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★ 部分積分の導出の公式が理解できない / rinrin
部分積分の導出の公式が理解できないです。
赤ワクと赤線で囲んだ部分の式変形が理解できないです。
なぜ、 g(x) を G(x) に置き換えた場合、上式の g'(x) は g(x) となりますと言えるのでしょうか？
No.51965 - 2018/07/20(Fri) 00:17:07
☆ Re: 部分積分の導出の公式が理解できない / らすかる
同じ文字だから混乱しているのだと思いますが、
例えばg(x)=H(x)とすればg'(x)=h(x)（h(x)はH(x)の導関数）ですから
∫[a,b]f(x)h(x)dx=[f(x)H(x)][a,b]-∫[a,b]f'(x)H(x)dx
となり、この式のh(x),H(x)をg(x),G(x)と書けば上のようになりますね。
No.51968 - 2018/07/20(Fri) 01:23:19
★ 置換積分の導出の公式が理解できない / rinrin
https://mathtrain.jp/substitutionint　のサイトを参考にしながら勉強しています。画像の赤ワクで囲った式の変形が理解できません。
なぜ、f(x)がf(g(t))になるのでしょうか？
No.51964 - 2018/07/20(Fri) 00:10:45
☆ Re: 置換積分の導出の公式が理解できない / らすかる
問題の条件に「x=g(t)と置換する」と書かれていますね。
No.51967 - 2018/07/20(Fri) 01:17:26
☆ Re: 置換積分の導出の公式が理解できない / rinrin
ありがとうございます。なぜ参考サイトでは、x=g(t)と置換できると言っているのでしょうか？添付の画像の青線の式の意味がわかりません。
No.51969 - 2018/07/20(Fri) 13:09:53
☆ Re: 置換積分の導出の公式が理解できない / ヨッシー
x=g(t)と置換する　と
x=g(t)と置換できる　とは意味が違います。

x=g(t)と置換すると、こういう公式になる
と言っているのであって、置換できるかどうかは
関係ありません。
置換できないなら、この公式を使わないだけのことですから。

そもそも、置換というのは、ただの式の置き換えなので、
できない場合など、そうそう無いはずです。
その置換が、積分するのに有効かどうかは、別の話です。
No.51970 - 2018/07/20(Fri) 13:24:15
★ 質問です / 勉強
質問です
２でベクトルＯＰ-[4/3k-1]ベクトルa=[2/3k+1]ベクトルqと移項して計算していますが
ベクトルＯＰ-[2/3k+1]ベクトルq=[4/3k-1]ベクトルaという形にもできると思いますこの形で計算した場合答えが解答と違う形になってしまいますがそのあたりはどうなのでしょうか？

３で絶対値ベクトルＡＭ＝絶対値4/3k-2となっていますが
これＡＭじゃなくてＭＡじゃだめなのでしょうか？
その場合絶対値ベクトルＭＡ＝絶対値2-4/3kとなって最後の答えが違った形になってしまうのですがその部分の開設をよろしくお願いします
No.51955 - 2018/07/19(Thu) 18:54:05
☆ Re: 質問です / 勉強
続き１
No.51957 - 2018/07/19(Thu) 18:54:48
☆ Re: 質問です / 勉強
続き２
No.51958 - 2018/07/19(Thu) 18:55:27
☆ Re: 質問です / X
回答の前に数式の書き方について。
例えば
3/2k
という書き方では
(3/2)k
の意味にも
3/(2k)
の意味にも取ることができてしまいます。
次回からは必要な括弧はきちんとつけましょう。

一つ目の質問)
問題文では点Qは定点ではありませんので
↑qも(大きさは一定ですが)定ベクトル
ではありません。
従って
↑OP-(2k/3+1)↑q=(4k/3-1)↑a
と変形して両辺の絶対値を取ったところで
軌跡の方程式として有効なものは
得られません。

↑OP-(4k/3-1)↑a=(2k/3+1)↑q
の両辺の絶対値を取って得られた
|↑OP-(4k/3-1)↑a|=2k/3+1
が円のベクトル方程式として有効なのは
↑aが定ベクトルなので
(4k/3-1)↑a
が円の中心となる定点の位置ベクトルに
取ることができるからです。


二つ目の質問)
|2-(4/3)k|=|-{(4/3)k-2}|
=|-1・{(4/3)k-2}|
=|-1||(4/3)k-2|
=|(4/3)k-2|
ですので|↑MA|,|↑AM|の
どちらを計算しても同じことです。
No.51963 - 2018/07/19(Thu) 20:50:24
☆ Re: 質問です / 勉強
ありがとうございます　理解できました
No.51966 - 2018/07/20(Fri) 00:33:10
★ 命題の否定 / 浪人
命題「x^2-3x-10=0である自然数xが存在する。」の否定を「x^2-3x-10=0のときすべての自然数xが存在しない。」と書くのは間違いですか？
日本語的にしっくりこないのですが、どうしても解答が理解できなくて。
解答には「すべての自然数xに対してx^2-3x-10≠0」と書かれています。他のサイトで調べたところ、元の命題は「ある自然数xに対してx^2-3x-10=0」と同じであるからと書かれていました。このことも理解できないのですが、、、
No.51953 - 2018/07/19(Thu) 17:39:16
☆ Re: 命題の否定 / z
まちがいです。
「x^2-3x-10=0のときすべての自然数xが存在しない。」の後半の「すべての自然数xが存在しない。」は意味不明です。
No.51956 - 2018/07/19(Thu) 18:54:19
☆ Re: 命題の否定 / aaaaaaa
「x^2-3x-10=0である自然数xが存在する。」の否定は
「x^2-3x-10=0である自然数xは存在しない。」です。
問題として出題するようなものではないのです。

「x^2-3x-10=0である自然数xは存在しない。」はもちろん
「すべての自然数xに対してx^2-3x-10≠0」と同じです。
この形に直せることは必要ですがこの形にしないといけない
というのは間違いです。
No.51959 - 2018/07/19(Thu) 19:05:07
☆ Re: 命題の否定 / 浪人
ありがとうございます。
No.51975 - 2018/07/20(Fri) 15:10:24
★ 微分方程式を用いたモデル化の問題 / mHk
いつもお世話になっております。男の敵は男、女の敵は女とする。そして、異性は助け合う。x,yは男性と女性の社会進出の数とする。すると、以下のモデルが成り立つ。
dx/dt=−ax+by
y/dt=cx-dy

たとえば、かなり先の未来で男女の社会進出の数が同じになるとします。そのためには、世の中がどう変わればいいか？計算とともに意見を述べなさい。
再来週のテストに似た問題が出るらしいのですが、答え方が全くわかりません。恐らく、aやbなどの定数を変更すればいいのだと思うんですが、計算過程でどうしても積みます。お手数ですが、一例として、計算過程を根拠にあなたの意見を述べていただきたいです。よろしくお願いします。
No.51950 - 2018/07/19(Thu) 14:49:32
☆ Re: 微分方程式を用いたモデル化の問題 / 総合研究n
つまり、レポートを代筆してくれ、という主張でよろしいか？
No.51981 - 2018/07/20(Fri) 17:01:15
★ (No Subject) / りん
10番と12番お願いします
No.51946 - 2018/07/19(Thu) 09:38:01
☆ Re: / ヨッシー
(10)
　ｘ＝cosｔ　と置きます。
0≦ｘ≦1 は　π/2≧ｔ≧0 に対応
　dx/dt＝−sinｔ
　(1−x)/(1＋x)＝tan^2(t/2)
よって、
　∫[0〜1]√{(1−x)/(1＋x)}dx＝∫[π/2〜0]−sinｔ・tan(t/2)dt
　　＝∫[π/2〜0]−2sin(t/2)cos(t/2)・tan(t/2)dt
　　＝∫[π/2〜0]−2sin^2(t/2)dt
　　＝∫[0〜π/2](1−cosｔ)dt
　　＝[t−sinｔ][0〜π/2]＝π/2−1

(12)
　ｘ＝2sinｔ と置きます。
0≦ｘ≦√3 は 0≦ｔ≦π/3
　dx/dt＝2cosｔ
　√(4−ｘ^2)＝2cosｔ
よって、
　∫[0〜√3]1/√(4−x^2)dx＝∫[0〜π/3](2cosｔ/2cosｔ)dt
　＝π/3
No.51952 - 2018/07/19(Thu) 17:09:26
☆ Re: / りん
ありごとうございます！
写真のところがわかりません
No.52231 - 2018/07/27(Fri) 00:18:50
★ (No Subject) / りん
お願いします
No.51944 - 2018/07/19(Thu) 06:57:43
☆ Re: / X
1/x^3=x^(-3)
後はよろしいですね。
No.51961 - 2018/07/19(Thu) 20:02:43
★ (No Subject) / りん
どうやってとけばいいかわかりません
お願いします
No.51943 - 2018/07/19(Thu) 06:56:35
☆ Re: / X
logx=t
と置いて置換積分をします。
No.51960 - 2018/07/19(Thu) 20:01:58
☆ Re: / りん
> logx=t
> と置いて置換積分をします。

わかりました！ありがとうございます
No.52228 - 2018/07/27(Fri) 00:09:26
★ (No Subject) / りん
わかりませんお願いします
No.51942 - 2018/07/19(Thu) 06:55:40
☆ Re: / X
(与式)=lim[n→∞](1/n)(1/√n)Σ[k=1〜n]√k
=lim[n→∞](1/n)Σ[k=1〜n]√(k/n)
と変形して区分求積法を適用します。
No.51962 - 2018/07/19(Thu) 20:04:58
★ 微分方程式の証明 / mHk
２階線形微分方程式について。
特性方程式の解が重解のとき、一般解が
f(t)=C1e^(λt)+C2te(λt)となるのは何故でしょうか？
実数解と虚数解は証明できましたが、重解だけはどうも上手くできません。初学者ですので、お手数ですが、なるべく簡単な方法で御教授願いたいです。
No.51939 - 2018/07/19(Thu) 00:15:08
☆ Re: 微分方程式の証明 / 関数電卓
特性方程式が異なる 2 解α,βをもつ場合、微分方程式の一般解は
　y＝Ae^(αt)＋Be^(βt) …?@

特性方程式が重解αをもつ場合、?@でβ→αとしてみる。

　?@＝(A＋B)e^(αt)＋B(β−α)･{e^(βt)−e^(αt)}/(β−α)
　　＝Ce^(αt)＋D{e^(βt)−e^(αt)}/(β−α)
　　→Ce^(αt)＋Dte^(αt)
　　　　　(∵ {e^(βt)−e^(αt)}/(β−α)→(∂/∂u)(e^(tu))[u＝α]＝te^(αt) )
No.51947 - 2018/07/19(Thu) 12:41:05
★ 青丸の式変形がわからない / iria
青丸の式変形がわからないです。
2x/(x^2 + 1) がln(x^2+1) に変換される理由がわかりません。
なぜこのように変換されるのでしょうか？
No.51938 - 2018/07/19(Thu) 00:14:23
☆ Re: 青丸の式変形がわからない / らすかる
ln(x^2+1) を微分すると
1/(x^2+1)・(x^2+1)' = 1/(x^2+1)・2x = 2x/(x^2+1) となります。
No.51940 - 2018/07/19(Thu) 00:16:10
★ 青い波線を引いた箇所の変形がわからない / iria
青い波線を引いた箇所の変形がわからないです。
1/(1+t) - (-1/(1-t)) がln |1+t| - ln |1-t| に変形される理由がわかりません。
僕は、1/(1+t) - 1/(1-t) ならln |1+t| - ln |1-t| に変形されると考えました。
No.51935 - 2018/07/19(Thu) 00:11:32
☆ Re: 青い波線を引いた箇所の変形がわからない / らすかる
ln|1-t|を微分すると
1/(1-t)・(1-t)' = -1/(1-t) となります。
従って
1/(1-t)-1/(1+t) を積分すると ln|1+t|+ln|1-t|
1/(1-t)+1/(1+t) を積分すると ln|1+t|-ln|1-t|
となります。

# 「積分」は「変形」ではありませんので、
# 上記は「変形」とはいいません。
No.51936 - 2018/07/19(Thu) 00:13:36
★ 赤枠で囲った部分の式変形がわからない / rinrin
赤枠で囲った部分の式変形がわからないです。
{log|x+√x^2+A|}' = 1/(x+√(x^2+A))・(x+√(x^2+A))'
No.51930 - 2018/07/18(Wed) 23:35:21
☆ Re: 赤枠で囲った部分の式変形がわからない / らすかる
対数関数の微分の公式 {log|x|}'=1/x と
合成関数の微分の公式 {f(g(x))}'=f'(g(x))・g'(x) は
覚えましょう。
この問題は f(x)=log|x|, g(x)=x+√(x^2+A) を代入したものです。
No.51934 - 2018/07/19(Thu) 00:08:50
★ 赤枠で囲った部分の式変形がわからない / rinrin
赤枠で囲った部分の式変形がわからないです。
なぜ、x = a sinθ → θ = sin^(-1)x/a に変換できるのでしょうか？
No.51929 - 2018/07/18(Wed) 23:28:25
☆ Re: 赤枠で囲った部分の式変形がわからない / らすかる
x=asinθならば
sinθ=x/aなので
θ=sin^(-1)(x/a)となりますね。
No.51933 - 2018/07/19(Thu) 00:06:57
☆ Re: 赤枠で囲った部分の式変形がわからない / iria
ありがとうございます。sinθ=x/aからθ=sin^(-1)(x/a)に変形される理由がわかりません。その部分の式展開を詳しく教えてくれませんか？
No.51948 - 2018/07/19(Thu) 13:52:24
☆ Re: 赤枠で囲った部分の式変形がわからない / らすかる
y=f(x) が成り立つときに
g(y)=x が成り立つような関数g(x)を
f(x)の逆関数と言ってf^(-1)(x)と表します。
ですから
x/a=sinθ のとき
sin^(-1)(x/a)=θ となるのは
逆関数の定義からただちに言えることで、
その部分に式展開はありません。
（ただし、sinの場合はθの範囲が制限されます）
No.51949 - 2018/07/19(Thu) 13:56:34
★ 赤枠で囲った部分の式変形がわからない / rinrin
赤枠で囲った部分の式変形がわからないです。
なぜ-a < x < a から x = a sin θ ( -π/2 < θ < π/2 )　になるのかわかりません。
No.51928 - 2018/07/18(Wed) 23:25:28
☆ Re: 赤枠で囲った部分の式変形がわからない / らすかる
それは「なる」のではなく「そのようにおいた」だけです。
（従って他の置き方もあります。）
sin(-π/2)=-1, sin(π/2)=1 から
asin(-π/2)=-a, asin(π/2)=a となりますので、
-π/2＜θ＜π/2ならば
-a＜asinθ＜a
x=asinθとおいたので
-a＜x＜a
となり、合っていますね。
No.51932 - 2018/07/19(Thu) 00:05:53
★ 式変形が理解できない / rinrin
画像の式で、
(1/a)t + C から1/a・tan^-1(x/a) + C に変形される理由がわかりません。特にtがtan^-1(x/a)になる部分がわかりません。
どうしてこのように変形されるのでしょうか？
No.51927 - 2018/07/18(Wed) 23:21:01
☆ Re: 式変形が理解できない / らすかる
x=atant から
tant=x/a なので
t=tan^(-1)(x/a) ですね。
No.51931 - 2018/07/19(Thu) 00:02:14
★ (No Subject) / メタファイズ
11,111,1111,…
のように数字1飲みが並ぶ2桁以上の整数は平方数では無いことを示せ。

背理法での証明が、回答にありましたが、数列を使った証明はできませんか？
No.51923 - 2018/07/18(Wed) 21:46:40
☆ Re: 整数の証明 / メタファイズ
件名を入れました
No.51924 - 2018/07/18(Wed) 21:48:52
☆ Re: / らすかる
「数列を使った証明」の意図がよくわかりませんが、
「数列という概念を使っていれば、証明方法は何でも良い」ものと解釈します。

問題の数列はa[1]=11,a[n]=a[n-1]+10^n（n≧2）と表せる。
a[1]を4で割った余りは3で、n≧2のとき10^nは4で割り切れるので
任意のnに対してa[n]を4で割った余りは3。
平方数を4で割った余りは0または1なので、a[n]は平方数ではない。
No.51925 - 2018/07/18(Wed) 22:15:31
★ (No Subject) / マホメット
しょうもない質問かもしれませんが、9.5のλ1=-3,λ2=-7とありますが、λ1=-7,λ2=-3ではダメなんでしょうか？
No.51915 - 2018/07/18(Wed) 17:39:38
☆ Re: / ヨッシー
ダメではないです。
No.51916 - 2018/07/18(Wed) 17:42:22
★ 濃度 / 中3です
濃度5%の食塩水が250g入ったビーカーAと、濃度9%の食塩水が200g入ったビーカーBがある。AからBへ一定量の食塩水を移し、よくかき混ぜた後に、再び同じ重量の食塩水をBからAに戻すとAの濃度は6.6%になった。移した食
塩水の重量はいくらか。お願いします。
No.51908 - 2018/07/18(Wed) 16:30:39
☆ Re: 濃度 / ヨッシー
最初：Ａ (食塩12.5g、水237.5g、総量250g)、Ｂ (食塩18g、水182g、総量200g)
　ＡからＢに、ｘｇを移したとすると
　　移した食塩水(食塩0.05xｇ、水0.95xｇ)
　　Ａに残った食塩水 (食塩12.5−0.05xｇ、237.5−0.95xｇ、総量 250−xｇ)
　Ｂに混ぜると　Ｂ (食塩18＋0.05xｇ、水182＋0.95xｇ、総量200＋xｇ)
　再度ｘｇ取り出すと
　　移した食塩水　(食塩x(18＋0.05x)/(200＋x)ｇ、水x(水182＋0.95x)/(200＋x)ｇ、総量xｇ)
　Ａに混ぜたあとの、食塩の量は
　　12.5−0.05x＋x(18＋0.05x)/(200＋x)＝16.5(＝250×6.6%)
　　(12.5−0.05x)(200＋x)＋x(18＋0.05x)＝16.5(200＋x)
展開して
　2500−10x＋12.5x−0.05x^2＋18x＋0.05x^2＝3300＋16.5x
　4x＝800
　x＝200(g)
No.51912 - 2018/07/18(Wed) 17:22:41
☆ Re: 濃度 / 中3です
何故最後（ 200+x ）倍するんですか？
No.51951 - 2018/07/19(Thu) 16:26:31
☆ Re: 濃度 / ヨッシー
両辺 200＋x を掛けて、分母をはらっているだけです。
　
No.51954 - 2018/07/19(Thu) 18:10:30
★ (No Subject) / にゃろん
画像が縦ですみません。
何度計算しても、-3/8(a+2)^2になりません。

平方完成をして、『-a^2-4/4』に『3/2』を掛けて、『-3a』と通分して、『-3/8』で閉じるんですよね？

『-3a^2-24a-12/8
=-3/8()』

ここからわかりません。ご指摘お願いします。
No.51906 - 2018/07/18(Wed) 16:19:18
☆ Re: / らすかる
(a-2)/2の2乗の計算を間違えているのでは？
No.51909 - 2018/07/18(Wed) 16:31:17
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