ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 大学の微積 / ぽん

z=f(x,y)がax+by(ab≠0)だけの関数であるための必要十分条件をz_xとz_y（zの偏導関数）を用いて表せ。

という問題で、調べたところ答えは
bz_x=az_y
になるようなのですが過程がわかりません。解説をお願いします。

No.50332 - 2018/05/14(Mon) 23:10:42

☆ Re: 大学の微積 / Delta

z=F(ax+by)とzが表されたとき、
z_x=aF'(ax+by),z_y=bF'(ax+by)となるので
bz_x=az_y=abF'(ax+by)
よってz=F(ax+by)と表されるためのz_x,z_yの必要条件は
bz_x=az_y

z_x,z_yがbz_x=az_yを満たすとき、
(u,v)=(x,ax+by)とすると(x,y)=(u,(v-au)/b)であるので、
dz/du=z_x*x_u+z_y*y_u (x_u,y_uは偏導関数)
=z_x-(a/b)z_y=(bz_x-az_y)/b=0
よってzはuに依らないのでz=F(v)と表されます。
v=ax+byを代入するとz=F(ax+by)
よってbz_x=az_yはz=F(ax+by)と表されるための十分条件

したがって求める必要十分条件はbz_x=az_y

No.50347 - 2018/05/15(Tue) 01:24:40

★ 数3積分の応用 / トルティーヤ

4番の問題がわかりません！

No.50331 - 2018/05/14(Mon) 23:08:52

☆ Re: 数3積分の応用 / ヨッシー

ＦＧをｘ軸とし、Ｆを０，Ｇを１とします。
例えば、ｘ＝０（Ｆの位置）での回転体の断面は、
線分ＡＢを回転させたものとなるので、
　半径√2（ＡＦ）の円から、
　半径１（ＢＦ）の円をくり抜いた
ドーナツ型になります。

ｘ座標ｘの位置では、くり抜かれる円の半径は一定で１ですが、
大きい方の円の半径は、
　√{（１－ｘ）^2＋１}
となります。
断面積は
　π{（１－ｘ）^2＋１}－π＝π（ｘ－１）^2
これを、ｘ＝０～１で積分すると
　π∫[0～1]（ｘ－１）^2ｄｘ＝(π/3)[（ｘ－１）^3][0～1]
　　＝π/3　・・・答え

No.50343 - 2018/05/15(Tue) 00:49:56

★ 中3、埼玉県立高校入試問題 / わちゃ

3の(2)の、点Sのx軸からの距離がなぜ4t-8になるのかわかりません。
辺RSがx軸より下にくればよい(負になればよい)のなら、0-(-4t+8)ではなくて、引く数はtや1などどんな数字や文字でも良いんじゃないかと思っています。
詳しい解説をお願いします。

No.50330 - 2018/05/14(Mon) 22:53:39

☆ Re: 中3、埼玉県立高校入試問題 / noname

>3の(2)の、点Sのx軸からの距離がなぜ4t-8になるのかわかりません。
線分PSとx軸の交点をTとすると，

(点Sとx軸の距離)
＝(線分STの長さ)
＝(Tのy座標)-(Sのy座標)
＝0-(-4t+8)
＝4t-8

の様に計算されます．このやり方が受け入れにくいのであれば，

(点Sとx軸の距離)
＝(線分STの長さ)
＝PS-PT
＝2t-(-2t+8)
＝4t-8

の様に計算してもよいです．

No.50336 - 2018/05/15(Tue) 00:18:14

☆ Re: 中3、埼玉県立高校入試問題 / わちゃ

解説ありがとうございます。

どうしても解答のイメージがわきません。図で表すと、正方形PQRSはどのような位置に移動するのか教えていただけますか？

No.50349 - 2018/05/15(Tue) 02:08:59

★ (No Subject) / ∞

次の微分方程式または初期値問題をとけ。
・dy/dx=y^2
の解き方がいまいち分かりません。
答えはy=-1/(x-c)
となります。よろしくお願いします。

No.50317 - 2018/05/14(Mon) 02:21:44

☆ Re: / X

変数分離法を使います。
問題の微分方程式より
(1/y^2)(dy/dx)=1
両辺xで積分すると
∫dy/y^2=∫dx
-1/y=x+C (A)
(C:任意定数)
∴y=-1/(x+C)
注)
(A)においてCの代わりに-cを使い
-1/y=x-c
としても間違いではありません。
この場合は模範解答と同じ結果になります。

No.50320 - 2018/05/14(Mon) 06:25:31

★ (No Subject) / a

nC2=nCn-2 の証明では、左辺は nP2=2!、右辺は nPn-2=(n-2)!になると思うのですが、いずれもそこからの計算が分かりません。よろしくお願いします。

No.50316 - 2018/05/14(Mon) 01:56:43

☆ Re: / X

方針が間違っています。
そのような変形は必要ありません。

(左辺)=n!/{(n-2)!{n-(n-2)}!}
=n!/{(n-2)!2!}
=n!/{2!(n-2)!}
=(右辺)

No.50321 - 2018/05/14(Mon) 06:27:28

☆ Re: / a

すみません。左辺はnP2/2!で、右辺はnPn-2/(n-2)!でした。

No.50324 - 2018/05/14(Mon) 13:20:02

☆ Re: / X

＞＞左辺はnP2/2!で、右辺はnPn-2/(n-2)!でした。
そうであっても方針が間違っていることに
変わりはありません。
No.50321でアップした証明の通りです。

No.50327 - 2018/05/14(Mon) 17:53:08

☆ Re: / noname

横レス失礼致します．

>>質問者様
以下の式

n_C_{n－2}
＝n_P_{n－2}/(n－2)!
＝n(n－1)・…・{n－(n－1)}/(n－2)!
＝n(n－1)・…・{n－(n－1)}・{n－(n－2)}!/{(n－2)!・{n－(n－2)}!}
＝n!/{(n－2)!・{n－(n－2)}!}
＝n!/{(n－2)!・2!}
＝n(n－1)・(n－2)!/{2!・(n－2)!}
＝n(n－1)/2!
＝n_P_2/2!
＝n_C_2

を読み込んで頂いた後に，X様がご提示された解説を読み返してみてください．

No.50354 - 2018/05/15(Tue) 09:02:20

★ (No Subject) / こういち

y＝xプラス1 (x≦4)
の時は最小値がないんですか？

私は5が最小値だと思ったのですが、最大値だそうです。

理由を教えてください

No.50315 - 2018/05/14(Mon) 01:36:17

☆ Re: / 修験者

実際にy＝x+1のグラフを書いてみればすぐに分かることです。
他人に聞く前にまず自分で考える癖をつけておかないと、この先の人生で苦労しますよ。

No.50318 - 2018/05/14(Mon) 03:11:05

★ 夜分すみません / こういち

y＝-x^2のグラフが書けなくなってしまいました！
点の取り方を教えてください

No.50314 - 2018/05/14(Mon) 01:24:33

☆ Re: 夜分すみません / 修験者

この掲示板で質問をするより前に、お手持ちの教科書や参考書などで「２次関数のグラフ」という項目（あるいはそれに対応する項目）を復習されることをお勧めします。

No.50319 - 2018/05/14(Mon) 03:15:12

★ 不等式 / 高一

答えはx<-3/2 なのですが、自分は-4/3<x<-3/2としました。
どうして不等号が1つしかいらない範囲の答えになるのでしょうか

No.50312 - 2018/05/13(Sun) 23:39:17

☆ Re: 不等式 / IT

一つ目の不等式の解は　-4/3>x になると思います。
再確認してください。

なお、-4/3<x<-3/2　だと、これを満たすx はありません。

No.50313 - 2018/05/13(Sun) 23:53:05

☆ Re: 不等式 / 高一

どうして上の答えだとxは満たさないのですか？

No.50322 - 2018/05/14(Mon) 08:46:02

☆ Re: 不等式 / ヨッシー

例えば、ｘがいくつのとき
　-4/3＜x＜-3/2
が成り立つと思いますか？　

No.50323 - 2018/05/14(Mon) 09:48:28

☆ Re: 不等式 / 高一

なるほど、分かりました！
どちらかを選ぶということなんですね！！

No.50325 - 2018/05/14(Mon) 16:27:03

☆ Re: 不等式 / ヨッシー

違います。
両方の範囲の、共通部分を取るのです。
今回のは、結果としてどちらかを選ぶ形になっているだけで、
　-5/2＜ｘ＜-3/4
のような形の解になるときもあります。

で、-4/3＜x＜-3/2 はなぜダメか、おわかりですか？

No.50326 - 2018/05/14(Mon) 17:08:22

☆ Re: 不等式 / 高一

説明してくださったところを図で書いて表してみたら理解できました！
ありがとうございます！

No.50346 - 2018/05/15(Tue) 00:55:19

★ (No Subject) / 高3

75の微分で積の微分を使うのはわかるのですがそのあとどのように整理したらいいかわかりません
説明付きで解説していただけると嬉しいです

No.50309 - 2018/05/13(Sun) 22:24:27

☆ Re: / IT

(1/2)e^((1/2)x) で括ると
y'=(1/2){e^((1/2)x)}{(x^2-2x-11)+2(2x-2)}
後は右の｛　｝中を整理して、因数分解する。（以前ラスカルさんが回答されたとおりになると思います。）
=(1/2){e^((1/2)x)}(x+5)(x-3)

No.50310 - 2018/05/13(Sun) 22:46:33

★ 高1 数学と物理 / 蘭

こんばんは！

またまたすみません。
❽の問題です！！

どちらも、訳が分かりません。
宜しくお願いしたいです！！

No.50304 - 2018/05/13(Sun) 20:30:21

☆ Re: 高1 数学と物理 / X

以下、
重力加速度をg[m/s^2]
初速度の大きさをv[m/s]
とします。

(1)
投げ上げてから初めて速さが初速度の大きさの
1/2になるまでの時間をt[s],求める高さを
H[m]とすると
条件から
v-gt=v/2 (A)
H=vt-(1/2)gt^2 (B)
又、小球の質量をm[kg]とすると、
エネルギー保存の法則により
(1/2)mv^2=mgh
∴v^2=2gh (C)
(A)を使い、(B)からtを消去して
H=(v^2)/(2g)-(1/2)g(v/(2g))^2
=(3v^2)/(8g)
これに(C)を代入して
H=(3/4)h
となります。

(2)
投げてから初めてh/2の高さに達するまでの
時間をt[1][s],残りのh/2の距離を上昇するまでの
時間をt[2][s]とすると
vt[1]-(1/2)gt[1]^2=h/2 (D)
v(t[1]+t[2])-(1/2)g(t[1]+t[2])^2=h (E)
(D)(E)をt[1],t[2]についての連立方程式と
見て解き、その結果から
t[1]/t[2]
を求めることを考えます。
(D)より
gt[1]^2-2vt[1]+h=0
∴t[1]={v±√(v^2-gh)}/g
となりますが、
{v+√(v^2-gh)}/g＞{v-√(v^2-gh)}/g＞0
であり、又t[1]は「初めて」h/2の
高さになるまでの時間ですので
t[1]={v-√(v^2-gh)}/g (D)'
一方、(E)より
t[1]+t[2]={v-√(v^2-2gh)}/g
これに(D)'を代入して

t[2]={v-√(v^2-2gh)}/g-{v-√(v^2-gh)}/g (E)'
(D)'(E)'により
t[1]/t[2]={{v-√(v^2-gh)}/g}/{{v-√(v^2-2gh)}/g-{v-√(v^2-gh)}/g}
={v-√(v^2-gh)}/{-√(v^2-2gh)+√(v^2-gh)}
これに更に(C)を用いると
t[1]/t[2]={√(2gh)-√(gh)}/√(gh)
=√2-1
ということで√2-1倍です。

No.50306 - 2018/05/13(Sun) 21:38:26

☆ Re: 高1 数学と物理 / 蘭

私、頭悪くて、本当にすみません！

とっっっってててもももも！
分かりやすいです！怖いぐらい理解は出来ました！
本当に長文ありがとうございました！！！！

感謝です！！！

No.50334 - 2018/05/14(Mon) 23:41:02

★ 高1 数学物理 / 蘭

本当に何度もすみません！

❼の問題です！
よろしくお願いします。

マーカーの所で、「小球はそのときの気球と同じ速さで鉛直上向きに投げられた運動に見える」と書いてあるのですが、はぁ？？って感じです。
いやいや、下に落ちてくるやろ！的な。

そこら辺も解答してほしいです！
⑴と⑷以外の解き方を教えてください！

よろしくお願いします。

No.50303 - 2018/05/13(Sun) 20:15:31

☆ Re: 高1 数学物理 / X

(2)
>>いやいや、下に落ちてくるやろ！的な。
初速度と加速度を混同していませんか？
確かに小球には鉛直下向きに、重力による
重力加速度と等しい加速度がつきますが、
それと初速度は無関係です。

例えば、同じ速度で走っている車A,Bを考えるとき
Aから見てBは止まって見える
ことはよろしいですか？
このことを踏まえてもう一度考えてみましょう。

(3)
これは(2)の結果を使います。

(2)で求めた初速度をv[m/s],重力加速度をg[m/s^2]
、求める時間をt[s]とすると、最高点では小球の
速さが0[m/s]となるので
v-gt=0
∴t=v/g=…

No.50305 - 2018/05/13(Sun) 21:11:23

☆ Re: 高1 数学物理 / 蘭

いわば、瞬間の速度的なものですか？？？

落とす瞬間、気球は上に4.9m/sで動いているから、落とす球も4.9m/s上に動いているように見えるというものですか？？？？

（なんども質問すみません）

No.50307 - 2018/05/13(Sun) 21:48:28

☆ Re: 高1 数学物理 / IT

> 落とす瞬間、気球は上に4.9m/sで動いているから、落とす球も4.9m/s上に動いているように見えるというものですか？？？？

離すまでは、球は気球とまったく同じ動きをしますから、

球も4.9m/sで上に動いているように見えるというより、
離す瞬間は球も4.9m/sで上に動いています。

No.50311 - 2018/05/13(Sun) 23:14:01

☆ Re: 高1 数学物理 / 蘭

理解できました！！！

ありがとうございました！

物理も数学も頑張ります！！！！！

No.50333 - 2018/05/14(Mon) 23:38:50

★ 数学物理 / 蘭

最後が何故１４m/sになるのか分かりません！！！

説明をお願いしたいです！！！

No.50298 - 2018/05/13(Sun) 18:18:00

☆ Re: 数学物理 / ヨッシー

(3)
ｔ秒後の鉛直方向の速度成分は
　9.8t (m/s)
1.0秒後では、9.8 m/s
水平成分は一定で 9.8m/s
すると、合わせた速さは
　9.8×√2≒9.8×1.41＝13.8　→　14m/s

No.50299 - 2018/05/13(Sun) 19:45:38

☆ Re: 数学物理 / 蘭

とても分かりやすいです！！！

1日に何度も投稿して、何度も答えてもらっえ、本当に助かってます！！！ありがとうございます！！

No.50300 - 2018/05/13(Sun) 19:50:50

★ 高1 物理数学 / 蘭

23です。
答えは2.0秒後 20m 5.0秒後となっています。
解き方をよろしくお願いします。

No.50296 - 2018/05/13(Sun) 18:01:36

☆ Re: 高1 物理数学 / 蘭

これです！

No.50297 - 2018/05/13(Sun) 18:02:08

☆ Re: 高1 物理数学 / ヨッシー

鉛直上向きを正に取ると、発射してｔ秒後の速度は
　19.6－9.8t
これが０になるときが最高点なので、
　19.6－9.8t＝０
より
　ｔ＝2.0 (秒後)

発射してｔ秒後の発射点からの高さは
　19.6t－4.9t^2　(m)
ｔ＝２のときの位置は
　19.6×2－4.9×4＝19.6≒20 (m/s)

発射してｔ秒後の地面からの高さは
　24.5＋19.6t－4.9t^2　(m)
これが０になる時間が地面に着く時間なので、
　24.5＋19.6t－4.9t^2＝０
を解いて、
　ｔ＝5.0 (秒後)

No.50301 - 2018/05/13(Sun) 19:59:08

☆ Re: 高1 物理数学 / 蘭

毎度毎度ほんとうに感謝です。

まじでありがとうございます、！！！！

No.50302 - 2018/05/13(Sun) 20:12:32

★ 関数の値の変化 / 高3

75の微分を詳しく教えてください。

No.50287 - 2018/05/13(Sun) 12:03:26

☆ Re: 関数の値の変化 / IT

f(x)=e^((1/2)x) , g(x)=x^2-2x-11 の微分は計算できますか？

積f(x)g(x)の微分の公式は、分かりますか？

No.50288 - 2018/05/13(Sun) 12:24:53

☆ Re: 関数の値の変化 / 高3

第一段階の微分はできますが整理出来ません

No.50294 - 2018/05/13(Sun) 15:20:34

☆ Re: 関数の値の変化 / IT

できるとこまで書き込んでみてください。

積の微分の公式は、数３の教科書で確認してください。

No.50295 - 2018/05/13(Sun) 15:35:51

☆ Re: 関数の値の変化 / 高3

積の微分をした時点からわかりません

No.50308 - 2018/05/13(Sun) 22:09:52

★ 高1 の数と式 / 蘭

この真ん中に写っている、練習の問題です！

1番綺麗な模範解答的な答えを教えてください！！

（私がやっても工夫したら綺麗に計算できるはずが、全然綺麗になりません！）

よろしくお願いします。

No.50277 - 2018/05/13(Sun) 09:23:11

☆ Re: 高1 の数と式 / IT

> （私がやっても工夫したら綺麗に計算できるはずが、全然綺麗になりません！）

(2) は(1)を使って　剰余から求めるのが簡単だと思いますが、蘭さんの解答を載せられた方が、有効なアドバイスが得易いと思います。

No.50278 - 2018/05/13(Sun) 09:27:17

☆ Re: 高1 の数と式 / 蘭

こんな感じで、普通に解散しちゃってます。。。

No.50281 - 2018/05/13(Sun) 10:05:33

☆ Re: 高1 の数と式 / 蘭

解散→計算
です。すみません

No.50282 - 2018/05/13(Sun) 10:56:37

☆ Re: 高1 の数と式 / IT

３次式程度なら着実に計算すれば出来るので、どのような方法でも良いと思います。

蘭さんの計算方法以外には

（a^2-4a+1＝0を使う方法）機械的に出来るので、次数が大きくなればこの方法が良いかも
a^3-3a^2-2a-1をa^2-4a+1で割って　余りを求め、余りにa=2-√3を代入する。

（a^2=4a-1を使って次数を落としていく方法）
a^3=4a^2-a
与式=(4a^2-a)-3a^2-2a-1
=a^2-3a-1
=(4a-1)-3a-1
=a-2
=-√3

No.50283 - 2018/05/13(Sun) 10:57:49

☆ Re: 高1 の数と式 / Kenji

横から失礼します。
> 1番綺麗な模範解答的な答えを教えてください！！
とのことなので、
それを心掛けて書いてみました。

(1)
a=2-√3
a-2=-√3
(a-2)^2=3
a^2-4a+1=0
（答）0

(2)
a^3-3a^2-2a-1
=(a^2-4a+1)(a+1)+(a-2)
=a-2　（∵a^2-4a+1=0）
=(2-√3)-2
=-√3
（答）-√3

No.50291 - 2018/05/13(Sun) 13:57:23

☆ Re: 高1 の数と式 / 蘭

お二方とも本当にありがとうございます！！

ITさんは、私としては、いつも答えてくださる神様で本当に感謝です！！いつも的確なアドバイスをいただき、嬉しいです！これからもよろしくお願いします！

Kenji様も、よく見させていただき、本当にありがとうございます！
とても分かりやすくビックリしました！天才ですね！ありがとうございます！！！

.

No.50293 - 2018/05/13(Sun) 14:09:55

★ (No Subject) / 高3

この解き方を教えてください。

No.50270 - 2018/05/13(Sun) 00:44:48

☆ Re: / らすかる

y'=1/√(2x)-1/{2√(x-2)}
={√(2x-4)-√x}/{2√(x(x-2))}
y=2x-4とy=xはx=4で交わりy=2x-4の方が傾きが大きいから
2＜x＜4で2x-4＜x
x＝4でx＝2x-4
4＜xでx＜2x-4
よって
2＜x＜4で√(2x-4)＜√x
x＝4で√(2x-4)＝√x
4＜xで√x＜√(2x-4)
となるから
2＜x＜4で√(2x-4)-√x＜0
x＝4で√(2x-4)-√x＝0
4＜xで√(2x-4)-√x＞0
従ってy=√(2x)-√(x-2)は
x=4で極小値√2をとる。

No.50274 - 2018/05/13(Sun) 08:09:39