x、y、zが以下の7個の不等式を満たすとき、この立体の体積を求めなさい。
10-x≧z
10+x≧z
5-y≧z
5+y≧z
-10≦x≦10
-5≦y≦5
0≦z
とある問題を解いていたら、↑のような不等式が成立するところまではできました。ですがここから先がわかりません。体積の求め方を教えてください。よろしくお願いします。
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No.52370 - 2018/07/29(Sun) 20:42:55
| ☆ Re: 体積 / らすかる | | | -10≦x≦10 と -5≦y≦5 は不要
z≦10-x とz≦10+x と z≧0 で
底面が斜辺の長さ20の直角二等辺三角形である三角柱が
幅20の面の中心線がy軸に一致するように平面z=0に置かれた形
z≦5-y と z≦5+y と z≧0 で
底面が斜辺の長さ10の直角二等辺三角形である三角柱が
幅10の面の中心線がx軸に一致するように平面z=0に置かれた形
従って出来る立体は
底面が斜辺の長さ10の直角二等辺三角形である三角柱を
斜めに切った五面体となり、
A(-5,0,5),B(5,0,5),C(10,5,0),D(-10,5,0),E(-10,-5,0),F(10,-5,0)
とすれば五面は面ADE,面AEFB,面BFC,面BCDA,面CDEF
この図形をx=5とx=-5で切ると
底面積が50、高さが5の四角錐が二つと
底面積が25、高さが10の三角柱に分けられるので、
体積は50×5÷3×2+25×10=1250/3
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No.52372 - 2018/07/29(Sun) 21:28:12 |
| ☆ Re: 体積 / Kenji | | | 計算でやってみました。
0≦z, -10≦x≦10, -5≦y≦5, 10-x≧z, 10+x≧z, 5-y≧z, 5+y≧z
⇔0≦z, -10≦x≦10, -5≦y≦5, z-10≦x≦10-z, z-5≦y≦5-z
⇔0≦z, -10≦x≦10, -5≦y≦5, z-10≦x≦10-z, z-5≦y≦5-z, z-10≦10-z, z-5≦5-z
⇔0≦z, -10≦x≦10, -5≦y≦5, z-10≦x≦10-z, z-5≦y≦5-z, z≦10, z≦5
⇔0≦z≦5, -10≦x≦10, -5≦y≦5, z-10≦x≦10-z, z-5≦y≦5-z
⇔0≦z≦5, z-10≦x≦10-z, z-5≦y≦5-z
⇔0≦z≦5, -(10-z)≦x≦(10-z), -(5-z)≦y≦(5-z)
これが表す立体をxy平面に平行な平面z=k（ただし0≦k≦5）で切った断面は
二辺の長さが20-2k,10-2kの長方形であり、その面積は4k^2-60k+200である。
よって体積は
∫[0,5]{4k^2-60k+200}dk
=(4/3){5^3-0^3}-30{5^2-0^2}+200{5-0}
=500/3-750+1000
=1250/3
（答）1250/3
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No.52379 - 2018/07/30(Mon) 00:22:15 |
| ☆ Re: 体積 / 瑠璃 | | | 御二方、御回答ありがとうございます。
らすかる様に追加質問です。
求める体積は二つの三角柱の共通部分ということでしょうか。
＞従って出来る立体は底面が斜辺の長さ10の直角二等辺三角形である三角柱を斜めに切った五面体
ここがよくわからないです。三角柱を斜めに切るとはどのような切り方を言っているんでしょうか。”従って”五面体になるとのことですが、どうして五面体になるのか想像できないです。
A(-5,0,5)やB(5,0,5)などの座標はどこから出てきたのでしょうか。
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No.52414 - 2018/07/30(Mon) 19:29:55 |
| ☆ Re: 体積 / らすかる | | | > 求める体積は二つの三角柱の共通部分ということでしょうか。
その通りです。
> ここがよくわからないです。三角柱を斜めに切るとは
> どのような切り方を言っているんでしょうか。”従って”五面体になるとのことですが、どうして五面体になるのか想像できないです。
底面が斜辺10の直角二等辺三角形である高さ20の三角柱ABC-DEFがあるとします。
ただし∠BAC=∠EDF=90°です。
AP=5、AQ=15となるようにAD上に点P、点Qをとります。
そして面PBCと面QEFで切ってA、Dを含む三角柱を取り去り、
残った立体が体積を求める五面体です。
※この項の記号は座標の記号とは異なります
> A(-5,0,5)やB(5,0,5)などの座標はどこから出てきたのでしょうか。
z≦5-yとz≦5+yとz≧0で出来る小さい三角柱でzが最大の場所、直線「y=0かつz=5」と
z≦10-xとz≦10+xとz≧0で出来る大きい三角柱の面z=10+x及び面z=10-xとの交点です。
二つの三角柱を想像すれば多分わかると思います。
どうしてもわからなければ、グラフソフトを使うか、あるいは
紙を切って作ってみれば理解しやすいと思います。
紙で作る場合は、
底面になる20cm×10cmの長方形のまわりに、
二つの短辺側には底辺10cm高さ5√2cm（斜辺5√3cm）の二等辺三角形の底辺をくっつけ、
二つの長辺側には下底20cm上底10cm高さ5√2cmの等脚台形の下底をくっつけた形にすれば
展開図が出来ますので、これを折れば目的の立体が作れます。
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No.52417 - 2018/07/30(Mon) 20:48:07 |
| ☆ Re: 体積 / 瑠璃 | | | No.52523 - 2018/08/01(Wed) 22:45:29 |
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