ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / とおます

この問題を教えてください。bからさっぱりです…

No.51897 - 2018/07/18(Wed) 01:45:15

☆ Re: / 関数電卓

加速度αと紛らわしいので、球の半径を r と書くことにします。

(a) 球と台の間にはたらく摩擦力を f とする。運動方程式は
　球：Mα＝T－f …?@
　錘：mα＝mg－T …?A

(b) 回転の運動方程式　fr＝(2/5)Mr^2･d^2θ/dt^2 …?B　((2/5)Mr^2 は、球の慣性モーメントI)
　　θとαの間の関係　r･d^2θ/dt^2＝α …?C　(←球が台上を滑らないから)

(c) ?B?Cより、f＝(2/5)Mα …?D
　?@?A?Dを解いて　α＝5mg/(7M＋5m) …?E，T＝7Mmg/(7M＋5m) …?F
　時刻 t までの落下距離 y＝(1/2)αt^2＝(5/2)mg/(7M＋5m)･t^2 …?G

(d) 運動エネルギー並進：(1/2)(M＋m)v^2＝(1/2)(M＋m)(αt)^2 …?H
　回転：(1/2)Iω^2＝(1/2)(2/5)Mr^2･(v/r)^2＝(1/5)Mv^2＝(1/5)M(αt)^2 …?I
　運動エネルギーの和 ?H＋?I：(5/2)(mg)^2/(7M＋5m)･t^2 …?J
　
　錘の落下により解放される重力の位置エネルギー　?Gより mgx＝(5/2)(mg)^2/(7M＋5m)･t^2 …?K
　?J?Kより、力学的エネルギーが保存されることが示された。

　摩擦があるのにエネルギーが保存されるのは、摩擦が、並進運動エネルギーから回転運動エネルギーへのポンプの役割を果たすため。

No.51921 - 2018/07/18(Wed) 20:56:50

☆ Re: / とおます

ありがとうございます！！

No.51941 - 2018/07/19(Thu) 00:24:21

★ 赤枠で囲った部分の式変形がわからない / rinrin

赤枠で囲った部分の式変形がわからないです。
cos(x+Δx)-cosx はなぜ、-2sin(2x+Δx/2)・sinΔx/2になるのでしょうか？

No.51891 - 2018/07/18(Wed) 00:20:06

☆ Re: 赤枠で囲った部分の式変形がわからない / らすかる

和積公式で和の形を積の形に変形したものです。

No.51893 - 2018/07/18(Wed) 00:23:16

☆ Re: 赤枠で囲った部分の式変形がわからない / iria

ありがとうございます。画像の公式を使った、ということですか？この公式を使った場合、２番目の赤枠で囲った変形にならないように思うのですが。

No.51901 - 2018/07/18(Wed) 11:28:26

☆ Re: 赤枠で囲った部分の式変形がわからない / ヨッシー

その公式に、ｘ＝ｘ＋Δｘ、ｙ＝ｘ　を代入すると
　－2sin{(ｘ＋Δｘ＋ｘ)/2}sin{(ｘ＋Δｘ－ｘ)/2}
　　＝－2sin{(２ｘ＋Δｘ)/2}sin{(Δｘ)/2}
で、ドンピシャです。

No.51902 - 2018/07/18(Wed) 11:35:45

★ (No Subject) / す

なぜx＝0で微分不可能とわかるのでしょうか？

No.51889 - 2018/07/17(Tue) 23:47:54

☆ Re: / らすかる

x≦0のy'にx=0を代入すると-1つまりx=0における左微分係数は-1
x≧0のy'にx=0を代入すると1つまりx=0における右微分係数は-1
となり左微分係数と右微分係数が異なりますので、微分不可能です。

No.51892 - 2018/07/18(Wed) 00:21:00

☆ Re: / す

ありがとうございます！
質問なのですが、この分野で極限を取らなければいけない関数が出てきますが、それはどのような関数なのでしょうか？

No.51894 - 2018/07/18(Wed) 00:32:50

☆ Re: / らすかる

「極限を取らなければいけない関数」は、私には意味がよくわかりません。
「limを含む形の関数」ならば意味はわかりますが、
どんな関数でもあり得ますので、やはり「どのような関数」かはわかりません。

No.51895 - 2018/07/18(Wed) 00:35:34

★ (No Subject) / マホメット

画像の問題ですが、(1+e^(u^2))/(2ue^(u^2))とありますが、分子がどうしてもu^2+2e^(u^2)となってしまいます。解説お願いします。

No.51877 - 2018/07/17(Tue) 19:10:10

☆ Re: / X

{y^2+(y^2)e^{(x/y)^2}+(2x^2)e^{(x/y)^2}}/{2xye^{(x/y)^2}}
={y^2+(y^2)e^{(x/y)^2}}/{2xye^{(x/y)^2}}+(2x^2)e^{(x/y)^2}}/{2xye^{(x/y)^2}}
={1+e^{(x/y)^2}}/{2(x/y)e^{(x/y)^2}}+x/y
(第一項はy^2で約分、第二項は2xe^{(x/y)^2}で約分しています。)
∴u=x/y (B)
のとき
{y^2+(y^2)e^{(x/y)^2}+(2x^2)e^{(x/y)^2}}/{2xye^{(x/y)^2}}
={1+e^(u^2)}/{2ue^(u^2)}+u (A)
一方、(B)より
x=yu
∴dx/dy=(d/dy)(yu)
=u+ydu/dy (C)
条件から(A)=(C)なので
u+ydu/dy={1+e^(u^2)}/{2ue^(u^2)}+u
∴ydu/dy={1+e^(u^2)}/{2ue^(u^2)}
となります。

No.51879 - 2018/07/17(Tue) 20:10:14

☆ Re: / マホメット

すみません、分かりません。計算過程も詳しく教えて下さい。

No.51880 - 2018/07/17(Tue) 20:38:07

☆ Re: / X

No.51879をもう少し詳しく書きましたので
再度ご覧下さい。

No.51884 - 2018/07/17(Tue) 21:27:43

☆ Re: / マホメット

納得です❗ありがとうございました❗

No.51896 - 2018/07/18(Wed) 01:00:04

★ 分数関数の一般系変形 / 柚子

関数とグラフのところの分数関数の変形で、
y=x/2-xを一般系に変形したいのですが、自分でやってみたところ、y=2/(2-x)-1となりました。しかし答えのグラフを見てみると、どうやら-がつくみたいで(自分が出した関数とは真逆の関数)した。どうしたらそうなるのかがわかりません。どなたか教えてください。

No.51873 - 2018/07/17(Tue) 18:38:11

☆ Re: 分数関数の一般系変形 / らすかる

y=x/(2-x) を変形すると確かに y=2/(2-x)-1 になります。
もし一般形が y=a/(x+b)+c ならば
xの係数を正にする必要がありますので
2/(2-x)の分子分母に-1を掛けて
y=2/(2-x)-1
=-2/(x-2)-1
となります。

No.51874 - 2018/07/17(Tue) 18:52:35

☆ Re: 分数関数の一般系変形 / 柚子

最後に-を掛けるんですか……知りませんでした。
すみませんがもう一つお聞きしたいです。
関数y=(ax+b)/(2x+1)のグラフが点(-1,1)を通り、1つの漸近線がy=2であるとき、定数a.bを定めよ。
ご解説お願いできますでしょうか？

No.51878 - 2018/07/17(Tue) 19:17:01

☆ Re: 分数関数の一般系変形 / らすかる

y=2が漸近線ということは
y=c/(2x+1)+2 と表され、
これが(-1,1)を通ることから
1=c/(2×(-1)+1)+2
∴c=1
y=1/(2x+1)+2=(4x+3)/(2x+1)なので
a=4,b=3です。

No.51888 - 2018/07/17(Tue) 23:17:51

☆ Re: 分数関数の一般系変形 / 柚子

ありがとうございます！

No.51926 - 2018/07/18(Wed) 22:51:13

★ (No Subject) / あやか

くだらない質問かもしれませんが、度忘れしてしまったので教えて下さい。画像の式ですが、y=に直したらどうなるのでしょうか？右辺も分母と分子がひっくり変わるのでしょうか？お願いします。

No.51866 - 2018/07/17(Tue) 16:10:12

☆ Re: / らすかる

1/y=-x^4/4+C
=(-x^4+4C)/4
なので
y=4/(-x^4+4C)

No.51869 - 2018/07/17(Tue) 17:02:12

☆ Re: / あやか

y=-4/x^4+1/Cではダメなんですか？

No.51870 - 2018/07/17(Tue) 17:55:26

☆ Re: / ヨッシー

元の式は
　ｙ＝１、ｘ＝２、Ｃ＝５
で成り立ちます。もちろん、
　y＝4/(-x^4+4C)
も、
　(右辺)＝4/(－16＋20)＝1
で、成り立ちます。
一方、
　y＝－4/x^4＋1/C
はどうですか？

No.51872 - 2018/07/17(Tue) 18:35:21

☆ Re: / らすかる

例えば 1/2=1/3+1/6 ですが
2=3+6 は正しくないですね。
ですから加算されている分数をそれぞれ逆数にするのは誤りです。

No.51875 - 2018/07/17(Tue) 18:54:01

☆ Re: / あやか

なるほど！理解できました！ありがとうございました❗

No.51876 - 2018/07/17(Tue) 19:03:56

★ ln y をxで微分した式変形について / iria

画像の式で、
ln y = tan ^-1 x ・ln x の両辺をxで微分すると、
1/y ・y' = (tan ^-1 x)' ・ln x + tan ^-1 x・(ln x)' になると解答に書いてありました。右辺に関しては理解してるのですが、左辺がなぜln y　をxで微分すると、1/y ・y'　になるのかわかりません。

No.51853 - 2018/07/17(Tue) 14:25:22

☆ Re: ln y をxで微分した式変形について / iria

画像の式とかいた画像はこちらです

No.51854 - 2018/07/17(Tue) 14:25:51

☆ Re: ln y をxで微分した式変形について / らすかる

合成関数の微分の公式 {f(g(x))}'=f'(g(x))・g'(x) で
f(x)=ln(x), g(x)=y とすれば
f'(y)=1/y, g'(x)=y'なので
1/y・y'となりますね。

No.51857 - 2018/07/17(Tue) 14:29:33

☆ Re: ln y をxで微分した式変形について / iria

ありがとうございます。g(x)=y　を微分するとg'(x)=y'　になるのはわかるのですが、これはy'　以上に変形できないのでしょうか？

No.51859 - 2018/07/17(Tue) 14:56:15

☆ Re: ln y をxで微分した式変形について / らすかる

y'を求めるのが目的ですから、
そこで変形してしまったらy'が求まりませんね。

No.51860 - 2018/07/17(Tue) 15:02:00

☆ Re: ln y をxで微分した式変形について / iria

なるほど、ありがとうございます。

No.51864 - 2018/07/17(Tue) 15:22:18

★ n次の微分の仕方がわからない / iria

n次の微分の仕方がわからないです。写真のような問題があります。
波線を引いた箇所がなぜそのように微分されるのかわかりません。
どうしてそのように変形されるのでしょうか？

No.51850 - 2018/07/17(Tue) 14:14:02

☆ Re: n次の微分の仕方がわからない / ヨッシー

　(ｘ^n)’＝ｎｘ^(n-1)
これは良いですか？
　{(2x)^3}’＝3(2x)^2×(2x)'＝3(2x)^2×2
これはどうですか？
これは、合成関数の１つで、
　ｙ＝f(u)＝ｕ^3
　ｕ＝2x
より、
　dy/dx＝dy/du・du/dx＝3ｕ^2・2＝3(2x)^2×2

f(x)＝(1－x)^(-1) の場合　ｕ＝1－x、ｙ＝ｕ^(-1) の合成なので、
　f⁽¹⁾(x)＝(-1)(1－x)^(-1-1)・(1－x)’
　　＝(-1)(1－x)^(-2)・(－1)＝1・(1－x)^(-2)
　f⁽²⁾(x)＝{(1－x)^(-2)}’＝(-2)(1－x)^(-2-1)・(1－x)’
　　＝2・(1－x)^(-3)
のようになります。

No.51856 - 2018/07/17(Tue) 14:28:25

☆ Re: n次の微分の仕方がわからない / iria

丁寧な解答をありがとうございます。
(ｘ^n)’＝ｎｘ^(n-1)はわかります。しかし、
{(2x)^3}’＝3(2x)^2×(2x)'＝3(2x)^2×2　になるのが理解できません。
{(2x)^3}’＝3(2x)^2　になるのでは？と思います。{(2x)^3}’を(ｘ^n)’＝ｎｘ^(n-1)のように計算しない理由を知りたいです。

No.51858 - 2018/07/17(Tue) 14:47:24

☆ Re: n次の微分の仕方がわからない / らすかる

{(2x)^3}'は{f(g(x))}'=f'(g(x))・g'(x)で
f(x)=x^3, g(x)=2xとした形で、合成関数の微分です。
(x^n)'=nx^(n-1)となるのは
↑ここがxだから（微分すると1だから）であって、
2xの場合は2を掛ける必要があります。

No.51861 - 2018/07/17(Tue) 15:05:39

☆ Re: n次の微分の仕方がわからない / iria

なるほど、ありがとうございます。

No.51863 - 2018/07/17(Tue) 15:21:59

★ s,t,u、のうち少なくとも２つが５００以上になるとは / kitano

minamino です、s,t,u、のうち少なくとも２つが５００以上になるとは
こんにちは、宜しく御願いします。

質問

s,t,u、のうち少なくとも２つが５００以上になるとは、

これは、
s≧500 かつ、t≧500 …?@
s≧500 かつ、u≧500 …?A
t≧500 かつ、u≧500 …?B

s≧500 かつ、t≧500 ,かつ、u≧500 …?C

つまり、?@、?Aまたは、?Cと言い換えることができて
?Bは不要に思えるのですが、…

教えて下さい、何卒宜しく御願い致します。

No.51843 - 2018/07/17(Tue) 12:30:49

☆ Re: s,t,u、のうち少なくとも２つが５００以上になるとは / ヨッシー

ｓが500未満、ｔとｕが500以上
という状態は、
「s,t,u、のうち少なくとも２つが５００以上」
を満たしていますが、?@?A?Cのいずれも満たさないので、
?@または?Aまたは?C では表せていません。
よって、?Bも必要です。

むしろ、?Cの方が不要です。

No.51844 - 2018/07/17(Tue) 13:05:52

☆ Re: s,t,u、のうち少なくとも２つが５００以上になるとは / kitano

本当にお久しぶりです、ご回答有難うございます。

この質問の発端は

https://imgur.com/a/K8dnP4h

です。
非常に拙い考え方ですが、

宜しく御願いします。

minaino

No.51845 - 2018/07/17(Tue) 13:16:58

☆ Re: s,t,u、のうち少なくとも２つが５００以上になるとは / kitano

追記

s≧500 かつ、t≧500 ,但しs=t=uは除く…?@
s≧500 かつ、u≧500 s=t=uは除く…?A
t≧500 かつ、u≧500 s=t=uは除く…?B

s≧500 かつ、t≧500 ,かつ、u≧500 …?C

No.51846 - 2018/07/17(Tue) 13:19:04

☆ Re: s,t,u、のうち少なくとも２つが５００以上になるとは / kitano

追記

=========================================
ｓが500未満、ｔとｕが500以上
という状態は、
「s,t,u、のうち少なくとも２つが５００以上」
を満たしていますが、?@?A?Cのいずれも満たさないので、
?@または?Aまたは?C では表せていません。
よって、?Bも必要です。
==========================================

?@で　t≧500, ?Aでu≧500　であるから、

?Bの吟味は必要ないと思われますが、

宜しく御願い致します。

minamino

No.51847 - 2018/07/17(Tue) 13:35:03

☆ Re: s,t,u、のうち少なくとも２つが５００以上になるとは / ヨッシー

２４×２＋８＝５６　と、
正しい答え：２４×３－８×２＝５６
がたまたま同じになっただけで、考え方は誤っています。
　ｓ＝100Ｒ＋10Ｂ＋Ｙ
　ｔ＝100Ｂ＋10Ｙ＋Ｒ
　ｕ＝100Ｙ＋10Ｒ＋Ｂ
　Ｒ，Ｂ，Ｙは、赤、青、黄色のサイコロの出た目
および、
　s≧500 かつ、t≧500 …?@
　s≧500 かつ、u≧500 …?A
　t≧500 かつ、u≧500 …?B
　s≧500 かつ、t≧500 ,かつ、u≧500 …?C
において、?Cを満たす
　(Ｒ，Ｂ，Ｙ)＝(5,5,5), (5,5,6), ・・・(6,6,6)
の８通りは
?@の24通りにも?Aの24通りにも含まれるので、
　24＋24＋8 では、合計３回も数えられています。
一方、
(Ｒ，Ｂ，Ｙ)＝(1,5,5) は?Bに含まれるのに数えられていません。
余分に数えた分と、?Bを数えずに落ちた分が、たまたま同じであっただけです。

No.51848 - 2018/07/17(Tue) 14:10:23

☆ Re: s,t,u、のうち少なくとも２つが５００以上になるとは / kitano

ヨッシー様

お早う御座います。

自分の過ちがわかりました。

感謝しております。

今後もよろしく御願い致します

kitano

No.51898 - 2018/07/18(Wed) 06:05:38