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★ 不等式証明 / N
3^n>2nを証明せよ。ただしｎは自然数。
（?T）ｎ＝１の時、
左辺＝３で右辺＝２なので命題は成立する。
（?U）ｎ＝ｋのとき命題が成立すると仮定する。ただしｋは自然数。
3^k>2k・・・?@
ｎ＝ｋ+１の時左辺ー右辺を考えると
3^(k+1)-2(k+1)>0
↑
上記のところでつまづいてしまい、続きが分からないのですがどなたか教えて貰えるでしょうか？
No.51648 - 2018/07/06(Fri) 01:15:50
☆ Re: 不等式証明 / ヨッシー
3^(k+1)-2(k+1)＝3・3^k−2k−2
　　＞3・2k−2k−2＝4k−2＞0
ですね。

ちなみに、
>3^(k+1)-2(k+1)>0
まだ確定していないのに　＞0　は付けない方が良いです。
　ｎ＝ｋ＋１ のとき
　3^(k+1)-2(k+1)>0 を示す。
ぐらいの書き方の方が良いでしょう。
No.51649 - 2018/07/06(Fri) 06:22:30
☆ Re: 不等式証明 / N
ありがとうございます。
参考にします。
No.51659 - 2018/07/06(Fri) 20:26:25
★ 中学数学 / 数学不得意
文章題が苦手です。詳しい解説よろしくお願いします。
No.51641 - 2018/07/05(Thu) 18:59:18
☆ Re: 中学数学 / ヨッシー
「方程式を作りなさい」ですから、文に書いてあるとおりに式を作ればいいのです。
x/2 ｍを毎分60mで歩いた時間と、x/2mを毎分120分で走った時間と、
ｘm を毎分80mで歩いた時間の合計は、ｘmを毎分60分で歩く時間より６分長い。
これを式にします。

式が出来たらあとは解くだけです。
No.51644 - 2018/07/05(Thu) 20:23:37
★ 整数問題 / ゆう
先日、質問させて頂いた
207,2007,20007・・・のように先頭が２で末尾が７で終り、間が０である整数で２７では割れるが８１では割れない最少の数を求めよ。
という問題について
解説が
10=9+1と考えると
(10)^(n+1)
=(9+1)^(n+1)最高位の数が2、一の位の数が7で間に0がn(＞1)個数続く数は
2×10^(n+1)+7 と表せる。
=81N+9(n+1)+1
となる。したがって、もとの数は
2N×81+9(2n+3)
となる。題意を満たすには、2n+3が3の倍数かつ9の倍数でない最小のnを求めればいい。
それがn=6
よって、求める数は 20000007
↑
上記の問題について、最高位の数が2、一の位の数が7で間に0がn(＞1)個数続く数は・・・のn>1の部分をn≧１にしてはダメなのでしょうか？
No.51629 - 2018/07/05(Thu) 13:52:31
☆ Re: 整数問題 / ヨッシー
n≧1 でも良いですね。

ではなぜ、ｎ＞１ にしたのかは作成者でないとわかりません。
n≧1 にしなくて問題ないか？　というと、この問題の場合は問題ありません。
207 は明らかに答えではないからです。
No.51630 - 2018/07/05(Thu) 14:14:41
☆ Re: 整数問題 / ゆう
n>1でもn≧１でもどちらでもよいということでしょうか？
何度もすみません。
No.51633 - 2018/07/05(Thu) 14:45:22
☆ Re: 整数問題 / ヨッシー
>この問題の場合は問題ありません。
ということは、問題になることもあるということです。

ただ、この問題について言えば、どちらでも良い、です。

判断基準は、１を含むかどうかが、結果に影響するか、です。
No.51635 - 2018/07/05(Thu) 15:05:43
☆ Re: 整数問題 / ゆう
了解です。
答えて頂きありがとうございます！！
No.51646 - 2018/07/05(Thu) 22:04:35
★ 中学受験算数 単位 / しゅう👦🏻
また単位ですみませんがkgもわからないのでよろしくお願いいたします！
No.51624 - 2018/07/05(Thu) 09:32:11
☆ Re: 中学受験算数 単位 / しゅう👦🏻
答えは98000です。
No.51625 - 2018/07/05(Thu) 09:32:55
☆ Re: 中学受験算数 単位 / ヨッシー
１ｔ＝1000kg
1000ｇ＝１ kg
なので、50t と 40000000ｇ をそれぞれ kg に直します。
50000＋8000＋40000＝98000　です。
No.51626 - 2018/07/05(Thu) 09:40:23
☆ Re: 中学受験算数 単位 / しゅう👦🏻
ありがとうございます。解いてみたら簡単でした。
No.51631 - 2018/07/05(Thu) 14:21:52
☆ Re: 中学受験算数 単位 / しゅう👦🏻
> ありがとうございます。先生の通りに解いてみたら簡単でした。
No.51632 - 2018/07/05(Thu) 14:22:28
★ 質問です。 / 山田
(1)は部分積分でできましたが、
(2)は数学的帰納法で特とわかったのですが、n=k+1の時につまってしまうので教えてくれるとありがたいです。別解が考えられたら教えてくれると嬉しいです。
(3)は単にとけませんでした
No.51605 - 2018/07/04(Wed) 23:45:53
☆ Re: 質問です。 / IT
できたところまで書き込まれると　早く回答が得られやすいと思います。
No.51607 - 2018/07/05(Thu) 00:02:10
☆ Re: 質問です。 / 山田
ここまでできました。
No.51608 - 2018/07/05(Thu) 00:06:30
☆ Re: 質問です。 / IT
（２）　
その解答でも合っていると思いますが、少しまわりみちですね。

いま（１）の結果より、　I[k+1]=(k+1)I[k]-{(loga)^(k+1)}/a
帰納法の仮定☆より　　　　　　＜(k+1)k!-{(loga)^(k+1)}/a＜(k+1)!
よって　n=k+1 のとき成立。
・・・・

で良いのでは？
No.51609 - 2018/07/05(Thu) 00:41:13
☆ Re: 質問です。 / 山田
余計な(loga)^k+1/aはあっても大丈夫なんですか？よく分からないんですが。
(3)も(2)と同様に帰納法でやると思うんですけどね
No.51611 - 2018/07/05(Thu) 00:52:51
☆ Re: 質問です。 / IT
大丈夫です。不等式を確認してください。
　　

（３）の略解です。
No.51613 - 2018/07/05(Thu) 01:18:01
☆ Re: 質問です。 / ast
> 余計な(loga)^k+1/aはあっても大丈夫なんですか？

確認すべきことは, (a は 1 より大きいと仮定しているので) log(a) は (したがって (log(a))^(k+1)/a も) 正の数となることです.
# (k+1)! から正の数を引いたものは (k+1)! よりも小さいので,
# (k+1)! より小さいもので上から抑えられる I_[k+1] が (k+1)! で抑えられないはずがない.
No.51614 - 2018/07/05(Thu) 01:19:54
☆ Re: 質問です。 / IT
51613　の画像では、途中の式で積分範囲を略してますが定積分です。
No.51615 - 2018/07/05(Thu) 01:21:33
☆ Re: 質問です。 / 山田
そうやってやればよかったんですね。ありがとうございます。無理やり対数微分法使って放り込んでやって、帰納法で考え出ました。(2)を使うことを考えればわかりますね。(2)なんですけど、
画像のような階差数列を作って解くことってできますか？
No.51616 - 2018/07/05(Thu) 01:22:39
☆ Re: 質問です。 / 山田
astさんへ
証明が不十分ということですか？
数学が未熟なもので。
No.51617 - 2018/07/05(Thu) 01:27:48
☆ Re: 質問です。 / IT
> (2)なんですけど、画像のような階差数列を作って解くことってできますか？

出来るできない以前の問題です。
１行目で証明がほとんどできているのに　そうする意図が分かりません。
No.51618 - 2018/07/05(Thu) 01:30:18
☆ Re: 質問です。 / 山田
ITさんへ
(2)の答えとは関係なしに一般に
この漸化式は解けないかと聞きたかったんです。
No.51619 - 2018/07/05(Thu) 01:36:22
☆ Re: 質問です。 / ast
> 証明が不十分ということですか？
いえ, IT さんが No.51609 で仰る通り ((k+1)! − {(loga)^(k+1)}/a < (k+1)! は) 自明だという話です.
No.51620 - 2018/07/05(Thu) 02:29:31
☆ Re: 質問です。 / IT
> ITさんへ
> (2)の答えとは関係なしに一般に
> この漸化式は解けないかと聞きたかったんです。

失礼しました。それは、それで面白い有効な解き方ですね。
（漸化式は、既にご自分で解いておられますよね）
No.51621 - 2018/07/05(Thu) 07:29:38
★ (No Subject) / jt
大学の質問で申し訳ないのですが教えてください。
次の変換を行う2次元空間用の同次座標系における変換行列を求めよ。
(1)ある点を(1,-1)^Tだけ移動し、次に時計方向に60°回転
(2)ある点を時計方向に60°回転し、次に(1,-1)^Tだけ移動
お願いします。
No.51602 - 2018/07/04(Wed) 21:48:18
☆ Re: / ast
以下, 通常の平面上で考えた 2×2 行列による一次変換については既知とします (問題があればその旨仰ってください). また, 各座標は縦ベクトルという了解のもと転置の記号をしばしば省略します

平面上の非斉次座標 (x,y) で表される点を射影平面上の斉次座標 [x:y:1] で表される点に対応させる埋め込みを考えます. このとき, 非斉次の平面上で 2×2 行列 A によって表される変換は

　A~ := ((A,0),(0,1))

(注: ブロック行列として行ごとに表示, 二つの 0 はそれぞれ適当なサイズの零ベクトル) という形の 3×3 行列 A~ を掛ける変換として射影平面上に実現されます. また, 平面上のベクトル c := (a,b) だけ平行移動する変換は

　T_c := ((E,c),(0,1)) = ((1,0,a),(0,1,b),(0,0,1))

という 3×3 行列 T_c を掛けると実現できます.

例えば (1) ならば, 縦ベクトル (x,y,1) に ((1,0,1),(0,1,−1),(0,0,1)) を掛けてから (R_[−60°])~ を掛ければよい (平面上の θ 回転の行列を R_θ と書いています) ということになります.
# なお, 掛ける順番には注意しましょう. (というのはこの問題の趣旨でもあると思いますが.)
No.51606 - 2018/07/04(Wed) 23:48:34
★ 図形について。 / コルム
次の問題で、なぜ直角二等辺三角形を使うのでしょうか？教えていただけると幸いです。r,rまでは、わかったのですが。教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。
No.51601 - 2018/07/04(Wed) 21:46:37
☆ Re: 図形について。 / コルム
(1)にかかれていますが、二等辺三角形までしかわかりません。√2rはどこから出てきたのでしょうか？教えていただけると幸いです。
No.51603 - 2018/07/04(Wed) 21:48:36
☆ Re: 図形について。 / ヨッシー
立体Ｗの体積を、普通に積分で求めることは出来ますか？
これが出来ないと、上の解説は理解できないと思います。
No.51622 - 2018/07/05(Thu) 09:02:30
☆ Re: 図形について。 / コルム
すみません。そこからわかりません。
どうやって、積分で求めればよいのでしょうか？
No.51634 - 2018/07/05(Thu) 14:47:38
☆ Re: 図形について。 / コルム
調べると、分かりました。
∫（ｘ＝０〜ｒ/２）π（√ｒ＾２−ｘ＾２）＾２ｄｘ
＝π〔ｒ＾３/３−ｘ＾３/３〕（０〜ｒ/２）
＝π（ｒ＾３/３−７ｒ＾３/２４）
＝π（ｒ＾３/２４）
＝ｒ＾３/２４π
でしょうか？教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。間違いがあれば、指摘をお願いします。
No.51636 - 2018/07/05(Thu) 16:33:07
☆ Re: 図形について。 / コルム
間違えました。
正しくは、
＝π〔ｒ＾２ｘ−ｘ＾３/３〕（０〜ｒ/２）
＝π〔ｒ＾３/２−ｒ＾３/２４−０〕
＝π〔１１ｒ＾３/２４〕
＝１１ｒ＾３/２４πでした。
大変失礼いたしました。教えていただけると幸いです。
No.51637 - 2018/07/05(Thu) 16:56:00
☆ Re: 図形について。 / ヨッシー
正しくは
　∫[x＝r/2〜r]π√(ｒ^2−ｘ^2)^2 dx
ですが、本問の本質ではないので、とりあえず置いておいて、
この式の中の
　π√(ｒ^2−ｘ^2)^2
とはなんですか？
No.51638 - 2018/07/05(Thu) 16:56:13
☆ Re: 図形について。 / コルム
球の断面積の円の面積です。なぜ、x=r/2〜rなのでしょうか？教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。
No.51639 - 2018/07/05(Thu) 18:01:34
☆ Re: 図形について。 / ヨッシー
ｘ＝０ の点はどこですか？
No.51640 - 2018/07/05(Thu) 18:16:52
☆ Re: 図形について。 / コルム
半球の底面ですか？教えていただけると幸いなのですが。
大変恐縮ですが。
No.51642 - 2018/07/05(Thu) 19:48:04
☆ Re: 図形について。 / ヨッシー
ｘがきちんと定義できていないと、
　π√(ｒ^2−ｘ^2)^2
なんて式は出てこないはずなんですが。

π√(ｒ^2−ｘ^2)^2 が断面積というところは合っています。
では、ｘ＝０ のとき断面積はいくつで、それはどこの断面ですか？
No.51643 - 2018/07/05(Thu) 20:19:15
☆ Re: 図形について。 / コルム
x=0のとき断面積は、πr∧2で、半球の底面です。
あっていますでしょうか？xは、半球の底面から、断面積までの高さでしょうか？教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。
No.51645 - 2018/07/05(Thu) 21:58:31
☆ Re: 図形について。 / ヨッシー
「あっていますでしょうか？」じゃなくって、自分で定義したｘ軸で
計算した断面積なら疑いがないはずでしょう。

で、ここまで来たら、
>なぜ、x=r/2〜rなのでしょうか？
も自然と片付いているのではないですか？
そこまで考察した上で、書き込みされないと、無駄な記事が増える一方です。
No.51647 - 2018/07/05(Thu) 23:25:14
☆ Re: 図形について。 / コルム
すみません。x=r/2〜rの件については、片付きました。
で、本題に戻りますが、二等辺三角形になるのは、どうしてでしょうか？r,rまでしかわかっていないのに。教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。
No.51650 - 2018/07/06(Fri) 07:48:25
☆ Re: 図形について。 / ヨッシー
そこで、No.51622 以降の話が活きてくるのですが、
1) 体積は断面積を積分すると求められる。
2) 直円錐と、少し傾いた円錐（ただし高さは同じ）のように、形が変わっても
　 断面積が全ての位置において等しければ体積は等しい。
イメージしにくければ、
2') 積分範囲のどこにおいても、断面積が等しい２つの立体の体積は等しい
と理解しても良いです。
ここまでは良いですか？

半径ｒの球の中心を０とし、半径方向にｘ軸を取ると、
3) ｘ座標ｘにおける球の断面積は π√(ｒ^2−ｘ^2)^2 である。
4) 変形すると、断面積は π(ｒ^2−ｘ^2) である。
5) これは πｒ^2−πｘ^2 なので、半径ｒの円から、半径ｘの円をくり抜いたドーナツ型の面積と等しい。
6) こういうドーナツ型の断面を持つ図形は、下の図の右側のような、円柱から円錐をくり抜いた立体である。
7) この立体をＸと呼ぶことにすると、半球と立体Ｘは断面積がどの位置においても等しいので、体積は等しい。
8) 立体Ｘを高さ半分のところで切った上の方と、立体Ｗの体積は等しい。
9) 立体Ｘを真横から見ると、円柱と円錐と底面で挟まれた部分がｒ，ｒ，√2ｒ の直角二等辺三角形になっている。
10) 実はこの部分が、直角二等辺三角形になっていることは、立体Ｗの体積を求めることと、なんの関係もない。

どうですか？
No.51653 - 2018/07/06(Fri) 09:45:15
☆ Re: 図形について。 / コルム
2),8),9),10)がわかりません。もう少し詳しく教えていただけると幸いなのですが。大変恐縮ですが。本当にすみません。
No.51656 - 2018/07/06(Fri) 16:51:16
☆ Re: 図形について。 / コルム
ありがとうございました。
No.51676 - 2018/07/09(Mon) 07:05:36
★ ｙ＝−log?Ux?U / ブラッドマミ
お世話になります。ブラッドマミと申します。
log?Ux?Uにマイナスをつけたdy/dx＝−log?Ux?Uの結果を知りたくて、投稿させて頂きます。どなたか分かる方解説よろしくお願い致します。
No.51599 - 2018/07/04(Wed) 20:05:15
☆ Re: ｙ＝−log?Ux?U / らすかる
-log|x|を積分したら何になるか、という質問でしたら
x-xlog|x|+Cになります。
No.51604 - 2018/07/04(Wed) 21:50:58
★ 力学 / とおます
この問題を教えていただきたいです。お願いいたします。
No.51597 - 2018/07/04(Wed) 18:35:59
☆ Re: 力学 / X
(a)
条件から
↑r=(lcosθ)↑e[x]+(lsinθ)↑e[y]
又、速度ベクトル、加速度ベクトルをそれぞれ
↑v,↑aとすると
↑v=(d/dt)↑r={-(dθ/dt)lsinθ}↑e[x]+{(dθ/dt)lcosθ}↑e[y]
↑a=(d/dt)↑v
={-(d^2θ/dt^2)lsinθ-{(dθ/dt)^2}lcosθ}↑e[x]+{(d^2θ/dt^2)lcosθ-{(dθ/dt)^2}lsinθ}↑e[y]

(b)
時刻tにおける原点周りの角運動量ベクトルを↑Lとすると
(a)の↑vを用いて
↑L=↑r×(m↑v)
=m{(lcosθ)↑e[x]+(lsinθ)↑e[y]}×{{-(dθ/dt)lsinθ}↑e[x]+{(dθ/dt)lcosθ}↑e[y]}
=(ml^2){(dθ/dt)(cosθ)^2+(dθ/dt)(sinθ)^2}↑e[x]×↑e[y]
=(ml^2)(dθ/dt)↑e[x]×↑e[y] (A)
一方、物体に働く空気抵抗による力は
k↑v
∴物体に関する回転の運動方程式は
d↑L/dt=↑r×(-k↑v)
これより
(ml^2)(d^2θ/dt^2)↑e[x]×↑e[y]=(-kl^2)(dθ/dt)↑e[x]×↑e[y]
∴求める微分方程式は
m(d^2θ/dt^2)=-k(dθ/dt)

(c)
前半)
(b)の結果をdθ/dtについての微分方程式として解くと
dθ/dt=C[1]e^(-kt/m) (B)
(C[1]は任意定数)
ここで条件からt=0のときdθ/dt=v[0]/l
∴C[1]=v[0]/l
となるので(B)は
dθ/dt={v[0]/l}e^(-kt/m)
∴θ=-{mv[0]/(kl)}e^(-kt/m)+C[2] (B)'
(C[2]は任意定数)
ここで条件からt=0のときθ=0
∴C[2]=mv[0]/(kl)
となるので(B)'は
θ={mv[0]/(kl)}{1-e^(-kt/m)} (B)"
これを(a)の結果に代入して
↑r=(lcos{{mv[0]/(kl)}{1-e^(-kt/m)}})↑e[x]+(lsin{{mv[0]/(kl)}{1-e^(-kt/m)}})↑e[y]
後半)
停止するまでにN回転したとすると(B)"により
N=lim[t→∞]θ/(2π)
=mv[0]/(2πkl)
No.51598 - 2018/07/04(Wed) 19:41:50
☆ Re: 力学 / とおます
ありがとうございます！！
No.51610 - 2018/07/05(Thu) 00:46:39
★ 微分 / 抜いたまま
(2)から教えてください。
No.51595 - 2018/07/04(Wed) 16:35:21
☆ Re: 微分 / ヨッシー
f(x)＝1−(logｘ)/x と考えたほうが、何かと都合がいいです。
(1)
　f'(x)＝{−(1/x)ｘ＋logｘ)/ｘ^2＝(logｘ−1)/ｘ^2
(2)
　ｘ＝ｅのとき f'(x)＝０　(極小)となり、
　lim[x→+0]f(x) は＋∞に発散
　lim[x→∞]f(x)＝１
グラフの概形はこのようになります。

(3)
　ｘ＞０ として、両辺ｘで割ると、
　ａ＝f(x) となるので、ｙ＝f(x) と ｙ＝ａ の交点を考えます。
　ｘ＝ｅ のとき　f(x)＝1−1/ｅ　これが極小値なので、ａの範囲は、
　1−1/ｅ＜ａ＜１
解は０＜ｘ＜ｅ と ｅ＜ｘ の範囲に１つずつ存在するので、
整数解として有りうるのは　ｘ＝１　または　ｘ＝２。
ｘ＝１ のとき　f(1)＝１ となり、ａの範囲を逸脱します。
ｘ＝２ のとき　f(2)＝1−(log2)/2
一方、f(4)＝1−log4/4＝1−log(2^2)/4＝1−2log2/4＝1−(log2)/2
であり、f(2) と等しくなります。
f(x) は、ｅ＜ｘ で単調増加なので、解はこれだけです。
　ａ＝1−(log2)/2　整数解は　ｘ＝２，４
No.51628 - 2018/07/05(Thu) 11:35:21
★ 整数の性質 / 抜いたまま
(1)から教えてください。
No.51594 - 2018/07/04(Wed) 16:34:51
☆ Re: 整数の性質 / ヨッシー
(1)
条件より　Ａ＝６ａ、Ｂ＝６ｂ　（ａ＜ｂ、ａ，ｂは互いに素な整数）と書けて、
　Ａ＋Ｂ＝６（ａ＋ｂ）＝７２　
より
　ａ＋ｂ＝１２
和が１２の互いに素な２整数は
　(a, b)＝(1, 11), (5, 7)
よって、(A, B)＝(6, 66)、(30, 42)
(2)
Ａ＝ａＧ、Ｂ＝ｂＧ　（ａ＜ｂ、ａ，ｂは互いに素な整数）と置きます。
　Ｌ＝ａｂＧ　
なので
　Ｌ÷Ｇ＝ａｂ＝28
また、
　Ａ＋Ｂ＝(ａ＋ｂ)Ｇ＝154　　・・・(i)
積が２８の互いに素な２整数は
　(a, b)＝(1, 28), (4, 7)
このうち、(i) に当てはめてＧが整数になるのは、
　(a, b)＝(4, 7)
であり、このとき、Ｇ＝14、(A, B)＝(56, 98)
No.51596 - 2018/07/04(Wed) 17:36:39
★ 三角関数 / 抜いたまま
(2)から教えてください。
No.51593 - 2018/07/04(Wed) 16:34:17
☆ Re: 三角関数 / ヨッシー
(2)
cos2x＝2cos^2x−1 より
　ｙ＝4cos^2x＋cosx−1
と書けます。平方完成すると
　ｙ＝4(cosx＋1/8)^2−17/16
よって、ｙの最小値は −17/16
このとき、cosθ＝−1/8
　sinθ＝3√7/8
　tanθ＝−3√7
No.51623 - 2018/07/05(Thu) 09:24:53
★ 図形と方程式 / 抜いたまま
(2)から教えてください。
No.51592 - 2018/07/04(Wed) 16:33:32
☆ Re: 図形と方程式 / ヨッシー
(2)
点ＰはＣ1の中心(0,0) と Ｃ2の中心(4,3) を１：４に内分する点なので、
　(4/5, 3/5)
この２点を結ぶ直線の傾きは　3/4 であり、求める接線はこれに垂直なので、
傾きは −4/3。接線は (4/5, 3/5) を通ることから、
　ｙ＝−(4/3)(x−4/5)＋3/5
　ｙ＝−(4/3)ｘ＋5/3
No.51627 - 2018/07/05(Thu) 09:55:47
☆ Re: 図形と方程式 / コルム
横レス失礼します。(1)は、どのように、解けばよいのでしょうか？計算過程を教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。a=2に、たどり着けません。すみません。
No.51664 - 2018/07/08(Sun) 01:15:39
★ 中学受験算数 基礎力問題 / しゅう👦🏻
答えは(12,216),(24,108)なんですがなぜ,(36,72)がないのでしょうか？よろしくお願いいたします！
No.51589 - 2018/07/04(Wed) 15:40:26
☆ Re: 中学受験算数 基礎力問題 / らすかる
36と72の最大公約数は36、最小公倍数は72なので条件に合いません。
No.51590 - 2018/07/04(Wed) 15:42:07
☆ Re: 中学受験算数 基礎力問題 / しゅう👦🏻
「割れるから」という条件に合わないのですね。ありがとうございます。
No.51591 - 2018/07/04(Wed) 15:47:08
★ 整数問題 / ゆう
207,2007,20007・・・のように先頭が２で末尾が７で終り、間が０である整数で２７では割れるが８１では割れない最少の数を求めよ。
という問題について
解説が
最高位の数が2、一の位の数が7で間に0がn(＞1)個数続く数は
2×10^(n+1)+7 と表せる。
10=9+1と考えると
(10)^(n+1)
=(9+1)^(n+1)
=81N+9(n+1)+1
となる。したがって、もとの数は
2N×81+9(2n+3)
となる。題意を満たすには、2n+3が3の倍数かつ9の倍数でない最小のnを求めればいい。
それがn=6
よって、求める数は 20000007
とサイトに載っていたのですが、2n+3が３の倍数かつ９の倍数でない最小のｎの値を３としては間違いなのでしょうか？
無知ですみません。だれか教えてください。
No.51586 - 2018/07/04(Wed) 14:22:43
☆ Re: 整数問題 / ヨッシー
ｎ＝３ だと、
　2n＋3＝9
となり、９の倍数になってしまいます。

３の倍数かつ９の倍数でないｎ
と混同していませんか？
No.51587 - 2018/07/04(Wed) 14:29:55
☆ Re: 整数問題 / ゆう
確かに、混同していたようです。
納得できました。
ありがとうございます！！
No.51588 - 2018/07/04(Wed) 14:37:23
★ 中学受験算数 基礎力問題 / しゅう👦🏻
ｘってどうやって求めるんでしょうか？答えは108です。よろしくお願いいたします。
No.51579 - 2018/07/04(Wed) 11:06:09
☆ Re: 中学受験算数 基礎力問題 / らすかる
BO=BO'=OO'なので△BOO'は正三角形です。
よってxのところをXとすると
∠XO'O=∠XOO'=114°-60°=54°なので
x=∠XO'O+∠XOO'=108°となります。
No.51580 - 2018/07/04(Wed) 11:26:14
☆ Re: 中学受験算数 基礎力問題 / しゅう👦🏻
正三角形を付け足して解くんですね。ありがとうございます！
No.51585 - 2018/07/04(Wed) 13:04:10
★ 中学受験算数 基礎力問題 / しゅう👦🏻
(3)の時間の筆算はどうやってすればいいんでしょうか？よろしくお願いします。答えは6,49,20です。
No.51577 - 2018/07/04(Wed) 10:59:28
☆ Re: 中学受験算数 基礎力問題 / しゅう👦🏻
よろしくお願いします！
No.51578 - 2018/07/04(Wed) 11:00:02
☆ Re: 中学受験算数 基礎力問題 / らすかる
8時間35分20秒の2倍は
16時間70分40秒
=17時間10分40秒
ですから、これを24時間から引いたら
6時間49分20秒となります。
No.51581 - 2018/07/04(Wed) 11:27:36
☆ Re: 中学受験算数 基礎力問題 / しゅう👦🏻
らすかる先生ありがとうございます。問題解けました！
No.51584 - 2018/07/04(Wed) 13:01:38
★ (No Subject) / しゅう👦🏻
(1)は分かりましたが(2)の線分図はどうやって書いてみたらいいのでしょうか？(2)の答えは24.3です。よろしくお願いします。
No.51575 - 2018/07/04(Wed) 10:48:36
☆ Re: 中学受験算数 割合 / しゅう👦🏻
> (1)は分かりましたが(2)の線分図はどうやって書いてみたらいいのでしょうか？(2)の答えは24.3です。よろしくお願いします。
No.51576 - 2018/07/04(Wed) 10:49:27
☆ Re: / ヨッシー

Ａは３回のはね返りで、最初の長さの　(2/3)^3＝8/27 倍になります。
Ｂは２回のはね返りで、最初の長さの　(3/5)^2＝9/25 倍になります。
最初のＢの高さを?@とすると、図のようになり、
　丸数字　9/25−8/27＝43/675
が、4.3×8/27 m に当たります。
?@ は、4.3×8/27÷43/675＝20(m)
に当たり、Ａは 20＋4.3＝24.3(m) になります。
No.51582 - 2018/07/04(Wed) 11:58:01
☆ Re: / しゅう👦🏻
今度からそうやって書いて見てみます。
No.51583 - 2018/07/04(Wed) 12:23:11
★ 中学受験算数 既約分数 / しゅう👦🏻
98の既約分数は、
1 3
ー ー…など98の最大公約数以外までわかったのですが、何個ある
98 98
かわからないので探し方の解説お願いします。答えは21です。




No.51570 - 2018/07/04(Wed) 09:03:17
☆ Re: 中学受験算数 既約分数 / ヨッシー
最大公約数ではなく、98 と 1 以外の約数を持たないもの（98 と互いに素といいます）ですね。

　98＝2×7×7
なので、分子が２の倍数でも７の倍数でもないものについて合計します。
（以下、分子だけの足し算を考えます）
全部足すと
　１＋２＋・・・＋９７＝４７５３
２の倍数の和は
　２＋４＋・・・＋９６＝２×（１＋２＋・・・＋４８）＝２×１１７６＝２３５２
７の倍数は
　７＋１４＋・・・＋９１＝７×（１＋２＋・・・＋１３）＝７×９１＝６３７
１４の倍数は
　１４＋２８＋・・・＋８４＝１４×（１＋２＋・・・＋６）＝１４×２１＝２９４
よって、２，７いずれの倍数でもない数の和は
　4753-2352-637+294=2058
よって、求める和は
　2058/98＝21　・・・答え
No.51571 - 2018/07/04(Wed) 09:15:50
☆ Re: 中学受験算数 既約分数 / ヨッシー
別解
上の回答の「互いに素」という言葉を使います。意味は上の通りです。
また、単に「互いに素」といえば「９８と互いに素」の意味であると受け取ってください。

例えば、
　１が互いに素なら　９８−１＝９７　も互いに素です。
　２は互いに素ではなく　９８−２＝９６　も互いに素ではありません。
理由
　ｎが９８と１以外の公約数ｋを持つなら、９８＝ａｋ、ｎ＝ｂｋ　（ａ，ｂは整数）
と書けて、９８−ｎ＝（ａ−ｂ）ｋ　と書けるので、
　ｎ　と　９８−ｎ　の片方だけ互いに素でないということはありえないのです。

すると、１と９７、３と９５、５と９３　のように、互いに素な数で、足して９８になる組が
いくつか出来ます。
よって、互いに素な数の個数だけ数えれば、答えを導くことが出来ます。
１〜９７までで９７個あります。
２の倍数は　（９６÷２＝）４８個あります。
７の倍数は　（９１÷７＝）１３個あります。
１４の倍数は　（８４÷１４＝）６個あります。
よって、互いに素な数の個数は
　９７−４８−１３＋６＝４２
よって、足して９８になる組が　（４２÷２＝）２１組出来るので、
分子の和は　２１×９８　分母９８で割ると　和は２１となります。
No.51572 - 2018/07/04(Wed) 09:29:21
☆ Re: 中学受験算数 既約分数 / しゅう👦🏻
どちらもありがとうございます。どちらもよく分かりました。別解の方が計算しやすくて時間がかからないので別解で解いてみます。
No.51574 - 2018/07/04(Wed) 09:45:19
★ (No Subject) / ピロリ菌
この問題を教えてください。
答えが不安です…
No.51564 - 2018/07/03(Tue) 22:00:01
☆ Re: / ヨッシー
２ａ−ｂ＝ｘ＋ｙ なので、
この問題は、長さ３のｘと、長さ２のｙが、
角度を色々変えるとき、ｘ＋ｙの大きさの
最大値と最小値を求めよ、と言うのと同じです。
ｘとｙが同じ方向の時が最大で　５
ｘとｙが逆の方向の時が最小で　１
です。
No.51567 - 2018/07/04(Wed) 06:29:37
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