ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 剛体の運動 / とおます

この問題を教えてください。お願いいたします。

No.51726 - 2018/07/11(Wed) 17:36:39

☆ Re: 剛体の運動 / X

(a)
錘2の運動方程式は
3Mα=3Mg-T[2] (A)
又、条件から錘1には鉛直上向きに
αの加速度が働くので、錘1の
運動方程式は
Mα=T[1]-Mg (B)

(b)
条件から定滑車の回転軸に関する
慣性モーメントをIとすると
I=∫[θ:0→2π]∫[r:0→a]{M/(πa^2)}(r^2)・rdrdθ
={M/(πa^2)}∫[θ:0→2π]∫[r:0→a]}(r^3)drdθ
=(Ma^2)/2 (C)
一方、θに関する運動方程式は
I(d^2θ/dt^2)=T[2]a-T[1]a (D)
注)
θの正の向きは錘2の加速度の向きと同じに
取っています。

(A)(B)より求める運動方程式は
{(Ma^2)/2}(d^2θ/dt^2)=T[2]a-T[1]a (E)

(c)
条件から
α=a(d^2θ/dt^2) (F)
一方、(A)(B)を用いて(R)からT[1],T[2]を消去すると
{(Ma^2)/2}(d^2θ/dt^2)=(3Mg-3Mα)a-(Mg+Mα)a
これより
a(d^2θ/dt^2)=4g-8α
更に(F)を代入して、整理をすると
d^2θ/dt^2=4g/(9a)
t=0のときにθ=dθ/dt=0であることに
注意すると
θ={2g/(9a)}t^2 (G)
∴x=(2g/9)t^2 (H)

(d)
問題の全力学的エネルギーをUとすると
(c)のxなどにより
U=(1/2)M(dx/dt)^2+(1/2)・3M(dx/dt)^2+Mgx-3Mgx+(1/2)I(dθ/dt)^2
=2M(dx/dt)^2-2Mgx+(1/2)I(dθ/dt)^2
これに(C)(G)(H)を代入すると
U=2M((4g/9)t)^2-2Mg(2g/9)t^2+(1/2){(Ma^2)/2}{(4g/(9a))t}^2
=(32/81)M(gt)^2-(4M/9)(gt)^2+(4M/81)(gt)^2
=0=(一定)
∴問題の命題は成立します。

No.51758 - 2018/07/13(Fri) 21:25:31

★ (No Subject) / にゃろん

絶対値、x=-2の時
|x-2|+|2x+3|の解答が『５』となり、代入はしたんですが、|-2-2|=0と思ってました。xの後ろの『２』は正の数じゃないんですか？

|-2-(2)|になってるんでしょうか？混乱してきました。

No.51724 - 2018/07/11(Wed) 10:50:56

☆ Re: / ヨッシー

まず、
　ｘ－２
に、ｘ＝－２を代入すると、いくつか？

これが０ならば、ｘ＝－２のとき
　|ｘ－２|＝０
です。ところが、実際は、
　ｘ－２＝－２－２＝－４
なので、
　|ｘ－２|＝４
です。

２が正の数かどうかは、ここではあまり重要ではありません。

No.51725 - 2018/07/11(Wed) 11:04:14

☆ Re: / らすかる

xに-2を代入して-2-2にした時に-(2-2)と勘違いしていませんか？
x-2というのは「xから2を引いた値」であり
x=-2ならば「-2から2を引いた値」ですから-4になります。
つまり-(2-2)ではなく(-2)-(2)です。

No.51732 - 2018/07/12(Thu) 11:50:53

★ (No Subject) / す

(2)(3)がわかりません。教えてください

No.51721 - 2018/07/11(Wed) 00:54:02

☆ Re: / ヨッシー

(2)
(1) の結果より
　ｚ^3＝2√2(cos(3π/4)＋ｉsin(3π/4))
同時に
　ｚ^3＝2√2(cos(11π/4)＋ｉsin(11π/4))
　ｚ^3＝2√2(cos(19π/4)＋ｉsin(19π/4))
でもあるので、ｚは
　ｚ＝√2(cos(π/4)＋ｉsin(π/4))
　ｚ＝√2(cos(11π/12)＋ｉsin(11π/12))
　ｚ＝√2(cos(19π/12)＋ｉsin(19π/12))
の３通り存在し、そのうち偏角が最小のものは
　ｚ1＝√2(cos(π/4)＋ｉsin(π/4))

(3)
　ｗ＝2(cos(11π/6)＋ｉsin(11π/6))
です。
　ｚ1^5＝4√2(cos(5π/4)＋ｉsin(5π/4))
より
　ｗｚ1^5＝8√2(cos(5π/4＋11π/6)＋ｉsin(5π/4＋11π/6))
　　　　＝8√2(cos(37π/12)＋ｉsin(37π/12))
　　　　＝8√2(cos(13π/12)＋ｉsin(13π/12))

条件を満たす点Ｃは、図のように２ヶ所あります。
Ｃの偏角はπ/12、Ａの偏角は－π/6 であるので、∠ＣＯＡ＝π/4
　ＯＡ＝２
より、
　ＯＣ1＝√2、ＯＣ2＝2√2
よって、
　Ｃ1：√2(cos(π/12)＋ｉsin(π/12))
　Ｃ2：2√2(cos(π/12)＋ｉsin(π/12))
これに
　cos(π/12)＝cos(π/4－π/6)＝(√6＋√2)/4
　sin(π/12)＝sin(π/4－π/6)＝(√6－√2)/4
を代入すれば求められます。

No.51722 - 2018/07/11(Wed) 01:46:15

★ 母数空間は母数とどう違うのか / rinrin

母数空間は母数とどう違うのでしょうか？
統計学の教科書を読んでいるとOに横線が入ったもの（何て読むんでしょうか？）が出てきて、それが母数空間であると説明されています。この母数空間は母数とどう違うのでしょうか？

また、母数空間が、R^mの部分空間でもあると表現されていますが、母数空間＝棄却域の部分空間とはどういう意味でしょうか？

No.51720 - 2018/07/11(Wed) 00:07:58

★ (No Subject) / rinrin

カルバック・ライブラー情報量の式について質問です。
添付の画像の、オレンジ色で囲んだ部分が理解できません。
質問としては、
・青色で囲んだ部分はなぜ必要なのか。
　赤色で囲んだ部分だけで確率分布P、Q の大きさのさがわかるのではないか
・赤色で囲んだ部分は、なぜP/Qをlogで取ったものを求めているのか
なぜlogが必要なのか？（P/Qだけではダメなのか？）

よろしくお願いいたします。

No.51718 - 2018/07/11(Wed) 00:00:05

★ (No Subject) / よーた

この問題を教えてください！

No.51717 - 2018/07/10(Tue) 20:11:56

☆ Re: / ヨッシー

(1)
直線ｌ上の２点(0, 1, 1), (1, 2, 3) と点Ｐ (-1, 2, 2) を通る平面としてβを求めます。
　ｘ＋ａｙ＋ｂｚ＝ｃ
に、３点の座標を代入し、ａ，ｂ，ｃを求めると
　ｘ＋３ｙ－２ｚ＝１　　・・・(i)

(2)
　－２ｘ＋ｙ－３ｚ＝５　　・・・(ii)
(i) と (ii) からｚを消去すると
　ｘ＝－ｙ－１
(i) と (ii) からｙを消去すると
　ｘ＝－（ｚ＋２）

(3)
αの法線ベクトル　(-2, 1, -3) と
βの法線ベクトル　(1, 3, -2) のなす角をφとすると
　cosφ＝(-2＋3＋6)/√(4＋1＋9)√(1＋9＋4)＝1/2
よって、θ＝φ＝60°

No.51723 - 2018/07/11(Wed) 07:16:33

★ (No Subject) / 駿台太郎

予習でやっている問題が分からないのでどなたか教えてください。

円に内接し,対角線がAC,BDである四角形ABCDにおいて,
AB=12,BC=11,CD=7であり,cos∠ADC=-5/8である。

(1)対角線ACと辺ADの長さを求めよ.

(2)対角線BDの長さを求めよ.

(3)三角形ABDの面積Sと三角形ABDの内接円の半径rを求めよ.

(4)辺AB,辺BC,辺CAの長さがそれぞれ12,11,10三角形ABCを考える.
　∠Aの二等分線と辺BCの交点をDとすとき,線分BD,ADの長さを求めよ.

やり方が合っているのか答えが合っているのか分からないのでお手数ですが教えてください。
宜しくお願いします。

No.51716 - 2018/07/10(Tue) 18:45:01

★ 変数係数、斉次二階線形微分方程式 / かもめ

微分方程式の問題で、大学2年生文系です。
商の積分法則を使ってB’(x)を出し変形させようと思ったのですが、うまく行きませんでした。
大筋でもいいのでお教えいただけると幸いです。

No.51714 - 2018/07/10(Tue) 13:46:16

☆ Re: 変数係数、斉次二階線形微分方程式 / X

では同じ方針で解いてみます。

B'(x)={W[01]'(x)W[12](x)-W[01](x)W[12]'(x)}/{W[12](x)}^2 (A)
ここで
W[12]'(x)=y[1]'y[2]'+y[1]y[2]"-{y[1]'y[2]'+y[2]y[1]"}
=y[1]y[2]"-y[2]y[1]"
となりますが、条件と(6.2)により
W[12]'(x)=y[1]{-p(x)y[2]'-q(x)y[2]}-y[2]{-p(x)y[1]'-q(x)y[1]}
=p(x){y[1]'y[2]-y[1]y[2]'}
=p(x)W[12](x) (B)
(B)により(A)は
B'(x)={W[01]'(x)-W[01](x)p(x)}/W[12](x)
後は(B)を導く過程と同様な方針で
W[01]'(x)
をr(x)を用いて表すことを考えます。
((B)の場合と同様に、(6.2)を使って
y[1]"を消去すると同時に
(6.1)を使ってy"を消去することを
考えます。)

No.51715 - 2018/07/10(Tue) 17:59:39

★ (No Subject) / しゅう👦🏻

答えは8で、何が間違っていますか？よろしくお願いします。

No.51707 - 2018/07/10(Tue) 09:17:20

☆ Re: / しゅう👦🏻

問いたものです。

No.51709 - 2018/07/10(Tue) 09:19:53

☆ Re: / らすかる

既約分数が16個で、
1/48+47/48=1
5/48+43/48=1
7/48+41/48=1
・・・
のように2個ずつペアにするとそれぞれ和が1になりますので、
16÷2=8となります。

No.51710 - 2018/07/10(Tue) 09:23:17

☆ Re: / しゅう👦🏻

ありがとうございます。後が抜けていたんですね！

No.51711 - 2018/07/10(Tue) 10:50:38

☆ Re: / ヨッシー

こちらと同じですね。

ちなみに、Ｐ＝(a^x)(b^y)(c^z) と表せる整数Ｐにおいて、
Ｐ以下で、Ｐと互いに素な整数の個数は
　Ｐ×(1－1/a)(1－1/b)(1－1/c)
で表せます、

48＝2^4×3 なので、
　48×(1－1/2)×(1－1/3)＝16
これが、既約分数の数となります。

No.51712 - 2018/07/10(Tue) 10:56:22

☆ Re: / しゅう👦🏻

ありがとうございます。😄

No.51713 - 2018/07/10(Tue) 11:02:49

★ (No Subject) / 底辺高校生

Xを正規分布N(0,1)に従う確率関数とする。正規分布表を使ってP(?TX?T≧1.96)を求め、チェビシェフの不等式による確率の上限と比較せよ。という問題ですが、正規分布表を使ったところP(?TX?T≧1.96)は、0.0250となったのはいいのですが、チェビシェフの不等式による確率の上限というものがよく分かりません。解説よろしくお願いいたします。

No.51697 - 2018/07/09(Mon) 22:24:55

☆ Re: / IT

チェビシェフの不等式は、下記などにあります。
ご質問の問題の場合は、下記のチェビシェフの不等式においてμ＝0、σ＝√1=1、k=1.96 とおいた場合ですから
P(?TX?T≧1.96)≦1/(1.96)^2 になります。
1/(1.96)^2 がチェビシェフの不等式による確率の上限ということになります。

https://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakuc/toukei/cebysev/cebysev.htm

No.51699 - 2018/07/10(Tue) 00:05:37

☆ Re: / 底辺高校生

詳しく教えて頂き助かりました。ありがとうございました。

No.51700 - 2018/07/10(Tue) 00:12:30

★ 三角比と三角関数 / 駿台太郎

No.51695 - 2018/07/09(Mon) 22:17:12

★ (No Subject) / よーた

この問題を教えてくださいm(*_ _)m

No.51690 - 2018/07/09(Mon) 19:56:37

☆ Re: / X

(1)
条件から
↑OA=((√6)/2,3,(√6)/2)
↑OB=(0,3,0)
↑OC=(-2√2,0,2√2)
∴
OA=2√3
OB=3
OC=4
一方
cos∠AOB=(↑OA・↑OB)/(OA・OB)
cos∠BOC=(↑OB・↑OC)/(OB・OC)
cos∠COA=(↑OC・↑OA)/(OC・OA)
以上から
cos∠AOB=9/(6√3)=(√3)/2
cos∠BOC=0
cos∠COA=0
よって
0°≦∠AOB≦180°
0°≦∠BOC≦180°
0°≦∠COA≦180°
により
∠AOB=30°
∠BOC=∠COA=90°

(2)
s≧0,t≧0 (P)
に注意して、△OPQの面積をSとすると
S=(1/2)OP・OQsin∠POQ
=(1/2)stOA・OBsin∠AOB
∴(1)の過程により
S=(3/2)st√3 (A)

ここで(P)により、相加平均と相乗平均の関係から
4=2s+t≧2√(2st)
(不等号の下の等号は
2s=t、つまり(s,t)=(1,2)のとき成立)
∴2≧√(2st)
st≦2 (B)
(A)(B)から
S≦3√3
(不等号の下の等号は
(s,t)=(1,2)のとき成立)
∴Sは(s,t)=(1,2)のときに
最大値3√3
を取ります。
更に(1)の結果により
△OPQ⊥OC
ですので求める体積をV、Sの最大値を
S_mとすると
V=(1/3)S_m・OC
=4√3
となります。

No.51694 - 2018/07/09(Mon) 22:10:50

☆ Re: / よーた

分かりました、ありがとうございます！
解説がなくて、解けなかったので！

No.51696 - 2018/07/09(Mon) 22:17:29

★ 放物線で囲まれた図形の面積 / らんでいよう

高校3年生です。この問題に対する自分の回答が30点満点で10点だったのですが、いくら考えてもどこが足りていないのか分かりません。お手数ですが教えてください。よろしくお願いします。

No.51687 - 2018/07/09(Mon) 15:11:56

☆ Re: 放物線で囲まれた図形の面積 / らすかる

細かい突っ込みどころはいろいろありますが、
一番問題なのは、?Cは示すべき式なのに「?Cより・・・」のように
?Cが成り立つことを前提として証明を進めている（ように見える）点だと思います。

No.51688 - 2018/07/09(Mon) 16:43:14

☆ Re: 放物線で囲まれた図形の面積 / らんでいよう

ご回答ありがとうございます。確かに?Cよりではそのように解釈されても仕方ないと思いました。自分は、証明すべき?Cにおいて変数をa→A→Bと変えて最終的にh(B)の最小値≧0(B＞1)としたのですがその部分に欠陥はありますでしょうか。恐縮ですが回答よろしくお願いします。

No.51689 - 2018/07/09(Mon) 17:16:38

☆ Re: 放物線で囲まれた図形の面積 / らすかる

計算の内容に関しては、細かい間違いがありますが
基本的には間違っていないと思います。
とはいえ、基本構造に問題があると正しく評価できませんので、
まずは論理的な問題がないように書き直してみてはいかがでしょうか。

|(2√A-2)^3| が 8(√A-1)^3 に変わっていますが、
この場合「⇒」方向は成り立ちますが逆方向は成り立ちませんので
「⇔」にするのは問題があると思います。

?Bより、0＜-2√A＜2A と書かれているように見えますが、
0＜-2√A は成り立ちません。

h(B)=B^4-8B^3+22B^2-24B+9 のとき
h'(B)=(B-1)(B-2)(B-3) ではなく
h'(B)=4(B-1)(B-2)(B-3) です。

No.51692 - 2018/07/09(Mon) 21:15:47

☆ Re: 放物線で囲まれた図形の面積 / らんでいよう

確かにそうですね。気づかなかったです。数学は苦手で不等式の同値性は吟味が難しいので今度から表現を変えようと思いました。丁寧に教えていただきありがとうございます。

No.51693 - 2018/07/09(Mon) 22:04:50

★ 不等式の証明 / さつまいも

a>0, b>0, c>0のとき、
(a^2+b^2+c^2)*(a^3+b^3+c^3)<=3*(a^5+b^5+c^5)
となる証明を教えてください。

No.51684 - 2018/07/09(Mon) 11:24:44

☆ Re: 不等式の証明 / らすかる

(右辺)-(左辺)
=2(a^5+b^5+c^5)-{a^2b^2(a+b)+b^2c^2(b+c)+c^2a^2(c+a)}
={a^5+b^5-a^2b^2(a+b)}+{b^5+c^5-b^2c^2(b+c)}+{c^5+a^5-c^2a^2(c+a)}
=(a+b)(a-b)^2(a^2+ab+b^2)+(b+c)(b-c)^2(b^2+bc+c^2)+(c+a)(c-a)^2(c^2+ca+a^2)
≧0　（等号はa=b=cのとき）

No.51685 - 2018/07/09(Mon) 12:14:07

☆ Re: 不等式の証明 / さつまいも

ご回答ありがとうございます。
自分が行き詰った原因は2行目の大括弧のように式変形できなかったことでした。
勉強になりました。

No.51686 - 2018/07/09(Mon) 13:18:46