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★ 積分 / りん
2の（11）3の⑹（8）お願いします
No.51397 - 2018/06/28(Thu) 03:46:13
☆ Re: 積分 / X
2
(11)
e^x=t
と置くと
(与式)=∫{1/(t+1/t)}(1/t)dt
=∫dt/(t^2+1)
=arctant+C
=arctan(e^x)+C
(Cは積分定数)

3
(8)
(与式)=(1/2)(x^2)arctanx-∫(1/2)(x^2){1/(1+x^2)}dx
=(1/2)(x^2)arctanx-(1/2)∫{1-1/(1+x^2)}dx
=(1/2)(x^2)arctanx+(1/2)arctanx-(1/2)x+C
(Cは積分定数)
No.51398 - 2018/06/28(Thu) 05:54:31
☆ Re: 積分 / りん
よく分かりました！ありがとうございます
3の（6）もお願いします
No.51403 - 2018/06/28(Thu) 10:47:23
☆ Re: 積分 / X
3
(6)
部分積分により
∫dx/(1+x^2)=x/(1+x^2)+∫{(2x^2)/(1+x^2)^2}dx
これより
∫dx/(1+x^2)=x/(1+x^2)+2∫{(1/(1+x^2)-1/(1+x^2)^2}dx
2∫dx/(1+x^2)^2=x/(1+x^2)+∫dx/(1+x^2)
∴∫dx/(1+x^2)^2=x/{2(1+x^2)}+(1/2)∫dx/(1+x^2)
=x/{2(1+x^2)}+(1/2)arctanx+C
(Cは積分定数)
No.51424 - 2018/06/28(Thu) 17:15:06
★ 先日は因数定理の説明ありがとうございます / 美味しい
ここで、xに-1を代入した根拠？を教えてください。
No.51396 - 2018/06/28(Thu) 01:07:21
☆ Re: 先日は因数定理の説明ありがとうございます / X
問題のP(x)の最大次数の項x^3の係数が1であること
から、P(x)がx-a(aは0でない整数)を因数として
持つとき、P(x)の定数項の-6の約数がaとなります。
従って、因数となる候補として
x-1
x+1
x-2
…
などが考えられます。
その意味でP(x)にx=1,-1,2などを代入しています。
No.51399 - 2018/06/28(Thu) 06:01:34
★ (No Subject) / ririri
「ある統計量の期待値と母数が一致するような統計量」が不偏推定量、という説明がよくわからないです。

期待値は平均値のようなもので、母数は統計量を決めるパラメータのようなもので、なぜ平均値とパラメータが一致することがあるのかわからないです。

この文章の意味の解説をお願いいたします。
No.51395 - 2018/06/27(Wed) 22:27:20
☆ Re: / 黄桃
背景：母数が未知の母集団があるので、この母数を推定したい。

この推定のために、母集団から大きさnの無作為標本 x1,x2,...,x[n] を取ります。
これは観測値とも呼ばれます。観測値を用いて統計量（観測値の関数；標本平均なら(x1+x2+...+x[n])/n）を作り、母数の推定を行います。
ポイントは、統計量は、観測値の関数であり、観測値が変わればその統計量の値も変わる、ということです。しかしながら、母集団が決まっているいる以上、このような統計量の分布も決まるのですから、この統計量の期待値（平均）というものがあるはずです。
この値が母数と等しいときに、この統計量を不偏推定量というのです。

例を出します。表の出る確率pが未知であるようなコインがあるとします。
この母数p を推定するために、このコインをn回投げた結果を x1,x2,...,x[n]とします（表が出れば1,裏なら0とし、それ以外はないとします）。各回独立なのでこの結果は無作為標本といえます。これから、n回の平均という統計量が計算できます。この統計量の値は試行するたびに変動しますので、試行をたくさん行って（標本を何度も取り出す、ともいえます）ヒストグラムを書けば画像下図のような「標本分布」ができるはずです。例えば、n=100とします。最初に100回振ったら45回表が出たので45の度数に1を加え、次に100回振ったら42回表が出たので42の度数に1を加え...としていくと、こうした分布が得られます。
この分布の平均（期待値）が母数pに等しければ、pの不偏推定量というわけです。

ご存知のように、標本平均は母平均の不偏推定量です。
ですが、標本分散(=??(X[k]-X^-)^2/n;X^-は標本平均)は母分散の不偏推定量ではありません。
No.51439 - 2018/06/29(Fri) 06:28:50
★ 中学受験算数 トーナメント戦 / しゅう👦🏻
答えは49試合なのですが、なぜそうなるのでしょうか？
よろしくお願いします！🙏🏻
No.51391 - 2018/06/27(Wed) 21:28:04
☆ Re: 中学受験算数 トーナメント戦画像 / しゅう👦🏻
画像です！
No.51392 - 2018/06/27(Wed) 21:30:00
☆ Re: 中学受験算数 トーナメント戦 / IT
答えは４９チームでは？
１試合すると１チーム敗退しますから
No.51393 - 2018/06/27(Wed) 21:51:46
☆ Re: 中学受験算数 トーナメント戦 / しゅう👦🏻
よく分かりました。ありがとうございます。またお願いします。
No.51394 - 2018/06/27(Wed) 22:00:20
★ (No Subject) / とおます
すみません、こちらの問題もお願いします
No.51390 - 2018/06/27(Wed) 21:06:08
★ 積分 面積 / たゆたう
y=(2x+6)^1/2とy=x-1およびx軸に囲まれた部分の面積を求めよ。という問題なんですが、解き方を教えてください。お願いします。
No.51389 - 2018/06/27(Wed) 20:37:21
☆ Re: 積分 面積 / X
y=(2x+6)^(1/2)
のグラフと
y=x-1 (A)
のグラフの交点のx座標は5
(A)とx軸との交点のx座標は1
よって求める面積をSとすると
S=∫[0→5]{(2x+6)^(1/2)}dx-∫[1→5](x-1)dx
=…
No.51400 - 2018/06/28(Thu) 06:21:34
☆ Re: 積分 面積 / たゆたう
答えが40/3になるみたいなんですが、2√6が残ってしまいます。
積分を間違えてしまったのでしょうか？
No.51423 - 2018/06/28(Thu) 16:16:38
☆ Re: 積分 面積 / X
ごめんなさい。積分範囲を間違えていました。

y=(2x+6)^(1/2)
の定義域が-3≦xですので
S=∫[-3→5]{(2x+6)^(1/2)}dx-∫[1→5](x-1)dx
となります。
No.51430 - 2018/06/28(Thu) 19:55:15
☆ Re: 積分 面積 / たゆたう
解くことができました。ありがとうございました。
No.51437 - 2018/06/28(Thu) 21:52:45
★ 惑星の運動 / とおます
この問題を教えてください！お願いします
No.51387 - 2018/06/27(Wed) 17:47:50
★ 中学受験算数 平面図形 / しゅう😀
どのように平行に線を引くのですか？
No.51383 - 2018/06/27(Wed) 16:16:41
☆ Re: 中学受験算数 平面図形 / ヨッシー
「返信」ボタンを押してからレスを記入してください。
回答は、元の記事に書きました。
No.51385 - 2018/06/27(Wed) 17:29:41
★ 中学受験算数 平面図形 / しゅう😀
恐らくABEGとCDFGは合同なところまで分かりました。
No.51380 - 2018/06/27(Wed) 16:02:25
☆ Re: 中学受験算数 平面図形 / ヨッシー
面積は等しいですが、合同ではありません。
No.51382 - 2018/06/27(Wed) 16:10:37
★ 中学受験算数 平面図形 / しゅう😀
この問題は、どのような相似でとけばいいのでしょうか？
どうぞよろしくお願いします！
答えは4cmです。
No.51379 - 2018/06/27(Wed) 15:50:19
☆ Re: 中学受験算数 平面図形 / ヨッシー
ＧＣの中点Ｈと、ＥＣの中点Ｉを結び
△ＣＨＩを考えます。
Ｉを通りＡＣに平行な直線、
Ｅを通りＡＣに平行な直線、
Ｈを通りＢＣに平行な直線
Ｇを通りＢＣに平行な直線
を引くと、△ＡＢＣは△ＣＨＩと合同な三角形が９個でき、
台形ＡＢＥＧは、△ＣＨＩ５個分になります。
よって、△ＣＨＩの面積は６cm
ＣＨ＝3cm なので、ＨＩは
　ＨＩ＝６÷３×２＝４
これはＤＧに等しいので、ＤＣ＝４cm です。
No.51381 - 2018/06/27(Wed) 16:09:56
☆ Re: 中学受験算数 平面図形 / ヨッシー
>どのように平行に線を引くのですか？
例えば、ＡＤを通る直線を引いてみてください。
これは、
　Ａを通りＢＣに平行な直線
または
　Ｄを通りＢＣに平行な直線
です。
No.51384 - 2018/06/27(Wed) 17:28:14
☆ Re: 中学受験算数 平面図形 / ヨッシー
別解です。

上の記事と同様、ＧＣの中点をＨ、ＥＣの中点をＩとします。
ＧＥはＨＩの２倍、ＡＢはＨＩの３倍の長さです。
台形ＡＢＥＧの面積が30cm^2で、高さが3cmなので、
上底＋下底に当たる、ＡＢ＋ＧＥは、
　ＡＢ＋ＤＥ＝30÷3×2＝20(cm)
これは、ＨＩの長さの（３＋２＝）５倍に当たるので、
　ＨＩ＝20÷5＝4(cm)
　ＧＥ＝4×2＝8(cm)
ＤＧ：ＧＥ＝ＡＧ：ＧＣ＝１：２　より
　ＤＧ＝ＧＥ÷２＝4(cm)
No.51386 - 2018/06/27(Wed) 17:35:45
☆ Re: 中学受験算数 平面図形 / しゅう😀
ありがとうございます😊
No.51388 - 2018/06/27(Wed) 20:28:47
★ (No Subject) / 学級閉鎖
以前2次関数で質問をさせていただきました。少し間違いがあったので画像を載せます。教えて下さい。

問題、ａを定数として二次関数
『y=x^2-(a+1)x+1+2』です。

頂点の座標とx=1の時、点(1、2)を通る事は解けました。
よろしくお願いします。
No.51376 - 2018/06/27(Wed) 11:37:06
☆ Re: / ヨッシー
前のご質問にある
　y=x^2-(a+1)x+a+2
であれば、(1,2) を通りますが、
　y=x^2-(a+1)x+1+2
だと、必ずしも (1,2) を通りません。

頂点まで求められたのなら、前にも書いた、
>頂点が 1≦ｘ≦3 の範囲にあれば、そこが最小。
>その他の場合は、頂点が ｘ＜１ にあるときと ｘ＞３ にあるときとで場合分けします。
の通りです。
シ、セはこの辺りの場合分けになります。
No.51378 - 2018/06/27(Wed) 13:09:44
★ (No Subject) / 美味しい
噛み砕いて教えてください、
割る数かける商たす余りが割られる数、というのは
わかります。
No.51373 - 2018/06/27(Wed) 02:01:26
☆ Re: / 美味しい
これです
No.51374 - 2018/06/27(Wed) 02:01:58
☆ Re: / ヨッシー
数と式の違いはありますが、
　割る式　　：ｘ−ａ
　商　　　　：Ｑ(x)
　あまり　　：Ｒ
　割られる式：Ｐ(x)
なので、
　Ｐ(x)＝(ｘ−ａ)Ｑ(x)＋Ｒ
これに ｘ＝ａ を代入すると
　Ｐ(a)＝・・・＝Ｒ
となり、あまりＲはＰ(a) で表されます。・・・(剰余定理)

＜ここからは発展です＞
特に Ｐ(a)＝０ のとき、Ｐ(x) は (ｘ−ａ) で割り切れます。
すなわち、
　Ｐ(x)＝(ｘ−ａ)Ｑ(x)
の形に因数分解できます。　・・・(因数定理)
No.51375 - 2018/06/27(Wed) 09:00:17
★ (No Subject) / しょう
(3)を教えて欲しいです
No.51367 - 2018/06/26(Tue) 23:23:22
☆ Re: / ヨッシー
(3)
(2) の結果より
　ｒ＝cosθ/(1＋sinθ)
正弦定理より
　２Ｒ＝2/sin2θ
　Ｒ＝1/sin2θ＝1/2sinθcosθ
よって、
　ｒ/Ｒ＝2sinθcos^2θ/(1＋sinθ)
　　　＝2sinθ(1−sin^2θ)/(1＋sinθ)
　　　＝2sinθ(1−sinθ)
ｘ＝sinθ とおくと
　ｒ/Ｒ＝2x(1−x)＝−2x^2＋2x
　　　＝−2(x−1/2)^2＋1/2
よって、ｘ＝1/2 つまり　θ＝π/6 のとき
ｒ/Ｒ の最大値　1/2　となります。
No.51371 - 2018/06/27(Wed) 00:15:00
★ 複素数平面 / しょう
(2)(3)を教えて欲しいです
No.51366 - 2018/06/26(Tue) 23:21:44
☆ Re: 複素数平面 / ヨッシー
(2)
z1^3＝k^3(cos3β＋ｉsin3β)＝√2(cos(3π/4)＋ｉsin(3π/4))
よって、k^3＝√2、3β＝3π/4
　ｋ＝２^(1/6)，β＝π/4
(3)
　ｗ＝２(cos(−π/6)＋ｉsin(−π/6)）
　ｚ1^5＝２^(5/6)(cos(5π/4)＋ｉsin(5π/4))
より
　ｗｚ1^5＝２^(11/6)(cos(5π/4−π/6)＋ｉsin(5π/4−π/6))
　　　＝２^(11/6)(cos(13π/12)＋ｉsin(13π/12))
よって、∠ＡＯＣ＝π/4 であり、△ＯＡＣは図のようになります。

　ＯＣ1＝√2、ＯＣ2＝2√2　
より
　Ｃ1 を表す複素数は　√2(cos(π/12)＋ｉsin(π/12))
　Ｃ2 を表す複素数は　2√2(cos(π/12)＋ｉsin(π/12))

　cos(π/12)＝cos(π/4−π/6)＝(√2/2)(√3/2)＋(√2/2)(1/2)＝(√6＋√2)/4
　sin(π/12)＝sin(π/4−π/6)＝(√2/2)(√3/2)−(√2/2)(1/2)＝(√6−√2)/4
以上より
　Ｃ1：(√3＋1)/2＋(√3−1)ｉ/2
　Ｃ2：(√3＋1)＋(√3−1)ｉ
No.51369 - 2018/06/26(Tue) 23:56:30
☆ Re: 複素数平面 / しょう
> (2)
> z1^3＝k^3(cos3β＋ｉsin3β)＝√2(cos(3π/4)＋ｉsin(3π/4))
> よって、k^3＝√2、3β＝3π/4
> 　ｋ＝２^(1/6)，β＝π/4
> (3)
> 　ｗ＝２(cos(−π/6)＋ｉsin(−π/6)）
> 　ｚ1^5＝２^(5/6)(cos(5π/4)＋ｉsin(5π/4))
> より
> 　ｗｚ1^5＝２^(11/6)(cos(5π/4−π/6)＋ｉsin(5π/4−π/6))
> 　　　＝２^(11/6)(cos(13π/12)＋ｉsin(13π/12))
> よって、∠ＡＯＣ＝π/4 であり、△ＯＡＣは図のようになります。
>
> 　ＯＣ1＝√2、ＯＣ2＝2√2　
> より
> 　Ｃ1 を表す複素数は　√2(cos(π/12)＋ｉsin(π/12))
> 　Ｃ2 を表す複素数は　2√2(cos(π/12)＋ｉsin(π/12))
>
> 　cos(π/12)＝cos(π/4−π/6)＝(√2/2)(√3/2)＋(√2/2)(1/2)＝(√6＋√2)/4
> 　sin(π/12)＝sin(π/4−π/6)＝(√2/2)(√3/2)−(√2/2)(1/2)＝(√6−√2)/4
> 以上より
> 　Ｃ1：(√3＋1)/2＋(√3−1)ｉ/2
> 　Ｃ2：(√3＋1)＋(√3−1)ｉ

(2)についてなんですがが-1＋Iを極形式で表したものが、z1の3乗と等しくなるのですか？
まだ複素数平面を習ったばかりなのでよくわかりません。せひ教えてください
No.51370 - 2018/06/27(Wed) 00:14:02
☆ Re: 複素数平面 / ヨッシー
あ、すみません。
２を付け忘れてましたね。
正しくはこうです。

(2)
z1^3＝k^3(cos3β＋ｉsin3β)＝2√2(cos(3π/4)＋ｉsin(3π/4))
よって、k^3＝2√2、3β＝3π/4
　ｋ＝√2，β＝π/4
(3)
　ｗ＝２(cos(−π/6)＋ｉsin(−π/6)）
　ｚ1^5＝4√2(cos(5π/4)＋ｉsin(5π/4))
より
　ｗｚ1^5＝8√2(cos(5π/4−π/6)＋ｉsin(5π/4−π/6))
　　　＝8√2(cos(13π/12)＋ｉsin(13π/12))
よって、∠ＡＯＣ＝π/4 であり、△ＯＡＣは図のようになります。


ここからあとは同じです。
No.51372 - 2018/06/27(Wed) 00:24:19
☆ Re: 複素数平面 / しょう
なぜ、角AOCがπ/4とわかるのですか？
No.51565 - 2018/07/04(Wed) 02:00:30
★ 二次関数 / 七虹
解き方がわからないので教えてください。
大問5です
No.51365 - 2018/06/26(Tue) 23:13:22
☆ Re: 二次関数 / ヨッシー
ｙ＝(ｘ−ａ)^2＋１ と書けるので、
頂点は(ａ, １) です。
ａの存在位置によって、(1)(2)(3)は、下のようなグラフになります。
このときに、0≦ｘ≦2 における最小値を求めます。

No.51368 - 2018/06/26(Tue) 23:28:46
★ 二次関数 / ありさ
この2問の解き方はどう違うのでしょうか…？
教えていただけると嬉しいです。
No.51352 - 2018/06/26(Tue) 07:46:14
☆ Re: 二次関数 / らすかる
一つ目
2x+y=kとおくとy=-2x+k
x^2+y^2=2に代入して整理すると
5x^2-4kx+k^2-2=0
平方完成して
5(x-2k/5)^2+(k^2-10)/5=0
この方程式が実数解を持つためには
(k^2-10)/5≦0
これより-√10≦k≦√10
最大値または最小値をとるとき5(x-2k/5)^2=0からx=2k/5
よって最大値√10をとるときのxは2√10/5でy=-2x+kからy=√10/5、
最小値-√10をとるときのxは-2√10/5でy=-2x+kからy=-√10/5
従って2x+yは
(x,y)=(2√10/5,√10/5)のとき最大値√10、
(x,y)=(-2√10/5,-√10/5)のとき最小値-√10をとる。

二つ目
x/2+y^2=kとおくとy^2=-x/2+k
x^2+2y^2=1に代入して整理すると
x^2-x+2k-1=0
平方完成して
(x-1/2)^2+(8k-5)/4=0
この方程式が|x|≦1の範囲に実数解を持つためには
(8k-5)/4≦0かつ(-1-1/2)^2+(8k-5)/4≧0
すなわち-1/2≦k≦5/8
最大値5/8をとるとき(x-1/2)^2=0からx=1/2
このときy^2=-x/2+kからy=±√6/4
最小値-1/2をとるとき(x-1/2)^2+(8(-1/2)-5)/4=0からx=-1（∵|x|≦1）
このときy^2=-x/2+kからy=0
従ってx/2+y^2は
(x,y)=(1/2,±√6/4)のとき最大値5/8、
(x,y)=(-1,0)のとき最小値-1/2をとる。

# 一つ目は他にも解き方がありますが、二つ目の解き方に近い解き方にしました。
No.51353 - 2018/06/26(Tue) 09:57:14
☆ Re: 二次関数 / ありさ
ありがとうございます！
No.51359 - 2018/06/26(Tue) 13:41:42
★ (No Subject) / 学級閉鎖
問題集で、ａを定数として2次関数
『y=x^2-(a+1)x+a+2』について

?@頂点はわかったのですが、この頂点をグラフで表せられません。どうすればいいでしょうか？
『x=1のとき、y=2でaの値に関わらず(1,2)を通る』事はわかりました。

?A関数の1≦x≦3における最小値の場合分けもよくわかりません。

解答を見ても理解出来ませんでした。どなたか教えて下さい。
No.51349 - 2018/06/25(Mon) 21:07:32
☆ Re: / ヨッシー
?@はどういう問題ですか？
単にグラフを描けという問題ではないと思いますが。

?A
このグラフは下に凸なので、
頂点が 1≦ｘ≦3 の範囲にあれば、そこが最小。
その他の場合は、頂点が ｘ＜１ にあるときと ｘ＞３ にあるときとで場合分けします。
No.51354 - 2018/06/26(Tue) 11:35:16
★ 二次関数 高1 / 蘭
こんにちは！

この問題を解いていたのですが、

Gが原点を通る時、b=-6a^2+11a+10
というのは分かりますが、
マーカー部分の、この時Gが表す二次関数は…というのが全然分かりません。
原点を通るからって、なぜ、答えのようになるのですか？？

解き方と考え方をよろしくお願いします。
No.51348 - 2018/06/25(Mon) 21:06:26
☆ Re: 二次関数 高1 / ヨッシー
b=-6a^2+11a+10 を求めるときに使った式があると思います。
（ａ，ｂ，ｘ，ｙ が入った式です）
これに、b=-6a^2+11a+10 を代入して整理したものがマーカー部分の式です。
No.51355 - 2018/06/26(Tue) 11:55:22
☆ Re: 二次関数 高1 / 蘭
おー！！！

なるほどです。
だから、bを求めたんですね！

ありがとうございます！
またよろしくお願いします。
No.51363 - 2018/06/26(Tue) 21:39:03
★ (No Subject) / 美味しい
順をおって質問させていただきます。
まず、絶対値のグラフでもy軸がマイナスになることはあるのですか？
(教科書問題にはなかったです)
No.51347 - 2018/06/25(Mon) 21:06:05
☆ Re: / 美味しい
また、折り返し地点はどう決まるのですか？

ふつうに書くグラフをそのまま折ったように書く訳ではないですよね、この曲がり具合の求め方も教えてください
No.51350 - 2018/06/25(Mon) 21:08:21
☆ Re: / ヨッシー
>y軸がマイナスになることはあるのですか？
ｙ軸ではなく、ｙ座標ですね。
絶対値そのものはマイナスにはなりませんが、−２ｘ が付いているので、
マイナスになる部分が出来ても不思議ではありません。

ｙ＝|ｘ^2−4x−5|−2x は、
　−１≦ｘ≦5　のとき　ｙ＝−ｘ^2＋2x＋５
　それ以外のとき　　ｙ＝ｘ^2−6x−5
であるので、この２つのグラフを描き、該当する範囲の部分だけを
実線に、それ以外のところを破線にすれば、それらしいグラフになります。
No.51356 - 2018/06/26(Tue) 12:32:21
★ (No Subject) / 美味しい
これは、なんの法則でといたものですか？
No.51342 - 2018/06/25(Mon) 20:43:07
☆ Re: / ヨッシー
ａ^2−ｂ^2＝(ａ−ｂ)(ａ＋ｂ)
因数分解です。
No.51343 - 2018/06/25(Mon) 20:46:54
☆ Re: / 美味しい
ありがとうございます
No.51345 - 2018/06/25(Mon) 20:53:25
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