ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / カヤマ

この塗り分け問題の2-2につまずいてるのですが、なぜ18通りになるのでしょうか？
36通りになる気しかしなくて、、、

よろしくお願いします。

No.50634 - 2018/05/27(Sun) 03:49:34

☆ Re: / X

(1)の結果から
2色で塗分ける場合は
6[通り]
一方、3色で塗り分ける場合、
1色で2か所を塗る方法の数は
3×2=6[通り]
その各々について、残りの2色で
残りの2か所を1か所づつ塗る方法
の数は
2[通り]
よって3色で塗り分ける方法の数は
6×2=12[通り]

以上から求める場合の数は
12+6=18[通り]
となります。

No.50636 - 2018/05/27(Sun) 04:51:40

☆ Re: / らすかる

別解
左上→右上→残りの順に塗るとして
左上は何色でもよいので3通り
右上は左上に使った色以外ならよいので2通り
残りの2箇所はそれぞれ2色使えるが、
両方とも同じ色（3色目）にすることは出来ないので
2×2-1=3通り
よって全部で 3×2×3=18通り

No.50638 - 2018/05/27(Sun) 09:27:50

★ (No Subject) / K

y^2=x^2-5x+4の定義域をx≧5/2とすると
(1)値域を求めよ
(2)逆関数を求めよ
(3)(2)で求めた逆関数の定義域と値域を求めよ

お願いします。

No.50633 - 2018/05/27(Sun) 00:36:39

☆ Re: / X

(1)
まず横軸にx、縦軸にy^2を取った
y^2=x^2-5x+4
のグラフを描くことにより
y^2≧4-(5/2)^2=-9/4
∴値域は実数全体です。

(3)
問題の関数をxの二次方程式として解き
x={5±√{25-4(4-y^2)}}/2
={5±√(9+y^2)}/2
ここでx≧5/2ですので
x={5+√(9+y^2)}/2
よって求める逆関数は
y={5+√(9+x^2)}/2
となります。

(3)
(1)の結果と条件から
定義域は実数全体
値域はy≧5/2
となります。

No.50635 - 2018/05/27(Sun) 04:42:44

☆ Re: / らすかる

(3)の値域はy≧4では？

No.50639 - 2018/05/27(Sun) 09:30:37

☆ Re: / X

>>らすかるさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>Kさんへ
ごめんなさい。らすかるさんの仰る通りです。

No.50657 - 2018/05/27(Sun) 22:32:30

★ 高一・二次関数 / ASEAN

底辺の長さが4cm,高さがxcmの三角形の面積をycmとする。
ただし,高さは4cm以上であるとする。yをxの式で表せ。

2x=y (4≦x) で合ってますか？
教科書の予習のところなので、答えが分からなくて…

No.50628 - 2018/05/26(Sat) 22:52:27

☆ Re: 高一・二次関数 / らすかる

式は同じなのですが、
「yをxの式で表せ」
という場合は y=2x のように
yを左辺に書かないと減点されるかも知れません。

No.50631 - 2018/05/26(Sat) 23:31:55

☆ Re: 高一・二次関数 / ASEAN

あっ、気づいてませんでした、ありがとうございます！

No.50652 - 2018/05/27(Sun) 20:51:37

★ 条件なし2変数関数 / 後

この問題でx,yはどちらも変数なのにxについての二次式と見ようとする理由がわかりません。また、xについての関数として見たときに
yの変化につれてどのようにグラフは動きますか。

No.50622 - 2018/05/26(Sat) 17:33:01

☆ Re: 条件なし2変数関数 / IT

y についての２次式と見てもいいと思います。

No.50623 - 2018/05/26(Sat) 18:12:23

☆ Re: 条件なし2変数関数 / IT

> yの変化につれてどのようにグラフは動きますか。

z=x^2-2xy+2y^2-4x+2y+8=(x-(y+2))^2+y^2-2y+4なので
グラフは下に凸の放物線で頂点は (y+2,y^2-2y+4)
t=y+2 とおくとy^2-2y+4=(t-3)^2+3なので、頂点は　(t,(t-3)^2+3)。

したがって、
グラフ(放物線)の頂点が、[頂点が(3,3)で下に凸の放物線]上を動きます。

No.50624 - 2018/05/26(Sat) 18:17:37

★ 中３　円の性質 / りゅう

申し訳ございませんが、もう一問よろしくお願い致します。
写真が少し斜めになってしまって申し訳ございません。

No.50611 - 2018/05/26(Sat) 13:34:18

☆ Re: 中３　円の性質 / 元中三

方べきの定理の利用で解けました。
円周角の定理と三角形の相似で容易に導けるので、使えるようにしておくと便利です。
EA=7/4cmです。

No.50614 - 2018/05/26(Sat) 15:37:52

☆ Re: 中３　円の性質 / りゅう

とても分かりやすく教えていただいてどうもありがとうございました。
おかげでとても理解することができました。

No.50619 - 2018/05/26(Sat) 17:08:39

★ 中３　円の性質 / りゅう

いつもお世話になりありがとうございます。
（３）と（４）の求め方が分からないので、教えていただけますでしょうか？
よろしくお願い致します。

No.50610 - 2018/05/26(Sat) 13:28:26

☆ Re: 中３　円の性質 / 元中三

答えは(3)が9/7で(4)が5です

No.50617 - 2018/05/26(Sat) 16:36:03

☆ Re: 中３　円の性質 / 元中三

相似を利用して解く問題ですが、正直言うとかなり時間が掛かってしまいました。解き方は単純ですがたすき掛けの因数分解を習っていないと思うので解の公式を利用しましょう。

No.50618 - 2018/05/26(Sat) 16:56:14

☆ Re: 中３　円の性質 / りゅう

こちらの問題もとても分かりやすく教えていただいて、どうもありがとうございました。
おかげで理解することができました！

No.50621 - 2018/05/26(Sat) 17:22:54

★ 置換積分 / 数学Ⅲ

cos＾3θをθで０から２πまで定積分するとき
cos＾3θ＝（１－sin^2θ）cosθと変形して
ｔ＝sinθで置換したときｔの積分区間がわかりません。

No.50604 - 2018/05/26(Sat) 10:48:29

☆ Re: 置換積分 / らすかる

θ=0のときsinθ=0、θ=2πのときsinθ=0なので
積分区間は0～0になります。

# 積分区間が0～2πでt=sinθとおいたとき、
# いつも0～0でよいとは限りません。
# この問題では被積分関数が0～2πの全区間で
# 変わりません(区間全体で1-t^2)ので、0～0でOKです。

No.50605 - 2018/05/26(Sat) 10:54:51

☆ Re: 置換積分 / 数学?V

ありがとうございます。

積分区間が0～2πでt=sinθとおいたとき、
いつも0～0でよいとは限りません。

例えばどんな場合がありますか？
具体例を教えていただければうれしいです。

No.50626 - 2018/05/26(Sat) 21:58:04

☆ Re: 置換積分 / らすかる

例えば
∫[0～2π](cosθ)^2dθで
無理やりt=sinθとおくと積分区間が0～0になって
中身の関数がどのように置換されても答えが0になりそうですが、
明らかに0ではないですよね。
これはなぜかというと
t=sinθとおいたときdt=cosθdθなのでcosθが残り、
これをtで表すと±√(1-t^2)となりますが
cosθは
0≦θ≦π/2 で cosθ≧0
π/2＜θ＜3π/2 で cosθ＜0
3π/2≦θ≦2π で cosθ≧0
ですから、区間を分けて
∫[0～2π](cosθ)^2dθ
=∫[0～π/2](cosθ)^2dθ+∫[π/2～3π/2](cosθ)^2dθ+∫[3π/2～2π](cosθ)^2dθ
=∫[0～1]√(1-t^2)dt+∫[1～-1]-√(1-t^2)dt+∫[-1～0]√(1-t^2)dt
=π
のようにしないといけません。
この問題のように区間全体で置換後の関数が同じである場合は
区間分けは不要で積分区間が0～0になりますので、値は0となります。

No.50629 - 2018/05/26(Sat) 23:18:35

☆ Re: 置換積分 / 数学Ⅲ

ありがとうございます。
とてもよくわかりました。
また教えてください。

No.50643 - 2018/05/27(Sun) 12:21:38

★ 点Rが存在する条件 / 元中三

平面U上の線分ABにおいて、線分AB上に、Aに近い方から順に2点P，をとる。
AP=x，PQ=y，QB=zとするとき、∠ARP=∠PRQ=∠QRBとなるような点Rが平面U上に存在するときの条件をx,y,zを用いて書け。

No.50602 - 2018/05/26(Sat) 10:38:36

☆ Re: 点Rが存在する条件 / 元中三

2点P,Qです抜けてました

この問題の答えが分かりません。

No.50603 - 2018/05/26(Sat) 10:40:32

☆ Re: 点Rが存在する条件 / らすかる

ABの延長上にRをとればP,Qの位置にかかわらず∠ARP=∠PRQ=∠QRB=0°なので
x,y,zは任意。

No.50607 - 2018/05/26(Sat) 11:02:13

☆ Re: 点Rが存在する条件 / 元中三

ありがとうございます、とても簡単ですね、全く思いつきませんでした。
直線AB上に点Rが存在しないという条件ありでもx,y,zの長さにかかわらず

No.50612 - 2018/05/26(Sat) 15:19:26

☆ Re: 点Rが存在する条件 / 元中三

途切れてしまいました。

x,y,zの長さにかかわらず点Rは存在するのでしょうか

No.50613 - 2018/05/26(Sat) 15:21:29

☆ Re: 点Rが存在する条件 / らすかる

直線AB上を除くならば

xy平面上で考えたいのでx,y,zをa,b,cに変えます。
A(0,0),P(a,0),Q(a+b,0),B(a+b+c,0)とすると
∠ARP=∠PRQとなるRの軌跡は
AR：QR=AP：QP=a：bから
a≠bのとき P(a,0)と(a(a+b)/(a-b),0)を直径の両端とする円 … (1)
a＝bのとき直線x=a … (2)
∠PRQ=∠QRBとなるRの軌跡は
QR：BR=PQ：BQ=b：cから
b≠cのとき Q(a+b,0)と(b(b+c)/(b-c)+a,0)を直径の両端とする円 … (3)
b＝cのとき直線x=a+b … (4)

※以下、交点がx軸上にある場合は除外します。
(1)と(3)から
a＜bかつb＞cのとき、円(1)は直線(2)の左、円(3)は直線(4)の右なので交点なし
「a＜bかつb＜c」または「a＞bかつb＞c」のとき、2円が交点を持つためには
a(a+b)/(a-b)＜b(b+c)/(b-c)+a
整理して a+b+c＜3ac/b
a＞bかつb＜cのときは円(1)は直線(2)の右で右端点が直線(3)より右、
円(2)は直線(3)の左で左端点が直線(2)より左なので、2円は必ず交点を持つ
(1)と(4)から
a＜bかつb＝cのとき交点なし、a＞bかつb＝cのとき交点あり
(2)と(3)から
a＝bかつb＜cのとき交点あり、a＝bかつb＞cのとき交点なし
(2)と(4)からa＝bかつb＝cのとき交点なし
従って交点を持つ条件をまとめると
a＜bかつb＜cかつa+b+c＜3ac/b または
a＞bかつb＞cかつa+b+c＜3ac/b または
a＞bかつb＜c または
a＞b＝c または
a＝b＜c
となるが、交点を持たない条件のときa+b+c＜3ac/bを必ず満たさず、
交点を持つ条件のときa+b+c＜3ac/bを必ず満たすので、
a+b+c＜3ac/bだけで十分。

よって∠ARP=∠PRQ=∠QRBとなるRが存在するための条件は
x+y+z＜3xz/y

# 答えが比較的簡単な形なので、もっと簡単な解き方がある気がします。
# また、x＞0,y＞0,z＞0を仮定しています。

# x+y+z＜3xz/y はいろいろな形に変形できますので、
# 解答があれば違う形になっているかも知れませんね。
# y(x+y+z)＜3xz
# (y+x)(y+z)＜4xz
# (y/x+1)(y/z+1)＜4
# とか
# (3x-y)(3z-y)＞4y^2
# (3x/y-1)(3z/y-1)＞4
# など。

No.50620 - 2018/05/26(Sat) 17:10:41

★ 同次の無限小 / 堀内

画像の問題の解説で,具体的に諸量を求めずに他のオーダーがわかっている図形量との評価、関係から求めるという感覚が理解できずに苦しんでいます。
具体的には、
（１）の弦ＡＢ～弧ＡＢというのは具体的に求めずにどうやってわかるのか
（６）の三角形ＡＣＢ、長方形を持ち出しているのはその２つがＯ（ｈ＾３）であり、これで挟む（評価をしている）という意味か？
（７）のｈが十分小さいとき、この円は直径ＣＨとなるというのはどうしてわかるのか？
が知りたいです。
どなたか教えてください。

No.50596 - 2018/05/26(Sat) 02:28:01

☆ Re: 同次の無限小 / 堀内

解答の部分です。

No.50597 - 2018/05/26(Sat) 02:28:35

☆ Re: 同次の無限小 / IT

（１）直感でということなので
弦ＡＢ＜弧ＡＢ＜弦ＡＢ+2ＨＣ　から弦ＡＢ～弧ＡＢが分かると思います。

これでは納得できないならば
「なるべく正確な値を計算してしまわずに直感で」とあるので厳密に考えると　その問題の趣旨から外れると思いますが、弧ＡＢ（曲線）の長さの定義の確認が必要になると思います。

No.50599 - 2018/05/26(Sat) 09:00:26

☆ Re: 同次の無限小 / 堀内

なるほど、やはり不等式評価をするのですか。
弧ＡＢの長さの定義を再確認せよとのことですが、弧度法で考えたとき、半径×中心角で求まるものという理解ではだめですか？

No.50608 - 2018/05/26(Sat) 11:32:49

☆ Re: 同次の無限小 / 堀内

（６）については評価をしているという理解でよいと思うのですが、
（７）では、なぜ、ｈが十分小さいとき、直径がＣＨとなるのかがわかりません。
ｈが十分小さくなくとも、最大の内接円はＣＨを直径とするような円になると思うのですが。

No.50609 - 2018/05/26(Sat) 11:36:45

☆ Re: 同次の無限小 / らすかる

問題は「十分小さい時にどうであるか」であって
小さくない時にどうであろうと関係ありません。
hが大きくても小さくてもCHを直径とする円になるのであれば、
当然hが十分小さい場合もCHを直径とする円になりますね。

No.50640 - 2018/05/27(Sun) 09:43:45

☆ Re: 同次の無限小 / 堀内

ありがとうございます
納得しました。

No.50650 - 2018/05/27(Sun) 19:56:38

★ 解答がなく困っています。 / ありさ

どなたか解ける方いませんか？

No.50593 - 2018/05/25(Fri) 23:35:16

☆ Re: 解答がなく困っています。 / IT

（略解）
　u[1]=(1,1,1),u[2]=(2,-1,3),u[3]=(4,1,5)
　u[3]=2u[1]+u[2] なので、u[1],u[2],u[3]は線形従属です。　→５ではない
　容易に分かるようにu[1],u[2]は線形独立です。→４ではない

　v=au[1]+bu[2]=(a+2b,a-b,a+3b)=(x,y,z)とおくと
　4x-y-3z=0, これは平面の方程式で、原点、点(1,4,0),点(0,3-1) を通る。
よって答えは1。

念のため
　2 ではない。（(1,2,-1),(2,0,1) は通らない。）
　3 ではない。（(3,0,4)は通るが、(0,2,-2)は通らない。）

No.50594 - 2018/05/26(Sat) 00:48:05

☆ Re: 解答がなく困っています。 / ありさ

ITさん、ありがとうございました！

No.50595 - 2018/05/26(Sat) 01:17:26

★ (No Subject) / 数学

41人の学生を10グループに分けたときに少なくとも1つのグループは5人以上のグループになることを背理法を用いて証明せよ。が分かりません。教えてください。

No.50591 - 2018/05/25(Fri) 21:14:55

☆ Re: / IT

41人の学生を10グループに分けたときに、10グループすべてのグループが４人以下のグループになるように分けられた。と仮定とすると、
これらの10グループの人数の合計は、4×10人以下となり、
全部で41人であることと矛盾する。

したがって、10グループのうち少なくとも１つのグループは５人以上のグループである。

No.50592 - 2018/05/25(Fri) 22:51:51

★ (No Subject) / め

数学でなく、物理の質問で申し訳ありません…ベクトルに少し疑問があります。画像の２つのベクトル題の考え方の違いを教えて下さい…左が数学で右が物理です。右の物理の方の、元の問題文は「幅20mの川があり、水の速さは3m/sである。静止した水面ならば5m/sの速さで進める船で岸に垂直に横切った。何秒を要したか」です…
ようするに、「垂直上向き」のベクトルの求め方、が、左右で違うのは何故なのか…という事です…

No.50580 - 2018/05/25(Fri) 17:45:21

☆ Re: / X

何も違いはありません。

船の速度(ベクトル)と川の流れる速度(ベクトル)
の和が合成速度(ベクトル)になっています。
船の速度(ベクトル)を↑c
川の流れる速度(ベクトル)を↑b
合成速度(ベクトル)を↑a
として考えてみましょう。

ちなみにこの模範解答は舌足らずですね。
＞＞合成速度は4m/sとなる。
の箇所は正確には
合成速度「の大きさ」は4m/sとなる。
です。

No.50584 - 2018/05/25(Fri) 18:05:15

☆ Re: / め

ようするに、右は垂直上向きベクトルの「大きさ」を求めるから、川ベクトルの大きさと船ベクトルの大きさで三平方の定理、、左は垂直上向きベクトル「自体」を考えてるからb+c、、という感じでしょうか

No.50587 - 2018/05/25(Fri) 18:17:15

☆ Re: / X

その通りです。
ご質問の物理の問題の解答の流れは
1)
船の速度、川の流れの速度、合成速度で
ベクトルの三角形ができる。
2)
このベクトルの三角形は直角三角形
である。
3)
船の速度、川の流れの速度、合成速度
のそれぞれの「大きさ」について
三平方の定理を適用する。

ということです。

ベクトルと、ベクトルの大きさを
混同しないようにしましょう。

No.50598 - 2018/05/26(Sat) 05:13:45

★ (No Subject) / 元中三

チャートの問題なんですが、条を満たすx,y,zの組の求め方を教えていただけたら幸いです。

No.50574 - 2018/05/25(Fri) 07:24:26

☆ Re: / 元中三

条件です、すいません。

自分なりにやって見ましたが全く解けません。

No.50575 - 2018/05/25(Fri) 07:26:06

☆ Re: / ヨッシー

条件を満たすx,y,z は、解と係数の関係より、３次方程式
　x^3－(2√2－1)x^2＋(2√2－1)x－1＝０
の３解です。
　f(x)＝x^3－(2√2－1)x^2＋(2√2－1)x－1
とおくと、f(1)＝0 より
　f(x)＝(x－1){x^2－2(√2－1)x＋1}
となり、３次方程式の解は
　ｘ＝１，√2－1±√(2√2－2)ｉ
となります。

No.50576 - 2018/05/25(Fri) 09:37:09

☆ Re: / 元中三

x,y,zが全て実数となるような組は存在するのでしょうか？
xの解について、x=1は写真の?Aより不適だと思われますし、それ以外の解は複素数となっていますので、実数解はないと思います。
しかし問題には実数x,y,zと書かれていて矛盾しているような気がします。

No.50588 - 2018/05/25(Fri) 18:20:48

☆ Re: / らすかる

＞ x=1は写真の?Aより不適

(x+y+z)-(xy+yz+zx)+xyz-1の計算が間違っています。
(x+y+z)-(xy+yz+zx)+xyz-1=0です。

また、ヨッシーさんの式も間違っています。
x,y,zはt^3-(2√2+1)t^2+(2√2+1)t-1=0の3解ですから
(t-1)(t-√2+1)(t-√2-1)=0となり、
x,y,zは1,√2±1です。

No.50590 - 2018/05/25(Fri) 18:32:59

☆ Re: / 元中三

らすかる様、ありがとうございました。
写真の式の計算が変でしたね。

お二方とも、ご丁寧に解説してくださって大変感謝です。

No.50600 - 2018/05/26(Sat) 09:32:35

★ 極限値を求める問題 / はるさめ

(2)〜(6)の解答までの道筋がわかりません。
巻末の解答では、
(2)n＜mのとき0,n=mのときc/a,n＞mのとき∞
(3)1
(4)∞
(5)e^2
(6)-4/π
となっています。よろしくお願いします。

No.50572 - 2018/05/24(Thu) 23:29:09

☆ Re: 極限値を求める問題 / X

(2)
(i)n＜mのとき
極限を求める関数の分母分子を
x^nで割ってみましょう。
(ii)n=mのとき
極限を求める関数の分母分子を
x^nで割ってみましょう。
(iii)n＞mのとき
極限を求める関数の分母分子を
x^mで割ってみましょう。

(3)
(与式)=lim[x→1+0]{{(sin(x-1))/(x-1)}^(x^2-1)}(x-1)^(x^2-1)
=lim[x→1+0]{{(sin(x-1))/(x-1)}^(x^2-1)}{(x-1)^(x-1)}^(x+1)
ここで
lim[x→1+0]log{(x-1)^(x-1)}=lim[x→1+0](x-1)log(x-1)
=lim[x→1+0]{log(x-1)}/{1/(x-1)}
=lim[x→1+0]{1/(x-1)}/{-1/(x-1)^2}
((∵)ロピタルの定理)
=lim[x→1+0](1-x)=0
∴lim[x→1+0](x-1)^(x-1)=1
となるので
(与式)=(1^0)・1^2=1

(4)
x→+0のとき
e^x-e^(-x)→+0
e^x+e^(-x)→2
e^(2x)=1
∴(与式)=∞
となります。

(5)
{e^x+e^(-x)}/{e^x-e^(-x)}-1=h
と置くと
{2e^(-x)}/{e^x-e^(-x)}=h
2/{e^(2x)-1}=h
e^(2x)=2/h+1
∴(与式)=lim[h→+0](1+h)^(2/h+1)
=lim[h→+0](1+h){(1+h)^(1/h)}^2
=e^2

(6)
π/2-arctanx=t
と置くと
(与式)=lim[t→+0]{tan(π/2-t)}{2-π/(π/2-t)}
=lim[t→+0]{1/tant}{(-2t)/(π/2-t)}
=lim[t→+0]{(cost)/sint}{(-2t)/(π/2-t)}
=lim[t→+0]{1/{(sint)/t}}{(-2cost)/(π/2-t)}
=-4/π

No.50582 - 2018/05/25(Fri) 17:56:06

★ 逆三角関数とマクローリン展開 / はるさめ

(1)は数学的帰納法で示せば良いことはわかるのですが、n=k+1で成立することを示すことができませんでした。(2)(3)もわかりません。

よろしくお願いします。

No.50571 - 2018/05/24(Thu) 23:24:31

☆ Re: 逆三角関数とマクローリン展開 / X

以下、例えばf(x)のn回微分を
f_(n)(x)
と書くことにします。(^を使うとべき乗と混同しやすいですので)

(1)
これは数学的帰納法は使いません

一般にn回微分可能な関数f(x),g(x)に対し
{(d^n)/(dx^n)}(fg)=Σ[k=0～n](nCk){f_(k)(x)}{g_((n-k))(x)}
(要は積のn階微分の公式です。
解析学の教科書の微分の項目に載っているので調べてみて下さい。)
これを踏まえて
(1+x^2)f'(x)=1
の両辺をxでn-1回微分してみましょう。

(2)
a[n]=f_(n)(0)
と置くと、(1)の結果により
a[n+1]+n(n-1)a[n-1]=0 (n≧1)
∴a[2n]=p[n],a[2n-1]=q[n]
と置くと
p[n]+(2n-1)(2n-2)p[n-1]=0 (A)
q[n]+(2n-2)(2n-3)q[n-1]=0 (B)
p[0]=f(0)=0 (C)
q[0]=f'(0)=1 (D)
(C)(D)の条件の下で{p[n]},{q[n]}の漸化式(A)(B)を
解きましょう。

(3)
(2)の結果を使います。
(これはおまけ問題です。上記の方針の文言だけで理解できないのであれば、
解析学の教科書のマクローリン展開の項目を復習しましょう。)

No.50589 - 2018/05/25(Fri) 18:26:55