平面U上の線分ABにおいて、線分AB上に、Aに近い方から順に2点P，をとる。
AP=x，PQ=y，QB=zとするとき、∠ARP=∠PRQ=∠QRBとなるような点Rが平面U上に存在するときの条件をx,y,zを用いて書け。
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No.50602 - 2018/05/26(Sat) 10:38:36
| ☆ Re: 点Rが存在する条件 / 元中三 | | | 2点P,Qです抜けてました
この問題の答えが分かりません。
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No.50603 - 2018/05/26(Sat) 10:40:32 |
| ☆ Re: 点Rが存在する条件 / らすかる | | | ABの延長上にRをとればP,Qの位置にかかわらず∠ARP=∠PRQ=∠QRB=0°なので
x,y,zは任意。
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No.50607 - 2018/05/26(Sat) 11:02:13 |
| ☆ Re: 点Rが存在する条件 / 元中三 | | | ありがとうございます、とても簡単ですね、全く思いつきませんでした。
直線AB上に点Rが存在しないという条件ありでもx,y,zの長さにかかわらず
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No.50612 - 2018/05/26(Sat) 15:19:26 |
| ☆ Re: 点Rが存在する条件 / 元中三 | | | 途切れてしまいました。
x,y,zの長さにかかわらず点Rは存在するのでしょうか
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No.50613 - 2018/05/26(Sat) 15:21:29 |
| ☆ Re: 点Rが存在する条件 / らすかる | | | 直線AB上を除くならば
xy平面上で考えたいのでx,y,zをa,b,cに変えます。
A(0,0),P(a,0),Q(a+b,0),B(a+b+c,0)とすると
∠ARP=∠PRQとなるRの軌跡は
AR：QR=AP：QP=a：bから
a≠bのとき P(a,0)と(a(a+b)/(a-b),0)を直径の両端とする円 … (1)
a＝bのとき 直線x=a … (2)
∠PRQ=∠QRBとなるRの軌跡は
QR：BR=PQ：BQ=b：cから
b≠cのとき Q(a+b,0)と(b(b+c)/(b-c)+a,0)を直径の両端とする円 … (3)
b＝cのとき 直線x=a+b … (4)
※以下、交点がx軸上にある場合は除外します。
(1)と(3)から
a＜bかつb＞cのとき、円(1)は直線(2)の左、円(3)は直線(4)の右なので交点なし
「a＜bかつb＜c」または「a＞bかつb＞c」のとき、2円が交点を持つためには
a(a+b)/(a-b)＜b(b+c)/(b-c)+a
整理して a+b+c＜3ac/b
a＞bかつb＜cのときは円(1)は直線(2)の右で右端点が直線(3)より右、
円(2)は直線(3)の左で左端点が直線(2)より左なので、2円は必ず交点を持つ
(1)と(4)から
a＜bかつb＝cのとき交点なし、a＞bかつb＝cのとき交点あり
(2)と(3)から
a＝bかつb＜cのとき交点あり、a＝bかつb＞cのとき交点なし
(2)と(4)からa＝bかつb＝cのとき交点なし
従って交点を持つ条件をまとめると
a＜bかつb＜cかつa+b+c＜3ac/b または
a＞bかつb＞cかつa+b+c＜3ac/b または
a＞bかつb＜c または
a＞b＝c または
a＝b＜c
となるが、交点を持たない条件のときa+b+c＜3ac/bを必ず満たさず、
交点を持つ条件のときa+b+c＜3ac/bを必ず満たすので、
a+b+c＜3ac/bだけで十分。
よって∠ARP=∠PRQ=∠QRBとなるRが存在するための条件は
x+y+z＜3xz/y
# 答えが比較的簡単な形なので、もっと簡単な解き方がある気がします。
# また、x＞0,y＞0,z＞0を仮定しています。
# x+y+z＜3xz/y はいろいろな形に変形できますので、
# 解答があれば違う形になっているかも知れませんね。
# y(x+y+z)＜3xz
# (y+x)(y+z)＜4xz
# (y/x+1)(y/z+1)＜4
# とか
# (3x-y)(3z-y)＞4y^2
# (3x/y-1)(3z/y-1)＞4
# など。
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No.50620 - 2018/05/26(Sat) 17:10:41 |
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