ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 図形の質問（中学数学 / 学生

この問題に苦戦しています、教えて頂けますでしょうか？

No.84945 - 2023/02/16(Thu) 17:34:21

☆ Re: 図形の質問（中学数学 / ヨッシー

下の方の、No.84921 と同じですね。
答えはらすかるさんが出してくださっていますが、
中学向けの方法は考え中です。

No.84946 - 2023/02/16(Thu) 17:35:03

☆ Re: 図形の質問（中学数学 / らすかる

やっと解けました。単位(cm)は省略します。
∠UTQ=∠QRPから△STRはST=SRの二等辺三角形なのでST=20
∠SPU=∠TUQ=∠SUPから△SPUはSP=SUの二等辺三角形なのでSU=4
∴TU=ST-SU=16
TQ=(QR/PR)TU=12なのでTR=TQ+QR=30
∠PRQ=∠WVUとWV=WUから△WVU∽△STRなのでUV：VW=TR：RS=3：2
∠RWV=180°-∠VRW-∠WVR=180°-∠UVW-∠WVR=∠TVU と
∠UTV=∠VRW から △UTV∽△VRW、従って
TU：RV=UV：VW=3：2でTU=16なのでRV=(2/3)TU=32/3となります。

No.84947 - 2023/02/16(Thu) 17:35:49

☆ Re: 図形の質問（中学数学 / ヨッシー

元データが削除されたので、復活させました。

No.84948 - 2023/02/16(Thu) 17:37:01

★ 誘導にのれません / どーみー

(1) x^4-2(a+b)x^2+(a-b)^2=0の実数解をすべて求めよ(ただしa>b>0)

という誘導の次に、((1)は複号任意の±(sqrt(a)±sqrt(b))で合っていますでしょうか？)

(2)sqrt(4+sqrt(13))*sqrt(5+2sqrt(3)) - sqrt(5+sqrt(13))*sqrt(4+sqrt(3)) を計算せよ

という問題が出されました。どのように誘導に乗ればよいでしょうか？

No.84944 - 2023/02/16(Thu) 16:24:00

☆ Re: 誘導にのれません / らすかる

√(4+√13)√(5+2√3)-√(5+√13)√(4+√3)
=√{(4+√13)(5+2√3)}-√{(5+√13)(4+√3)}
a=(4+√13)(5+2√3)=20+8√3+5√13+2√39,
b=(5+√13)(4+√3)=20+5√3+4√13+√39
とすれば
a+b=40+13√3+9√13+3√39=(13+3√13)(3+√3)+1
a-b=3√3+√13+√39
(a-b)^2=79+26√3+18√13+6√39=2(13+3√13)(3+√3)+1
となり、式の値は(1)の方程式の解。
（a-b=3√3+√13+√39＞0からa＞b＞0も満たしている）
ここでt=(13+3√13)(3+√3)とおくと
a+b=t+1, (a-b)^2=2t+1
(1)の方程式は
x^4-2(t+1)x^2+(2t+1)=0
(x+1)(x-1)(x^2-2t-1)=0
(x+1)(x-1)(x^2-(a-b)^2)=0
(x+1)(x-1)(x+a-b)(x-a+b)=0
∴x=-1,1,b-a,a-b
a＞1,b＞1から√a+√b＞2
a-b=(√a+√b)(√a-√b)＞√a-√b
a＞bから√a-√b＞0
よって-1＜0＜√a-√b, b-a＜0＜√a-√b, √a-√b＜a-bから
式の値は-1,b-a,a-bではないので、√a-√b=1

No.84949 - 2023/02/16(Thu) 18:04:05

★ 漸化式 / とさ

a(n)=a(n-1)+(1/n)
初項a(1)=1
この漸化式の解き方をご教授ください。
解はあるのでしょうか。
何卒宜しくお願いします。ま

No.84934 - 2023/02/15(Wed) 18:20:46

☆ Re: 漸化式 / とさ

失礼しました。最後の方は誤記です。

No.84935 - 2023/02/15(Wed) 18:23:27

☆ Re: 漸化式 / IT

元の問題は、どんな問題ですか？

その漸化式を満たす唯一の{a(n)} は存在しますが
a(n) を漸化式やΣを使わず、固定長の式で表す方法はないのでは？

No.84936 - 2023/02/15(Wed) 18:26:22

☆ Re: 漸化式 / とさ

例えばa(3)=1+(1/2)+(1/3)
a(4)=1+(1/2)+(1/3)+(1/4)です。

No.84937 - 2023/02/15(Wed) 19:23:53

☆ Re: 漸化式 / IT

それは、分かります。

繰り返しになりますが、元の問題は、どう出題されたのですか？　問題文をそのまま書いて下さい。

No.84939 - 2023/02/15(Wed) 19:48:35

☆ Re: 漸化式 / とさ

元の問題と言うのはありません。調和数について調べていた時に調和数の部分和を表す式はあるかなと思い自分で立てた漸化式です。

No.84940 - 2023/02/15(Wed) 20:26:04

☆ Re: 漸化式 / IT

お望みの式はないと思います。

No.84941 - 2023/02/15(Wed) 20:40:34

☆ Re: 漸化式 / とさ

有り難うございました。
お手数をおかけしました。

No.84942 - 2023/02/15(Wed) 20:42:59

★ 図形問題２ / いっせい

(1)(√6-2)/2

まではわかったのですが、(2)以降に苦戦しています…。
教えていただけると助かります！

No.84928 - 2023/02/15(Wed) 09:38:35

☆ Re: 図形問題２ / ヨッシー

(2)

図のように、ＢＣとＥＤの交点Ｒを考え、ひし形ＯＢＲＥ（面積：8√3）から
斜線の３つの三角形を引きます。
例えば、△ＰＱＲは、ＱＲ＝３を底辺とすると、高さは 2√3×(7/8)＝7√3/4 より
　3×7√3/4÷2＝21√3/4
となります。

(3)

図のように、四角形ＡＢＣＤ（面積：5√3) から３つの三角形を引きます。
時間ｔのとき
　ＰＣ＝４－ｔ、ＰＢ＝ｔ－２、ＣＱ＝８－２ｔ、ＱＤ＝２ｔ－６
から
（以下略）

No.84929 - 2023/02/15(Wed) 09:39:47

☆ Re: 図形問題２ / いっせい

理解できました！
ありがとうございました。
大変助かりました。

No.84930 - 2023/02/15(Wed) 09:40:16

★ 図形問題 / いっせい

(1)9√3/4 + 27/4
(2)28√2/9

まではわかったのですが、(3)がどうしてもわかりません。
教えていただけると助かります

No.84923 - 2023/02/15(Wed) 09:35:14

☆ Re: 図形問題 / ヨッシー

こんなふうに四角錐と三角錐に分ければ出来るでしょう。

No.84924 - 2023/02/15(Wed) 09:36:13

☆ Re: 図形問題 / いっせい

返信ありがとうございます！
その方法は考えたのですが、三角錐の方の高さが求められず断念してしまいました。
三角錐の高さはどう求めればいいでしょうか？

No.84925 - 2023/02/15(Wed) 09:36:38

☆ Re: 図形問題 / ヨッシー

△ＢＦＤは求めてあるので、これを底面とすると、
高さは点ＤのＡＢからの距離になります。

No.84926 - 2023/02/15(Wed) 09:37:12

☆ Re: 図形問題 / いっせい

ありがとうございます…！理解できました！
平面の垂直を失念していました。
ありがとうございました！

No.84927 - 2023/02/15(Wed) 09:37:37

★ 小数から整数を求める方法 / やゆん

算数4年？です。
文章題で、問題文に指示がなく、小数の個数から整数の個数を求めたい場合、小数点以下を切り捨てにする、
もしくは四捨五入する、どちらでしょうか？

例　11.56個　11個
　　11.56個　12個
どっちが正しい？

No.84911 - 2023/02/13(Mon) 21:18:10

☆ Re: 小数から整数を求める方法 / IT

問題によると思います。例えばどんな問題ですか。
（「切り捨てか、四捨五入か」　というよりは、「切り捨てか、切り上げか」のどちらかになると思います。）

No.84912 - 2023/02/13(Mon) 21:24:46

☆ Re: 小数から整数を求める方法 / やゆん

> 問題によると思います。例えばどんな問題ですか。
> （「切り捨てか、四捨五入か」　というよりは、「切り捨てか、切り上げか」のどちらかになると思います。）
中学受験、鶴亀算です。
1個130円のなしと1個90円のりんごを、あわせて45個買い、500円の箱につめます。
5000円以内で、なしをできるだけ多く買うとすると、なしとりんごはそれぞれ何個買うことになりますか。

500円の箱を除くと、
5000-500=4500円
全部りんごを買う場合
(4500-90×45)÷(130-90)=11.25(個)

この場合、切り捨てでも切り上げでも11個ですが、もしこの個数が11.85の場合どうするのかなと思い、質問しました。

No.84950 - 2023/02/16(Thu) 18:20:42

☆ Re: 小数から整数を求める方法 / ヨッシー

それは、式の意味を理解すればわかります。

4500－90×45＝450（円）
これは、安い方のりんごばかりで45個にすると、450円まだ手元にあるということです。
ここから、40円ずつ払って、りんごをなしに換えると最大何回換えられるか？
という問題です。
　450÷40＝11.・・・
ここで、11回は換えられる、12回換えると5000円を超える
と式を理解すれば、12回は無理とわかります。
たとえ、答えが 11.999 でも切り捨てて 11個です。

ちなみに、
>この場合、切り捨てでも切り上げでも11個ですが、
は誤りで、切り上げたら12個です。

No.84951 - 2023/02/16(Thu) 19:16:29

★ 組み合わせ / fm

3種の数字1,2,3を重複を許して並べて、6桁の整数を作るとき、１，２，３のいずれもが1回以上使われてるような整数は全部でいくつか。

という問題です。
画像に解説を乗せるのですが、その解説部分に質問があります。

2種類の数字だけが使われている整数は、
(2^6-2)*3＝186

この2^6-2で、なぜ-2をしているのですか？教えてください。

No.84907 - 2023/02/13(Mon) 09:56:48

☆ Re: 組み合わせ / fm

解答の画像を貼り忘れてしまいました。こちらになります

No.84908 - 2023/02/13(Mon) 09:57:14

☆ Re: 組み合わせ / らすかる

例えば1と2の2種類のとき、2^6の中には
121222や221112など、1または2を6桁並べたすべての組合せが含まれるわけですが、
111111と222222も含まれていますので、この2通りを引いています。

No.84909 - 2023/02/13(Mon) 10:42:55

★ 重心の位置 / とさ

放物線y=x^2(y=xの2乗)と直線y=1で囲まれる
部分の重心の位置はx=0,y=3/5なのですが
直線y=225とy=x^2で囲まれる部分の重心の
y座標の値はいくらでしょうか。以上の問題の解き方を教えて下さい。よろしくお願いします。

No.84903 - 2023/02/12(Sun) 23:43:07

☆ Re: 重心の位置 / らすかる

y=x^2とy=1と(0,3/5)を
y軸中心に(x軸方向に)15倍に拡大すると
y=(x/15)^2とy=1と(0,3/5)
これをx軸中心に(y軸方向に)225倍に拡大すると
y/225=(x/15)^2とy=225と(0,135)
すなわち
y=x^2とy=225と(0,135)
となるので、求めるy座標の値は135

No.84904 - 2023/02/13(Mon) 01:07:55

☆ Re: 重心の位置 / とさ

有り難うございました。大変お手数おかけしました。わかりやすかったです。

No.84905 - 2023/02/13(Mon) 02:42:58

★ 場合の数 / もも

ABCDEEFの異なる並べ方は何通りありますか？
また、Eが両端に並ばない並べ方は何通りありますか？

No.84891 - 2023/02/12(Sun) 15:57:36

☆ Re: 場合の数 / X

前半)
求める場合の数は、同じものを含む順列の数により
7!/2!=2520[通り]

後半)
前半の結果から、Eが両端となる並べ方の数を
引きます。
(Eが両端となる並べ方の数)=(E以外の文字でできる順列の数)
=…

No.84892 - 2023/02/12(Sun) 17:34:56

☆ Re: 場合の数 / IT

「Eが両端に並ばない並べ方」は、あいまいな表現ですね
EABCDEF は、どちらにカウントするのでしょうね？

No.84893 - 2023/02/12(Sun) 17:46:24

☆ Re: 場合の数 / X

＞＞ITさんへ
私は
EABCDEF
は含むものとして、方針を提示しました。

＞＞ももさんへ
もし、例えば
EABCDEF
も含まないとなると、前半の結果から更に
(i)左端にのみEがある場合の順列の数
(ii)右端にのみEがある場合の順列の数
を引く必要があります。

No.84902 - 2023/02/12(Sun) 22:29:04

☆ Re: 場合の数 / らすかる

他の解釈もできると思います。
「Eが両端に並ばない並べ方」が
もし「Eが両端に同時に並ばない並べ方」（つまりExxxxxEを除く）ならば
ExxxxxEが5!通りなので7!/2!-5!=2400通り
もし「Eが両端のいずれかに2つ(連続して)並ばない並べ方」（つまりEExxxxxとxxxxxEEを除く）ならば
EExxxxxもxxxxxEEも5!通りなので7!/2!-5!×2=2280通り
もし「Eがいずれの端にも並ばない並べ方」（つまりExxxxxxとxxxxxxEを除く）ならば
ABCDFの5文字から左端と右端に配置する文字を選び(5P2通り)
残りの5文字(2つのEを含む)を間に配置すればよいので(5!/2!通り)
5P2×5!/2!=1200通り
あるいは全体(7!/2!通り)から
Exxxxxx(6!通り)とxxxxxxE(6!通り)を引いて
引きすぎたExxxxxE(5!通り)を足せばよいので
7!/2!-6!×2+5!=1200通り

No.84906 - 2023/02/13(Mon) 04:18:01

★ (No Subject) / kayo

通信制の大学１回生です。

2x^2-2xy+y^2=18において、dy/dxとd^2y/dx^2を求め、関数yの極値を求めよ。

という問題なのですが、
dy/dx=(y-2x)/(y-x)

d^2y/dx^2=(2xy-2x^2-y^2)/(y-x)^3

と、導関数はもとまったのですが、
関数yの極値はどのように求めたら良いでしょうか？

No.84886 - 2023/02/10(Fri) 19:04:29

☆ Re: / X

(i)
(x,y)の値の組は
dy/dx=0,(d^2/dx^2)y＞0
を満たす
⇒
(x,y)の値の組は極小値yを与える

(ii)
(x,y)の値の組は
dy/dx=0,(d^2/dx^2)y＜0
を満たす
⇒
(x,y)の値の組は極大値yを与える

以上(i)(ii)に注意して、極値を与える
(x,y)の組に対する連立方程式を立てます。
(連立方程式の片方は元の曲線の方程式です。)

No.84887 - 2023/02/10(Fri) 20:38:12

☆ Re: / kayo

Xさん

アドバイスを有り難うございました。
大変参考になりました。

No.84888 - 2023/02/11(Sat) 11:54:41

★ 整数問題 / fm

問題文
xyz=-240を満たす整数x,y,zの組は全部でいくつあるか。

画像の解答の部分で質問があります。

質問１

負の数、3を因数にもつ数、5を因数に持つ数の組み合わせを考えると、3×3×3=27（通り）

ここでなぜ3×3×3としているのですか？

質問２
それぞれに対し、4つの因数2のx,y,zの振り分け方は6C2通りであるから

ここではなぜ6C2としているのでしょうか？

ご教示ください。

No.84879 - 2023/02/10(Fri) 00:44:08

☆ Re: 整数問題 / ast

> 質問１
因数として -1 を持つのが: x or y or z である場合の 3 通り
因数として 3 を持つのが: x or y or z である場合の 3 通り
因数として 5 を持つのが: x or y or z である場合の 3 通り
だから

> 質問２
「(2 と書かれた) 互いに区別のつかない 4 つの玉を (x,y,z と書かれた) 区別された 3 つの組に (空の組を許して) 分ける組み分け」の問題と見なせば, これは「4 つの "○" とそれらを区切る 2 つの "|" の 6 つを並べる場合の数」と等しいから.
# 6C2 は "6 つの場所から | の入る 2 箇所を選ぶ組合せ" の数.

No.84881 - 2023/02/10(Fri) 02:06:49

☆ Re: 整数問題 / fm

理解することができました、ご丁寧にありがとうございます。場合の数、確率、整数系の問題が苦手なのですが、上手に解くためのコツなどはありますか？

No.84882 - 2023/02/10(Fri) 03:38:44

★ 助けて！ / アラブル

高さを6とみて体積48と考えられると思うのですが、どこが間違えているのでしょうか？ご教授下さい。

No.84876 - 2023/02/09(Thu) 23:58:40

☆ Re: 助けて！ / らすかる

確かに高さは2とも6ともみることができますね。
よって正解は「16または48」になると思います。
写真の解答は不完全ですね。
（「48」だけ答えるのも不完全です）

No.84878 - 2023/02/10(Fri) 00:38:26

☆ Re: 助けて！ / アラブル

ですよね。ありがとうございます！

No.84880 - 2023/02/10(Fri) 00:50:33

☆ Re: 助けて！ / ヨッシー

「正四角錐の頂点は球面上にある」も、冗長な情報ですね。
なんか、全然こなれてないテキストに見えます。

No.84883 - 2023/02/10(Fri) 07:54:14

★ (No Subject) / kayo

通信制の大学１回生です。

以下の２変数関数の極値を求めかたを教えていただけないでしょうか。

sin(x)+sin(y)+sin(x+y)
ただし、0<=x<=2π、0<=y<=2π

よろしくお願い致します。

No.84869 - 2023/02/09(Thu) 20:16:25

☆ Re: / ポテトフライ

関数をf(x,y)とおくと

grad(f)=(0,0)となる点(x,y)を求める。
↓
それらの点に対してヘッッシアンHを計算して符号を調べる。
↓
H>0,f_{xx}>0のとき極小、H>0,f_{xx}<0のとき極大、H<0のときは鞍点、H=0は個別に調べる。

No.84871 - 2023/02/09(Thu) 20:46:07

☆ Re: / kayo

停留点（π、π）

H=０
となりました。

f(π+k,π)-f(π,π)=0
f(π,π+k)-f(π,π)=0

上記になりましたので、停留点付近は平坦になっていました。
こうした場合、極値は「なし」ということになりますでしょうか？

No.84872 - 2023/02/09(Thu) 21:16:03

☆ Re: / IT

停留点（π、π）はどうやって求めましたか？　これ以外にもあるのでは？

https://ja.wolframalpha.com/input?i=%E5%81%9C%E7%95%99%E7%82%B9+sin%28x%29%2Bsin%28y%29%2Bsin%28x%2By%29

No.84873 - 2023/02/09(Thu) 21:25:39

☆ Re: / ポテトフライ

＞こうした場合、極値は「なし」ということになりますでしょうか？

それでよいと思います。

他の調べ方としてy=xの方向を調べて
f(x,x)の(π,π)付近では関数の値がプラスからマイナスに変化してるので(π,π)は極値でない
でもよいと思います。

H=0のときの極値になるかどうかの調べ方は、本当に様々なので「がんばるしかない」です。

No.84874 - 2023/02/09(Thu) 21:59:45

☆ Re: / kayo

ITさん

停留点の求め方をもう一度振り返ってみます。

ポテトフライさん

アドバイス感謝いたします。
解けそうな気がしてきました。

有り難うございました。

No.84875 - 2023/02/09(Thu) 22:47:59

★ 1次方程式の表し方や答え方 / やゆん

中学1年です。
2点、質問があります。

?@(2500-x)÷70を分数にする場合、
(2500-x)/70のようにカッコを入れるのは間違いでしょうか。

?A問題　3/5x+1/6=1/3x-1/2
参考書答え　-5/2
この場合、2.5(小数)や2と1/2(帯分数)で答えるのは×になりますか。1次方程式の答え方で一般的だったり丸になる方を教えてください。

No.84867 - 2023/02/09(Thu) 19:42:27

☆ Re: 1次方程式の表し方や答え方 / ヨッシー

(1)
間違いではありませんが、付けないのが一般的です。
一方、この掲示板のように、分数を上下に書けない状況では、
カッコは必須です。

(2)
有限小数なら、分数、小数どちらもＯＫです。
循環小数を、数字の上に点を付ける方法で表記するのは、当該の
単元以外ではやめたほうが良いです。
帯分数は、掛け算と紛らわしいので、やはりやめたほうが良いです。上記の場合は×にはならないとは思います。
逆に、掛け算のつもりで書いたら、帯分数に解釈された
なんてことのないように、間に×または・をしっかり書きましょう。

No.84868 - 2023/02/09(Thu) 20:04:37

☆ Re: 1次方程式の表し方や答え方 / ポテトフライ

＞(2500-x)/70のようにカッコを入れるのは間違いでしょうか。
カッコがないと間違いです。

カッコなしの
2500-x/7
は
2500- (x÷7）
ととらえられます。
多項式が分子or分母にくる時にはそれをカッコでくくることが必須です。
単項式が分子or分母にくる時でもカッコがあると良いでしょう。例えば7÷(3a^2)を
7/3a^2
と表記すると
7÷3×a^2
と誤解される可能性があります。

数式の表記については様々なところで注意があるのでそれを参照してください。

＞2.5(小数)や2と1/2(帯分数)で答えるのは×になりますか。
2.5は（たぶん）大丈夫です
ただ、小数と分数が混在する数式はあまり好まれないという印象があります。

一方で、帯分数表記は絶対に避けるべきです。（というよりダメです）

数学では積の記号×を省略する慣習があるので、帯分数2と1/2は2*1/2と誤解されます。
帯分数は和の記号＋を省略していますが、これは小学校の負の遺産であると私は考えています。（中学以降の数学で和の記号＋を省略して書くことは一度もありません。）

例えばですが、「帯分数2と1/2」は「2+1/2」のことです。では負の数の帯分数の場合はどう考えるのが妥当か？「-2と1/2」という帯分数は「-2+1/2」「-2-1/2」のどちらにするのがいいだろうか？（要するに先頭についたマイナスの影響をどこまでにすべきか？ということ）

No.84870 - 2023/02/09(Thu) 20:18:36

★ 場合の数 / 吉田　

nを2以上の整数とする。以下の条件1, 2を満たすn個の正の整数の組(x_1, x_2, x_3, .... ,x_n)の個数を求めよ。

条件1 : x_i (i = 1, 2, 3, ..., n)は1, 2, 3, 4, 5のいずれかである。
条件2 : x_i (i = 1, 2, 3, ..., n - 1) に対して
|x_i - x_(i+1)| = 1 が成り立つ。

x_i という表記で添え字を表しています。

この問題の解説を教えていただきたいです。

No.84860 - 2023/02/09(Thu) 17:29:51

☆ Re: 場合の数 / IT

x_n = 1,5 のものの個数をa(n)
x_n = 2,4 のものの個数をb(n)
x_n = 3 のものの個数をc(n) として　連立漸化式を立てて解く。

No.84866 - 2023/02/09(Thu) 18:44:22

☆ Re: 場合の数 / 吉田　

ありがとうございます！

No.84884 - 2023/02/10(Fri) 10:24:35

★ 確率の問題 / 毛蟹

質問は画像のとおりです。
文章だと伝えづらいので、手書きをしました。
読み難い文字で申し訳ないのですが、お答えいただけると嬉しいです。

No.84855 - 2023/02/08(Wed) 21:48:02

☆ Re: 確率の問題 / IT

２つめの解法は、確率計算の「積の定理」「加法定理」を使っていますね。

正確に書くと
(8/12)×(4/11)×(3/10)＋(4/12)×(8/11)×(3/10)＋(4/12)×(3/11)×(8/10) ですよね。

例えば、１つめの(8/12)×(4/11)×(3/10)の(4/11)では、白４つを区別していると考えられるのではないですか？

No.84856 - 2023/02/08(Wed) 22:21:23

☆ Re: 確率の問題 / 毛蟹

>１つめの(8/12)×(4/11)×(3/10)の(4/11)では、白４つを区別していると考えられるのではないですか？

場合の数ではなく、確率として計算している時点で区別は完了しているということでしょうか？
場合の数と確率の性質の違いなのでしょうか？

No.84857 - 2023/02/08(Wed) 22:31:21

☆ Re: 確率の問題 / IT

> 場合の数ではなく、確率として計算している時点で区別は完了しているということでしょうか？

そうですね。

No.84858 - 2023/02/08(Wed) 22:41:41

☆ Re: 確率の問題 / 毛蟹

分かりました！ありがとうございます！

No.84859 - 2023/02/08(Wed) 22:45:00