ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 数学検定について。 / コルム

数学検定2級で、黄チャートか白チャートかマセマのどれがよいのでしょうか？後、黄チャートは少し古いです。後、やっておいた方がよいのは、過去問以外にあるのでしょうか？特に、2次試験では、どんなことをすればよいのでしょうか？ひたすら過去問を解くしかないのでしょうか？教えていただけると幸いです。

No.51299 - 2018/06/23(Sat) 21:16:44

☆ Re: 数学検定について。 / ヨッシー

その人の達成レベルにもよりますし、書けられる時間にもよります。

２級というと高２レベルということですが、高２までの教科書レベルの問題が
難なく解ける人なら、数検の出題傾向とのズレを埋める意味で、
数検のテキスト(過去問とは限らない)を、一通りやるだけでいいと思います。
準２級を難なく通った人ならこのレベルで十分です。

問題は、教科書レベルでも難がある人ですが、それこそ人それぞれで、
どこに穴があるのかを見つけるだけでも一苦労ですので、時間を掛けて、
まずは、教科書レベルの問題を確実に解けるようにすることから始め、
次に数検のテキスト、余裕があれば、他の問題集という感じですかね。

感覚的には、チャートなどの厚めの問題集で時間を使うよりは、
数検の問題集のほうが効果的かと思います。

No.51328 - 2018/06/25(Mon) 09:26:00

☆ Re: 数学検定について。 / コルム

準2級を3回で受かったのですが、前者と後者どちらをお勧めしますか？大変恐縮ですが、教えていただけると幸いです。

No.51346 - 2018/06/25(Mon) 20:56:25

☆ Re: 数学検定について。 / ヨッシー

何が前者で何が後者かわかりませんが、

>まずは、教科書レベルの問題を確実に解けるようにすることから始め、
>次に数検のテキスト、余裕があれば、他の問題集
>チャートなどの厚めの問題集で時間を使うよりは、
>数検の問題集のほうが効果的
これ以上の回答は持ち合わせません。

No.51360 - 2018/06/26(Tue) 14:14:04

☆ Re: 数学検定について。 / コルム

ありがとうございました。

No.51361 - 2018/06/26(Tue) 18:04:03

★ 数A / Ur

回答までのチャートを教えて下さい。
A,B,Cの3人がじゃんけんを１回する時、次の場合の確率を求めよ。
1.AとBの2人が勝つ。
2.1人だけが勝つ。

No.51289 - 2018/06/23(Sat) 13:03:55

☆ Re: 数A / IT

グー、チョキ、パー　は平等なので
Aがグーを出したときを考えて
B,Cの出す手の表（３×３）の各マスに勝者を記入します。

No.51290 - 2018/06/23(Sat) 13:40:38

☆ Re: 数A / IT

（別の考え方）
１　Aはなんでもいい、BはAと同じ手、CはA,Bに負ける手

２　引き分けは、全員が同じ手　または　グー、チョキ、パーに分かれる場合。
２人が勝つのはAB、BC、CAの３とおりで　それぞれの確率は　１で求めたとおり。

１人が勝つ確率＝１－引き分けの確率－２人が勝つ確率

あるいは、Aが一人だけ勝つのは　BCともにAに負ける手を出す確率＝(1/3)(1/3)　よって、．．．．

No.51292 - 2018/06/23(Sat) 13:57:12

☆ Re: 数A / Ur

理解できました、ありがとうございます！

No.51334 - 2018/06/25(Mon) 17:37:43

★ 平均値の定理条件 / ⅵ

(1)の解答についてです。どうして開区間での微分可能性を示すだけで良いのでしょうか。微分可能⇒連続であると書いてありますが、開区間で微分可能⇒閉区間で連続だと言えるのですか？詳しい方、どなたか教えてください。よろしくお願いします。

No.51288 - 2018/06/23(Sat) 12:42:50

☆ Re: 平均値の定理条件 / IT

>開区間で微分可能⇒閉区間で連続だと言えるのですか？
言えません。（反例）　f(x)=1 x∈(0,1) ,f(x)=0 x=0,1。

その解答は不十分であり、その解説はまちがっていると思います。

No.51293 - 2018/06/23(Sat) 14:26:36

☆ Re: 平均値の定理条件 / ⅵ

ありがとうございます。すっきりしました。

No.51294 - 2018/06/23(Sat) 17:35:03

☆ Re: 平均値の定理条件 / IT

最も多く使用されている問題集の１つ　「基礎からのチャート式　数学3　（数研出版）」の最新版ですね。それにしては、基本的な間違いですね。

それが正しければ、そもそも、平均値の定理で、「f(x)が[a,b] で連続。」という条件は不要になります。

No.51298 - 2018/06/23(Sat) 19:24:47

★ 線形代数 / 堀内

ベクトル空間Ｖの２つの基底の間の基底の変換行列は、これらの基底に関する恒等写像Ｉｖの表現行列という意味も持っているとあるのですが、どういう意味なのでしょうか？

No.51282 - 2018/06/22(Fri) 23:08:22

☆ Re: 線形代数 / ast

任意のベクトル x∈V が二つの基底 {e_1,…,e_n}, {f_1,…,f_n} に関して
　(x =) (e_1,…,e_n)(x_1,…,x_n)' = (f_1,…,f_n)(y_1,…,y_n)' (ただし ' は行列の転置)
と表されるとすれば, 適当な行列 P を用いて
　(e_1,…,e_n)(x_1,…,x_n)' = (f_1,…,f_n)P(x_1,…,x_n)'
の形で (特に右辺が) 書ける. 要は, この式をどう読むかという話でしかありません.

1. 座標ベクトル (x_1,…,x_n)' は任意なので (e_1,…,e_n) = (f_1,…,f_n)P と見れば P は基底変換行列に他ならない
2. 上の書き方を踏襲すれば, 線型写像 f の (上記の基底に関する) 表現行列が A であるとは f((e_1,…,e_n)(x_1,…,x_n)') = (f_1,…,f_n)A(x_1,…,x_n)' となることと書ける. f が恒等写像 I_V のとき, その表現行列は上で見た通り P である.

No.51314 - 2018/06/24(Sun) 03:49:31

★ 複素数平面 / いくお

お願いします！！！

No.51277 - 2018/06/22(Fri) 21:04:50

☆ Re: 複素数平面 / X

(1)
前半)
z^2-(6√2)z+27=0
より
z=3√2±3i
よって条件から
α=3√2+3i
後半)
条件から△OABの重心について
(α+β)/3=(4/3)√2+7i/3
∴α+β=4√2+7i
これに前半の結果を代入して
β=√2+4i

(2)
前半)
(1)の結果により
α/β=(3√2+3i)/(√2+4i)
=3(√2+i)(√2-4i)/18
=(6-i3√2)/6
=1-i/√2
後半)
前半の結果により
(α-β)/(-β)=-α/β+1
=i/√2
∴∠OBA=arg((α-β)/(-β))=π/2

(3)
(2)の結果により
∠OBC=π/6
∴点Cを表す複素数をγとすると
Cは直線BC上にあるので
γ=k(-β){cos(π/6)+isin(π/6)}+β
=-k(√2+4i){(√3)/2+i/2}+√2+4i
=-k{(√6)/2-2+(1/√2+2√3)i}+√2+4i
=√2-k{(√6)/2-2}+{4-k(1/√2+2√3)}i (A)
(kは実数)
一方、点Cは直線OA上の点でもあるので
γ=3l√2+3li (B)
(lは実数)
(A)(B)から複素数の相等の定義により
√2-k{(√6)/2-2}=3l√2 (C)
4-k(1/√2+2√3)=3l (D)
(C)(D)をk,lの連立方程式として解き
(k,l)=(-2√2-2√3,6+(5/3)√6)

∴γ=(√2+i)(18+5√6)
=(18√2+10√3)+(18+5√6)i
となります。
(値が汚いです。計算が間違っていたらごめんなさい。)

No.51296 - 2018/06/23(Sat) 18:17:40

★ 確率 / いくお

お願いします！！！

No.51276 - 2018/06/22(Fri) 21:03:41

☆ Re: 確率 / ヨッシー

こちらにも載せておきます。

(1)
硬貨で表が出て、０，０，１の３枚を引く場合です。
カードの引き方は 6Ｃ3＝20(通り)
このうち、０，０，１を引くのは2通り。
よって、求める確率は
　1/2×2/20＝1/20
(2)
硬貨で表が出て、０，１，２　の３枚を引くか
硬貨で裏が出て、０，０，１，２の４枚を引く場合です。
前者は　1/2×8/20＝1/5
後者について考察すると、
　カードの引き方は　6Ｃ4＝15(通り)
　０，０，１，２を引くのは　４通り
　後者の確率は　1/2×4/15＝2/15
求める確率は　1/5＋2/15＝1/3
(3)
硬貨で表が出たとき
　Ｘ＝１：1/20
　Ｘ＝３：1/5
　Ｘ＝５：1/20
硬貨で裏が出たとき
　Ｘ＝３：2/15
　Ｘ＝５：2/15
合計 17/30
このうち、数字が３種類なのは
表のＸ＝３と、裏のＸ＝３とＸ＝５　であり。
確率は　1/5＋4/15＝7/15

求める条件付き確率は
　7/15÷17/30＝14/17

No.51327 - 2018/06/24(Sun) 17:41:36

★ (No Subject) / なん

2の２番どうやって解くのですか？答えは2ルート5です
解説お願いします

No.51274 - 2018/06/22(Fri) 19:37:39

☆ Re: / X

条件から
1/x=√5+1
1/y=√5-1
∴1/x+1/y=2√5
となります。

No.51275 - 2018/06/22(Fri) 21:01:13

☆ Re: / 関数電卓

>> なんさん
質問のしっぱなしはいただけません。
下の地震波の問題は、ご理解くださいましたか？

No.51283 - 2018/06/23(Sat) 00:17:28

☆ Re: / なん

すいません。外だとフィルターがかかっていて開かなくて申し訳ありません。わかりやすい解説ありがとうございます😊地震の方は図まで書いていただいてありがたいです！

No.51295 - 2018/06/23(Sat) 18:15:37

★ 高2 指数関数 / とこ

2^x+2^-x≧2√2^x・2^-x=2の=2の部分を回答を書く際に書かなくても大丈夫ですか？
また、2^x+2^-x=2の計算の仕方を教えて下さい

No.51272 - 2018/06/22(Fri) 18:59:42

☆ Re: 高2 指数関数 / X

>>2^x+2^-x≧2√2^x・2^-x=2の=2の部分を回答を書く際に書かなくても大丈夫ですか？
大丈夫ではありません。書く必要があります。

>>また、2^x+2^-x=2の計算の仕方を教えて下さい
2^x=u (A)
と置くと、問題の方程式は
u+1/u=2
これより
u^2+1=2u
u^2-2u+1=0
(u-1)^2=0
(A)よりu＞0に注意して
u=1
uを元に戻して
2^x=1
∴x=0
となります。

但し、相加平均と相乗平均の関係を使っているので
不等号の下の等号のときのxの値を求めたいのであれば
上記の計算よりも、等号成立条件である
2^x=2^(-x)
を計算した方が簡単です。
(両辺に2^xをかけるだけですので)

No.51278 - 2018/06/22(Fri) 21:07:10

☆ Re: 高2 指数関数 / とこ

なるほど！ありがとうございます！

No.51287 - 2018/06/23(Sat) 10:37:37

★ 順列高1 / 蘭

23の問題です。

解答は、その通りです。

ここで、疑問なのですが、この解答では、AとBが入れ替わるパターン、つまり、4！に2をかけていません。

なぜ、これでいいのですか？？

考え方と理由をよろしくお願いします。

No.51270 - 2018/06/22(Fri) 17:26:52

☆ Re: 順列高1 / 蘭

問題はこれです。

No.51271 - 2018/06/22(Fri) 17:27:27

☆ Re: 順列高1 / ヨッシー

２人の先生をＡ，Ｂと言っていると解釈します。

ＡとＢを入れ換えて、それぞれで４！ずつ並べ方があると考えると、
図のように、回転すると一致する並べ方が２組ずつ存在して
結局は２で割らないといけません。

そもそも、円順列の考え方は、１人（例えば先生Ａ）を固定して
それ以外の人を考えることによって、回転について考えないように
するものなので、ＡとＢが入れ替わるパターン自体存在しないのです。

No.51284 - 2018/06/23(Sat) 01:21:57

☆ Re: 順列高1 / 蘭

おぉ(((
なるほどです。

そもそも円順列とは、1人を固定して、それ以外の人を考えることによって、回転について考えないようにするもの。というのが、とてもしっくり来ました。

ありがとうございます！

No.51286 - 2018/06/23(Sat) 09:16:58

★ (No Subject) / ピロリ菌

この問題を教えてください！

No.51262 - 2018/06/21(Thu) 22:30:18

☆ Re: / noname

以下に解答の概略を与えておきます．この概略を参考に，一度答案を作成してみて下さい．
____________________________

(1)対数の真数条件と実数の根号に関する条件より，f(x)の定義域はx＞0である．この時，商の微分法を使ってf(x)をxで微分すると

f'(x)
＝((log(x))'・√x-log(x)・(√x)')/(√x)^2
＝(2-log(x))/(2x√x).

x＝aの時にf(x)が極大値をとるから，f'(a)＝0である．x＞0の時は2x√x＞0であることに注意すると，2-log(a)＝0である．これをaについて解けばaの値が求まる．また，f'(x)のx＞0での取り得る値の符号の変化を調べるには「2-log(x)のx＞0での取り得る値の符号の変化」を考えればよい．この結果をもとにf(x)の増減表を書けば，f(x)のx＞0での増減が分かる．

(2)曲線y＝f(x)上の点Pにおける接線の傾きはf'(t)であるから，直線ℓの方程式はy-f(t)＝1/f'(t)・(x-t)である．この式においてy＝0を代入すると，

-f(t)＝1/f'(t)・(x-t).
∴x＝t-f(t)・f'(t).

よって，Qの座標は(t-f(t)・f'(t),0)である．したがって，線分QRの長さは

|(t-f(t)・f'(t))-t|
＝|f(t)・f'(t)|
＝….

(3)g(t)＝(線分QRの長さ)とする．この時，以下の作業；

・g'(t)の式を求める．
・1＜t＜aの範囲で，g'(t)の取り得る値の符号の変化を調べ，g(t)に関する増減表を書く．
・増減表の結果をもとに，g(t)が最大となる様なtの値を求める．

をこの順に行う．

No.51266 - 2018/06/22(Fri) 00:53:26

★ 高1地学 / なん

すいません。地学なのですが数学的なので是非解説お願いします！問題は「東日本で起きた大きな地震による揺れ始めの時刻とその後到達したより大きい揺れのそれぞれの開始時刻は5時32分40秒.５時32分55秒であった
問1この地震におけるp波の速度とS波の速度を求めなさい」ここがわかりません。お願いします

No.51260 - 2018/06/21(Thu) 19:49:35

☆ Re: 高1地学 / 関数電卓

・横浜 (306km) への P 波到達… 5 h 32 m 15 s …?@
・横浜 (306km) への S 波到達… 5 h 32 m 55 s …?A
・甲府 (476km) への P 波到達… 5 h 32 m 40 s …?B

?@?Bより、Vp＝(476－306)/(40－15)＝6.8 km/s

?@?Cより、P 波の横浜到達への所要時間は 306/6.8＝45 s だから、地震発生時刻は 5 h 31 m 30 s …?D

?A?Dより、S 波の横浜到達までは 85 s。
よって、Vs＝306/85＝3.6 km/s

No.51261 - 2018/06/21(Thu) 21:26:43

★ (No Subject) / 水道屋

仕事の関係で流量計算方法がわからず、ご教授お願いします。
直径60ｃｍ高さ1ｍ60ｃｍのタンク（容量300L）いっぱいに水があります。底にXφの穴が空いた場合、平均流速2L/secで流れました。
このとき、何φの穴でしょうか？
できたら、式もおしえてほしいです。
また、初めの60秒は平均流速何L/secでしょうか？

No.51257 - 2018/06/21(Thu) 16:03:36

☆ Re: / 関数電卓

> 直径60ｃｍ高さ1ｍ60ｃｍのタンクいっぱい

の水量は　0.3^2･π･1.6＝0.452 m^3 ＝452 L で 300 L ではないのですが、何を優先させますか？

?@ 直径 60 cm、高さ 1 ｍ 60 cm
?A 直径 60 cm、水量 300 L → このとき水の高さは 1.06 m
?B 高さ 1 m 60 cm、水量 300 L → このときタンクの断面積は 0.1875 m^2、直径 49 cm

?@?A?Bすべて異なる結果を導きます。

No.51263 - 2018/06/21(Thu) 23:16:16

☆ Re: / 水道屋

ご指摘ありがとうございます。
?Aです。

No.51268 - 2018/06/22(Fri) 09:28:17

☆ Re: / 関数電卓

まずは図を

No.51279 - 2018/06/22(Fri) 22:34:25

☆ Re: / 関数電卓

上図のように諸量を定める。
水の高さが h のとき、底の穴から水が流れ出る速さ v は
　v＝√(2gh) …?@
で与えられます。←トリチェリーの法則…別途、検索して下さい。

水量 V の変化は
　dV/dt＝S･dh/dt＝－sv＝－s√(2gh)
断面積の比を k＝s/S とし　dh/√h＝－k√(2g)dt
積分して　2√h＝－k√(2g)t＋C(積分定数)
t＝0 のとき h＝h0 だから、C＝2√(h0) で、さらに両辺に √(2g) を掛け
　√(2gh)＝－gkt＋√(2gh0) …?A
?@より、v＝－gkt＋v0 …?B

?Bより v の平均は v0/2 で、これと s の積 s･v0/2 が 2 L/s＝2000 cm^3/s なのだから、

　s＝4000/v0＝4000/√(2gh0)＝4000/√(2･980･106)＝8.78 cm^2
　穴の直径 d は、d＝2√(s/π)＝2･√(8.78/3.14)＝3.34 cm

(後半) S＝30^2･3.14＝2826 cm^2 だから k＝s/S＝8.78/2826＝0.00311
t＝0 のとき ?Bより　v0＝√(2gh0)＝456 cm/s
t＝60 のとき　v＝－980･0.00311･60＋458＝273
0～60 s での平均流速は　(456＋273)/2＝365 cm/s
0～60 s での平均流量は　8.78･365＝3200 cm^3/s＝3.2 L/s

No.51280 - 2018/06/22(Fri) 23:03:49

☆ Re: / 水道屋

早速のお返事、ありがとうございます。
自分なりに一度、問いてみます。

No.51285 - 2018/06/23(Sat) 09:02:34

★ (No Subject) / 演習

practice20お願いします

No.51255 - 2018/06/21(Thu) 12:39:10

☆ Re: / noname

以下に解答の概略を与えておきます．この概略を参考にして，一度答案を作成してみて下さい．
_____________________________

[解答の概略]
(1-1)f(x)がx＝0で連続となるならば，極限lim_[x→0]f(x)が存在して

lim_[x→0]f(x)＝f(0)

である．このこと及び関数f(x)の定義より

lim_[x→0](cos(x)-1)/x^2
＝lim_[x→0]f(x)
＝f(0)
＝a.
∴a＝lim_[x→0](cos(x)-1)/x^2＝.

(1-2)まずはf(x)の取り得る値を調べる．

?@-1＜x＜1の時
lim_[n→∞]x^n＝0であるから，

f(x)＝lim_[n→∞](1+x)/(1+x^n)＝….

?Ax＝1,-1の時
x＝1の場合は，(1+x)/(1+x^n)の値を考えることにより，f(1)の値が求まる．一方でx＝-1の場合は，nが奇数の時は(1+x)/(1+x^n)が有限値ではなく，nが偶数の時は(1+x)/(1+x^n)が有限値であるため，極限lim_[n→∞](1+x)/(1+x^n)は存在しない．よって，f(-1)は定義出来ない．

?Bx＜-1,1＜xの時
この時，|x|＞1である．これと三角不等式

||a|-|b||≦|a+b|≦|a|+|b|（a,bは実数）

を用いると，

0≦|(1+x)/(1+x^n)|
＝|1+x|/|1+x^n|
≦|1+x|/|1-|x|^n|
≦(1+|x|)/|1-|x|^n|
＝(1/|x|^n+1/|x|^{n-1})/(1/|x|^n-1)
→0（n→∞）

よって，はさみうちの原理より

lim_[n→∞]|(1+x)/(1+x^n)|＝0.
∴f(x)＝….

以上により，f(x)の定義域と取り得る値が分かる．

一方，f(x)の連続性については，x＜-1,1＜xと-1＜x＜1の時のf(x)が連続であることから，x＝1の時の連続性を考えれば十分である．f(x)がx＝1で連続であるとは「極限lim_[x→1]f(x)が存在してその値がf(1)に等しい」ということであるから，次の2点；

・lim_[x→1+0]f(x)＝lim_[x→1-0]f(x)
・lim_[x→1]f(x)＝f(1)

が両方とも成り立つかどうかを確認すればよい．

(2)f(x)がx＝1で微分可能であれば，f(x)はx＝1で連続である．よって，極限lim_[x→1]f(x)が存在してその値がf(1)に等しい．特に，

lim_[x→1+0]f(x)＝lim_[x→1-0]f(x)

が成り立つ．この式を計算することで，aとbに関するある関係式が得られる．次に，f(x)がx＝1で微分可能であるから，

lim_[x→1+0]f'(x)＝lim_[x→1-0]f'(x).

が成立する必要がある．これより，aとbに関する第二の関係式が得られる．いま得られた2つのa,bの関係式を連立して解けば，aとbの値が求まる．

No.51265 - 2018/06/22(Fri) 00:35:03

☆ Re: / 演習

これでいいですか

No.51269 - 2018/06/22(Fri) 13:01:58

★ (No Subject) / 学級閉鎖

おはようございます。二次関数の質問です。

aを定数として、二次関数～y=x^2-(a+1)x+a+2…?@

関数?@のグラフの頂点の座標を求めるんですが、どう式を変形させてよいかわかりません。

それに加えて、『-(a+1)x』の部分の『x』て前の『a+1』に掛けてもいいんですか？
よろしくお願いします。

No.51253 - 2018/06/21(Thu) 09:39:55

☆ Re: / ヨッシー

例えば、
　ｘ^2＋3ｘ＋4＝ｘ^2＋2(3/2)ｘ＋(3/2)^2－(3/2)^2＋4
　　＝(x＋3/2)^2＋7/4
　ｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝ｘ^2＋2(b/2)ｘ＋(b/2)^2－(b/2)^2＋ｃ
　　＝(x＋b/2)^2－b^2/4＋ｃ
のように変形しますね。
ポイントは、
　・ｘの係数に２が見えるように、
　　　３→ 2×3/2
　　　ｂ→ 2×b/2
　・ｘの係数の半分の２乗を足して、(ｘ＋○)^2 が作れるようにする。
　　足した分は引いてつじつまを合わせておく。
です。

ｘ^2－(a+1)ｘ＋a＋2 も同様に、
　ｘ^2－(a+1)ｘ＋a＋2＝ｘ^2－2{(a+1)/2}ｘ＋{(a+1)/2}^2－{(a+1)/2}^2＋a＋2
　　　＝{x－(a+1)/2}^2－{(a+1)/2}^2＋a＋2
　　　＝{x－(a+1)/2}^2－ａ^2/4＋a/2＋7/4
これより、頂点は
　((a+1)/2, －ａ^2/4＋a/2＋7/4)
となります。

後半の質問は、－(a+1)x を－x(a+1) と書いていいということでしょうか？
おすすめはしませんが、間違いではありません。
ただし、2x を x2 と書くのは、まず認められていません。
a＋1 も、性質上、この 2 と同じ役割ですので、
(文字を含むので) ギリギリＯＫかなという程度で、感心はしません。

No.51254 - 2018/06/21(Thu) 10:10:17