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★ ご回答よろしくお願いします / は
この問題を教えてください。よろしくお願いします。
No.85451 - 2023/05/23(Tue) 10:51:34
☆ Re: ご回答よろしくお願いします / ast
もしかしてヒントの趣旨は ∫_[1,∞) |x^(-k)|^2 dx < Σ_[n=1,…] |n^(-k)|^2 < ∫_[1,∞) |(x+1)^(-k)|^2 dx のような評価を利用するということか?
# この不等式自体は, 高さ 1/n^(2k), 幅 1 の短冊の可算和と適当な函数のグラフとで面積を比較したもの
# として得たもので, たしかに区分求積あたりの話でよく見る論法ではあるが, しかし,
# これを「区分求積法を用い」と表現するかといったらさすがに不自然すぎる (少なくとも私はすまい) がなぁ……
## (個人的には短冊の幅を 0 にする極限で積分と置き換わるのが区分求積法だと思っているので.)
No.85452 - 2023/05/23(Tue) 16:19:53
★ (No Subject) / めろん
この問題の解説をお願い致します。
No.85446 - 2023/05/22(Mon) 21:21:10
☆ Re: / ヨッシー
(i)
中央の小三角形を赤で塗る場合、
上の小三角形は青、黄の２通り。
左下、右下もそれぞれ２通りで、合計
　２×２×２＝８（通り）
そのうち２通り（中央以外の３個を青で塗る、黄で塗る）が２色で塗る場合。
中央が青、黄の場合も同数ずつあるので、
　８×３＝２４（通り）　・・・ソタ
　（８−２）×３＝１８（通り）・・・チツ

(ii)
ＰとＱが同じ色の場合
例えば両方赤の場合
Ｐの左下とその下の２個の小三角形の塗り方は青、黄か黄、青の２通り
Ｐの右下とその下の２個の小三角形の塗り方も青、黄か黄、青の２通り
一番上の小三角形はすぐ下の色以外の２通り
左下、右下の小三角形も同様に２通り
以上より、２×２×２×２×２＝３２（通り）
ＰとＱを青、黄で塗る場合も、３２通りなので、合計
　３２×３＝９６（通り）・・・テト

ＰとＱが異なる色の場合
例えば、Ｐを赤、Ｑを青で塗る場合
Ｐの左下とその下の２個の小三角形の塗り方は（青、黄）（青、赤）（黄、赤）の３通り
Ｐの右下とその下の２個の小三角形の塗り方も３通り
一番上の小三角形はすぐ下の色以外の２通り
左下、右下の小三角形も同様に２通り
以上より　３×３×２×２×２＝７２（通り）
ＰとＱの色の使い方は　３×２＝６（通り）
以上より
　７２×６＝４３２（通り）　・・・ナニヌ
No.85450 - 2023/05/23(Tue) 09:00:30
★ (No Subject) / SEIGOを許すな
定数a<1に対し、放物線C1:y=2x^2+1,C2:y=-x^2+aを考える。
(1)C1,C2の両方に接する直線の方程式を求めよ
(2)C1,C2と(1)の2本の直線で囲まれた図形の面積をそれぞれS1,S2とする。S2/S1を求めよ。

解説よろしくお願いします。
No.85443 - 2023/05/22(Mon) 18:35:32
★ (No Subject) / M.Y.
この問題の(2)なのですが、解説を読むと2行目でいきなり自分で不等式を作って、それを使って証明しています。(2)で示す不等式のうち、右側は(1)を使えば良いので容易ですが、左側を示すために必要な不等式をどういうふうに考えれば自分で作れるのか教えていただきたいです。0から1で積分して(e-1)/eになる関数を見つけられませんでした。
No.85441 - 2023/05/22(Mon) 18:34:24
☆ Re: / M.Y.
解説はこちらでございます
No.85442 - 2023/05/22(Mon) 18:35:11
☆ Re: / IT
M.Y.さんと同感です。直近でe^(-x) の定積分が出てきてなければ、試行錯誤の範囲内かもしれませんが直ぐには思いつかないと思います。
No.85454 - 2023/05/23(Tue) 19:09:55
★ (No Subject) / M.Y.
この問題の(2)なのですが、自分は[1]と[2]の場合分けをせず[2]だけ計算して回答してしまいました。この場合分けがなぜ必要なのか、そもそもどういう意味なのかが解答を見てもわからないので教えていただきたいです。
No.85439 - 2023/05/22(Mon) 18:21:35
☆ Re: / M.Y.
解説です
No.85440 - 2023/05/22(Mon) 18:23:11
☆ Re: / IT
問題の条件に「0≦t≦eとする」とありますから、
1＜t≦eのときだけではなく、当然、0≦t≦1のときも考えなくてはいけません。
No.85444 - 2023/05/22(Mon) 20:12:13
☆ Re: / M.Y.
なぜ1<t≦eと0≦t≦1で場合分けをしているのかがわかりません。
No.85445 - 2023/05/22(Mon) 21:17:17
☆ Re: / IT
y=e^x のグラフと　y=t^2 のグラフを考えてみてください。
例えばt=1/2 のとき、２つのグラフの位置関係はどうなりますか？
そのとき|e^x-t^2| はどうなりますか？
No.85447 - 2023/05/22(Mon) 21:30:31
☆ Re: / M.Y.
0≦x≦2では常にe^xの方が大きいですね。e^x-t^2≧0だから|e^x-t^2|＝e^x-t^2。ということですか？
No.85448 - 2023/05/22(Mon) 23:42:15
☆ Re: / IT
そうですね、その上で、(2)にまとめられないことを確認してください。
No.85449 - 2023/05/23(Tue) 08:13:41
☆ Re: / M.Y.
理解しました。ありがとうございました。
No.85453 - 2023/05/23(Tue) 18:29:41
★ (No Subject) / 高二
この問題の解き方を教えてください。
この問題が何を学べばいいのか、問題の設定や背景について教えていただけるとありがたいです。
No.85438 - 2023/05/22(Mon) 15:58:25
★ (No Subject) / 榊
こちらの問題解いてみたのですが、合っていますでしょうか？
また鞍点というのはなんでしょうか。
教えていただきたいです。
よろしくお願い致します！
No.85437 - 2023/05/22(Mon) 00:00:08
★ 実定積分の計算 / 山
下の2つの積分の計算過程を教えてください。
No.85435 - 2023/05/21(Sun) 18:06:48
☆ Re: 実定積分の計算 / GandB
　どちらも留数定理を使う有名な問題なので

[1]∫[-∞→∞]cos(x)/(x^2+1) dx
[2]∫[0→∞]xsin(x)/(x^2+1) dx

で検索すれば解答がすぐ出てくる。(2)は[2]の xsin(x) が xsin(πx) になっただけ。
No.85436 - 2023/05/21(Sun) 20:39:59
★ お願いします! / 榊
この写真の重積分の問題を解いているのですが、
途中まで解いて分からなくなってしまいました。

途中まであっていますか？
もしよろしければここから教えて欲しいです
No.85432 - 2023/05/20(Sat) 18:17:50
☆ Re: お願いします! / X
計算に問題はありません。
只、最後の行で部分積分を使うよりも、
最後から一行上の行から
=(31/5)[-(1/4)(cosθ)^4][0→π/2]
=…
とした方が簡単です。
(部分積分でも計算できますが、多少煩雑です。
もし、部分積分での方針が知りたいのであれば
その旨をアップして下さい。)
No.85433 - 2023/05/20(Sat) 19:32:19
☆ Re: お願いします! / 榊
ありがとうございます！！！
できました！！！！！
No.85434 - 2023/05/20(Sat) 21:16:39
★ 平方数 / カチカチ山のうさぎはたぬきにとても酷いことをしたよね
整数n,x,yが
|x^2-(n^2+1)y^2|<2n
を満たしているとき、
|x^2-(n^2+1)y^2|
は平方数であることの
証明を教えて下さい。
No.85431 - 2023/05/20(Sat) 05:49:49
★ 複素解析 / マゼンタ
e^zが正則であることを利用して、e^iz、e^-izが正則であることを言いなさい。(コーシー・リーマンの方程式は使わないこと)

ちなみに、eはネイピア数、zは0ではない複素数、iは虚数単位です。よろしくお願いします。
No.85429 - 2023/05/19(Fri) 15:33:04
☆ Re: 複素解析 / X
以下、hは複素数とします。

f(z)=e^z
と置くと、条件より
f'(z)=lim[h→0]{e^(z+h)-e^z}/h
=lim[h→0]{(e^h-1)/h}e^z
∴lim[h→0](e^h-1)/h=f'(0) (A)

∴lim[h→0]{e^{i(z+h)}-e^(iz)}/h
=lim[h→0]{e^(ih)-1}/h}{e^(iz)}
=lim[h→0]{e^(ih)-1}/(ih)}{ie^(iz)}
=f'(0)ie^(iz) (∵)(A)より
となるので、導関数の定義によりe^(iz)は正則。
同様の計算によりe^(-iz)も正則。
No.85430 - 2023/05/19(Fri) 18:57:33
★ (No Subject) / 初夏
120桁の自然数で各桁の和が60となるものは
幾つあるでしょうか。
この問題の解法を教えてください。
宜しくお願いします。
No.85426 - 2023/05/18(Thu) 11:44:49
☆ Re: / らすかる
(求める個数)
=(先頭桁が0であるものを含めた個数)-(先頭桁が0であるものの個数)
=(60を120桁に割り振る場合の数)-(60を119桁に割り振る場合の数)

最初に「60を120桁に割り振る場合の数」を求めます。
各桁が10以上でよければ120H60通り
ここから10以上の桁を含むものを除外します。
10以上の桁が6個あるものは120C6通り
10以上の桁が5個以上のものは120C5・120H10通り
これには10以上の桁が6個あるものが6重複で含まれているので
10以上の桁が5個であるものは120C5・120H10-120C6×6通り
10以上の桁が4個以上のものは120C4・120H20通り
これには10以上の桁が5個あるものが5重複で含まれ、
6個あるものが6C2重複で含まれているので、
10以上の桁が4個であるものは
120C4・120H20-(120C5・120H10-120C6×6)×5-120C6×6C2
=120C4・120H20-120C5・120H10×5+120C6×15通り
同様に
10以上の桁が3個であるものは
120C3・120H30-(120C4・120H20-120C5・120H10×5+120C6×15)×4
-(120C5・120H10-120C6×6)×5C2-120C6×6C3
=120C3・120H30-120C4・120H20×4+120C5・120H10×10-120C6×20通り
10以上の桁が2個であるものは
120C2・120H40-(120C3・120H30-120C4・120H20×4+120C5・120H10×10-120C6×20)×3
-(120C4・120H20-120C5・120H10×5+120C6×15)×4C2
-(120C5・120H10-120C6×6)×5C3-120C6×6C4
=120C2・120H40-120C3・120H30×3+120C4・120H20×6-120C5・120H10×10+120C6×15通り
10以上の桁が1個であるものは
120C1・120H50
-(120C2・120H40-120C3・120H30×3+120C4・120H20×6-120C5・120H10×10+120C6×15)×2
-(120C3・120H30-120C4・120H20×4+120C5・120H10×10-120C6×20)×3C2
-(120C4・120H20-120C5・120H10×5+120C6×15)×4C3
-(120C5・120H10-120C6×6)×5C4-120C6×6C5
=120C1・120H50-120C2・120H40×2+120C3・120H30×3
-120C4・120H20×4+120C5・120H10×5-120C6×6
よって60を120桁に割り振る場合の数は
120H60-(120C1・120H50-120C2・120H40×2+120C3・120H30×3
-120C4・120H20×4+120C5・120H10×5-120C6×6)
-(120C2・120H40-120C3・120H30×3+120C4・120H20×6-120C5・120H10×10+120C6×15)
-(120C3・120H30-120C4・120H20×4+120C5・120H10×10-120C6×20)
-(120C4・120H20-120C5・120H10×5+120C6×15)
-(120C5・120H10-120C6×6)-(120C6)
=120H60-120C1・120H50+120C2・120H40-120C3・120H30
+120C4・120H20-120C5・120H10+120C6

「60を119桁に割り振る場合の数」も全く同様に
119H60-119C1・119H50+119C2・119H40-119C3・119H30
+119C4・119H20-119C5・119H10+119C6
となるので、求める場合の数は
(120H60-120C1・120H50+120C2・120H40-120C3・120H30
+120C4・120H20-120C5・120H10+120C6)
-(119H60-119C1・119H50+119C2・119H40-119C3・119H30
+119C4・119H20-119C5・119H10+119C6)
=805598322158225912529975677319006202392829957013通り
No.85427 - 2023/05/18(Thu) 13:25:58
☆ Re: / 初夏
詳しい解説に感謝します。
大変わかりやすかったです。
ありがとうございました。
No.85428 - 2023/05/18(Thu) 14:33:17
★ お願いします🙏🏻 / かの
代入ですらやり方と別のやり方を知りたいです。どちらかな片方でも構いません。お願いします🙏🙇
No.85423 - 2023/05/16(Tue) 09:43:48
☆ Re: お願いします🙏🏻 / X
これは、添付写真向かって右上の座標平面の
縦軸がlogXになっていますね。
ということでヒントを。

X=Ae^(Bt)
より
logX=Bt+logA
これは添付写真向かって右上の座標平面上の
点から得られる直線の
傾きがB
縦軸側の切片がlogA
であることを示しています。
No.85425 - 2023/05/17(Wed) 06:33:36
★ 微分積分学　極限値 / あえお
lim(x→kπ) x(x -kπ)/sinx (kは実数全体)
これについて解説して欲しいです
No.85422 - 2023/05/16(Tue) 02:20:58
☆ Re: 微分積分学　極限値 / らすかる
kが整数でないとき
lim[x→kπ]x/sinx=kπ/sin(kπ)、lim[x→kπ]x-kπ=0 なので
lim[x→kπ]x(x-kπ)/sinx=kπ/sin(kπ)・0=0

kが偶数のとき
x-kπ=tとおくと
lim[x→kπ]x(x-kπ)/sinx
=lim[t→0](t+kπ)t/sin(t+kπ)
=lim[t→0](t+kπ)t/sint
=kπ

kが奇数のとき
x-kπ=tとおくと
lim[x→kπ]x(x-kπ)/sinx
=lim[t→0](t+kπ)t/sin(t+kπ)
=lim[t→0](t+kπ)t/(-sint)
=-kπ
No.85424 - 2023/05/16(Tue) 11:30:05
★ 微分方程式 / ひろ
dx/dt＝x-2y +e^t
dy/dt＝-3x +2y+1
初期値[1,0] [x,y] この連立した微分方程式をラプラス変換や逆行列を使って解きたいのですが上手くいきません。解答を途中式含めて教えてください
とりあえず、ラプラス変換し、初期条件を代入した上で、行列での連立方程式な形をした後、逆行列を左からかけて、逆ラプラス変換しようとしても上手くいきませんでした
No.85419 - 2023/05/15(Mon) 18:19:41
☆ Re: 微分方程式 / X
>>初期値[1,0] [x,y]
を
t=0のとき,[x,y]=[1,0]
と解釈して方針を。

x.yのラプラス変換をX,Yとすると、問題の連立方程式のラプラス変換は
sX-1=X-2Y+1/(s-1) (A)
sY=-3X+2Y+1/s (B)
整理をして
(s-1)X+2Y=1+1/(s-1) (A)'
3X+(s-2)Y=1/s (B)'
これにクラーメルの公式を適用(逆行列を使っても可)し、整理をすると
こちらの計算では
X=(s^3-2s^2-2s+1)/{s(s-1)(s+1)(s-4)} (C)
Y=(-2s^2-2s+1)/{s(s-1)(s+1)(s-4)} (D)
となりましたが、ここまではよろしいですか？

ここからですが、(C)(D)を部分分数分解した上で逆ラプラス変換します。
(分母の因数が全て一次式で、かつべきが全て1なので
部分分数分解はそこまで煩雑ではありません。)
No.85420 - 2023/05/15(Mon) 18:35:04
★ リカッチの微分方程式 / 田中
du/dt=(-2/(t^2))+x^2の解のひとつがx=1/tの時、別の解xを求めよという問題なのですが、早い段階で分からなくなっていて手詰まりです。どなたか解答例を教えてもらえないでしょうか。
No.85414 - 2023/05/14(Sun) 21:55:30
☆ Re: リカッチの微分方程式 / 田中
すみません、最初はdu/dtではなくdx/dtです。
No.85415 - 2023/05/14(Sun) 22:14:12
☆ Re: リカッチの微分方程式 / ポテトフライ
> 早い段階で分からなくなっていて手詰まりです。

一体どこまでいったのでしょうか？

私が計算してみたところ、一般解をx(t)=1/t+y(t)とすればyに関して
dy/dt=2y/t+y^2
という式を得ました。あとはベルヌーイの微分方程式の解法をもちいてやれば良いと思います。
No.85418 - 2023/05/15(Mon) 15:28:02
★ (No Subject) / 吉田
二階対称導関数について質問です。
二階微分可能な関数f(x)について
lim[h->0] [1/h^2 * (f(x+h) + f(x-h) - 2f(x))] で定義される極限が二階微分f''(x)に一致するらしいですが、その証明で
与式 =
lim[h->0] 1/h * (1/h * (f(x+h) - f(x)) - 1/h * (f(x) - f(x - h))) …[1]
= Lim[h->0] 1/h * (lim[h->0] (1/h * (f(x+h) - f(x)) -　1/h * (f(x) - f(x-h)))) …[2]
= Lim[h->0] 1/h * (lim[h->0] 1/h * (f(x+h) - f(x)) - lim[h->0] 1/h * (f(x) - f(x-h)))
= Lim[h->0] 1/h * (h'(x) - h(x-h))
= f''(x)

この[1]から[2]の式変形がなぜ可能なのか分かりません。
lim[h->0]はなぜこのように二回に分けて計算することができるのでしょうか。また、どのような極限操作ですか？

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%9A%8E%E5%B0%8E%E9%96%A2%E6%95%B0

http://k-kyogoku2.com/cn134/corner102/pg140.html
問3の解説です
No.85409 - 2023/05/14(Sun) 03:33:45
☆ Re: / IT
吉田さんの疑問はもっともで
http://k-kyogoku2.com/cn134/corner102/pg140.html
には「若干形式的な方法・・」と断り書きがありますが、極限を扱う上では、乱暴な計算（採点基準によっては０点）だと思います。

正しくは、平均値の定理などを使って示す必要があります。
下記など参考にして下さい。
https://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/23/23-3.pdf
No.85411 - 2023/05/14(Sun) 09:18:09
☆ Re: / ポテトフライ
> 二階微分可能な関数f(x)について
> lim[h->0] [1/h^2 * (f(x+h) + f(x-h) - 2f(x))]
は「中心差分」とも呼ばれるもので、この極限値がf''(x)になることは有名です。

私の知っている証明だとテイラーの定理を利用するので高校範囲外ですが簡単に述べることにします。


テイラーの定理より
f(x±h)=f(x)±h*f'(x)+h^2/2*f''(x)+O(h^3)
なので
f(x+h)+f(x-h)=2f(x)+h^2f''(x)+O(h^3)
これをf''(x)について整理してh→0とすればよい。
O(h^3)はランダウ記号でh→0でO(h^3)→0です。


> lim[h->0]はなぜこのように二回に分けて計算することができるのでしょうか。

できません。かなり粗雑な計算だと思います。
今回は「偶然うまくいく」タイプではないかと思います。
No.85412 - 2023/05/14(Sun) 11:51:26
☆ Re: / 吉田
もし大学入試で出題された場合、どのように記述するのが正解でしょうか。
Calc BCでTaylor展開は習いましたが、日本の数3範囲で利用できますか？
No.85416 - 2023/05/15(Mon) 04:52:39
☆ Re: / ポテトフライ
S(a)=(a^2/2-1)sina+acosa
なので
{S(a+h)+S(a-h)-2S(a)}/h^2
を純粋に計算して極限を求めるのが良いと思います。
No.85417 - 2023/05/15(Mon) 14:53:39
☆ Re: / IT
ポテトフライさんのおっしゃる通りだと思います。
少し工夫して地道に計算すると

S(a±h)=(a^2/2±ah+h^2/2-1)(sinacosh±cosasinh) + (a±h)(cosacosh干sinasinh) なので

S(a+h)+S(a-h)=(a^2+h^2-2)sinacosh+2ahcosasinh+2acosacosh-2hsinasinh

S(a+h)+S(a-h)-2S(a)=(a^2)sina(cosh-1)+(h^2)sinacosh-2sina(cosh-1)+2ahcosasinh +2acosa(cosh-1)-2hsinasinh

lim(h→0)(sinh)/h=1,lim(h→0)(cosh-1)/h^2=-1/2を使うと

lim(h→0){S(a+h)+S(a-h)-2S(a)}/h^2=(-1/2)(a^2)sina+sina+sina+2acosa-acosa-2sina

=(-1/2)(a^2)sina+acosa

検算に二階微分を使うのはありかなと思います。
No.85421 - 2023/05/15(Mon) 21:06:45
★ 高校数学1Aの問題についてです。 / ミッキー
不等式3x+a<4x<x+12 を満たす整数xがちょうど2個存在するようにaの範囲を求めよ。

私の回答はxが2と3のとき、aは1以上2以下になりました。xがちょうど2個存在すると言う言葉に混乱しました。どうでしょうか？宜しくお願い致します。
No.85404 - 2023/05/13(Sat) 17:38:59
☆ Re: 高校数学1Aの問題についてです。 / らすかる
4x＜x+12を解くとx＜4なので
条件を満たす整数xがちょうど2個存在するためには
その整数は2と3でなければなりません。
3x+a＜4xを解くとx＞aですから、
xが2と3になるためには
aは「1以上2未満」でなければなりません。
もしa=2とするとx＞aはx＞2という意味になってx=2が含まれなくなってしまいます。
No.85406 - 2023/05/13(Sat) 18:27:59
☆ Re: 高校数学1Aの問題についてです。 / ミッキー
迅速な解答、有難うございました。続きです。
この問題の答えは次の場合もありますね？x=-1と0の時は、a<-1 になる。如何でしょうか？
No.85407 - 2023/05/13(Sat) 21:49:12
☆ Re: 高校数学1Aの問題についてです。 / らすかる
ありません。x=-1,0という解になることはあり得ません。
上に書いたように
3x+a＜4x＜x+12を解くとa＜x＜4ですから、
解がちょうど2つであるためには解はx=2,3でなければならないことがわかります。
aが1より小さい場合は、少なくともx=1,2,3が解になり
「ちょうど2個」という条件を満たしません。
No.85408 - 2023/05/14(Sun) 03:20:58
☆ Re: 高校数学1Aの問題についてです。 / ミッキー
そうでした。有難うございました。
No.85410 - 2023/05/14(Sun) 08:53:42
★ 自然数 / 大西
nを自然数とするとき、(4n)!n!/((2n)!(3n)!)が自然数となるようなnを全て求めよ。

という問題で、
n=1,3,4,7,10,24が自然数になりそうなのですが、それ以外の値の時に自然数にならないことを示すことができません。

求め方を教えてください。
No.85400 - 2023/05/13(Sat) 01:09:46
☆ Re: 自然数 / らすかる
全く証明にはなっていない回答です。
また、この回答程度の考察は既にされているかも知れません。
まず与式を変形すると
{(4n)(4n-1)(4n-2)…(3n+1)}/{(2n)(2n-1)(2n-2)…(n+1)}
となりますね。
nに対し、もし4n/3＜p＜(3n+1)/2を満たす素数pが存在すれば
n+1＜p＜2n, 2p＜3n+1, 3p＞4nですから
分母はpで割り切れ、分子はpで割り切れないことになり、
与式は自然数になりません。
実際、n=2のときp=3、n=5のときp=7、n=8のときp=11、n=9のときp=13、
n=12のときp=17、n=13〜14のときp=19、n=16〜17のときp=23、
n=20〜21のときp=29、n=21〜23のときp=31が該当しますので、
少なくともn=2,5,8,9,12,13,14,16,17,20,21,22,23では
上記の理由で自然数にならないことがわかります。
n≦24で残りはn=1,3,4,6,7,10,11,15,18,19,24となりますが、
与式の値は
n=6のとき437/3、n=11のとき65231/6、n=15のとき1028783/3、
n=18のとき68481772/15、n=19のとき2499584678/231
で自然数になりませんので、結果として1,3,4,7,10,24が残ることになります。
nに対するpでは状況がわかりにくいので、各pに対して4n/3＜p＜(3n+1)/2を
満たすようなnの範囲を考えることにすると
p=2: 解なし
p=3: n=2
p=5: 解なし
p=7: n=5
p=11: n=8
p=13: n=9
p=17: n=12
p=19: n=13〜14
p=23: n=16〜17
p=29: n=20〜21
p=31: n=21〜23
p=37: n=25〜27
p=41: n=28〜30
p=43: n=29〜32
p=47: n=32〜35
p=53: n=36〜39
p=59: n=40〜44
p=61: n=41〜45
p=67: n=45〜50
p=71: n=48〜53
p=73: n=49〜54
p=79: n=53〜59
p=83: n=56〜62
p=89: n=60〜66
p=97: n=65〜72
のようになります。
n≦24ではこの理屈でカバーされていないnが多数
(1,3,4,6,7,10,11,15,18,19,24)存在しますが、
25≦n≦72はすべてカバーされていることが見て取れます。
しかもpが大きくなると、nの範囲は徐々に重なって
複数の素数でカバーされるnも多くなっています。
少し大きいpでは、例えば
p=10007: n=6672〜7505
p=10009: n=6673〜7506
p=10037: n=6692〜7527
p=10039: n=6693〜7529
のようになり、この範囲だけを見てもn=6693〜7505の範囲は
少なくとも4つの素数でカバーされています。
nが大きいとき4n/3＜p＜(3n+1)/2でカバーされるpの範囲の大きさは約n/6となり、
これだけ大きい範囲に素数が存在しないことは考えられません。
例えばn=100000000(1億)のとき、4n/3＜p＜(3n+1)/2は
133333334≦p≦150000000となり、こんなに広い範囲に素数がないとは
思えない（思えないだけでは証明にならないわけですが）ですね。
素数の方から見た場合、
「ある程度大きい素数pでは、必ず次の素数qがp＜q＜(9/8)pの範囲に存在する」
が成り立てば本問は解決されます。
p≧53で確実に成り立つ気はしますが、証明は難しいですね。
No.85401 - 2023/05/13(Sat) 12:33:19
☆ Re: 自然数 / IT
出典は、何ですか？　
素数の分布にまつわる問題ですが、既知の定理を使った
スッキリした解があるのでしょうか？
>らすかるさん
「ある程度大きい素数pでは、必ず次の素数qがp＜q＜(9/8)pの範囲に存在する」の可能性をを否定するものではありませんが、

「単に「広い範囲」に素数がない。」というだけなら
2以上の自然数nについて n!+2からn!+n までの範囲には素数がありませんね。
No.85402 - 2023/05/13(Sat) 16:43:33
☆ Re: 自然数 / 大西
らすかるさんご返答ありがとうございます。

私もいろいろ実験していて、
素数pに対して、（分母のpの素因数の個数）≧（分子のpの素因数の個数）となるようなnが、一定のn以上に対して必ず存在するような気がしたのですが、それが見付からなかったので質問させていただきました。
方針は間違っていないことは分かりましたが、なかなか難しそうですね。

ITさんご返信ありがとうございます。

出典は遠い過去の河合塾の模試の問題を見ただけで解答は持ち合わせていないです。解答がなかったので気になって質問させていただきました。
No.85403 - 2023/05/13(Sat) 17:33:58
☆ Re: 自然数 / らすかる
> 「単に「広い範囲」に素数がない。」というだけなら
念のためですが、私が書いた「広い範囲」というのは
(素数のない範囲の大きさ)/(その直前の値)
のような、相対的な大きさのことです。
上で書いた 133333334≦p≦150000000の範囲16666667は
その直前の133333333の1/8も占める「広い範囲」ですね。
No.85405 - 2023/05/13(Sat) 18:24:26
☆ Re: 自然数 / IT
らすかるさん>
>素数の方から見た場合、
>「ある程度大きい素数pでは、必ず次の素数qがp＜q＜(9/8)pの>範囲に存在する」
>が成り立てば本問は解決されます。

G.Hハーディなどの「数論入門」によれば
ε＞0について　x[0](ε)が存在して
　x＞x[0](ε)のとき　 x＜p＜(1+ε)x となる素数pが必ず存在する。
ということが、素数計数関数π(x)〜x/log(x)であることを使って示されています。
π(x)〜x/log(x)　の証明は難しくて私は理解できていません。

大学入試の模試なら、もっと簡単な解法があるのか、出題ミス（誤植含む）か転記ミスのいずれかでしょうね。
No.85413 - 2023/05/14(Sun) 15:31:03
★ 円を並行な線で等分する / 斉藤
半径rの円の面積を並行な3本の線分で分けた場合、
3本の線分と直角に交わる円の直径の比率はいくつになるか

中学数学で出来るかもしれないですが
数学をやってなかったので対象の難易度がわからないです。
解ける方いればお願いします
No.85395 - 2023/05/11(Thu) 17:55:45
☆ Re: 円を並行な線で等分する / X
線分で円の面積を４等分するという条件でいいのでしょうか？
それとももっと一般的に、ある特定の面積比に分けるという
条件でしょうか？
No.85396 - 2023/05/11(Thu) 18:04:30
☆ Re: 円を並行な線で等分する / 斉藤
>線分で円の面積を４等分するという条件でいいのでしょうか？
はい、その通りです
図の青い線を並行に動かして分けられた円の各部分の面積が等しい状態を作りたいです。
No.85397 - 2023/05/11(Thu) 19:16:44
☆ Re: 円を並行な線で等分する / らすかる
x√(1-x^2)+arcsinx=π/4
のような方程式を解かなければなりませんので、
中学数学どころか高校数学でも無理です。
数値的に近似値を計算すると、全体を1として約
0.29801362335024139534051913：0.20198637664975860465948087：
0.20198637664975860465948087：0.29801362335024139534051913
となります。小さい整数ではおよそ90：61：61：90です。
No.85398 - 2023/05/11(Thu) 20:05:38
☆ Re: 円を並行な線で等分する / 斉藤
ありがとうございます！
高校数学でもやらない内容なんですね！
道理で探してもうまく出てこないわけですね。。。
回答ありがとうございます！
No.85399 - 2023/05/11(Thu) 20:51:03
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