与えられている関数F(s)の原関数f(x)が偶関数か分からない状況で、F(s)に対して逆フーリエ"余弦"変換を用いることはできますか？
F(s) = ∫f(x)cos(sx)dx = 〜
という関数が与えられていて、f(x)を求めたいとき、形がフーリエ余弦変換後の形をしているかといって、偶関数である保証のない関数F(s)（f(x)）に対して逆フーリエ変換を適用していいのでしょうか？
個人的には...
逆フーリエ余弦変換は
f(x)が偶関数のとき、そのフーリエ変換F(s)も偶関数であるから
逆フーリエ変換f(x) = ∫F(s)e^jst ds = ∫F(s)*(cos(st)+jsin(st))ds
(F(s)もsinも偶関数であるから) = ∫F(s)*cos(st)ds
という風に成り立っている以上、f(x)ひいてはF(s)が偶関数である保証がない以上、逆フーリエ正弦変換は用いてはならないように思うのですが...
ただ、この教材では普通に用いているようなので、疑問に思いました
よろしくお願いします
![]() |
No.51333 - 2018/06/25(Mon) 15:40:13
| ☆ Re: 逆フーリエ正弦変換について / 関数電卓 | | | あまり自信はないのですが…
(1)
f(x)＝{0 (x＜0)，1 (0＜x＜a)，0 (a＜x) }
に対し、
g(x)＝{ 0 (x＜−a)，1 (−a＜x＜0)，0 (0＜x) }
とおくと g(−x)＝f(x)。さらに
h(x)＝f(x)＋g(x)
とおくと h(x) は偶関数で
∫[−∞,∞]h(x)cosξxdx＝∫[−∞,0]g(x)cosξxdx＋∫[0,∞]f(x)cosξxdx …(*)
(*)の左辺は ＝2∫[0,∞]h(x)cosξxdx＝2∫[0,∞]f(x)cosξxdx
(*)の右辺第１項は x＝−u とおき、＝∫[∞,0]g(−u)cosξu(−du)＝∫[0,∞]f(u)cosξudu＝第２項
(2)
g(x)＝{0 (x＜0)，e^(-x) (0≦x) }
に対し、
f(x)＝{−e^x (x≦0)，0 (0＜x) }
とおくと f(−x)＝−g(x)、g(−x)＝f(x)。さらに
h(x)＝g(x)＋f(x)
とおくと h(x) は h(−x)＝−h(x) 奇関数、h(x)sinξx は偶関数で
∫[−∞,∞]h(x)sinξxdx＝∫[−∞,0]f(x)sinξxdx＋∫[0,∞]g(x)sinξxdx …(**)
(**)の左辺は ＝2∫[0,∞]h(x)sinξxdx＝2∫[0,∞]g(x)sinξxdx
(**)の右辺第１項は x＝−u とおき、＝∫[∞,0]f(−u)sinξ(−u)(−du)＝∫[0,∞]g(u)sinξudu＝第２項
|
No.51377 - 2018/06/27(Wed) 12:42:10 |
|
