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★ ベクトル / コウ
教えてください。お願いします。
No.52285 - 2018/07/28(Sat) 09:07:57
☆ Re: ベクトル / X
(1)
前半)
条件から
↑OK=↑OB+↑BK
=↑OB+(1/3)↑BD
=↑b+(1/3)↑a (A)
↑OL=↑OC+↑CL
=↑OC+(2/3)↑CE
=↑c+(2/3)↑a (B)
後半)
(A)(B)を条件である
↑OK・↑OL=8/9
に代入すると
{↑b+(1/3)↑a}・{↑c+(2/3)↑a}=8/9 (C)
これより
ここで条件から
↑a⊥↑b,↑c⊥↑a,↑b⊥↑c
∴
↑a・↑b=↑c・↑a=↑b・↑c=0 (D)
よって(C)の左辺を展開すると
(2/9)|↑a|^2=8/9
∴|↑OA|=|↑a|=2

(2)
まず点Nは点O,K,Lを通る平面上の点ですので
↑ON=x↑OK+y↑OL
(x,yは実数)
と置くことができます。
これに(A)(B)を代入すると
↑ON=x{↑b+(1/3)↑a}+y{↑c+(2/3)↑a}
=(x/3+2y/3)↑a+x↑b+y↑c (C)
次に点Nは線分GM上の点ですので
↑ON=(1-z)↑OG+z↑OM
(但し0≦z≦1 (P))
と置くことができます。
∴これより
↑ON=(1-z)(↑OB+↑BG)+z(1/3)↑OA
↑ON=(1-z)(↑b+↑c)+z(1/3)↑a
↑ON=(z/3)↑a+(1-z)↑b+(1-z)↑c (D)
ここで条件から
↑a⊥↑b,↑c⊥↑a,↑b⊥↑c
かつ
↑a≠↑0,↑b≠↑0,↑c≠↑0
∴(C)(D)の係数を比較することができ
x/3+2y/3=z/3 (E)
x=1-z (F)
y=1-z (G)
(E)(F)(G)をx,y,zの連立方程式として解きます。
(F)(G)を(E)に代入して
1-z=z/3
z=3/4
これを(D)に代入して
↑ON=(1/4)↑a+(1/4)↑b+(1/4)↑c
となります。

(3)
前半)
条件から
|↑HP|^2=|↑OP-↑OH|^2
=|↑OP|^2-2↑OH・↑OP+|↑OH|^2 (H)
ここで
|↑OH|^2=|(↑OK+↑OL)/2|^2
=|(↑a+↑b+↑c)/2|^2 (∵)(A)(B)を代入
={|↑a|^2+|↑b|^2+|↑c|^2}/4 (∵)展開して(D)を代入
=(OA^2+OB^2+OC^2)/4
=7/4 (I)
又
↑KP・↑LP=-1/12
より
(↑OP-↑OK)・(↑OP-↑OL)=-1/12
|↑OP|^2-(↑OK+↑OL)・↑OP+↑OK・↑OL=-1/12
|↑OP|^2-2↑OH・↑OP+↑OK・↑OL=-1/12
|↑OP|^2-2↑OH・↑OP=-1/12-↑OK・↑OL (J)
で
↑OK・↑OL={↑b+(1/3)↑a}・{↑c+(2/3)↑a} (∵)(A)(B)を代入
=(2/9)|↑a|^2 (∵)展開して(D)を代入
=(2/9)|↑OA|^2
=8/9 (∵) (1)の後半の結果を代入
∴(J)より
|↑OP|^2-2↑OH・↑OP=-35/36 (J)'
(I)(J)'を(H)に代入して
|↑HP|^2=-35/36+7/4
=7/9
∴|↑HP|=(1/3)√7(K)

後半)
条件から
↑OP=k↑OH (L)
(0＜k＜1)
と置くことができます。
ここで(K)より
|↑OP-↑OH|=(1/3)√7
(L)を代入して
|(k-1)↑OH|=(1/3)√7
(1-k)|↑OH|=(1/3)√7
更に(I)を用いると
(1-k)(1/2)√7=(1/3)√7
∴k=1/3
よって(L)により
↑OP=(1/3)↑OH
=(1/6)(↑OK+↑OL)
=(1/6)(↑a+↑b+↑c) (J)' (∵)(A)(B)を代入
となるので
|↑NP|^2=|↑OP-↑ON|^2
=(1/12)|↑a+↑b+↑c|^2 (∵)(J)'と(2)の結果を代入
=(1/12)|↑a+↑b+↑c|^2
={|↑a|^2+|↑b|^2+|↑c|^2}/12 (∵)展開して(D)を代入
=(OA^2+OB^2+OC^2)/12
=7/12
∴|↑NP|=(1/6)√21
となります。
No.52294 - 2018/07/28(Sat) 13:51:19
★ (No Subject) / りん
この図形のときはこの式ですか？
一番上の式の意味がわかりません
お願いします
No.52279 - 2018/07/28(Sat) 06:35:18
☆ Re: / X
添付されている写真の下の方の行で
ご質問の式が極座標表示に変換されて
いますが、この曲線の方程式は
極座標表示のものが、元々の
方程式の形です。
これを直交座標に変換したものが
ご質問の方程式である、と考えて
下さい。
No.52281 - 2018/07/28(Sat) 07:07:28
★ (No Subject) / りん
お願いします
No.52278 - 2018/07/28(Sat) 06:34:24
☆ Re: / X
公式
(sinx)^2+(cosx)^2=1
より
(cosx)^2=1-(sinx)^2
これを問題の等式の
左辺に代入して展開します。
No.52280 - 2018/07/28(Sat) 07:02:44
☆ Re: / りん
> 公式
> (sinx)^2+(cosx)^2=1
> より
> (cosx)^2=1-(sinx)^2
> これを問題の等式の
> 左辺に代入して展開します。


わかりました！ありがとうございます
No.52491 - 2018/08/01(Wed) 13:25:04
★ (No Subject) / りん
これは公式ですか？
覚えるものですか？
No.52277 - 2018/07/28(Sat) 06:33:55
☆ Re: / 関数電卓
ｎの奇偶によって結果が変わるし
https://mathtrain.jp/int_sinnx
正確に覚えることができますか？
部分積分さえできれば、覚える必要はないと思う。
No.52320 - 2018/07/28(Sat) 23:23:59
★ 大学数学・微分積分 / izumi
lim (1+x)^(1/x) = e となる過程を知りたいです
x→0
No.52276 - 2018/07/28(Sat) 00:21:46
☆ Re: 大学数学・微分積分 / らすかる
その式をeの定義式とする場合が多く、
それを定義式とした場合は「過程」はありません。
eをどのように定義した場合の話ですか？
No.52283 - 2018/07/28(Sat) 08:02:49
☆ Re: 大学数学・微分積分 / IT
そのlim(x→0)・・ が有限値に収束することについては下記などにあります。

http://www.geocities.jp/phaosmath/part2/function/napier.htm
No.52284 - 2018/07/28(Sat) 09:03:49
☆ Re: 大学数学・微分積分 / GandB
最後の行は
　　y = βで f(y) が連続であるとき
　　
　　lim[x→c]g(x) = β　⇒　lim[x→c]f(g(x)) = f(β) = f( lim[x→c]g(x) )

という定理を使う。
No.52290 - 2018/07/28(Sat) 11:41:01
★ 三次方程式 / Z
⑴はわかったんですが、⑵がどうやって解いたらいいかわかりません。教えてください。
No.52275 - 2018/07/27(Fri) 23:13:01
☆ Re: 三次方程式 / X
条件からαが問題の直角三角形の
斜辺の長さになりますので
三平方の定理により
α^2=β^2+1 (A)
又、(1)の過程からα,βは
xの二次方程式
x^2-3x+q=0
の解ですので解と係数の関係から
α+β=3 (B)
αβ=q (C)
(A)(B)(C)をα,β,qについての
連立方程式として解きます。
No.52282 - 2018/07/28(Sat) 07:16:05
★ 大学数学 / あいす
ファイルよりお願いします
No.52274 - 2018/07/27(Fri) 22:42:22
★ 数3 極限 数列 / KK
解き方教えてください。
No.52259 - 2018/07/27(Fri) 19:11:00
☆ Re: 数3 極限 数列 / X
OB[n]=b[n]
とします。
(1)
条件から
b[n+1]=a[n]cosθ (A)
一方、条件から
△OA[1]B[1]∽△OA[n+1]B[n+1]
∴相似比について
1:a[n+1]=p:b[n+1] (B)
(B)より
a[n+1]=(1/p)b[n+1] (B)'
これに(A)を代入して
a[n+1]=(1/p)a[n]cosθ

(2)
(1)の結果より
a[n]=a[1]{(1/p)cosθ}^(n-1)
={(1/p)cosθ}^(n-1)
これと(B)'により
b[n]=p{(1/p)cosθ}^(n-1)
∴△OA[n]B[n+1]に注目して
A[n]B[n+1]=a[n]sinθ
=sinθ{(1/p)cosθ}^(n-1)
B[n]B[n+1]=b[n]-b[n+1]
=p{(1/p)cosθ}^(n-1)-p{(1/p)cosθ}^n
以上から求める面積は
(1/2)A[n]B[n+1]・B[n]B[n+1]
=(1/2)psinθ{(1/p)cosθ}^(2n-2)-(1/2)sinθcosθ{(1/p)cosθ}^(2n-2)
=(1/2)sinθ(p-cosθ){(1/p)cosθ}^(2n-2)

(3)
(2)の結果から
T(θ)=Σ[n=0〜∞](1/2)sinθ(p-cosθ){{(1/p)cosθ}^2}^(n-1)
∴p＞1に注意すると
T(θ)=(1/2)sinθ(p-cosθ)/{1-{(1/p)cosθ}^2}
これを
lim[θ→+0](1/θ)T(θ)=3
に代入すると
lim[θ→+0]{(1/θ)(1/2)sinθ(p-cosθ)/{1-{(1/p)cosθ}^2}}=3
これより
(1/2)(p-1)/{1-(1/p)^2}=3
(1/2)(p^2)(p-1)/(p^2-1)=3
(1/2)(p^2)/(p+1)=3
p^2=6(p+1)
p^2-6p-6=0
∴p＞1により
p=3+√15
No.52269 - 2018/07/27(Fri) 21:26:09
★ 数列、円 / メタファイズ
この問題の(2)が分かりません
答えはrn＝{a/2+(n-1)a}^2
となるそうですが、nでしか表わせられないので、解説お願いします
No.52254 - 2018/07/27(Fri) 17:32:38
☆ Re: 数列、円 / X
C[n]はx軸に接する第一象限に存在する円
ですので
中心の座標は(x[n],r[n])
と置くことができます。
このとき、円C、C[n-1]の中心との距離について
(x[n])^2+(1-r[n])^2=(1+r[n])^2 (A)
(x[n]-x[n-1])^2+(r[n]-r[n-1])^2=(r[n]+r[n-1])^2 (B)
(A)(B)を{r[n]},{x[n]}の連立漸化式として
解きます。
(A)より
(x[n])^2=4r[n]
∴r[n]=(1/4)(x[n])^2 (A)'
一方(B)より
(x[n]-x[n-1])^2=4r[n]r[n-1] (B)'
(A)'を(B)'に適用して
(x[n]-x[n-1])^2=(1/4)(x[n]x[n-1])^2
ここで条件から
x[n]＜x[n-1]
∴x[n]-x[n-1]=-(1/2)(x[n]x[n-1])
これより
1/x[n]-1/x[n-1]=1/2
となるので
1/x[n]=1/x[1]+(1/2)(n-1)
ここで
x[1]=a
∴1/x[n]=1/a+(1/2)(n-1)
x[n]=1/{1/a+(1/2)(n-1)}
これを(A)'に代入して
r[n]=1/{2/a+(n-1)}^2
=(a^2)/{2+(n-1)a}^2
となります。

＞＞答えはrn＝{a/2+(n-1)a}^2
タイプミスはありませんか？
条件から、r[n]はnに関して単調減少に
なりますので、明らかに変です。
No.52257 - 2018/07/27(Fri) 18:03:03
☆ Re: 数列、円 / メタファイズ
よくわかりました。
x[1]＝1としていたために間違えてしまいました。
タイプとともに理解していきます笑。
No.52260 - 2018/07/27(Fri) 19:26:41
★ 積分 / 受験生
解き方教えて下さい。
No.52250 - 2018/07/27(Fri) 16:46:01
☆ Re: 積分 / らすかる
(√2)x+√(2x^2+1)=tとおくと
x=(t^2-1)/((2√2)t)
√(2x^2+1)=(t^2+1)/(2t)
dx=(t^2+1)/((2√2)t^2) dt
となるので
∫1/(x√(2x^2+1)) dx
=∫((2√2)t)/(t^2-1)・(2t)/(t^2+1)・(t^2+1)/((2√2)t^2) dt
=∫2/(t^2-1) dt
=∫1/(t-1)-1/(t+1) dt
=log|t-1|-log|t+1|+C
=log|(t-1)/(t+1)|+C
=log|((√2)x+√(2x^2+1)-1)/((√2)x+√(2x^2+1)+1)|+C
No.52252 - 2018/07/27(Fri) 17:08:37
☆ Re: 積分 / 受験生
理解できました！ありがとうございます。
No.52253 - 2018/07/27(Fri) 17:28:04
★ 教えてください / あや
写真のものが解説です。曲がっていてすみません。
設問文でn≧1と定めているのに、n=0を求めているのはなぜですか？帰納法だからなんでもありという考え方でしょうか？
No.52246 - 2018/07/27(Fri) 15:38:26
☆ Re: 教えてください / らすかる
問題か解答のどちらかの誤植だと思います。
問題の方が正しければ
a[1]=1/4＞0=a[0] は成り立ちませんね。
No.52248 - 2018/07/27(Fri) 16:03:37
★ 解き方がわからないです / コウ
教えてください。
No.52237 - 2018/07/27(Fri) 07:08:32
☆ Re: 解き方がわからないです / ヨッシー
ＢＢ’の傾きは −1/m であるので、直線ＢＢ’の式は
　ｙ＝(-1/m)(x−12)
これと、ｙ＝ｍｘ の交点は
　(12/(m^2+1),12m/(m^2+1)）
Ｂ’の座標は
　(24/(m^2+1)−12,24m/(m^2+1)）
ＡＢ’の傾きは
　{24m/(m^2+1)}／{24/(m^2+1)−16}＝3m/(1−2m^2)　（ただし m≠1/√2）
直線ＡＢ’の式は
　ｙ＝3m/(1−2m^2)(x-4)
これと、ｙ＝ｍｘ の交点Ｐは
　(6/(m^2+1), 6m/(m^2+1))
これは、ｍ＝1/√2 のとき、(4, 2√2) となり、ｍ＝1/√2 のときの
点Ｐも表している。
　ｙ＝6m/(m^2+1)
とおくと、ｍで微分して
　ｙ’＝6(1-m^2)/(m^2+1)^2
となり、ｙ は ｍ＝−１ で極小、ｍ＝１ で極大となり、ｍ＞０ ではｍ＝１で最大となります。
このとき、
　ｙ＝６／２＝３ ・・・答え
No.52239 - 2018/07/27(Fri) 10:44:16
☆ Re: 解き方がわからないです / コウ
ありがとうございます。理解できました。わかりやすかったです。
No.52296 - 2018/07/28(Sat) 14:42:14
★ (No Subject) / りん
わかりません
お願いします
No.52232 - 2018/07/27(Fri) 00:20:57
☆ Re: / X
部分積分により
∫dx/(x^2+1)=x/(x^2+1)+∫{(2x^2)/(x^2+1)^2}dx
=x/(x^2+1)+2∫dx/(x^2+1)-2∫dx/(x^2+1)^2
∴2∫dx/(x^2+1)^2=x/(x^2+1)+∫dx/(x^2+1)
となるので
∫dx/(x^2+1)^2=x/{2(x^2+1)}+(1/2)∫dx/(x^2+1)
=x/{2(x^2+1)}+(1/2)arctanx+C
(Cは積分定数)
となります。
No.52234 - 2018/07/27(Fri) 05:57:18
★ ベクトルについて。 / コルム
円と三角形が内接すると、ベクトルを使って問題を作っていただけないでしょうか？教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。
No.52230 - 2018/07/27(Fri) 00:13:15
☆ Re: ベクトルについて。 / GandB
「三角形の内接円　ベクトル　問題」

で検索すればいっぱい出てくる。しかも回答付きで（笑）。たとえば

http://examist.jp/mathematics/math-b/planar-vector/naisin-vector/

なんか、いかがかな？
No.52236 - 2018/07/27(Fri) 06:43:16
☆ Re: ベクトルについて。 / コルム
ありがとうございました。
No.52238 - 2018/07/27(Fri) 08:20:24
★ 数3 微分 積分 / コウ
この解き方がわかりません。教えてください。
No.52227 - 2018/07/26(Thu) 23:14:13
☆ Re: 数3 微分 積分 / X
(1)
商の微分により
f'(x)={(x^2+1)√3-(x√3-1)・2x}/(x^2+1)^2
={-(x^2)√3+2x+√3}/(x^2+1)^2

(2)
(1)の結果から
f'(x)=-(√3)(x^2-2x/√3-1)/(x^2+1)^2
=-(√3)(x-√3)(x+1/√3)/(x^2+1)^2
一方、条件から
lim[x→∞]f(x)=3
lim[x→-∞]f(x)=3
以上からf(x)の増減表を書くことにより
f(x)の最大値は
f(√3)=7/2
f(x)の最小値は
f(-1/√3)=3/2

(3)
(2)の結果により求める面積をSとすると
S=∫[-1/√3→√3]{(x√3-1)/(x^2+1)+3}dx
=∫[-1/√3→√3]{(x√3)/(x^2+1)+3}dx+{-∫[-1/√3→√3]dx/(x^2+1)}
ここで
(Sの第1項)=[{(√3)/2}log(x^2+1)+3x][-1/√3→√3]
={(√3)/2}log3+4√3
(Sの第2項)=-∫[-π/6→π/3]dθ
(x=tanθと置いた)
=-π/2
以上から
S={(√3)/2}log3+4√3-π/2
となります。
No.52235 - 2018/07/27(Fri) 06:17:19
★ 二次関数 / aaa
pのとり得る値の範囲について、解説中に
1≦(2a+1)/3<2
とあり、どうしてこうなるのか分かりません。
私は1<(2a+1)/3≦2だと思うのですが、、。
お願いします。
No.52221 - 2018/07/26(Thu) 21:46:20
☆ Re: 二次関数 / らすかる
?Bがx＞(2a+1)/3なので、(2a+1)/3と等しい値は?Bを満たさないことに注意して下さい。
(2a+1)/3=1のとき?Bと?Cをともに満たす整数xは2,3,4ですから左の不等号は≦です。
(2a+1)/3=2のとき?Bと?Cをともに満たす整数xは3,4ですから右の不等号は＜です。
No.52224 - 2018/07/26(Thu) 22:11:35
☆ Re: 二次関数 / aaa
ありがとうございました。無事理解できました。
No.52226 - 2018/07/26(Thu) 22:50:57
★ 数I・A / 赤
これの(3)がわかりません。。。
お願いします。。。
No.52214 - 2018/07/26(Thu) 20:43:18
☆ Re: 数I・A / ヨッシー
内側の√の前には２だけ残るように変形すると
　(与式)＝√{ａ＋８＋２√(９ａ−９)}−√{ａ＋８−２√(９ａ−９)}
掛けて ９ａ−９　足して　ａ＋８ となる２数として
　ａ−１　と　９
が見つかります。
１≦ａ≦１０ のときは　ａ−１≦９ であるので、
　(与式)＝√(ａ−１)＋３−{３−√(ａ−１)}＝２√(ａ−１)
１０＜ａ　のときは　ａ−１＞９　であるので
　(与式)＝√(ａ−１)＋３−{√(ａ−１)−３}＝６
No.52220 - 2018/07/26(Thu) 21:38:50
☆ Re: 数I・A / らすかる
別解
与式を2乗して整理すると 2a+16-2√{(a-10)^2} … (1)
a≧10のときは√{(a-10)^2}=a-10なので
(1)=2a+16-2(a-10)=36 (与式)≧0なので(与式)=6
a＜10のときは√{(a-10)^2}=10-aなので
(1)=2a+16-2(10-a)=4(a-1) (与式)≧0なので(与式)=2√(a-1)
No.52271 - 2018/07/27(Fri) 21:45:19
★ これが解けないんです… / たかぽん
方程式(x＋2)(x−4)=aの解が整数になる最も小さい自然数aの求め方を教えて欲しいです。
No.52212 - 2018/07/26(Thu) 20:22:15
☆ Re: これが解けないんです… / たかぽん
あ、中学3年生です。すいません。
No.52213 - 2018/07/26(Thu) 20:23:44
☆ Re: これが解けないんです… / 関数電卓
解の公式は、習いましたよね？

　(x＋2)(x−4)＝a
展開して整理すると
　x^2−2x−8−a＝0
これを解の公式で解くと
　x＝1±√(9＋a)
√(9＋a) が整数となる最小の自然数 a は 7。
　
No.52215 - 2018/07/26(Thu) 20:59:28
☆ Re: これが解けないんです… / たかぽん
ありがたいです。分からなくて今も考えていました。ありがとうございます。しっかり解き直します。
No.52216 - 2018/07/26(Thu) 21:04:12
☆ Re: これが解けないんです… / IT
(別解)
(x＋2)(x−4)=a
a＞0なので　x＜-2 またはx＞4
x=-3 のとき　a=7 であり,xが-3より小さくなるとaは大きくなる。
x=5 のとき　a=7 であり,xが5より大きくなるとaは大きくなる。

よって,求める最小の自然数はa=7
No.52225 - 2018/07/26(Thu) 22:24:52
★ 積分について。 / コルム
次の問題がわかりません。教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。
No.52208 - 2018/07/26(Thu) 18:41:42
☆ Re: 積分について。 / ヨッシー
(1)
　ｙ’＝−2x−2
ｘ＝−２ のときの接線の傾きは　２
(-2, -3) を通ることから、
　ｙ＝２ｘ＋１
(2)
　∫[-2〜0](x^2＋4x＋4)dx
　　＝[x^3/3＋2x^2＋4x][-2〜0]
　　＝8/3
No.52209 - 2018/07/26(Thu) 18:52:07
☆ Re: 積分について。 / コルム
すみません。(2)の図のイメージを貼っていただけないでしょうか？教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。
No.52217 - 2018/07/26(Thu) 21:10:10
☆ Re: 積分について。 / ヨッシー

こうですね。
No.52218 - 2018/07/26(Thu) 21:32:44
☆ Re: 積分について。 / GandB
> すみません。(2)の図のイメージを貼っていただけないでしょうか？

　蛇足とは思うが・・・

(2x+1) - (-x^2 -2x - 3)
= 2x + 1 + x^2 + 2x + 3
= x^2 + 4x + 4
No.52219 - 2018/07/26(Thu) 21:38:37
☆ Re: 積分について。 / コルム
ありがとうございました。
No.52223 - 2018/07/26(Thu) 22:08:44
★ 分数について。 / コルム
次の問題がわかりません。教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。
No.52201 - 2018/07/26(Thu) 17:11:45
☆ Re: 分数について。 / ヨッシー
既約仮分数 m/n を帯分数 xとy/z （ｘ，ｙ，ｚ は正の整数。ｙ＜ｚ）に直したとします。
もし、y/z が既約分数でないとすると、2以上のある整数ｋについて、
　ｙ＝y'k、ｚ＝z'k 　(y'、z' は正の整数）
と表せます。
このとき、帯分数 xとy/z は、
　x＋y/z＝x＋y'k/z'k＝xz'k/z'k＋y'k/z'k＝(xz'＋y')k/z'k
となり、分子、分母がｋを公約数にもち、m/n が既約分数であることに矛盾します。
よって、帯分数の真分数の部分も既約分数です。
No.52203 - 2018/07/26(Thu) 17:25:24
☆ Re: 分数について。 / コルム
ありがとうございました。
No.52207 - 2018/07/26(Thu) 18:21:14
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