ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / ∞

次の与えられた微分方程式がhomogeneous(同次形？)であるかどうかを判断し、もしそうならばそれらを解きなさい。
y´=(x^2＋y^2)/(2xy)
ちなみに答えはy^2=x^2-kxとなるんですが、同次形かどうかってどうやって判断するんでしょうか？授業でやったのかもしれませんが、忘れてしまいました。ご教授願いますも

No.50410 - 2018/05/16(Wed) 00:46:40

☆ Re: / ∞

あと、答えがy^2=x^2＋kxとなってしまいます。

No.50416 - 2018/05/16(Wed) 15:58:02

☆ Re: / ヨッシー

分子分母が、純粋な２次式（１次や定数項がない）であるので、
見るからに同次系です。
u＝y/x とおいて、u だけの式になれば同次系です。

さて、
　y^2=x^2＋kx
までの、過程を書いてもらえますか？

というか、最終的には、ｋは任意の定数になるので、符号は
どちらでも良いはず。

No.50417 - 2018/05/16(Wed) 16:52:48

☆ Re: / ∞

y´=(x^2+y^2)/(2xy)=1+(y/x)^2/2(y/x)
と変形できるから
y/x=uとおくと
dy/dx=u+x(du/dx)により
2u/(u^2－1)du=－dx/x

∫2u/(u^2－1)du=－∫dx/x
(u^2－1)'=2uだから
log|u^2－1|=－log|x|+A
log|u^2－1|+log|x|=A
log|(u^2－1)x|=A=loge^A
|(u^2－1)x|=e^A=Bとおく
(u^2－1)x=±B=kとおく
元のyに戻すと
{(y^x)2－1}x=k
(y^2－x^2)x=kx^2
y^2－x^2=kx
y^2=x^2+kx

打ち間違っているところがあったらすみません。

No.50418 - 2018/05/16(Wed) 17:33:23

☆ Re: / ヨッシー

上の式で、Ｂは正ですが、絶対値をはずすときにプラスマイナス
両方取るものとしてｋとおくので、ｋは０以外の任意の実数を取ります。

よって、
　y^2＝x^2＋kx　でも　y^2＝x^2－kx
でも正解です。

No.50421 - 2018/05/16(Wed) 18:08:45

☆ Re: / ∞

そうなんですか！
分かりました。あと、この解き方以外でy^2＝x^2－kxを導く方法があったら、是非教えて下さい。

No.50423 - 2018/05/16(Wed) 19:38:12

★ ベクトル / 葦原

四面体OABCにおいてOA=2=↑a、OB=4=↑b、OC=6=↑c で∠AOB=∠AOC=∠BOC=60°である。

⑴△OBCの面積はア√イである。

⑵（↑a・↑b）= ウ、（↑b・↑c）= エオ、（↑c・↑a）= カである。

⑶頂点A から平面OBC へ垂線AQ を下ろす。ここで、↑OQ=（α↑b）+（β↑c）とおくと ↑AQ=↑OQ-↑OA=（α↑b）+（β↑c） -a と表され、↑AQが↑b、↑cと直線である。このとき α = キ/ク、β = ケ/コである。

⑷｜↑AQ｜= (サ√シ) /スである。

⑸ ⑴～⑷より四面体OABC の面積を求めよ。

⑷からどうも答えが合いません。

No.50397 - 2018/05/15(Tue) 23:17:50

☆ Re: ベクトル / ヨッシー

(4)
ＡＱ＝(1/6)ｂ＋(1/9)ｃ－ａ
両辺２乗(自分自身との内積)して
　ＡＱ・ＡＱ＝((1/6)ｂ＋(1/9)ｃ－ａ)・((1/6)ｂ＋(1/9)ｃ－ａ)
　|ＡＱ|^2＝(1/36)|ｂ|^2＋(1/81)|ｃ|^2＋|ａ|^2＋(1/27)ｂ・ｃ－(1/3)ａ・ｂ－(2/9)ｃ・ａ
　　　＝(1/36)・16＋(1/81)・36＋4＋(1/27)・12－(1/3)・4－(2/9)・6
　　　＝24/9
よって、
　|ＡＱ|＝2√6/3

(5)
　面積ではなく体積と解釈します。
　△ＯＢＣ×ＡＱ÷3＝6√3×2√6/3÷3＝4√2

No.50401 - 2018/05/16(Wed) 00:13:16

☆ Re: ベクトル / コルム

横レスすみません。Qは、ΔOBCの中にないというのは、どういうことでしょうか？教えていただけると幸いです。すみません。いみふめいですよね。

No.50545 - 2018/05/22(Tue) 17:09:49

☆ Re: ベクトル / ヨッシー

どこに書いてますか？

No.50546 - 2018/05/22(Tue) 17:17:12

★ 7番 / あい

どうしてこういう展開になるのか教えてください。
2行目からがわからないです。

No.50392 - 2018/05/15(Tue) 22:54:31

☆ Re: 7番 / ヨッシー

(Ｃ)のところは、2y^2－5y＋2 を (y-2)(2y-1) に因数分解しただけですね。
そして、(Ｄ)に持って行くには、式全体を因数分解します。
　acx^2＋(ad＋bc)x＋bd＝(ax＋b)(cx＋d)
の因数分解するときに、解答にあるようなたすき掛けを使います。
x^2 の係数を２数の積にして、定数項を２数の積にして、
掛けたものを足して、ｘの係数になる、というものです。

x^2 の係数３は、１と３に分けるしかないです。（場合によっては－１と－３に分けることも）
定数項 (y-2)(2y-1) は因数分解されているので、y-2 と 2y-1 に分けます。
この２数の、一方に１を掛け、他方に３を掛けて、足したものが
ｘの係数 7y－5 になるようにします。
y-2 に１を掛け、2y－1に３を掛けて足し合わせると 7y-5 になります。
結果は　(x＋○)(3x＋□) になりますが、展開すると
　3x^2＋(3○＋□)ｘ＋○□
なので、３を掛ける 2y-1 が○、１を掛ける y-2 が□に入ります。
　(x＋○)(3x＋□)→(x＋2y-1)(3x＋y-2)
となります。

No.50398 - 2018/05/15(Tue) 23:53:29

☆ Re: 7番 / あい

説明不足で申し訳ありません、お手数おかけします。
下の、青いマーカーの方を教えていただきたいです

分かりやすい解説ありがとうございました。

No.50399 - 2018/05/15(Tue) 23:59:35

☆ Re: 7番 / ヨッシー

(a+b)(a+c)＝a^2＋ab＋ac＋bc
　　　＝a^2＋(b+c)a＋bc
これは、普通の展開です。

そのあと、ａの2次の項、1次の項、定数項に分けて、
(6) でやったのと同じように、たすき掛けで因数分解していきます。

No.50409 - 2018/05/16(Wed) 00:34:21

★ 数列です / りょう

(1)からわかりません、お願いします汗

No.50384 - 2018/05/15(Tue) 21:33:39

☆ Re: 数列です / らすかる

(a[n]+2)/2=√(2S[n])から
S[n]=(a[n]+2)^2/8
S[n+1]-S[n]=a[n+1]に代入して
(a[n+1]+2)^2/8-(a[n]+2)^2/8=a[n+1]
整理して
(a[n+1]-2)^2=(a[n]+2)^2
∴|a[n+1]-2|=|a[n]+2|

(a[1]+2)/2=√(2a[1])からa[1]=2
a[n]=2のとき|a[n+1]-2|=|a[n]+2|=4
条件からa[n+1]＜0なのでa[n+1]=-2
a[n]=-2のとき|a[n+1]-2|=|a[n]+2|=0
条件からa[n+1]＞0なのでa[n+1]=2
よって{a[n]}の一般項はa[n]=2(-1)^(n-1)

No.50386 - 2018/05/15(Tue) 22:04:04

☆ Re: 数列です / コルム

もう少し詳しく教えていただけると幸いです。

No.50428 - 2018/05/17(Thu) 05:15:04

☆ Re: 数列です / コルム

a[n]=2となるところがわかりません。横レス失礼します。

No.50429 - 2018/05/17(Thu) 05:17:28

☆ Re: 数列です / らすかる

「a[n]=2となるところ」とはどこのことですか？

No.50431 - 2018/05/17(Thu) 08:40:38

☆ Re: 数列です / コルム

ここら辺の部分です。
（a[n]=2）のとき|a[n+1]-2|=|a[n]+2|=4
条件からa[n+1]＜0なのでa[n+1]=-2
a[n]=-2のとき|a[n+1]-2|=|a[n]+2|=0
（　　　）をした部分です。
教えていただけると幸いです。

No.50432 - 2018/05/17(Thu) 12:10:49

☆ Re: 数列です / らすかる

あるnに対してもしa[n]=2が成り立つとしたら、という話です。
「a[n]=2となる」わけではありません。

No.50433 - 2018/05/17(Thu) 12:26:11

☆ Re: 数列です / ヨッシー

横レス失礼します。

|a[n+1]－2|＝|a[n]＋2| という漸化式と、初項 a[1]＝2 までが
わかったら、次に何をしますか？
この問題に限らずのことです。

その「次にやること」をやっていないか、中途半端なままで
a[n]＝2のとき　や　a[n]＝－2のときを見ても「え？」
となるだけです。

とにかく手を動かしましょう。

No.50434 - 2018/05/17(Thu) 12:36:30

☆ Re: 数列です / コルム

次にやることは、この事でしょうか？
https://studysapuri.jp/contents/high/article/subject/math00021.html
で、これをすると、-a[n]=a[n＋1]と、a[n]=-a[n＋1]となるのですが。どういうことでしょうか？教えていただけると幸いです。

No.50441 - 2018/05/17(Thu) 18:04:03

☆ Re: 数列です / ヨッシー

結果だけ書かれても、正しく計算した結果なのかわかりません。

正しく計算されたものであれば、その延長でお答えします。

当てずっぽう（完全に正しくはない）であれば、「次にやること」は別にあります。

らすかるさんの回答で
>(a[1]+2)/2=√(2a[1])からa[1]=2
この行の後に、山のような計算と考察があり、
>a[n]=2のとき|a[n+1]-2|=|a[n]+2|=4
この行に至っています。
それに匹敵するだけの作業をしないと、この回答は理解できません。
テクニックではなく、作業です。

No.50442 - 2018/05/17(Thu) 18:35:48

☆ Re: 数列です / コルム

まず、a[n]と、a[n＋1]を、αとおくと、｜α-2｜=｜α＋2｜絶対値がついていると、正の場合と、負の場合とにばあいわけすると、α=0よって、a[n＋1]=-a[n],-a[n＋1]=a[n]
になる。これ以上は、よくわかりません。説明不足ですみません。教えていただけると幸いです。

No.50445 - 2018/05/17(Thu) 20:28:01

☆ Re: 数列です / ヨッシー

とりあえず
https://studysapuri.jp/contents/high/article/subject/math00021.html
これのことは忘れましょう。
そういう、余計なテクニックに走るので、基本の手順を見失うのです。

漸化式の基本は
１．a[2], a[3], a[4]・・・・を計算し、a[n] を予測する。
２．その予測が正しいことを証明する。
です。

特性方程式を持ち出すのは、もっともっと先です。

そして、特性方程式に頼ると危ないのは、たとえば、今回の
漸化式が絶対値がなくて、
　a[n+1]－2＝a[n]＋2
だったらどうしますか？

また、
　a[n＋1]＝－a[n]
から、即座に答えが出るのに、それに気付いていない点も
テクニックにおぼれている証拠です。
もっとも、
　a[n＋1]＝－a[n]
これを、100% 信じて良いかも疑問ですけれども。

No.50452 - 2018/05/18(Fri) 00:56:15

☆ Re: 数列です / コルム

やっぱり、もう少し詳しく教えていただけると幸いです。どうすればよいのか本当にわかりません。もう少しヒント
を出していただけないでしょうか？

No.50461 - 2018/05/18(Fri) 19:52:34

☆ Re: 数列です / ヨッシー

a[2], a[3], a[4]・・・・を計算する、と書きましたよね？
やってみましたか？

No.50464 - 2018/05/18(Fri) 22:26:44

☆ Re: 数列です / コルム

そこもよくわかりません。教えていただけると幸いです。

No.50465 - 2018/05/18(Fri) 22:34:43

★ 中３　二次関数 / りゅう

今日は最後の質問です。
（４）を教えていただけますでしょうか？

解答は
（１）a=1/4 ,　b=4
（２）6
（３）(-6,3)
（４）(-8,16)

少しは賢くなったつもりなのですが、応用力が無いので、問題の種類が違うと解けません(>_<)
どうぞよろしくお願い致します。

No.50380 - 2018/05/15(Tue) 20:52:17

☆ Re: 中３　二次関数 / らすかる

△ADB：平行四辺形OABC=5：2ということは、
△ADB：△ABO=5：1ということになります。
直線ABの方程式は y=-(1/2)x+2
直線OCの方程式は y=-(1/2)x
ABを底辺としたとき△ADBの高さが△ABOの5倍になればよいので
Dを通り直線ABに平行な直線の方程式はy=-(1/2)x+12
この直線とy=(1/4)x^2の交点を求めてD(-8,16)

No.50383 - 2018/05/15(Tue) 21:11:04

☆ Re: 中３　二次関数 / りゅう

昨日は本当にお世話になり、ありがとうございました。
とても丁寧で分かりやすく教えていただいたおかげで、
４問とも全て理解することができました。
学校の先生の説明よりもすごく分かりやすいです。
またよろしくお願い致します。

追伸
下記の分との合わせてのお礼で申し訳ございません。

No.50413 - 2018/05/16(Wed) 09:46:46

★ 中３　二次関数 / りゅう

今日は何度も申し訳ございません。
自分にとって難易度の高い宿題で困っているので、
恥を忍んで投稿します・・・お助けください。
（３）が分からないので教えていただけますでしょうか？

解答は
（１）AD　y=x+4　，　　BC　ｙ＝ｘ+24
（２）C（-6,18）、中点（1,25）
（３）ｙ＝15/2x＋15/2

どうぞよろしくお願い致します。

No.50379 - 2018/05/15(Tue) 20:42:02

☆ Re: 中３　二次関数 / らすかる

ADの中点をE、BCの中点をFとすると
Fは(2)から(1,25)、Eは同様にして(1,5)
直線EFは四角形ABCDの面積を2等分します。
EFの中点をG、点(-1,0)とGを通る直線と
AD,BCの交点をH,Iとすると
△GEH≡△GFIなので直線HIも四角形ABCDの面積を2等分し、
その直線が求める直線となります。
GはE(1,5)とF(1,25)の中点なのでG(1,15)
(-1,0)と(1,15)を通る直線は
y=(15/2)(x+1)=(15/2)x+(15/2)
となります。

No.50381 - 2018/05/15(Tue) 20:57:55

★ (No Subject) / トメダイン

この問題の解法も分からないので教えてください
（提出期限が明日なので今日中に教えてください。）

No.50366 - 2018/05/15(Tue) 17:51:08

☆ Re: / IT

(1) n=1 のとき　成立。　は容易なので御自分でやってみてください。

（帰納法のメイン部分だけ）
自然数ｋについてn=kのとき成立を仮定する。
n=k+1のとき
　f(x)=a[0]x^(k+1)+a[1]x^k+...+a[k+1]
　　　　x=g(x)+b なので
　　　=a[0](g(x)+b)x^k+a[1]x^k+...+a[k+1]
　　　=a[0]g(x)x^k+(a[0]b+a[1])x^k+...+a[k+1]

帰納法の仮定により、
　(a[0]b+a[1])x^k+...+a[k+1]=g(x)Q(x)+R となる整数係数のxの整式Q(x)と整数Rが存在する。
このとき、
　f(x)=a[0]g(x)x^k+g(x)Q(x)+R=g(x)(a[0]x^k+Q(x))+Rで,(a[0]x^k+Q(x))は整数係数のxの整式となる。

No.50370 - 2018/05/15(Tue) 19:30:54

☆ Re: / IT

(2) 略解　（どこまでていねいに書くか難しいですが）
f(x)=g(x)Q(x)+R=g(x)Q'(x)+R'　（恒等式) …?@　とする。以下「恒等式」の表示は省略。
(x-b)(Q(x)-Q'(x))+R-R'=0
x((Q(x)-Q'(x))-b(Q(x)-Q'(x))+R-R'=0…?A
Q(x)-Q'(x)≠0、Q(x)-Q'(x)のxの次数をn(nは０以上の整数）とすると
?Aの左辺のxの次数はn+1となり矛盾する。
したがってQ(x)-Q'(x)=0,このとき?@からR=R' となる。

No.50373 - 2018/05/15(Tue) 20:18:22

★ 理系数学 / トメダイン

この問題の解法が分からないので教えていただけると幸いです
（今日中に教えてください、提出が明日なので）

No.50365 - 2018/05/15(Tue) 17:48:51

☆ Re: 理系数学 / X

題意を満たすことは、xの三次方程式
x^3-3ax+6b=0 (A)
x^3-3bx+6a=0 (B)
がただ一つの共通の実数解を持つときの
a,bに対する条件を求めることと同値です。

(A)-(B)より
-3(a-b)x+6(b-a)=0
(a-b)(x+2)=0
題意からa-b≠0ゆえ
x=-2
これを(A)(B)に代入してそれぞれ
整理すると、いずれも
a+b=4/3 (C)
逆にこのとき(C)を使って(A)(B)からbを消去すると
x^3-3ax+8-6a=0 (A)'
x^3-(4-3a)x+6a=0 (B)'
(A)'より
x^3+8-3ax-6a=0
(x+2)(x^2-2x+4)-3a(x+2)=0
(x+2)(x^2-2x+4-3a)=0
∴x=-2
又は
x^2-2x-3a+4=0 (A)"
(B)'より
x^3-(4-3a)x+6a=0
x^3-4x+3ax+6a=0
(x^2-4)x-3a(x+2)=0
(x+2){(x-2)x-3a}=0
∴x=-2
又は
x^2-2x-3a=0 (B)"
さて(A)"-(B)"を計算すると
4=0
となり矛盾しますので、xの二次方程式
(A)"(B)"の共通解は存在しません。

以上から題意を満たすときC[1],C[2]の
x軸上の共有点は
点(2,0)
以外に存在せず、その時のa,bの条件は
a+b=4/3 (D)
(但し(a,b)≠(2/3,2/3))
となります。

図示は容易です(直線(D)から点(2/3,2/3)を除いたもの)
ですので省略します。

(間違っていたらごめんなさい。)

No.50376 - 2018/05/15(Tue) 20:38:13

☆ Re: 理系数学 / IT

既に回答がついているようですがせっかく書いたので投稿します。
(略解）グラフを描いて理解し答案作成してください。
f(x)=x^3-3ax+6b
g(x)=x^3-3bx+6a　とおく。

a≠bのとき
　f(α)=g(α)=0とすると　f(α)-g(α)=0 から-3(a-b)(α+2)=0
　∴α=-2 , f(-2)=-8+6a+6b=0
　よって求める条件は a+b-4/3=0

a＝bのとき　f(x)=x^3-3ax+6a=0 の実数解がただ１つであればよい。
　f'(x)=3x^2-3a.
　a≦0のとき　f(x)は狭義単調増加で　f(x)=0の実数解はただ１つとなる。
　a＞0のとき　f(x)の極大値はf(-√a)>0,極小値はf(√a)=2a(3-√a)
　　　　　　　f(x)=0の実数解がただ1つ⇔2a(3-√a)＞0⇔0＜a＜9

上記をまとめると範囲が分かります。

No.50382 - 2018/05/15(Tue) 20:58:13

☆ Re: 理系数学 / X

補足を。

＞＞トメダインさんへ
ITさんの回答とは異なり、私の回答では
a=b
の場合は除いていますが、これは問題文中の
２曲線
という言葉の解釈の違いによります。

私は、「２曲線」と書かれているので
C[1],C[2]は一致しない曲線である、
と解釈して
a=b
の場合は除いています。

No.50391 - 2018/05/15(Tue) 22:50:32

★ 練習問題 / 学習

1/a+1/b+1/c<1を満たす自然数a,b,cの組に対し1/a+1/b+1/cの最大値を求めよという問題で（１）のアまではわかるのですがイからb>=4だから1/b<=1/4,a>=5だから1/a<=1/5として計算していること
（２）c>=3の時の計算に至ってはいきなりＳ＜＝1/4+1/3+1/3と出てきていますよね？なぜイと特に（２）でそのようにしてよいのか判断基準がわかりません

回答よろしくお願いします

No.50364 - 2018/05/15(Tue) 16:11:13

☆ Re: 練習問題 / ヨッシー

b≧4 だから 1/b≦1/4　や　a≧5 だから 1/a≦1/5 となるのは自然なことですが．．．
それをいうなら、(ア)でも、a≧7 だから 1/a≦1/7 を使っています。

Ｓを大きくしようとすれば、ａ，ｂ，ｃは小さい方が良いわけです。
(ii) のｃ≧３のときは、(a,b,c)＝(4,3,3) のときの
　Ｓ＝1/4＋1/3＋1/3 と比べて、
　ｃが４以上になると、最大でも　Ｓ＝1/4＋1/4＋1/4 にしかなりません。
　ｃ＝３で、ｂが４以上になると　Ｓ＝1/4＋1/4＋1/3 が最大です。
　ｃ＝３，ｂ＝３で、ａが５以上だと　Ｓ＝1/5＋1/3＋1/3 が最大となり、
いずれも、Ｓ＝1/4＋1/3＋1/3 より小さいので、ｃ≧３においては、
　Ｓ＝1/4＋1/3＋1/3＝11/12
が最大となります。

　Ｓ＝1/4＋1/3＋1/3
　Ｓ＝1/4＋1/4＋1/4
　Ｓ＝1/4＋1/4＋1/3
　Ｓ＝1/5＋1/3＋1/3
と並べても、明らかに一番上が大きいので、ここまで細かい説明はしていないものと思われます。

No.50368 - 2018/05/15(Tue) 18:24:48

☆ Re: 練習問題 / 学習

b≧4 だから 1/b≦1/4　や　a≧5 だから 1/a≦1/5 となるのはわかっています。
疑問に思っているのは最初はc=2かつb=3のときのように具体的な数を代入して確かめていたのにｃ＞＝３では具体的な数の代入なしに答えを出しているという部分でした。
１ではc=2かつb=3の時という風に具体的に代入することでa>=7という条件を出していますよね
ただ２では１/c<=1/3から分母は小さいほうが分数は大きいっていう考えのもと1/b<=1/3,1/a<=1/4でＳ＜＝１１/１２と出しています。例えばこれと同じように１でc>=2の時のように調べたら1/bは1/2以下だったらSは１を超えちゃうから1/3として1/cは1/4以下で計算してみるとSは11/12以下かと
でも１だと場合分けの結果a>=7という条件が出てるのでこれが間違いだとわかりますが２だと代入なしにやっているのでなぜc>=３の時にいきなり考えてしまって大丈夫なのかその部分がわかりません

文章で書くのが難しくくどい質問になってしまって申し訳ありません。　回答よろしくおねがいします

No.50414 - 2018/05/16(Wed) 13:45:50

☆ Re: 練習問題 / ヨッシー

この問題については「具体的な数を代入して確かめ」ないといけないレベルではありません。

　1/2＋1/2＝1
　1/6＋1/3＋1/2＝1
　1/3＋1/3＋1/3＝1
この程度の計算は、すぐに思い浮かぶことであり、、
　ｃ＝２　のときは　ｂ≧３でないとダメだし
　ｃ＝２、ｂ＝３　のときは　ａ≧７　でないとダメだし
　ｃ＝３、ｂ＝３　のときは　ａ≧４　でないとダメなのは
すぐに分かります。

その意味では、
　ｃ＝２　のとき　Ｓ＜１　より　ｂ≧３　であることは自明である
でも良いのです。

それを、?Eより・・・　とか、?Fより・・・　とか書いて詳細に示しているのは、
自明のレベルを低く見積もったからでしょう。
実際、ｃ≧３のところでは、いちいち計算はしていません。

むしろ、この解答で、注目すべきは
　ｃ＝２　のときは　（ア）（イ）と調べているのに、
　ｃ＝３　のときは　1/4＋1/3＋1/3＝11/12 だけで終わっている点です。
その方が気になりませんか？
そして、(ii) の方が (i) よりも、淡白に扱われているように感じるのかと思います。
結果、「(i) はわざわざ代入しているのに」というところに疑問を持たれたのではないでしょうか？

No.50415 - 2018/05/16(Wed) 15:09:30

☆ Re: 練習問題 / 学習

なるほどつまり１で丁寧に解説してくれているだけで本来は２の解答で良いということですね。理解できました。ありがとうございます

No.50419 - 2018/05/16(Wed) 17:58:22

☆ Re: 練習問題 / 学習

もう一つ疑問ができてしまいました。繰り返しの質問で申し訳ありません。おおむね納得できたのですがそれならばc=2のときc>=3のときといちいち分けずともまとめてc>=2よりで解答は事足りてしまうのではないでしょうか？
c=2のときc>=3のときと場合分けをしなくてはならない理由は何でしょうか？

No.50420 - 2018/05/16(Wed) 18:06:59

★ 中３　二次関数 / りゅう

連続で申し訳ございません。
（４）を教えていただけますでしょうか？
解答は
（１）a=1/4 b=2
（２）(-2,1)
（３）t=4-2√3
（４）ｔ＝4/3
どうぞよろしくお願い致します。

先程の写真を間違えてしまいました。
正しくはこちらです。

No.50363 - 2018/05/15(Tue) 16:00:12

☆ Re: 中３　二次関数 / ヨッシー

(4)
Ｐ：(t,t^2/4)、Ｑ：(t, t/2+2)、Ｒ：(t, -t+8)
Ｃ：(0, 2)、Ｄ：(0, 8)
であるので、
ＣＤ＝６、ＱＲ＝6－3t/2、ＰＱ＝－t^2/4＋t/2＋2
台形ＤＣＱＲ＝(6＋6－3t/2)×t÷2＝(6－3t/4)t
△ＡＢＰ＝ＰＱ×６÷２＝－3t^2/4＋3t/2＋6
　６はＡとＢのｘ座標の差
よって、
　6t－3t^2/4＝－3t^2/4＋3t/2＋6
整理て
　9t/2＝6
　ｔ＝4/3

No.50367 - 2018/05/15(Tue) 18:07:24

☆ Re: 中３　二次関数 / りゅう

とても分かりやすく教えていただいて、どうもありがとうございました！
とても良く分かりました。

こちらのサイトでお世話になっているおかげで、
この問題の台形ＤＣＱＲ＝(6＋6－3t/2)×t÷2＝(6－3t/4)tまで自力で解けたのですが、
△ＡＢＰ＝ＰＱ×６÷２＝－3t^2/4＋3t/2＋6が分からず行き詰まりました。
(3)(4)の問題は、以前なら全く分からなかったと思うのですが、少しずつ力が付いてきたように思います。
どうもありがとうございました。

No.50371 - 2018/05/15(Tue) 19:52:19

★ 中３　二次関数 / りゅう

いつもお世話になります。
（３）と（４）が分からないので教えていただけますでしょう？

解答は、
（１）４
（２）(ｱ)４　(ｲ)１
（３）１５／２
（４）(ｱ)７／２　(ｲ)１／２

よろしくお願い致します。

No.50355 - 2018/05/15(Tue) 10:56:01

☆ Re: 中３　二次関数 / りゅう

すみません！
（３）も自分でできました。
辺ＡＢを底辺とした等積変形を利用したのですが
この考え方で良かったでしょうか？

（４）は分からないのでよろしくお願い致します。

No.50356 - 2018/05/15(Tue) 11:48:25

☆ Re: 中３　二次関数 / ヨッシー

(3)
他にもやり方はありますが、(1)の切片を活かそうとするなら、
その方法が良いでしょう。

(4)
点Ｒをｙ軸のｙ＜０の部分にとり、△ＡＯＲ＝7/4 にしたとすると、
　ＯＲ＝(7/4)×2÷4＝7/8
Ｒ：(0, －7/8)
点Ｓを直線ｙ＝８上のｘ＞４の部分にとり、△ＡＯＳ＝7/4 にしたとすると、
　ＡＳ＝(7/4)×2÷8＝7/16
Ｓ：(71/16, 8)
直線ＲＳ上の任意の点Ｔについて、△ＡＯＴ＝7/4 となりますので、
直線ＲＳと放物線との交点が条件を満たす点Ｐとなります。
ＲＳの式は　ｙ＝2x－7/8
ｙ＝x^2/2 に代入して、
　x^2/2＝2x－7/8
両辺８倍して整理すると
　4x^2－16x＋7＝0
　(2x－1)(2x－7)＝0
これを解いて
　ｘ＝1/2, 7/2　
よって、
　p＝1/2, 7/2

No.50357 - 2018/05/15(Tue) 13:21:06

☆ Re: 中３　二次関数 / らすかる

三角形を二つに分けて求める別解
(3)
Pを通りy軸と平行な直線と直線ABの交点Rは(3,7)なので
PR=7-9/2=5/2、よって△ABP=△ARP+△BPR=(5/2)×(4-(-2))÷2=15/2

(4)
P(p,p^2/2)を通りy軸と平行な直線と直線AOの交点Sは(p,2p)なので
PS=2p-p^2/2、よって△AOP=△ASP+△OPS=(2p-p^2/2)×(4-0)÷2=4p-p^2
4p-p^2=7/4から
p^2-4p+7/4=0
(p-1/2)(p-7/2)=0
∴p=1/2,7/2

No.50358 - 2018/05/15(Tue) 13:38:28

☆ Re: 中３　二次関数 / りゅう

お二方ともとても分かりやすく教えていただいて、本当にありがとうございました。
おかげでよく理解することができました。

図形が苦手で、どこに補助点を作ってよいのか分からず、
今までも同じような質問をして申し訳ございません。
どうかまたよろしくお願い致します。

No.50359 - 2018/05/15(Tue) 14:53:19