xyz座標空間で連立不等式
z≧x^2+y^2
x^2+(z-1)^2≦1
を満たす点(x,y,z)全体からなる立体の体積をVとする。
Vを求めよ
という問題が分かりません。
z軸に垂直に切った断面が円から弓型を引いた図形となり、その面積S(z)を求めるところまではできたのですが、その後の積分計算が分からなくなってしまいました。
また、y軸に垂直に切ると
放物線と直線で囲まれた断面が出てきて
V=8/3∫[0→1]{1-y^2+√(1-y^2)}^3/2dy
となるのですが、そこからの積分計算が分かりません。
教えていただきたいです。
|
No.88907 - 2024/09/23(Mon) 14:45:42
| ☆ Re: / ast | | | # ちゃんと解けたわけではない (そもそも私は「問題を解く」ということについては得意ではない) が,
# しばらくコメントもないので一応.
WolframAlpha に訊く分にはどうやら V=25π/16 になりそうな気配だけど
> z軸に垂直に切った
V = ∫_[0,1]∫_[-√z,√z]∫_[-√(z-x^2),√(z-x^2)]dydxdz
+ ∫_[1,2]∫_[1-√(1-(z-1)^2),1+√(1-(z-1)^2)]∫_[-√(z-x^2),√(z-x^2)]dydxdz
# 右辺第一項は =π/2 (これは確認したし, 想定通り: 円柱の下半分にくる z=(一定) の平面は
# 当該の図形と回転放物面の方で交わるので断面は面積 π(√z)^2 の円)
# 質問者さんの言う「円から弓型を引いた図形」は円柱の上半分に限る話だと思うが,
# そうならば第二項がそれのつもり)
とか
> y軸に垂直に切ると
V = ∫_[-√2,√2]∫_[(1-√(4y^2-1))/2,(1+√(4y^2-1))/2]∫_[x^2+y^2, 1+√(1-x^2)]dzdxdy
とかに書けたとして, これらの逐次積分ではまともに積分を計算できそうとも思えないし
# 私が交点やら境界線やら勘違いしてる可能性は十分あるから, ダメと断言するのもアレではあるが……
# (まあでも間違いがあってそれを正しく直せても, 逐次積分の内容は似たようなものだろう).
x軸に垂直な (つまり x=(一定) の) 平面だと
V = ∫_[-1,1]∫_[1-√(1-x^2),1+√(1+x^2)]∫_[-√(z-x^2),√(z-x^2)]dydzdx
で, これで計算するなら (定積分の値自体という意味では) 質問者さんの
> V=8/3∫[0→1]{1-y^2+√(1-y^2)}^3/2dy
が出てくるという部分は肯定できる (けど, 積分変数を違えている理由はよく分からない (問題か式で x と y を取り違えてる?)) が, 見た感じ個人的にはまっとうに (少なくとも高校範囲で) 計算できるものに感じない.
# とはいえ, この積分なら WolframAlpha が結果を返してくれるので,
# そういう意味ではこれが正攻法っぽい (し, 何か簡単な置換とかで済むのを私が見逃してるだけかもしれない).
といったあたりで, まあなんだかよく分からない (もともと高校数学の範囲でないか, 少なくとも単に逐次積分する問題というわけではない, といったあたりの気はする) かな.
# なお, 極座標変換の線はありそうだが (個人的に極座標での積分が好みではないので) それは何も調べてない.
|
No.88911 - 2024/09/24(Tue) 21:46:05 |
| ☆ Re: / 高3 | | | 回答ありがとうございます。
確かにz=1平面を境に、断面の形が変わりますね。見逃していました。あとは角度を主役に積分したらいい感じに三角関数の積分の形が出てきて、自分の計算結果も25π/16になりました。（計算はしんどかったですが...）
y軸切断についてですが、確かに初等関数では表せなさそうですね..
|
No.88912 - 2024/09/24(Tue) 23:08:23 |
|
