ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 中三　図形 / りゅう

いつもお世話になっております。
メネラウスの定理を使うのかな？と思うのですが、
解き方が分からないので、教えていただけますでしょうか。
よろしくお願い致します。

No.50827 - 2018/06/04(Mon) 19:13:53

☆ Re: 中三　図形 / らすかる

Eを通りABと平行な直線とBCの交点をGとすると
EF：DF=EG：DB=(2/3)AB：(1/4)AB=8：3
∴ED：DF=8-3：3=5：3

No.50831 - 2018/06/04(Mon) 20:44:33

☆ Re: 中三　図形 / りゅう

いつもありがとうございます！
メラニウスの定理でよく見る形だったので、メラニウスを使うと思い込んでしまいましたが、補助線を利用しなければならない相似だったのですね。
いつも分かりやすく説明していただいてありがとうございます。

No.50832 - 2018/06/04(Mon) 20:58:50

☆ Re: 中三　図形 / らすかる

補助線を引かずにメネラウスの定理を2回使っても出せます。
(AD/DB)(BF/FC)(CE/EA)=1からBF/FCが出るのでFB：BCがわかる
(ED/DF)(FB/BC)(CA/AE)=1からED/DFが出る
でも、補助線の方が多少簡単かと思います。

No.50833 - 2018/06/04(Mon) 21:05:58

★ 確率の問題 / だー

6人子供を産んだとき、男の子が四人、女の子が二人生まれる確率を教えてください！
計算方法もお願いします

No.50822 - 2018/06/04(Mon) 15:24:22

☆ Re: 確率の問題 / らすかる

男女の生まれる確率は1/2ずつとすると、
生まれる順は
男男男男女女
男男男女男女
男男男女女男
男男女男男女
男男女男女男
男男女女男男
男女男男男女
男女男男女男
男女男女男男
男女女男男男
女男男男男女
女男男男女男
女男男女男男
女男女男男男
女女男男男男
の6C2=15通りであり、それぞれの確率が(1/2)^6ですから
求める確率は6C2×(1/2)^6=15/64≒23.4%となります。

実際は男の出生確率の方が高く、国内の出生比率は
平成の統計で19：18程度のようですので、
確率は(6C2)×(19/37)^4×(18/37)^2=633360060/2565726409≒24.7%程度になります。

# というわけで、問題できちんと「男女比は1：1とする」などと
# 定義されていないと、問題として成立しません。

No.50823 - 2018/06/04(Mon) 16:08:06

★ 単射か否か全射か否か / 新米

[1]の解答例を教えてください。
よろしくお願い申し上げます。

No.50821 - 2018/06/04(Mon) 11:48:44

☆ Re: 単射か否か全射か否か / X

∀x∈[0,∞)に対し
f(x)≧0
∴fは全射ではありません。

又、
f(x)=a (a＞0) (A)
のとき
x=3+a,3-a
∴0＜a＜3のとき、(A)を満たす
x≧0
なるxは一つではありませんので
fは単射ではありません。

No.50824 - 2018/06/04(Mon) 17:54:14

★ (No Subject) / タロウ

図形と方程式の軌跡なのですが、苦手なので、よく分からないです…。教えて頂けますかm(*_ _)m

No.50816 - 2018/06/03(Sun) 23:12:44

☆ Re: / らすかる

Q(x,y)とおくと
AQ^2=(x+s/2)^2+y^2, BQ^2=(x-s/2)^2+y^2, CQ^2=x^2+(y-(√3/2)s)^2なので
AQ^2+BQ^2+CQ^2=3x^2+3y^2-(√3)sy+5s^2/4=3x^2+3(y-(√3/6)s)^2+s^2
3x^2+3(y-(√3/6)s)^2+s^2=2tのとき
x^2+(y-(√3/6)s)^2=(2t-s^2)/3…(a)
これを満たす点Q(x,y)が存在する必要十分条件は(a)の(右辺)≧0なので
(2t-s^2)/3≧0から2t≧s^2→[1]の答えは?B
[1]の等号が成り立つとき(a)の(右辺)=0なので
x^2+(y-(√3/6)s)^2=0からx=0,y=(√3/6)s→[2][3][4]の答えは0,3,6
[1]の等号が成り立たないときの式は(a)なので[5][6]の答えは2,3
(a)式にx=-s/2,y=0を代入して整理するとt=s^2→[7]の答えは2

No.50818 - 2018/06/04(Mon) 01:08:31

★ (No Subject) / アボカド

初めからなにも分からないです。
教えてください！

No.50815 - 2018/06/03(Sun) 23:05:13

☆ Re: / ヨッシー

(1)
(ア)
φ＝θ－π/4 とおくと
－π/4≦φ＜7π/4 なので、この範囲で
　cosφ＝1/2
を解くと、φ＝π/3, 5π/3
　θ＝φ＋π/4
より、θ＝7π/12, 23π/12
(イ)
グラフまたは単位円を描いて
　π/3＜θ＜2π/3

(2)
θ＝2x－π/4　とおくと、
　－π/4≦θ≦7π/4
この範囲で、
　√2cosθ≧1
すなわち
　cosθ≧1/√2
を解きます。
　－π/4≦θ≦π/4　または　θ＝7π/4
つまり、
　－π/4≦2x－π/4≦π/4　または　2x－π/4＝7π/4
よって、
　0≦2x≦π/2　または　2x＝2π
　0≦x≦π/4　または　x＝π

No.50819 - 2018/06/04(Mon) 08:58:03

★ チャート / 晨

チャートの予習で出たのですが、解答は、場合分けで解説されていたのですが、簡便法でも同じ答えが出たので、簡便法を用いて解いても大丈夫ですか？

No.50809 - 2018/06/03(Sun) 17:20:29

☆ Re: チャート / らすかる

解いた手順を書いて貰えませんか？

No.50811 - 2018/06/03(Sun) 17:24:24

☆ Re: チャート / 晨

途中おかしいなって思ってたら別の問題でした
水色の不等式を解け。という問題です

No.50812 - 2018/06/03(Sun) 17:51:56

☆ Re: チャート / らすかる

問題ないと思います。

No.50814 - 2018/06/03(Sun) 22:45:02

★ (No Subject) / タロウ

最初から、分かりません…。

No.50805 - 2018/06/03(Sun) 11:05:08

☆ Re: / らすかる

2次の係数が正である二次方程式f(x)=0が
0＜α＜1＜βである2実数解α,βを持つ条件は
f(0)＞0かつf(1)＜0
f(0)＞0から3k＞0 ∴k＞0
f(1)＜0から1+(4k-3)+3k＜0 ∴k＜2/7
従ってkの範囲は 0＜k＜2/7

解と係数の関係からα+β=-4k+3, αβ=3kなので
(β-α)^2=(α+β)^2-4αβ=(-4k+3)^2-4(3k)=16k^2-36k+9

16k^2-36k+9=16(k-9/8)^2-45/4から
16k^2-36k+9はk＜9/8で減少なので
0＜k＜2/7から1/49＜16k^2-36k+9＜9
αとβの差が整数ならば(β-α)^2=16k^2-36k+9は平方数なので
16k^2-36k+9は1か4でなければならない。
0＜k＜2/7かつ16k^2-36k+9=1のときk=1/4
このときf(x)=x^2-2x+3/4=(x-1/2)(x-3/2)なので
α=1/2,β=3/2
0＜k＜2/7かつ16k^2-36k+9=4のときk=(18±2√61)/16で
kが有理数にならない。
従って答えは
k=1/4,α=1/2,β=3/2

No.50806 - 2018/06/03(Sun) 11:45:51

☆ Re: / タロウ

最初は、判別式ではないのですね！
よく分かりました。ありがとうございます！

No.50817 - 2018/06/03(Sun) 23:13:47

★ (No Subject) / もやし

［2］がどうなってるかわからないです！
なんで2パターンあるんですか？

No.50793 - 2018/06/03(Sun) 01:31:56

☆ Re: / ヨッシー

２パターンというのは
　(a-1)(b-1)＞0
から、なぜ
　a＞1 かつ　b＞1
と
　a＜1　かつ　b＜1
の２通り出来るのかということですか？

事実そうだから、としか言いようがないです。
　a＜1　かつ　b＜1
のときに、(a-1)(b-1)＞0 が成り立つのに、
(a-1)(b-1)＞0 が成り立つのは？と聞かれて
　a＞1 かつ　b＞1
しか答えないのは、片手落ちです。

最終的に、ａ＋ｂ＞２を吟味して、
　a＜1　かつ　b＜1
は、落とされるのですが、だからといって、調べないのはダメです。

No.50800 - 2018/06/03(Sun) 09:39:29

★ (No Subject) / 教えてください

Bの位置、Dの位置関係を教えてください

No.50790 - 2018/06/03(Sun) 01:04:03

☆ Re: / らすかる

1つ目と4つ目の条件から
東側3グループが高原、西側3グループが古都と島で
島は全体で最も南

2つ目の条件から
Bは3つの高原の中で最も西寄り
さらに北側に4グループということは
B(高原)は最も南の島の次に南にある

3つ目の条件から
Dは島・B(高原)に次いで南
そして西側に2グループなのでDは2つある古都の東側

5つ目の条件からD(古都)・B(高原)・島はカップル
残りの古都と高原2つは家族

6つ目の条件から島がA、古都の残りがC、
高原の残り2つがEとF

ここまででCとEとFの南北の位置関係と
AとC・EとFの東西の位置関係はわからないが
それ以外は解決で

C(古都・家族)　　　　　　　　　E(高原・家族)　　F(高原・家族)

　　　　D(古都・カップル)
　　　　　　　　　　B(高原・カップル)
A(島・カップル)

こうなったので、確実にいえるのは5番のみ

No.50794 - 2018/06/03(Sun) 02:51:21

★ いくつも申し訳ないです / もやし

x≧1がある時とない時の違いってなんですか？
見えづらいですごめんなさいm(__)m

No.50787 - 2018/06/03(Sun) 00:14:50

☆ Re: いくつも申し訳ないです / もやし

忘れてました

No.50788 - 2018/06/03(Sun) 00:15:18

☆ Re: いくつも申し訳ないです / ヨッシー

「ない時」とは(ア)のことを言ってますか？

式の中に|ｘ－１| があれば、ｘ＜１とｘ≧１に分けて調べる。
なければ、調べる必要ない、というだけのことです。

No.50802 - 2018/06/03(Sun) 09:57:04

★ 不等式の証明について。 / コルム

2001年室蘭工大の問題です。
（１）a,bは実数でｂ＞０とする。ｘ＞－aを満たすすべての
ｘに対してｘ＋ｂ＾２/（ｘ＋a)≧２ｂ－aが成り立つことを
示せ。また、等号が成り立つときのｘをa,bを用いて表せ。
で、この問題の等号成立で、ｘ＋a＝ｂ＾２/ｘ＋a＝２ｂ/２
の２ｂ/２は、どこから出てきたのでしょうか？
教えていただけないでしょうか？すみません。
ご教授願います。

No.50785 - 2018/06/02(Sat) 23:47:22

☆ Re: 不等式の証明について。 / らすかる

等号成立時
(x+a)={b^2/(x+a)} かつ (x+a)+{b^2/(x+a)}=2b であり
○+□=△で○と□が等しければどちらも△/2なので
x+a={b^2/(x+a)}=2b/2です。

No.50796 - 2018/06/03(Sun) 03:34:21

☆ Re: 不等式の証明について。 / コルム

(x＋a)＋｛b∧2/(x＋a)｝=2bで、いったいどこから、2bが出てきたのでしょうか？この式はどこから出てきたのでしょうか？教えていただけると幸いです。

No.50808 - 2018/06/03(Sun) 17:19:29

☆ Re: 不等式の証明について。 / らすかる

相加相乗平均の式 p+q≧2√(pq) で
p=x+a, q=b^2/(x+a) とすれば
(x+a)+{b^2/(x+a)}≧2b となります。

No.50810 - 2018/06/03(Sun) 17:23:13

☆ Re: 不等式の証明について。 / コルム

ありがとうございました。

No.50862 - 2018/06/05(Tue) 22:49:46

★ (No Subject) / もやし

いくつもごめんなさい(´･_･`)
式が考えつかないです。
言葉で教えていただけませんか？

No.50783 - 2018/06/02(Sat) 23:32:25

☆ Re: / ヨッシー

文字の選定は
　ｘ個以上仕入れるとする
で良いですね？

仕入値：２５０ｘ円
売れた個数：ｘ－30個
売上：400(x-30)＝400x－12000
利益＝売上－仕入値　なので、
10000円以上の利益を出す　を不等式にすると
　(400x－12000)－250x≧10000

あとは解くだけです。

No.50803 - 2018/06/03(Sun) 10:01:51

★ (No Subject) / タロウ

この問題をお願いします。

No.50779 - 2018/06/02(Sat) 23:05:11

☆ Re: / らすかる

P(x)=(x^2-3x-10)Q(x)+ax+b
=(x-5)(x+2)Q(x)+ax+b
とおくと
P(5)=4から5a+b=4
P(-2)=-10から-2a+b=-10
2式からa=2,b=-6なので
P(x)をx^2-3x-10で割ったときの余りは2x-6

Q(x)=(x-5)R(x)+cとおくと
Q(5)=2からc=2なので
Q(x)=(x-5)R(x)+2
R(x)=x^2+dx+eとおくとR(-3)=2から9-3d+e=2すなわち3d-e=7
またQ(x)=(x-5)(x^2+dx+e)+2なので
Q(-1)=2から-6(1-d+e)+2=2すなわちd-e=1
2式からd=3,e=2なのでR(x)=x^2+3x+2

Q(x)=(x-5)R(x)+2=(x-5)(x^2+3x+2)+2=x^3-2x^2-13x-8
P(x)=(x^2-3x-10)Q(x)+2x-6
=(x^2-3x-10)(x^3-2x^2-13x-8)+2x-6
=x^5-5x^4-17x^3+51x^2+156x+74

No.50791 - 2018/06/03(Sun) 01:13:22

☆ Re: / タロウ

ありがとうございます！

No.50797 - 2018/06/03(Sun) 06:33:31

★ (No Subject) / もやし

かっこ2番で、
これは、4.1とかの可能性はないんですか？

No.50775 - 2018/06/02(Sat) 22:27:41

☆ Re: / もやし

解答です

No.50777 - 2018/06/02(Sat) 22:29:09

☆ Re: / IT

> かっこ2番で、
> これは、4.1とかの可能性はないんですか？
何が4.1である可能性ですか？

No.50778 - 2018/06/02(Sat) 22:58:35

☆ Re: / もやし

この部分です！

No.50780 - 2018/06/02(Sat) 23:18:54

☆ Re: / IT

(a+5)/3 は4.1 でもいいですが4.5でも5でもいいです。4や5.1はダメです。

(a+5)/3が取り得るすべての範囲を表すと　4＜(a+5)/3≦5　となります。

No.50782 - 2018/06/02(Sat) 23:27:06

☆ Re: / もやし

やっぱりわからないですごめんなさい
なぜ範囲を絞ると≦5になるのですか？

No.50786 - 2018/06/02(Sat) 23:50:11

☆ Re: / ヨッシー

問題を最終局面だけに絞ると
　ｘ＜ｔ
を満たすｘのうちで、最大の整数が４であるとき、ｔの値の範囲を求めよ。
を考えることになります。

ｔ＝４だと、ｘ＝４にならないです。
ｔが４より、少しでも大きいと　ｘ＝４になります。
ｔ＝５のとき、ｘ＝５は含まれません。
ｔが５より、少しでも大きいと　ｘ＝５が含まれてしまいます。
以上より　４＜ｔ≦５　です。

No.50807 - 2018/06/03(Sun) 12:37:06

★ 高1 二次関数の最小値 / あき

場合分けの時に、不等号の下にイコールをつけてもいいのかどうかがよくわかりません。
たとえばこの問題の場合、(i)の時、「0くaく1のとき」とありますが
これを「0≦a≦1のとき x=aで最小値a^2-2a-1」と書いてもいいのでしょうか。
すいませんが教えて下さいませ。

No.50773 - 2018/06/02(Sat) 21:42:13

☆ Re: 高1 二次関数の最小値 / らすかる

a≦1の方はともかくとして、
0＜aを0≦aとするのはおかしいです。
aは「正の定数」ですから。

No.50774 - 2018/06/02(Sat) 22:20:38

☆ Re: 高1 二次関数の最小値 / あき

らすかる様ありがとうございます。
なぜa≦1としてもいいのかがわかりません。
a=1だと最小値は-2だと思うのですが。

No.50784 - 2018/06/02(Sat) 23:43:30

☆ Re: 高1 二次関数の最小値 / らすかる

0＜a≦1のときx=aで最小値a^2-2a-1
ならばa=1を代入するとx=1で最小値1^2-2×1-1=-2
ですから問題ないですね。

No.50789 - 2018/06/03(Sun) 00:55:23

☆ Re: 高1 二次関数の最小値 / あき

らすかる様ありがとうございます。
(i)で0<a≦1のときを書く。そうすると(ii)では[a>1]のときを書くのですよね。
(ii)の、「a>1のとき」からの続きの書き方を教えて下さいませ。

No.50792 - 2018/06/03(Sun) 01:14:34

☆ Re: 高1 二次関数の最小値 / らすかる

a=1をどっちに含めるかの違いだけなので、
不等号が違っても書き方は全く同じです。

a＞1のとき、図(ii)より，
x=1で最小値-2
をとる。

No.50795 - 2018/06/03(Sun) 02:55:14

☆ Re: 高1 二次関数の最小値 / あき

らすかる様ありがとうございます。
なかなか理解できずにすみません。
a>1ということは[1を含まない]のに、[x=1で最小値-2]となるところがどうしても分かりません。

No.50798 - 2018/06/03(Sun) 07:27:14

☆ Re: 高1 二次関数の最小値 / あき

らすかる様。
何度も本当にありがとうございました。
いま、フと、理解できたような気がします。
もう一度、しっかり考えます。本当に
お世話になりました♪

No.50799 - 2018/06/03(Sun) 07:35:08

★ 全射か否か、単射か否か / 新米

［2］がわかりません。
よろしくお願いいたします。

No.50771 - 2018/06/02(Sat) 19:21:29

☆ Re: 全射か否か、単射か否か / X

∀a s.t. a∈(-∞,0)
なるaに対し
g(x)=a
のとき
-1/x=a
∴x=-1/a∈(0,∞)
つまりaに対するxは必ず存在するので
g(x)は全射。

又、
g(t)=g(u)
のとき
-1/t=-1/u
∴t=u
よってg(x)は単射。

No.50772 - 2018/06/02(Sat) 19:30:30

☆ Re: 全射か否か、単射か否か / 新米

返信遅れました、ありがとうございます。

No.50820 - 2018/06/04(Mon) 11:36:18

★ (No Subject) / ^^

[b+c][a^2+{b+c}a+bc]が
[b+c][a+b][a+c]になるのはどうしてですか？

No.50769 - 2018/06/02(Sat) 17:15:39

☆ Re: / IT

[a^2+{b+c}a+bc]=[a+b][a+c] を示せばいいです。

左辺を因数分解（たすきがけ）するか、右辺を展開するかです。

No.50770 - 2018/06/02(Sat) 18:31:18

☆ Re: / ^^

すみません。難しくてできないです。
なんかこんな感じになります

No.50781 - 2018/06/02(Sat) 23:22:29

☆ Re: / ヨッシー

たすき掛けとはこういうことですね。
　a^2＋(b+c)a＋bc
と書くと紛らわしければ、
　x^2＋(b+c)x＋bc
とすればどうでしょう？

こうなりますね？

No.50801 - 2018/06/03(Sun) 09:53:35

★ (No Subject) / りん

(4)(5)が分かりません

お願いします

No.50767 - 2018/06/02(Sat) 14:20:26

☆ Re: / X

(4)
分母分子に
√(6n+1)+√(4n+3)
と
√(3n+2)+√(n+4)
をかけると
(与式)=lim[n→∞]{{(3n+2)-(n+4)}/{(6n+1)-(4n+3)}}{{√(3n+2)+√(n+4)}/{√(6n+1)+√(4n+3)}}
=lim[n→∞]{(2n-2)/(2n-2)}{{√(3n+2)+√(n+4)}/{√(6n+1)+√(4n+3)}}
=lim[n→∞]{{√(3+2/n)+√(1+4/n)}/{√(6+1/n)+√(4+3/n)}}
=(√3+1)/(√6+2)
=(1/2)(√3+1)(√6-2)
=(1/2)(3√2+√6-2√3-2)

(5)
(与式)=lim[n→∞]{(4/5)^n)}/{1+(2/5)^n}
=0

No.50768 - 2018/06/02(Sat) 17:15:00