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No.51985 - 2018/07/20(Fri) 19:06:32
| ☆ Re: ガウス / X | | | (1)
条件から
∇・↑J=(∂/∂x)(xz)+(∂/∂y)(yz)+(∂/∂z)(z^2)
=4z
(2)
D={(x,y,z)|x^2+y^2≦a^2,z=0}
とすると、ガウスの発散定理と(1)の結果より
I=∬[D]∫[z:0→-y+a]4zdzdxdy
=∬[D]{2(y-a)^2}dxdy
=∫[θ:0→2π]∫[r:0→a]{2(rsinθ-a)^2}rdrdθ
=2∫[θ:0→2π]∫[r:0→a]{(r^3)(sinθ)^2-2a(r^2)sinθ+(a^2)r}drdθ
=(2a^4)∫[θ:0→2π]{(1/4)(sinθ)^2-(2/3)sinθ+1/2}dθ
=(2a^4)∫[θ:0→2π]{(1/8)(1-cos2θ)-(2/3)sinθ+1/2}dθ
=(2a^4)・2π・(1/8+1/2)
=(πa^4)(1/2+2)
=(5π/2)a^4
(3)
Ωの平面y+z=aによる切断面をD[1],側面をD[2]とすると
I=∬[D]↑J・↑ndS+∬[D[1]]↑J・↑ndS+∬[D[2]]↑J・↑ndS (A)
(i)Iの第一項について
↑n=(0,0,-1)
となるから
∬[D]↑J・↑ndS=∬[D](-z^2)dS=0
(ii)Iの第二項について
平面y+z=aの法線ベクトルは(0,1,1)
∴↑n=(0,1/√2,1/√2)
∴∬[D[1]]↑J・↑ndS=(1/√2)∬[D[1]](yz+z^2)dS
=(1/√2)∬[D[1]]{y(-y+a)+(-y+a)^2}dS
更に↑nとz軸の正の向きとのなす角をφとすると
cosφ=↑n・↑k=1/√2
∴∬[D[1]]↑J・↑ndS=(1/√2)∬[D]{y(-y+a)+(-y+a)^2}{1/cosφ}dxdy
=∬[D]{y(-y+a)+(-y+a)^2}dxdy
=∬[D](-ay+a^2)dxdy
=∫[θ:0→2π]∫[r:0→a]{-arsinθ+a^2}rdrdθ
=∫[θ:0→2π](a^4){-(1/3)sinθ+1/2}dθ
=πa^4
(iii)Iの第三項について
円筒座標系のr,θを設定し、直交座標を用いると
↑n=(cosθ,sinθ,0)
↑J=(acosθ,asinθ,z)z
∴↑J・↑n=az
となるので
∬[D[2]]↑J・↑ndS=∫[θ:0→2π]{∫[z:0→-asinθ+a]azdz}adθ
={(a^2)/2}∫[θ:0→2π](-asinθ+a)^2dθ
=(1/2)(a^4)∫[θ:0→2π]{(sinθ)^2-2sinθ+1}dθ
=(1/2)(a^4)∫[θ:0→2π]{(1-cos2θ)/2-2sinθ+1}dθ
=(3π/2)a^4
(i)(ii)(iii)により(A)は
I=0+πa^4+(3π/2)a^4
=(5π/2)a^4
となり、(2)の結果と一致します。
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No.52005 - 2018/07/21(Sat) 19:02:37 |
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