3-3a=になればいいので残りの3は2a^2になります。

No.51763 - 2018/07/14(Sat) 00:25:16

☆ Re: / 人

すいません。誤字しました。最後は2a^3でした。

No.51764 - 2018/07/14(Sat) 00:27:26

☆ Re: / X

(2)
(1)の結果の接線
y=(3a^2-3)x-2a^3
が点(2,34)を通ると考えて
34=2(3a^2-3)-2a^3
これより
a^3-3a^2+20=0
(a+2){a^2-5(a-2)}=0
(a+2)(a^2-5a+10)=0
aは実数なので
a=-2
よって接点の座標は
(-2,-2)
接線の方程式は
y=9x+16

(3)
これも(1)の結果を使います。
(1)の結果の接線
y=(3a^2-3)x-2a^3
が点(2,t)を通ると考えて
t=2(3a^2-3)-2a^3
∴t=-2a^3+6a^2-6
ここで
g(a)=-2a^3+6a^2-6
とすると
g'(a)=-6a^2+12a
=-6a(a-2)
これを元にg(a)の増減表を書くと
g(a)は
極大値g(2)=2
極小値g(0)=-6
を取ることが分かります。
よって、横軸にa,縦軸にyを取った
y=g(a)
のグラフと、a軸平行の直線
y=t
との交点の個数が3個となる条件を
考えることにより、求めるtの値の
範囲は
-6＜t＜2
となります。

No.51776 - 2018/07/14(Sat) 17:56:43

★ 方程式と不等式 / HC

aは1/2<a<3/2をを満たす定数とする．次の条件をともに満たすx，yが存在するようなkの値の範囲をaを用いて表せ．
(条件)
・x+y=1,|x|<a,|y|<a
・log(2)(x+1)+2log(2)(y+1)=k

xを消去して(yを含む対数の式)=kの形にしたのですがyの範囲にaが含まれているので解けません．
1/2<a<3/2の使いどころもよく分かりません．
お願いします．

No.51748 - 2018/07/13(Fri) 14:26:06

☆ Re: 方程式と不等式 / らすかる

|x|＜aから-a＜x＜a … (1)
|y|＜aから
|1-x|＜a
-a＜1-x＜a
-a＜x-1＜a
-a+1＜x＜a+1 … (2)
(1)(2)からxの範囲は-a+1＜x＜a … (3)
また(3)から-1/2＜x＜3/2

log[2](x+1)+2log[2](y+1)=k から
log[2]{(x+1)(y+1)^2}=k
log[2]{(x+1)(2-x)^2}=k
f(x)=(x+1)(2-x)^2とするとf(x)は
f(-1)=0、-1＜x＜0で増加、f(0)=4、0＜x＜2で減少、f(2)=0

f(-a+1)-f(a)=2(2-a)(a-1/2)(1+a)＞0からf(-a+1)＞f(a)なので
(3)がx=0を含む場合すなわち1＜a＜3/2の場合はf(a)＜f(x)≦4
x=0を含まない場合すなわち1/2＜a≦1の場合はf(a)＜f(x)＜f(-a+1)

f(a)=(a+1)(2-a)^2, f(-a+1)=(2-a)(a+1)^2なので、求めるkの範囲は
1＜a＜3/2のとき log[2]{(a+1)(2-a)^2}＜k≦log[2]4=2
1/2＜a≦1のとき log[2]{(a+1)(2-a)^2}＜k＜log[2]{(2-a)(a+1)^2}

No.51749 - 2018/07/13(Fri) 16:24:00

★ 数A 確率 / ボルト

大問5の(2)の問題の解答が41/55 となっているのですが、僕が解くとこのようになります。
どこの部分がどのように悪いのか教えてください。

No.51743 - 2018/07/12(Thu) 21:17:46

☆ Re: 数A 確率 / 総合研究n

「少なくとも1個」なので、赤玉が2個出ても3個出てもいいわけです。
あなたは、「1つしか出ない」と勝手に決めています。

No.51744 - 2018/07/12(Thu) 21:53:47

☆ Re: 数A 確率 / ボルト

総合研究nさん、あなたのおかげで今日はぐっすり眠れそうです。本当にありがとうございました。

No.51746 - 2018/07/12(Thu) 22:19:17

★ (No Subject) / 教えてください

Ｎｏ．7について質問です
なぜ、0の場合と2と4の場合に分けるのですか？

No.51740 - 2018/07/12(Thu) 20:37:37

☆ Re: / IT

0 は、先頭（100の位）の数字になれませんが、
2,4は、先頭（100の位）の数字になれるので

末尾（1の位）の数字が0のときと2,4のときでは、できる3桁の数の個数が異なってきます。

No.51741 - 2018/07/12(Thu) 20:45:26

☆ Re: / 教えてください

返信ありがとうございます

No.51745 - 2018/07/12(Thu) 22:07:16

★ (No Subject) / にゃろん

『らすかる』さん、ありがとうございました。

でも、x^3+1/x^3=(x+1/x){(x+1/x)^2-3・x・1/x}を証明しても、x^3+1/x^3にならないのはどこを間違えてるんでしょうか？

あと、代入した時の、『-3・x・1/x』の『・』はどういう役割があるんですか？代入するものが無いためそのまま使わなくていいんですか？

No.51735 - 2018/07/12(Thu) 17:10:31

☆ Re: / らすかる

つながりがわからなくなりますので、
元のスレの「返信」を押して書き込みましょう。

「x^3+1/x^3=(x+1/x){(x+1/x)^2-3・x・1/x}を証明しても、x^3+1/x^3にならない」
とはどういう意味ですか？
何が「x^3+1/x^3にならない」のでしょうか。

『・』は『×』と同じ意味で、「掛ける」です。

No.51736 - 2018/07/12(Thu) 17:32:47

☆ Re: / にゃろん

すみませんでした。

『・』は掛けるなんですね。わかりました。

(x+1/x){(x+1/x)^2-3・x・1/x}、この式を解くと、x^3+1/x^3になりますか？という意味なんです。

No.51737 - 2018/07/12(Thu) 18:24:35

☆ Re: / らすかる

はい、なります。

No.51739 - 2018/07/12(Thu) 18:37:07

☆ Re: / にゃろん

でも、解いてもならないので困ってます。

もう一度、確認しながら解いてみます。

No.51742 - 2018/07/12(Thu) 21:00:14

☆ Re: / らすかる

計算過程をここに書いて頂ければ、
具体的に問題がある箇所を指摘できると思います。

No.51747 - 2018/07/12(Thu) 23:28:20

☆ Re: / にゃろん

計算の経過を書きます。確認お願いします。

x^3+1/x^3=(x+1/x){(x+1/x)^2-3・x・1/x}

=(x+1/x){(x^2+2+1/x^2)-3・x・1/x}
『・』は掛けるなので、『x・1/x』は先に約分しました。

=(x+1/x){(x^2+2+1/x^2)-3}

=(x+1/x)(-3x^2-6-3/x^2)

=-3x^3-6x-3/x-3x-6/x-3/x^3

=-3(x^3+3x+1/x+2/x+1/x^3)

ここでわからなくなりました。

No.51751 - 2018/07/13(Fri) 17:55:38

☆ Re: / らすかる

=(x+1/x){(x^2+2+1/x^2)-3} の (x^2+2+1/x^2)-3 は
(x^2+2+1/x^2) に -3 を掛けるという意味ではなく
(x^2+2+1/x^2) から 3 を引くという意味ですから、
(x+1/x){(x^2+2+1/x^2)-3}
=(x+1/x)(x^2+2+1/x^2-3)
=(x+1/x)(x^2-1+1/x^2)
となります。

No.51754 - 2018/07/13(Fri) 19:33:30

★ (No Subject) / かい

おねがいします

No.51734 - 2018/07/12(Thu) 15:11:51

☆ Re: / らすかる

(1)
直円錐の頂点から球面までの距離をt（0＜t）とおくと
底面の半径は1/√(1-2/(t+2))となるので、直円錐の体積は
(π/3){(t+2)^2/t}=(π/3)(t+4/t+4)≧(π/3)(2√4+4)=8π/3
（等号はt=4/tすなわちt=2のとき）
従って体積Vの最小値は8π/3

(2)
円の中心を原点としてA(-1,0),B(t,-√(1-t^2)),C(t,√(1-t^2))
（-1＜t＜1）とおくと
△ABC=√{(1-t)(1+t)^3}=√{27/16-(t-1/2)^2{(t+3/2)^2+1/2}}
なので、t=1/2のとき最大値√(27/16)=3√3/4をとる。
従って面積Sの最大値は3√3/4

No.51738 - 2018/07/12(Thu) 18:36:49