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★ (No Subject) / egg
n + (n-1) + (n-2) + (n-3) + (n-4) + … + 1 ≧ 100

のとき、なぜこれが

n (n+1) / 2 ≧ 100

と表せるのでしょうか。


また仮にnは整数の必要があるとき、解の公式で大体13.5になるところまで求めたら四捨五入で14にするといった感じでしょうか。
No.50700 - 2018/05/30(Wed) 10:07:02
☆ Re: / らすかる
1からnまでの自然数の和はn(n+1)/2です。
有名な公式ですが、簡単に説明するならば
1 + 2 + 3 + … + (n-2) + (n-1) + n
n+(n-1)+(n-2)+…+　3　+　2　+　1
を縦に加えて
(n+1)+(n+1)+(n+1)+…+(n+1)+(n+1)+(n+1)
で(n+1)がn個なのでn(n+1)/2となります。

最後の2行は目的によりますので13.5のときどうするかは
問題がわからないと何とも言えません。
No.50701 - 2018/05/30(Wed) 10:51:21
☆ Re: / egg
ありがとうございます。
逆向きだからうまくイメージできませんでしたが、1-100の和でよく説明される等差数列の公式になるのですね。
No.50703 - 2018/05/30(Wed) 14:56:58
★ (No Subject) / 雪
何度も失礼します。

この3つは、すべて「解なし」で合ってますか？
No.50696 - 2018/05/30(Wed) 05:46:40
☆ Re: / らすかる
残念ながら合っていません。
「解なし」は(2)だけです。
No.50697 - 2018/05/30(Wed) 06:50:43
★ (No Subject) / 雪
したがって、から先の文の意味がよくわかんないので
教えていただけませんか？
No.50695 - 2018/05/30(Wed) 05:36:30
☆ Re: / ヨッシー
「したがって」の直前の
　ｘ＝１　のとき　ｙ＝０
　ｘ≠１　のとき　ｙ＞０
が超重要です。これを完全に理解したとして、
　ｙ＝ｘ^2−2x＋1
について、ｙ＞０ となるｘを考えると、
　ｘ＜１ のときは、ｙ＞０ となりＯＫ
　ｘ＝１ のときは、ｙ＝０ となりＮＧ
　ｘ＞１ のときは、ｙ＞０ となりＯＫ
よって、ｙ＞０ となるのは、ｘ＝１ 以外のすべての実数
同様に、ｙ＜０ となるのは
　ｘ＜１ のときは、ｙ＞０ となりＮＧ
　ｘ＝１ のときは、ｙ＝０ となりＮＧ
　ｘ＞１ のときは、ｙ＞０ となりＮＧ
よって、ｙ＜０ となるような実数ｘは存在しない。

不等号が　＜＞　が　≦≧ になると、ｙ＝０ の場合もＯＫとなり、
ｙ≧０ となるのは、
　ｘ＜１ のときは、ｙ＞０ となりＯＫ
　ｘ＝１ のときは、ｙ＝０ となりＯＫ
　ｘ＞１ のときは、ｙ＞０ となりＯＫ
よって、ｙ≧０ となるのは、ｘ＝１ も含みすべての実数
ｙ≦０ となるのは
　ｘ＜１ のときは、ｙ＞０ となりＮＧ
　ｘ＝１ のときは、ｙ＝０ となりＯＫ
　ｘ＞１ のときは、ｙ＞０ となりＮＧ
よって、ｙ≦０ となるのは ｘ＝１ のみＯＫということで、ｘ＝１。

※ＮＧ（No Good）は「ダメ」という意味です。
No.50699 - 2018/05/30(Wed) 08:54:04
☆ Re: / 雪
詳しい解説ありがとうございます(^ ^)

暗記なのでしょうか…
No.50712 - 2018/05/30(Wed) 21:57:36
☆ Re: / ヨッシー
暗記ではありません。

グラフと対比しての考察です。
No.50713 - 2018/05/31(Thu) 00:04:52
★ (No Subject) / 雪
どっちの数値が大きいとか、決まりはありますか？
No.50694 - 2018/05/30(Wed) 05:21:54
☆ Re: / ヨッシー
α＜β　です。

普通は、注釈があるはずですが。
No.50698 - 2018/05/30(Wed) 08:43:59
★ 行列、線形写像 / 堀内

ｆを線形変換とし、ｆの表現行列Ａは正則とする。

このとき、
なめらかな曲線Ｋ上の点Ｐにおける接線ｌの像ｆ（ｌ）はｆ（Ｋ）上の点ｆ（Ｐ）における接線となる
（証明）
画像の通り
（疑問）
Ｋの任意の点Ｐにおける接線の方向ベクトルｍは、、、として与えられる。
という部分についてなぜ単位行列にしてあるのですか？
Ιq-pΙ→０とすれば、Ｑ→Ｐなので、分母のΙq-pΙという部分は不要だと思うのです。
No.50693 - 2018/05/30(Wed) 00:31:09
★ 効率の良い解法を教えていただきたいです。 / クト
20人が横一列に座っている。左から順に1〜20の番号が割り当てられている。最初の合図ですべての人が立つ。次の合図で２番の人から１人おきに（２・４・６・・・）座る。さらに次の合図では３番の人から２人おきに（３・６・９・・・）座ってる人は立ち、立っている人は座るこれを４回目は（４・８・１２・・・）と２０回の合図まで続けたときに何人立っているか。
商業高校の情報処理の問題で制限時間が大幅に少ない中の問題なので解法に困っています...なにかいいとき方はないでしょうか。
初めての質問で失礼します...
No.50690 - 2018/05/29(Tue) 21:53:47
☆ Re: 効率の良い解法を教えていただきたいです。 / IT
1〜20の自然数　nについて　nの２以上の約数の個数が偶数の場合ｎ番目の人は最後に立っています。それ以外の人は座っています。

ｎを素因数分解して　正の約数の個数の偶奇を調べればいいです。
ｎが平方数のとき、そのときだけ正の約数の個数が奇数となり２以上の約数の個数が偶数となります。

これが分かりにくければ、20個ぐらいなら単純にマークしていった方が速いかもしれません。
No.50691 - 2018/05/29(Tue) 23:32:47
☆ Re: 効率の良い解法を教えていただきたいです。 / クト
ありがとうございます！
No.50723 - 2018/05/31(Thu) 18:19:25
★ 有界数列に関する定理の証明 / 堀内
添付画像の(?B）に関する証明が（?@）と同様にしてできると省略されているため自分でやってみたのですが、
（?@）と同様にはなりませんでした。
間違っているのでしょうか？
No.50688 - 2018/05/29(Tue) 21:27:16
☆ Re: 有界数列に関する定理の証明 / 堀内
証明の内容です
No.50689 - 2018/05/29(Tue) 21:28:06
☆ Re: 有界数列に関する定理の証明 / noname
a_[n]＝O(b_[n])であることの定義の条件が正しくないです．この定義の条件は，正確には「ある正の番号n_[0]とある正の実数Mが存在し，n≧n_[0]を満たす全ての番号nに対して|a_[n]/b_[n]|＜Mである」というものです．この定義に従って証明例の概要を以下に与えておきます．ご参考ください．
________________________________

[証明例]
a_[n]＝O(b_[n])であるから，ある正の番号n_[0]と正の実数Mが存在して，|a_[n]|＜Mb_[n](∀n≧n_[0])が成立する．よって，n≧n_[0]ならば，

|Σ_[k＝n_[0],n]a_[n]|
≦Σ_[k＝n_[0],n]|a_[n]|
＜MΣ_[k＝n_[0],n]b_[n].

ここで，必要ならばn_[0]＞1となる様にn_[0]をより大きなものとして取り直し，

M_[0]＝|Σ_[k＝1,n_[0]-1]a_[n]|

とおく．以下，(i)の後半の議論と同じ．
No.50692 - 2018/05/29(Tue) 23:52:15
☆ Re: 有界数列に関する定理の証明 / 堀内
ありがとうございます
No.50731 - 2018/05/31(Thu) 23:50:33
★ (No Subject) / め
物理で申し訳ありません。この解法がよくわかりません…なぜOの方向に垂直抗力が働くのでしょうか…張力だけだとmgと釣り合わないから？でしょうか…
No.50684 - 2018/05/29(Tue) 00:43:51
☆ Re: / ヨッシー
結論からいうと、
>張力だけだとmgと釣り合わないから
です。
重力は鉛直方向、張力は糸の方向なので、これを釣り合わせる
第３の力が必要で、この場合は、垂直抗力です。

なぜ、Ｏの方向かという質問なら、
小球のある位置で、円周面に垂直な向きはＯに向かう方向（半径方向）だからです。
No.50685 - 2018/05/29(Tue) 08:33:57
☆ Re: / め
ありがとうございます！
No.50687 - 2018/05/29(Tue) 18:00:43
★ 高校数学(一年r二年) / ゆずえ
x を未知数，k を定数とする２次方程式 x*2 + 6kx + 9k*2 −k + 1 = 0 が2重解を持つように k の値を定め，そのときの2重解を求めよ。
答えもわかっていません。どなたかご解説よろしくお願いします。
No.50672 - 2018/05/28(Mon) 19:47:52
☆ Re: 高校数学(一年r二年) / IT
２次方程式ですから
x^2+6kx+9k^2-k+1 = 0…?@ だとします。
解の公式により
?@の解はx=-3k±√(9k^2-(9k^2-k+1))=-3k±√(k-1)
よって?@が２重解を持つのはk=1 のときで、２重解はx=-3。
No.50674 - 2018/05/28(Mon) 20:03:14
☆ Re: 高校数学(一年r二年) / ゆずえ
すみません、できれば判別式を用いりたいのですが…無理ですかね？
No.50675 - 2018/05/28(Mon) 20:12:03
☆ Re: 高校数学(一年r二年) / ヨッシー
IT さんの回答で、すでに判別式が使われています。
なぜｋ＝１のときに重解になるかわかりますか？
No.50676 - 2018/05/28(Mon) 20:18:33
☆ Re: 高校数学(一年r二年) / ゆずえ
すみません、わかりません。
No.50680 - 2018/05/28(Mon) 21:40:35
☆ Re: 高校数学(一年r二年) / ゆずえ
すみません、わかりません。というよりどこで判別式で使われたかもわかりません。
No.50681 - 2018/05/28(Mon) 21:41:07
☆ Re: 高校数学(一年r二年) / IT
方程式?@が2重解を持つ⇔方程式?@の判別式/4=(3k)^2-(9k^2-k+1)=k-1=0

前の解答の√の中が{判別式/4}です。

{判別式/4}が分かりにくければ, 判別式＝(6k)^2-4(9k^2-k+1)=4(k-1)=0


＃「解の公式」や「平方完成」によるほうが、「判別式」によるより、原理が分るのと、解も同時に求められるので「解の公式」によりました。
No.50683 - 2018/05/28(Mon) 23:23:40
☆ Re: 高校数学(一年r二年) / ヨッシー
２次方程式　ax^2＋bx＋c＝0 の解は
　ｘ＝{−b±√(b^2−4ac)}/2a
判別式は　Ｄ＝b^2−4ac

特に、ｂが偶数のとき(２がくくり出せるとき）
２次方程式　ax^2＋2b'x＋c＝0 の解は
　ｘ＝{−b'±√(b'^2−ac)}/a
判別式は　D/4＝b'^2−ac

のように、解の公式と判別式をセットで覚えておかないと
解の公式が書かれているのに、「判別式はどこ？」みたいな
ことになります。
No.50686 - 2018/05/29(Tue) 09:40:14
☆ Re: 高校数学(一年r二年) / ゆずえ
返信が遅れてしまい申し訳ありません。おかげさまで理解することができました。
どうやらcの範囲指定ミスだったようで…あとxを入れてしまったりして失敗していたようです。
お二方ありがとうございました。
No.50725 - 2018/05/31(Thu) 21:20:36
★ (No Subject) / っ
立て続けの質問すみません
どうやってとくか見当もつきませんお願いします
No.50671 - 2018/05/28(Mon) 19:39:08
☆ Re: / X
(1)
(与式)=lim[n→∞]{(2/3)^n}{1+(-1/2)^n}/{1+5・(-1/3)^n}
=0

(2)
f(n)={(-2)^n}/n!
と置くと
(i)n=2k-1のとき
n!=(2k-1)!＞1・2・2・4・4・…・{2(k-1)}・{2(k-1)}
∴n!＞{2^(2(k-1))}(k!)^2
となるので
0＜|f(n)|={2^(2k-1)}/(2k-1)!＜2/(k!)^2
∴はさみうちの原理により
lim[n→∞]|f(n)|=0
∴lim[n→∞]f(n)=0
(ii)n=2kのとき
n!=2k!=2k・(2k-1)!＞2k・1・2・2・4・4・…・{2(k-1)}・{2(k-1)}
∴n!＞2k{2^(2(k-1))}(k!)^2
となるので
0＜|f(n)|={2^(2k)}/(2k)!＜4k/(k!)^2=4/{k!(k-1)!}
∴はさみうちの原理により
lim[n→∞]|f(n)|=0
∴lim[n→∞]f(n)=0

以上から
(与式)=0

(3)
これは無限等比級数の和を求める問題です。
(与式)=lim[n→∞]2{1-1/2^n}/(1-1/2)
=2/(1/2)=4
No.50677 - 2018/05/28(Mon) 20:20:51
☆ Re: / っ
ありがとうございます！！
No.50678 - 2018/05/28(Mon) 20:23:26
☆ Re: / IT
(2) 別解
n≧3のとき、0＜|{(-2)^n}/n!|≦{(2^2)/2!}(2/3)^(n-2) →0　（n→∞）
No.50679 - 2018/05/28(Mon) 21:40:28
★ (No Subject) / っ
なぜ分数が1になるのですか？？
No.50669 - 2018/05/28(Mon) 19:21:07
☆ Re: / ヨッシー
lim[θ→0](sinθ/θ)＝１
という性質を利用しています。
No.50673 - 2018/05/28(Mon) 19:51:07
★ 数学的帰納法について。 / コルム
n=1と、n=2を試しているのは、どうしてなのでしょうか？教えていただけると幸いです。範囲もかかれていないのですが。教えていただけると幸いです。
http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=res&resto=50156
No.50664 - 2018/05/28(Mon) 18:12:15
☆ Re: 数学的帰納法について。 / ヨッシー
あちらで解決したようですので、とりあえず保留します。
No.50665 - 2018/05/28(Mon) 18:29:14
★ ラプラス変換について / ENO
t∧3*e∧-2t
をラプラス変換するとどうなるのかがどうしても分からないので、解き方とかるい解説をお願いしたいです。
No.50660 - 2018/05/28(Mon) 00:19:00
☆ Re: ラプラス変換について / X
ラプラス変換の定義式に従うのであれば
lim[t→∞](t^n)/e^(3t)=0
(nは自然数)
を証明した上で、部分積分を3回実行すれば
解けます。
No.50661 - 2018/05/28(Mon) 04:54:53
★ 定義域、値域 / Delta
No.50633に

y^2=x^2-5x+4の定義域をx≧5/2とすると
(1)値域を求めよ
(2)逆関数を求めよ
(3)(2)で求めた逆関数の定義域と値域を求めよ

という問題が書いておりました。個人的にこの問題は
・x≧5/2と書いてあるにも関わらず例えばx=5/2に対応する実数yが存在しない
・yがxの関数ではない(xに対しyが一意に定まらない)
という2つの問題点を抱えているように思います。

このような場合、値域を定めることができるのでしょうか。
元々の質問者ではないですが気になりましたので質問いたします。
No.50659 - 2018/05/27(Sun) 23:30:10
☆ Re: 定義域、値域 / ヨッシー
こちらの記述によると、
「現在では，関数というのを1価に限定するが，逆関数を考えたりするときに出てくる。」
この問題はその典型と思われます。
No.50662 - 2018/05/28(Mon) 14:33:20
☆ Re: 定義域、値域 / Delta
すみません、よく分からないのですが
例えば y^2=1-x^2 の定義域をx≧0としたとき、値域は
?@-1≦y≦1
?A-1≦y≦1 および 純虚数全体
?Bそもそも値域を考えることがナンセンス
?Cその他
どれが正しいのでしょうか。
No.50663 - 2018/05/28(Mon) 18:09:37
☆ Re: 定義域、値域 / IT
元の質問者からのレスがないので、あくまで推測ですが
私は、元の問題はy=x^2-5x+4　の記入ミスだと思います。

x^2-5x+4=(x-5/2)^2-9/4 ですから、
x≧5/2 だと、ちょうど グラフの軸の右半分になって、（一価の）逆関数が存在することになります。
No.50666 - 2018/05/28(Mon) 18:47:26
☆ Re: 定義域、値域 / Delta
返信、ありがとうございます。
記入ミスかもしれないということは
・高校数学の演習問題の範疇では実数から複素数への写像の値域はまず問われない
・多価関数の値域は範囲を制限しない場合、一般的には定めない(もしくは定められない)
という解釈でよろしいでしょうか。
No.50667 - 2018/05/28(Mon) 18:59:18
☆ Re: 定義域、値域 / IT
> ・高校数学の演習問題の範疇では実数から複素数への写像の値域はまず問われない

私の知る限りでも複素数係数の関数（値域を問う問題ではないですが）などもときどき出題されているので、なんとも言えません。

> ・多価関数の値域は範囲を制限しない場合、一般的には定めない(もしくは定められない)

高校数学の範疇では「多価関数」は、取り扱わない。ということだと思います。

高等学校学習指導要領解説(文部科学省）
逆関数については，元の関数が１対１の対応であるとき，xの定義域とyの定義域についてその逆の対応を考えることによって逆関数が定義できることや，逆関数のグラフと元の関数のグラフが直線y=xに関して線対称の位置にあることなどを理解させる。また，対数関数が指数関数の逆関数であることもここで触れる。


現行の教科書：数研出版の高等学校数学３の「逆関数」の節には
[例]関数y=x^2の逆関数
y=x^2 をxについて解くと　x=±√y
この場合ｙの値を定めてもxの値はただ１つには定まらない。
よって、関数y=x^2は逆関数をもたない。
＜注意＞定義域を制限した関数y=x^2（x≧0）は逆関数をもつ。その逆関数はy=√x である。

とあります。
No.50668 - 2018/05/28(Mon) 19:14:45
☆ Re: 定義域、値域 / Delta
ありがとうございます。
納得できました。
No.50670 - 2018/05/28(Mon) 19:21:31
★ 方程式の解 / 七虹
1行目の方程式の解を求める問題なんですけど、３行めの式からどうやって解を求めるんですか？
No.50655 - 2018/05/27(Sun) 22:23:56
☆ Re: 方程式の解 / らすかる
○×△=0 となるためには
○か△のどちらかが0でなければなりません。
従って
(x+1)(3x+5)=0 が成り立つためには
x+1=0 または 3x+5=0 である必要があります。
x+1=0 ならば x=-1
3x+5=0 ならば x=-5/3
となりますね。
No.50656 - 2018/05/27(Sun) 22:27:07
☆ Re: 方程式の解 / 七虹
そういえば中三で習っていた内容ですね！
ありがとうございます！
No.50658 - 2018/05/27(Sun) 23:10:19
★ 関数f(x) / ASEAN
y=f(x)
このf(x)ってなんですか？
No.50653 - 2018/05/27(Sun) 21:09:25
☆ Re: 関数f(x) / らすかる
「あるxの関数」を記号であらわしたものです。
例えば「三角形の高さ」の値がわからない時など、
高さを「h」という記号で表したりしますよね。
それと同様で、関数がどういう関数かわからない場合、
決まっていない場合、あるいは決まっているが
略記したい場合などに、f(x)のように書きます。
「関数f(x)とは」で検索してみると、説明している
ページがたくさん出てきますので、いろいろ見てみると
理解が深まるかと思います。
No.50654 - 2018/05/27(Sun) 22:22:15
★ (No Subject) / えの
授業中の解説で分からなかったので詳しい解説お願いします。
No.50647 - 2018/05/27(Sun) 19:14:17
☆ Re: / IT
> 授業中の解説で分からなかったので詳しい解説お願いします。

どんな解説でしたか？
No.50648 - 2018/05/27(Sun) 19:27:57
☆ Re: / IT
挟み撃ちによります。

n＞5のとき
0＜(5^n)/n!≦((5^5)/5!)(5/6)^(n-5) →0(n→∞) です。
右の不等式が成り立つことは、具体的なn=6,7,8などで確認してください。
No.50649 - 2018/05/27(Sun) 19:35:35
☆ Re: / えの
なるほど挟み撃ちですね！理解できましたありがとうございます
No.50651 - 2018/05/27(Sun) 20:46:07
★ 場合の数 高1 / 耐水性
議長、書記各1名、委員6人の計8人の円型テーブルに着席するとき、議長、書記が隣り合わない並び方は何通りあるか。

私は「並び方の総数から書記と議長が両隣になる場合を除く」方法で考え、最初は7!-6!だと思ったのですが、解説では7!-6!×2!になっていました。この2!というのは、議長の「両隣」のどちらかに書記が座ることができるから、という解釈で大丈夫でしょうか。
No.50644 - 2018/05/27(Sun) 16:20:38
☆ Re: 場合の数 高1 / らすかる
はい、その通りです。
No.50645 - 2018/05/27(Sun) 16:42:39
★ 図形と計量 / ありさん
三角形の《二辺とその間の角》の一部がわかっていない時に出てきた解を吟味する必要がある理由がわかりません。
余弦定理の成立するときの辺の条件から三角形の成立条件が導けたのでそこが同値なのはわかりました。
頭が混乱してしまっているのでわかりやすくお願いできたら嬉しいです。よろしくお願いします。
No.50641 - 2018/05/27(Sun) 10:09:12
☆ Re: 図形と計量 / IT
> 三角形の《二辺とその間の角》の一部がわかっていない時に出てきた解を吟味する必要がある理由がわかりません。

・まず、難しいことは抜きにして、
点Ｄは1つに定まるので、線分ＡＤの長さも１つに限られます。
必要条件から求めた線分ＡＤの値候補が２つ以上ある場合、１つに絞る必要があります。

・次に
この解法の途中で線分ＡＤの値候補が２つ出てきた理由は,図を描いてみると良く分かると思いますが、描く道具がないのでどなたかお願いします。
（こちらが質問のメイン部分だと思いますが）
No.50642 - 2018/05/27(Sun) 11:31:59
★ 数A 空間図形 / ほのほの
なぜ、ABの中点Mを用いて考えるのかが分からず、回転体のイメージが浮かびません。よろしくお願いします。
No.50637 - 2018/05/27(Sun) 08:21:49
☆ Re: 数A 空間図形 / ヨッシー

回転体は、解説にあるように、円錐のような形から円錐を除いた部分になりますが、
その円錐の底面と、回転軸のＡＢとの交点がＭとなります。
No.50646 - 2018/05/27(Sun) 17:44:12
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