ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / もとき

よろしくお願いします

No.52054 - 2018/07/22(Sun) 19:33:56

☆ Re: / del

(1)
ω=cos(2π/p)+i*sin(2π/p) とすると
(z[1],...,z[n])が(イ)を満たすので k=1,...,nに対し、z[k]=ω^m[k] とおける。
ただし、任意のkに対してm[k]は1≦m[k]≦p-1を満たす整数。
このとき、(ロ)を満たすためのm[1],...,m[n]の必要十分条件は m[1]+...+m[n]がpの倍数であることである。

n=3のときは 3≦m[1]+m[2]+m[3]≦3p-3 より、
p≧3のときはm[1]+m[2]+m[3]=p,2p ならばよい。

m[1],m[2],m[3]の範囲に注意すれば、
m[1]+m[2]+m[3]=pなる(m[1],m[2],m[3])と
m[1]+m[2]+m[3]=2pなる(m[1],m[2],m[3])の個数は共に(p-1)(p-2)/2 なので、
a[3]=(p-1)(p-2) (これはp=2でも成立する。)

(2)
n≧4とし、(z[1],...,z[n])に対し自然数K≦nを
z[1]z[2]...z[k]=1 となる最小のkとすると条件(イ)よりK≠1,n-1である。

このような(z[1],...,z[K])の選び方は
z[1]は(p-1)通りの選び方があり、
z[k](k=2,...,K-1)はz[1]...z[k]≠1となるように(p-2)通りの選び方があり、
z[K]はz[1]...z[K]=1となるように1通りの選び方があるので、(z[1],...,z[K])の選び方は
(p-1)(p-2)^(K-2)通りである。

よってKが固定された状態における(ロ)を満たす(z[1],...,z[n])の個数は
K=nのとき、(p-1){(p-2)^(n-2)}
K=2,...,n-2のとき、(p-1){(p-2)^(K-2)}a[n-K] である。

以上より、n≧4の場合、
a[n]=(p-1)(p-2)^(n-2)+Σ[K=2:n-2](p-1){(p-2)^(K-2)}a[n-K]

したがって、n≧3の場合、
a[n+2]=(p-1)(p-2)^n+Σ[K=2:n](p-1){(p-2)^(K-2)}a[n+2-K]...?@
a[n+1]=(p-1)(p-2)^(n-1)+Σ[K=2:n-1](p-1){(p-2)^(K-2)}a[n+1-K]
=(p-1)(p-2)^(n-1)+Σ[K=3:n](p-1){(p-2)^(K-3)}a[n+2-K]...?A

?@-(p-2)*?Aより
a[n+2]-(p-2)a[n+1]=Σ[K=2:n](p-1){(p-2)^(K-2)}a[n+2-K]-Σ[K=3:n](p-1){(p-2)^(K-2)}a[n+2-K]
=(p-1)a[n]
よってa[n+2]=(p-2)a[n+1]+(p-1)a[n]

これはn≧3で考えていたがa[2]=p-1は容易に求めることができ、?Aからa[4]も求めることができるので上の漸化式がn=2でも成立することが確認できる。

(3)
ここまで来たら基本的な隣接3項間漸化式なので、
これを解くとa[n]=(1/p)*{(p-1)^n+(p-1)*(-1)^n}が求められる。

答案とするには説明が不足する箇所があるので補完をお願いします。

No.52068 - 2018/07/23(Mon) 02:35:05

★ (No Subject) / もとき

(1)は区間内での最大値
(2)はf(x)を求めよという問題です
全くわからないので教えてください

No.52051 - 2018/07/22(Sun) 18:41:06

☆ Re: / IT

（概要）
[0,1/2]での|f(x)｜の最大値をm > 0 と仮定します。
|f(a)|=m, a∈(0,1/2] とします。

平均値の定理から　f'(c)=f(a)/a となるc∈(0,a) がとれる。
このとき　|f'(c)|=|f(a)|/a ＞|f(a)|=m,これは|f'(x)|≦|f(x)| に反する。

よって[0,1/2]での|f(x)｜の最大値＝0

[1/2,1],[1,1+1/2],...でも同様に順次　f(x)＝0がいえる。
xの負側もできると思います考えてみてください。

No.52052 - 2018/07/22(Sun) 19:02:12

★ 青い波線を引いた箇所の変形がわからない / rinrin

青い波線を引いた箇所の変形がわからないです。
なぜx^2・(1/x^2+1)がx-tan^(-1)x に積分されるのでしょうか？

No.52041 - 2018/07/22(Sun) 14:18:48

☆ Re: 青い波線を引いた箇所の変形がわからない / GandB

　　x = tanθと置けば dx = dθ/cos^2θ.
　　　　 1
　　∫────dx
　　　 1+x^2
　　　　　　1　　　　　1
　= ∫──────･────dθ　　（※1 + tan^2θ = 1/cos^2θ）
　　　 1+tan^2θ 　cos^2θ
　　　
　= ∫dθ = θ + C = atan(x) + C

No.52043 - 2018/07/22(Sun) 15:28:44

☆ Re: 青い波線を引いた箇所の変形がわからない / rinrin

ありがとうございます。２点わからないところがあります。

１つ目は、x = tanθと置けば dx = dθ/cos^2θ　と置いているところで、なぜ、dx = １/cos^2θ　にならないのでしょうか？
２つ目は、∫dθ = θ + C = atan(x) + C　のところで、atan(x)となるのがわかりません。atan(x)のaは何なのでしょうか？

No.52055 - 2018/07/22(Sun) 19:58:04

☆ Re: 青い波線を引いた箇所の変形がわからない / らすかる

dx=dθ/cos^2θ は
dx={1/(cosθ)^2}dθ と同じです。

atan(x)は a×tan(x) ではなく
arctan(x) すなわち tan^(-1)(x) という意味です。

No.52060 - 2018/07/22(Sun) 21:22:48

★ 二次関数 / 夏休み課題

カッコ２がわかりません
詳しい解説お願いします

No.52032 - 2018/07/22(Sun) 11:32:51

☆ Re: 二次関数 / X

(1)の結果を使います。

t=x^2-3x
と置くと、(1)の結果から
-9/4≦t≦4 (A)
で問題の関数は
y=t^2-4t+3 (B)
横軸にt、縦軸にyを取って
(A)の範囲で(B)のグラフを描きます。

No.52033 - 2018/07/22(Sun) 11:58:59

☆ Re: 二次関数 / 夏休み課題

すいません
もっと詳しい解説お願いします
二次関数の分野が苦手なもんで
お願いします

No.52035 - 2018/07/22(Sun) 12:38:08

☆ Re: 二次関数 / X

ではNo.52033の続きを。
(B)は
y=(t-2)^2-1 (B)'
となるので(B)'のグラフは
下に凸の放物線
でその軸は(A)の範囲内
右寄りになります。
よってyは
t=-9/4のときに最大値273/16
t=2のときに最小値-1
を取ります。

ここで(1)の結果により
t=-9/4のときx=3/2
又、t=2のとき
x^2-3x=2
x^2-3x-2=0
∴0≦x≦4により
x=(3+√17)/2

以上からyは
x=3/2のときに最大値273/16
x=(3+√17)/2のときに最小値-1
を取ります。

No.52049 - 2018/07/22(Sun) 18:02:38

★ 約数の個数と総和 / 夏休み課題

やり方が全くわかりません
答えは13個で
12,18,20,28,32,44,45,50,52,63,68,75,76

No.52031 - 2018/07/22(Sun) 11:31:29

☆ Re: 約数の個数と総和 / らすかる

約数の個数は素因数分解した時の指数+1の積です。
6=2×3ですから、約数が6個になるのは
p^5という形かp×q^2 という形のいずれかです。
（p,qは素数）
p^5という形で80以下になるのはp=2の時だけで2^5=32
p×q^2という形で80以下になるのは
2×3^2=18
2×5^2=50
3×2^2=12
3×5^2=75
5×2^2=20
5×3^2=45
7×2^2=28
7×3^2=63
11×2^2=44
13×2^2=52
17×2^2=68
19×2^2=76
の12個ですから、条件を満たす数は
12,18,20,28,32,44,45,50,52,63,68,75,76
の13個となります。

No.52034 - 2018/07/22(Sun) 12:35:42

☆ Re: 約数の個数と総和 / 夏休み課題

数字についている記号は何を表すのですか？

No.52037 - 2018/07/22(Sun) 12:41:16

☆ Re: 約数の個数と総和 / 夏休み課題

わかりました
なぜpqは素数でないといけないのですか？

No.52038 - 2018/07/22(Sun) 12:46:32

☆ Re: 約数の個数と総和 / らすかる

(約数の個数)=(素因数分解した時の指数+1の積)だからです。
例えばp×q^2でpやqが素数でない場合、
p=2,q=6ならばp×q^2=72ですが72=2^3×3^2から約数の個数は(3+1)×(2+1)=12個
p=4,q=3ならばp×q^2=36ですが36=2^2×3^2から約数の個数は(2+1)×(2+1)=9個
p=4,q=4ならばp×q^2=64ですが64=2^6から約数の個数は6+1=7個
のようになります。

No.52039 - 2018/07/22(Sun) 13:09:58

★ (No Subject) / あすなろ3000

高校数学1の範囲の集合の包含関係・相等の証明の問題についての質問です。
「A={3n-1|n∈Z}、B={6n+5|n∈Z}ならばA⊃Bを証明せよ」
というものなのですが、
x∈Bとしてx=6n+5(nは整数)
このときx=6(n+1)-1=3・2(n+1)-1
2(n+1)=mとおくとmは整数でx=3m-1
となるところまではわかったのですが、それがなぜx∈Aとなるのかが分かりません。
教科書や青チャートを見てもイマイチわからなかったので教えていただきたいです。
よろしくお願いします。

No.52027 - 2018/07/22(Sun) 10:28:26

☆ Re: / モモンガ

条件より，Aは「3×(整数)-1」という形で表される数（3を法として-1と合同な数）全体の集合であることが分かります。したがって，「ある数が『3×(整数)-1』という形で表されるならば，その数は集合Aの要素である」と言えるわけです。

いま，集合Bの要素はすべて「3×(整数)-1」という形で表されることが示されたわけですから，集合Bの要素はすべて集合Aの要素である(集合Bは，集合Aの部分集合である)と結論付けることができます。

No.52030 - 2018/07/22(Sun) 11:30:19

★ (No Subject) / 高校二年

なんで正三角形は違うのですか？
教えて下さい

No.52021 - 2018/07/22(Sun) 09:13:28

☆ Re: / らすかる

正三角形は二等辺三角形に含まれますので、「or正三角形」は余計です。
「二等辺三角形」という答えだけで正三角形も含まれます。

No.52023 - 2018/07/22(Sun) 09:24:44

☆ Re: / モモンガ

決して間違いというわけではありませんよ。たしかに，題意を満たす三角形が正三角形である可能性もあります。

ただ，二等辺三角形の中に正三角形も含まれるため，あえて正三角形を分けて書く必要はないというだけのことです。

No.52024 - 2018/07/22(Sun) 09:24:54

★ 三角形の重心 / 高校二年

練習7を全て教えて下さい
カッコ１は正解しましたが意味がわかりません
何でAHとGKは垂直の線なのに重心の法則を使えるのですか？

No.52017 - 2018/07/22(Sun) 05:29:22

☆ Re: 三角形の重心 / X

(1)
△MGKと△AMHに注目しましょう。
条件から
△MGK∽△AMH
となることから相似比を使うと…

(2)
これは(1)の結果を使います。
条件から辺BCを△ABC,△GBCの底辺と見ると
線分AH、GKはそれぞれ△ABC,△GBCの高さ
となっています。
よって
△ABC:△GBC={(1/2)×BC×AH}:{(1/2)×BC×GK}
=AH:GK
となるので(1)の結果により
△ABC:△GBC=3:1

(3)
点Mは辺BCの中点ですので
辺BC,BMを△GBC,△GBMの底辺と見ると
高さは共通となるのでこれをhとして
△GBC:△GBM={(1/2)×BC×h}:{(1/2)×BM×h}
=BC:BM
=2:1
よって
△GBC=2△GBM (A)
一方(2)の結果から
△ABC=3△GBC (B)
(A)を(B)に代入して
△ABC=6△GBM
よって
△ABC:△GBM=6:1
となります。

No.52019 - 2018/07/22(Sun) 07:57:10

★ 面積 / 瑠璃

y=x^2とy=(2p+q)x-p(p+q)とで囲まれる領域の面積を求めなさい。

交点がp、p+qなので1/6の公式を利用して、1/6・q^3となると思ったのですが、答えは-1/6・q^3になってました。どこを間違えているのでしょうか。

よろしくお願いします。

No.52015 - 2018/07/22(Sun) 00:19:56

☆ Re: 面積 / らすかる

他に条件が何もないのであれば
1/6・q^3 と -1/6・q^3 はどちらも正しくありません。
答えは 1/6・|q^3| となります。

No.52016 - 2018/07/22(Sun) 04:08:15

☆ Re: 面積 / 瑠璃

回答ありがとうございます。以下が問題文です。

放物線C:y=x^2と直線lが0≦x≦1において、x=p、x=p+q(0≦p≦p+q≦1)なる2点で交わっている。ただしq=0のときのlはx=pでのCの接線とする。このとき0≦x≦1でCとlに挟まれた部分の面積の和をSとおく。Sをp、qを用いて表せ。

f(x)=x^2-(2p+q)x+p(p+q)とおきます。

S=∫[0,p]f(x)dx+∫[p,p+q]-f(x)dx+∫[p+q,1]を変形して、
S=∫[0,1]f(x)dx-2∫[p,p+q]f(x)dxとします1。この2∫[p,p+q]f(x)dxの部分に1/6公式を当てはめて、1/6・q^3 としました。
解答も同じような方針を取っているのですが、∫[p,p+q]f(x)dxの部分が-1/6・q^3となっているんです。

なぜ-が付くのかがわからないです。

No.52046 - 2018/07/22(Sun) 17:17:18

☆ Re: 面積 / IT

まず、0≦p≦p+q≦1 から　0≦q がいえます。

瑠璃さんは、面積S（0以上）と　定積分の値を混同していませんか？定積分の値は、負になることもあります。

＞この2∫[p,p+q]f(x)dxの部分に1/6公式を当てはめて、1/6・q^3 としました。
p≦p+q,[p,p+q]でf(x)≦0ですから∫[p,p+q]f(x)dx＝-1/6・q^3≦0　が正しいです。

グラフを描いて考えてみてください。

No.52048 - 2018/07/22(Sun) 17:57:38

☆ Re: 面積 / 瑠璃

y=ax^2+bx+cとy=px+qがx=α、βで交わってる時の面積Sは、S=|a|/6・(β-α)^3ですよね。

これに従って、y=x^2とy=(2p+q)x-p(p+q)がx=p、p+qで交わってるので、1/6・q^3 なると思います。今まで解いてきた問題ではこれが通用してました。この問題だけなぜそれが通じないのでしょうか。

No.52065 - 2018/07/22(Sun) 23:23:16

☆ Re: 面積 / らすかる

「この2∫[p,p+q]f(x)dxの部分」は「面積」ではなく「定積分の値」ですから、
「面積」の公式を使うのは誤りです。
「面積」の意味になるのは
∫[0,1]f(x)dx-2∫[p,p+q]f(x)dx
の計算をした結果の値です。

No.52067 - 2018/07/23(Mon) 01:36:23

☆ Re: 面積 / 瑠璃

ありがとうございました。

No.52222 - 2018/07/26(Thu) 22:01:53

★ (No Subject) / マホメット

?@の式から?Aを導くにはどのように解けばいいのでしょうか？

No.52009 - 2018/07/21(Sat) 22:16:46

☆ Re: / マホメット

ちなみにV0は実数です。

No.52010 - 2018/07/21(Sat) 22:24:08

☆ Re: / らすかる

?@の式にθがないのでtanθを出すのは不可能です。

No.52013 - 2018/07/21(Sat) 23:06:26

☆ Re: / マホメット

すみません。色々大事なところが抜けていました。

No.52014 - 2018/07/21(Sat) 23:20:09

☆ Re: / GandB

> すみません。色々大事なところが抜けていました。
　　Z = R + 1/iωC = R - i(1/ωC)
　　cos(θ) = R/|Z|.
　　sin(θ) = -(1/ωC)/|Z| = -1/|Z|ωC.
　　∴tan(θ) = -1/ωCR.

No.52026 - 2018/07/22(Sun) 09:44:05