ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ SOS / 小青竜湯

正四面体を描いて求めようと思ったんですけど難しくて
どなたかこの問題のやり方教えてください
お願いします

No.50996 - 2018/06/12(Tue) 18:57:50

☆ Re: SOS / らすかる

s=1/√2とし、O(0,0,0),A(s,0,s),B(0,s,s),C(s,s,0),P(ps,0,ps),Q(0,qs,qs)とします。
条件から1/4≦p≦1,1/4≦q≦1,pq=1/4
平面CPQの式は
(1-4(p-q))x+(1+4(p-q))y+(4(p+q)-1)z-2s=0
Oから平面CPQまでの距離は点と平面の距離の公式により
√{6/{{12(p+q)-1}^2-88}}
正四面体の体積は√2/12なので、四面体OCPQの体積は√2/48
よってp+q=xとおけば
S=(√2/48)×3÷√{6/{(12x-1)^2-88}}
=√{3(12x-1)^2-264}/48
=√(48x^2-8x-29)/16

x=p+q=p+1/(4p)であり1/4≦p≦1なので
f(p)=p+1/(4p)とおいて増減を調べると
xはp=1/2のとき最小値1、p=1/4またはp=1のとき最大値5/4をとります。
よってSの最小値はx=1のときで√11/16、最大値はx=5/4のときで3/8ですので
Sの範囲は√11/16≦S≦3/8となります。

No.51003 - 2018/06/13(Wed) 04:41:27

★ l^pノルムの不等式 / かっぷめん

x \in R^2のl^pノルムを|x|_[p]と表すことにします。
つまりx=(x[1],x[2])に対し
|x|_[p]=( |x[1]|^p+|x[2]|^p)^{1/p}
|x|_[∞]=max{|x[1]|,|x[2]|}

1<=p<=∞とx,y \in R^2で|x|_[p]>=1, |y|_[p]>=1をみたすものに対し

|x/|x|_[p] - y/|y|_[p]|_[q] <= |x - y|_[q]

は成立するか？ただしqは1/p+1/q=1をみたす数。

(p,q)=(1,∞)(2,2)(∞,1)のときは図を描けば成立しそうです。
一般のときはどうでしょうか？
式による証明は難しいような気がします。

No.50993 - 2018/06/12(Tue) 15:02:30

★ 論理 / 大学2年

写真の赤線と青線の部分の証明がわかりません。
赤線の部分がなぜRになるのか、青線の部分がなぜ消える（なくなる？）のか。
お願いします。

No.50991 - 2018/06/12(Tue) 14:40:38

☆ Re: 論理 / 大学2年

写真が消えたので。

No.50992 - 2018/06/12(Tue) 14:42:44

☆ Re: 論理 / TANTAN麺

結論から言えば、その答案は間違っています。

(P→Q)∧(Q→R) と　(¬P∧(Q→R))∨R は⇔では繋げられません。（同値ではありません。）真理表の書き方を知っているなら、この2つの式の真理表を比べてください。

論理の体系の組み立て方は、前提とする公理と規則に何を選ぶかによって、いろいろと種類があり、大学2年さんが学んでいるテキストではどの様な古典命題論理の体系を学ばれているのか、そしてどの辺りの学習段階なのかが分からないので、どの規則や公理を証明に使っていのかがはっきりしません。したがって、回答がつきにくいと思われます。

この画像の答案では、[→(ならば)の定義]と [∧,∨の分配法則]は学んでおられるようなので、こちら側の想像による推測ですが、大学2年さんが学んでいると思われる命題論理に合わせた解答をつくってみます。

[解答]
　 (P→Q)∧(Q→R)
⇔ (¬P∨Q)∧(Q→R)　　　　　　　　　　　 [→(ならば)の定義]
⇔ (¬P∧(Q→R))∨(Q∧(Q→R))　　　　　　　　[∧,∨の分配法則]　　　　　　　
⇔ (¬P∧(Q→R))∨(Q∧R)
⇔ ((¬P∧(Q→R))∨Q)∧((¬P∧(Q→R))∨R)　　　　[∧,∨の分配法則]
→ ((¬P∧(Q→R))∨R)　　　　　　　　　　　　[∧の消去規則]
⇔ (¬P∨R)∧((Q→R)∨R)　　　　　　　　　　[∧,∨の分配法則]
→ (¬P∨R)　　　　　　　　　　　　　　　　　[∧の消去規則]
⇔ P→R　　　　　　　　　　　　　　　　　　[→(ならば)の定義]
　　

途中にある、Q∧(Q→R)からQ∧Rへの変形は、例えばこうやります。
[F]を矛盾を表す記号とします。(恒偽命題としても良いです。）
　 Q∧(Q→R)
⇔ Q∧(¬Q∨R)
⇔ (Q∧¬Q)∨(Q∧R)
⇔ [F]∨(Q∧R)
⇔ Q∧R

途中で出てくる [∧の消去規則]とは、
A∧B　⇒　A
という推論規則です。

No.51023 - 2018/06/13(Wed) 20:22:44

★ (No Subject) / ピロリ菌

この問題をお願いします。

No.50981 - 2018/06/11(Mon) 20:08:06

☆ Re: / らすかる

(1)
(i)から 2b+2k=a+15（ただしk＜b/2）
(ii)から ak=b+2
2式からbを消去して整理すると a=(19-2k)/(2k-1)

(2)
(1)の式から(19-2k)/(2k-1)≧1、これよりk≦5
k=1のときa=17/1=17、このときb=ak-2=15で適解
k=2のときa=15/3=5、このときb=ak-2=8で適解
k=3のときa=13/5で自然数にならず不適
k=4のときa=11/7で自然数にならず不適
k=5のときa=9/9=1、このときb=ak-2=3となり
k＜b/2とならないので不適
従って答えは
(a,b,k)=(17,15,1),(5,8,2)

No.50983 - 2018/06/11(Mon) 20:32:56

☆ Re: / IT

（別解)
(1)　(i)からa+15=2b+2k…(ア) 2k<b …(イ)
　　(ii)から b+2=ak　∴　b=ak-2 これを(ア)(イ)に代入
　　a+15=2(ak-2)+2k ,2k<ak-2
　　それぞれ移項して整理し、求める関係は
　　(a+1)(2k-1)=18=2*3^2…(ウ) 2<(a-2)k…(エ)

(2)　(エ)よりa≧3∴a+1≧4、これと(ウ)より2k-1=1,3　
　よって(a+1,2k-1)=(18,1),(6,3)すなわち(a,k)=(17,1),(5,2)　これは(エ)をみたす。
　したがって(a,b,k)=(17,15,1),(5,8,2)

--------------------------------------------------------
# なお、一般にaxy+bx+cy+d=0 ⇔ (ax+c)(ay+b)=bc-ad　なので
必ず右のような式に同値変形できます。

No.50986 - 2018/06/11(Mon) 21:52:23

★ 確率 / とある大学1年生

確率の授業の問題集にあった問題ですが、予習しようと思ったのですが、解き方も答えも載っていないので、非常に困っています。ご教授お願います。
あと、≦の下に一本棒がないような記号はどういう意味でしょうか？そちらもお願いします。

No.50978 - 2018/06/11(Mon) 13:33:53

☆ Re: 確率 / IT

教科書か問題集の例題に「分布関数」「密度関数」「期待値」の定義や関係が載っているのでは？　

それの学習なしに、いきなり問題集の問題をやるのは無理だと思います。

> ≦の下に一本棒がないような記号
は、≦　の略記です。

No.50982 - 2018/06/11(Mon) 20:26:25

☆ Re: 確率 / ast

> ≦　の略記です。
うーん, むしろ ≤ が一般で, ≦のほうが方言のようなものだと思いますが……

No.50989 - 2018/06/12(Tue) 00:29:21

☆ Re: 確率 / IT

高校の指導要領、教科書（数研出版）では、≦ですね。
大学のテキストでは、 ≤　が多いようです。私は、速く書けるので≤を使います。

No.50990 - 2018/06/12(Tue) 02:50:13

★ (No Subject) / mana

a(1)=√2, a(n+1)=√{2+a(n)} (n=1,2,...), lim(n→∞)a(n)=2 のとき
Σ(n=1から∞)log(a(n)-1)を求めよ。という問題が分かりません。どうやればいいんでしょうか？
数式が見辛くなってしまってすみませんm(__)m

No.50977 - 2018/06/11(Mon) 11:35:26

☆ Re: / noname

各n=1,2,3,...に対して

(a_[n+1]+1)(a_[n+1]-1)
=(a_[n+1])^2-1
=a_[n]+2-1
=a_[n]+1.
∴a_[n+1]-1=(a_[n]+1)/(a_[n+1]+1).

よって，n＞1に対して

(a_[n]-1)…(a_[3]-1)(a_[2]-1)(a_[1]-1)
=(a_[n-1]+1)/(a_[n]+1)・…・(a_[2]+1)/(a_[3]+1)・(a_[1]+1)/(a_[2]+1)・(a_[1]-1)
=(a_[1]+1)(a_[1]-1)/(a_[n]+1)
=((a_[1])^2-1)/(a_[n]+1).

この結果を用いると，

Σ_[n＝1,N]log(a_[n]-1)
＝log(a_[N]-1)+…+log(a_[3]-1)+log(a_[2]-1)+log(a_[1]-1)
＝log((a_[N]-1)…(a_[3]-1)(a_[2]-1)(a_[1]-1))
＝log(((a_[1])^2-1)/(a_[N]+1)).

後は，この式においてN→∞の時の極限を考えればよいです．

No.50979 - 2018/06/11(Mon) 13:38:01

★ 高校数学:解説 / ゆずエリン

この問題の解説と
1……次の等式を満たす実数x,yを求めよ。
(1)……(2+i)(x+yi)=-5+5i
(2)……(x+7i)/(1+yi)=4-i
この問題の解説とをお願いします。

No.50965 - 2018/06/10(Sun) 23:07:25

☆ Re: 高校数学:解説 / ヨッシー

(1)……(2+i)(x+yi)=-5+5i
　左辺を展開して、実部と虚部を比較します。
(2)……(x+7i)/(1+yi)=4-i
　両辺 1+yi を掛けて
　(x+7i)=(4-i)(1+yi)
　右辺を展開して、実部と虚部を比較します。

６
解と係数の関係より　α＋β＝２／６＝１／３、αβ＝３／６＝１／２
解の和、積を求めて、解と係数の逆に持って行きます。
(1)
(α－１)＋(β－１)＝α＋β－２＝－５／３
(α－１)(β－１)＝αβ－(α＋β)＋１＝1/2－1/3＋１＝7/6
解と係数の関係より、ｘ^2 の係数を１とすると
　ｘ^2＋(5/3)ｘ＋7/6＝０
このままでも良いですし、両辺６倍して
　６ｘ^2＋１０ｘ＋７＝０
としても良いです。
(2) も同様です。
　

No.50967 - 2018/06/11(Mon) 01:20:05

☆ Re: 高校数学:解説 / ゆずエリン

解説ありがとうございます。なんとか理解出来ました。
(2)やってみました。3x*2+4x+24=0でいいですかね?

No.50984 - 2018/06/11(Mon) 20:50:14

☆ Re: 高校数学:解説 / ヨッシー

和がｐ、積がｑのときの元の方程式は
　ｘ^2－ｐｘ＋ｑ＝０
です。↑この符号に注意。

また、＊は掛け算の意味になるので、２乗は　ｘ^2 のように書きます（パソコンなどでは）。

No.50985 - 2018/06/11(Mon) 21:07:15

★ (No Subject) / 教えてください

まとめて番号のみ回答お願いします

No.50958 - 2018/06/10(Sun) 21:20:29

☆ Re: / 教えてください

お願いします

No.50959 - 2018/06/10(Sun) 21:21:08

☆ Re: / 教えてください

お願いします！

No.50960 - 2018/06/10(Sun) 21:21:49

☆ Re: / 教えてください

お願いします！！

No.50961 - 2018/06/10(Sun) 21:22:20

☆ Re: / 教えてください

連続すいません。数字だけで大丈夫です

No.50962 - 2018/06/10(Sun) 21:23:41

☆ Re: / 教えてください

お願いします

No.50963 - 2018/06/10(Sun) 21:24:54

☆ Re: / 教えてください

こちらで最後です

No.50964 - 2018/06/10(Sun) 21:25:52

☆ Re: / ヨッシー

24
２番目、３番目の条件が満たされていません。
ア、イまでは正しいです。

23
合っています。

22
最初の５シートは１～45 が
　60×5÷45＝6　・・・　30
より　6セット
６枚目以降のシートは１～44が、
　60×11÷44＝15　セット

21
合っています。

20
５回中３回＋５点，２回ー３点なので、
5,5,5,-3,-3 の並べ方が 5Ｃ2＝10（通り）
１通り当たりの確率が
　1/3×1/3×1/3×2/3×2/3

15
Ｅが在籍していた２年間にＢ（女）ともう１人の女性（ＡかＣ）も
在籍していたが、ＢとＣは１年しかかぶっていないので、女性はＡである。

13
合っています。

No.50987 - 2018/06/11(Mon) 23:30:20

☆ Re: / 教えてください

ありがとうございました

No.50988 - 2018/06/12(Tue) 00:18:06

★ 三角比 / 浪人生

お願いします。

No.50956 - 2018/06/10(Sun) 19:44:21

☆ Re: 三角比 / X

まずは図を描きましょう。

(1)
前半)
△ABCにおいて、∠BACに注目した余弦定理を
使います。
後半)
△ABDに注目すると
AD=ABcos∠BAD=ABcos∠BAC
これに前半の結果などを代入します.

(2)
前半)
(1)後半と同様な方針で△ACEに注目して
線分AEの長さを求めます。
その上で△ADEに余弦定理を適用します。
後半)
△ABDに注目すると
sin∠ABD=sin(180°-∠BAC-∠ADB)
=sin(90°-∠BAC)
=cos∠BAC
=… (A)
一方△BDFに注目すると
sin∠DFE=sin(∠BDF+∠DBF)
=sin(90°+∠BAC)
=cos∠BAC (B)
更に
(sin∠DFE)^2+(cos∠DFE)^2=1 (C)
で0°＜∠DFE＜180°により
0＜sin∠DFE≦1 (D)
(A)(B)(C)(D)により
sin∠DFE=… (E)
(E)と前半の結果を使い、△DEFに正弦定理を
適用します。

No.50973 - 2018/06/11(Mon) 05:29:45

★ 大学数学微分積分について。 / すしちゃづけ

こんばんは。大学の教養科目、「微分積分学」について質問があります。問題、自分なりの解答は写真で添付しました。先生がお厳しい方で、解答をいただけず、合っているか不安なので、問題点や計算ミスがありましたら、指摘していただきたいです。
ご多忙の中、大変恐縮ですが、お知恵をお貸しください。

No.50954 - 2018/06/10(Sun) 19:39:38

☆ Re: 大学数学微分積分について。 / IT

(1) のf(x) が何か分からないのですが？

No.50957 - 2018/06/10(Sun) 20:17:38

★ (No Subject) / 高2数2

aは正の定数でa≠1
,log【a】（2a^2-x^2）≧1+log【a】xを解く問題で、
底条件0<a<1、1<a真数条件0<x<√2a
0≧（x+2a）（x-a）-2a≦x≦a
1<aのとき0<x≦a
0<x<1の時0<x<√aであっていますか？

No.50952 - 2018/06/10(Sun) 19:11:29

☆ Re: / 高2数2

最後のとこ0<a<1のとき√2aの間違いです

No.50953 - 2018/06/10(Sun) 19:13:45

☆ Re: / らすかる

「1<aのとき0<x≦a」は合っています。
最後の行は
「0<x<1の時0<x<√a」でも
「0<a<1のとき√2a」でも
合っていません。
というか
「0<a<1のとき√2a」は
答えになっていませんが、もし
「0<a<1の時0<x<√2a」
の意味で書いているとしても
やはり合っていません。

No.50969 - 2018/06/11(Mon) 02:38:09

☆ Re: / 高2数2

じゃあどうなるんですか？

No.50974 - 2018/06/11(Mon) 08:24:37

☆ Re: / ヨッシー

ａ＞１のときは、
真数条件　0＜x＜√2a と不等式の解　-2a≦x≦a とを合わせて、
　0＜x≦a
ですね？では、０＜ａ＜１のときは、何と何を合わせることになりますか？
　

No.50975 - 2018/06/11(Mon) 08:51:16

★ 接線の方程式 / あ

問２を教えてください。上の例2のようなやり方でお願いします。

写真見ずらかったらすみません。

No.50951 - 2018/06/10(Sun) 15:53:04

☆ Re: 接線の方程式 / X

y=e^xよりy'=e^x
∴求める接線の接点の座標を(a,e^a)と置くと
求める接線の方程式は
y=(x-a)e^a+e^a
これが点(1,0)を通るので
0=(1-a)e^a+e^a
これより
(2-a)e^a=0
a=2
よって求める接線の方程式は
y=(x-2)e^2+e^2
整理をして
y=(x-1)e^2

No.50971 - 2018/06/11(Mon) 05:08:10

★ 積分について / ET

連投申し訳ありません。
∫xlog(x+a)dx=1/2(x^2-a^2)log(x+a)-1/4(x+a)(x-3a)となるらしいのですが、この解き方がわかりません。
ご教授お願いいたします。

No.50942 - 2018/06/09(Sat) 20:21:47

☆ Re: 積分について / X

部分積分により
∫xlog(x+a)dx=(1/2)(x^2)log(x+a)-(1/2)∫{(x^2)/(x+a)}dx
=(1/2)(x^2)log(x+a)-(1/2)∫{x-a+(a^2)/(x+a)}dx
=(1/2)(x^2)log(x+a)-(1/4)x^2+(1/2)ax-(1/2)(a^2)log(x+a)+C
=(1/2)(x^2-a^2)log(x+a)-(1/4)x^2+(1/2)ax+C
(Cは積分定数)
Cはどのようにも選べますので
(3/4)a^2+C
(Cは積分定数)
と選ぶと
∫xlog(x+a)dx=(1/2)(x^2-a^2)log(x+a)-(1/4)(x^2-2ax-3a^2)+C
=(1/2)(x^2-a^2)log(x+a)-(1/4)(x+a)(x-3a)+C
となります。

No.50943 - 2018/06/09(Sat) 20:50:17

☆ Re: 積分について / ET

ありがとうございます！

No.50949 - 2018/06/10(Sun) 12:30:30

★ 積分について / ET

∫（sinx/cosx）^3dx＝1/2cos^2x+log|cosx|となるのですが、これの計算方法がわかりません。
（与式）＝∫（1/sin^3x-1/sinx）cosxdxとなることまではわかるのですが、その後の変形をどうするのかわかりません。
ご教授お願いいたします。

No.50940 - 2018/06/09(Sat) 19:47:33

☆ Re: 積分について / X

＞＞（与式）＝∫（1/sin^3x-1/sinx）cosxdxとなることまではわかるのですが

なりません。

{1/(sinx)^3-1/sinx}cosx={1-(sinx)^2}(cosx)/(sinx)^3
=(cosx/sinx)^3
これは
(sinx/cosx)^3
と恒等的には等しくありません。
(x=π/2を代入してみましょう。)

No.50944 - 2018/06/09(Sat) 20:53:38

☆ Re: 積分について / ET

大変申し訳ありません。
問題の転記ミスでした。
ご指摘の通り、∫（cosx/sinx）^3dxを解く問題でした。
その上で、この解法をお教えくださると幸いです。

No.50948 - 2018/06/10(Sun) 12:25:26

★ 数学的帰納法について。 / コルム

なぜ、n=1,n=2を試しているのでしょうか？他で、聞いても、いいところまでは、いくのですが、納得しかねます。教えていただけると幸いです。
http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=res&resto=50156

No.50939 - 2018/06/09(Sat) 19:11:58

☆ Re: 数学的帰納法について。 / らすかる

その後で、n=k,n=k+1の時に成り立つことを仮定して
n=k+2の時も成り立つことを示しているからです。

No.50945 - 2018/06/09(Sat) 21:28:19

☆ Re: 数学的帰納法について。 / コルム

ありがとうございました。

No.51045 - 2018/06/14(Thu) 20:12:28