ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 高1 二次関数 / 蘭

この練習という問題をよろしくお願いします。

答えと方針待ってます！！

よろしくお願いします。

No.51051 - 2018/06/14(Thu) 21:37:04

☆ Re: 高1 二次関数 / ヨッシー

図で、青の点が最大値、赤の点が最小値です。

No.51062 - 2018/06/15(Fri) 00:53:14

☆ Re: 高1 二次関数 / X

既にヨッシーさんが図を描かれていますが
文章で方針を。

この手の問題の基本は
放物線の対称軸と定義域との位置関係で場合分け
(つまり「軸で場合分け」)
です。

で、その場合分けですが
(i)軸が定義域外左側
(ヨッシーさんの図の点線に挟まれた部分が軸より右側)
(ii)軸が定義域内左寄り
(ヨッシーさんの図の点線に挟まれた部分に軸が右寄りに含まれている)
(iii)軸が定義域内右寄り
(ヨッシーさんの図の点線に挟まれた部分に軸が左寄りに含まれている)
(iv)軸が定義域外右側
(ヨッシーさんの図の点線に挟まれた部分が軸より右側)

となります。
(既にヨッシーさんが図で描かれている通り、この問題では
軸ではなくて、定義域の方が動く形になりますが
基本に変わりはありません。)

・問題の放物線が上に凸であること
・軸の方程式がx=1であること
・定義域の中点の値が
　x=(a+(a+1))/2=a+1/2
　であること
以上から(i)～(iv)は以下のようになります。

(i)、つまり1＜aのとき
f(x)は定義域内の
右端で最小、左端で最大
つまり
最小値はf(a+1)
最大値はf(a)
(ii)、つまりa≦1＜a+1/2のとき
f(x)は定義域内の
右端で最小、放物線の頂点で最大
つまり
最小値はf(a+1)
最大値はf(1)
(iii)、つまりa+1/2＜1≦a+1のとき
f(x)は定義域内の
左端で最小、放物線の頂点で最大
つまり
最小値はf(a)
最大値はf(1)
(iv)、つまりa+1＜1のとき
f(x)は定義域内の
左端で最小、右端で最大
つまり
最小値はf(a)
最大値はf(a+1)

参考)
分かりにくければ
x-a=t
と置いてf(x)をtの二次関数として考えると
定義域は
0≦t≦2
また
f(x)=-(t-a)^2+2(t-a)+2
=-{(t-a)-1}^2+1
=-{t-(a+1)}^2+1
となり、定義域ではなくて軸である
t=a+1(横軸がtとなることに注意)
がaの値によって動く
「軸で場合分け」
の形になります。

上記の説明で理解できないのであれば、この問題を解く前に
以下の例題のような種類の問題(定義域が固定されている問題)
を解いて慣れた後にもう一度解いてみて下さい。

例題)
関数
f(x)=-x^2+2ax+1
の0≦x≦1における最大値、最小値を求めよ。

No.51068 - 2018/06/15(Fri) 08:21:09

☆ Re: 高1 二次関数 / 蘭

なるほど……

説明は理解できました！！
ですが、この、M(a)とm(a)のグラフってなんなんでしょうか笑笑

わたし的には、こんな風になってしまいます！

助けてください！

No.51158 - 2018/06/18(Mon) 21:52:45

☆ Re: 高1 二次関数 / X

何を助けてほしいのか分かりませんが、
M(a),m(a)のグラフの形状は大筋で問題はありません。
只、M(a),m(a)共に、a軸の下の部分のグラフが
切れていますのでその部分も描きましょう。

No.51182 - 2018/06/19(Tue) 19:33:58

★ (No Subject) / 進研太郎

お手数ですが、この問題を教えてください？

No.51043 - 2018/06/14(Thu) 20:02:33

☆ Re: / 進研太郎

すいません、文字を打ち間違えました。
改めて。お手数ですが、↑の問題を教えてくださいm(*_ _)m

No.51044 - 2018/06/14(Thu) 20:04:33

☆ Re: / 関数電卓

(1)
与式を解の公式で解いて　z＝(√3±i)/2
よって　α＝(√3＋i)/2＝cos(π/6)＋isin(π/6) …<1>
(2)
<1>より　α^10＝cos(5π/3)＋isin(5π/3)＝(1－√3･i)/2 …<2>
与式に<2>を代入しゴシゴシ計算すると　β＝2(√3－i)＝4(cos(－π/6)＋isin(－π/6)) …<3>
(3)
<1><3>より t＝－1/4 のとき－β/4＝(－√3＋i)/2となり、3点 A，B’，C が虚部 1/2 の一直線上に乗る。

ところで、これって進研模試の問題ですか？だとしたら＜解答＞を持っていますよね？　↑の答、あっていますか？

No.51052 - 2018/06/14(Thu) 22:07:10

★ 数の理論について。 / コルム

ｎを整数とする。ｎを３で割った余りは１，５で割った余りは４,７で割った余りは２であるとする。ｎを１０５で割った余り
ｒを求めよ。ただし、０≦ｒ＜１０５とする。この問題で、
解答が、
条件からn=3a+1,n=5b+4とおける。（a,bは整数）
３a+1=5b+4から３（a-1)=5b
３，５は１以外に公約数をもたないから、ｂは、３の倍数。
よって、ｂ＝３ｂ‘（ｂ‘は整数）とすると
n＝１５ｂ‘＋４
n=７×２ｂ‘＋ｂ‘＋４であるから、ｎを７で割ったとき余りが２となるには、ｂ‘＋４を７で割ったとき余りが２となればよい。
（ゆえに、ｂ‘を７で割ったときの余りは５）
よって、、７ｂ‘‘＋５とおける。（ｂ‘‘は整数）
代入するとn=15(7b``+5)+4=105b``+79
ゆえにｒ＝７９
（　　）をしているところがわかりません。
教えていただけると幸いです。

No.51039 - 2018/06/14(Thu) 12:41:14

☆ Re: 数の理論について。 / ヨッシー

(　　) はいっぱいありますが、多分「ゆえに・・・」の所でしょう。

その直前からの流れを整理すると、
　ｂ’＋４　を７で割ると２余る　→　ｂ’を７で割ると５余る
ということです。
７で割ると２余るような数は
　９，１６，２３，３０・・・・　←これがｂ’＋４
であるので、ｂ’は
　５，１２，１９，２６・・・・
のような数で、これらは取りも直さず、７で割ると５余る数です。

式で書くと、ｃを整数として、
　ｂ’＋４＝７ｃ＋２
と書けます。整理すると、
　ｂ’＝７ｃ－２　　　　　　←あまりがマイナスということはないので、次のように変形します。　　
　　　＝７（ｃ－１）＋５
ｃ－１も整数なので、ｂ’は７で割ると５余る数です。

No.51040 - 2018/06/14(Thu) 14:13:56

☆ Re: 数の理論について。 / コルム

迅速な解答ありがとうございました。

No.51042 - 2018/06/14(Thu) 19:24:20

★ (No Subject) / ケーキ

問題番号の(2).(3).(4)の解説をお願いします！

No.51034 - 2018/06/14(Thu) 02:20:00

☆ Re: / X

(2)
問題の関数から
y=3logx
logx=y/3
x=e^(y/3)
∴求める逆関数は
y=e^(x/3)

(3)
問題の関数から
3/(2^x+1)=3/2-y
(2^x+1)/3=1/(3/2-y)
2^x+1=6/(3-2y)
2^x=(3+2y)/(3-2y)
x=log{(3+2y)/(3-2y)}
∴求める逆関数は
y=log{(3+2x)/(3-2x)}

(4)
問題の関数から
ye^x=(e^x)^2-1
(e^x)^2-ye^x-1=0
e^x＞0に注意すると
e^x={y+√(y^2+4)}/2
x=log{{y+√(y^2+4)}/2}
∴求める逆関数は
y=log{{x+√(x^2+4)}/2}

No.51035 - 2018/06/14(Thu) 04:52:45

☆ Re: / ケーキ

ありがとうございます！

No.51046 - 2018/06/14(Thu) 20:32:03

★ 高1 二次関数 / 蘭

この、350という問題と、練習という問題と、64を解いてください

あと、二次関数わかんなすぎて、辛いです。
アドバイスとかありますか、？
あったらお願いします！

No.51033 - 2018/06/13(Wed) 23:48:11

☆ Re: 高1 二次関数 / X

64
方針だけ。

長方形の縦の長さをx、2つの長方形の面積の和をy
と置くと、条件から
y=x(6-x)+x(6-2x)
整理をして
y=-3x^2+12x (A)
一方、二つの長方形の縦の長さの和と辺BCの長さ
により
0＜2x＜6
∴0＜x＜3 (B)
(B)の範囲で(A)のグラフを描きます。

No.51036 - 2018/06/14(Thu) 04:58:20

☆ Re: 高1 二次関数 / 蘭

いや、むず。

これは、これは、
たいへんなのですね。

解答ありがとうございます！
またよろしくお願いします。

No.51050 - 2018/06/14(Thu) 21:35:18

★ (No Subject) / もやし

二次関数で最大値を求めるときは、xを答えるんですか？

No.51032 - 2018/06/13(Wed) 23:29:28

☆ Re: / ヨッシー

（二次に限らず）関数の最大値（または最小値）を問われている
問題の答え方として、最大値（または最小値）を答えるだけでなく
「ｘ＝〇〇のとき」も書かないといけないか？

ということでしょうか？

「そのときのｘの値を答えよ」という問題をよく見かけますが、
逆に、そう書いていない場合は書かなくても良いと考えられます。
ただし、私は（正式な答案では）書くようにしています。理由は
・そう教え込まれたから。
・書くべきと考える人もいるから。
・たしかにその最大値が存在することの確認のため。
です。

No.51037 - 2018/06/14(Thu) 10:00:55

★ (No Subject) / ピロリ菌

この問題を教えてくださいm(*_ _)m

No.51027 - 2018/06/13(Wed) 22:35:31

☆ Re: / ヨッシー

(1)
赤、赤、白の順に出る確率なので、
　2/3×2/3×1/3＝4/27

(2)
白球０個：6Ｃ0×2/3×2/3×2/3×2/3×2/3×2/3＝ 64/729
白球１個：6Ｃ1×2/3×2/3×2/3×2/3×2/3×1/3＝192/729
白球２個：6Ｃ2×2/3×2/3×2/3×2/3×1/3×1/3＝240/729
白球３個：6Ｃ3×2/3×2/3×2/3×1/3×1/3×1/3＝160/729
白球４個：6Ｃ4×2/3×2/3×1/3×1/3×1/3×1/3＝ 60/729
白球５個：6Ｃ5×2/3×1/3×1/3×1/3×1/3×1/3＝ 12/729
白球６個：6Ｃ6×1/3×1/3×1/3×1/3×1/3×1/3＝　1/729

期待値は
　(1×192＋2×240＋3×160＋4×60＋5×12＋6×1)/729＝２

No.51038 - 2018/06/14(Thu) 10:12:54

☆ Re: / らすかる

(2)別解
1回取り出した時の期待値が1/3なので、6回では1/3×6=2

No.51041 - 2018/06/14(Thu) 14:53:58

★ 物理数学高1 / 蘭

この問題で、糸で支えるには何Nで糸を引っ張ればいいのかを求めたいです！
よろしくお願いします！

No.51026 - 2018/06/13(Wed) 22:17:54

☆ Re: 物理数学高1 / 関数電卓

糸の張力を T とすると、糸が斜面となす角は π/2－ω－θ だから、斜面方向の力のつりあいより、
　Tcos(π/2－ω－θ)＝mgsinθ
∴ T＝sinθ/sin(ω＋θ)･mg

No.51031 - 2018/06/13(Wed) 23:09:17

☆ Re: 物理数学高1 / 蘭

わかりやすい！！！

答えが的確！！

いつもありがとうございます！
本当に感謝以外のなにものでも表せません、！

またよろしくお願いします。

No.51047 - 2018/06/14(Thu) 21:32:26

★ 物理数学高1 / 蘭

この問題で、mAとmBの関係を求めたいです！
よろしくお願いします！

No.51025 - 2018/06/13(Wed) 22:16:24

☆ Re: 物理数学高1 / X

図から、動滑車を吊っている紐の張力は
m_Bg
∴力のつり合いについて
2m_Bgsinθ=m_Ag
これより
m_A=2m_Bsinθ

No.51029 - 2018/06/13(Wed) 22:52:44

☆ Re: 物理数学高1 / ヨッシー

動滑車に吊されている方をｍＡとします。

図のような関係になるので、
　ｍＡ／２＝ｍＢsinθ

No.51030 - 2018/06/13(Wed) 22:56:03

☆ Re: 物理数学高1 / 蘭

わかりやすい答えに、見やすい図まで……
ここには良い人しかいないのですね！！

ありがとうございます！
またよろしくお願いします。

No.51049 - 2018/06/14(Thu) 21:34:12

★ 高1 二次関数 / 蘭

この練習という問題をお願いします。
答えは、a=±1です。

No.51024 - 2018/06/13(Wed) 21:11:52

☆ Re: 高1 二次関数 / ヨッシー

f(x)＝ｘ^2－2ax＋1 とおきます。
軸は　ｘ＝ａ
ａ＜－２のとき
　f(-2)＝０、f(2)＝９　より　ａ＝－１　・・・不適
－２≦ａ≦０　のとき
　f(a)＝０、f(2)＝９　より　ａ＝－１　　・・・解１
０≦ａ≦２　のとき
　f(a)＝０、f(-2)＝９　より　ａ＝１　　　・・・解２
２＜ａ　のとき
　f(-2)＝９、f(2)＝０　より　ａ＝１　　・・・不適
以上より　ａ＝±１

No.51028 - 2018/06/13(Wed) 22:45:30

☆ Re: 高1 二次関数 / 蘭

こんな良い答えあるのか…

いつも本当にありがとうございます！
感謝以外のなにものでも表せません！

またよろしくお願いします。

No.51048 - 2018/06/14(Thu) 21:33:19

★ (No Subject) / K

中学時の疑問です

このようなドーナツ型の2円が一周する際、外側の円と内側の円は共に一周しかしないため円周が等しくなければおかしいというパラドックスに陥りました。
調べた結果、内側の円は「滑っていてかつ空隙なく接地している」とのことでした。

すると新たに「両円の円周上に「一回接地した時だけ色が塗れるインク」がある場合、AB間は色が塗れるのに対し、MN間は色が塗れるのか」という疑問が浮かびました。
直観的に数学上は色が塗れないとおかしいのですが、内側の円と外側の円の円周が違うため塗れないのではというパラドックスに陥りました。

私の考えのなにが間違っているのかお願いいたします

No.51011 - 2018/06/13(Wed) 17:12:05

☆ Re: / らすかる

「このような」とは？

No.51012 - 2018/06/13(Wed) 17:27:50

☆ Re: / K

アップロードできてませんでした
こちらです

No.51016 - 2018/06/13(Wed) 17:47:05

☆ Re: / K

プレビューではできているのに画像がアップロードされないためURLを張ります
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/paradox/circle2.gif

No.51017 - 2018/06/13(Wed) 17:48:40

☆ Re: / らすかる

「一回接地した時だけ色が塗れるインク」ならば、MN間も色は塗れます。
「内側の円と外側の円の円周が違う」のは塗れない理由になりません。

No.51018 - 2018/06/13(Wed) 17:59:55

☆ Re: / K

MN間が全て塗れるとするとAB間と比べて色は全て同じ濃さになるということでしょうか。それとも薄くなるのでしょうか。
同じ場合二つの円はそれぞれ同じ量のインクを持っているということになり、薄くなる場合空隙があるように感じます。

No.51019 - 2018/06/13(Wed) 18:16:25

☆ Re: / らすかる

円周上の同じ長さあたり同じ量のインクならば、薄くなります。
しかし、薄くなるからといって空隙があることにはなりません。
単位面積当たりのインクの量が減るだけです。
例えば、円の半径が1：2として
AB間にはインクが厚さ0.1mmで塗られるとしたら
MN間にはインクが厚さ0.05mmで塗られると考えればよいと思います。

No.51021 - 2018/06/13(Wed) 18:23:09

★ 任意の６つの(x,y）を満たす3係数の二次関数は存在できますか？ / ラテ

f(x)= y = ax^2 + bx +c の関数があるとして、具体的に ( x, y) =(1,25),(2,100),(3,5),(4,5),(5,181),(6,1002) だとします。通常不明係数が3つなら(x,y)も3つあれば求まると思ってました。←?@

x =1,2,3なら a = 10 ,b=-145,c=350と係数が定まりますよね。でもxが３以上の場合この係数では成立しません。

で、タイトルの質問になるのですが、係数と変数セットの関係性の定理などあるのでしょうか？あるいは?@は思い込みでしょうか？

任意の変数の数が係数の数以上で当てはまる関数って存在できますか？もしあるならば任意の(x,y)を三つ以上全てを満たす係数の求め方ってあるのでしょうか？

No.50999 - 2018/06/12(Tue) 20:20:40

☆ Re: 任意の６つの(x,y）を満たす3係数の二次関数は存在できますか？ / ヨッシー

二次関数では、（一直線上にない）３点です。

ご自身書かれているように、３つあれば、２次関数が決まります。
当然、グラフも１つに決まるわけですが、そのグラフ上にない
第４の点を持ってきた時点で、二次関数では表せなくなります。

No.51000 - 2018/06/12(Tue) 22:08:27

☆ Re: 任意の６つの(x,y）を満たす3係数の二次関数は存在できますか？ / らすかる

一直線上にない3点でも、例えば(1,2)(1,3)(2,3)のように
xが等しくyが異なるものがあるとダメですね。

No.51001 - 2018/06/12(Tue) 23:09:11

★ ごめんなさい、追加で教えてください / 小青竜湯

すいません
この間の小テストの問題なんですけど難しくて
教えてください
お願いします

No.50997 - 2018/06/12(Tue) 19:00:41

☆ Re: ごめんなさい、追加で教えてください / X

問題の線分の長さの和をL,正2n角形の外接円の
中心をO、半径をRとすると
L=Σ[k=0～2n-1]|↑OP-↑OA[k]|^2
=Σ[k=0～2n-1]{|↑OP|^2-2↑OP・↑OA[k]+R^2}
=2n|↑OP|^2+2nR^2+2↑OP・{Σ[k=0～2n-1]↑OA[k]}
=2n|↑OP|^2+2nR^2+2↑OP・{Σ[k=0～n-1](↑OA[k]+↑OA[n+k])}
=2n|↑OP|^2+2nR^2+2↑OP・{Σ[k=0～n-1]↑O}
=2n|↑OP|^2+2nR^2+2↑OP・↑O
=2n|↑OP|^2+2nR^2
≧2nR^2(不等号の下の等号成立はOとPが一致するとき) (A)
ここで△OA[0]A[1]において余弦定理により
1^2=R^2+R^2-2・R・R・cos(2π/(2n))
これより
1=(2R^2)(1-cos(π/n))
R^2=1/{2(1-cos(π/n))} (B)
(A)(B)より求める最小値は
n/{1-cos(π/n)}
このときの点Pの位置は正2n角形の対角線の交点
(注)
正2n角形の対角線の交点と外接円の中心は一致します。

No.50998 - 2018/06/12(Tue) 19:41:24

☆ Re: ごめんなさい、追加で教えてください / 黄桃

0≦k<n について、
PA[k]+PA[n+k]
の最小値は明らかに Pが線分 A[k]A[n+k] 上にある時である。
もし、Pが、すべての k について、このような条件を満たすことがあれば、 PA[0]+PA[1]+...+PA[2n-1] =?農[k=0,n-1] PA[k]+PA[n+k} が最小になる。
正多角形の中心OにPがある時にこの条件を満たし、それ以外では満たさない。

Σ[k=0～2n-1]|↑OP-↑OA[k]|^2
ではなくて、
Σ[k=0～2n-1]|↑OP-↑OA[k]|
の最小を求めるため、シグマの各項に√がつき、計算で出すのは大変そうです
（正(2n+1)角形でも同じ答でしょうが、小テストだから簡単に答が出る2nなのでしょう）。

No.51006 - 2018/06/13(Wed) 08:06:50

☆ Re: ごめんなさい、追加で教えてください / X

>>黄桃さんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>小青竜湯さんへ
ごめんなさい。黄桃さんの仰る通り、
長さの和を長さの二乗の和と混同していました。

No.51020 - 2018/06/13(Wed) 18:17:45