ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 一次関数　 / 中学数学

y=ax+b (1<x≦3)の値域が1≦y<5であるように定数a,bの値をそれぞれ求めよ。
・
・
(?T)
a>0の時ｘの値が増加すればｙも増加するので
x=2の時ｙ＝３
ｘ＝３の時ｙ＝４をそれぞれy=ax+bに代入して
a=1,b=1

(?U)
a<0の時ｘが増加すればｙは減少するので
x=3の時y=3
x=2の時y=4をy=ax+bに代入して
a=-1,b=6
と場合分けして解いたのですが
答えはa=-2,b=7と書いていました。
私の解き方のどこが間違っているのか教えてください。
またa=-2,b=7の導き方を教えて頂けるありがたいです。よろしくお願いします。

No.51499 - 2018/07/01(Sun) 00:52:15

☆ Re: 一次関数　 / ast

質問者さんの (I),(II) は別の問題「y = ax+b (2 ≤ x ≤ 3) の値域が 3 ≤ y ≤ 4 であるように定数 a, b の値をそれぞれ求めよ。」あるいは「y = ax+b (2 < x < 3)の値域が3 < y < 4であるように定数 a, b の値をそれぞれ求めよ。」を解いているのでそもそも論外では?
# 方法は大体あっているので, 解き直せば正答にたどり着けると思います.

なお本問では「(1<x≦3)の値域が1≦y<5」となっているのですから, y=ax+b に x=1 を代入した a+b は値域に属さず, したがって 1 になっては値域の条件 1 ≤ y < 5 に反します. そこで a がマイナスであることが確定するので, 質問者さんの (I)(II) のような場合分けは (結果として) 発生しません.

No.51501 - 2018/07/01(Sun) 01:37:31

☆ Re: 一次関数　 / ast

あぁ
> # 方法は大体あっているので, 解き直せば正答にたどり着けると思います.
というのは取り消します. 質問者さんの解答に x=2 とか y=4 とかが出てくることにしっくりいかなかったのだけれども, ようやくわかった気がする.

質問者さんの考えに根本的に間違ってることがあるとすれば, おそらく以下のようなことなのでしょう:

　x,y は実数であって整数ではないので 1 < x ≤ 3 は 2 ≤ x ≤ 3 と同値ではないし, 同じく 1 ≤ y < 5 は 2 ≤ y ≤ 4 と同値ではありません.

# グラフで見れば, 線分の端点が白丸 (端点を含まない) か黒丸 (端点を含む) かという話になります.
# 端点を含まない場合でも端点ぎりぎりまでの点は全部含むので, キリのいい整数値までしか考えないのは全くダメ.

No.51502 - 2018/07/01(Sun) 02:15:17

☆ Re: 一次関数　 / 中学数学

つまり、ｘ＝１の時ｙも変域外になりy=5
x=3の時、ｙは変域内にありｙ＝１
ｘの値が増加して、ｙの値は減少しているからy=ax+bは右肩下がりのグラフとなりa<0ということでしょうか？
何度もすみません。

No.51509 - 2018/07/01(Sun) 12:19:46

☆ Re: 一次関数　 / ast

その通りで相違ありません

No.51514 - 2018/07/01(Sun) 17:13:06

☆ Re: 一次関数　 / 中学数学

ありがとうございます。
解説の部分助かりました。

No.51518 - 2018/07/01(Sun) 19:47:42

★ 極限 / しょ

(2)(3)を教えてください

No.51498 - 2018/07/01(Sun) 00:42:41

☆ Re: 極限 / X

(2)
前半)
(1)の結果を
b[n+1]-b[n]=1/a[n]
に代入することで{b[n]}の階差数列が得られますので
それを用いてb[n]をnとb[1]の式で表すことができます。
後はそれを
lim[n→∞]b[n]=1/2
に代入することでb[1]についての方程式を導きます。
後半)
前半の結果を使います。

(3)
前半)
等比数列の和の公式の導出過程と同様な方針で
計算します。
もし、等比数列の和の公式の導出過程が分からない
のであれば、教科書の該当の項目を復習しましょう。
後半)
前半の結果を求める極限の式に代入します。

No.51508 - 2018/07/01(Sun) 11:33:05

★ 積分 / しょ

(2)(3)を教えてください

No.51497 - 2018/07/01(Sun) 00:42:07

☆ Re: 積分 / X

(2)
y=x^2-ax (A)
より
y'=2x-a
∴mの方程式は
y=-{1/(-a)}x
つまり
y=x/a (B)
(A)(B)よりC,mの交点のx座標について
x^2-ax=x/a
これより
{x-(a+1/a)}x=0
∴求める座標はa+1/a

(3)
(2)の結果により
T=∫[0→a+1/a]{x/a-(x^2-ax)}=…
これの計算結果と(1)の結果を
T=4S
に代入したものをaの方程式として解きます。
但し、条件から
a＞0
に注意します。

No.51507 - 2018/07/01(Sun) 11:27:53

☆ Re: 積分 / しょう

(3)でt=4sを計算した時にaが出せません。

No.51566 - 2018/07/04(Wed) 02:02:38

☆ Re: 積分 / ヨッシー

(1) でＳをどのように出されたのかわからないので、答えようがありません。Ｔも同様です。
　Ｓ＝・・・・
　Ｔ＝・・・・
であり、Ｔ＝４Ｓに代入すると、
　・・・・・＝・・・・・
という式になりますが、これからａを求めることが出来ません。
のように書いてください。
そうすれば、Ｓの答えのここが違います、のように直すことが出来ます。

No.51573 - 2018/07/04(Wed) 09:39:36

★ 三角関数 / しょ

(2)(3)を教えてください

No.51496 - 2018/07/01(Sun) 00:40:59

☆ Re: 三角関数 / X

(2)
条件から
AP^2=AQ^2
∴(3cosθ-1)^2+(3sinθ)^2=(2cos2θ-1)^2+(2sin2θ)^2
両辺を展開し、整理すると
10-6cosθ=5-4cos2θ (A)
ここでcosθ=tと置くと
0≦θ＜2π
より
-1≦t≦1 (B)
で(A)は
10-6t=5-4(2t^2-1) (A)'
(B)に注意して、(A)'をtの二次方程式
として解き
cosθ=1/2,1/4

(3)
条件から
∠PAQ=π/3
∴cos∠PAQ=1/2
となるので
(↑AP・↑AQ)/(AP・AQ)=1/2 (C)
ここで条件から
↑AP=(3cosθ-1,3sinθ)
↑AQ=(2cos2θ-1,2sin2θ)
又、条件からAP=AQゆえ
AP・AQ=AP^2
以上から(C)は
{(3cosθ-1)(2cos2θ-1)+6sinθsin2θ}/{(3cosθ-1)^2+(3sinθ)^2}=1/2
これより
{(3cosθ-1)({2{2(cosθ)^2-1}-1)+12cosθ(sinθ)^2}/(10-6cosθ)=1/2
{(3cosθ-1){4(cosθ)^2-3}+12cosθ{1-(cosθ)^2}}/(10-6cosθ)=1/2 (C)'
(C)'に(2)の結果を代入し、(C)'を満たすかどうかを確かめると
cosθ=1/2
が(C)'を満たしていることが分かります。
∴0≦θ＜2π
より
θ=π/3,5π/3

後はこれをP,Qの座標に代入し、求める座標は
P(3/2,(3√3)/2),Q(-1,√3)
又は
P(3/2,-(3√3)/2),Q(-1,-√3)
となります。

No.51506 - 2018/07/01(Sun) 11:21:35

★ ベクトル / しょ

(2)(3)を教えてください

No.51495 - 2018/07/01(Sun) 00:40:07

☆ Re: ベクトル / X

(2)
点Hは平面OAB上にあることから
↑OH=x↑a+y↑b (A)
(x,yは実数)
と置くことができます。
ここで
↑DH⊥↑OA,↑DH⊥↑OB
により
↑DH・↑OA=0 (B)
↑DH・↑OB=0 (C)
又、条件から
↑OD=(2/5)↑c (D)
(B)(C)に(A)(D)などを代入すると
{(x↑a+y↑b)-(2/5)↑c}・↑a=0 (B)'
{(x↑a+y↑b)-(2/5)↑c}・↑b=0 (C)'
(B)'(C)'の左辺を展開し、(1)の結果を
代入して、x,yの連立方程式を導きます。

(3)
(2)の結果から
DH^2=|↑DH|^2=…
(展開して(1)の結果などを代入します)
∴DH=…
一方△OABの面積をSとすると
S=…
以上から求める体積をVとすると
V=(1/3)S・DH=…

No.51504 - 2018/07/01(Sun) 10:52:03

★ 三角関数 / しょ

(1)(3)をおしえてください

No.51490 - 2018/06/30(Sat) 22:33:55

☆ Re: 三角関数 / X

(1)
前半は自力で解いてもらう
(f(θ)にθ=π/6を代入するだけです。)
として後半を。

後半)
問題の平行移動後のグラフの方程式は
y=2cos(θ-α)
これが
y=g(θ)
つまり
y=2cos{θ-(-π/6)}
と一致すればよいので
α=-π/6+2nπ
(nは任意の整数)
よって
-π≦θ＜π
により
α=-π/6
となります。

(3)
f(θ)≧g(θ)
より
2cosθ≧2cos(θ+π/6)
これより
cosθ-cos(θ+π/6)≧0
左辺に和積の公式を使うと
-2sin(θ+π/12)sin(-π/12)≧0
これより
2sin(θ+π/12)sin(π/12)≧0
sin(θ+π/12)≧0 (A)
ここで
0≦θ＜2π
より
π/12≦θ+π/12＜2π+π/12
∴(A)より
π/12≦θ+π/12≦π
となるので求めるθの値の範囲は
0≦θ≦11π/12
となります。

No.51493 - 2018/06/30(Sat) 23:03:50

☆ Re: 三角関数 / しょ

> (1)(3)をおしえてください
g(θ)=2cos(θ＋π/6)です、見づらくてすみません

No.51494 - 2018/07/01(Sun) 00:22:08

☆ Re: 三角関数 / X

θ+π/6=θ-(-π/6)
∴g(θ)=2cos{θ-(-π/6)}
となる、ということです。

No.51503 - 2018/07/01(Sun) 10:42:15

★ ベクトル / しょ

(2)(3)をおしえてください。

No.51489 - 2018/06/30(Sat) 22:32:13

☆ Re: ベクトル / X

(2)
前半)
条件から
↑OE=k↑OD (A)
(kは実数)
一方
↑OD=(↑OA+↑OC)/2
=(↑a+2↑a+3↑b)/2
=(3/2)(↑a+↑b) (B)
(A)(B)より
↑OE=(3k/2)↑a+(3k/2)↑b (A)'
ここで点Eは線分AB上の点なので
(A)'の↑a,↑bの係数について
3k/2+3k/2=1 (C)
0＜3k/2＜1 (D)
(C)よりk=1/3
これは(D)を満たします。
よって(A)'から
↑OE=(↑a+↑b)/2

後半)
前半の結果により
|↑OE|^2=(1/4)|↑a+↑b|^2
右辺を展開し、(1)の結果などを使って
|↑OE|^2の値を求めます。

(3)
点Hは直線CE上にありますので
↑OH=↑OC+t↑CE (E)
(tは実数)
と置くことができます。
一方、条件から
↑BH⊥↑CE
∴↑BH・↑CE=0 (F)
(E)(F)から
(↑OC+t↑CE-↑OB)・↑CE=0
更に(2)の結果などにより
{2↑a+3↑b+t{(↑a+↑b)/2-(2↑a+3↑b)}-↑b}・{(↑a+↑b)/2-(2↑a+3↑b)}=0 (F)'
(F)'を整理して展開をし、(1)の結果などを代入することで
tの方程式を導きます。

No.51491 - 2018/06/30(Sat) 22:53:30

★ 三角関数教えてください / 高校生

問12が分かりません。
答えもありません。

教えてください
お願いします

No.51484 - 2018/06/30(Sat) 21:52:23

☆ Re: 三角関数教えてください / ast

13°=180°-167°=90°-77° だから, 問題の式は sin(13°), cos(13°) であらわせますね

No.51485 - 2018/06/30(Sat) 22:15:04

☆ Re: 三角関数教えてください / 高校生

sin13°=aとcos77°=aまでは分かるんですけど...
1+sin77°と1-cos167°が分かりません

No.51486 - 2018/06/30(Sat) 22:26:08

☆ Re: 三角関数教えてください / 高校生です。

sin13°=aとcos77°=aまでは分かるんですけど...
1+sin77°と1-cos167°が分かりません

No.51487 - 2018/06/30(Sat) 22:26:23

☆ Re: 三角関数教えてください / 高校生です。

> 13°=180°-167°=90°-77° だから, 問題の式は sin(13°), cos(13°) であらわせますね

sin13°=aとcos77°=aまでは分かるんですけど...
1+sin77°と1-cos167°が分かりません

No.51488 - 2018/06/30(Sat) 22:29:01

☆ Re: 三角関数教えてください / ast

超基本的かつ超重要な関係 cos^2(x) + sin^2(x) = 1 は確実に覚える必要があります
# 平方根をとるとき, 符号はそれが第何象限の角なのかを見て決めます.

No.51492 - 2018/06/30(Sat) 23:01:14

★ 難問!? / 高１

xy｛√(9-x^2)+√(9-y^2)｝
の最大値を求めよ。
ただし、0≦x≦3, 0≦y≦3とする。

No.51482 - 2018/06/30(Sat) 17:48:19

☆ Re: 難問!? / らすかる

√(9-x^2)=u, √(9-y^2)=vとおくと0≦u≦3, 0≦v≦3となり
x^2=9-u^2, y^2=9-v^2なので
(与式)^2=x^2・y^2・{√(9-x^2)+√(9-y^2)}^2
=(9-u^2)(9-v^2)(u+v)^2
={(uv+9)^2-9(u+v)^2}(u+v)^2
≦{((u+v)^2/4+9)^2-9(u+v)^2}(u+v)^2　（∵uv≦(u+v)^2/4、等号はu=vのとき） … (1)
(u+v)^2=tとおくと0≦t≦36であり
(1)={(t/4+9)^2-9t}t
=432-(48-t)(t-12)^2/16
≦432　（等号はt=12のとき）
t=12かつu=vのときu=v=√3, x=y=√6なので
与式はx=y=√6のとき最大値√432=12√3をとる。

No.51483 - 2018/06/30(Sat) 19:22:23

☆ Re: 難問!? / 高１

回答ありがとうございました。
鮮やかですね!!

No.51500 - 2018/07/01(Sun) 01:33:02

★ 集合 / 蘭

この問題で、疑問なのですが、

⑴のイの問題で、Aの補集合とBの和集合が、x≦5と6≦xとなってます。いやいや、って感じです。
6は入らないでしょ、！！！！←ここが私の疑問です。
だって、Aは6を含んでるんですもの！
なぜ、補集合に6含んじゃってるんですか？？？

よろしくお願いします

No.51478 - 2018/06/30(Sat) 09:53:32

☆ Re: 集合 / 蘭

あと、もーひとつの疑問なのですが、

⑵で、k+2>6ではなく、k+2≧6になるのはなぜでしょうか？？
もし、k=4だったら、C={x|-2<x<6}になって、部分集合にならなくないですか？？？

よろしくお願いします

No.51479 - 2018/06/30(Sat) 10:07:57

★ 物理 / 物理苦手

この問題を解いてください！

No.51470 - 2018/06/29(Fri) 19:41:24

☆ Re: 物理 / 関数電卓

自己インダクタンス L[H] のコイルに交流電圧 V[V] をかけると、交流電流 I [A] が流れ、３者の間には
　V＝L(ΔI)/(Δt)＝L･dI/dt …?@
が成り立ちます。

与えられたものが V＝V₀sinωt (V₀＝1.8[V]、ω＝150π[rad/s]) …?A
だから
　I＝－I₀cosωt …?B
とおくと?@?Bより
　V＝ωLI₀sinωt …?C

?A?Cより ωLI₀＝V₀　∴ X_L＝V₀/I₀＝ωL …?D

(a) X_L＝ωL＝150π･0.24＝36 [Ω]
I₀＝V₀/X_L＝1.8/36＝1.5×10^-2 [A]
(b) I＝－I₀cosωt＝－(5.0×10^-2cos150πt

No.51471 - 2018/06/29(Fri) 21:18:36

★ (No Subject) / けん

問24分かりません。教えてください。

No.51459 - 2018/06/29(Fri) 16:03:49

☆ Re: / ヨッシー

全部Ｐ，Ｑではややこしいので、(1)のをＰ1, Ｑ1、(2) のをＰ2, Ｑ2、(3) のをＰ3, Ｑ3 とします。
(1)
円Ｃの中心をＣとすると、△ＡＣＰ1は１辺２の正三角形であり、ＢＰ1＝√3 であるので、
　Ｐ1Ｑ1＝2√3
(2)
ＰＢＱＢは　ＰＢ×ＱＢのことと解釈します。
方べきの定理より
　Ｐ1Ｂ×Ｑ1Ｂ＝Ｐ2Ｂ×Ｑ2Ｂ＝３
(3)
同じくＰＤＱＤはＰＤ×ＱＤのことと解釈します。
方べきの定理より
　Ｐ3Ｄ×Ｑ3Ｄ＝ＤＯ×ＤＡ＝2×6＝１２
(4)
方べきの定理より
　Ｐ3Ｄ×Ｑ3Ｄ＝ＤＯ×ＤＡ＝ＴＤ^2＝１２
　ＴＤ＝√12＝2√3
△ＤＴＣは、1:2:√3 の直角三角形であり、∠ＣＤＴ＝30°であるので、
　ｋ＝1/√3＝√3/3

No.51465 - 2018/06/29(Fri) 18:59:50

★ 中学受験算数正六角形分割 / しゅう👦🏻

「う」の問題多分正六角形に3つ正三角形付け足すと思うんですがその後やってみても答えになりませんでした。どこがまちがっているのでしょうか？よろしくお願いします。

No.51454 - 2018/06/29(Fri) 15:33:56

☆ Re: 中学受験算数正六角形分割 / ヨッシー

２通り考え方を示しておきます。

解法１）
正六角形の１辺を２とします。
白い台形の先に１辺２の正三角形をつけて、大きい正三角形を作ります。
元の正六角形は、１辺２の正三角形６つ分の面積で、そこに正三角形３つ加えるので、
大きい正三角形は、１辺２の正三角形９つ分の面積です。
塗られている部分は、大きい正三角形の 1/4 なので、
正六角形から見ると
　9/6×1/4＝3/8　・・・答

解法２）
正六角形の２等分されていない辺も２等分して、塗られているのと同じような正三角形
を作ります。
さらに正六角形の中心を通る対角線（３本）を引きます。
これで、正六角形の内部に、１辺１の正三角形が２４個できます。
塗られている部分は、１辺１の正三角形９つ分なので、
　9/24＝3/8　　・・・答

No.51457 - 2018/06/29(Fri) 15:58:03

☆ Re: 中学受験算数正六角形分割 / しゅう👦🏻

2つの辺の積って2で割るのでしょうか？

No.51458 - 2018/06/29(Fri) 16:02:19

☆ Re: 中学受験算数正六角形分割 / しゅう👦🏻

解放1)の質問なんですが、なぜ塗られている部分は大きい三角形の1/4なのですか？

No.51460 - 2018/06/29(Fri) 16:05:03

☆ Re: 中学受験算数正六角形分割 / ヨッシー

自分は「○○○○○○○」と考えましたが、
回答の「△△△△△△△」の部分では２で割られています。
2つの辺の積って2で割るのでしょうか？

というふうに書いてもらえますか？

No.51461 - 2018/06/29(Fri) 16:08:28

☆ Re: 中学受験算数正六角形分割 / しゅう👦🏻

解放2)質問なのですが、どうやって塗られているのと同じような三角形を作ればいいのですか？

No.51462 - 2018/06/29(Fri) 16:09:38

☆ Re: 中学受験算数正六角形分割 / ヨッシー

>解放1)の質問なんですが、なぜ塗られている部分は大きい三角形の1/4なのですか？
大きい三角形の中に、塗られているのと同じ三角形が４つあるからです。

>解放2)質問なのですが、どうやって塗られているのと同じような三角形を作ればいいのですか？
>>正六角形の２等分されていない辺も２等分して、
です。
六角形の辺の中で、塗られている三角形の頂点が接している辺が
「２等分されている辺」で、それ以外が「２等分されていない辺」です。

わかりにくいときは、
>さらに正六角形の中心を通る対角線（３本）を引きます。
これを先にやって、三角形ができていない部分に線を引いてみてください。

No.51463 - 2018/06/29(Fri) 16:20:49

☆ Re: 中学受験算数正六角形分割 / しゅう👦🏻

ありがとうございます！

No.51464 - 2018/06/29(Fri) 16:22:15

★ 中学受験算数分数 / しゅう😊😆

これは多分最小公倍数で解くと思うのですが、どうやってとけばいいのでしょうか？答えは、小さい順に2、3,10です！よろしくお願いします。

No.51444 - 2018/06/29(Fri) 11:45:33

☆ Re: 中学受験算数分数 / IT

14/15 ＞　1/2
14/15 - 1/2 = 13/30　＞　1/3
13/30 - 1/3 = 3/30 ＝　1/10

よって　14/15 = 1/2 + 1/3 + 1/10

No.51446 - 2018/06/29(Fri) 12:07:24

☆ Re: 中学受験算数分数 / しゅう😊😆

IT先生、ありがとうございます！✍🏻👦🏻

No.51447 - 2018/06/29(Fri) 12:14:58

☆ Re: 中学受験算数分数 / IT

必然性のある解答になってないですが、中学受験で穴埋め式なら上記で良いかと思います。

No.51448 - 2018/06/29(Fri) 12:26:45

☆ Re: 中学受験算数分数 / ヨッシー

もし、□のうちで一番小さい数が３とすると、右辺は最大でも
　1/3＋1/4＋1/5＝47/60＜14/15
となり、左辺に届きません。よって、１個めの□は２と決まります。
残り２つで、
　14/15－1/2＝13/30
を作ることになります。
これは、30の約数である 3 と 10 で 13 が作れるので、
　13/30＝10/30＋3/30＝1/3＋1/10
となります。

No.51449 - 2018/06/29(Fri) 12:48:51

☆ Re: 中学受験算数分数 / らすかる

もし右辺を通分して分母が15だとすると
分子は15より小さい15の約数つまり5,3,1を足して
14にならなければいけないが、これは不可能。
試しに14/15を28/30としてみると
30より小さい30の約数は15,10,6,5,3,2,1なので
このうち15と10と3を選べば合計28は作れる。
よって14/15=28/30=15/30+10/30+3/30=1/2+1/3+1/10

# もし28/30でダメなら3倍して42/45とか4倍して56/60とか
# 試せば、そう遠くないうちに解答にたどりつけると思います。

No.51450 - 2018/06/29(Fri) 13:58:05

☆ Re: 中学受験算数分数 / しゅう😊😆

意味が理解できました。ヨッシー先生とらすかる先生ありがとうございます。試すという方法もあるんですね！

No.51452 - 2018/06/29(Fri) 15:06:30

☆ Re: 中学受験算数分数 / IT

既にお二人から解答がありましたが、必然性を示した解答を作りましたので参考までに書き込みます。
途中までヨッシーさんと同じです。

14/15 > 1/3+1/4+1/5= 47/60 なので,　１つめの□は2でなければならない。
14/15 - 1/2= 13/30=26/60
1/4+1/5 = 9/20=27/60 ,1/4+1/6= 5/12=20/60 なので,　２つめの□は3でなければならない。
13/30-1/3=3/30=1/10 なので,　３つめの□は10である。

No.51453 - 2018/06/29(Fri) 15:22:50

☆ Re: 中学受験算数分数 / しゅう👦🏻

何度も解説してもらいありがとうございます。正確に時間短縮して解けました。🤩

No.51456 - 2018/06/29(Fri) 15:39:03