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★ 三角比と三角関数 / 駿台太郎
予習でやっている問題が分からないのでどなたか教えてください。

円に内接し,対角線がAC,BDである四角形ABCDにおいて,
AB=12,BC=11,CD=7であり,cos∠ADC=-5/8である。

(1)対角線ACと辺ADの長さを求めよ.

(2)対角線BDの長さを求めよ.

(3)三角形ABDの面積Sと三角形ABDの内接円の半径rを求めよ.

(4)辺AB,辺BC,辺CAの長さがそれぞれ12,11,10三角形ABCを考える.
　∠Aの二等分線と辺BCの交点をDとすとき,線分BD,ADの長さを求めよ.

やり方が合っているのか答えが合っているのか分からないのでお手数ですが教えてください。
宜しくお願いします。
No.51695 - 2018/07/09(Mon) 22:17:12
★ (No Subject) / よーた
この問題を教えてくださいm(*_ _)m
No.51690 - 2018/07/09(Mon) 19:56:37
☆ Re: / X
(1)
条件から
↑OA=((√6)/2,3,(√6)/2)
↑OB=(0,3,0)
↑OC=(-2√2,0,2√2)
∴
OA=2√3
OB=3
OC=4
一方
cos∠AOB=(↑OA・↑OB)/(OA・OB)
cos∠BOC=(↑OB・↑OC)/(OB・OC)
cos∠COA=(↑OC・↑OA)/(OC・OA)
以上から
cos∠AOB=9/(6√3)=(√3)/2
cos∠BOC=0
cos∠COA=0
よって
0°≦∠AOB≦180°
0°≦∠BOC≦180°
0°≦∠COA≦180°
により
∠AOB=30°
∠BOC=∠COA=90°

(2)
s≧0,t≧0 (P)
に注意して、△OPQの面積をSとすると
S=(1/2)OP・OQsin∠POQ
=(1/2)stOA・OBsin∠AOB
∴(1)の過程により
S=(3/2)st√3 (A)

ここで(P)により、相加平均と相乗平均の関係から
4=2s+t≧2√(2st)
(不等号の下の等号は
2s=t、つまり(s,t)=(1,2)のとき成立)
∴2≧√(2st)
st≦2 (B)
(A)(B)から
S≦3√3
(不等号の下の等号は
(s,t)=(1,2)のとき成立)
∴Sは(s,t)=(1,2)のときに
最大値3√3
を取ります。
更に(1)の結果により
△OPQ⊥OC
ですので求める体積をV、Sの最大値を
S_mとすると
V=(1/3)S_m・OC
=4√3
となります。
No.51694 - 2018/07/09(Mon) 22:10:50
☆ Re: / よーた
分かりました、ありがとうございます！
解説がなくて、解けなかったので！
No.51696 - 2018/07/09(Mon) 22:17:29
★ 放物線で囲まれた図形の面積 / らんでいよう
高校3年生です。この問題に対する自分の回答が30点満点で10点だったのですが、いくら考えてもどこが足りていないのか分かりません。お手数ですが教えてください。よろしくお願いします。
No.51687 - 2018/07/09(Mon) 15:11:56
☆ Re: 放物線で囲まれた図形の面積 / らすかる
細かい突っ込みどころはいろいろありますが、
一番問題なのは、?Cは示すべき式なのに「?Cより・・・」のように
?Cが成り立つことを前提として証明を進めている（ように見える）点だと思います。
No.51688 - 2018/07/09(Mon) 16:43:14
☆ Re: 放物線で囲まれた図形の面積 / らんでいよう
ご回答ありがとうございます。確かに?Cよりではそのように解釈されても仕方ないと思いました。自分は、証明すべき?Cにおいて変数をa→A→Bと変えて最終的にh(B)の最小値≧0(B＞1)としたのですがその部分に欠陥はありますでしょうか。恐縮ですが回答よろしくお願いします。
No.51689 - 2018/07/09(Mon) 17:16:38
☆ Re: 放物線で囲まれた図形の面積 / らすかる
計算の内容に関しては、細かい間違いがありますが
基本的には間違っていないと思います。
とはいえ、基本構造に問題があると正しく評価できませんので、
まずは論理的な問題がないように書き直してみてはいかがでしょうか。

|(2√A-2)^3| が 8(√A-1)^3 に変わっていますが、
この場合「⇒」方向は成り立ちますが逆方向は成り立ちませんので
「⇔」にするのは問題があると思います。

?Bより、0＜-2√A＜2A と書かれているように見えますが、
0＜-2√A は成り立ちません。

h(B)=B^4-8B^3+22B^2-24B+9 のとき
h'(B)=(B-1)(B-2)(B-3) ではなく
h'(B)=4(B-1)(B-2)(B-3) です。
No.51692 - 2018/07/09(Mon) 21:15:47
☆ Re: 放物線で囲まれた図形の面積 / らんでいよう
確かにそうですね。気づかなかったです。数学は苦手で不等式の同値性は吟味が難しいので今度から表現を変えようと思いました。丁寧に教えていただきありがとうございます。
No.51693 - 2018/07/09(Mon) 22:04:50
★ 不等式の証明 / さつまいも
a>0, b>0, c>0のとき、
(a^2+b^2+c^2)*(a^3+b^3+c^3)<=3*(a^5+b^5+c^5)
となる証明を教えてください。
No.51684 - 2018/07/09(Mon) 11:24:44
☆ Re: 不等式の証明 / らすかる
(右辺)-(左辺)
=2(a^5+b^5+c^5)-{a^2b^2(a+b)+b^2c^2(b+c)+c^2a^2(c+a)}
={a^5+b^5-a^2b^2(a+b)}+{b^5+c^5-b^2c^2(b+c)}+{c^5+a^5-c^2a^2(c+a)}
=(a+b)(a-b)^2(a^2+ab+b^2)+(b+c)(b-c)^2(b^2+bc+c^2)+(c+a)(c-a)^2(c^2+ca+a^2)
≧0　（等号はa=b=cのとき）
No.51685 - 2018/07/09(Mon) 12:14:07
☆ Re: 不等式の証明 / さつまいも
ご回答ありがとうございます。
自分が行き詰った原因は2行目の大括弧のように式変形できなかったことでした。
勉強になりました。
No.51686 - 2018/07/09(Mon) 13:18:46
★ 中学受験算数 平面図形 / しゅう👦🏻
この問題は、どこに正三角形を作れば良いのでしょうか？答えは32です。よろしくお願いします。
No.51679 - 2018/07/09(Mon) 10:01:42
☆ Re: 中学受験算数 平面図形 / らすかる
∠xのところをCとします。
△OO'Bが正三角形なので∠OO'B=60°
よって∠CO'O=16°であり、
△CO'OはCO'=COの二等辺三角形ですから
∠COO'も16°、従って
x=16°+16°=32°となります。
No.51681 - 2018/07/09(Mon) 10:12:49
☆ Re: 中学受験算数 平面図形 / しゅう👦🏻
BOO'に正三角形が隠れていたんですね。求められました。ありがとうございます😊
No.51683 - 2018/07/09(Mon) 11:09:47
★ 中学受験算数 分配算 / しゅう👦🏻
この問題って、770÷(5+50)の14枚のはずなんですが、答えは28でした。どうしてでしょうか？よろしくお願いします。
No.51678 - 2018/07/09(Mon) 09:40:22
☆ Re: 中学受験算数 分配算 / らすかる
770÷(5+50)=14は
「5円玉1枚と50円玉1枚のセットが14セット」
という意味ですから、枚数は28枚になります。
No.51680 - 2018/07/09(Mon) 10:10:23
☆ Re: 中学受験算数 分配算 / しゅう👦🏻
セットを求めていたんですね。枚数が2倍になる意味がわかりました。ありがとうございます😊
No.51682 - 2018/07/09(Mon) 11:07:28
★ 解き方教えてださい / ピンスヌーピー
なるべく詳しくお願いします
No.51673 - 2018/07/08(Sun) 23:51:57
☆ Re: 解き方教えてださい / ヨッシー
　√5≒2.23
なので、
　3−√5≒0.77
　1/(3−√5)≒1.･･･
よって、ａ＝１
　ｂ＝1/(3−√5)−１＝(3＋√5)/4−１＝(√5−1)/4
　ｂ^2＝(13−√5)/8
よって、
　ａ^2−ａｂ＋ｂ^2＝１−(√5−1)/4＋(13−√5)/8
(以下略)
No.51677 - 2018/07/09(Mon) 07:07:32
★ (No Subject) / す
(3)を教えてください。
No.51670 - 2018/07/08(Sun) 22:58:47
☆ Re: / X
f(x)=a(x-1/2)^2+2-a/4
と変形できますので
(i)a≠0のとき
y=f(x)のグラフは軸の方程式が
x=1/2 (A)
である放物線となります。
(A)は定義域である
0≦x≦2
の範囲内左寄りに存在しますので
(I)a＞0のとき
(f(x)の最大値)=f(2)=2a+2≦3
∴0＜a≦1/2
(II)a＞0のとき
(f(x)の最大値)=f(1/2)=2-a/4≦3
∴-4≦a＜0

(ii)a=0のとき
f(x)=2≦3ですので題意を満たします。


以上から求めるaの値の範囲は
-4≦a≦1/2
となります。
No.51672 - 2018/07/08(Sun) 23:48:38
★ (No Subject) / す
(3)を教えてください
No.51669 - 2018/07/08(Sun) 22:57:54
☆ Re: / ヨッシー
　ｙ＝−ｔ^2＋2t＋3＜０
両辺−１を掛けて
　ｔ^2−2t−3＞０
因数分解して
　(ｔ＋１)(ｔ−３)＞０
これを解いて
　ｔ＜−１　または　ｔ＞３　・・・(i)
ここで
　ｔ＝sinθ−cosθ＝√2sin(θ−π/4)
より
　−√2≦ｔ≦√2　・・・(ii)
(i)(ii) より
　−√2≦ｔ＜−１
　−√2≦√2sin(θ−π/4)＜−１
より
　−１≦sin(θ−π/4)＜−1/√2
これを　−π/4≦θ−π/4＜7π/4 の範囲で解くと
　5π/4＜θ−π/4＜7π/4
よって、
　3π/2＜θ＜2π
　　
No.51671 - 2018/07/08(Sun) 23:34:08
★ 微分 大小関係 / くりきん
2つの数式の大小関係を調べる問題で、A-Bをaの関数とみなす方法で解いているのですが、画像の場合分けの(?A)と(?B)で、その後どのように論理展開していけばよいか分からず、行き詰まっています。

教えていただけると幸いです。よろしくお願いいたします。
ちなみに、答えは、
A≦B(1< pのとき), A=B(p=1のとき), A≧B(0< p<1のとき) です。
No.51667 - 2018/07/08(Sun) 20:52:12
☆ Re: 微分 大小関係 / IT
(a+b)/2a ＞１ などを解きほぐぐす必要があります。
a＞０ですから、例えば　(a+b)/2a ＞１　⇔　b＞a です。

(ii) p＞1 のとき
　0＜a＜bでg'(a)＞0 a＝b でg'(a)＝0,　b＜aでg'(a)＜0
またg(b)＝0 ですね。

　よってa＞0でg(a)≦g(b)＝0　が分かります。
No.51668 - 2018/07/08(Sun) 21:32:49
☆ Re: 微分 大小関係 / くりきん
ご回答ありがとうございます。
ただ、なぜa>0でg(a)≦g(b)=0を示せば良いのかが理解できませんでした。ご返答いただけると幸いです。
No.51675 - 2018/07/09(Mon) 05:54:25
☆ Re: 微分 大小関係 / IT
g(a) の正負を調べればよいからです。
No.51691 - 2018/07/09(Mon) 20:32:42
★ (No Subject) / ?V
この計算が全く分かりません。よろしくお願いいたします。どういう計算が行われているのかわかりません。
No.51665 - 2018/07/08(Sun) 02:10:54
☆ Re: / らすかる
分配法則でバラして、
2^(n-1)でくくれるものをくくってみて下さい。
2^n=2×2^(n-1)です。
No.51666 - 2018/07/08(Sun) 07:31:22
☆ Re: / ?V
ありがとうございます。また機会がありましたらよろしくお願いいたします❗
No.51674 - 2018/07/09(Mon) 02:11:36
★ 指数関数 / k z
この問題の解き方と答えを教えてください。
No.51661 - 2018/07/07(Sat) 07:04:02
☆ Re: 指数関数 / ヨッシー
　1/8＝2^(-3)
なので、
　(1/8)^x＝2^(-3x)≧32＝2^5
２＞１ より
　-3x≧5
　x≦-5/3
No.51662 - 2018/07/07(Sat) 09:00:14
★ ベクトルの表記の定義 / ハピネス
例えば、ベクトルABというベクトルがあるときに、これがベクトルは始点がAで終点がBという位置的にはただ一つのベクトルを表すがこれと等しいベクトルは無限にある。という認識で問題ないでしょうか。ベクトルの図形への応用で3点が同一直線上にあるときの同値な状況を見て疑問に思いました。
No.51660 - 2018/07/06(Fri) 23:46:50
★ (No Subject) / 勉強
an=2^n+3^nでan<10^10をみたす最大の正の整数nを求めるという問題の解答で

an<10^10<=an+1すなわち2^n+3^n<10^10<=2^n+1+3^n+1
よって3^n<10^10<2*3^n+1となっているのですが
2^n+3^n<10^10<=2^n+1+3^n+1
からどうやって3^n<10^10<2*3^n+1と計算しているのでしょうか？　解説よろしくお願いします
No.51657 - 2018/07/06(Fri) 17:35:11
☆ Re: / X
nは自然数ですので
3^n＜2^n+3^n (A)
2^(n+1)+3^(n+1)＜3^(n+1)+3^(n+1)=2・3^(n+1) (B)
(A)(B)と
2^n+3^n＜10^10≦2^(n+1)+3^(n+1)
より
3^n＜10^10＜2・3^(n+1)
となります。
No.51658 - 2018/07/06(Fri) 17:58:41
☆ Re: / 勉強
理解できました　ありがとうございました
No.51663 - 2018/07/07(Sat) 12:23:22
★ 中学受験算数 玉の分け方 / しゅう👦🏻
3人絶対1個ずつの3個を抜いて6こで場合分けしたのですが…答えは28で、どこがまちがっているのでしょうか？よろしくお願いいたします！
No.51651 - 2018/07/06(Fri) 09:37:56
☆ Re: 中学受験算数 玉の分け方 / しゅう👦🏻
これが問題を解いた式です。
No.51652 - 2018/07/06(Fri) 09:39:14
☆ Re: 中学受験算数 玉の分け方 / ヨッシー
(2, 2, 2) の１通り、が抜けていますね。
No.51654 - 2018/07/06(Fri) 09:47:02
☆ Re: 中学受験算数 玉の分け方 / しゅう👦🏻
あー抜けていました。ありがとうございます。すっかり忘れていました。
No.51655 - 2018/07/06(Fri) 11:51:23
★ 不等式証明 / N
3^n>2nを証明せよ。ただしｎは自然数。
（?T）ｎ＝１の時、
左辺＝３で右辺＝２なので命題は成立する。
（?U）ｎ＝ｋのとき命題が成立すると仮定する。ただしｋは自然数。
3^k>2k・・・?@
ｎ＝ｋ+１の時左辺ー右辺を考えると
3^(k+1)-2(k+1)>0
↑
上記のところでつまづいてしまい、続きが分からないのですがどなたか教えて貰えるでしょうか？
No.51648 - 2018/07/06(Fri) 01:15:50
☆ Re: 不等式証明 / ヨッシー
3^(k+1)-2(k+1)＝3・3^k−2k−2
　　＞3・2k−2k−2＝4k−2＞0
ですね。

ちなみに、
>3^(k+1)-2(k+1)>0
まだ確定していないのに　＞0　は付けない方が良いです。
　ｎ＝ｋ＋１ のとき
　3^(k+1)-2(k+1)>0 を示す。
ぐらいの書き方の方が良いでしょう。
No.51649 - 2018/07/06(Fri) 06:22:30
☆ Re: 不等式証明 / N
ありがとうございます。
参考にします。
No.51659 - 2018/07/06(Fri) 20:26:25
★ 中学数学 / 数学不得意
文章題が苦手です。詳しい解説よろしくお願いします。
No.51641 - 2018/07/05(Thu) 18:59:18
☆ Re: 中学数学 / ヨッシー
「方程式を作りなさい」ですから、文に書いてあるとおりに式を作ればいいのです。
x/2 ｍを毎分60mで歩いた時間と、x/2mを毎分120分で走った時間と、
ｘm を毎分80mで歩いた時間の合計は、ｘmを毎分60分で歩く時間より６分長い。
これを式にします。

式が出来たらあとは解くだけです。
No.51644 - 2018/07/05(Thu) 20:23:37
★ 整数問題 / ゆう
先日、質問させて頂いた
207,2007,20007・・・のように先頭が２で末尾が７で終り、間が０である整数で２７では割れるが８１では割れない最少の数を求めよ。
という問題について
解説が
10=9+1と考えると
(10)^(n+1)
=(9+1)^(n+1)最高位の数が2、一の位の数が7で間に0がn(＞1)個数続く数は
2×10^(n+1)+7 と表せる。
=81N+9(n+1)+1
となる。したがって、もとの数は
2N×81+9(2n+3)
となる。題意を満たすには、2n+3が3の倍数かつ9の倍数でない最小のnを求めればいい。
それがn=6
よって、求める数は 20000007
↑
上記の問題について、最高位の数が2、一の位の数が7で間に0がn(＞1)個数続く数は・・・のn>1の部分をn≧１にしてはダメなのでしょうか？
No.51629 - 2018/07/05(Thu) 13:52:31
☆ Re: 整数問題 / ヨッシー
n≧1 でも良いですね。

ではなぜ、ｎ＞１ にしたのかは作成者でないとわかりません。
n≧1 にしなくて問題ないか？　というと、この問題の場合は問題ありません。
207 は明らかに答えではないからです。
No.51630 - 2018/07/05(Thu) 14:14:41
☆ Re: 整数問題 / ゆう
n>1でもn≧１でもどちらでもよいということでしょうか？
何度もすみません。
No.51633 - 2018/07/05(Thu) 14:45:22
☆ Re: 整数問題 / ヨッシー
>この問題の場合は問題ありません。
ということは、問題になることもあるということです。

ただ、この問題について言えば、どちらでも良い、です。

判断基準は、１を含むかどうかが、結果に影響するか、です。
No.51635 - 2018/07/05(Thu) 15:05:43
☆ Re: 整数問題 / ゆう
了解です。
答えて頂きありがとうございます！！
No.51646 - 2018/07/05(Thu) 22:04:35
★ 中学受験算数 単位 / しゅう👦🏻
また単位ですみませんがkgもわからないのでよろしくお願いいたします！
No.51624 - 2018/07/05(Thu) 09:32:11
☆ Re: 中学受験算数 単位 / しゅう👦🏻
答えは98000です。
No.51625 - 2018/07/05(Thu) 09:32:55
☆ Re: 中学受験算数 単位 / ヨッシー
１ｔ＝1000kg
1000ｇ＝１ kg
なので、50t と 40000000ｇ をそれぞれ kg に直します。
50000＋8000＋40000＝98000　です。
No.51626 - 2018/07/05(Thu) 09:40:23
☆ Re: 中学受験算数 単位 / しゅう👦🏻
ありがとうございます。解いてみたら簡単でした。
No.51631 - 2018/07/05(Thu) 14:21:52
☆ Re: 中学受験算数 単位 / しゅう👦🏻
> ありがとうございます。先生の通りに解いてみたら簡単でした。
No.51632 - 2018/07/05(Thu) 14:22:28
★ 質問です。 / 山田
(1)は部分積分でできましたが、
(2)は数学的帰納法で特とわかったのですが、n=k+1の時につまってしまうので教えてくれるとありがたいです。別解が考えられたら教えてくれると嬉しいです。
(3)は単にとけませんでした
No.51605 - 2018/07/04(Wed) 23:45:53
☆ Re: 質問です。 / IT
できたところまで書き込まれると　早く回答が得られやすいと思います。
No.51607 - 2018/07/05(Thu) 00:02:10
☆ Re: 質問です。 / 山田
ここまでできました。
No.51608 - 2018/07/05(Thu) 00:06:30
☆ Re: 質問です。 / IT
（２）　
その解答でも合っていると思いますが、少しまわりみちですね。

いま（１）の結果より、　I[k+1]=(k+1)I[k]-{(loga)^(k+1)}/a
帰納法の仮定☆より　　　　　　＜(k+1)k!-{(loga)^(k+1)}/a＜(k+1)!
よって　n=k+1 のとき成立。
・・・・

で良いのでは？
No.51609 - 2018/07/05(Thu) 00:41:13
☆ Re: 質問です。 / 山田
余計な(loga)^k+1/aはあっても大丈夫なんですか？よく分からないんですが。
(3)も(2)と同様に帰納法でやると思うんですけどね
No.51611 - 2018/07/05(Thu) 00:52:51
☆ Re: 質問です。 / IT
大丈夫です。不等式を確認してください。
　　

（３）の略解です。
No.51613 - 2018/07/05(Thu) 01:18:01
☆ Re: 質問です。 / ast
> 余計な(loga)^k+1/aはあっても大丈夫なんですか？

確認すべきことは, (a は 1 より大きいと仮定しているので) log(a) は (したがって (log(a))^(k+1)/a も) 正の数となることです.
# (k+1)! から正の数を引いたものは (k+1)! よりも小さいので,
# (k+1)! より小さいもので上から抑えられる I_[k+1] が (k+1)! で抑えられないはずがない.
No.51614 - 2018/07/05(Thu) 01:19:54
☆ Re: 質問です。 / IT
51613　の画像では、途中の式で積分範囲を略してますが定積分です。
No.51615 - 2018/07/05(Thu) 01:21:33
☆ Re: 質問です。 / 山田
そうやってやればよかったんですね。ありがとうございます。無理やり対数微分法使って放り込んでやって、帰納法で考え出ました。(2)を使うことを考えればわかりますね。(2)なんですけど、
画像のような階差数列を作って解くことってできますか？
No.51616 - 2018/07/05(Thu) 01:22:39
☆ Re: 質問です。 / 山田
astさんへ
証明が不十分ということですか？
数学が未熟なもので。
No.51617 - 2018/07/05(Thu) 01:27:48
☆ Re: 質問です。 / IT
> (2)なんですけど、画像のような階差数列を作って解くことってできますか？

出来るできない以前の問題です。
１行目で証明がほとんどできているのに　そうする意図が分かりません。
No.51618 - 2018/07/05(Thu) 01:30:18
☆ Re: 質問です。 / 山田
ITさんへ
(2)の答えとは関係なしに一般に
この漸化式は解けないかと聞きたかったんです。
No.51619 - 2018/07/05(Thu) 01:36:22
☆ Re: 質問です。 / ast
> 証明が不十分ということですか？
いえ, IT さんが No.51609 で仰る通り ((k+1)! − {(loga)^(k+1)}/a < (k+1)! は) 自明だという話です.
No.51620 - 2018/07/05(Thu) 02:29:31
☆ Re: 質問です。 / IT
> ITさんへ
> (2)の答えとは関係なしに一般に
> この漸化式は解けないかと聞きたかったんです。

失礼しました。それは、それで面白い有効な解き方ですね。
（漸化式は、既にご自分で解いておられますよね）
No.51621 - 2018/07/05(Thu) 07:29:38
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