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★ 不偏分散においてn-1で割る理由 / 高橋由伸
お世話になります。
統計に関する質問があります。小生は大学4年であります。

不偏分散を（平方和）/(n-1)というようにn-1で割る理由として、「自由度がn-1」だからというものを文献などで見かけます。根拠としては、平方和を求める際に平均値x(ave)を定義しますが、その平均値が束縛条件になっている、というものです。
これは正しいのでしょうか？？
データ数ｎ（x1、x2、・・・xn）の標本を考えると、これらは確率変数であり、それから定義される標本平均もまた確率変数になるため、自由度はnではないのか？？と小生は考えています。

また、この件に付随して、zを標準正規分布に従うとして、W=Σz^2=Σ｛x-x(ave)｝/σ^2とすると、x(ave)が束縛条件になるため、Wは自由度n-1のカイ二乗分布に従うと書かれた文献があります。しかし、x(ave)が確率変数であるため、Wの自由度はnではないのか？？と思います。

小生の考えに欠陥はありますでしょうか？？
よろしくお願いします。
No.49550 - 2018/04/01(Sun) 11:04:37
☆ Re: 不偏分散においてn-1で割る理由 / 黄桃
きちんとした数理統計学の教科書を読むことをお勧めします。
分布の平均（あるいは分散）と標本の平均（あるいは分散）の違いも明確ではないように思います。
特に、母平均が未知であるか既知であるかがはっきり区別できていないようです。

確率変数Xの平均をμ、分散をσ^2 とし、Xの大きさnに関する標本をX[1],...,X[n]とします。
標本平均X^-=(1/n)ΣX[i], 標本分散S^2=(1/n)Σ(X[i]-X^-)^2 です。

＃ご質問の文章からは x(ave)がμの意味なのかX^-の意味なのかわかりません。
＃流れ的には標本平均のように思えますが、x(ave)とは別に標本平均という言葉も出てきており、
＃よくわかりません。

不偏分散に関して言えば、E(S^2)を計算すれば、
(1/n)ΣE(Xi-μ)^2-E(X^- - μ)^2=σ^2-(1/n)σ^2=((n-1)/n)σ^2 (X^- -μは、平均0,分散σ^2/nの確率変数になります）
となり、E(X^- - μ)^2 由来の項、すなわち、標本平均の分布に関する項があるために、S^2では不偏推定量にならないのでした。
これを修正するために、n/(n-1)を S^2に乗じたもの、つまり、(1/(n-1))Σ(X[i]-X^-)^2が不偏分散と呼ばれるのでした。

これを評して「そもそも分散とは平均からの偏りという相対的な数値であるから平均を0にしても同じことであり、これはΣX[i]=0ということだから、自由度が1つ小さい」といっているのでしょう(n=1なら推定のしようがない方が当然です）。

なお、μが既知であれば、S^2の代わりに (1/n)Σ(X[i]-μ)^2 を使えば、これは不偏推定量になり自由度nのχ2乗分布になります。

両者を混同しているように見えます。

2番目も、おそらく、
(*)「Xが分散σ^2の正規分布に従う時(平均は未知)、それから抽出された大きさnの無作為標本による標本分散S^2を
S^2=(Σ(X[i]-X^-)^2)/n
とすれば、nS^2/σ^2 は自由度n-1のχ2乗分布に従う」
という類のことを誤解しているのではないでしょうか。

母平均μが既知なら、上で述べたようにσ^2の推定には、Σ(Xi-μ)^2/nを使えばよく、これは、自由度nのχ^2分布に従います。

(*)のようにμが未知なら不偏分散と同様で、標本分散の分布には、（元の分布の平均を推定するために）標本平均の分布がかかわってくるので、ここ由来の項により自由度が1つ減って自由度(n-1)のχ2乗分布になるのでした。
No.49556 - 2018/04/01(Sun) 18:52:55
☆ Re: 不偏分散においてn-1で割る理由 / 高橋由伸
返信ありがとうございます。
ここで述べていた平均は、x(ave)を含めて標本平均の意味で使っていました。母平均との区別が曖昧な表現になってしまいすいませんでした。

黄桃様の返信の一番最後の
【(*)のようにμが未知なら不偏分散と同様で、標本分散の分布には、（元の分布の平均を推定するために）標本平均の分布がかかわってくるので、ここ由来の項により自由度が1つ減って自由度(n-1)のχ2乗分布になるのでした。】
がいまいち理解できません。

例えば、X^−=Σxi/n＝（定数）となるのであれば、（連立方程式のように考えると）その式を用いてn個のxiの内から一つを消去できるため、自由度が1つ減るというのは理解できます。
しかし、X^−はあくまで確率変数であるため、X^−の式があっても、X^−という変数が新たに加わるため、あくまで自由度はnのままではないのか？という疑問を持っています。
もしくは、中心極限定理より「X^−は正規分布に従う」というのが束縛条件になっているのでしょうか？？しかし、その場合でも、nが小さい場合では「X^−は正規分布に従う」とは言えないので、納得できません。

よろしくお願いします。
No.49562 - 2018/04/02(Mon) 01:22:21
☆ Re: 不偏分散においてn-1で割る理由 / 黄桃
後半部分は、大分省略しています。掲示板で書くには長すぎます。S^2の分布についてちゃんとした教科書を（図書館などで）読んでください。

ポイントは、Xが正規分布であれば、S^2とX^-は独立に分布するので、nS^2/σ^2のモーメント母関数が、Σ(Xi-μ)^2/σのモーメント母関数を(X^- -μ)/(σ/√n))のモーメント母関数で割ったものと計算できることです（モーメント母関数を取る前は不偏分散と同様の式です）。

こうした背景から「自由度」と呼ぶとイメージが湧き、整合性も保てると考える人が多いのでこの呼称が一般的になったとお考え下さい。最初になんらかの「自由度」という概念があると思わない方がいいと思います。
No.49567 - 2018/04/02(Mon) 07:58:47
☆ Re: 不偏分散においてn-1で割る理由 / 黄桃
きちんとした数理統計学の教科書を読むことをお勧めします。
分布の平均（あるいは分散）と標本の平均（あるいは分散）の違いも明確ではないように思います。
特に、母平均が未知であるか既知であるかがはっきり区別できていないようです。

確率変数Xの平均をμ、分散をσ^2 とし、Xの大きさnに関する標本をX[1],...,X[n]とします。
標本平均X^-=(1/n)ΣX[i], 標本分散S^2=(1/n)Σ(X[i]-X^-)^2 です。

＃ご質問の文章からは x(ave)がμの意味なのかX^-の意味なのかわかりません。
＃流れ的には標本平均のように思えますが、x(ave)とは別に標本平均という言葉も出てきており、
＃よくわかりません。

不偏分散に関して言えば、E(S^2)を計算すれば、
(1/n)ΣE(Xi-μ)^2-E(X^- - μ)^2=σ^2-(1/n)σ^2=((n-1)/n)σ^2 (X^- -μは、平均0,分散σ^2/nの確率変数になります）
となり、E(X^- - μ)^2 由来の項、すなわち、標本平均の分布に関する項があるために、S^2では不偏推定量にならないのでした。
これを修正するために、n/(n-1)を S^2に乗じたもの、つまり、(1/(n-1))Σ(X[i]-X^-)^2が不偏分散と呼ばれるのでした。

これを評して「そもそも分散とは平均からの偏りという相対的な数値であるから平均を0にしても同じことであり、これはΣX[i]=0ということだから、自由度が1つ小さい」といっているのでしょう(n=1なら推定のしようがない方が当然です）。

なお、μが既知であれば、S^2の代わりに (1/n)Σ(X[i]-μ)^2 を使えば、これは不偏推定量になり自由度nのχ2乗分布になります。

両者を混同しているように見えます。

2番目も、おそらく、
(*)「Xが分散σ^2の正規分布に従う時(平均は未知)、それから抽出された大きさnの無作為標本による標本分散S^2を
S^2=(Σ(X[i]-X^-)^2)/n
とすれば、nS^2/σ^2 は自由度n-1のχ2乗分布に従う」
という類のことを誤解しているのではないでしょうか。

母平均μが既知なら、上で述べたようにσ^2の推定には、Σ(Xi-μ)^2/nを使えばよく、これは、自由度nのχ^2分布に従います。

(*)のようにμが未知なら不偏分散と同様で、標本分散の分布には、（元の分布の平均を推定するために）標本平均の分布がかかわってくるので、ここ由来の項により自由度が1つ減って自由度(n-1)のχ2乗分布になるのでした。
No.49556 - 2018/04/01(Sun) 18:52:55
☆ Re: 不偏分散においてn-1で割る理由 / 高橋由伸
返信ありがとうございます。
ここで述べていた平均は、x(ave)を含めて標本平均の意味で使っていました。母平均との区別が曖昧な表現になってしまいすいませんでした。

黄桃様の返信の一番最後の
【(*)のようにμが未知なら不偏分散と同様で、標本分散の分布には、（元の分布の平均を推定するために）標本平均の分布がかかわってくるので、ここ由来の項により自由度が1つ減って自由度(n-1)のχ2乗分布になるのでした。】
がいまいち理解できません。

例えば、X^−=Σxi/n＝（定数）となるのであれば、（連立方程式のように考えると）その式を用いてn個のxiの内から一つを消去できるため、自由度が1つ減るというのは理解できます。
しかし、X^−はあくまで確率変数であるため、X^−の式があっても、X^−という変数が新たに加わるため、あくまで自由度はnのままではないのか？という疑問を持っています。
もしくは、中心極限定理より「X^−は正規分布に従う」というのが束縛条件になっているのでしょうか？？しかし、その場合でも、nが小さい場合では「X^−は正規分布に従う」とは言えないので、納得できません。

よろしくお願いします。
No.49562 - 2018/04/02(Mon) 01:22:21
☆ Re: 不偏分散においてn-1で割る理由 / 黄桃
後半部分は、大分省略しています。掲示板で書くには長すぎます。S^2の分布についてちゃんとした教科書を（図書館などで）読んでください。

ポイントは、Xが正規分布であれば、S^2とX^-は独立に分布するので、nS^2/σ^2のモーメント母関数が、Σ(Xi-μ)^2/σのモーメント母関数を(X^- -μ)/(σ/√n))のモーメント母関数で割ったものと計算できることです（モーメント母関数を取る前は不偏分散と同様の式です）。

こうした背景から「自由度」と呼ぶとイメージが湧き、整合性も保てると考える人が多いのでこの呼称が一般的になったとお考え下さい。最初になんらかの「自由度」という概念があると思わない方がいいと思います。
No.49567 - 2018/04/02(Mon) 07:58:47
★ 不偏分散においてn-1で割る理由 / 高橋由伸
お世話になります。
統計に関する質問があります。小生は大学4年であります。

不偏分散を（平方和）/(n-1)というようにn-1で割る理由として、「自由度がn-1」だからというものを文献などで見かけます。根拠としては、平方和を求める際に平均値x(ave)を定義しますが、その平均値が束縛条件になっている、というものです。
これは正しいのでしょうか？？
データ数ｎ（x1、x2、・・・xn）の標本を考えると、これらは確率変数であり、それから定義される標本平均もまた確率変数になるため、自由度はnではないのか？？と小生は考えています。

また、この件に付随して、zを標準正規分布に従うとして、W=Σz^2=Σ｛x-x(ave)｝/σ^2とすると、x(ave)が束縛条件になるため、Wは自由度n-1のカイ二乗分布に従うと書かれた文献があります。しかし、x(ave)が確率変数であるため、Wの自由度はnではないのか？？と思います。

小生の考えに欠陥はありますでしょうか？？
よろしくお願いします。
No.49550 - 2018/04/01(Sun) 11:04:37
☆ Re: 不偏分散においてn-1で割る理由 / 黄桃
きちんとした数理統計学の教科書を読むことをお勧めします。
分布の平均（あるいは分散）と標本の平均（あるいは分散）の違いも明確ではないように思います。
特に、母平均が未知であるか既知であるかがはっきり区別できていないようです。

確率変数Xの平均をμ、分散をσ^2 とし、Xの大きさnに関する標本をX[1],...,X[n]とします。
標本平均X^-=(1/n)ΣX[i], 標本分散S^2=(1/n)Σ(X[i]-X^-)^2 です。

＃ご質問の文章からは x(ave)がμの意味なのかX^-の意味なのかわかりません。
＃流れ的には標本平均のように思えますが、x(ave)とは別に標本平均という言葉も出てきており、
＃よくわかりません。

不偏分散に関して言えば、E(S^2)を計算すれば、
(1/n)ΣE(Xi-μ)^2-E(X^- - μ)^2=σ^2-(1/n)σ^2=((n-1)/n)σ^2 (X^- -μは、平均0,分散σ^2/nの確率変数になります）
となり、E(X^- - μ)^2 由来の項、すなわち、標本平均の分布に関する項があるために、S^2では不偏推定量にならないのでした。
これを修正するために、n/(n-1)を S^2に乗じたもの、つまり、(1/(n-1))Σ(X[i]-X^-)^2が不偏分散と呼ばれるのでした。

これを評して「そもそも分散とは平均からの偏りという相対的な数値であるから平均を0にしても同じことであり、これはΣX[i]=0ということだから、自由度が1つ小さい」といっているのでしょう(n=1なら推定のしようがない方が当然です）。

なお、μが既知であれば、S^2の代わりに (1/n)Σ(X[i]-μ)^2 を使えば、これは不偏推定量になり自由度nのχ2乗分布になります。

両者を混同しているように見えます。

2番目も、おそらく、
(*)「Xが分散σ^2の正規分布に従う時(平均は未知)、それから抽出された大きさnの無作為標本による標本分散S^2を
S^2=(Σ(X[i]-X^-)^2)/n
とすれば、nS^2/σ^2 は自由度n-1のχ2乗分布に従う」
という類のことを誤解しているのではないでしょうか。

母平均μが既知なら、上で述べたようにσ^2の推定には、Σ(Xi-μ)^2/nを使えばよく、これは、自由度nのχ^2分布に従います。

(*)のようにμが未知なら不偏分散と同様で、標本分散の分布には、（元の分布の平均を推定するために）標本平均の分布がかかわってくるので、ここ由来の項により自由度が1つ減って自由度(n-1)のχ2乗分布になるのでした。
No.49556 - 2018/04/01(Sun) 18:52:55
☆ Re: 不偏分散においてn-1で割る理由 / 高橋由伸
返信ありがとうございます。
ここで述べていた平均は、x(ave)を含めて標本平均の意味で使っていました。母平均との区別が曖昧な表現になってしまいすいませんでした。

黄桃様の返信の一番最後の
【(*)のようにμが未知なら不偏分散と同様で、標本分散の分布には、（元の分布の平均を推定するために）標本平均の分布がかかわってくるので、ここ由来の項により自由度が1つ減って自由度(n-1)のχ2乗分布になるのでした。】
がいまいち理解できません。

例えば、X^−=Σxi/n＝（定数）となるのであれば、（連立方程式のように考えると）その式を用いてn個のxiの内から一つを消去できるため、自由度が1つ減るというのは理解できます。
しかし、X^−はあくまで確率変数であるため、X^−の式があっても、X^−という変数が新たに加わるため、あくまで自由度はnのままではないのか？という疑問を持っています。
もしくは、中心極限定理より「X^−は正規分布に従う」というのが束縛条件になっているのでしょうか？？しかし、その場合でも、nが小さい場合では「X^−は正規分布に従う」とは言えないので、納得できません。

よろしくお願いします。
No.49562 - 2018/04/02(Mon) 01:22:21
☆ Re: 不偏分散においてn-1で割る理由 / 黄桃
後半部分は、大分省略しています。掲示板で書くには長すぎます。S^2の分布についてちゃんとした教科書を（図書館などで）読んでください。

ポイントは、Xが正規分布であれば、S^2とX^-は独立に分布するので、nS^2/σ^2のモーメント母関数が、Σ(Xi-μ)^2/σのモーメント母関数を(X^- -μ)/(σ/√n))のモーメント母関数で割ったものと計算できることです（モーメント母関数を取る前は不偏分散と同様の式です）。

こうした背景から「自由度」と呼ぶとイメージが湧き、整合性も保てると考える人が多いのでこの呼称が一般的になったとお考え下さい。最初になんらかの「自由度」という概念があると思わない方がいいと思います。
No.49567 - 2018/04/02(Mon) 07:58:47
☆ Re: 不偏分散においてn-1で割る理由 / 黄桃
きちんとした数理統計学の教科書を読むことをお勧めします。
分布の平均（あるいは分散）と標本の平均（あるいは分散）の違いも明確ではないように思います。
特に、母平均が未知であるか既知であるかがはっきり区別できていないようです。

確率変数Xの平均をμ、分散をσ^2 とし、Xの大きさnに関する標本をX[1],...,X[n]とします。
標本平均X^-=(1/n)ΣX[i], 標本分散S^2=(1/n)Σ(X[i]-X^-)^2 です。

＃ご質問の文章からは x(ave)がμの意味なのかX^-の意味なのかわかりません。
＃流れ的には標本平均のように思えますが、x(ave)とは別に標本平均という言葉も出てきており、
＃よくわかりません。

不偏分散に関して言えば、E(S^2)を計算すれば、
(1/n)ΣE(Xi-μ)^2-E(X^- - μ)^2=σ^2-(1/n)σ^2=((n-1)/n)σ^2 (X^- -μは、平均0,分散σ^2/nの確率変数になります）
となり、E(X^- - μ)^2 由来の項、すなわち、標本平均の分布に関する項があるために、S^2では不偏推定量にならないのでした。
これを修正するために、n/(n-1)を S^2に乗じたもの、つまり、(1/(n-1))Σ(X[i]-X^-)^2が不偏分散と呼ばれるのでした。

これを評して「そもそも分散とは平均からの偏りという相対的な数値であるから平均を0にしても同じことであり、これはΣX[i]=0ということだから、自由度が1つ小さい」といっているのでしょう(n=1なら推定のしようがない方が当然です）。

なお、μが既知であれば、S^2の代わりに (1/n)Σ(X[i]-μ)^2 を使えば、これは不偏推定量になり自由度nのχ2乗分布になります。

両者を混同しているように見えます。

2番目も、おそらく、
(*)「Xが分散σ^2の正規分布に従う時(平均は未知)、それから抽出された大きさnの無作為標本による標本分散S^2を
S^2=(Σ(X[i]-X^-)^2)/n
とすれば、nS^2/σ^2 は自由度n-1のχ2乗分布に従う」
という類のことを誤解しているのではないでしょうか。

母平均μが既知なら、上で述べたようにσ^2の推定には、Σ(Xi-μ)^2/nを使えばよく、これは、自由度nのχ^2分布に従います。

(*)のようにμが未知なら不偏分散と同様で、標本分散の分布には、（元の分布の平均を推定するために）標本平均の分布がかかわってくるので、ここ由来の項により自由度が1つ減って自由度(n-1)のχ2乗分布になるのでした。
No.49556 - 2018/04/01(Sun) 18:52:55
☆ Re: 不偏分散においてn-1で割る理由 / 高橋由伸
返信ありがとうございます。
ここで述べていた平均は、x(ave)を含めて標本平均の意味で使っていました。母平均との区別が曖昧な表現になってしまいすいませんでした。

黄桃様の返信の一番最後の
【(*)のようにμが未知なら不偏分散と同様で、標本分散の分布には、（元の分布の平均を推定するために）標本平均の分布がかかわってくるので、ここ由来の項により自由度が1つ減って自由度(n-1)のχ2乗分布になるのでした。】
がいまいち理解できません。

例えば、X^−=Σxi/n＝（定数）となるのであれば、（連立方程式のように考えると）その式を用いてn個のxiの内から一つを消去できるため、自由度が1つ減るというのは理解できます。
しかし、X^−はあくまで確率変数であるため、X^−の式があっても、X^−という変数が新たに加わるため、あくまで自由度はnのままではないのか？という疑問を持っています。
もしくは、中心極限定理より「X^−は正規分布に従う」というのが束縛条件になっているのでしょうか？？しかし、その場合でも、nが小さい場合では「X^−は正規分布に従う」とは言えないので、納得できません。

よろしくお願いします。
No.49562 - 2018/04/02(Mon) 01:22:21
☆ Re: 不偏分散においてn-1で割る理由 / 黄桃
後半部分は、大分省略しています。掲示板で書くには長すぎます。S^2の分布についてちゃんとした教科書を（図書館などで）読んでください。

ポイントは、Xが正規分布であれば、S^2とX^-は独立に分布するので、nS^2/σ^2のモーメント母関数が、Σ(Xi-μ)^2/σのモーメント母関数を(X^- -μ)/(σ/√n))のモーメント母関数で割ったものと計算できることです（モーメント母関数を取る前は不偏分散と同様の式です）。

こうした背景から「自由度」と呼ぶとイメージが湧き、整合性も保てると考える人が多いのでこの呼称が一般的になったとお考え下さい。最初になんらかの「自由度」という概念があると思わない方がいいと思います。
No.49567 - 2018/04/02(Mon) 07:58:47
★ 軌跡逆の吟味 / 荒生
軌跡の逆の吟味が必要なのはわかりますが、実際に逆が成り立たない例を教えてください。
No.49548 - 2018/03/31(Sat) 23:58:40
★ 軌跡 / 荒生
軌跡を求める手順で、逆の吟味を省略できる場合でそれが明らかな場合というのがあるのですが、どのような時に明らかと言えるのかわかりません。
No.49546 - 2018/03/31(Sat) 23:55:35
☆ Re: 軌跡 / らすかる
軌跡に限らず、途中で同値変形でない変形を行った場合は逆の吟味が必要で、
すべて同値変形である場合は不要です。
「同値変形でない変形」とは逆が成り立つとは限らない変形のことで、
例えば「両辺を2乗」という操作がこれにあたります。
No.49549 - 2018/04/01(Sun) 03:03:56
★ 極限 / 柳生
数列{a[n]}と数列{s[n]}をそれぞれ以下のように定める。
a[1]＝1, a[n+1]＝a[n]+1/(2a[n])
s[n]＝Σ[k＝1〜n]{1/(a[k])²}
このとき、数列{s[n]}の極限を調べなさい。

解説をお願いします。
No.49539 - 2018/03/31(Sat) 18:43:22
☆ Re: 極限 / RYO
{s[n]}は(非常にゆっくりと)正の無限大に発散します。
以下、このことを背理法で示します。


[前提?T]
条件より、{a[n]}と{s[n]}はどちらも常に正の値をとる。…?@

[前提?U]
　a[n+1]＝a[n]+1/(2a[n])
⇔(a[n+1])^2＝(a[n])^2+1+1/{4(a[n])^2} (∵?@)
⇔(a[n+1])^2-(a[n])^2＝1+1/{4(a[n])^2}
よって、
　(a[n+1])^2
＝{(a[n+1])^2-(a[n])^2}+{(a[n])^2-(a[n-1])^2}+…+{(a[2])^2-(a[1])^2}+(a[1])^2
＝[1+1/{4(a[n])^2}]+[1+1/{4(a[n-1])^2}]+…+[1+1/{4(a[1])^2}]+1
＝n+(1/4)[{1/(a[1])^2}+{1/(a[2])^2}+…+{1/(a[n])^2}]+1
＝n+(s[n])/4+1　…?A

[証明]
n→∞のとき{s[n]}が(有限の値に)収束すると仮定すると、任意の自然数nに対して
　(a[n])^2
＝n+(s[n-1])/4 (∵?A)
≦n+m
が成立するような自然数mが存在する。
このとき、
　s[n]
＝Σ[k＝1〜n]{1/(a[k])^2}
≧Σ[k＝1〜n]{1/(k+m)}
＝Σ[k＝1〜n+m](1/k)-Σ[k＝1〜m](1/k) …?B
ここで、n→∞のときΣ[k＝1〜n+m](1/k)は正の無限大に発散する([参考])ので、(?Bの右辺)は正の無限大に発散する。
よって、追い出しの原理により{s[n]}も正の無限大に発散することになるが、これは仮定に矛盾する。
したがって、{s[n]}は発散する。

以上より、?@と合わせて{s[n]}は正の無限大に発散することが示された。
No.49541 - 2018/03/31(Sat) 19:40:06
☆ Re: 極限 / らすかる
a[n]は増加数列なのでa[n]≧1、よって
(a[n+1])^2=(a[n])^2+1/(4(a[n])^2)+1＜(a[n])^2+2
が成り立つので(a[n])^2＜2n
従って
lim[n→∞]Σ[k=1〜n]{1/(a[k])^2}
＞lim[n→∞]Σ[k=1〜n]{1/(2k)}
→+∞
No.49542 - 2018/03/31(Sat) 19:48:11
☆ Re: 極限 / 柳生
>>RYOさん
丁寧な解説をありがとうございます！
自力でこの方針を思いつける自信はありませんが、ひとまず理解はできたと思います(^^)

>>らすかるさん
回答ありがとうございます！
とてもシンプルで魅力的な解法なのですが、
>(a[n+1])^2=(a[n])^2+1/(4(a[n])^2)+1＜(a[n])^2+2
>が成り立つので(a[n])^2＜2n
の部分が理解できません。
もう少し分かりやすく(かみくだいて)説明していただけませんか？
No.49543 - 2018/03/31(Sat) 20:29:53
☆ Re: 極限 / らすかる
(a[1])^2=1＜2
(a[n+1])^2＜(a[n])^2+2 すなわち (a[n+1])^2-(a[n])^2＜2 なので
n≧2のとき (a[n])^2=(a[1])^2+Σ[k=2〜n]{(a[k])^2-(a[k-1])^2}＜2+Σ[k=2〜n]2=2n
となりますね。
No.49544 - 2018/03/31(Sat) 20:37:08
☆ Re: 極限 / 柳生
>>らすかるさん
なるほど〜
解説ありがとうございました！
No.49547 - 2018/03/31(Sat) 23:55:38
★ 図形の問題 / 数学不得意
（２）（３）図形が苦手で解りません。解説よろしくお願いします。
No.49533 - 2018/03/31(Sat) 13:37:48
☆ Re: 図形の問題 / 数学不得意
答えです。
No.49534 - 2018/03/31(Sat) 13:39:41
☆ Re: 図形の問題 / ヨッシー
(2)
(ア)立方体から球を引くだけなので省略
(イ)12cmをｘ等分するだけなので省略
(ウ)半径 6/x の球がｘ^3個あるので、１個の球の体積は
　288π/ｘ^3　cm^3
全部の球の体積は　288π/ｘ^3×ｘ^3＝288π
　(以下略)
(あ)
(ア)と(ウ)が同じなので　イ：間違っており
(い) エ：・・・変わらない

(3)
平面図と正面図および正面図を45°回転した方向から見た図は以下の通り
（ただし、球Ｂは１段にしてある）

図の△ＡＢＣにおける三平方の定理より
　ＡＢ＝3√7
これに、球Ａの半径と球Ｂの半径と球Ｂの直径を足して
　6+3+6＋3√7＝15＋3√7
No.49545 - 2018/03/31(Sat) 23:50:01
☆ Re: 図形の問題 / 数学不得意
(3)解説ありがとうございました。
No.49557 - 2018/04/01(Sun) 19:34:35
★ 中3範囲。 図形の問題です。 / 蘭
いつもお世話になっております。
また全然わからない問題に出会ってしまいました。

この問題です。

解けそうで解けないです。

答えも知らないです。

いつも協力ありがとうございます！
回答よろしくお願いします。


.
No.49529 - 2018/03/31(Sat) 09:16:51
☆ Re: 中3範囲。 図形の問題です。 / らすかる
△APR=(7/13)(9/11)△ABC=(63/143)△ABC
△BQP=(6/13)(1/2)△ABC=(3/13)△ABC
△CRQ=(2/11)(1/2)△ABC=(1/11)△ABC
なので
△PQR=△ABC-△APR-△BQP-△CRQ
=△ABC-(63/143)△ABC-(3/13)△ABC-(1/11)△ABC
=(34/143)△ABC
よって正方形PQRS=(68/143)△ABCなので、
正方形の一辺をxとすると△ABC=(143/68)x^2

△BQP=(3/13)△ABC=(33/68)x^2
BからPQに垂線BHを下ろすと
BH=△BQP×2÷PQ=(33/34)x

P,A,RからBCに垂線PD,AE,RFを下ろすと
PD=(6/13)AE, RF=(2/11)AEなので
PD：RF=6/13：2/11=33：13
△PDQ≡△QFRからQD=RFなのでPD：QD=33：13
△BHQ∽△PDQからBH：QH=PD：QD=33：13なのでQH=(13/33)BH=(13/34)x
よってPH=PQ-QH=x-(13/34)x=(21/34)x
BH^2+PH^2=BP^2にBH=(33/34)x,PH=(21/34)x,BP=6を代入して
{(33/34)^2+(21/34)^2}x^2=36
∴x^2=36/{(33/34)^2+(21/34)^2}=136/5
No.49535 - 2018/03/31(Sat) 13:48:08
☆ Re: 中3範囲。 図形の問題です。 / 蘭
なんと………
えげつない答えなんでしょう笑笑



本当にありがとうございます！！！

いつもお世話になり、ほんとうに感謝しています！
またよろしくお願いします。


.
No.49536 - 2018/03/31(Sat) 15:00:46
☆ Re: 中3範囲。 図形の問題です。 / らすかる
計算間違いがありましたので、元の書き込みを修正しました。
問題文を検索すると、もっと簡潔な解き方が見つかります。
No.49538 - 2018/03/31(Sat) 15:17:52
★ (No Subject) / 元中三
変化の割合についてまとめてみたのですが、(2)の反比例のグラフの変化の割合は正しいですか？
No.49527 - 2018/03/31(Sat) 09:08:04
☆ Re: 完璧です。 / 蘭


見たらわかります。完璧です。

何も問題ありません。


.
No.49528 - 2018/03/31(Sat) 09:13:52
☆ Re: / 元中三
ありがとうございます
中学校では反比例のグラフの変化の割合は学習しなかったので質問させていただきました
No.49531 - 2018/03/31(Sat) 09:29:19
★ 何個もごめんなさい / こういち
a*2-ac-ab+bcが、(a-b)(a-c)になる、考え方を教えてください。公式はありますか？
No.49522 - 2018/03/30(Fri) 23:53:55
☆ Re: 何個もごめんなさい / 鶏
まず関係ないですが「*」は「×」を意味します。累乗の場合は「^」を使います。
a*2-ac-ab+bcをa^2-ac-ab+bcと解釈してお答えします。

多文字の因数分解は、次数の一番少ない文字について整理するといいです。
次数の一番少ない文字が複数ある場合はそのどちらかについて整理します。
今回はaの2次式、bの1次式、cの1次式なのでbについて整理すると
a^2-ac-ab+bc=b(c-a)+a^2-ac
となります。するとbの含まれない項がaでさらにくくれるので
b(c-a)+a^2-ac=b(c-a)+a(a-c)
ここで、c-aは-(a-c)とできるので
b(c-a)+a(a-c)=-b(a-c)+a(a-c)
これで共通因数a-cが出てきたのでさらにくくって
-b(a-c)+a(a-c)=(a-b)(a-c)
となります。

問題になるような多文字の因数分解はたいていこんな感じで低い次数の文字について整理すると解けるので、教科書にあるもの以外は特別に公式を覚える必要はないと思っています。
No.49525 - 2018/03/31(Sat) 00:44:46
★ (No Subject) / こういち
2x*2-3xy-2y*2+3y-1
は、どうなるのですか？
歯が立たない
No.49520 - 2018/03/30(Fri) 23:32:19
☆ Re: / こういち
(2x-y+1)(x-2y+1)
になるのですが、違いますよね
No.49521 - 2018/03/30(Fri) 23:37:55
☆ Re: / らすかる
2x^2-3xy-2y^2+3y-1 はどうにもなりません（因数分解できません）。
2x^2-3xy-2y^2+x+3y-1 ならば (2x+y-1)(x-2y+1) となります。
No.49526 - 2018/03/31(Sat) 06:02:08
★ 何回もすみません / 高1
[x-y]^2+4[x-y]-45
を因数分解する方法を教えてください。
No.49519 - 2018/03/30(Fri) 21:37:32
☆ Re: 何回もすみません / mo
[x−y]^2＋4[x−y]−45

●[xーy]＝Ａとおいて
Ａ^2＋4Ａ−45

●Ａについて因数分解し
(Ａ＋9)(Ａー5})

●Ａ＝[x−y]と戻して
([x＋y]＋9)([x＋y]−5)

●(　)の中を整理して
(x＋y＋9)(x＋y−5)
No.49524 - 2018/03/31(Sat) 00:21:14
★ 数学 / 高1
（x-2y）（ｘ−２ｙ＋５）＋６
の因数分解の途中で、
（ｘ−２ｙ）＾２＋５（ｘ−２ｙ）＋６
になるのですが、なんでか教えていただけますか？
No.49515 - 2018/03/30(Fri) 20:42:08
☆ Re: 数学 / 元中三
下のようになります。
因数分解の公式が使える形に変形させているだけです。
No.49517 - 2018/03/30(Fri) 20:47:33
☆ Re: 数学 / 高1
なるほど!
同い年として尊敬します。
No.49518 - 2018/03/30(Fri) 21:04:28
★ わかりません / みな
よろしくお願いします
No.49513 - 2018/03/30(Fri) 20:12:57
☆ Re: わかりません / 元中三
解ける問題だけですが...
No.49530 - 2018/03/31(Sat) 09:26:24
★ 表とグラフがわかりません / みな
(1)y=3・2^2x-2の表を作成しグラフを完成させなさい
(2)y=log₂xとy=2^xのグラフを書きなさい

よろしくお願いします
No.49511 - 2018/03/30(Fri) 19:54:27
★ (No Subject) / 元中三
sin3°,cos3°,tan3°の値は次で正しいでしょうか？
tan3°に関しては有理化を諦めたのですが、tanの加法定理を使えばできるのでしょうか？
No.49510 - 2018/03/30(Fri) 19:49:43
☆ Re: / らすかる
正しいです。整理すると
sin3°= (-2√(15+3√5)+2√(5+√5)+√30+√10-√6-√2)/16
cos3°= (2√(15+3√5)+2√(5+√5)+√30-√10-√6+√2)/16
tan3°= (2√(15+6√5)-√(50+22√5)-√15+2√5-3√3+4)/2
となります。
有理化は、根気よくやればできます。
↓参考（私のサイトです）
http://www10.plala.or.jp/rascalhp/math.htm
# この表のtanxの値はsinx/cosxを地道に有理化して求めました。
No.49512 - 2018/03/30(Fri) 20:11:50
☆ Re: / 元中三
ありがとうございます！
計算が大変で有理化は諦めてしまいましたが、きちんとできるんですね！らすかるさんのサイトも参考にさせていただきます。
No.49516 - 2018/03/30(Fri) 20:44:04
★ 数1 / 数1
問1 a
x,yを共に0以上の整数とするとき、方程式35x+19y=2135を満たす(x,y)の組は全部でいくつあるか
問1 b
その中でxの値が最小となるのはx＝いくつのときか

問2a
x.yともに100以下の自然数とするとき、方程式35x-19y=1を満たす
(x,y)の組みは全部でいくつあるか？

問2 b
その中でxの値が最大となるのはxがいくつのときか？

よろしくおねがいします。
解説があると嬉しいです、
No.49505 - 2018/03/30(Fri) 18:41:24
☆ Re: 数1 / らすかる
問1
2135は35で割り切れて2135÷35=61なので、(x,y)=(61,0)が一つの解です。
35と19は互いに素なので、
xから19を引いてyに35を足せば次の解が求められます。
よって解は(x,y)=(61,0),(42,35),(23,70),(4,105)の4つで
最小のxは4です。

問2
35×6=210、19×11=209なので、(x,y)=(6,11)が一つの解です。
35と19は互いに素なので、
xに19を足してyに35を足せば次の解が求められます。
よって解は(x,y)=(6,11),(25,46),(44,81)の3つで、
最大のxは44です。
No.49506 - 2018/03/30(Fri) 18:54:30
☆ Re: 数1 / 数1
回答ありがとうございます。
35と19は互いに素なので、
xから19を引いてyに35を足せば次の解が求められます。
とありますが、
なぜそんなことができるのでしょうか？

そこをもう少し詳しく教えていただけませんか？
No.49507 - 2018/03/30(Fri) 18:58:07
☆ Re: 数1 / らすかる
35×61+19×0=2135
このx=61を小さくしていってyを大きくしていけば全解が求められますね。
xを1小さくすると、左辺が35少なくなります。
このときyは35/19大きくすれば合計が2135になりますね。
xを2小さくすると、yは35/19×2大きくする必要があり、
xを3小さくすると、yは35/19×3大きくする必要があり、
・・・
と考えると、35/19×○が初めて整数になるのは
（35と19が互いに素なので）○=19のときです。
つまりxを19小さくしたときにyを35/19×19=35大きくすれば成り立ち、
その途中（xを1〜18小さくしたとき）では35/19×○が整数になりませんので
xを19小さくしてyを35大きくした解が「次の解」（最も近い別の解）となりますね。
No.49509 - 2018/03/30(Fri) 19:17:58
★ わかんない… / 高1
x^2-4xy+5xをこうべきの順に整理したとき
x（ｘ−４ｙ+5）にはならないのはなんでですか？
No.49499 - 2018/03/30(Fri) 13:37:45
☆ Re: わかんない… / mo
●降べきの順…次数の高い順です

x(x−4y＋5)
★これは、xでくくったことになります
No.49501 - 2018/03/30(Fri) 16:17:06
☆ Re: わかんない… / 高1
同類項でくくるとき、因数分解のときなど、
どういうまとめ方にするか迷うことが多々あるのですが、
どう見分ければいいんですか？
No.49504 - 2018/03/30(Fri) 18:35:10
☆ Re: わかんない… / 元中三
私も新高1で間違った説明かもしれませんが...

降べきの順に整理することで複雑な因数分解も出来るようになります。(公式が使える形にするということです。)

降べきの順では、着目した文字について次数の高い順に整理します。
私の高校では予習してきなさいということで課題を出されましたが、まだ習っていないなら入学後、高校の数学の先生に教えてもらうのが１番です。
No.49508 - 2018/03/30(Fri) 19:12:47
☆ Re: わかんない… / 高1
すごいです…
No.49514 - 2018/03/30(Fri) 20:22:05
★ (No Subject) / 高1
5x^3-3x^2y^3+y^4-8

ｘについては何次式でその場合の定数項の考え方を教えていただけますか？

-3x^2y^3とかとくにわからないです。
No.49498 - 2018/03/30(Fri) 13:33:31
☆ Re: / mo
5x^3−3(x^2)(y^3)＋y^4−8
項は、5x^3，−3(x^2)(y^3)，y^4，−8　の４つ
●「xについて」と問われたとき、
xを含む項
　5x^3…xについて[3次]
　−3(x^2)y^3)…xについて[2次](yは無視)
xを含まない項[つまり定数項]
　y^2　と　−8･･･まとめて、定数項[y^2−8]
式の次数(最大次数)と定数項
　xについて[3次式]で、定数項[y^2−8]
No.49500 - 2018/03/30(Fri) 16:12:15
☆ Re: / 高1
３次式、が答えなのですね!

あと、すみません、ｙ＾２がわからないです。
No.49503 - 2018/03/30(Fri) 16:33:38
☆ Re: / mo
失礼しました。
[y^2]でなく、[y^4]でしたね。

●訂正します
式の次数(最大次数)と定数項
　xについて[3次式]で、定数項[y^4−8]

混乱させてしまいすみませんでした。
No.49523 - 2018/03/31(Sat) 00:15:49
★ (No Subject) / lassi
四角9の2番がわかりません
三角形の重心となっているHがよくわからず
BHの求め方がわかりません
そこを詳しくお願いします。
No.49496 - 2018/03/29(Thu) 22:03:28
☆ Re: / ヨッシー
Ｈが△ＡＢＣの重心であることは納得されているわけですね？

ＡＢの中点をＤとすると、ＣＤは△ＡＢＣの中線となっており、
点ＨはＣＤ上にあります。
また、(1) のときに、ＣＤの長さは求まっているはずです。

重心の性質
　ＣＨ：ＤＨ＝２：１
を利用すれば、ＣＨの長さが出て、
△ＯＨＣにおける三平方の定理を使えば、ＯＨが出ます。
No.49497 - 2018/03/29(Thu) 23:56:15
☆ Re: / lassi
ありがとうございます！
No.49502 - 2018/03/30(Fri) 16:30:05
★ (No Subject) / つかポン
3番と4番おねがいします
No.49486 - 2018/03/28(Wed) 18:18:15
☆ Re: 無題 / ヨッシー
３
1)
点Ａと点Ｂの座標を求める。
２点Ａ，Ｂを通る直線の式を求める。
2)
点Ｃ(6,0)、点Ｄ(-3,0) とし、
台形ＡＢＣＤの面積から△ＢＣＯと△ＡＤＯの面積を引く。
3)
ＯＢの中点をＥとし、点Ｅの座標を求める。
２点Ａ，Ｅを通る直線の式を求める。
4)
点Ｏを通って、直線ｌに平行な直線と、放物線ｙ＝(2/3)ｘ^2 との交点を求める。

４は、図と問題文が欠けているため、回答できません。
No.49487 - 2018/03/28(Wed) 18:40:54
☆ Re: / つかポン
すいません大きい3番の3番と4番の事を
言っていました。本当にすいません。写真にも無駄に
他の問題が入ってしまい、誤解させていました
本当にすいません。教えていただいてありがとう
ございます。わかりやすかったです！
No.49492 - 2018/03/28(Wed) 21:22:58
☆ Re: / つかポン
ありがとうございます！
すいません写真によ
計な問題が写ってしまいました。すいません
No.49495 - 2018/03/29(Thu) 21:58:43
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