xyz空間において、平面ｘ＝１上にあり点(1,0,0)を中心とする半径２の円板Dと、点(0,1,0)を通りｚ軸に平行な直線Lがある。DをLの周りに一回転して出来る立体の体積を求めよ
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上記の問題が分かりません。
何方か解説をよろしくお願いします。
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No.51510 - 2018/07/01(Sun) 15:19:34
| ☆ Re: 空間における積分 / らすかる | | | 円板の円周はx=1,y^2+z^2=4なので
平面z=t（-2≦t≦2）で切ると
(1,√(4-t^2),t)と(1,-√(4-t^2),t)を結ぶ線分になる。
√(4-t^2)=1を解くとt=±√3となるので
その線分で直線Lから最も近い点は
√3≦|t|≦2のとき(1,√(4-t^2),t)
|t|＜√3のとき(1,1,t)
最も遠い点は(1,-√(4-t^2),t)
(0,1,t)から(1,√(4-t^2),t)までの距離は
√{1+{1-√(4-t^2)}^2}=√{6-t^2-2√(4-t^2)}
(0,1,t)から(1,1,t)までの距離は1
(0,1,t)から(1,-√(4-t^2),t)までの距離は
√{1+{1+√(4-t^2)}^2}=√{6-t^2+2√(4-t^2)}
なので、立体を平面z=tで切ったとき
√3≦|t|≦2のときは
内半径√{6-t^2-2√(4-t^2)}、外半径√{6-t^2+2√(4-t^2)}のドーナツ型で
面積は4π√(4-t^2)
|t|＜√3のときは
内半径1、外半径√{6-t^2+2√(4-t^2)}のドーナツ型で
面積は{5-t^2+2√(4-t^2)}π
となる。
従って求める体積は
2∫[0〜√3]{5-t^2+2√(4-t^2)}πdt
+2∫[√3〜2]4π√(4-t^2)dt
=6π√3+16π^2/3
# 計算は御確認下さい。
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No.51512 - 2018/07/01(Sun) 16:35:05 |
| ☆ Re: 空間における積分 / 予備校生 | | | 丁寧な回答ありがとうございます。
昨日、同じ質問を他のサイトでもし、回答を頂いたのですが、その方答えと今回の答えが違ったのですが、この問題は解き方により答えが異なるのでしょうか？
下記がそのurlです。できれば何故違うのかも教えて頂いてもよろしいでしょうか？すみません。
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10192519940
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No.51515 - 2018/07/01(Sun) 19:17:38 |
| ☆ Re: 空間における積分 / らすかる | | | 私が変な勘違いをしていなければ私の計算が正しく、
知恵袋の解答は間違っていると思います。
平面x=1に直交し直線Lを含む平面y=1は円板Dを切断しますので、
円板Dのy＞1の部分を取り除いたものを回転しても
同じ立体になります。
従って楕円を回転すると考えるのは誤りだと思います。
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No.51516 - 2018/07/01(Sun) 19:43:07 |
| ☆ Re: 空間における積分 / 予備校生 | | | 何度も返信答えて頂き、urlまで頂き感謝します。
こちらの解法を参考にこちらでももう一度解いてみます。
また機会があればよろしくお願いします！！
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No.51517 - 2018/07/01(Sun) 19:45:31 |
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