ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 同次の無限小 / 堀内

画像の問題の解説で,具体的に諸量を求めずに他のオーダーがわかっている図形量との評価、関係から求めるという感覚が理解できずに苦しんでいます。
具体的には、
（１）の弦ＡＢ～弧ＡＢというのは具体的に求めずにどうやってわかるのか
（６）の三角形ＡＣＢ、長方形を持ち出しているのはその２つがＯ（ｈ＾３）であり、これで挟む（評価をしている）という意味か？
（７）のｈが十分小さいとき、この円は直径ＣＨとなるというのはどうしてわかるのか？
が知りたいです。
どなたか教えてください。

No.50596 - 2018/05/26(Sat) 02:28:01

☆ Re: 同次の無限小 / 堀内

解答の部分です。

No.50597 - 2018/05/26(Sat) 02:28:35

☆ Re: 同次の無限小 / IT

（１）直感でということなので
弦ＡＢ＜弧ＡＢ＜弦ＡＢ+2ＨＣ　から弦ＡＢ～弧ＡＢが分かると思います。

これでは納得できないならば
「なるべく正確な値を計算してしまわずに直感で」とあるので厳密に考えると　その問題の趣旨から外れると思いますが、弧ＡＢ（曲線）の長さの定義の確認が必要になると思います。

No.50599 - 2018/05/26(Sat) 09:00:26

☆ Re: 同次の無限小 / 堀内

なるほど、やはり不等式評価をするのですか。
弧ＡＢの長さの定義を再確認せよとのことですが、弧度法で考えたとき、半径×中心角で求まるものという理解ではだめですか？

No.50608 - 2018/05/26(Sat) 11:32:49

☆ Re: 同次の無限小 / 堀内

（６）については評価をしているという理解でよいと思うのですが、
（７）では、なぜ、ｈが十分小さいとき、直径がＣＨとなるのかがわかりません。
ｈが十分小さくなくとも、最大の内接円はＣＨを直径とするような円になると思うのですが。

No.50609 - 2018/05/26(Sat) 11:36:45

☆ Re: 同次の無限小 / らすかる

問題は「十分小さい時にどうであるか」であって
小さくない時にどうであろうと関係ありません。
hが大きくても小さくてもCHを直径とする円になるのであれば、
当然hが十分小さい場合もCHを直径とする円になりますね。

No.50640 - 2018/05/27(Sun) 09:43:45

☆ Re: 同次の無限小 / 堀内

ありがとうございます
納得しました。

No.50650 - 2018/05/27(Sun) 19:56:38

★ 解答がなく困っています。 / ありさ

どなたか解ける方いませんか？

No.50593 - 2018/05/25(Fri) 23:35:16

☆ Re: 解答がなく困っています。 / IT

（略解）
　u[1]=(1,1,1),u[2]=(2,-1,3),u[3]=(4,1,5)
　u[3]=2u[1]+u[2] なので、u[1],u[2],u[3]は線形従属です。　→５ではない
　容易に分かるようにu[1],u[2]は線形独立です。→４ではない

　v=au[1]+bu[2]=(a+2b,a-b,a+3b)=(x,y,z)とおくと
　4x-y-3z=0, これは平面の方程式で、原点、点(1,4,0),点(0,3-1) を通る。
よって答えは1。

念のため
　2 ではない。（(1,2,-1),(2,0,1) は通らない。）
　3 ではない。（(3,0,4)は通るが、(0,2,-2)は通らない。）

No.50594 - 2018/05/26(Sat) 00:48:05

☆ Re: 解答がなく困っています。 / ありさ

ITさん、ありがとうございました！

No.50595 - 2018/05/26(Sat) 01:17:26

★ (No Subject) / 数学

41人の学生を10グループに分けたときに少なくとも1つのグループは5人以上のグループになることを背理法を用いて証明せよ。が分かりません。教えてください。

No.50591 - 2018/05/25(Fri) 21:14:55

☆ Re: / IT

41人の学生を10グループに分けたときに、10グループすべてのグループが４人以下のグループになるように分けられた。と仮定とすると、
これらの10グループの人数の合計は、4×10人以下となり、
全部で41人であることと矛盾する。

したがって、10グループのうち少なくとも１つのグループは５人以上のグループである。

No.50592 - 2018/05/25(Fri) 22:51:51

★ (No Subject) / め

数学でなく、物理の質問で申し訳ありません…ベクトルに少し疑問があります。画像の２つのベクトル題の考え方の違いを教えて下さい…左が数学で右が物理です。右の物理の方の、元の問題文は「幅20mの川があり、水の速さは3m/sである。静止した水面ならば5m/sの速さで進める船で岸に垂直に横切った。何秒を要したか」です…
ようするに、「垂直上向き」のベクトルの求め方、が、左右で違うのは何故なのか…という事です…

No.50580 - 2018/05/25(Fri) 17:45:21

☆ Re: / X

何も違いはありません。

船の速度(ベクトル)と川の流れる速度(ベクトル)
の和が合成速度(ベクトル)になっています。
船の速度(ベクトル)を↑c
川の流れる速度(ベクトル)を↑b
合成速度(ベクトル)を↑a
として考えてみましょう。

ちなみにこの模範解答は舌足らずですね。
＞＞合成速度は4m/sとなる。
の箇所は正確には
合成速度「の大きさ」は4m/sとなる。
です。

No.50584 - 2018/05/25(Fri) 18:05:15

☆ Re: / め

ようするに、右は垂直上向きベクトルの「大きさ」を求めるから、川ベクトルの大きさと船ベクトルの大きさで三平方の定理、、左は垂直上向きベクトル「自体」を考えてるからb+c、、という感じでしょうか

No.50587 - 2018/05/25(Fri) 18:17:15

☆ Re: / X

その通りです。
ご質問の物理の問題の解答の流れは
1)
船の速度、川の流れの速度、合成速度で
ベクトルの三角形ができる。
2)
このベクトルの三角形は直角三角形
である。
3)
船の速度、川の流れの速度、合成速度
のそれぞれの「大きさ」について
三平方の定理を適用する。

ということです。

ベクトルと、ベクトルの大きさを
混同しないようにしましょう。

No.50598 - 2018/05/26(Sat) 05:13:45

★ (No Subject) / 元中三

チャートの問題なんですが、条を満たすx,y,zの組の求め方を教えていただけたら幸いです。

No.50574 - 2018/05/25(Fri) 07:24:26

☆ Re: / 元中三

条件です、すいません。

自分なりにやって見ましたが全く解けません。

No.50575 - 2018/05/25(Fri) 07:26:06

☆ Re: / ヨッシー

条件を満たすx,y,z は、解と係数の関係より、３次方程式
　x^3－(2√2－1)x^2＋(2√2－1)x－1＝０
の３解です。
　f(x)＝x^3－(2√2－1)x^2＋(2√2－1)x－1
とおくと、f(1)＝0 より
　f(x)＝(x－1){x^2－2(√2－1)x＋1}
となり、３次方程式の解は
　ｘ＝１，√2－1±√(2√2－2)ｉ
となります。

No.50576 - 2018/05/25(Fri) 09:37:09

☆ Re: / 元中三

x,y,zが全て実数となるような組は存在するのでしょうか？
xの解について、x=1は写真の?Aより不適だと思われますし、それ以外の解は複素数となっていますので、実数解はないと思います。
しかし問題には実数x,y,zと書かれていて矛盾しているような気がします。

No.50588 - 2018/05/25(Fri) 18:20:48

☆ Re: / らすかる

＞ x=1は写真の?Aより不適

(x+y+z)-(xy+yz+zx)+xyz-1の計算が間違っています。
(x+y+z)-(xy+yz+zx)+xyz-1=0です。

また、ヨッシーさんの式も間違っています。
x,y,zはt^3-(2√2+1)t^2+(2√2+1)t-1=0の3解ですから
(t-1)(t-√2+1)(t-√2-1)=0となり、
x,y,zは1,√2±1です。

No.50590 - 2018/05/25(Fri) 18:32:59

☆ Re: / 元中三

らすかる様、ありがとうございました。
写真の式の計算が変でしたね。

お二方とも、ご丁寧に解説してくださって大変感謝です。

No.50600 - 2018/05/26(Sat) 09:32:35

★ 極限値を求める問題 / はるさめ

(2)〜(6)の解答までの道筋がわかりません。
巻末の解答では、
(2)n＜mのとき0,n=mのときc/a,n＞mのとき∞
(3)1
(4)∞
(5)e^2
(6)-4/π
となっています。よろしくお願いします。

No.50572 - 2018/05/24(Thu) 23:29:09

☆ Re: 極限値を求める問題 / X

(2)
(i)n＜mのとき
極限を求める関数の分母分子を
x^nで割ってみましょう。
(ii)n=mのとき
極限を求める関数の分母分子を
x^nで割ってみましょう。
(iii)n＞mのとき
極限を求める関数の分母分子を
x^mで割ってみましょう。

(3)
(与式)=lim[x→1+0]{{(sin(x-1))/(x-1)}^(x^2-1)}(x-1)^(x^2-1)
=lim[x→1+0]{{(sin(x-1))/(x-1)}^(x^2-1)}{(x-1)^(x-1)}^(x+1)
ここで
lim[x→1+0]log{(x-1)^(x-1)}=lim[x→1+0](x-1)log(x-1)
=lim[x→1+0]{log(x-1)}/{1/(x-1)}
=lim[x→1+0]{1/(x-1)}/{-1/(x-1)^2}
((∵)ロピタルの定理)
=lim[x→1+0](1-x)=0
∴lim[x→1+0](x-1)^(x-1)=1
となるので
(与式)=(1^0)・1^2=1

(4)
x→+0のとき
e^x-e^(-x)→+0
e^x+e^(-x)→2
e^(2x)=1
∴(与式)=∞
となります。

(5)
{e^x+e^(-x)}/{e^x-e^(-x)}-1=h
と置くと
{2e^(-x)}/{e^x-e^(-x)}=h
2/{e^(2x)-1}=h
e^(2x)=2/h+1
∴(与式)=lim[h→+0](1+h)^(2/h+1)
=lim[h→+0](1+h){(1+h)^(1/h)}^2
=e^2

(6)
π/2-arctanx=t
と置くと
(与式)=lim[t→+0]{tan(π/2-t)}{2-π/(π/2-t)}
=lim[t→+0]{1/tant}{(-2t)/(π/2-t)}
=lim[t→+0]{(cost)/sint}{(-2t)/(π/2-t)}
=lim[t→+0]{1/{(sint)/t}}{(-2cost)/(π/2-t)}
=-4/π

No.50582 - 2018/05/25(Fri) 17:56:06

★ 逆三角関数とマクローリン展開 / はるさめ

(1)は数学的帰納法で示せば良いことはわかるのですが、n=k+1で成立することを示すことができませんでした。(2)(3)もわかりません。

よろしくお願いします。

No.50571 - 2018/05/24(Thu) 23:24:31

☆ Re: 逆三角関数とマクローリン展開 / X

以下、例えばf(x)のn回微分を
f_(n)(x)
と書くことにします。(^を使うとべき乗と混同しやすいですので)

(1)
これは数学的帰納法は使いません

一般にn回微分可能な関数f(x),g(x)に対し
{(d^n)/(dx^n)}(fg)=Σ[k=0～n](nCk){f_(k)(x)}{g_((n-k))(x)}
(要は積のn階微分の公式です。
解析学の教科書の微分の項目に載っているので調べてみて下さい。)
これを踏まえて
(1+x^2)f'(x)=1
の両辺をxでn-1回微分してみましょう。

(2)
a[n]=f_(n)(0)
と置くと、(1)の結果により
a[n+1]+n(n-1)a[n-1]=0 (n≧1)
∴a[2n]=p[n],a[2n-1]=q[n]
と置くと
p[n]+(2n-1)(2n-2)p[n-1]=0 (A)
q[n]+(2n-2)(2n-3)q[n-1]=0 (B)
p[0]=f(0)=0 (C)
q[0]=f'(0)=1 (D)
(C)(D)の条件の下で{p[n]},{q[n]}の漸化式(A)(B)を
解きましょう。

(3)
(2)の結果を使います。
(これはおまけ問題です。上記の方針の文言だけで理解できないのであれば、
解析学の教科書のマクローリン展開の項目を復習しましょう。)

No.50589 - 2018/05/25(Fri) 18:26:55

★ おねがいします / ∃高校生

Qは有理数全体の集合，S={a^2|a∈Q}と定める．以下条件(a)，(b)を満たすx，y，zを求めよ．

(a)x∈Qかつy∈Qかつz∈Q
(b)x^2±(x+y+z)∈Sかつy^2±(x+y+z)∈Sかつz^2±(x+y+z)∈S

僕には何がなんだかわかりません．

No.50555 - 2018/05/23(Wed) 21:42:39

☆ Re: おねがいします / ヨッシー

記号ではなく、意味で理解しましょう。
(a) は
　ｘもｙもｚも有理数です。
という意味です。
(b) は
　x^2＋(x+y+z)、x^2－(x+y+z)、y^2＋(x+y+z)、y^2－(x+y+z)、z^2＋(x+y+z)、z^2－(x+y+z)
はすべて、(有理数)^2 の形に書ける
という意味です。
そんな、ｘ，ｙ，ｚをすべて求めなさい。という問題です。

No.50563 - 2018/05/24(Thu) 09:35:23

☆ Re: おねがいします / ∃高校生

意味は理解できたのですが，どうしても解答が思いつかないという意味でそのように書かせてもらいました．分かりづらくてすみません．ちなみに今(考え始めてから)3日目です．

No.50564 - 2018/05/24(Thu) 14:58:30

☆ Re: おねがいします / IT

出典は何ですか？既に誰かが解いている問題なのですか？

No.50570 - 2018/05/24(Thu) 19:47:33

☆ Re: おねがいします / ヨッシー

x+y+z＝0 を満たす任意の有理数
までは簡単に行き着きますが、それ以外の場合を調べるのが難しいですね。

No.50577 - 2018/05/25(Fri) 10:59:29

☆ Re: おねがいします / らすかる

まったく解けていませんが、
とりあえずx+y+z=0を満たさない一般解の一つを見つけました。
x=y=z=3(m^2+n^2)^4/{8mn(m^2-n^2)(6m^2n^2-m^4-n^4)}（m,nは0でない整数でm≠n）のとき
x^2+(x+y+z)=y^2+(x+y+z)=z^2+(x+y+z)
={3(m^2+n^2)^2{4m^2n(2m+3n)-(m+n)^4}/{8mn(m^2-n^2)(6m^2n^2-m^4-n^4)}}^2
x^2-(x+y+z)=y^2-(x+y+z)=z^2-(x+y+z)
={3(m^2+n^2)^2{(m+n)^4-4mn^2(3m+2n)}/{8mn(m^2-n^2)(6m^2n^2-m^4-n^4)}}^2
となります。
例えば
m=2,n=1のとき
x=y=z=625/112
x^2+(x+y+z)=y^2+(x+y+z)=z^2+(x+y+z)=(775/112)^2
x^2-(x+y+z)=y^2-(x+y+z)=z^2-(x+y+z)=(425/112)^2
m=3,n=2のとき
x=y=z=28561/9520
x^2+(x+y+z)=y^2+(x+y+z)=z^2+(x+y+z)=(40391/9520)^2
x^2-(x+y+z)=y^2-(x+y+z)=z^2-(x+y+z)=(169/9520)^2

# これはx=y=zである解の一部解であり、x=y=zの全解ではありません。

# 「x+y+z=0以外に解がない」ことを示そうと思って計算を進めていったら、
# 解が見つかってしまいました。

No.50579 - 2018/05/25(Fri) 15:31:13

☆ Re: おねがいします / ∃高校生

おお！皆さんありがとうございます．なんだか自分には早すぎたようです．

No.50581 - 2018/05/25(Fri) 17:51:24

★ (No Subject) / 高3

これの解き方を教えてください！！

No.50553 - 2018/05/22(Tue) 21:12:34

☆ Re: / noname

問題のヒントを以下に与えておきますので，ヒントを参考に一度お考え下さい．
________________________

f(x)＝√(ax+b),g(x)＝2x-1とする．f(x)をxで微分すると

f'(x)
＝1/2・(ax+b)^{1/2-1}・(ax+b)'
＝(a(ax+b)^{-1/2})/2.

ところで，曲線f(x)＝√(ax+b)と直線g(x)＝2x-1が点(1,1)で接するための条件は「f(1)＝g(1)かつf'(1)＝g'(1)」が成り立つことである．f(1)＝g(1)を計算するとa+b＝1であり，f'(1)＝g'(1)を計算すると

(a(a+b)^{-1/2})/2＝2.

この式のa+bを，a+b＝1により1に書き換えて計算すると，

a＝….

この時，a+b＝1よりbの値も求まる．

No.50562 - 2018/05/24(Thu) 01:50:28

★ (No Subject) / 高3

これの解き方を教えてください。。

No.50552 - 2018/05/22(Tue) 21:11:39

☆ Re: / noname

問題のヒントを以下に与えておきますので，ヒントを参考に一度お考え下さい．
________________________

Pの座標とHの取り方より，Hの座標は(1,y)である．よって，2点間の距離の式より

PF＝√((x-3)^2+(y-0)^2)＝…,
PH＝√((x-1)^2+(y-y)^2)＝….

また，PF：PH＝√3：1であるから，

PF＝√3・PH.

これに上記のPF,PHの式を代入して計算すれば，Pの軌跡を表す式が得られる．

No.50559 - 2018/05/24(Thu) 01:30:28

★ (No Subject) / 高3

これの解き方を教えてください！

No.50551 - 2018/05/22(Tue) 21:11:13

☆ Re: / noname

問題のヒントを以下に与えておきますので，ヒントを参考に一度お考え下さい．
________________________

(1)Pの座標を(x,y)とする．また，Pから直線ℓへの垂線の足をHとする．Pの座標とHの取り方よりHの座標は(1,y)であるから，2点間の距離の式より

PF＝√((x-4)^2+(y-0)^2)＝…,
PH＝√((x-1)^2+(y-y)^2)＝….

ところで，PF：PH＝1：1であるから，

PF＝PH.

この式に上記のPF,PHの式を代入して計算すれば，Pの軌跡を表す式が得られる．
(2)Pの座標を(x,y)とする．また，Pから直線ℓへの垂線の足をHとする．Pの座標とHの取り方よりHの座標は(1,y)であるから，2点間の距離の式より

PF＝√((x-4)^2+(y-0)^2)＝…,
PH＝√((x-1)^2+(y-y)^2)＝….

ところで，PF：PH＝2：1であるから，

PF＝PH.

この式に上記のPF,PHの式を代入して計算すれば，Pの軌跡を表す式が得られる．

No.50560 - 2018/05/24(Thu) 01:35:23

★ (No Subject) / 高3

これの解き方を教えてください

No.50548 - 2018/05/22(Tue) 21:09:04

☆ Re: / noname

a,bの値の求め方の例を以下に与えておきます．f(x)の極大値の導出は一度ご自身でお考え下さい．
________________________

[a,bの求め方の例]
与式の両辺にx^2+1を乗じると，

(x^2+1)f(x)＝ax^2+bx+1.…?@

この等式においてx＝2を代入すると，f(2)＝-1より

5f(2)＝4a+2b+1.
∴2a+b＝-3.…?A

一方，?@の両辺をxで微分すると，

2xf(x)+(x^2+1)f'(x)＝2ax+b.

ところで，f(x)はx＝2で極致をとるのでf'(2)＝0である．よって，いま得られた式においてx＝2を代入すると，f(2)＝-1とf'(2)＝0より

4f(2)+5f'(2)＝4a+b.
∴4a+b＝-4…?B

?Aと?Bを連立して解けば，a,bの値が求まる．

No.50558 - 2018/05/24(Thu) 01:09:09

★ (No Subject) / 雪

マナー違反でしたら削除します。

2と3の解き方を教えてください。

No.50542 - 2018/05/22(Tue) 01:56:12

☆ Re: / X

(2)
図から、ミクロメータの目盛りが一致している
二か所の間の長さは
接眼ミクロメータ：25[目盛り]
対物ミクロメータ：400[μm]
よって求める長さは
400[μm]÷25[目盛り]=18[μm/目盛り]
ということで18[μm]です。

(3)
(2)の結果により求める大きさは
18[μm]×20=360[μm]
となります。

No.50543 - 2018/05/22(Tue) 05:41:14

☆ Re: / ヨッシー

400[μm]÷25[目盛り]=16[μm/目盛り]

16[μm]×20=320[μm]

ですね。

No.50544 - 2018/05/22(Tue) 10:41:22

☆ Re: / X

>>ヨッシーさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>雪さんへ
ごめんなさい。ヨッシーさんの仰る通りです。

No.50547 - 2018/05/22(Tue) 18:51:40

☆ Re: / 雪

ありがとうございます！

No.50565 - 2018/05/24(Thu) 15:15:54