ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 複素数について。 / コルム

問題は、ある複素数xに対し、4つの数x-2,x-1,x＋1,x＋2をそれぞれ4乗した後に、和を求めたところ、2018になりました。このようなxの値をすべて求めなさい。ただし、
虚数単位は、iを用いるものとします。という問題が、わかりません。教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。

No.52139 - 2018/07/25(Wed) 00:46:48

☆ Re: 複素数について。 / らすかる

(x-2)^4+(x-1)^4+(x+1)^4+(x+2)^4=4x^4+60x^2+34=2018 から
4x^4+60x^2-1984=0
x^4+15x^2-496=0
(x^2+31)(x^2-16)=0
∴x=±4,±i√31

No.52140 - 2018/07/25(Wed) 01:58:08

☆ Re: 複素数について。 / コルム

ありがとうございました。

No.52199 - 2018/07/26(Thu) 17:07:59

★ ベクトルについて。 / コルム

問題は、∠A=90゜であるΔABCが半径1の円Oに内接しています。このとき、次のベクトルの大きさは一定であることを示し、その値を求めなさい。という問題がわかりません。教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。

No.52138 - 2018/07/25(Wed) 00:44:24

☆ Re: ベクトルについて。 / GandB

> 次のベクトル
？？？？？

No.52141 - 2018/07/25(Wed) 05:43:19

☆ Re: ベクトルについて。 / コルム

｜↑OA＋↑OB＋↑OC｜です。すみません教えていただけると幸いです。

No.52159 - 2018/07/25(Wed) 17:46:33

☆ Re: ベクトルについて。 / らすかる

∠A=90°からOはBCの中点なので↑OB+↑OC=0
∴|↑OA+↑OB+↑OC|=|↑OA|=1

No.52164 - 2018/07/25(Wed) 18:33:46

☆ Re: ベクトルについて。 / コルム

なぜ、↑OB ＋↑OC=0なのでしょうか？教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。

No.52171 - 2018/07/25(Wed) 21:52:57

☆ Re: ベクトルについて。 / らすかる

↑OBと↑OCは長さが等しく逆向きのベクトルだからです。

No.52178 - 2018/07/25(Wed) 22:29:08

☆ Re: ベクトルについて。 / コルム

ありがとうございました。

No.52198 - 2018/07/26(Thu) 17:07:27

★ 命題 / 蘭

Q.三角形ABC≡三角形DEFであることは、三角形ABC~三角形DEFであるための、------である、

の答えが、必要条件でも十分条件でもない

というものでした。

全然わかりません。
解説よろしくお願いします。

No.52131 - 2018/07/24(Tue) 22:34:12

☆ Re: 命題 / らすかる

「三角形ABC～三角形DEF」とはどういう意味ですか？

No.52134 - 2018/07/24(Tue) 23:35:57

☆ Re: 命題 / 蘭

相似です！

No.52136 - 2018/07/25(Wed) 00:37:06

☆ Re: 命題 / らすかる

「三角形ABC≡三角形DEF」が合同ならば
「十分条件」になると思いますが、
もしかして「三角形ABC≡三角形DEF」は
合同という意味ではないのですか？

No.52137 - 2018/07/25(Wed) 00:43:13

☆ Re: 命題 / 蘭

私の予想は、十分条件ではあるが必要条件ではない、っていう答えやと思います。

ラスカルさんはどう思われますか？

No.52142 - 2018/07/25(Wed) 08:08:45

☆ Re: 命題 / らすかる

問題が「△ABC≡△DEFであることは、△ABC∽△DEFであるための____である」ならば
△ABC≡△DEF ⇒ △ABC∽△DEF が成り立ち逆は成り立ちませんので
「十分条件」が答えになると思います。

No.52143 - 2018/07/25(Wed) 10:29:35

☆ Re: 命題 / 蘭

ありがとうございます！

いつも、まじで感謝です！

No.52162 - 2018/07/25(Wed) 18:26:32

★ 数2 / カズ

169と170番を教えてください！

No.52129 - 2018/07/24(Tue) 21:57:48

☆ Re: 数2 / ヨッシー

まず、170 から

直線ｌの式は
　ｙ＝ｍｘ－ｍ＋４
と書けます。
　ｘ^2＝ｍｘ－ｍ＋４
の解をα、β（α＜β）とすると、
　Ｓ＝(β－α)^3/6
解と係数の関係より
　α＋β＝ｍ，αβ＝ｍ－４
　(β－α)^2＝(α＋β)^2－４αβ＝ｍ^2－４ｍ＋１６
よって、
　Ｓ＝(ｍ^2－４ｍ＋１６)^(3/2)／６
ｍで微分して、
　dS/dm＝(1/2)(ｍ－２)√(ｍ^2－４ｍ＋１６)
よって、Ｓはｍ＜２で単調減少、２＜ｍで単調増加し、ｍ＝２で極小となり、
　Ｓ0＝4√3

Ｓ＝８Ｓ0＝32√3 となるには、
　(ｍ^2－４ｍ＋１６)^(3/2)／６＝32√3
　(ｍ^2－４ｍ＋１６)^(3/2)＝192√3＝(4√3)^3
　ｍ^2－４ｍ＋１６＝48
　ｍ^2－４ｍ－３２＝０
　ｍ1＝－４，ｍ2＝８

No.52148 - 2018/07/25(Wed) 14:14:31

☆ Re: 数2 / X

169
問題の曲線の方程式を(A)とします。
(A)とx軸との交点のx座標について
2x^3+3x^2-12x=0
x(2x^2+3x-12)=0
∴x=0,(-3±√105)/4
ここで
(-3-√105)/4＜0＜(-3+√105)/4 (P)
であることと、
(A)のグラフがN字型 (Q)
になることに注意します。

さて(A)と問題の放物線の交点のx座標について
2x^3+3x^2-12x=ax^2
これより
x{2x^2-(a-3)x-12}=0
∴
x=0
又は
2x^2-(a-3)x-12=0 (B)
(B)の解をα、β(α＜β)とすると
解と係数の関係から
α+β=(a-3)/2 (C)
αβ=-6 (D)
であり(C)から
α＜0＜β (E)
ここでa＞0より問題の放物線は
下に凸となっていますので、
(P)(Q)(E)を考慮に入れると
面積に関する条件から
∫[α→0]{2x^3+3x^2-12x-ax^2}dx
=∫[0→β]{ax^2-(2x^3+3x^2-12x)}dx
これより
∫[α→β]{2x^3-(a-3)x^2-12x}dx=0
左辺の定積分を計算すると
(1/2)(β^4-α^4)-(1/3)(a-3)(β^3-α^3)-6(β^2-α^2)=0
(1/2)(β-α)(β+α)(β^2+α^2)-(1/3)(a-3)(β-α)(β^2+βα+α^2)
-6(β-α)(β+α)=0
(β-α){(1/2)(β+α)(β^2+α^2)-(1/3)(a-3)(β^2+βα+α^2)-6(β+α)}=0
ここで(E)よりβ-α≠0
∴(1/2)(β+α)(β^2+α^2)-(1/3)(a-3)(β^2+βα+α^2)-6(β+α)=0
(1/2)(α+β){(α+β)^2-2αβ}-(1/3)(a-3){(α+β)^2-αβ}-6(α+β)=0
これに(C)(D)を代入すると
(1/4)(a-3){(1/4)(a-3)^2+12}-(1/3)(a-3){(1/4)(a-3)^2+6}-3(a-3)=0
これより
(a-3){(1/4){(1/4)(a-3)^2+12}-(1/3){(1/4)(a-3)^2+6}-3}=0
(a-3){3{(1/4)(a-3)^2+12}-4{(1/4)(a-3)^2+6}-36}=0
(a-3){-(1/4)(a-3)^2-24}=0
(a-3){(a-3)^2+96}=0
∴a＞0より
a=3
となります。

No.52160 - 2018/07/25(Wed) 18:08:21

★ 高1。二次関数。 / 蘭

この問題です。

答えは、このようになっているのですが、

答えの、-1<3p+1<0という部分に納得いきません。

軸やったら、0<3p+1<1でしょ。

解説よろしくお願いします。

No.52120 - 2018/07/24(Tue) 21:16:25

☆ Re: 高1。二次関数。 / 蘭

答えです

No.52121 - 2018/07/24(Tue) 21:16:56

☆ Re: 高1。二次関数。 / らすかる

軸はx=-(3p+1)なので
0＜-(3p+1)＜1 から
-1＜3p+1＜0 です。

No.52124 - 2018/07/24(Tue) 21:25:48

☆ Re: 高1。二次関数。 / 蘭

わぁ。
ありがとうございます！
助かりました！

No.52130 - 2018/07/24(Tue) 22:28:11

★ 数学A 確率 / ボルト

大問5について、途中式と解答は合っていますでしょうか。間違っていたら、詳しい解説をよろしくお願いします。

No.52119 - 2018/07/24(Tue) 20:30:15

☆ Re: 数学A 確率 / らすかる

「A社から出た不良品である確率」の分母が間違っています。

No.52122 - 2018/07/24(Tue) 21:21:34

☆ Re: 数学A 確率 / ボルト

らすかるさん、ありがとうございました。
よく考えたのですが、なぜ分母が4400でないのかわかりません。教えてくれませんか？よろしくお願いします。

No.52126 - 2018/07/24(Tue) 21:52:40

☆ Re: 数学A 確率 / ボルト

すいません。もしかして、分母は9900ですか？よろしくお願いします。

No.52128 - 2018/07/24(Tue) 21:56:02

☆ Re: 数学A 確率 / らすかる

その通りです。

No.52133 - 2018/07/24(Tue) 23:32:23

☆ Re: 数学A 確率 / ボルト

らすかる様、すごく助かりました。どうもありがとうございます。

No.52135 - 2018/07/24(Tue) 23:41:47

★ 近似値 / 数学

IIの問題をよろしくお願いします

No.52112 - 2018/07/24(Tue) 17:15:57

☆ Re: 近似値 / 関数電卓

(1)
log(2＋x)＝log2(1＋x/2)
　＝log2＋log(1＋x/2)
　＝log2＋x/2－(1/2)(x/2)^2＋…
１次の近似式：log2＋x/2
２次の近似式：log2＋x/2－x^2/8

グラフで見ると、いずれも y＝log(2＋x) に点 (0,log2) で接しています。

No.52210 - 2018/07/26(Thu) 19:41:18

☆ Re: 近似値 / 関数電卓

(2)の解答
³√740＝{729(1＋11/729)}^1/3
　＝9(1＋(11/729)^1/3
　≒9(1＋(1/3)(11/729))
　＝9＋11/243
　＝9.04526…
　≒9.0453

No.52211 - 2018/07/26(Thu) 19:54:21

★ 等式の2乗 / 浪人

証明問題を解いている過程で、等式を2乗する変形は、両辺が0以上であるときに限りますか？

No.52109 - 2018/07/24(Tue) 16:21:14

☆ Re: 等式の2乗 / らすかる

そうとは限りません。
両辺が0以下のときも出来ますし、
符号がわからなくても場合によって2乗することはあります。

No.52110 - 2018/07/24(Tue) 16:29:56

☆ Re: 等式の2乗 / 浪人

変形前と変形後の式が同値である必要はないのですか？方程式を解く過程での等式を2乗する変形では同値でないといけないのですか？

No.52111 - 2018/07/24(Tue) 16:44:48

☆ Re: 等式の2乗 / らすかる

同値でないといけないということはありません。
同値でない場合は、後で出てきた解について
それぞれが条件を満たしているかどうかを
確認すればよいだけです。

No.52113 - 2018/07/24(Tue) 17:54:14

☆ Re: 等式の2乗 / 浪人

ありがとうございます。

No.52144 - 2018/07/25(Wed) 11:55:39

★ (No Subject) / たかし

二次関数で平方完成は出来ました。でも、グラフにすると頂点の位置が、xの正の位置にあるのはどうしてなんですか？
-（b/2a）なのに、この画像が誤ってるんですか？いまいちわかりません。

No.52104 - 2018/07/24(Tue) 14:31:31

☆ Re: / ヨッシー

下に凸のグラフなので、ａ＞０は確実ですが、
ｂは正の数とは限らないので。

No.52106 - 2018/07/24(Tue) 14:44:44

☆ Re: / たかし

では、図のように頂点が必ず赤い点ではないということですか？

No.52107 - 2018/07/24(Tue) 15:14:07

☆ Re: / ヨッシー

上のグラフなら、頂点は赤い点であり、それ以外に頂点はありません。

たとえば、
　ｙ＝ｘ^2－２ｘ－３
のグラフを描いてみてはどうでしょう？
もちろん、頂点の座標も求めます。

No.52108 - 2018/07/24(Tue) 15:40:42

★ (No Subject) / j

※ベクトルの記号は省略します。
|a|=2,|b|=3,aとbのなす角をπ/3とするとき
(1)(3a+b)とbのなす角を求めよ
という問題が分かりません…

No.52100 - 2018/07/24(Tue) 10:31:11

☆ Re: / ヨッシー

まず、
　ａ・ａ＝|ａ|^2＝4
　ｂ・ｂ＝|ｂ|^2＝9
　ａ・ｂ＝|ａ||ｂ|cos(π/3)＝3
を求めておきます。

求める角をθとすると、
　(3ａ＋ｂ)・ｂ＝|3ａ＋ｂ|×|ｂ|cosθ
　＝3ａ・ｂ＋ｂ・ｂ　・・・(i)
　|3ａ＋ｂ|^2＝(3ａ＋ｂ)・(3ａ＋ｂ)
　　＝9|ａ|^2＋|ｂ|^2＋6ａ・ｂ
　　＝9・4＋9＋6・3＝63
よって、
　|3ａ＋ｂ|＝3√7

(i) において、
　|3ａ＋ｂ|×|ｂ|cosθ＝3√7×3cosθ＝9√7cosθ
　3ａ・ｂ＋ｂ・ｂ＝3・3＋3・3＝18
よって、
　cosθ＝18/9√7＝2√7/7
よって求める角は　Cos^-1(2√7/7)

問題に誤植がなければ、こういう答え方になります。

No.52101 - 2018/07/24(Tue) 10:54:23

★ (No Subject) / 物理苦手

EX2の解答を教えてください

No.52099 - 2018/07/24(Tue) 09:49:53

☆ Re: / 関数電卓

棒には、図の４つの力がはたらいています。

水平方向の力のつり合いより、 f＝R …?@
鉛直方向の力のつり合いより、 N＝mg …?A
A 点のまわりの力のモーメントのつり合いより、 Rlsinθ＝mg(l/2)cosθ　∴ R＝mg/(2tanθ) …?B

?@?Bより、f＝mg/(2tanθ)

棒がすべり出す直前 θ＝θ₀ のとき f＝μN＝μmg がなりたつから、

μmg＝mg/(2tanθ₀)　∴ tanθ₀＝1/(2μ)
　

No.52117 - 2018/07/24(Tue) 20:05:50

☆ Re: / 関数電卓

※ ヨッシーさん
他の方が書き込んだ図は拡大できるのに、私の図はできません。
何か裏技があるのですか？？？

No.52118 - 2018/07/24(Tue) 20:10:23

☆ Re: / ヨッシー

図が、ある大きさを超えていると、縮小表示されて、クリックすると元の大きさで表示されます。
関数電卓さんの場合は、元の図が、ある大きさ以下だったのではないかと思われます。

No.52127 - 2018/07/24(Tue) 21:54:48

☆ Re: / 関数電卓

有り難うございます。
無用にスペースを消費しては失礼かと思い、小さめに原図を作っていました。
これからは、も少し大きめに作ってみます。

No.52132 - 2018/07/24(Tue) 22:53:01

★ e^(xy)と(e^x+e^y)のxの微分が理解できない / rinrin

e^(xy)と(e^x+e^y)のxの微分が理解できないです。画像の問題の青の波線で引いた微分が理解できません。

なぜ、e^(xy)のxの微分はy・e^(xy)になるのでしょうか？
なぜ、(e^x+e^y)のxの微分はe^x になるのでしょうか？

No.52088 - 2018/07/24(Tue) 00:14:51

☆ Re: e^(xy)と(e^x+e^y)のxの微分が理解できない / rinrin

画像が回転してしまったのでもう一度投稿します

No.52089 - 2018/07/24(Tue) 00:16:30

☆ Re: e^(xy)と(e^x+e^y)のxの微分が理解できない / X

微分ではなくてxに関する「偏微分」です。
もう一度、教科書の偏微分の項目を
復習しましょう。

No.52096 - 2018/07/24(Tue) 06:20:54

☆ Re: e^(xy)と(e^x+e^y)のxの微分が理解できない / rinrin

ありがとうございます。微分の中に偏微分も含まれると思っていましたが、それは違うのでしょうか？微分と偏微分は全く別物と考えたほうが良いのでしょうか？

No.52102 - 2018/07/24(Tue) 13:04:46

★ 最小値の問題 / RED

このような解答はよいのでしょうか

No.52086 - 2018/07/24(Tue) 00:05:02

☆ Re: 最小値の問題 / らすかる

k^2-1＜1のときに(k^2-1)(a+b)≧2√abが成り立たないような
a,bが存在する、ということを示していないので、
ダメだと思います。

No.52090 - 2018/07/24(Tue) 00:17:46

☆ Re: 最小値の問題 / RED

k^2-1＜1のときに(k^2-1)(a+b)≧2√abが成り立たないようなa,bが存在することを述べる際に具体的にどのようなことをすればよいのか教えていただけないでしょうか。

No.52092 - 2018/07/24(Tue) 00:28:30

☆ Re: 最小値の問題 / らすかる

例えば（途中から）
a＞0,b＞0なので、相加相乗平均により
a+b≧2√(ab) から a+b-2√(ab)≧0
よってk^2-1≧1すなわちk≧√2（∵k＞0）であれば
(右辺)^2-(左辺)^2=(k^2-1)(a+b)-2√(ab)≧(a+b)-2√(ab)≧0から
(右辺)≧(左辺)（∵両辺は正）となり、与式は常に成り立つ。

k＜√2のとき、a=bとすると
(左辺)-(右辺)
=√a+√b-k√(a+b)
=2√a-k√(2a)
=2√a-(√2)k√a
=(√2)(√2-k)√a
＞0となり与式は成り立たない。
従って条件を満たすkの最小値は√2。

No.52093 - 2018/07/24(Tue) 01:21:54

☆ Re: 最小値の問題 / RED

大変よくわかりました。本当にありがとうございました。
また質問させていただくことがあるかと思いますがその際はよろしくお願いいたします。

No.52094 - 2018/07/24(Tue) 02:00:22

☆ Re: 最小値の問題 / らすかる

後になって気づきましたが、
少なくともk≧√2でなければならないことを具体値を使って先に示した方が
解答が簡潔になりますね。

a=b=1のとき(右辺)-(左辺)=(√2)k-2なので、
(右辺)≧(左辺)が常に成り立つためには
少なくとも(√2)k-2≧0すなわちk≧√2でなければならない。
k=√2のとき、
(右辺)^2-(左辺)^2=2(a+b)-(a+b+2√ab)=a+b-2√ab=(√a-√b)^2≧0
と(右辺)＞0,(左辺)＞0から(右辺)≧(左辺)が常に成り立つ。
従ってkの最小値は√2。

No.52095 - 2018/07/24(Tue) 02:58:53

★ (x^2+1)^(-1)・sin^(-1)y が-(x^2+1)^(-2)・2x・sin^(-1)y に微分される理由がわからない / rinrin

(x^2+1)^(-1)・sin^(-1)y が-(x^2+1)^(-2)・2x・sin^(-1)y に微分される理由がわからないです。

画像の青線の部分で、なぜ、(x^2+1)^(-1)・sin^(-1)y が-(x^2+1)^(-2)・2x・sin^(-1)y に微分されるのでしょうか？

No.52084 - 2018/07/23(Mon) 23:09:54

☆ Re: (x^2+1)^(-1)・sin^(-1)y が-(x^2+1)^(-2)・2x・sin^(-1)y に微分される理由がわからない / あ

偏微分やぞ

No.52085 - 2018/07/23(Mon) 23:21:35

★ 数A 確率 / ボルト

大問4の(1)の問題について、答えは16／81になっていました。僕の式のどこがどのように間違っているのでしょうか。よろしくお願いします。

No.52081 - 2018/07/23(Mon) 21:52:29

☆ Re: 数A 確率 / GandB

> 大問4の(1)の問題について、答えは16／81になっていました。

　3勝2敗でA の優勝が決まるということは、第5試合目に優勝が決まるということである。○を勝ち、●を負けとするならば、4 試合までのAの勝敗パターンは
　　○○●●
であるから、この場合の数は
　　4C2 = 6.
　よって求める確率は
　　4C2*(2/3)^3*(1/3)^2
= 6(8/27)*(1/9)
= 16/81.

No.52082 - 2018/07/23(Mon) 22:21:49

☆ Re: 数A 確率 / ボルト

GandBさんありがとうございました。
では、僕の式だとなぜ答えが出ないのでしょうか。よろしくお願いします。

No.52083 - 2018/07/23(Mon) 22:29:06

☆ Re: 数A 確率 / らすかる

その式だと
(Aが勝ち)(Aが勝ち)(Aが勝ち)(Bが勝ち)(Bが勝ち)
のようなありえない結果も含まれていますので、誤りです。

No.52091 - 2018/07/24(Tue) 00:20:25

☆ Re: 数A 確率 / ボルト

GandBさん、丁寧な説明をありがとうございました。
らすかるさん、自分の間違いを気付くことができました。
お二人とも本当にありがとうございました。

No.52097 - 2018/07/24(Tue) 06:51:16

★ 整数 / 仁美

自然数nに対してn以下の自然数で、nとの最大公約数が1であるものの個数をf(n)で表す。

n≧3のときf(n)は偶数であることを示せ。

関係あるかわかりませんが、一つ前の設問で、mがn未満の自然数で、mとnとの最大公約数が1であるとき、n-mとnとの最大公約数も1であることをしめしています。

よろしくお願いします。

No.52078 - 2018/07/23(Mon) 19:13:29

☆ Re: 整数 / らすかる

関係大ありです。
mが（nとの最大公約数が1という）条件に該当するときに
n-mも条件に該当するということは、
条件に該当する数が2個ずつのペアに出来るということです。
もしペアに出来ないとしたらm=n-mの場合ですが、
このとき2m=nなので最大公約数がmとなり、n≧3ならばm＞1なので
n≧3かつ最大公約数が1かつm=n-mということはあり得ません。
従って必ず2個ずつのペアに出来ますので
条件に該当する自然数は偶数個です。

No.52080 - 2018/07/23(Mon) 20:13:45

☆ Re: 整数 / 仁美

ありがとうございました。

No.52247 - 2018/07/27(Fri) 16:00:47

★ (No Subject) / らーめん

どなたか、不定積分をよろしくお願いします。

∫(4x-1)/(2x+1)dx

自分が解くと、回答通りの答えになりません。どなたか、よろしくお願いします。

No.52074 - 2018/07/23(Mon) 16:17:56

☆ Re: / ヨッシー

(4x-1)/(2x+1)＝2－3/(2x+1)
より
　(与式)＝2x－(3/2)log|2x+1|＋Ｃ
になりませんか？

No.52075 - 2018/07/23(Mon) 16:29:49

☆ Re: / らーめん

ヨッシーさん
さっそくのかいとうありがとうございます。-3log(2x+1)ではないのでしょうか？なぜ3/2になるのですか？

No.52076 - 2018/07/23(Mon) 16:43:17

☆ Re: / GandB

> -3log(2x+1)ではないのでしょうか？なぜ3/2になるのですか？

　t = 2x+1 と置くと dt/dx = 2. 　dx = (1/2)dt.

　　　　3　　　　　3　　　1
　　∫───dx = ∫───･──dt = (3/2)log|t| + C.
　　　 2x+1　　　　t　　　2

No.52077 - 2018/07/23(Mon) 17:17:31

☆ Re: / らすかる

> -3log(2x+1)ではないのでしょうか？なぜ3/2になるのですか？

-3log(2x+1)を微分してみれば正しくないことがわかると思います。

No.52079 - 2018/07/23(Mon) 20:06:21