ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / 虎党

aを正の整数、p,qを素数とする。ax^2-px+q=0の2解が整数となるようなa,p,qの組を求めよ。
解説よろしくお願いします。

No.85490 - 2023/05/30(Tue) 19:49:21

☆ Re: / IT

解と係数の関係を使えば、割と容易にできるのでは？
解と係数の関係が未知ならa(x-α)(x-β)=ax^2-px+q＝0 から考える。

No.85495 - 2023/05/30(Tue) 21:45:06

★ (No Subject) / 虎党

n≧2,bは素数,a^2-b^n=225の３つの条件を満たす正の整数の組を求めよ
a-15=b^s,a+15=b^t(1≦s<t,sとtは共に整数)でなければならないというふうに進めたのですが、この先はb^s(b^(t-s)-1)=30として一個ずつ確かめるしかないのでしょうか。

No.85486 - 2023/05/30(Tue) 16:48:41

☆ Re: / IT

30=2*3*5 なので、確かめるのは、そんなに多くないのでは？

No.85491 - 2023/05/30(Tue) 20:02:07

☆ Re: / IT

1≦s　はなぜですか？(結果的には正しいと思いますが）

No.85492 - 2023/05/30(Tue) 20:08:55

★ 微分方程式 / 大学２年生

変数分離形の微分方程式dy/dx=y/xの一般解を計算していると答えがy=Cxとy=(1/C)xの2つの場合が出てきました。

どちらが答えとして合っているのでしょうか？

No.85484 - 2023/05/30(Tue) 00:47:30

☆ Re: 微分方程式 / 大学２年生

このような計算結果です。
logを移行させた時にマイナスがxにつくのかyにつくのかで答えが変わってきます。
Cをどのように扱えば良いかわかりません。

No.85485 - 2023/05/30(Tue) 00:54:36

☆ Re: 微分方程式 / X

これはe^cを改めてどのような変数に置き換えるか、
という問題だけで、解としては同じです。

添付写真の左の解では
e^cを改めてCと置いていますが
1/e^cを改めてCと置いても何ら問題はなく、
これは左の解と等価になります。

No.85487 - 2023/05/30(Tue) 16:51:00

☆ Re: 微分方程式 / 大学２年生

どちらで書いても正解ということですか？

No.85494 - 2023/05/30(Tue) 20:51:14

☆ Re: 微分方程式 / X

y=0を解に含めることを考えると
y=Cx
とした方がC=0のときも使えますので
無難です。

勿論
y=(1/C)x又はy=0
と書いても、一般解としては正解です。

No.85496 - 2023/05/31(Wed) 00:38:26

☆ Re: 微分方程式 / 大学２年生

わかりました。
ありがとうございます。

No.85501 - 2023/06/01(Thu) 14:45:55

★ (No Subject) / 面積

pを実数とする。y=x^3+px^2+xのグラフ(C1)とy=x^2のグラフ(C2)はx>0の範囲に共有点を2個持つとする。

(1)このようなpの値の範囲を求めよ
(2)C1とC2のx>0の範囲にある共有点のx座標をそれぞれa,bとし、0≦x≦aとa≦x≦bの範囲でC1とC2が囲む部分の面積をそれぞれS1,S2とする。S1=S2となるpの値を求めよ。

解説よろしくお願いします。

No.85483 - 2023/05/29(Mon) 21:05:39

☆ Re: / X

(1)
C[1],C[2]の共有点のx座標について、条件から
x^3+px^2+x=x^2
これより
x=0
又は
x^2-(1-p)x+1=0 (A)
∴題意を満たすためには、まず(A)に対して
解と係数の関係から
1-p＞0 (B)
次に(A)の解の判別式をDとすると
D=(1-p)^2-4＞0 (C)
(B)(C)を連立して解いて、求めるpの値の範囲は
p＜-1

(2)
条件からa,bは(A)の解ゆえ、解と係数の関係から
a+b=1-p (D)
ab=1 (E)
一方、C[1],C[2]の位置関係から
S[1]=∫[0→a]{(x^3+px^2+x)-x^2}dx
=(1/4)a^4+(1/3)(p-1)a^3+(1/2)a^2
S[2]=∫[a→b]{x^2-(x^3+px^2+x)}dx
=(1/3)(1-p)(b^3-a^3)-(1/4)(b^4-a^4)-(1/2)(b^2-a^2)
∴S[1]=S[2]により
(1/4)a^4+(1/3)(p-1)a^3+(1/2)a^2=(1/3)(1-p)(b^3-a^3)-(1/4)(b^4-a^4)-(1/2)(b^2-a^2) (F)
(D)(E)(F)をa,b,pについての連立方程式として解きます。

(F)より
(1/3)(1-p)b^3-(1/4)b^4-(1/2)b^2=0
{3b^2-4(1-p)b+6}b^2=0
条件より0＜b、つまりb≠0ゆえ
3b^2-4(1-p)b+6=0
これに(D)を代入すると
3b^2-4(a+b)b+6=0
左辺を展開して(E)を代入すると
b^2-2=0
∴0＜bより
b=√2
これを(E)に代入して
a=1/√2
∴(D)より
p=1-(3/2)√2
となります。

No.85489 - 2023/05/30(Tue) 17:43:48

★ (No Subject) / 面積

a>0とする。y=|x^2-x|とy=axで囲まれた面積の最小値とその時のaの値を求めよ

No.85482 - 2023/05/29(Mon) 20:53:31

☆ Re: / X

y=|x^2-x| (A)
y=ax (B)
とします。
(A)(B)のグラフを描くと、面積を求めるべき領域は
0≦x
の範囲にのみ存在しますので、この範囲で場合分けをします。

(i)0≦x≦1のとき
(A)は
y=-x^2+x
∴この範囲に(B)との交点が原点以外に存在するのであれば
その交点のx座標について
-x^2+x=ax
∴x=1-a (但し0＜a≦1)
(ii)1＜xのとき
(A)は
y=x^2-x
∴(A)(B)の交点のx座標について
x^2-x=ax
となるので
x=a+1

(i)(ii)から問題の領域の面積をS(a)とすると
(I)0＜a≦1のとき
S(a)=∫[0→1-a]{(-x^2+x)-ax}dx+∫[1-a→1]{ax-(-x^2+x)}dx
+∫[1→a+1]{ax-(x^2-x)}dx
=(1-3a+9a^2-a^3)/6
これより
S'(a)=-(1-6a+a^2)/2
=-(1/2){a-(3-2√2)}{a-(3+2√2)}
∴S(a)の増減表を書くことによりS(a)は
a=3-2√2
のときに最小になります。
(II)1＜aのとき
(A)(B)のグラフにより、S(a)はaに関して単調増加。

(I)(II)により求めるaの値は
a=3-2√2
となります。

No.85488 - 2023/05/30(Tue) 17:21:44

★ 場合の数 / ぷろいせん

「問：10匹の犬を1匹、1匹、3匹、3匹ずつ、４つのケージに入れる方法は何通りあるか？」解答は280通りになるはずですが、その方法を示してください。

No.85476 - 2023/05/28(Sun) 19:39:37

☆ Re: 場合の数 / ぷろいせん

書き忘れましたが、高2です。

No.85477 - 2023/05/28(Sun) 19:41:12

☆ Re: 場合の数 / IT

残りの2匹はどうするのですか？

No.85478 - 2023/05/28(Sun) 20:15:44

☆ Re: 場合の数 / ぷろいせん

残りの2匹は残していいみたいです。

No.85479 - 2023/05/28(Sun) 20:43:01

☆ Re: 場合の数 / IT

10匹の犬は区別する。４つのケージは区別しない。という条件と推定されます。

1匹ずつ入れる2匹の選び方がC(10,2)通り
それぞれについて、2組の3匹を選ぶ方法が
(C(8,3)×C(5,3))/ 2 通り

なので280通りより多くなると思いますが、出題・解答に間違いはないですか？

8匹なら　C(8,2)×C(6,3)/2= 280 通りになりますが

No.85480 - 2023/05/28(Sun) 22:24:26

☆ Re: 場合の数 / ぷろいせん

ありがとうございます。
出題ミスかも知れないので、先生に確認します。

No.85481 - 2023/05/28(Sun) 22:44:00

★ (No Subject) / 中間値の定理

区間[0, 1]で定義された連続関数f(x)の最大値をM,最小値をmとする。M+m=1 かつ 0≦a≦1であるときf(a)+f(b)=1かつ0≦b≦1を満たすbが存在することを中間値の定理を用いて示せ

No.85472 - 2023/05/27(Sat) 21:16:35

☆ Re: / IT

ポイントだけ、細かい記述などは自分でどうぞ
f(s)=m,f(t)=M とする。
g(x)=f(a)+f(x) とおく
g(s)=f(a)+m≦1
g(t)=f(a)+M≧1

中間値の定理より・・・

No.85473 - 2023/05/27(Sat) 21:29:51

★ 同じものを含む円順列 / 初夏

赤玉2個、白玉2個．青玉4個で出来る
円順列の個数はいくらですか。
同じ問題で青玉が5個の場合は
いくらになりますか。
この問題の解法をご教授願えない
でしょうか。
よろしくお願いします。

No.85469 - 2023/05/27(Sat) 19:11:24

☆ Re: 同じものを含む円順列 / IT

最初の問題の考え方（２つ目の問題も似たような感じで）

赤玉2個の配置は4通り。
それぞれについて白玉2個の配置を考える。
回転して一致する場合に注意

No.85470 - 2023/05/27(Sat) 19:56:59

☆ Re: 同じものを含む円順列 / 初夏

早速の解答有り難うございました。
最初の問題は6！/(2×2×2×6)=15
15+15+15=45通りで間違いないでしょうか。

No.85474 - 2023/05/27(Sat) 21:44:29

☆ Re: 同じものを含む円順列 / IT

どういう考え方で、計算されているのか良く分かりません。

具体的に（赤玉2個の配置毎に）図を描いて考えないと、計算式だけで解くのは難しいのではないかと思います。

No.85475 - 2023/05/27(Sat) 22:09:34

★ 高2:図形と方程式 / 山田山

(1)の問題の解答を読みましたが、接点座標が出ていない状況でなぜ最小•最大を判別出来るのか理解できません。
回答よろしくお願いします。

No.85466 - 2023/05/26(Fri) 22:40:43

☆ Re: 高2:図形と方程式 / ast

x-3y の取りうる値 k が, (領域 D と共有点を持つ直線 y=3x+k の) y-切片として実現できているので (直観的に, つまり見た通りに) 分かるような状況だからですね.
# y-切片がちょうど k になっているので, y-切片が y が大きくなる方向へ行けば k が大きくなり
# y-切片が y が小さくなる方向へ行けば k が小さくなる, ということがそのまま結論できます.
## y-切片がもっと複雑な k の式である場合には, y-切片の変化と k の値の変化の関係をもっとちゃんと
## みないといけない (例えば y-切片が -k なら y-切片の大小と k の値の大小は逆になる).

No.85467 - 2023/05/27(Sat) 00:05:25

☆ Re: 高2:図形と方程式 / 山田山

回答ありがとうございます。質問投稿後色々と仮定を立ててみたのですが、y切片における考え方で「点Bで最小になる」と言う結論には納得出来ませんでした。純粋にkと置いた時に単位円の第二象限という考え方で結論に納得行くと”個人的に”思いました。
本当にありがとうございました。

No.85468 - 2023/05/27(Sat) 02:08:24

★ (No Subject) / グーチョコランタン

こちらの問題、三角形BDEが正三角形ということが前提で回答が書かれています。
どうすればそれがわかるのでしょうか。

No.85461 - 2023/05/25(Thu) 19:22:26

☆ Re: / グーチョコランタン

これが解答です。

No.85462 - 2023/05/25(Thu) 19:23:00

☆ Re: / ヨッシー

ＤＥの長さをコンパスで測っているので、
　ＢＤ＝ＢＥ＝ＤＥ
です。

No.85463 - 2023/05/25(Thu) 19:36:57

☆ Re: / グーチョコランタン

> ＤＥの長さをコンパスで測っているので、
> 　ＢＤ＝ＢＥ＝ＤＥ
> です。
ん～～確かに！
ありがとうございます！

No.85465 - 2023/05/26(Fri) 02:21:40

★ (No Subject) / 諭

こちらの問題解いてみたのですが、合っていますでしょうか？
また鞍点というのはなんでしょうか。
教えていただきたいです。
よろしくお願い致します！

No.85460 - 2023/05/25(Thu) 19:12:19

☆ Re: / GandB

　鞍点が何かを知らずに極値問題を解いてもつまらんと思うが。

No.85464 - 2023/05/25(Thu) 23:09:22

★ 数列 / 山田山

(n-2)から1の和で項数が(n-1)/2と表される意味が分かりません。回答よろしくお願いします。

No.85456 - 2023/05/24(Wed) 16:46:04

☆ Re: 数列 / ヨッシー

ｎ＝３　のとき　１　のみの１項。
ｎ＝５　のとき　３，１　の２項。
ｎ＝７　のとき　５，３，１　の３項
ｎ＝９　のとき　７，５，３，１　の４項
なので、項数は　(n-1)/2 です。

No.85457 - 2023/05/24(Wed) 17:46:53

☆ Re: 数列 / X

nが1から数えて第k項の奇数だとすると
n=2k-1
(kは自然数)
このとき
k=(n+1)/2
n-2はnの一つ前の項、つまりk-1項ですので
k-1=(n+1)/2-1
=(n-1)/2
となります。

(既にヨッシーさんがアップされていましたが、
このまま残しておきます。)

No.85458 - 2023/05/24(Wed) 17:47:43

☆ Re: 数列 / 山田山

回答ありがとうございます。nに具体的な数を入れれば規則性は分かっていましたが、偶奇数をkを使った文字に起こす基本的な発想が抜けていました。本当にありがとうございました。

No.85459 - 2023/05/24(Wed) 21:53:27

★ ご回答よろしくお願いします / は

この問題を教えてください。よろしくお願いします。

No.85451 - 2023/05/23(Tue) 10:51:34

☆ Re: ご回答よろしくお願いします / ast

もしかしてヒントの趣旨は ∫_[1,∞) |x^(-k)|^2 dx < Σ_[n=1,…] |n^(-k)|^2 < ∫_[1,∞) |(x+1)^(-k)|^2 dx のような評価を利用するということか?
# この不等式自体は, 高さ 1/n^(2k), 幅 1 の短冊の可算和と適当な函数のグラフとで面積を比較したもの
# として得たもので, たしかに区分求積あたりの話でよく見る論法ではあるが, しかし,
# これを「区分求積法を用い」と表現するかといったらさすがに不自然すぎる (少なくとも私はすまい) がなぁ……
## (個人的には短冊の幅を 0 にする極限で積分と置き換わるのが区分求積法だと思っているので.)

No.85452 - 2023/05/23(Tue) 16:19:53

★ (No Subject) / めろん

この問題の解説をお願い致します。

No.85446 - 2023/05/22(Mon) 21:21:10

☆ Re: / ヨッシー

(i)
中央の小三角形を赤で塗る場合、
上の小三角形は青、黄の２通り。
左下、右下もそれぞれ２通りで、合計
　２×２×２＝８（通り）
そのうち２通り（中央以外の３個を青で塗る、黄で塗る）が２色で塗る場合。
中央が青、黄の場合も同数ずつあるので、
　８×３＝２４（通り）　・・・ソタ
　（８－２）×３＝１８（通り）・・・チツ

(ii)
ＰとＱが同じ色の場合
例えば両方赤の場合
Ｐの左下とその下の２個の小三角形の塗り方は青、黄か黄、青の２通り
Ｐの右下とその下の２個の小三角形の塗り方も青、黄か黄、青の２通り
一番上の小三角形はすぐ下の色以外の２通り
左下、右下の小三角形も同様に２通り
以上より、２×２×２×２×２＝３２（通り）
ＰとＱを青、黄で塗る場合も、３２通りなので、合計
　３２×３＝９６（通り）・・・テト

ＰとＱが異なる色の場合
例えば、Ｐを赤、Ｑを青で塗る場合
Ｐの左下とその下の２個の小三角形の塗り方は（青、黄）（青、赤）（黄、赤）の３通り
Ｐの右下とその下の２個の小三角形の塗り方も３通り
一番上の小三角形はすぐ下の色以外の２通り
左下、右下の小三角形も同様に２通り
以上より　３×３×２×２×２＝７２（通り）
ＰとＱの色の使い方は　３×２＝６（通り）
以上より
　７２×６＝４３２（通り）　・・・ナニヌ

No.85450 - 2023/05/23(Tue) 09:00:30

★ (No Subject) / SEIGOを許すな

定数a<1に対し、放物線C1:y=2x^2+1,C2:y=-x^2+aを考える。
(1)C1,C2の両方に接する直線の方程式を求めよ
(2)C1,C2と(1)の2本の直線で囲まれた図形の面積をそれぞれS1,S2とする。S2/S1を求めよ。

解説よろしくお願いします。

No.85443 - 2023/05/22(Mon) 18:35:32

★ (No Subject) / M.Y.

この問題の(2)なのですが、解説を読むと2行目でいきなり自分で不等式を作って、それを使って証明しています。(2)で示す不等式のうち、右側は(1)を使えば良いので容易ですが、左側を示すために必要な不等式をどういうふうに考えれば自分で作れるのか教えていただきたいです。0から1で積分して(e-1)/eになる関数を見つけられませんでした。

No.85441 - 2023/05/22(Mon) 18:34:24

☆ Re: / M.Y.

解説はこちらでございます

No.85442 - 2023/05/22(Mon) 18:35:11

☆ Re: / IT

M.Y.さんと同感です。直近でe^(-x) の定積分が出てきてなければ、試行錯誤の範囲内かもしれませんが直ぐには思いつかないと思います。

No.85454 - 2023/05/23(Tue) 19:09:55

★ (No Subject) / M.Y.

この問題の(2)なのですが、自分は[1]と[2]の場合分けをせず[2]だけ計算して回答してしまいました。この場合分けがなぜ必要なのか、そもそもどういう意味なのかが解答を見てもわからないので教えていただきたいです。

No.85439 - 2023/05/22(Mon) 18:21:35

☆ Re: / M.Y.

解説です

No.85440 - 2023/05/22(Mon) 18:23:11

☆ Re: / IT

問題の条件に「0≦t≦eとする」とありますから、
1＜t≦eのときだけではなく、当然、0≦t≦1のときも考えなくてはいけません。

No.85444 - 2023/05/22(Mon) 20:12:13

☆ Re: / M.Y.

なぜ1<t≦eと0≦t≦1で場合分けをしているのかがわかりません。

No.85445 - 2023/05/22(Mon) 21:17:17

☆ Re: / IT

y=e^x のグラフと　y=t^2 のグラフを考えてみてください。
例えばt=1/2 のとき、２つのグラフの位置関係はどうなりますか？
そのとき|e^x-t^2| はどうなりますか？

No.85447 - 2023/05/22(Mon) 21:30:31

☆ Re: / M.Y.

0≦x≦2では常にe^xの方が大きいですね。e^x-t^2≧0だから|e^x-t^2|＝e^x-t^2。ということですか？

No.85448 - 2023/05/22(Mon) 23:42:15

☆ Re: / IT

そうですね、その上で、(2)にまとめられないことを確認してください。

No.85449 - 2023/05/23(Tue) 08:13:41

☆ Re: / M.Y.

理解しました。ありがとうございました。

No.85453 - 2023/05/23(Tue) 18:29:41