ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / 演習

practice20お願いします

No.51255 - 2018/06/21(Thu) 12:39:10

☆ Re: / noname

以下に解答の概略を与えておきます．この概略を参考にして，一度答案を作成してみて下さい．
_____________________________

[解答の概略]
(1-1)f(x)がx＝0で連続となるならば，極限lim_[x→0]f(x)が存在して

lim_[x→0]f(x)＝f(0)

である．このこと及び関数f(x)の定義より

lim_[x→0](cos(x)-1)/x^2
＝lim_[x→0]f(x)
＝f(0)
＝a.
∴a＝lim_[x→0](cos(x)-1)/x^2＝.

(1-2)まずはf(x)の取り得る値を調べる．

?@-1＜x＜1の時
lim_[n→∞]x^n＝0であるから，

f(x)＝lim_[n→∞](1+x)/(1+x^n)＝….

?Ax＝1,-1の時
x＝1の場合は，(1+x)/(1+x^n)の値を考えることにより，f(1)の値が求まる．一方でx＝-1の場合は，nが奇数の時は(1+x)/(1+x^n)が有限値ではなく，nが偶数の時は(1+x)/(1+x^n)が有限値であるため，極限lim_[n→∞](1+x)/(1+x^n)は存在しない．よって，f(-1)は定義出来ない．

?Bx＜-1,1＜xの時
この時，|x|＞1である．これと三角不等式

||a|-|b||≦|a+b|≦|a|+|b|（a,bは実数）

を用いると，

0≦|(1+x)/(1+x^n)|
＝|1+x|/|1+x^n|
≦|1+x|/|1-|x|^n|
≦(1+|x|)/|1-|x|^n|
＝(1/|x|^n+1/|x|^{n-1})/(1/|x|^n-1)
→0（n→∞）

よって，はさみうちの原理より

lim_[n→∞]|(1+x)/(1+x^n)|＝0.
∴f(x)＝….

以上により，f(x)の定義域と取り得る値が分かる．

一方，f(x)の連続性については，x＜-1,1＜xと-1＜x＜1の時のf(x)が連続であることから，x＝1の時の連続性を考えれば十分である．f(x)がx＝1で連続であるとは「極限lim_[x→1]f(x)が存在してその値がf(1)に等しい」ということであるから，次の2点；

・lim_[x→1+0]f(x)＝lim_[x→1-0]f(x)
・lim_[x→1]f(x)＝f(1)

が両方とも成り立つかどうかを確認すればよい．

(2)f(x)がx＝1で微分可能であれば，f(x)はx＝1で連続である．よって，極限lim_[x→1]f(x)が存在してその値がf(1)に等しい．特に，

lim_[x→1+0]f(x)＝lim_[x→1-0]f(x)

が成り立つ．この式を計算することで，aとbに関するある関係式が得られる．次に，f(x)がx＝1で微分可能であるから，

lim_[x→1+0]f'(x)＝lim_[x→1-0]f'(x).

が成立する必要がある．これより，aとbに関する第二の関係式が得られる．いま得られた2つのa,bの関係式を連立して解けば，aとbの値が求まる．

No.51265 - 2018/06/22(Fri) 00:35:03

☆ Re: / 演習

これでいいですか

No.51269 - 2018/06/22(Fri) 13:01:58

★ (No Subject) / 学級閉鎖

おはようございます。二次関数の質問です。

aを定数として、二次関数～y=x^2-(a+1)x+a+2…?@

関数?@のグラフの頂点の座標を求めるんですが、どう式を変形させてよいかわかりません。

それに加えて、『-(a+1)x』の部分の『x』て前の『a+1』に掛けてもいいんですか？
よろしくお願いします。

No.51253 - 2018/06/21(Thu) 09:39:55

☆ Re: / ヨッシー

例えば、
　ｘ^2＋3ｘ＋4＝ｘ^2＋2(3/2)ｘ＋(3/2)^2－(3/2)^2＋4
　　＝(x＋3/2)^2＋7/4
　ｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝ｘ^2＋2(b/2)ｘ＋(b/2)^2－(b/2)^2＋ｃ
　　＝(x＋b/2)^2－b^2/4＋ｃ
のように変形しますね。
ポイントは、
　・ｘの係数に２が見えるように、
　　　３→ 2×3/2
　　　ｂ→ 2×b/2
　・ｘの係数の半分の２乗を足して、(ｘ＋○)^2 が作れるようにする。
　　足した分は引いてつじつまを合わせておく。
です。

ｘ^2－(a+1)ｘ＋a＋2 も同様に、
　ｘ^2－(a+1)ｘ＋a＋2＝ｘ^2－2{(a+1)/2}ｘ＋{(a+1)/2}^2－{(a+1)/2}^2＋a＋2
　　　＝{x－(a+1)/2}^2－{(a+1)/2}^2＋a＋2
　　　＝{x－(a+1)/2}^2－ａ^2/4＋a/2＋7/4
これより、頂点は
　((a+1)/2, －ａ^2/4＋a/2＋7/4)
となります。

後半の質問は、－(a+1)x を－x(a+1) と書いていいということでしょうか？
おすすめはしませんが、間違いではありません。
ただし、2x を x2 と書くのは、まず認められていません。
a＋1 も、性質上、この 2 と同じ役割ですので、
(文字を含むので) ギリギリＯＫかなという程度で、感心はしません。

No.51254 - 2018/06/21(Thu) 10:10:17

★ 角運動量 / とおます

(a)からわかりません。どうかお願いいたします。

No.51239 - 2018/06/20(Wed) 19:09:04

☆ Re: 角運動量 / X

(a)
P(x,y)とすると、条件から
x^2+(y-a)^2=(y+a)^2
これを整理して求める方程式は
y={1/(4a)}x^2

(b)
前半)
(a)の結果により
v[y]=dy/dt={1/(2a)}x(dx/dt)

後半)
これは問題がおかしいです。
角運動量をベクトルを使って定義するのであれば
3次元になりますので、その方針で解答を。

求める角運動量を
↑P=(p[x],p[y],p[z])
とすると
↑P=↑FP×(m↑v)
(×は外積ですので注意して下さい)
ここで前半の結果により
↑v=(dx/dt)(1,x/(2a))
となることに注意すると
p[x]=p[y]=0
p[z]=m(dx/dt){(x^2)/(2a)-(y-a)}
={m/(4a)}(dx/dt)(x^2+4a^2) (∵)(a)の結果より

以下dx/dt＞0に取ってありますので注意して下さい。
(問題文中にdx/dtの符号について何も書かれていませんでしたので)

(c)
(b)の結果と角運動量保存の法則により
L[0]={m/(4a)}(dx/dt)(x^2+4a^2)
∴v[x]=dx/dt=4aL[0]/{m(x^2+4a^2)}

(d)
小球の全エネルギーをUとすると
U=(1/2)m|↑v|^2-k/|↑FP|
これに(b)の結果を用いると
U=(1/2){mv[x]^2}{1+(x^2)/(4a^2)}-k/√{x^2+((x^2)/(4a)-a)^2}
=(1/2)m{1+(x^2)/(4a^2)}{4aL[0]/{m(x^2+4a^2)}}^2-4ak/√{16(ax)^2+(x^2-4a^2)^2}
=(2/m)(L[0]^2)/(x^2+4a^2)-4ak/(x^2+4a^2)
条件からこれがxによらない一定値となるので
(2/m)L[0]^2-4ak=0
∴L[0]=√(2kma)

No.51240 - 2018/06/20(Wed) 20:07:31

☆ Re: 角運動量 / とおます

ありがとうございます！ありがとうございます！！

No.51247 - 2018/06/20(Wed) 23:02:54

★ 高1 物理数学 / 蘭

またまたこんにちは。
蘭と申します。

よろしくお願いします、

さきほど、摩擦力と速さの関係はお教えいただきましたが、この、52の問題も解けません！泣

答えは加速度が g(sinθ+μ'cosθ) m/s^2
進んだ距離は vo^2/2g(sinθ+μ'cosθ) m

だそうです。
解き方をよろしくお願いします。

No.51229 - 2018/06/20(Wed) 16:31:04

☆ Re: 高1 物理数学 / X

問題文をアップして下さい。

No.51235 - 2018/06/20(Wed) 16:54:24

☆ Re: 高1 物理数学 / 蘭

すみません！
忘れてました

No.51241 - 2018/06/20(Wed) 20:41:46

☆ Re: 高1 物理数学 / ヨッシー

図において、青い矢印は、重力関連の力。赤い矢印は摩擦力関連の力です。
斜面方向に働く力は
　mgsinθ＋μ’mgcosθ　(下向き)
であるので、この方向の加速度は
　(mgsinθ＋μ’mgcosθ)÷m＝g(sinθ＋μ’cosθ)　(m/s^2)
速度ｖ0 の物体が止まるまでの時間は
　v0／g(sinθ＋μ’cosθ)
その間に動いた距離は
　(1/2)v0^2／g(sinθ＋μ’cosθ)　(m)

No.51251 - 2018/06/21(Thu) 01:09:52

☆ Re: 高1 物理数学 / 関数電卓

> 答えは加速度が g(sinθ+μ'cosθ) m/s^2

普通この手の問題は、運動方向を正として、

　加速度 a＝－g(sinθ+μ'cosθ) m/s^2

と答えるのが通例です。減速運動であることを可視化するため。

問50(2) (No.51215の記事) の答を
> 50 ⑴0.49N ⑵-4.9m/s^2
としているように。

No.51252 - 2018/06/21(Thu) 09:32:30

☆ Re: 高1 物理数学 / 蘭

さすがです。

すごく分かりやすいです。

さすがすぎて、何も言えません。。。

本当にありがとうございます！！！

関数電卓さんも、私のあのような愚痴を許していただき、本当にありがとうございます！

またよろしくお願いします！

.

No.51258 - 2018/06/21(Thu) 17:48:37

★ 図形と方程式 / ピロリ菌

お願いします！！

No.51227 - 2018/06/20(Wed) 16:28:01

☆ Re: 図形と方程式 / X

(1)
求める座標を(t,u)
と置くと、条件から
t^2+(u-3)^2=5 (A)
t^2+(u-5)^2=5 (B)
(A)(B)をt,uの連立方程式として解き
(t,u)=(2,4),(-2,4)
Cの中心は第一象限にあることから
求める座標は(2,4)

(2)
円Cの中心をD,円Cがlから切り取る線分の両端を
E,Fとすると△DEFはDE=DFの二等辺三角形。
よってDから辺EFに下ろした垂線の足をHとすると
△DEHにおいて三平方の定理を適用することにより
DH=√(DE^2-EH^2)=√{(√5)^2-(AB/2)^2}
=2
ここでDHは点Dとlとの距離でもあるので
(1)の結果と点と直線との間の距離の公式
を使うと
|2m-4|/√(m^2+1)=2
これをmの方程式として解きます。
(左辺の分母を払ってから両辺を二乗します。)

No.51234 - 2018/06/20(Wed) 16:52:43

★ 円の半径ｒの求め方 / AAA

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14191917779
↑
上のurlの円の半径ｒの求め方がわかりません。誰か教えてください。

No.51222 - 2018/06/20(Wed) 15:13:51

☆ Re: 円の半径ｒの求め方 / ヨッシー

あちらの回答は読まれましたか？

No.51225 - 2018/06/20(Wed) 16:04:19

☆ Re: 円の半径ｒの求め方 / 関数電卓

3 点 O，P，Q が一直線上にあることに気がつくことがカギですね。

No.51236 - 2018/06/20(Wed) 17:47:01

☆ Re: 円の半径ｒの求め方 / AAA

お二人とも
答えて頂きありがとうございます。
この三点P,Q,Oが一直線上にあることについてですが、どうやって証明すればよいのでしょうか。
△PDOが直角三角形なので三平方の定理を使おうとしたのですが、どうにもｒ＾２の回答が分からず、またurlの回答も読ませて頂いたのですが理解できませんでした。
良ければ、三点がなぜ一直線上にあるのかも教えてください。

No.51245 - 2018/06/20(Wed) 21:35:17

☆ Re: 円の半径ｒの求め方 / 関数電卓

> 三点P,Q,Oが一直線上にあることについて、どうやって証明

大円 O と小円 P が点 Q で接するということは、2 円は点 Q で接線 T を共有します。
OQ⊥T，PQ⊥T ですから、3 点 O，P，Q は一直線上にあります。

直角三角形 △OPD について OP^2＝OD^2＋DP^2
　∴ (5－r)^2＝(3＋r)^2＋r^2
整理して　r^2－16r－16＝0
r＞0 でこれを解いて　r＝4√5－8 (＝0.944…)

No.51246 - 2018/06/20(Wed) 22:05:46

☆ Re: 円の半径ｒの求め方 / AAA

ようやく理解できました。
お二人ともありがとうございます。
また、わざわざ証明まで明記して頂き助かりました。わかりやすかったです。

No.51250 - 2018/06/20(Wed) 23:54:49

★ (No Subject) / 匿名

aを正の実数とする、xの2次関数『y=px^2+qx+r』のグラフがあります。
グラフは3点を（-2、0）（a、0）（0、-3a）通る。

(-2、0)（a、0）を通るから、『y=p(x+2)(x-a)』とおけるのはどうしてなんですか？
ただ代入するだけではダメなのでしょうか？
すみませんが、説明お願いします。

No.51221 - 2018/06/20(Wed) 14:17:33

☆ Re: / ヨッシー

ただ代入するだけでも構いません。

ここでは、
　・px^2+qx+r＝0 の解が x=-2 と x=a であること
　・px^2+qx+r＝p(x+2)(x-a)　と書けること
　・y＝px^2+qx+r のグラフが、x軸と (-2、0)（a、0）で交わること
は、それぞれ同値（同じことを言っている）なので、
ｑとｒが消えて、使い勝手の良い、因数分解型を持ってきているのでしょう。
実際、そうすることが多いです。

No.51223 - 2018/06/20(Wed) 15:52:57

☆ Re: / 匿名

お返事ありがとうございます。

もう1度、解いてみようと思います。
またわからなければ、すみませんがまた投稿します。

No.51224 - 2018/06/20(Wed) 16:03:27

★ 高1 物理数学 / 蘭

いつもお世話になっております。

この、問50と51が分かりません。

なにがわからないかというと、50では、まず、初速度が言われておらず、動摩擦係数だけを言われて、そっから速さを導きだすというのが、私には無理です。

また、51では、とうとう加速度から、動摩擦係数を求めてるではたりませんか！！！こんな事あります？？笑笑

解き方よろしくお願いします。

また、答えは50 ⑴0.49N ⑵-4.9m/s^2 51 v0^2/2gs です。

本当によろしくお願いします。

No.51215 - 2018/06/20(Wed) 11:17:51

☆ Re: 高1 物理数学 / Ｆ

> なにがわからないかというと、50では、まず、初速度が言われておらず、動摩擦係数だけを言われて、そっから速さを導きだすというのが、私には無理です。
「速さ」を求めろとは言われてないと思います。

No.51216 - 2018/06/20(Wed) 12:00:35

☆ Re: 高1 物理数学 / 蘭

すみません！語弊がありました。

速さって感じです。
物体の加速度です。

No.51217 - 2018/06/20(Wed) 12:20:47

☆ Re: 高1 物理数学 / ヨッシー

(1)
　(動摩擦力)＝(動摩擦係数)×(垂直抗力)
　(動摩擦力)＝(物体の質量)×(加速度)　※加速度は速度と反対方向
を用いれば導けます。
(2)
　(加速度)＝(動摩擦係数)×(重力加速度)
より、動摩擦係数をμとすると、加速度αは、
　α＝μｇ　（速度と逆向き）
であり、止まるまでにかかった時間ｔは
　ｔ＝ｖ0／α＝ｖ0／μｇ　（秒）
かかります。この間に進んだ距離ｓは
　ｓ＝(1/2)ｖ0ｔ＝ｖ0^2／２μｇ
よって、動摩擦係数は
　μ＝Ｖ0^2／２ｇｓ

No.51220 - 2018/06/20(Wed) 13:47:41

☆ Re: 高1 物理数学 / 蘭

おー………

凄すぎてなんも言えねぇです。

そんな、公式的な式があるんですね！

ありがとうございます！感動しました！

本当にありがとうございました！

No.51226 - 2018/06/20(Wed) 16:27:10

★ (No Subject) / 堀内

半径１の円柱を底面の直径を含み、底面と角α（０＜α＜π/２）でなす角で切ってできる小さいほうの立体を考える。
ただし、円柱の高さはtanα以上とする。
この立体の側面積を求めよ。
添付画像のようにθを置き、θがθ＋Δθになるとき、側面積の部分ＰＱＲＳに対して、赤く囲んだ部分がΔθの２次以上の項になることを確かめるにはどうしたらよいでしょうか？
テイラーの定理、漸近解析は自分で独学したのですが、応用に困ってしまいました。（まだ理解が甘いようです）
どなたか教えてください。
（方針だけでも大丈夫です。また、いくつかやり方があれば複数教えてほしいです）

No.51210 - 2018/06/20(Wed) 03:26:14

☆ Re: / 堀内

側面積部分です

No.51211 - 2018/06/20(Wed) 03:26:52

☆ Re: / 関数電卓

> 赤く囲んだ部分がΔθの２次以上の項になることを確かめる
下の図中にお書きのとおり
　ST＝(sin(θ＋Δθ)－sinθ)tanα≒cosθ･Δθ･tanα
ですから
　赤枠内≒△PST＝(1/2)tanαcosθ(Δθ)^2
で、赤枠内は確かにΔθの 2 次以上の項ですね。
ただし、ご所望の「側面積を求める」だけならば、そこまでこだわらなくても、
　側面積＝∫[0,Π]tanαsinθdθ＝2tanα
とするだけでよいのではないでしょうか。
ところで、大根(の円柱部分)を斜めに切り「桂剥き」して広げるとサインカーブが現れることは、よく知られていますね。

No.51219 - 2018/06/20(Wed) 13:29:26

☆ Re: / 堀内

ありがとうございます

No.51281 - 2018/06/22(Fri) 23:05:27

★ (No Subject) / ピロリ菌

この問題が(2)から、分かりません💦
教えてくださいm(*_ _)m

No.51207 - 2018/06/19(Tue) 22:56:43

☆ Re: / X

(1)の結果が必要なので(1)から。

(1)
前半)
条件から
a[3]=(a[1]+2a[2])/3=(p+2q)/3 (A)
後半)
条件から
a[n+2]=(a[n]+2a[n+1])/3 (B)

(2)
前半)
(B)に対する特性方程式
t^2=(1+2t)/3
から
3t^2-2t-1=0
(3t+1)(t-1)=0
∴t=1,-1/3
よって(B)は
a[n+1]-a[n]=-(1/3)(a[n+1]-a[n])
となるので
b[n+1]=-(1/3)b[n]
∴b[n]=b[1](-1/3)^(n-1)
={a[2]-a[1]}(-1/3)^(n-1)
=(q-p)(-1/3)^(n-1)
後半)
前半の結果から
n≧2のとき
a[n]=a[1]+Σ[k=1～n-1]b[k]
=p+Σ[k=1～n-1](q-p)(-1/3)^(k-1)
=p+(3/4)(q-p){1-(-1/3)^(n-1)}
=(1/4)p+(3/4)q+(3/4)(p-q)(-1/3)^(n-1)

(3)
(2)後半の結果と条件から
(1/4)p+(3/4)q=0 (D)
(3/4)(p-q)/{1-(-1/3)}=1 (E)
これをp,qの連立方程式として解きます。

No.51212 - 2018/06/20(Wed) 06:29:01

★ 高1数学a / なん

21番です。小さくてすいません
ノートに書いてある上のが僕の出した答えで、下に書いてあるのが模範解答です。なぜ全体が180になるのかわかりません
解説お願いします

No.51193 - 2018/06/19(Tue) 21:15:33

☆ Re: 高1数学a / ヨッシー

模範解答の考え方
　百の位は、１～６　の６通り
　十の位は、百で選ばなかった数の６通り
　一の位は、百、十で選ばなかった数の５通り
以上で、６×６×５＝１８０

なんさんのように、一の位から考えていく方法でやるには、
　一の位は、０～６　の７通り
　十の位は、一で選ばなかった数の６通り
ここまでで　７×６＝４２(通り)
このうち、０を一度も使っていないのは
　６×５＝３０（通り）
残りの　１２通りは０を一の位か十の位に使っています。
０を使っていないと、百の位は０を除く４通り。
０を使っていると、百の位は５通り。
　３０×４＝１２０
　１２×５＝６０
あわせて　１８０通り
となります。

No.51194 - 2018/06/19(Tue) 21:42:03

☆ Re: 高1数学a / なん

ありがとうございます😊わかりやすい解答どうも！

No.51203 - 2018/06/19(Tue) 22:32:21

★ 高1 物理数学 / 蘭

この問題です。

私は、⑴では、バネk1とバネk2に同じ重さがかかると考え、k1+k2としましたが、間違いで、k1k2/k1+k2でした。
⑵では、なんと、私が⑴で答えていた、k1+k2が答えでした。

わけがわかりません。
宜しくお願いします！

No.51191 - 2018/06/19(Tue) 21:10:37

☆ Re: 高1 物理数学 / 関数電卓

> わけがわかりません。
確かに、ヒントがヒントになっていませんが！ですが、この問題集にも＜解答･解説＞があるのでしょう？！
(1)
この直列連結ばねを力 F で引くと、
　ばね１が x1 伸び、x1＝F/k1
　ばね２が x2 伸び、x2＝F/k2
合成ばね定数 k は、k＝F/(x1＋x2)＝F/(F/k1＋F/k2)＝1/(1/k1＋1/k2)＝k1k2/(k1＋k2)
(2)
この並列連結ばねを力 F で引くと、2 本のばねは等しい長さ x だけ伸びる。
　ばね１を引く力 F1 は、F1＝k1･x
　ばね２を引く力 F2 は、F2＝k2･x
合成ばね定数 k は、k＝F/x＝(F1＋F2)/x＝(k1･x＋k2･x)/x＝k1＋k2

No.51195 - 2018/06/19(Tue) 21:44:24

☆ Re: 高1 物理数学 / 蘭

な訳あるか！！！
答えは、答えがポンって載ってるだけやわ。
まず、教科書の最後の方にのっとる問題やぞ。
解答解説あったら、そっちみて理解しとるし！

答えてくれて本当ありがとうございます。

お陰で理解できました！
いつも感謝しかありません！
このような、愚痴もお許しください笑

No.51200 - 2018/06/19(Tue) 21:59:06

☆ Re: 高1 物理数学 / ヨッシー

　(ばね定数)＝(伸びた長さ)÷(掛けた力)
と誤って覚えていると、(1) の答えは k1＋k2 になります。
正しい公式は
　(ばね定数)＝(掛けた力)÷(伸びた長さ)
です。

No.51205 - 2018/06/19(Tue) 22:52:29

☆ Re: 高1 物理数学 / 蘭

なるほど！

私は、そのような勘違いをしてしまっていたのですね！
大変お恥ずかしいです。

教えてくれてありがとうございます！

これからもよろしくお願いします！

No.51214 - 2018/06/20(Wed) 11:04:48

★ (No Subject) / メタファイズ

|人数|平均値|分散 |
A群 |10 |4 |1.3 |
B群 |15 |?@ |?A |
A,B群全体 |25 |4.6 |1.72 |
?Aの求め方が分かりません
解説お願いします

No.51190 - 2018/06/19(Tue) 21:01:52

☆ Re: / ヨッシー

Ａ群のデータの和：10×4＝40
Ａ群の残差平方の和：10×1.3＝13
　(残差平方の和)＝(データの平方和)＋(データ数)×(平均)^2－２(平均)(データの和)
より、
　(データの平方和)＝(残差平方の和)－(データ数)×(平均)^2＋２(平均)(データの和)
Ａ群のデータの平方和：13－10×4^2＋2×4×40＝173

全体のデータの和：25×4.6＝115
Ｂ群のデータの和：115－40＝75
Ｂ群の平均：75÷15＝5　　・・・?@
全体の残差平方の和：25×1.72＝43
全体のデータの平方和：43－25×4.6^2＋2×4.6×115＝572
Ｂ群のデータの平方和：572－173＝399
Ｂ群の残差平方の和：399＋15×5^2－2×5×75＝24
Ｂ群の分散：24÷15＝1.6　・・・?A
このように、順々に求められます。

No.51209 - 2018/06/19(Tue) 23:42:06