ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 高校数学です / だもの

ｌ２ｘ－６ｌ<ｘ　　　をといてみよう、というやつで
次の式が　　　２ｘ－６≧０になるのですが
理解ができません。
なぜ？　　
　　　　　　　　　また、今はエルを入力しているのですが
この、絶対値を表す記号「ｌ」はどう入力するのですか？

No.49608 - 2018/04/06(Fri) 12:43:36

☆ Re: 高校数学です / X

>>次の式が　　　２ｘ－６≧０になるのですが
回答者は、だものさんが参照されている解答が
見えていません。
前後の文章関係が分かるように質問する対象の
解答を全てアップして下さい。

>>絶対値を表す記号「ｌ」はどう入力するのですか？
shiftキーを押しながら「\」キーを押せば
たいていのキーボードでは絶対値の記号の代用
で使える
|
が出ます。

No.49615 - 2018/04/06(Fri) 16:23:37

★ 勘違いしています / I’m going

l3l>2 だとしたら、 2<3にはなっても 3<ー2にはならないと思うのですが、説明お願いいたします

No.49606 - 2018/04/05(Thu) 23:41:59

☆ Re: 勘違いしています / らすかる

「x＜-a または a＜x」というのは
「x＜-a か a＜x のうち少なくとも一つは成り立つ」という意味です。
|3|＞2 の場合は後者の2＜3の方が成り立っていますし、
|-3|＞2 ならば前者の-3＜-2の方が成り立ちますね。

No.49607 - 2018/04/06(Fri) 00:54:03

★ ピンとこない / だもの

ｂ/aで、
ａ≠０のとき　　ｂ≠０のとき

それぞれ答えが実数になるかを
教えてください。

No.49602 - 2018/04/05(Thu) 14:36:58

☆ Re: ピンとこない / ヨッシー

ａ（分母）≠０　のとき、
　b/a は実数にも虚数にもなる
　実数になる例　ａ＝１、ｂ＝２
　虚数になる例　ａ＝１、ｂ＝ｉ
ｂ（分子）≠０　のとき
　ａ＝０　のとき　b/aは定義できない
　ａ≠０　のとき
　　b/a は実数にも虚数にもなる。ただし０にはならない。
　実数になる例　ａ＝１、ｂ＝２
　虚数になる例　ａ＝１、ｂ＝ｉ

No.49603 - 2018/04/05(Thu) 14:47:07

☆ Re: ピンとこない / だもの

深いですね!

No.49611 - 2018/04/06(Fri) 14:13:37

★ 図形 / ハート雲

解き方が分かりません。
もし、定理などを使ってとくのであれば、それも教えていただけるとありがたいです。

No.49598 - 2018/04/05(Thu) 10:17:28

☆ Re: 図形 / らすかる

円O,A,Bの中心をO,A,Bとし、
O,Bから直線lに下ろした垂線の足をQ,Rとして、
OQの延長と円Oの交点をSとします。
また円Aの半径をrとします。
PB=2-r、BR=rで△PBR∽△POQ、PO=1なのでOQ=r/(2-r)
OSはAを通るのでOQ+QS=1からr/(2-r)+2r=1
r＜1に注意してこれを解いて r=(3-√5)/2

No.49599 - 2018/04/05(Thu) 11:30:15

☆ Re: 図形 / ヨッシー

図を作ったので貼っておきます。

私は、
　ＰＯ：ＰＢ＝ＱＯ：ＲＢ
より
　１：(２－ｒ)＝(１－２ｒ)：ｒ
のように、比から
　(２－ｒ)(１－２ｒ)＝ｒ
と持っていく方法を思いつきました。

No.49600 - 2018/04/05(Thu) 11:44:17

☆ Re: 図形 / ハート雲

細かく書いてくださって本当に助かりました。
わかりやすい解説と図をありがとうございます！

No.49601 - 2018/04/05(Thu) 12:05:54

★ (No Subject) / 元中三

角の三等分線に関する問題です。
解き方を参考にしたいので解いていただきたいです。よろしくお願いします。

No.49591 - 2018/04/04(Wed) 08:48:35

☆ Re: / らすかる

(1)
PA：PC=AB：BC=4：5
x軸上にあってAR：RC=4：5を満たしBと異なる点Rは(-40,0)
PはBRを直径とする円（アポロニウスの円）すなわち
中心が原点で半径がOB=40の円周上にあるのでOP=OB=40
PO：PB=OA：AB=4：1からPB=(1/4)PO=10
角の二等分線の長さの公式からPA=√(PO・PB-OA・AB)=12
PA：PC=4：5からPC=(5/4)PA=15
従ってPO=40,PA=12,PB=10,PC=15なのでPO+PA+PB+PC=77

(2)
OP=OBから∠OPB=∠OBPなので∠POA=(180-4a)°

(3)
PはOを中心として半径40の円とAを中心として半径12の円の交点なので
x^2+y^2=40^2, (x-32)^2+y^2=12^2 から(x,y)=(155/4,±15√7/4)
点Pは第１象限にあるので、Pの座標は(155/4,15√7/4)

# ×第一象現
# ○第一象限

No.49592 - 2018/04/04(Wed) 10:22:35

☆ Re: / ヨッシー

横から失礼します。
(2) の AP=OB は OP=OB ですね。

No.49593 - 2018/04/04(Wed) 11:52:44

☆ Re: / らすかる

御指摘ありがとうございます。元記事を修正しました。

No.49594 - 2018/04/04(Wed) 13:06:45

☆ Re: / 元中三

第一象限でしたね(笑)
お恥ずかしいです...　　

私は角の二等分線の定理を駆使してときましたので、アポロニウスの円の解き方は参考になりました！ありがとうございました

No.49595 - 2018/04/04(Wed) 14:03:45

★ 恒等式 / I

(a+b+C)/a=(a+b+c)/b=(a+b+c)/cが成り立つとき、(a+B)(b+c)(c+a)/abcの値を求めよ。という問題で、答えは8と-1らしいのですが、なぜ-1が出てくるのか教えていただけないでしょうか。よろしくおねがいします。

No.49584 - 2018/04/03(Tue) 17:31:52

☆ Re: 恒等式 / ヨッシー

(a+b+c)/a=(a+b+c)/b=(a+b+c)/c は、a+b+c≠0 のときは、これで割って、
　1/a＝1/b＝1/c　から　a=b=c
よって、
　(a+b)(b+c)(c+a)/abc＝(2a)^3/a^3＝8
です。一方、a+b+c＝0 のとき　a+b=-c, b+c=-a, c+a=-b とおけるので、
　(a+b)(b+c)(c+a)/abc＝(-c)(-a)(-b)/abc＝-1
となります。

No.49585 - 2018/04/03(Tue) 17:51:16

★ (No Subject) / ちむ

xy平面上を速さ1で自由に動くことができる点Pがある。ただし、Pは、直線y=√3x上を動く時のみ速さ2で動くものとする。このとき、Pが原点Oを出発して点A（2,√3）に至るまでにかかる時間の最小値を求めよ

お願いします

No.49580 - 2018/04/03(Tue) 07:21:18

☆ Re: / ヨッシー

速さ２で動くのを最大限利用しない手はないので、最初は、
ｙ＝√3ｘに沿って進み、途中から点Ａまで真っすぐ進みます。
原点から、点Ｂ(ｘ、√3ｘ) まで進むとすると
　ＯＢ＝２ｘ
　かかる時間はｘ
また
　ＡＢ^2＝(ｘ－２)^2＋３(ｘ－１)^2
　　＝４ｘ^2－10ｘ＋７
ＡＢ間にかかる時間は
　√(４ｘ^2－10ｘ＋７)
よって、点Ｏから点Ａまでにかかる時間 f(x) は、
　f(x)＝ｘ＋√(４ｘ^2－10ｘ＋７)
ｘで微分して、
　f'(x)＝１＋(1/2)(8x－10)/√(４ｘ^2－10ｘ＋７)
　　＝１＋(4x－5)/√(４ｘ^2－10ｘ＋７)
f'(x)＝0 となるのは、
　(5－4x)＝√(４ｘ^2－10ｘ＋７)　・・・(i)
となるとき。両辺２乗して
　16x^2－40x＋25＝4x^2－10x＋7
　12x^2－30x＋18＝0
　(x－1)(12x－18)＝0
　x＝1, 3/2
このうち、(i) を満たすのはｘ＝１のみ
このとき、
　ＯＢ間の時間＝１、ＡＢ間の時間＝１
合計２　・・・答え

No.49581 - 2018/04/03(Tue) 09:31:30

★ 図形の問題 / 数学不得意

（４）が解りません。解説よろしくお願いいたします。

No.49574 - 2018/04/02(Mon) 14:25:57

☆ Re: / 数学不得意

図形の問題の答え

No.49575 - 2018/04/02(Mon) 14:29:52

☆ Re: 図形の問題 / らすかる

単位は省略します。
QR=3√3, RS=√{3^2+(6√2)^2}=9
横(QとR、SとTが重なる方向)から見た図を
Q=R=(-3/2,-3√2), S=T=(3/2,3√2)となるように
原点がOであるxy平面上に描くと
Pはx=-3上にあり、直線QSは y=(2√2)xなので
Pから底面に下ろした直線は y=(-√2/4)x
よってP(-3,3√2/4)となるから
PO=√{3^2+(3√2/4)^2}=9√2/4
従って体積は QR×RS×PO÷3=81√6/4

No.49576 - 2018/04/02(Mon) 17:56:44

☆ Re: 図形の問題 / ヨッシー

別解です。

図は、点Ｑと点Ｒが重なって見える方向からの側面図とその底面図です。
ＱＲ＝3√3、ＲＳ＝9 はすぐに求められます。
図において、ＲＳの中点Ｗを通りＲＳに垂直な直線をＰＶ（Ｐ，Ｖは側面上の点）とすると
△ＲＳＴ∽△ＶＰＵ　より
　ＰＶ＝ＲＳ×6/6√2＝9/√2
四角錐の高さＰＷはPVの半分で、9/2√2
よって、求める体積は
　3√3×9×9/2√2÷3＝81√6/4

No.49578 - 2018/04/02(Mon) 18:46:46

☆ Re: 図形の問題 / 数学不得意

解説ありがとうございます。△ＲＳＴ∽△ＶＰＵなるのが解りません。

No.49586 - 2018/04/03(Tue) 18:51:33

☆ Re: 図形の問題 / ヨッシー

他にも示し方はありますが、例えばこんな感じです。
ＶＷとＳＴの交点をＸとします。
△ＲＳＴと△ＸＳＷはともに直角三角形であり、
∠ＲＳＴは共通。よって、
　△ＲＳＴ∽△ＸＳＷ
△ＸＳＷと△ＶＰＵはともに直角三角形であり、
　∠ＳＸＷ＝∠ＵＶＰ　（同位角）
よって、
　△ＸＳＷ∽△ＶＰＵ
以上より、
　△ＲＳＴ∽△ＶＰＵ（∽△ＸＳＷ）

No.49587 - 2018/04/03(Tue) 19:16:44

☆ Re: 図形の問題 / 数学不得意

何回もすみません。四角錐の高さＰＷはPVの半分で、9/2√2になるのが解りません。

No.49589 - 2018/04/03(Tue) 21:13:21

☆ Re: 図形の問題 / ヨッシー

図をよく見ると、ＲとＳは、長方形の中心（対角線の交点）に対して対称な位置にあります。（頂点からともに1.5cmの位置なので）
よって、その中点Ｗは長方形の中心であり、それを通る直線上のＰとＶも、Ｗに対して対称な位置になります。
よって、ＰＷはＰＶの半分となります。

この図の方向から見たときのＰＷが四角錐の高さになるのは問題ないですよね？

No.49590 - 2018/04/04(Wed) 01:34:32

★ (No Subject) / 元中三

この問題の解法についてです。

No.49569 - 2018/04/02(Mon) 11:00:05

☆ Re: / 元中三

これでOKでしょうか？

No.49570 - 2018/04/02(Mon) 11:06:54

☆ Re: / ヨッシー

>ａ＞０より 2p+2 は負、すなわちｐは負
の記述はあまりよろしくありません。
そこは正確に、2p+2＜0 すなわち　p＜－1
と書かないと、この問題では良いが、もし、ｐ＝－１が
解の候補だったら、この解答者は p=－1 も採用するのではないか？
と疑われてしまいます。

また、
　a{p＋(p＋2)}
は、何かの公式によるものでしょうか？
ｐとｐ＋２を足すことに意味を持たせないと、たまたま当たったという
印象があります。
いきなり
　a(2p＋2)
と書いてあれば、「途中が省略されているんだな」と思われるだけで、
上記のような疑いは持たれません。
私の知らない公式があるのかも知れませんが。

No.49573 - 2018/04/02(Mon) 12:48:38

☆ Re: / 元中三

回答ありがとうございます

p＜0の説明は不十分でした
a{p+(p+2)}の表記もおかしかったですね
二次関数y=ax^2においてxがpからqまで増加するときの変化の割合はa(p+q)という公式に直接当てはめたのでおかしな表記になってしまいました

ご丁寧なご指摘ありがとうございました！に

No.49577 - 2018/04/02(Mon) 18:44:52

☆ Re: / ヨッシー

なるほど。
ちょっと下にある、記事の結果を使ったのですね。
ただ、公式と言えるほど一般に認知されているかはわかりませんね。

検算の武器としてなら有効と思います。

No.49588 - 2018/04/03(Tue) 19:27:11

★ よろしくお願いします / やまやま

118について質問です。
1、3点の中から2点を2組取り出し、垂直二等分面を考える
2、2つの垂直二等分面の交わりである直線ベクトルをよとめる。
3、3点の属する平面と、2のベクトル方程式の交点を求めると答えがでる。

進めかたはなんとなくわかったのですが、2の直線ベクトルをだすことができなくてつまづいています。
お願い致します。

No.49568 - 2018/04/02(Mon) 10:16:14

☆ Re: よろしくお願いします / ヨッシー

方針はそれでいいです。
下記では、半ば強引に直線の式を出しています。

ＡＢの中点(2,3,-1) を通りＡＢ＝(2,2,-4) に垂直な平面
　2x+2y-4z=14　→　x+y-2z=7
ＢＣの中点(2,2,0) を通りＣＢ＝(2,4,-6) に垂直な平面
　2x+4y-6z=12　→　x+2y-3z=6
この２平面の交線を通る２点として
　(0, -9, -8) ←ｘ＝０を代入してから y,z について解く
　(9, 0, 1)　←ｙ＝０を代入してから x, z について解く
を選ぶと、交線の方向ベクトル (1, 1, 1) が得られ、交線の式
　x=m, y=m-9, z=m-8 (mは実数)
を得ます。
３点ＡＢＣで出来る平面上の点は
　(x,y,z)=(1,2,1)+sＡＢ/2＋tＡＣ/2
　　　=(1,2,1)+s(1,1,-2)+t(0,-1,1)
　　　=(s+1, s-t+2, -2s+t+1)
で表せるので、交線の式と連立させて、
　s+1=m, s-t+2=m-9, -2s+t+1=m-8
これらを連立させて解くと、
　s=6, t=10, m=7
これから得られる
　(7, -2, -1)
が求める中心の座標です。

No.49572 - 2018/04/02(Mon) 12:16:57

★ (No Subject) / よろしくおねがいします、

こんばんは。
数学3の質問です。
実数全体で定義された関数f(x)が第二次導関数f’’(x)を持つとする。
次のことを微分係数の考え方を利用して示せ。

(1) y=f(x)のグラフが直線x=aに関して対称であれば
f’(a)=0

(2) y=f(x)のグラフが点(a,f(a))に関して対称であればf’’(a)=0

よろしくおねがいします。

No.49561 - 2018/04/01(Sun) 23:27:13

☆ Re: / X

(1)
条件から
f(a-x)=f(a+x) (A)
∴微分係数の定義により
f'(a)=lim[h→0]{f(a+h)-f(a)}/h
=lim[h→0]{f(a+h)-f(a)+{f(a-h)-f(a+h)}}/h
((∵)(A)にx=hを代入してf(a-h)-f(a+h)=0)
=lim[h→0]{f(a-h)-f(a)}/h
=lim[h→0]-{f(a+(-h))-f(a)}/(-h)
=-f'(a)
となるので
2f'(a)=0
∴f'(a)=0

(2)
y=f(x)のグラフは点(a,f(a))に関して対称
⇒y=f'(x)のグラフは直線x=aに関して対称 (P)
が成立すれば、(1)の結果により問題の命題は
成立します。
ということで(P)を示します。

条件から点(a,f(a))は
点(a-x,f(a-x)),(a+x,f(a+x))
を結ぶ線分の中点ですので
{f(a-x)+f(a+x)}/2=f(a)
∴f(a-x)+f(a+x)=2f(a)
両辺xで微分して
-f'(a-x)+f'(a+x)=0
∴f'(a-x)=f'(a+x)
となるので(P)は成立します。

No.49565 - 2018/04/02(Mon) 05:19:38

★ (No Subject) / 極限

∀x,y∈Rにおいて、関数f(x)がつぎの条件を満たすとき、
f’(x)を求めよ。

f(x+y)=f(x)+f(y)+xy(x+y)
f(0)=0

よろしくおねがいします。

No.49560 - 2018/04/01(Sun) 23:04:32

☆ Re: / X

>>f(0)=0
を
f'(0)=0
のタイプミスとみて回答します。

f(x+y)=f(x)+f(y)+xy(x+y) (A)
f'(0)=0 (B)
とします。
導関数の定義により
f'(x)=lim[y→0]{f(x+y)-f(x)}/y
これに(A)を代入して
f'(x)=lim[y→0]{f(y)+xy(x+y)}/y
=lim[y→0]{f(y)/y+x(x+y)} (C)
ここで(A)にx=y=0を代入することにより
f(0)=0
∴(C)は
f'(x)=lim[y→0]{(f(y)-f(0))/y+x(x+y)}
=f'(0)+x^2
(B)を代入して
f'(x)=x^2
となります。

No.49564 - 2018/04/02(Mon) 04:52:16