ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / 元中三

チャートの問題なんですが、条を満たすx,y,zの組の求め方を教えていただけたら幸いです。

No.50574 - 2018/05/25(Fri) 07:24:26

☆ Re: / 元中三

条件です、すいません。

自分なりにやって見ましたが全く解けません。

No.50575 - 2018/05/25(Fri) 07:26:06

☆ Re: / ヨッシー

条件を満たすx,y,z は、解と係数の関係より、３次方程式
　x^3－(2√2－1)x^2＋(2√2－1)x－1＝０
の３解です。
　f(x)＝x^3－(2√2－1)x^2＋(2√2－1)x－1
とおくと、f(1)＝0 より
　f(x)＝(x－1){x^2－2(√2－1)x＋1}
となり、３次方程式の解は
　ｘ＝１，√2－1±√(2√2－2)ｉ
となります。

No.50576 - 2018/05/25(Fri) 09:37:09

☆ Re: / 元中三

x,y,zが全て実数となるような組は存在するのでしょうか？
xの解について、x=1は写真の?Aより不適だと思われますし、それ以外の解は複素数となっていますので、実数解はないと思います。
しかし問題には実数x,y,zと書かれていて矛盾しているような気がします。

No.50588 - 2018/05/25(Fri) 18:20:48

☆ Re: / らすかる

＞ x=1は写真の?Aより不適

(x+y+z)-(xy+yz+zx)+xyz-1の計算が間違っています。
(x+y+z)-(xy+yz+zx)+xyz-1=0です。

また、ヨッシーさんの式も間違っています。
x,y,zはt^3-(2√2+1)t^2+(2√2+1)t-1=0の3解ですから
(t-1)(t-√2+1)(t-√2-1)=0となり、
x,y,zは1,√2±1です。

No.50590 - 2018/05/25(Fri) 18:32:59

☆ Re: / 元中三

らすかる様、ありがとうございました。
写真の式の計算が変でしたね。

お二方とも、ご丁寧に解説してくださって大変感謝です。

No.50600 - 2018/05/26(Sat) 09:32:35

★ 極限値を求める問題 / はるさめ

(2)〜(6)の解答までの道筋がわかりません。
巻末の解答では、
(2)n＜mのとき0,n=mのときc/a,n＞mのとき∞
(3)1
(4)∞
(5)e^2
(6)-4/π
となっています。よろしくお願いします。

No.50572 - 2018/05/24(Thu) 23:29:09

☆ Re: 極限値を求める問題 / X

(2)
(i)n＜mのとき
極限を求める関数の分母分子を
x^nで割ってみましょう。
(ii)n=mのとき
極限を求める関数の分母分子を
x^nで割ってみましょう。
(iii)n＞mのとき
極限を求める関数の分母分子を
x^mで割ってみましょう。

(3)
(与式)=lim[x→1+0]{{(sin(x-1))/(x-1)}^(x^2-1)}(x-1)^(x^2-1)
=lim[x→1+0]{{(sin(x-1))/(x-1)}^(x^2-1)}{(x-1)^(x-1)}^(x+1)
ここで
lim[x→1+0]log{(x-1)^(x-1)}=lim[x→1+0](x-1)log(x-1)
=lim[x→1+0]{log(x-1)}/{1/(x-1)}
=lim[x→1+0]{1/(x-1)}/{-1/(x-1)^2}
((∵)ロピタルの定理)
=lim[x→1+0](1-x)=0
∴lim[x→1+0](x-1)^(x-1)=1
となるので
(与式)=(1^0)・1^2=1

(4)
x→+0のとき
e^x-e^(-x)→+0
e^x+e^(-x)→2
e^(2x)=1
∴(与式)=∞
となります。

(5)
{e^x+e^(-x)}/{e^x-e^(-x)}-1=h
と置くと
{2e^(-x)}/{e^x-e^(-x)}=h
2/{e^(2x)-1}=h
e^(2x)=2/h+1
∴(与式)=lim[h→+0](1+h)^(2/h+1)
=lim[h→+0](1+h){(1+h)^(1/h)}^2
=e^2

(6)
π/2-arctanx=t
と置くと
(与式)=lim[t→+0]{tan(π/2-t)}{2-π/(π/2-t)}
=lim[t→+0]{1/tant}{(-2t)/(π/2-t)}
=lim[t→+0]{(cost)/sint}{(-2t)/(π/2-t)}
=lim[t→+0]{1/{(sint)/t}}{(-2cost)/(π/2-t)}
=-4/π

No.50582 - 2018/05/25(Fri) 17:56:06

★ 逆三角関数とマクローリン展開 / はるさめ

(1)は数学的帰納法で示せば良いことはわかるのですが、n=k+1で成立することを示すことができませんでした。(2)(3)もわかりません。

よろしくお願いします。

No.50571 - 2018/05/24(Thu) 23:24:31

☆ Re: 逆三角関数とマクローリン展開 / X

以下、例えばf(x)のn回微分を
f_(n)(x)
と書くことにします。(^を使うとべき乗と混同しやすいですので)

(1)
これは数学的帰納法は使いません

一般にn回微分可能な関数f(x),g(x)に対し
{(d^n)/(dx^n)}(fg)=Σ[k=0～n](nCk){f_(k)(x)}{g_((n-k))(x)}
(要は積のn階微分の公式です。
解析学の教科書の微分の項目に載っているので調べてみて下さい。)
これを踏まえて
(1+x^2)f'(x)=1
の両辺をxでn-1回微分してみましょう。

(2)
a[n]=f_(n)(0)
と置くと、(1)の結果により
a[n+1]+n(n-1)a[n-1]=0 (n≧1)
∴a[2n]=p[n],a[2n-1]=q[n]
と置くと
p[n]+(2n-1)(2n-2)p[n-1]=0 (A)
q[n]+(2n-2)(2n-3)q[n-1]=0 (B)
p[0]=f(0)=0 (C)
q[0]=f'(0)=1 (D)
(C)(D)の条件の下で{p[n]},{q[n]}の漸化式(A)(B)を
解きましょう。

(3)
(2)の結果を使います。
(これはおまけ問題です。上記の方針の文言だけで理解できないのであれば、
解析学の教科書のマクローリン展開の項目を復習しましょう。)

No.50589 - 2018/05/25(Fri) 18:26:55

★ おねがいします / ∃高校生

Qは有理数全体の集合，S={a^2|a∈Q}と定める．以下条件(a)，(b)を満たすx，y，zを求めよ．

(a)x∈Qかつy∈Qかつz∈Q
(b)x^2±(x+y+z)∈Sかつy^2±(x+y+z)∈Sかつz^2±(x+y+z)∈S

僕には何がなんだかわかりません．

No.50555 - 2018/05/23(Wed) 21:42:39

☆ Re: おねがいします / ヨッシー

記号ではなく、意味で理解しましょう。
(a) は
　ｘもｙもｚも有理数です。
という意味です。
(b) は
　x^2＋(x+y+z)、x^2－(x+y+z)、y^2＋(x+y+z)、y^2－(x+y+z)、z^2＋(x+y+z)、z^2－(x+y+z)
はすべて、(有理数)^2 の形に書ける
という意味です。
そんな、ｘ，ｙ，ｚをすべて求めなさい。という問題です。

No.50563 - 2018/05/24(Thu) 09:35:23

☆ Re: おねがいします / ∃高校生

意味は理解できたのですが，どうしても解答が思いつかないという意味でそのように書かせてもらいました．分かりづらくてすみません．ちなみに今(考え始めてから)3日目です．

No.50564 - 2018/05/24(Thu) 14:58:30

☆ Re: おねがいします / IT

出典は何ですか？既に誰かが解いている問題なのですか？

No.50570 - 2018/05/24(Thu) 19:47:33

☆ Re: おねがいします / ヨッシー

x+y+z＝0 を満たす任意の有理数
までは簡単に行き着きますが、それ以外の場合を調べるのが難しいですね。

No.50577 - 2018/05/25(Fri) 10:59:29

☆ Re: おねがいします / らすかる

まったく解けていませんが、
とりあえずx+y+z=0を満たさない一般解の一つを見つけました。
x=y=z=3(m^2+n^2)^4/{8mn(m^2-n^2)(6m^2n^2-m^4-n^4)}（m,nは0でない整数でm≠n）のとき
x^2+(x+y+z)=y^2+(x+y+z)=z^2+(x+y+z)
={3(m^2+n^2)^2{4m^2n(2m+3n)-(m+n)^4}/{8mn(m^2-n^2)(6m^2n^2-m^4-n^4)}}^2
x^2-(x+y+z)=y^2-(x+y+z)=z^2-(x+y+z)
={3(m^2+n^2)^2{(m+n)^4-4mn^2(3m+2n)}/{8mn(m^2-n^2)(6m^2n^2-m^4-n^4)}}^2
となります。
例えば
m=2,n=1のとき
x=y=z=625/112
x^2+(x+y+z)=y^2+(x+y+z)=z^2+(x+y+z)=(775/112)^2
x^2-(x+y+z)=y^2-(x+y+z)=z^2-(x+y+z)=(425/112)^2
m=3,n=2のとき
x=y=z=28561/9520
x^2+(x+y+z)=y^2+(x+y+z)=z^2+(x+y+z)=(40391/9520)^2
x^2-(x+y+z)=y^2-(x+y+z)=z^2-(x+y+z)=(169/9520)^2

# これはx=y=zである解の一部解であり、x=y=zの全解ではありません。

# 「x+y+z=0以外に解がない」ことを示そうと思って計算を進めていったら、
# 解が見つかってしまいました。

No.50579 - 2018/05/25(Fri) 15:31:13

☆ Re: おねがいします / ∃高校生

おお！皆さんありがとうございます．なんだか自分には早すぎたようです．

No.50581 - 2018/05/25(Fri) 17:51:24

★ (No Subject) / 高3

これの解き方を教えてください！！

No.50553 - 2018/05/22(Tue) 21:12:34

☆ Re: / noname

問題のヒントを以下に与えておきますので，ヒントを参考に一度お考え下さい．
________________________

f(x)＝√(ax+b),g(x)＝2x-1とする．f(x)をxで微分すると

f'(x)
＝1/2・(ax+b)^{1/2-1}・(ax+b)'
＝(a(ax+b)^{-1/2})/2.

ところで，曲線f(x)＝√(ax+b)と直線g(x)＝2x-1が点(1,1)で接するための条件は「f(1)＝g(1)かつf'(1)＝g'(1)」が成り立つことである．f(1)＝g(1)を計算するとa+b＝1であり，f'(1)＝g'(1)を計算すると

(a(a+b)^{-1/2})/2＝2.

この式のa+bを，a+b＝1により1に書き換えて計算すると，

a＝….

この時，a+b＝1よりbの値も求まる．

No.50562 - 2018/05/24(Thu) 01:50:28

★ (No Subject) / 高3

これの解き方を教えてください。。

No.50552 - 2018/05/22(Tue) 21:11:39

☆ Re: / noname

問題のヒントを以下に与えておきますので，ヒントを参考に一度お考え下さい．
________________________

Pの座標とHの取り方より，Hの座標は(1,y)である．よって，2点間の距離の式より

PF＝√((x-3)^2+(y-0)^2)＝…,
PH＝√((x-1)^2+(y-y)^2)＝….

また，PF：PH＝√3：1であるから，

PF＝√3・PH.

これに上記のPF,PHの式を代入して計算すれば，Pの軌跡を表す式が得られる．

No.50559 - 2018/05/24(Thu) 01:30:28

★ (No Subject) / 高3

これの解き方を教えてください！

No.50551 - 2018/05/22(Tue) 21:11:13

☆ Re: / noname

問題のヒントを以下に与えておきますので，ヒントを参考に一度お考え下さい．
________________________

(1)Pの座標を(x,y)とする．また，Pから直線ℓへの垂線の足をHとする．Pの座標とHの取り方よりHの座標は(1,y)であるから，2点間の距離の式より

PF＝√((x-4)^2+(y-0)^2)＝…,
PH＝√((x-1)^2+(y-y)^2)＝….

ところで，PF：PH＝1：1であるから，

PF＝PH.

この式に上記のPF,PHの式を代入して計算すれば，Pの軌跡を表す式が得られる．
(2)Pの座標を(x,y)とする．また，Pから直線ℓへの垂線の足をHとする．Pの座標とHの取り方よりHの座標は(1,y)であるから，2点間の距離の式より

PF＝√((x-4)^2+(y-0)^2)＝…,
PH＝√((x-1)^2+(y-y)^2)＝….

ところで，PF：PH＝2：1であるから，

PF＝PH.

この式に上記のPF,PHの式を代入して計算すれば，Pの軌跡を表す式が得られる．

No.50560 - 2018/05/24(Thu) 01:35:23

★ (No Subject) / 高3

これの解き方を教えてください

No.50548 - 2018/05/22(Tue) 21:09:04

☆ Re: / noname

a,bの値の求め方の例を以下に与えておきます．f(x)の極大値の導出は一度ご自身でお考え下さい．
________________________

[a,bの求め方の例]
与式の両辺にx^2+1を乗じると，

(x^2+1)f(x)＝ax^2+bx+1.…?@

この等式においてx＝2を代入すると，f(2)＝-1より

5f(2)＝4a+2b+1.
∴2a+b＝-3.…?A

一方，?@の両辺をxで微分すると，

2xf(x)+(x^2+1)f'(x)＝2ax+b.

ところで，f(x)はx＝2で極致をとるのでf'(2)＝0である．よって，いま得られた式においてx＝2を代入すると，f(2)＝-1とf'(2)＝0より

4f(2)+5f'(2)＝4a+b.
∴4a+b＝-4…?B

?Aと?Bを連立して解けば，a,bの値が求まる．

No.50558 - 2018/05/24(Thu) 01:09:09

★ (No Subject) / 雪

マナー違反でしたら削除します。

2と3の解き方を教えてください。

No.50542 - 2018/05/22(Tue) 01:56:12

☆ Re: / X

(2)
図から、ミクロメータの目盛りが一致している
二か所の間の長さは
接眼ミクロメータ：25[目盛り]
対物ミクロメータ：400[μm]
よって求める長さは
400[μm]÷25[目盛り]=18[μm/目盛り]
ということで18[μm]です。

(3)
(2)の結果により求める大きさは
18[μm]×20=360[μm]
となります。

No.50543 - 2018/05/22(Tue) 05:41:14

☆ Re: / ヨッシー

400[μm]÷25[目盛り]=16[μm/目盛り]

16[μm]×20=320[μm]

ですね。

No.50544 - 2018/05/22(Tue) 10:41:22

☆ Re: / X

>>ヨッシーさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>雪さんへ
ごめんなさい。ヨッシーさんの仰る通りです。

No.50547 - 2018/05/22(Tue) 18:51:40

☆ Re: / 雪

ありがとうございます！

No.50565 - 2018/05/24(Thu) 15:15:54

★ 不等式 / 高一

連立不等式を満たす整数xがちょうど5個存在する時の定数aの値の範囲を求める問題なのですが、

青線で引いてるところを数直線上に表すと、どうして7と8の間になるのかを、おしえてください

No.50538 - 2018/05/21(Mon) 21:48:18

☆ Re: 不等式 / ヨッシー

斜線部分が（３）と（４）の共通部分で、
これに含まれる整数が５個であれば良いんですよね。

（３）に含まれる整数は　{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,・・・}
（４）は (a-5)/2 以下という範囲ですので、
例えば、(a-5)/2＝5 だと、（４）に含まれる整数は
　{5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2,・・・}
で、（３）との共通部分の整数は{3, 4, 5} の３個
(a-5)/2＝5.5 辺りでも同じく{3, 4, 5} の３個。
(a-5)/2＝6 だと、（４）に含まれる整数は
　{6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2,・・・}
で、（３）との共通部分の整数は{3, 4, 5, 6} の４個
(a-5)/2＝6.9999 と、７のぎりぎり手前までは同じく{3, 4, 5, 6} の４個。
(a-5)/2＝7 になると、（４）に含まれる整数は
　{7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2,・・・}
で、（３）との共通部分の整数は{3, 4, 5, 6, 7} の５個
となり、条件を満たします。
そしてこれは、(a-5)/2＝7.9999 と、８のぎりぎり手前まで続き、
(a-5)/2＝8 になると、共通の整数は {3, 4, 5, 6, 7, 8}の６個となります。
よって、(a-5)/2 の取るべき範囲は、７以上８未満です。

No.50539 - 2018/05/21(Mon) 22:28:28

☆ Re: 不等式 / 高一

分かりやすかった、の一言に尽きます…！
ありがとうございました!!

No.50540 - 2018/05/21(Mon) 23:19:34

★ 数2 三角関数 / もこ

(2)の解答の、方程式の個数が-5/4<a<-1のとき4個、-1<a<1のときに2個となるのはどうしてですか？

No.50532 - 2018/05/21(Mon) 16:20:52

☆ Re: 数2 三角関数 / ヨッシー

－１＜ｘ＜１のときcosθ＝ｘを満たすθは２個ある　に尽きます。

解説に描かれているグラフで、－5/4＜ａ＜－１に当たる部分に
直線ｙ＝ａが引かれていますが、この直線と放物線の交点は、
　－１＜ｘ＜－1/2　に１つ　→このｘに対して、θが２個
　-1/2＜ｘ＜０　に１つ　　→このｘに対して、θが２個
の合計４個です。

－1＜ａ＜１の範囲では、ｙ＝ａと放物線の交点は
　０＜ｘ＜１　に１つ　→このｘに対して、θが２個
これだけです。もう１つの交点(放物線が破線になっている部分)は、
　ｘ＜－1 の範囲にあるので、それに対応するθはありません。

No.50533 - 2018/05/21(Mon) 16:47:22

☆ Re: 数2 三角関数 / もこ

なるほど！解説ありがとうございます

No.50536 - 2018/05/21(Mon) 20:30:39

★ (No Subject) / もやし

なぜかy=2x^2-4x-3になってしまうのですが…
解説おねがいいたします。

No.50526 - 2018/05/21(Mon) 01:21:10

☆ Re: / らすかる

y=-2x^2+16x-29 を
x軸方向に-3、y軸方向に2平行移動すると
y={-2(x+3)^2+16(x+3)-29}+2=-2x^2+4x+3
これをy軸に関して対称移動すると
y=-2(-x)^2+4(-x)+3
=-2x^2-4x+3
となります。
y=2x^2-4x-3になったということは、
「y軸に関して対称移動」のところを間違えて
「x軸に関して対称移動」としてしまったのではないでしょうか。
「y軸に関して対称移動」はxを-xに置き換える
「x軸に関して対称移動」はyを-yに置き換える
となります。

No.50531 - 2018/05/21(Mon) 06:59:45

★ (No Subject) / もやし

詳しい解説おねがいいたします

No.50525 - 2018/05/21(Mon) 00:25:59

☆ Re: / X

a,b,cについてはNo.50511でご質問の問題
と考え方が同じですので
a+b+cについて方針を。

y=ax^2+bx+c (A)
にx=1を代入すると
y=a+b+c
∴(A)は点(1,a+b+c)を通ります。

そこで問題のグラフでx座標が1となるような点が
どこになるかを調べ、その点のy座標の符号を
調べます(つまりy軸に関して、上側、下側の
いずれの側にあるか、ということです)。

No.50529 - 2018/05/21(Mon) 05:31:48