ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / とある大学1年生

ちょっと数学の問題で分からない問題があるので、質問します。自分の大学は教科書が全部英語なので、画像の問題も英語になっています。この問題の解き方と解答は載っていたので、何回か読み直したら理解できましたが、担当の先生はさらにグラフも書けと言っていました。そのグラフがよく分かりません。解説よろしくお願いいたします。

No.50875 - 2018/06/06(Wed) 17:20:55

☆ Re: / とある大学1年生

先生に聞いた感じだと、グラフの大まかなイメージとしてはこんな感じになります。
詳しく書くとなるとどんな感じになるかが分かりません。

No.50877 - 2018/06/06(Wed) 17:24:02

☆ Re: / とある大学1年生

ちなみに
感染しているのはN匹で、感染していないのは500-N匹と表し、最終的な答えはln99=500ktになります。

No.50878 - 2018/06/06(Wed) 17:26:35

☆ Re: / ヨッシー

>この問題の解き方と解答は載っていたので
そちらも載せてください。

No.50880 - 2018/06/06(Wed) 17:52:23

☆ Re: / とある大学1年生

こちらです。
見にくいですがすみません。

No.50881 - 2018/06/06(Wed) 18:04:59

☆ Re: / とある大学1年生

こちらもです。

No.50882 - 2018/06/06(Wed) 18:05:34

☆ Re: / ヨッシー

一応、(5) までがＮとｔの関係式で、解答では、Ｎを具体的には求めずに、
Ｎ＝２５０となるｔを求めに行っていますね。
にもかかわらず、先生はＮとｔのグラフを描けと言った、と言うわけですね？

まぁ、ｋが明らかになっていないので、概形ということになりますが。
(5) をＮについて解いて
　Ｎ＝500e^(500kt)/(99＋e^(500kt))
係数があふれないように　500k を k と置き換えて、
　Ｎ＝500e^(kt)/(99＋e^(kt))
とします。微分して
　Ｎ’＝49500k・ｅ^(kt)/(99＋ｅ^(kt))^2
さらに微分して
　Ｎ”＝49500k^2・e^(kt)・(99＋e^(kt)){99－e^(kt)}/(99＋ｅ^(kt))^4
よって、Ｎ’＞０より単調増加
　ｔ＝ln(99)/k　←N=250 となるｔの値
を境にしてＮ”が正から負に変わる。
さらに、ｔ→∞ のとき　Ｎ→500
また、(5)の式
　N/(500-N)＝(1/99)e^(kt)
において、
　f(t)＝(1/99)e^(kt)
とおくと、
　f(2ln(99)/k－t)＝(1/99)e^(k(2ln(99)/k－t))
　　＝(1/99)e^(2ln(99))e^(-kt)
　　＝99/e^(kt)
　　＝(500－N)/N
よって、(ln(99)/k, 250) について対称。

以上を加味すると以下のようなグラフになります。

No.50889 - 2018/06/06(Wed) 20:54:19

☆ Re: / とある大学1年生

解説ありがとうございます。
確かにkは明らかになっていませんが、k=1の時、k=2みたいにグラフを書けと言っていたんですが、その場合はどうなるんでしょうか？

No.50892 - 2018/06/06(Wed) 22:33:11

☆ Re: / ヨッシー

k の値によって、グラフの●（対称の中心＝変曲点）の
座標が
ｋ＝１のとき　(ln(99)/500,250)
ｋ＝２のとき　(ln(99)/1000,250)
のように変わるだけで、その他には特徴的な部分はないと思います。

もちろん、ｋが増えるに連れて、全体的に横長にはなっていきます。

No.50901 - 2018/06/07(Thu) 08:57:21

★ 高1 二次関数の最小値について / あき

この問題の最小値についてなのですが(i)と(ii)をまとめて
「(i)0<a≦1のとき、図➀、➁、➂より、x=0,1で最小値0」
と書いてもいいでしょか。すいませんが教えて下さいませ。

No.50872 - 2018/06/06(Wed) 17:07:21

☆ Re: 高1 二次関数の最小値について / ヨッシー

０＜ａ＜１のときは　ｘ＝１　となることはあり得ないので、
そのようにまとめてはいけません。

No.50874 - 2018/06/06(Wed) 17:13:37

☆ Re: 高1 二次関数の最小値について / あき

ヨッシー様ありがとうございました♪
しっかりと理解できるように勉強頑張ります。

No.50876 - 2018/06/06(Wed) 17:24:01

★ (No Subject) / 蘭

毎度お世話になっております。
今回もよろしくお願いします！！

この、練習という問題が２つもわかりません。
正答と正しい解き方を教えてください！

また、私が疑問なところなんですが、
例えば、⑴を平方完成しようとした時、y=(x^2-3)^2+1となりますよね。この時、x^2-3はこのままでいいんでしょうか。そこら辺の仕組みがよくわかりません。
その説明もよろしくお願いします！

待ってます！！

No.50868 - 2018/06/06(Wed) 16:47:49

☆ Re: / ヨッシー

(1) はその変形で正しいです。
ポイントは　（・・・）^2 の形を作ることです。
２乗の形になっているということは、絶対に負にはならないということで、
もし０になるようなｘが存在したら、その時が最小になります。
　ｙ＝(x^2－3)^2＋1
は、ｘ＝±√3 のとき、（・・・）^2 が０になり、それ以外のときは、
０より大きくなるので、ｘ＝±√3 のとき、最小値１となります。
最大値はありません（いくらでも大きくなる）

(2) はＡ＝x^2－6x とおくと、
　Ａ＝(x－3)^2－9
と変形できます。1≦ｘ≦5 の範囲では、ｘ＝３で最小値－９となります。
一方、Ａ＝(x－3)^2－9 のグラフを描くと、ｘ＝３で最小で、
そこから、離れるに連れて、Ａの値は大きくなります。
よって、Ａの最大はｘ＝１かｘ＝５で現れます。
　ｘ＝１のとき　Ａ＝－５
　ｘ＝５のとき　Ａ＝－５
であるので、この場合は、ｘ＝１でもｘ＝５でも、最大値を取り、
最大値は－５です。
ここまでで、－９≦Ａ≦－５とわかりましたから、この範囲内で、
　ｙ＝Ａ^2＋12Ａ＋30
　　＝(Ａ＋６)^2－６
の最大、最小を求めます。

No.50873 - 2018/06/06(Wed) 17:07:25

☆ Re: / 蘭

分かりやすすぎて、泣きます。

私もそんな風になりたいです………！！

ほんとうにありがとうございます。
この恩は一生忘れません。

これからも宜しくお願いします！！

No.50879 - 2018/06/06(Wed) 17:30:15

★ 二次関数 / 蘭

いつもお世話になっております。
今回もよろしくお願いします。

344の正答と正しい解き方を教えてください。
宜しくお願いします！！！

No.50866 - 2018/06/06(Wed) 16:38:16

☆ Re: 二次関数 / ヨッシー

２次関数が
　ｙ＝ａ(ｘ－ｐ)^2＋ｑ
の形に書けたら、最小値はｑです。最大値はありません。
同じく
　ｙ＝－ａ(ｘ－ｐ)^2＋ｑ
の形に書けたら、最大値はｑです。最小値はありません。
いずれもｘ＝ｐのときに、最小、最大となります。

ｙ＝－ｘ^2＋4ax＋4a　もそのように変形すると
　ｙ＝－ｘ^2＋4ax＋4a
　　＝－(ｘ^2－4ax＋4a^2)＋4a^2＋4a
　　＝－(ｘ－2a)^2＋4a^2＋4a
となるので、最大値ｍは、
　ｍ＝4a^2＋4a

さらに、これをａの二次関数と見て、
　ｍ＝4a^2＋4a
　　＝4(a^2＋a＋1/4)－1
　　＝4(a＋1/2)^2－1
最小値は－１です。そのときのａは－1/2 です。

No.50870 - 2018/06/06(Wed) 16:56:24

☆ Re: 二次関数 / 蘭

すごく分かりやすかったです！
感動しました！！！

いつも本当にお世話になって、ありがたいの一言に尽きます！！
ほんとうにありがとうございました！

No.50871 - 2018/06/06(Wed) 17:01:32

★ 一次不等式高1 / 蘭

毎度お世話になっております。
今回もよろしくお願いします。

問題は、|x|+|x-1|<x+4を解け。です。
答えはx<-1と言われましたが、確実ではないです。

私の考えでは、添付のように、３つのxの範囲を数直線で表すと、そのようになるため、答えはx>-1だと思いました。
なぜ間違っているんでしょうか？？？
正答の考え方ともに、答えをよろしくお願いします。

待ってます！！！

No.50865 - 2018/06/06(Wed) 16:31:54

☆ Re: 一次不等式高1 / ヨッシー

その解答の方針で良いですよ。
整理すると
－１＜ｘ≦０　および　０≦ｘ≦１　および　１≦ｘ＜５
なので、
　－１＜ｘ＜５
となります。

No.50867 - 2018/06/06(Wed) 16:47:09

☆ Re: 一次不等式高1 / 蘭

素早い返信ありがとうございます！！
嬉しいです！

いつも本当に助かってて、このサイトなくなったら、まじ辛いくらいです！！！これからもよろしくお願いします。

No.50869 - 2018/06/06(Wed) 16:50:08

★ (No Subject) / タロウ

数列苦手なので、教えてくださいm(*_ _)m

No.50863 - 2018/06/06(Wed) 07:12:40

☆ Re: / ヨッシー

(1)
S1＝a1 より
　S1＝a1＝4a1－6＋2
よって
　a1＝4/3
S2＝a1＋a2 より
　S2＝4/3＋a2＝4a2－12＋2
よって
　a2＝34/9
(2)
Sn＝4an－6n＋2　・・・(i)
S[n+1]＝4a[n+1]－6(n+1)＋2　・・・(ii)
(ii)－(i)　より
　a[n+1]＝4a[n+1]－4an－6
　3a[n+1]＝4an＋6
　3(a[n+1]＋6)＝4(an＋6)
　a[n+1]＋6＝(4/3)(an＋6)
bn＝an＋6 とおくと　
bn は公比4/3 の等比数列であり、初項は、b1＝22/3 なので、
　bn＝(22/3)(4/3)^(n-1)
　an＝(22/3)(4/3)^(n-1)－6

　

No.50864 - 2018/06/06(Wed) 08:07:35

★ 積分？ / 高2

?@点(2.1)より放物線C:y=x^2-3x+4 へ2本の接線を引くときの接線の方程式L1、L2を求めよ。

?ACとL1,L2で囲まれた図形の面積を求めよ。

積分を使うのでしょうか？よろしくおねがいします

No.50855 - 2018/06/05(Tue) 18:56:21

☆ Re: 積分？ / ヨッシー

(1)
y＝x^2－3x＋4 上の点 (t, t^2－3t＋4) における接線の式は
　ｙ＝(2t－3)(x－t)＋t^2－3t＋4
　ｙ＝(2t－3)ｘ－t^2＋4
であり、これが(2,1) を通るとき、
　１＝２(2t－3)－t^2＋4
　t^2－4t＋3＝0
　(t-1)(t-3)＝0
これを解いて
　ｔ＝１，３
ｙ＝(2t－3)(x－t)＋t^2－3t＋4 に代入して
　L1:ｙ＝－ｘ＋３
　L2:ｙ＝３ｘ－５
(2)
Ｌ１とＬ２の交点は（２，１）
Ｌ１とＣの交点は（１，２）
Ｌ２とＣの交点は（３，４）

求める面積は
　∫[1～2]{(x^2－3x＋4)－(－x＋3)}dx＋∫[2～3]{(x^2－3x＋4)－(3x－5)}dx
　＝∫[1～2](x－1)^2dx＋∫[2～3](x－3)^2dx
　＝[(x－1)^3/3][1～2]＋[(x－3)^3/3][2～3]
　＝2/3

なお、こちらの３つ目の公式から
Ｓ＝(3－1)^3/12＝8/12＝2/3
と確かめることも出来ます。

No.50858 - 2018/06/05(Tue) 19:18:20

★ . / 経済の計算について

x,yの2財を消費する合理的な消費者の効用関数がu=2xyで表されるとする。
この消費者の所得が300,y財の価格が5のとき、360の効用を得たとする。x財の価格はいくらか。

u=360ということと、(x財の価格)x＋5y=300という所までしか分かりません。
解説よろしくお願いしますm(_ _)m

No.50851 - 2018/06/05(Tue) 16:04:15

☆ Re: . / ヨッシー

ｘ財の消費量をｘ，ｙ財の消費量をｙ、ｘ財の価格をａとします。

簡単にいうと、u＝360 から得られる
　xy＝180
と、予算制約線
　ax＋5y＝300
が接するときのａを求める問題です。
　ｙ＝－ax/5＋60
を　xy＝180　に代入して
　x(－ax/5＋60)＝180
展開して整理すると
　ax^2－300x＋900＝0
判別式を取って
　D/4＝22500－900a＝0
　a＝25

No.50852 - 2018/06/05(Tue) 17:06:55

☆ Re: . / 経済の計算について

わかりやすい解説ありがとうございます。

>>>ax^2－300x＋900＝0
判別式を取って
　D/4＝22500－900a＝0
　a＝25

↑こちらの箇所、D/4=b^2-acですが、-300xの2乗をしても22500にならず困っております。

No.50853 - 2018/06/05(Tue) 18:23:33

☆ Re: . / らすかる

D=b^2-4acですから
D/4=(b/2)^2-acです。

No.50854 - 2018/06/05(Tue) 18:33:04

☆ Re: . / 経済の計算について

理解しましたm(_ _)m
お二方、お忙しい中ありがとうございました。

No.50856 - 2018/06/05(Tue) 19:17:04

★ 高1 最短経路 / 耐水性

PからQまで遠回りしないで行くとき、Rを通り、×の箇所は通らない場合の道順の総数を求めよ。

条件無しで道順の総数は462、Rを通る場合は210通り、×の箇所を通らない場合は362。ここまでは分かっています。
この問題の答えは150通りです。解説の方をよろしくお願いします。

No.50849 - 2018/06/05(Tue) 10:02:10

☆ Re: 高1 最短経路 / ヨッシー

ＰからＲまでの進み方が　4Ｃ2＝6（通り）
ＲからＱまでの進み方が　7Ｃ3＝35（通り）
この35通りのうち、×を通るのが、
Ｘの道の右端の交差点をＳとすると、
ＲからＳに行き（１通り）
ＳからＱに行く（10通り）と行けるので、10通り。
よって、ＲからＱまで、×を通らずに進む方法は
　35－10＝25（通り）
よって、Ｐ→Ｒ→Ｑと進む方法は
　6×25＝150（通り）

Ｒ→Ｑの25通りの別の求め方として、
Ｒから右、下と進んで（ここまでは1通り）
そこからＱまでの進み方が　5Ｃ2＝10（通り）
Ｒから下に進んで、そこからＱまでの進み方が　6Ｃ2＝15（通り）
合わせて　10＋15＝25（通り）
という方法もあります。

No.50850 - 2018/06/05(Tue) 10:26:18

★ 積分の計算について / 急ぎでお願いします

(1)の1/6公式ではなく
もっと一般化した y=ax^2
　｜a｜/6(β－α)^3で答えだしたら1/24になってしまいます。なぜ答えが違うのか教えてください。よろしくお願いします。
参考URL(絶対値の1/6公式):http://mathtrain.jp/frac16formula

No.50845 - 2018/06/05(Tue) 01:54:16

☆ Re: 積分の計算について / 急ぎでお願いします

答えは-1/24です。

No.50846 - 2018/06/05(Tue) 01:54:55

☆ Re: 積分の計算について / らすかる

(1)は(x-α)(x-β)をα～βの範囲で「定積分する」公式、
URLの公式はa(x-α)(x-β)とx軸で囲まれる部分の「面積を求める」公式なので
違います。

# ただの定積分はx軸の上側か下側かで符号が変わりますが、
# 面積を求める公式はそれに絶対値を付けたものであり、
# 上側でも下側でも正です。

No.50847 - 2018/06/05(Tue) 02:41:19

☆ Re: 積分の計算について / 急ぎでお願いします

ありがとうございます。

No.50857 - 2018/06/05(Tue) 19:18:07

★ 物理数学高1 / 蘭

いつもお世話になっております。

この問題なのですが、答えがAは15N、Bは8.8Nとなっています。
私の考えでは、3:4:5の三角形比を使って、Bの張力は9Nなのですが……。
まず、この問題は、どのように考えれば良いのでしょうか。そして、なせ8.8Nになるのか教えてください。お願いします。

.

No.50838 - 2018/06/04(Mon) 22:08:56

☆ Re: 物理数学高1 / らすかる

下向きの力が1.2×9.8=11.76Nなので
Aは11.76×(5/4)=14.7から15N
Bは11.76×(3/4)=8.82から8.8N
となりますね。

No.50841 - 2018/06/04(Mon) 22:39:56

☆ Re: 物理数学高1 / 蘭

なるほど！
質量と重さは違うのですね！！
理解できました！ありがとうございます！！！

またよろしくお願いします！

No.50859 - 2018/06/05(Tue) 21:37:09

★ 物理数学高1 / 蘭

いつもお世話になっております。

このプリントに書いてある私の答えって全て正しいですか？？？確認したく投稿させたいただきます。
もし間違っていたら、正答ともにご指摘のほど宜しくお願いします。

No.50837 - 2018/06/04(Mon) 21:45:04

☆ Re: 物理数学高1 / らすかる

FはF1,F2とつりあう力なので
作図も符号も反対だと思います。

No.50840 - 2018/06/04(Mon) 22:34:05

☆ Re: 物理数学高1 / 蘭

何番の問題でしょうか？？
頭悪くてすみません、
宜しくお願いします。

No.50860 - 2018/06/05(Tue) 21:38:45

☆ Re: 物理数学高1 / らすかる

3番の?Bと、左の図のF（のつもりで書かれているF1とF2を合成した矢印）です。

No.50861 - 2018/06/05(Tue) 22:27:45

★ (No Subject) / しゅう

問2がどうしてもわからなく教えていただきたいです。
色々なサイトは確認してきたのですが、、
問１は5:2で合っておりますでしょうか？

No.50828 - 2018/06/04(Mon) 19:56:40

☆ Re: / しゅう

件名申し訳ありません、中学図形かと思います。

No.50829 - 2018/06/04(Mon) 19:57:37

☆ Re: / らすかる

(1)△APE∽△CPBなのでAP：PC=AE：BC=5：4

(2)△AOD∽△COBなのでAO：OC=AD：BC=5：2
よってCO=(2/7)AC、CP=(4/9)ACなのでCO：OP=(2/7)AC：(4/9-2/7)AC=9：5

No.50830 - 2018/06/04(Mon) 20:34:05

☆ Re: / しゅう

大変ありがとうございました。解説を聞いてようやく理解できました。

No.50834 - 2018/06/04(Mon) 21:18:19

★ 中三　図形 / りゅう

いつもお世話になっております。
メネラウスの定理を使うのかな？と思うのですが、
解き方が分からないので、教えていただけますでしょうか。
よろしくお願い致します。

No.50827 - 2018/06/04(Mon) 19:13:53

☆ Re: 中三　図形 / らすかる

Eを通りABと平行な直線とBCの交点をGとすると
EF：DF=EG：DB=(2/3)AB：(1/4)AB=8：3
∴ED：DF=8-3：3=5：3

No.50831 - 2018/06/04(Mon) 20:44:33

☆ Re: 中三　図形 / りゅう

いつもありがとうございます！
メラニウスの定理でよく見る形だったので、メラニウスを使うと思い込んでしまいましたが、補助線を利用しなければならない相似だったのですね。
いつも分かりやすく説明していただいてありがとうございます。

No.50832 - 2018/06/04(Mon) 20:58:50

☆ Re: 中三　図形 / らすかる

補助線を引かずにメネラウスの定理を2回使っても出せます。
(AD/DB)(BF/FC)(CE/EA)=1からBF/FCが出るのでFB：BCがわかる
(ED/DF)(FB/BC)(CA/AE)=1からED/DFが出る
でも、補助線の方が多少簡単かと思います。

No.50833 - 2018/06/04(Mon) 21:05:58

★ 確率の問題 / だー

6人子供を産んだとき、男の子が四人、女の子が二人生まれる確率を教えてください！
計算方法もお願いします

No.50822 - 2018/06/04(Mon) 15:24:22

☆ Re: 確率の問題 / らすかる

男女の生まれる確率は1/2ずつとすると、
生まれる順は
男男男男女女
男男男女男女
男男男女女男
男男女男男女
男男女男女男
男男女女男男
男女男男男女
男女男男女男
男女男女男男
男女女男男男
女男男男男女
女男男男女男
女男男女男男
女男女男男男
女女男男男男
の6C2=15通りであり、それぞれの確率が(1/2)^6ですから
求める確率は6C2×(1/2)^6=15/64≒23.4%となります。

実際は男の出生確率の方が高く、国内の出生比率は
平成の統計で19：18程度のようですので、
確率は(6C2)×(19/37)^4×(18/37)^2=633360060/2565726409≒24.7%程度になります。

# というわけで、問題できちんと「男女比は1：1とする」などと
# 定義されていないと、問題として成立しません。

No.50823 - 2018/06/04(Mon) 16:08:06