ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 不等式 / 七虹

以前、不等式の整数解の問題で、解説を頂いたのですが、下から２行目って、〇≦7がついているので、最大の整数はやはり7なのではないでしょうか

No.50931 - 2018/06/09(Sat) 09:39:24

☆ Re: 不等式 / らすかる

「○の最大」と「xの最大」を混同しているようですね。
○の最大値は7ですが、
○=7の場合は
「x＜○を満たす最大の整数」は
「x＜7を満たす最大の整数」ですから、
xの最大値は6です。

「x＜○を満たす」のですから
xは○より小さい数であり、
○が6より大きく7以下なので
xはそれより小さい値であって、7にはなりません。

No.50932 - 2018/06/09(Sat) 10:16:38

☆ Re: 不等式 / 七虹

すみません、≦の右につく数字がなぜ7になるか忘れてしまったので説明お願いします

No.50934 - 2018/06/09(Sat) 12:40:26

☆ Re: 不等式 / らすかる

そこに書いてある説明を繰り返すことになりますが、
○=7のとき「x＜○を満たす最大の整数が6」になる
○=7.001など○が7より少しでも大きいとx＜○を満たす最大の整数は7なので
「x＜○を満たす最大の整数が6」にはならない
よって○は最大7まで

No.50935 - 2018/06/09(Sat) 14:34:51

☆ Re: 不等式 / らすかる

もう少しイメージがわかりやすいようにすると

x＜5.8を満たす最大の整数は5
x＜5.9を満たす最大の整数は5
x＜6を満たす最大の整数は5
x＜6.1を満たす最大の整数は6
x＜6.2を満たす最大の整数は6
x＜6.3を満たす最大の整数は6
x＜6.4を満たす最大の整数は6
x＜6.5を満たす最大の整数は6
x＜6.6を満たす最大の整数は6
x＜6.7を満たす最大の整数は6
x＜6.8を満たす最大の整数は6
x＜6.9を満たす最大の整数は6
x＜7を満たす最大の整数は6
x＜7.1を満たす最大の整数は7
x＜7.2を満たす最大の整数は7

これは理解できていますよね？
これを見ると、
「x＜○を満たす最大の整数は6」となっているのは
上記では6.1～7の範囲ですね。

境界を考えると
x＜6を満たす最大の整数は5
x＜6.000001を満たす最大の整数は6
のように
○が6だと「x＜○を満たす最大の整数は6」にはならず、
○が6よりわずかに大きいと「x＜○を満たす最大の整数は6」になります。
同様に
x＜7を満たす最大の整数は6
x＜7.000001を満たす最大の整数は7
のように
○が7だと「x＜○を満たす最大の整数は6」となり、
○が7よりわずかに大きいと「x＜○を満たす最大の整数は6」になりません。
つまり○が6より大きくて7以下のときに
「x＜○を満たす最大の整数は6」になりますので、
6＜○≦7ということになります。

No.50936 - 2018/06/09(Sat) 15:34:50

☆ Re: 不等式 / 七虹

あ、今度こそ理解できました!!
確かにxと〇が混じった考え方をして混乱していたんだと思います。
ありがとうございました！

No.50938 - 2018/06/09(Sat) 18:13:18

★ 二次関数について。 / コルム

２次方程式ｍｘ＾２－ｘ－２＝０・・・・?@が、2実数解α,β
をもち、それぞれの次の条件をみたすとき、ｍの値の範囲を求めよ。
（１）α＜１＜β　（２）－１＜α≦β
この問題で、?@を、mで、割って、分解して、y=0[x軸]を使う意味が分かりません。教えていただけると幸いです。どこで使われているのでしょうか？

No.50923 - 2018/06/08(Fri) 13:19:55

☆ Re: 二次関数について。 / ヨッシー

この問題では、少なくとも私は、
?@を、mで割りませんし、分解しませんし、y=0[x軸]を使いません。
もし、別の方法が紹介されているなら、その方法をきちんと書いていただかないと答えようがありません。

そもそも、「分解する」って何ですか？

No.50937 - 2018/06/09(Sat) 17:45:16

☆ Re: 二次関数について。 / コルム

２次方程式ｍｘ＾２－ｘ－２＝０・・・・・・?@（ｍ≠０）
ここで、ｍ≠０より、?@の両辺をｍで割って、１・ｘ＾２－
１/ｍｘ－２/ｍ＝０・・・・・・・?A　?Aを分解して、
ｙ＝ｆ（ｘ）＝１・ｘ＾２－１/ｍｘ－２/ｍ
ｙ＝０［ｘ軸］とおく。
（１）?@、すなわち?Aの異なる２実数解α、βが、
α＜１＜βをみたすとき、
（?@）ｆ（１）＝１＾２－１/ｍ・１－２/ｍ＜０
（ｍ－３）/ｍ＜０より、ｍ（ｍ－３）＜０
∴求めるｍの値の範囲は、０＜ｍ＜３
（２）?@、すなわち?Aの２実数解α、βが
－１＜α≦βをみたすとき、
(?@）判別式D=（－１/ｍ）＾２－４・１・（－２/ｍ）≧０
１/ｍ＾２＋８/ｍ≧０、（８ｍ＋１）/ｍ＾２≧０
８ｍ＋１≧０　∴ｍ≧ー１/８
（?B）軸ｘ＝１/（２ｍ）より、－１＜１/２ｍ、（１/２ｍ）＋１＞０
（２ｍ＋１）/２ｍ＞０より、２ｍ（２ｍ＋１）＞０
ｍ（２ｍ＋１）＞０　∴ｍ＜－１/２、０＜ｍ
（?B）ｆ（－１）＝（－１）＾２－１/ｍ・（－１）－２/ｍ＞０
（ｍ－１）/ｍ＞０より、ｍ（ｍ－１）＞０
∴ｍ＜０、１＜ｍ
以上、(?@）、(?A）、（?B）より、求めるｍの値の範囲は、
ｍ＞１
が本に書かれている解答です。
ここの、ｙ＝０［ｘ軸］のところがわかりません。
教えていただけると幸いです。

No.50941 - 2018/06/09(Sat) 20:21:02

☆ Re: 二次関数について。 / ヨッシー

ｘ^2－３ｘ＋２＝０の解は、
　ｙ＝ｘ^2－３ｘ＋２
のグラフと、ｘ軸との交点のｘ座標で表される。
というのは、やったことないですか？
ｘ軸を、１つのグラフと見なして、ｙ＝０と書いて
２つのグラフ、　ｙ＝ｘ^2－３ｘ＋２　と　ｙ＝０　の交点
としているだけです。

ｍで割っているのは、ｘ^2 の係数を１にして、
下に凸のグラフに限定して考えられるようにするためです。
別に割らなくても、
　ｍｘ＾２－ｘ－２＝０
において、f(x)＝ｍｘ＾２－ｘ－２とおきます。
i) ｍ＞０　（下に凸）　のとき
　f(1)＝ｍ－３＜０　より　ｍ＜３
　よって、　０＜ｍ＜３
ii) ｍ＜０　(上に凸)　のとき
　f(1)＝ｍ－３＞０　より　ｍ＞３　これは　ｍ＜０との
　共通部分はない。
以上より　０＜ｍ＜３　・・・（１）の答え
のように出来ます。
　

No.50946 - 2018/06/09(Sat) 22:48:58

☆ Re: 二次関数について。 / コルム

ありがとうございました。

No.50980 - 2018/06/11(Mon) 19:14:10

★ 集合について / 蘭

こんばんは！
今回もよろしくお願いします。

以前の学校の授業で、集合についての、「補集合」を勉強していた際、Uを全体集合、Aをある任意の集合とする。とありました。
そして、そこには、「Uは全体集合より、補集合U=空集合。また、全体集合U=空集合」とありました。
Uは全体集合より、補集合U=空集合はわかります。
ですが、全体集合U=空集合とか、意味がわかりません。

どーなったらそーなるんですか？？？
これはどーゆうことでしょうか？？

解説よろしくお願い申し上げます。

.

No.50917 - 2018/06/07(Thu) 21:53:27

☆ Re: 集合について / ヨッシー

見間違いじゃないですか？

記号や符号を見落としているとか。

No.50920 - 2018/06/07(Thu) 23:23:37

☆ Re: 集合について / 蘭

そーきたか！爆笑

とうとう私の間違いか！！
ならいいんです！！！それは、成立しないということですよね？？
ありがとうございます！

スッキリしました！！！

これからもよろしくお願いします。

No.50924 - 2018/06/08(Fri) 17:30:04

★ 二次関数高1 / 蘭

こんにちは！
またまたバカな蘭です。

問題はこうです。
「aは定数とする。関数y=-x^2+4ax-a(0≦x≦2)について、最小値と最大値を求めろ。」

答えは分かっていません。

よろしくおねがいいたします！

.

No.50915 - 2018/06/07(Thu) 20:15:09

☆ Re: 二次関数高1 / ヨッシー

f(x)＝－x^2＋4ax－a と置きます。
f(x)＝－(x－2a)^2＋4a^2－a　と書けるので、
0≦x≦2 という範囲がなかったら、
最大値は　x＝2a のとき、4a^2－a、最小値はなし（いくらでも小さくなる）です。

最大値となる点(2a, 4a^2－a) を頂点といいますが、
0≦x≦2 という範囲が付けられたとき、頂点がこの範囲に含まれるかどうか。
含まれていたら、そこが最大。最小は f(0) か f(2) のどちらか小さい方です。
一般に頂点からより離れるほど小さくなります。
また、頂点が 0≦x≦2 より左にあるときは、f(0) が最大 f(2) が最小。
頂点が 0≦x≦2 より右にあるときは、f(0) が最小 f(2) が最大。
となります。
なお、f(0)＝－a, f(2)＝7a－4 です。

以上を踏まえて、解答を書くと、
2a＜0　つまり、a＜0 のとき　最大値　f(0)＝－ａ、最小値　f(2)＝7a－4
0≦2a≦1 つまり、0≦ａ≦1/2 のとき　最大値 4a^2－a、最小値 f(2)＝7a－4
1≦2a≦2 つまり　1/2≦ａ≦1 のとき　最大値 4a^2－a、最小値 f(0)＝－ａ
2＜2a つまり　1＜ａのとき　最大値 f(2)＝7a－4、最小値f (0)＝－ａ
となります。

2a＝1 の場合は、0≦2a≦1 と 1≦2a≦2 の両方の場合に含まれていますが、
どちらか片方だけに含むような解答でもＯＫです。
0≦2a≦1 と 1＜2a≦2　または　0≦2a＜1 と 1≦2a≦2。
ただし、0≦2a＜1 と 1＜2a≦2　はどちらにも含まれておらずダメですが、
別の行
2a＝１つまり、ａ＝1/2 のとき　最大値 1/2、最小値 f(0)＝f(2)＝－1/2
を加えてあれば、ＯＫです。

No.50921 - 2018/06/08(Fri) 09:17:27

☆ Re: 二次関数高1 / 蘭

なるほど！
とても分かりやすい解答ありがとうございます！！

ここで、質問なのですが、私はこのように、

0≧a、a≧1などと、ヨッシー様が0>a、a>1としているところを、0を含む、1を含むにしてしまっています。
これは、解答的にオッケーでしょうか？？

判断だけよろしくお願いします。

No.50925 - 2018/06/08(Fri) 17:43:06

☆ Re: 二次関数高1 / ヨッシー

この問題の場合は、ＯＫです。

No.50929 - 2018/06/08(Fri) 23:36:29

★ 力学です。 / わかりません。

サインとコサインがわかりません。

No.50911 - 2018/06/07(Thu) 16:54:42

☆ Re: 力学です。 / ヨッシー

とりあえず、sin, cos の定義から分からないということですので、その説明から。

図のように、１つの角がθの直角三角形があるとき、
　sinθ＝c/a, cosθ＝b/a
と決めます。この場合　０＜θ＜90°ですが、それ以外の角についても
sin, cos を決めることが出来ますが、今回はこれで十分です。

(3) の場合、
ａ＝64kN と θ＝35°が分かっていますから、この力の
ｘ成分Ｈは、Ｈ＝ａ・cos35°＝64cos35°
ｙ成分Ｖは、Ｖ＝ａ・sin35°＝64sin35°
cos35°＝0.819, sin35°＝0.574 は、別途与えられているか、
三角比表から読み取れますので、これを使って、
　Ｈ＝64×0.819＝52.4
　Ｖ＝64×0.574＝36.7
と計算できます。あとは、力の向きに注意して、
　Ｈ＝－52.4
　Ｖ＝－36.7
となります。
(5) も同様です。

No.50918 - 2018/06/07(Thu) 22:10:31

★ 命題の裏と理論包含について / ちんぷん

命題Ｐ⇒Ｑが真だと
Ｐ⊂Ｑは成り立ちますよね。

命題Ｐ⇒Ｑが真で
Ｐ⇔Ｑでない時は、
命題の裏¬Ｐ⇒¬Ｑは偽となりますよね。

この時、
¬Ｐ⊂¬Ｑも偽となると考えて良いでしょうか？

そして、
命題の裏¬Ｐ⇒¬Ｑは偽であるならば
理論包含でも
Ｐが偽、Ｑが偽のときの答えは偽となるはずなのですが、
真となる理由が分かりません。

No.50905 - 2018/06/07(Thu) 13:17:14

☆ Re: 命題の裏と理論包含について / ヨッシー

こちらの論理包含の真理値表を見てもわかるように、
Ｐが偽、Ｑが偽のとき　Ｐ→Ｑ　は真です。

No.50908 - 2018/06/07(Thu) 13:55:02

☆ Re: 命題の裏と理論包含について / ちんぷん

ヨッシーさんありがとうございます。

Ｐ⇒Ｑ　が真であるという事は、
！(Ｐ＆！Ｑ)　が真となる事であり、
Ｐが偽、Ｑが偽のときの　Ｐ→Ｑ　は真である
という事は理解しています。

命題　Ｐ⇒Ｑ　が真で、且つＰ⇔Ｑ　では無い場合
命題の対偶　¬Ｑ⇒¬Ｐ　が真
命題の裏　¬Ｐ⇒¬Ｑ　が偽
という認識は正しいでしょうか？

であるならば、
命題の裏　¬Ｐ⇒¬Ｑ　が偽
である事と
Ｐが偽、Ｑが偽のときの　Ｐ→Ｑ　は真
である事は矛盾しませんでしょうか？

No.50909 - 2018/06/07(Thu) 14:20:57

☆ Re: 命題の裏と理論包含について / ヨッシー

うまく説明できませんが、
「Ｐである」「Ｐでない」ということと、「Ｐが偽である」ということが
混同されているように思います。

詳しい方、お願いします。

No.50922 - 2018/06/08(Fri) 11:24:42

☆ Re: 命題の裏と理論包含について / 黄桃

私には質問の意味が把握できませんが、

>命題　Ｐ⇒Ｑ　が真で、且つＰ⇔Ｑ　では無い場合
>命題の対偶　¬Ｑ⇒¬Ｐ　が真
>命題の裏　¬Ｐ⇒¬Ｑ　が偽

は（適当な解釈のもとで）正しいです。

P,Qが命題か条件か不明確ですが、それぞれの場合について考えます。

まず、P,Qが（真偽が決まる）命題である場合を考えます。
>命題　Ｐ⇒Ｑ　が真で、且つＰ⇔Ｑ　では無い場合
ですから、P,Qが共に偽、ということはありえません（そうなら、PもQも偽だから同値)。
ありえるのは、Pが偽、かつ、Qが真、の場合だけです。

次に、P,Qが条件である場合を考えます。
話を簡単にするため、P,Qがxに関する条件であるとします。
おそらく、
>Ｐ⊂Ｑは成り立ちますよね。
ということからして、上記は、正確には

命題A: すべてのxについて, Ｐ(x)⇒Ｑ(x)
命題B: すべてのxについて, Ｐ(x)⇔Ｑ(x)
命題C: すべてのxについて, ¬Ｑ(x)⇒¬Ｐ(x)
命題D: すべてのxについて, ¬Ｐ(x)⇒¬Ｑ(x)

とおくと、
命題Aが真、かつ、命題Bが偽、と仮定すると、
命題Cは真、かつ、命題Dは偽である、
ということでしょう。これは正しい推論です。

＃xが何であっても、Ｐ(x)⇒Ｑ(x)　と ¬Ｑ(x)⇒¬Ｐ(x) は同値で、
＃今命題Aが真ですから、xが何であっても¬Ｑ(x)⇒¬Ｐ(x) が真、つまり命題Cは真。
＃命題Dが真であれば、同様に、すべてのxについて、Q(x)⇒P(x)が真、したがって、
＃命題Aと合わせて、すべてのxについてＰ(x)⇔Ｑ(x)ですから、命題Bが真になり矛盾です。
＃よって命題Dは偽です。

命題Dが偽、ということは、P(a)は偽で、Q(a)は真であるようなaがある、ということです。
命題Dが偽であっても、P(b)もQ(b)も偽であるようなbがあるかもしれません（ないかもしれません）。
あったとしても、上で述べたaが１つあれば命題Dは偽です。

ただし、「¬Ｐ⇒¬Ｑ　が偽」というのを、
すべてのxについて, (¬Ｐ(x)⇒¬Ｑ(x) でない)、つまり、
命題E: すべてのxについて, ¬Ｐ(x)∧Ｑ(x)
と解釈しているのであれば、Eが真なら、P(a)もQ(a)も偽であるようなaは存在しない、となります。
ですが、命題Eは命題Dの否定ではありません。命題Dの否定は
（すべてのxについて, ¬Ｐ(x)⇒¬Ｑ(x)）でない、　です。
命題Dが偽であっても、命題Eが真とはいえません（真になることもありえます）。

＃別の言い方をすれば、
＃命題Aが真⇔{x|P(x)が真}⊂{x|Q(x)が真}
＃命題Dが真⇔{x|P(x)が偽}⊂{x|Q(x)が偽}
＃命題Dが偽⇔{x|P(x)が偽}∩{x|Q(x)が真}≠φ(空集合)
＃命題Eが真⇔{x|P(x)が偽}∩{x|Q(x)が真}=全体集合　（特に{x|P(x)が偽}∩{x|Q(x)が偽}=φ)
＃です。

以上、どこにも矛盾はないように思います。

No.50930 - 2018/06/09(Sat) 05:06:16

☆ Re: 命題の裏と理論包含について / ちんぷん

黄桃さん詳細な説明ありがとうございます！
まだ一部理解が追いついていないのですが、
文章を何回も読み込んでしっかりと理解します

助かりました

No.50976 - 2018/06/11(Mon) 11:09:16

★ 教えて下さい / 健児

小学生の弟に質問されましたが、こたえはあるのですが、どう説明したらよいか、わかりません。教えて下さい。

No.50898 - 2018/06/07(Thu) 02:16:56

☆ Re: 教えて下さい / らすかる

円の中の数の和の合計は
(ア+イ)+(イ+ウ+エ)+(エ+オ+カ)+(カ+キ+ク)+(ク+ケ)
=ア+ウ+オ+キ+ケ+(イ+エ+カ+ク)×2
=45+イ+エ+カ+ク
イ+エ+カ+ク≧10なので
円の中の数の和の合計は55以上
よって一つの円の中の数の和は11以上
試しに一つの円の中の数の和が11とすると
イ,エ,カ,クには1～4が入る
イに1を入れるとア+イが11にならないのでイに1は入らない
同様にクにも1は入らない
イに4を入れるとア=7、ウ+エ=7でエ≦3かつウ≠4なので
ウ=5、エ=2またはウ=6、エ=1
ア,イ,ウ,エ=7,4,5,2のときカ=1,ク=3となるので
キ=7となり不適
ア,イ,ウ,エ=7,4,6,1のときオ+カ=イ+ウ=10で
カは2か3なのでオ=8,カ=2と決まり、
クは3なのでキ=6となり不適
従ってイには4も入らない
同様にクにも4は入らないので
イとクが2と3、エとカが1と4
イ,エ,カ,ク=2,1,4,3とするとキ=4となり不適なので
イ,エ,カ,ク=2,4,1,3（またはその左右逆）しかできない
このときア,ウ,オ,キ,ケ=9,5,6,7,8となり条件を満たす

# 答えは全部で8通り（左右反転を同一視すれば4通り）ありますが、
# おそらく「全部見つける」という問題ではないと思いますので
# 上記の答えだけで十分でしょう。

後半は図なしで説明するのが難しいので
↓ここらへんでも見て下さい。
http://gascon.cocolog-nifty.com/blog/2006/06/post_0c81.html

No.50900 - 2018/06/07(Thu) 05:37:22

☆ Re: 教えて下さい / 健児

いつもありがとうございます。一つ目は理解できましたが、二つ目が検索できず、わかりません。何とかお願いします。

No.50903 - 2018/06/07(Thu) 10:31:01

☆ Re: 教えて下さい / らすかる

検索じゃなくて
↓このページを見れば説明が書いてあるのですが…
http://gascon.cocolog-nifty.com/blog/2006/06/post_0c81.html

No.50904 - 2018/06/07(Thu) 13:10:52

☆ Re: 教えて下さい / らすかる

検索できないというのは、もしかしてクリックしても飛ばないという意味でしょうか。
もしそうなら↓これでいかがでしょう。
http://gascon.cocolog-nifty.com/blog/2006/06/post_0c81.html

No.50907 - 2018/06/07(Thu) 13:26:10

☆ Re: 教えて下さい / ヨッシー

後半について、自己流＆試行錯誤を含む方法ですが。
各数字は６本の辺によって、２回ずつ使用されているので、
１本の辺の４つの数の合計は
　（１＋２＋・・・＋１２）×２÷６＝２６

１．１～１２の数を、和が２６になる４つの数、３組に分けます。
　分け方は３２通りあります。(左の図)
２．そのうちの２つの組について、各組から和が等しくなる２数を選びます。
　残りの２つも、必然的に和が等しくなります。
　□の１２＋１と５＋８、○の１１＋２と３＋１０がそれぞれ等しいです。
　ここでは、和が１３と１３に分かれましたが、１２と１４や、１１と１５などでも
　構いません。それらを、中の図のように□と○を交互に置きます。
　このとき、必ず青の線で結んだ２数の和の差（１１＋５　と　１＋１０　の差で、５です）と
　緑の線で結んだ２数の和の差（１２＋３と２＋８の差で５）が等しくなります。
　その差を、残りの４数の差で作れないか調べます。
　見つからないときは、１２と１を入れ替える、１１と２を・・・、５と８を・・・、３と１０を・・・
　などで色々調整します。どうしても出来ないときは、１．で、他の分け方を見つける所からやり直します。
３．この場合は４と９が見つかりました。
　青の線の和が小さい方の２数の間に４を、他方に９を置きます。
　すると、青線上の３数同士は等しく、緑線同士も等しくなります。
　その３数に、もう１数加えて、２６になるような数が、残っていれば出来上がりです。（右の図）

すぐには見つけられないかも知れませんが、お試しください。

No.50910 - 2018/06/07(Thu) 16:09:48

★ 解析学 / ポテト

この３つの質問の解き方を知りたいです。
どなたかご存知で親切な方よろしくお願いします

No.50887 - 2018/06/06(Wed) 20:37:17

☆ Re: 解析学 / noname

以下にヒントを与えておきます．一先ず，このヒントをもとにお考え下さい．
___________________________

[解答例の概略]
1．冪級数におけるダランベールの収束判定法を用いる．
（コーシー・アダマールの収束判定法を用いてもよいが，こちらを使った場合だと解答がやや面倒になる．）

2．1変数関数の極値点の求め方を用いればよい．つまり，方程式g'(x)＝0の解を求め，その解をx＝aとする時に「x＝aが関数g(x)の極値点となっている」ことを増減表を書くなどして確認する．

3．まずは，∂f/∂x＝∂f/∂y＝0を満たす点(x,y)を求める．次に，いま得られた各々の点におけるヘッシアンの値を調べ，どの点でfが極値をとるのかを調べる．
（詳細については，2変数関数の極値判定について調べて頂くとよい）

No.50897 - 2018/06/06(Wed) 23:45:47

★ (No Subject) / ピロリ菌

この増減表は、どうやって書きますか？

No.50884 - 2018/06/06(Wed) 19:54:22

☆ Re: / ピロリ菌

これは、微分したあとの式なので、上の式から、もう1回微分して増減表を書かない方針でお願いします。

No.50885 - 2018/06/06(Wed) 19:57:26

☆ Re: / らすかる

θの範囲は？

No.50894 - 2018/06/06(Wed) 22:49:22

☆ Re: / ピロリ菌

あっ、すいません。
範囲は0＜θ≦2π です。

No.50895 - 2018/06/06(Wed) 22:58:45

☆ Re: / らすかる

とりあえずcosとsinが混ざっていると扱いにくいので
cosθ(sinθ+√3/2)(sinθ-√3/2)
=cosθ{(sinθ)^2-(√3/2)^2}
=cosθ{1-(cosθ)^2-3/4}
=cosθ{1/4-(cosθ)^2}
=cosθ(1/2+cosθ)(1/2-cosθ)
=-cosθ(cosθ+1/2)(cosθ-1/2)
とすると
cosθ＜-1/2で＋
-1/2＜cosθ＜0で－
0＜cosθ＜1/2で＋
1/2＜cosθで－
ですから
0＜θ＜π/3で1/2＜cosθなので－
π/3＜θ＜π/2で0＜cosθ＜1/2なので＋
π/2＜θ＜2π/3で-1/2＜cosθ＜0なので－
2π/3＜θ＜4π/3でcosθ＜-1/2なので＋
4π/3＜θ＜3π/2で-1/2＜cosθ＜0なので－
3π/2＜θ＜5π/3で0＜cosθ＜1/2なので＋
5π/3＜θ＜2πで1/2＜cosθなので－
のようになりますね。

No.50896 - 2018/06/06(Wed) 23:19:01

★ (No Subject) / とある大学1年生

ちょっと数学の問題で分からない問題があるので、質問します。自分の大学は教科書が全部英語なので、画像の問題も英語になっています。この問題の解き方と解答は載っていたので、何回か読み直したら理解できましたが、担当の先生はさらにグラフも書けと言っていました。そのグラフがよく分かりません。解説よろしくお願いいたします。

No.50875 - 2018/06/06(Wed) 17:20:55

☆ Re: / とある大学1年生

先生に聞いた感じだと、グラフの大まかなイメージとしてはこんな感じになります。
詳しく書くとなるとどんな感じになるかが分かりません。

No.50877 - 2018/06/06(Wed) 17:24:02

☆ Re: / とある大学1年生

ちなみに
感染しているのはN匹で、感染していないのは500-N匹と表し、最終的な答えはln99=500ktになります。

No.50878 - 2018/06/06(Wed) 17:26:35

☆ Re: / ヨッシー

>この問題の解き方と解答は載っていたので
そちらも載せてください。

No.50880 - 2018/06/06(Wed) 17:52:23

☆ Re: / とある大学1年生

こちらです。
見にくいですがすみません。

No.50881 - 2018/06/06(Wed) 18:04:59

☆ Re: / とある大学1年生

こちらもです。

No.50882 - 2018/06/06(Wed) 18:05:34

☆ Re: / ヨッシー

一応、(5) までがＮとｔの関係式で、解答では、Ｎを具体的には求めずに、
Ｎ＝２５０となるｔを求めに行っていますね。
にもかかわらず、先生はＮとｔのグラフを描けと言った、と言うわけですね？

まぁ、ｋが明らかになっていないので、概形ということになりますが。
(5) をＮについて解いて
　Ｎ＝500e^(500kt)/(99＋e^(500kt))
係数があふれないように　500k を k と置き換えて、
　Ｎ＝500e^(kt)/(99＋e^(kt))
とします。微分して
　Ｎ’＝49500k・ｅ^(kt)/(99＋ｅ^(kt))^2
さらに微分して
　Ｎ”＝49500k^2・e^(kt)・(99＋e^(kt)){99－e^(kt)}/(99＋ｅ^(kt))^4
よって、Ｎ’＞０より単調増加
　ｔ＝ln(99)/k　←N=250 となるｔの値
を境にしてＮ”が正から負に変わる。
さらに、ｔ→∞ のとき　Ｎ→500
また、(5)の式
　N/(500-N)＝(1/99)e^(kt)
において、
　f(t)＝(1/99)e^(kt)
とおくと、
　f(2ln(99)/k－t)＝(1/99)e^(k(2ln(99)/k－t))
　　＝(1/99)e^(2ln(99))e^(-kt)
　　＝99/e^(kt)
　　＝(500－N)/N
よって、(ln(99)/k, 250) について対称。

以上を加味すると以下のようなグラフになります。

No.50889 - 2018/06/06(Wed) 20:54:19

☆ Re: / とある大学1年生

解説ありがとうございます。
確かにkは明らかになっていませんが、k=1の時、k=2みたいにグラフを書けと言っていたんですが、その場合はどうなるんでしょうか？

No.50892 - 2018/06/06(Wed) 22:33:11

☆ Re: / ヨッシー

k の値によって、グラフの●（対称の中心＝変曲点）の
座標が
ｋ＝１のとき　(ln(99)/500,250)
ｋ＝２のとき　(ln(99)/1000,250)
のように変わるだけで、その他には特徴的な部分はないと思います。

もちろん、ｋが増えるに連れて、全体的に横長にはなっていきます。

No.50901 - 2018/06/07(Thu) 08:57:21

★ (No Subject) / 蘭

毎度お世話になっております。
今回もよろしくお願いします！！

この、練習という問題が２つもわかりません。
正答と正しい解き方を教えてください！

また、私が疑問なところなんですが、
例えば、⑴を平方完成しようとした時、y=(x^2-3)^2+1となりますよね。この時、x^2-3はこのままでいいんでしょうか。そこら辺の仕組みがよくわかりません。
その説明もよろしくお願いします！

待ってます！！

No.50868 - 2018/06/06(Wed) 16:47:49

☆ Re: / ヨッシー

(1) はその変形で正しいです。
ポイントは　（・・・）^2 の形を作ることです。
２乗の形になっているということは、絶対に負にはならないということで、
もし０になるようなｘが存在したら、その時が最小になります。
　ｙ＝(x^2－3)^2＋1
は、ｘ＝±√3 のとき、（・・・）^2 が０になり、それ以外のときは、
０より大きくなるので、ｘ＝±√3 のとき、最小値１となります。
最大値はありません（いくらでも大きくなる）

(2) はＡ＝x^2－6x とおくと、
　Ａ＝(x－3)^2－9
と変形できます。1≦ｘ≦5 の範囲では、ｘ＝３で最小値－９となります。
一方、Ａ＝(x－3)^2－9 のグラフを描くと、ｘ＝３で最小で、
そこから、離れるに連れて、Ａの値は大きくなります。
よって、Ａの最大はｘ＝１かｘ＝５で現れます。
　ｘ＝１のとき　Ａ＝－５
　ｘ＝５のとき　Ａ＝－５
であるので、この場合は、ｘ＝１でもｘ＝５でも、最大値を取り、
最大値は－５です。
ここまでで、－９≦Ａ≦－５とわかりましたから、この範囲内で、
　ｙ＝Ａ^2＋12Ａ＋30
　　＝(Ａ＋６)^2－６
の最大、最小を求めます。

No.50873 - 2018/06/06(Wed) 17:07:25

☆ Re: / 蘭

分かりやすすぎて、泣きます。

私もそんな風になりたいです………！！

ほんとうにありがとうございます。
この恩は一生忘れません。

これからも宜しくお願いします！！

No.50879 - 2018/06/06(Wed) 17:30:15