ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ べき乗を用いた計算 / 田中

最初10000個ある物が1日経過すると1/5無くなる。2日後には残りの1/5無くなる。3日目以降も同様であり、個数の追加は無いものとする。7日後の残りの個数をべき乗を用いた計算式を用いて求めるという問題が分かりません。計算式を含めてご教示の程よろしくお願いします。

No.85391 - 2023/05/10(Wed) 16:39:56

☆ Re: べき乗を用いた計算 / ヨッシー

この問題を言い換えると、
　１日経過するごとに、残りが 4/5 倍になる
ということです。つまり、
１日目の残りは　10000×4/5
２日目の残りは　10000×4/5×4/5
３日目の残りは　10000×4/5×4/5×4/5
という具合で、この先、７日後はどうなるかを考えます。
ただし、１個未満の個数（1/5個など）を認めるものとします。

No.85392 - 2023/05/10(Wed) 16:56:55

☆ Re: べき乗を用いた計算 / 田中

ああ、確かにその通りです。減るという考えに固執してしまっていました。ありがとうございました。

No.85393 - 2023/05/10(Wed) 18:50:49

★ (No Subject) / ⅠAⅡB

y=-x^2+ax+2a-3のグラフが0<x<2の範囲においてx軸と共有点を持つ時のaの範囲を求めよ

軸の位置や頂点の位置で場合分けしたり、共有点を持たない場合を考えてみたりしたのですがどれもこんがらがってしまいます。どなたか解説よろしくお願いします

No.85385 - 2023/05/08(Mon) 19:38:38

☆ Re: / X

f(x)=-x^2+ax+2a-3
とします。
問題のグラフは軸の方程式が
x=a/2
である上に凸の放物線です。
よって
(i)a/2≦0,2≦a/2つまりa≦0,4≦aのとき
題意を満たすためには
f(0)f(2)＜0
これより
(2a-3)(4a-7)＜0
∴3/2＜a＜7/4
となるので不適。
(ii)0＜a/2＜2、つまり0＜a＜4のとき
xの二次方程式f(x)=0の解の判別式をDとすると
題意を満たすためには
D≧0かつ(f(0)＜0又はf(2)＜0)
∴a^2+4(2a-3)≧0かつ(2a-3＜0,4a-7＜0)
ここで
-4-2√7＜0,0＜-4+2√7＜3/2
に注意して、不等式を解くと
-4+2√7＜a＜7/4

以上から求めるaの値の範囲は
-4+2√7＜a＜7/4
となります。

No.85386 - 2023/05/08(Mon) 22:18:18

★ (No Subject) / 自分

x^2+ax+b
x^2-ax+b
x^2+ax-b
x^2-ax-b
がすべて整数係数の範囲で因数分解できるような
定数a,bの値を求めてください。

No.85379 - 2023/05/06(Sat) 10:23:08

☆ Re: / 自分

補足
a,bは自然数です

No.85380 - 2023/05/06(Sat) 10:23:50

☆ Re: / らすかる

無数にありますが、その一般式を求めるということですか？
一つ挙げればよいだけなら(a,b)=(5,6)は条件を満たします。
見つけた解は
(a,b)=(5,6),(29,210),(169,7140),(985,242556),…の他に
aをk倍、bをk^2倍した
(a,b)=(5k,6k^2),(29k,210k^2),(169k,7140k^2),(985k,242556k^2),…
とか
(a,b)=(13k,30k^2),(73k,1320k^2),(425k,45144k^2),…
(a,b)=(17k,60k^2),(97k,2340k^2),(565k,79794k^2),…
などいくらでもあります。

No.85381 - 2023/05/06(Sat) 13:28:49

☆ Re: / 自分

では
x^2+bx+a
x^2+bx-a
x^2-bx+a
x^2-bx-a
も全て因数分解可能なら、どこまで絞り込めますか？
それとも存在しませんか？

No.85382 - 2023/05/06(Sat) 18:22:14

☆ Re: / らすかる

x^2+ax-bが因数分解できるためには
a＜bでなければなりません。
同様に、x^2+bx-aが因数分解できるためには
b＜aでなければなりません。
従って、存在しません。

No.85383 - 2023/05/06(Sat) 20:11:24

★ (No Subject) / 吉田

質問です。
回転体の体積は π*∫(f(x))^2 dx でxについて積分した結果で得られるのに、表面積に関しては
2π*∫f(x) √(1 + f'(x)^2) dx = 2π*∫f(x) dl で回転体の表面に沿った長さで積分しなければならないのでしょうか。

No.85366 - 2023/05/04(Thu) 03:27:49

☆ Re: / らすかる

そんなことはありません。
dxに対する表面積を考えれば、xについての積分で求まります。

No.85367 - 2023/05/04(Thu) 11:12:45

☆ Re: / GandB

　大雑把には
https://batapara.com/archives/13322661.html/

「面積分の定義で回転体の表面積を求める」で検索をかけたが適当な例が見つからなかった。なので、もう少し詳細に知りたければベクトル解析の本で面積分の項を参照。

追記
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12187379107
も参考になるかも。

No.85368 - 2023/05/04(Thu) 12:07:27

☆ Re: / 吉田

> 　大雑把には
> https://batapara.com/archives/13322661.html/
>
> 「面積分の定義で回転体の表面積を求める」で検索をかけたが適当な例が見つからなかった。なので、もう少し詳細に知りたければベクトル解析の本で面積分の項を参照。
>
> 追記
> https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12187379107
> も参考になるかも。

微小な何で積分するかによって与えられる結果が異なるということですか？なぜ表面積は微小な円錐体で積分する方が自然なのでしょうか？

No.85372 - 2023/05/05(Fri) 02:09:45

☆ Re: / 吉田

> そんなことはありません。
> dxに対する表面積を考えれば、xについての積分で求まります。

それは分かります。表面積を用いてdxで積分する方法は、要するに置換積分であり、回転体の表面に沿った長さで積分した結果と同義ですよね。

No.85373 - 2023/05/05(Fri) 02:11:33

☆ Re: / 高校三年生

>なぜ表面積は微小な円錐体で積分する方が自然なのでしょうか？

厳密には、極限値問題で「解析論」の範疇になるのでは？
と思うのですが、直観的には、理解できると思います。
円錐形の近似は、区間を微細にすれば、同値に漸近していくが、
円柱形の近似は、いくら区間を微細にしても、
同値には近づかないからではないでしょうか？

dx^2+dy^2=dr^2

この式から、dyをいくら小さくしても、dxも同じくらい小さくなるので

dx=dr

とはならないですから。

No.85374 - 2023/05/05(Fri) 06:59:00

☆ Re: / 吉田

> >なぜ表面積は微小な円錐体で積分する方が自然なのでしょうか？
>
> 厳密には、極限値問題で「解析論」の範疇になるのでは？
> と思うのですが、直観的には、理解できると思います。
> 円錐形の近似は、区間を微細にすれば、同値に漸近していくが、
> 円柱形の近似は、いくら区間を微細にしても、
> 同値には近づかないからではないでしょうか？
>
> dx^2+dy^2=dr^2
>
> この式から、dyをいくら小さくしても、dxも同じくらい小さくなるので
>
> dx=dr
>
> とはならないですから。

同値に漸近するのかどうか、どのように判断すれば良いんでしょう？
体積と同様に円柱形の近似を用いて表面積も得られるだろうと推測するほうが直感的な気がするのですが。

No.85375 - 2023/05/05(Fri) 14:04:03

☆ Re: / GandB

> 体積と同様に円柱形の近似を用いて表面積も得られるだろうと推測する
> ほうが直感的な気がするのですが。
　その方針で実際に表面積を計算するとおかしなことに気づくはず。

> なぜ表面積は微小な円錐体で積分する方が自然なのでしょうか？
　それが「面積」というものだから（笑）。
　円錐の微小側面積を求めるには
　　Δx^2 + Δy^2 = ΔL^2
という関係式が必要になるが、微小円柱の面積では不要。
　　Δx→0 ⇒ Δy→0, ΔL→0
ではあるけど、「各々の比を保ったまま」 0 に近づく。つまり極限においても
　　dx^2 + dy^2 = dL^2
という関係式は厳然として成り立つ。わかりにくいときは、円錐を展開した扇形の面積から円錐の微小な側面積を求めることで
　　S = 2π∫f(x)dL
　　　= 2π∫f(x) √(1 + f'(x)^2) dx
を導けば納得できるのでは。

No.85384 - 2023/05/07(Sun) 00:19:28

★ (No Subject) / みかん

1から10までの番号をつけた10個の玉が入っている袋から1個取り出して元に戻すという操作を4回繰り返し1回目2回目3回目4回目に取り出す玉の番号をそれぞれa,b,c,dとする

b，c，dのうち少なくとも一つがaより大きく少なくとも一つはaより小さい確率は？

aの取り出した玉の番号をtとすると
〇ある人が球を1つ取り出した時その玉の番号がtより大きくなる確率は
10-t/10

〇ある人が球を一つ取り出した時その玉の番号がtより小さくなる確率は(t-1）/10

〇ある人が球を1つ取り出した時その玉の番号がtと同じになる確率は1/10

また条件を満たす玉の取り出し方は
?@2人がaより大きい番号の玉を取り出し残りの1人がaより小さい時の3通り

?A2人がaより小さい番号の玉を取り出し残りの一人がaより大きい球を取り出す3通り

?B1人がaより大きく一人がaより小さく残り1人がaと同じ番号の玉を取り出す時の6通り

?@の現象を満たすある一つの事象が起きる確率は(3通りあるうちの一つの事象が起きる確率)
(1/10)×{(10-t/10}^2×(t-1)/10×(1/10)…?C

?Aの現象を満たすある1つの事象が起きる確率は
(1/10)×{(10-t/10}×{(t-1)/10}^2×(1/10)…?D

?Bの現象を満たすある一つの事象が起きる確率は(6通りあるうちの1つの事象が起きる確率)

(1/10)×{(10-t/10}×(t-1)/10×(1/10)…?E

よってaの取り出した番号がtで問題の事象を満たす確率をP(t)とすると
P(t)=3×?C+3×?D+6×?Eと表すことが出来る

またtの変域は2≦t≦9であるから数列の和の公式を用いて…合わない…模範解答のやり方と違うのですがもしこのやり方(上記のやり方)で突き進むなら何がいけないのでしょうか。解説よろしくお願いします

No.85362 - 2023/05/03(Wed) 18:34:31

☆ Re: / X

＞＞(1/10)×{(10-t/10}^2×(t-1)/10×(1/10)…?C
＞＞(1/10)×{(10-t/10}×{(t-1)/10}^2×(1/10)…?D
では5回球を引くことになってしまいます。

それぞれの末尾の
×(1/10)
が不要です。

No.85363 - 2023/05/03(Wed) 19:06:42

☆ Re: / みかん

すみません。
1/10)×{(10-t/10}^2×(t-1)/10×(1/10)…?C
＞＞(1/10)×{(10-t/10}×{(t-1)/10}^2×(1/10)…?D
の末尾の1/10を間違って記入してしまってました。でもやっぱりそれぞれ×1/10入れてなくても答え合わないんですけど…
計算すると
P(a)={-33(t^2-11t+10)}/1000になるんですが…

No.85364 - 2023/05/03(Wed) 20:59:21

☆ Re: / X

＞＞P(a)={-33(t^2-11t+10)}/1000
は
P(t)={-33(t^2-11t+10)}/10000
のタイプミスでしょうか？

No.85365 - 2023/05/04(Thu) 03:09:09

☆ Re: / X

もしタイプミスであるなら、こちらも同じ結果になりました。

このP(t)をt=2～9で和を取ると、求める確率をpとして
p=99/250 (A)
となります。

ちなみに、余事象で考えた別解で検算してみましたが
やはり(A)となるので、値が間違っているとは
考えにくいです。

No.85371 - 2023/05/04(Thu) 21:03:16

★ 中学受験算数の問題です。 / 田口

初めて質問します。
図の斜線部分の面積（右上です）の求め方ですが、どなたか分かるでしょうか。
メモ書きで申し訳ありません。

No.85358 - 2023/05/02(Tue) 13:55:08

☆ Re: 中学受験算数の問題です。 / 関数電卓

消しゴムで消した線が薄く見えるように，下図の x, y が分かれば
　求める斜線部面積＝水色面積＝(1/2)･4･y＝2y
なのですが，これは x, y の２次の連立方程式になるし…
とても算数の問題とは思えないのですが…

No.85360 - 2023/05/02(Tue) 20:46:09

☆ Re: 中学受験算数の問題です。 / 黄桃

誰も書かないようなので、もっと簡単な方法がありそうですが、一応書いておきます。

>とても算数の問題とは思えないのですが…

最近の中学入試事情は知りませんが、おっしゃるように、この問題は本質的に高校で習う余弦定理を、図形的に証明することになると思います。

きたない図ですが、添付の図について、関数電卓さんの記号を使って説明します。
△OAB(黒い太線で囲った三角形）について、以下の作図をしました。
1.各辺の外側に正方形を作ります。
2.各頂点から対辺に(OならAB, AならBOなど)垂線を下ろします。
3.OB,OCの方では、垂線まで正方形を広げて長方形を作ります。
4.BCの方では、そのまま垂線で正方形を分割して２つの長方形を作ります。

すると、等積変形により、
1.水色の２つの長方形（上のものは赤色の長方形を含みます）
2.黄色の２つの長方形（上のものは赤色の長方形を含みます）
3.赤色の２つの長方形（外側に違う色が見えてますが、そこまで含みます）
がいずれも同じ面積だとわかります。

多分等積変形を知らないと難関中学の入試問題は解けないと思いますので説明を省略したいですが、赤の長方形の場合だけ説明しておきます。
黄色の長方形に含まれる赤色の長方形なら、上側の辺を、右端をCの頂点に来るように移動します（このようにしても面積は変わりません）。
水色の長方形に含まれる赤色の長方形なら、左側の辺を、下端がBの頂点に来るように移動します。
すると、どちらも隣り合う辺の長さがOB,OCであるような平行四辺形になりますから、ぴったり重なり同じ面積です。

＃このくらいのことは難関中学入試では常識とおもっていいのでしょうか？？

以上を準備すれば、
一辺がBC(=10cm)の長方形の面積＝（黄色と水色の長方形の面積）
=(一辺がOB(=4cm)の長方形)+(一辺がOC(=8cm)の長方形)+(2つの赤色の長方形）
となります。したがって、2つの赤色の長方形の面積は
10x10-4x4-8x8=20(cm^2)
となります。
求める三角形の面積は、赤色の長方形の半分だから、20÷4=5cm^2 が答です。

No.85369 - 2023/05/04(Thu) 18:25:20

☆ Re: 中学受験算数の問題です。 / IT

算数しばりがなければ、関数電卓さんの解法で
x^2+y^2=8^2
x^2+(y+4)^2=10^2
２式の差をとって　8y+16=36
∴y=5/2
求める面積=4×(5/2)/2=5cm^2 とできますが、
三平方の定理も２変数の方程式も算数では直接は使えないので、かえって難しいですね。上記を図形的に処理しようと思いましたが良い方法を思いつきませんでした。

No.85370 - 2023/05/04(Thu) 20:31:34

★ 二次不等式の係数決定問題 / Alice

次の事柄が成り立つように定数a,bの値を定めよ。
2次不等式5x²-ax+7<0の解がb<x<3である。(赤チャート練習135(西南学院大))

<解答>
条件から二次関数y= 5x²-ax+7のグラフはb<x<3のときだけx軸より下側にある。よってグラフは下に凸の放物線でa>0

<質問>というふうに以下は(b,0)と(3,0)を代入して出てきたaに対してa>0を満たすことを確認するように解答が続きます。ここで質問なのですが、なぜaを0より大きいと定められるのですか？x²の係数が5であることから放物線が下に凸であることは分かりますが、5x²-ax+7のaの正負とは関係ないですよね？x²の係数がaなら納得できるのですが。解説よろしくお願いします。

No.85343 - 2023/05/01(Mon) 21:13:34

☆ Re: 二次不等式の係数決定問題 / IT

y= 5x²-ax+7　はx=0 のとき7 （> 0）なので
　b＞0 であり、

y=5x²-ax+7 の軸は原点より右側にあることが分かります。

放物線y=5x²+7 と原点を通る直線y=axの位置関係で考えても良いかも知れません。
（赤茶の解答は不親切どころか不十分だと思います。）

No.85345 - 2023/05/01(Mon) 22:03:53

★ (No Subject) / ⅠAⅡB

x,y,aを実数とする。
-x^2+(a+2)x+a-3<y<x^2-(a-1)x-2…?@を考える。
(1)どんなxに対してもそれぞれ適当なyを取れば?@が成り立つためのaの値の範囲を求めよ。
(2)適当なyを取ればどんなxに対しても?@が成り立つためのaの値の範囲を求めよ。

解説よろしくお願いします。

No.85342 - 2023/05/01(Mon) 17:52:58

☆ Re: / X

方針を。
(1)
求める条件はxの不等式
-x^2+(a+2)x+a-3＜x^2-(a-1)x-2
の解が任意の実数となる条件
となります。

(2)
f(x)=-x^2+(a+2)x+a-3
g(x)=x^2-(a-1)x-2
と置くと、求める条件は
(f(x)の最大値)＜(g(x)の最小値)
となります。

No.85351 - 2023/05/02(Tue) 00:06:15

☆ Re: / ヨッシー

グラフの位置関係としてはこうです。
(i) は(1)も(2)も満たす。
(ii) は(1)だけ満たす。
(iii) はどちらも満たさない。

(1) は各ｘに対してｙを変えてもいい
(2) はｙを一旦決めたら変えてはいけない。

No.85355 - 2023/05/02(Tue) 07:00:41

★ (No Subject) / ?TA?UB

ax^2+y^2+az^2-xy-yz-zx≧0が任意の実数x,y,zについて常に成り立つような定数aの値の範囲を求めよ。
解説よろしくお願いします。

No.85341 - 2023/05/01(Mon) 17:44:52

☆ Re: / X

問題文の
＞＞ax^2+y^2+az^2-xy-yz-zx≧0
は
ax^2+ay^2+az^2-xy-yz-zx≧0
のタイプミスということはありませんか？

No.85354 - 2023/05/02(Tue) 01:25:13

☆ Re: / ⅠA2B

ay^2ではなくy^2です。

No.85356 - 2023/05/02(Tue) 07:40:40

☆ Re: / X

問題の不等式から
y^2+(z+x)y+ax^2+az^2-xz≧0 (A)
∴y^2+(z+x)y+ax^2+az^2-xz=0
をyの二次方程式と見たときの解の判別式を
D[1]とすると、(A)を満たすyが任意の実数
であることから
D[1]=(z+x)^2-4(ax^2+az^2-xz)≦0
これより
(4a-1)z^2-6xz+(4a-1)x^2≧0 (B)
(i)4a-1≦0、つまりa≦1/4のとき
題意を満たさないので不適。
(ii)4a-1＞0、つまり1/4＜aのとき
(4a-1)z^2-6xz+(4a-1)x^2=0
をzの二次方程式と見たときの解の判別式を
D[2]とすると(B)を満たすzが任意の実数で
あることから
D[2]/4=9x^2-{(4a-1)^2}x^2≦0
これより
(4a+2)(4a-4)x^2≧0
これが任意の実数xに対して成立するので
(4a+2)(4a-4)≧0
∴a≦-1/2,1≦a
1/4＜aとの共通範囲を考えて
1≦a

以上から求めるaの値の範囲は
1≦a
となります。

No.85357 - 2023/05/02(Tue) 10:11:45

☆ Re: / X

上記の方針は、問題の不等式をx,y,zいずれかに注目した
二次不等式と見て、解が任意の実数であるときの条件を
使って順番に文字を減らしていく、といったものです。

今回は文字を減らす順番が
最初がy,続いてz,x
となっていますが、この順番である必要は
何もありません。
只、x^2,y^2,z^2の係数を見ると、y^2の係数だけ
aを含まない定数(1ということですが)であり、
係数の符号による場合分けが不要ですので、
最初に処理した、というだけです。

No.85361 - 2023/05/03(Wed) 09:37:15

★ (No Subject) / ⅠAⅡB

a,bを実数とする。cos2x+acosx+b=0が0≦x<2πの範囲で2個の異なる実数解を持つためのa,bに関する条件を求めよ。
解説よろしくお願いします。

No.85339 - 2023/05/01(Mon) 17:38:03

☆ Re: / X

cosx=t (A)
と置くと
0≦x＜2π (B)
より
-1≦t≦1 (C)
であり、また
-1＜t＜1のとき、tの一つの値に対し、xの値が2つ対応する (D)
t=1,-1のときtの一つの値に対し、xの値が1つ対応する (D)'
ことに注意します。
このとき問題の方程式は
1-2t^2+at+b=0
∴
2t^2-at-b-1=0 (E)
よって問題は
tの2次方程式(E)が
-1＜t＜1の範囲で実数解を一つのみ持つ (P)
又は
(E)の解がt=1,-1となる (Q)
条件を求めることに帰着します。
ここで
f(t)=2t^2-at-b-1
と置くと、横軸にt、縦軸にf(t)を取ったグラフは
軸の方程式が
t=a/2
である、下に凸の放物線。
よって求める条件は、次のいずれかになります。
(i)f(-1)f(1)≦0
(ii)(E)の解の判別式をDとしたとき
-1＜a/2＜1かつD=0
注)(Q)は(i)に含まれます。

(i)のとき
(-a-b+1)(a-b+1)≦0
(b+a-1)(b-a-1)≦0 (F)
(ii)のとき
a-b+1=0かつ-a-b+1＜0
⇔b=a+1かつ-a-b+1＜0
⇔b=a+1 (0＜a＜2) (G)

ここで
(F)を満たす点(a,b)の領域の境界線上に
(G)を満たす点(a,b)が存在する
ことが分かりますので、求める条件は
(b+a-1)(b-a-1)≦0
となります。

No.85347 - 2023/05/01(Mon) 23:33:08

☆ Re: / ヨッシー

cos(2x)＝2cos^2ｘ－1 より、与式は
　2cos^2ｘ＋ａcosｘ＋ｂ－１＝０
と書けます。Ｘ＝cosｘとおくと、この式はさらに
　2Ｘ^2＋ａＸ＋ｂ－１＝０
と書けます。これを解いたときの解が
　Ｘ＝１　ならば　元の式の解は　ｘ＝０　の１つ
　Ｘ＝－１　ならば　元の式の解は　ｘ＝π　の１つ
　－１＜Ｘ＜１　ならば　元の式の解は　２つ
　それ以外の場合は、実数解はなし。
以上より、２個の異なる実数解を持つには
2Ｘ^2＋ａＸ＋ｂ－１＝０　の解が
1)ｘ＝１とｘ＝－１
2)－１＜ｘ＜１　の範囲に１個と、Ｘ＜－１またはＸ＞１の範囲に１個
3)－１＜ｘ＜１　の範囲に重解
のいずれかとなります。
　

No.85348 - 2023/05/01(Mon) 23:38:07

★ (No Subject) / ⅠAⅡB

点(a,b)からy＝x^3-3xのグラフに引ける接線の本数をnとする。
(1)n=3を満たすような点(a,b)の範囲を図示せよ
(2)-3a<bかつn≦2を満たすように点(a,b)が動く時、 b-3aの最小値を求めよ

No.85338 - 2023/05/01(Mon) 17:35:44

☆ Re: / X

y=x^3-3x (A)
より
y'=3x^2-3
∴(A)上の点(t,t^3-3t)における接線の方程式は
y=(3t^2-3)(x-t)+t^3-3t
これが点(a,b)を通るので
b=(3t^2-3)(a-t)+t^3-3t
これより
b=(3t^2-3)a-2t^3
2t^3-3at^2+3a+b=0 (B)
ここで
f(t)=2t^3-3at^2+3a+b
と置くと
f'(t)=6t^2-6at=6t(t-a)

(1)
f'(t)=0の解がt=0,aであることに注意すると
求める条件は
a≠0 (C)
f(0)f(a)＜0 (D)
(D)より
(3a+b)(-a^3+3a+b)＜0
(b+3a)(b-a^3+3a)＜0
図示すると下のようになります。
(但し、境界含まず)

No.85350 - 2023/05/02(Tue) 00:01:49

☆ Re: / X

(No.85350の続き)

(2)
方針を。
(1)の結果から題意を満たす点(a,b)の領域は
下の図のようになります。
但し、境界は直線b=-3a上の点を含まず、
それ以外の境界は含みます。)
よって
b-3a=k (E)
と置くと、問題は下図の領域と
直線(E)が共有点を持つときのkの最小値を求める
ことに帰着しますので、kの最小値は

曲線b=a^3-3aの傾き3の接線の方程式と
等価になる(E)のkの値

のうち、小さい方
となります。

No.85352 - 2023/05/02(Tue) 00:34:28

★ 線形微分不等式 / ぐっち

実数上で定義され、実数に値をとる、2次までの連続な導関数をもつ関数f(x)が条件f''(x)≧f(x)を満たすとき、
f(x)≧1/2{e^x+e^(-x)}*f(0)+1/2{e^x-e^(-x)}*f'(0)
となることを示せ、という問題があって、解説のところに
α,βを実数とするとき、D=d/dxとして
(D-α)(D-β)f(x)≧0(α>β)
も同様にして解ける、と書いてあったので計算した結果、
(α-β)f(x)
≧(αe^(βx)-βe^(αx))f(0)+(e^(αx)-e^(βx))f'(0)
という結果を得ました。
解説に、さらに高階も同様に導くことができる、と書いてあるのですが、自分ではこれ以上の議論ができなくて、どういう式が導けるのか導出過程とともに知ることができればと思い、投稿しました。ご教授よろしくお願いいたします。

No.85332 - 2023/04/27(Thu) 18:03:41

☆ Re: 線形微分不等式 / ぐっち

具体的には
(D-α)(D-β)(D-γ)f(x)≧0(α>β>γ)
さらに一般的に
(D-α[1])(D-α[2])…(D-α[n])≧0(α[1]>α[2]>…>α[n])
を解いたらどうなるかが知りたいです。よろしくお願いします。

No.85333 - 2023/04/27(Thu) 22:17:28

☆ Re: 線形微分不等式 / ぐっち

すいません。訂正です。
(D-α[1])(D-α[2])…(D-α[n])≧0(α[1]>α[2]>…>α[n])
↓
(D-α[1])(D-α[2])…(D-α[n])f(x)≧0(α[1]>α[2]>…>α[n])

No.85334 - 2023/04/27(Thu) 22:19:25

☆ Re: 線形微分不等式 / 黄桃

一般の場合に簡単に示す方法があるかもしれませんが、とりあえず。

なお、まじめにやると計算が面倒なので、ミスがあるかもしれません。流れは合っていると思いますが、細かいところは自分で確認してください。

f'''(x)-(a+b+c)f''(x)+(ab+bc+ca)f'(x)-abcf(x)≧0
を変形すれば、
f'''(x)-(a+b)f''(x)+abf'(x)-c(f''(x)-(a+b)f'(x)+abf(x))≧0
で、今までと同様に e^(-cx)(>0)を両辺にかけて、0からxまで積分すれば、
(f''(x)-(a+b)f'(x)+abf(x))e^(-cx)-(f''(0)-(a+b)f'(0)+abf(0))≧0
となります。e^(cx)をかけると、
f''(x)-(a+b)f'(x)+abf(x)-((f''(0)-(a+b)f'(0)+abf(0)))e^(cx)≧0 ...(*)
となります。これを変形すると
f''(x)-af'(x)-b(f'(x)-af(x))-((f''(0)-(a+b)f'(0)+abf(0)))e^(cx)≧0
だから、再びe^(-bx)をかけて0からxまで積分すれば
(f'(x)-af(x))e^(-bx)-(f'(0)-af(0))-((f''(0)-(a+b)f'(0)+abf(0)))/(c-b)(e^((c-b)x)-1)≧0
となります。まったく同様に、これを整理して e^(bx)をかけると（多分）
f'(x)-af(x)+(f''(0)-(a+c)f'(0)-acf(0))/(c-b) * e^(bx)-(f''(0)-(a+b)f'(0)+abf(0))/(c-b) *e^(cx)≧0
となります。再び e^(-ax)をかけて 0からxまで積分し、 e^(ax)をかけて整理すると（おそらく）
f(x)≧(f''(0)-(b+c)f'(x)+bcf(0))/((a-b)(a-c)) *e^(ax)+(f''(0)-(a+c)f'(0)+acf(0))/((b-a)(b-c))*e^(bx)+(f''(0)-(a+b)f'(0)+abf(0))/(c-a)(c-b))*e^(cx)
となります。

仕掛けがわかれば、高階になっても同じで、したがって、
e^(ax)の部分の係数は、 (f^(n)(0)-(a以外の1次対称式)f^(n-1)+...+(a以外のn-1次対称式)f(0))/((a-b)(a-c)...) （分母は (a-(a以外)) のすべての積) ...(**)
となるでしょう。

一般の場合にちゃんと計算はしてませんが、上で見たように、e^(cx)の部分の係数は、(*)から始めて進むにつれて分母に(c-a),(c-b),...が次々とかかっていきます。
なので、おそらく、どういう順番で計算しても答は同じでしょうから、cではなく、最初にa,bから始めれば(**)がいえると思われます。
興味があればご自分で厳密な証明をしてみてください。

＃3階の場合にx=0とすると、いわゆる「オイラーの分数式」が出てきそうです。

No.85335 - 2023/04/30(Sun) 08:41:17

☆ Re: 線形微分不等式 / ぐっち

3階の計算の規則が見えなくて、自分だけでは絶望的だったので、視界が開けました。オイラーの分数式と関係性があるとするととても興味深いです。ちょっとそちらの方向でも研究してみます。ありがとうございました。

No.85336 - 2023/04/30(Sun) 18:10:39

★ 2変数関数 / 884

問)実数x,yがx^2＋y^2＝1を満たしながら動く時、(2x+y+1)/(3x+y+5)の最大値と最小値を求めよ

解説お願いします。

No.85326 - 2023/04/25(Tue) 19:22:27

☆ Re: 2変数関数 / らすかる

x=cosθ, y=sinθ, t=tan(θ/2) （-π＜θ＜π）とおくと
x=(1-t^2)/(1+t^2), y=2t/(1+t^2) なので
(2x+y+1)/(3x+y+5)
={2(1-t^2)/(1+t^2)+2t/(1+t^2)+1}/{3(1-t^2)/(1+t^2)+2t/(1+t^2)+5}
={2(1-t^2)+2t+(1+t^2)}/{3(1-t^2)+2t+5(1+t^2)}
=(-t^2+2t+3)/(2t^2+2t+8)
f(t)=(-t^2+2t+3)/(2t^2+2t+8) とおくと
f'(t)=-8(t+5)(3t-1)/{(2t+1)^2+15}^2 なので
t＜-5で減少、-5＜t＜1/3で増加、1/3＜tで減少
またf(-5)=-2/3, f(1/3)=2/5
lim[t→±∞]f(t)=-1/2なので
f(t)の最大値は2/5、最小値は-2/3
θの範囲にないx=-1,y=0のときは-1/2なので最大最小とは無関係
t=1/3のときx=4/5, y=3/5
t=-5のときx=-12/13, y=-5/13
従って(2x+y+1)/(3x+y+5)は
(x,y)=(4/5,3/5)のとき最大値2/5
(x,y)=(-12/13,-5/13)のとき最小値-2/3
をとる。

No.85330 - 2023/04/26(Wed) 11:02:13

☆ Re: 2変数関数 / 黄桃

図形的に解くなら次のようになります(微分を使いません）。

(仮定より、x,y≧-1 だから、 3x+y+5≧-3-1+5=1 なので、分母は0になることはない)

(2x+y+1)/(3x+y+5)=k
とおけば、
(3x+y+5)k=2x+y+1
となるから、この直線が円 x^2+y^2=1 と交わるような k　の範囲の最大、最小が求めるもの。
変形すると
(3k-2)x+(k-1)y+5k-1=0
となる。kの条件はこの直線と点(0,0)との距離が１以下だから、
点と直線の距離の公式により
|5k-1|/√((3k-2)^2+(k-1)^2)≦1
となる。

これを解くと　-2/3≦k≦2/5 となるので、
求める最大値は2/5, 最小値は-2/3

＃最大最小は点(-4,7)から円x^2+y^2=1に引いた接線に対応します。
＃(-4,7)は 3x+y+5=0 かつ 2x+y+1=0 の交点で、
＃(3x+y+5)k=2x+y+1　はこの交点を通る直線（3x+y+5=0を除く）を表しています。

No.85331 - 2023/04/26(Wed) 23:17:09