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★ 場合の数 / ぴーたろ
男子7人、女子4人の中から3人の選手を選ぶとき、男女少なくとも1人は入るような選び方は何通りありますか。

という問題において、
7C1*4C1*9C1=252と考えたのですが、答えは126でした。

なにが間違っているのか教えてください。
No.87774 - 2024/03/23(Sat) 12:58:54
☆ Re: 場合の数 / IT
例えば、男A,男C,女B を選ぶのを
男A,女Bを選び残りの9人から男C を選ぶのと、
男C,女Bを選び残りの9人から男A を選ぶのと
でダブッて数えています。
No.87776 - 2024/03/23(Sat) 13:42:13
☆ Re: 場合の数 / GandB
[よくある別解]
「男女少なくとも1人は入る」ようにするには、男だけ3人、または女だけ3人選ばれるようなケースを避ければいいのだから
　　男女11人から3人選ぶ選び方は C(11,3) = 165[通り]
　　男子7人から3人選ぶ選び方は C(7,3) = 35[通り]
　　女子4人から3人選ぶ選び方は C(4,3) = 4[通り]
　したがって、男女少なくとも1人は入る選び方は、
　　165 - 35 - 4 = 126[通り]
No.87777 - 2024/03/23(Sat) 16:53:39
☆ Re: 場合の数 / WIZ
# 成程、GandBさんも最近見かけない某質問者の影響で
# 若干イリーガルな解法に快感を覚えるようになってしまったか・・・

[よくある常識的な解]
「男2人と女1人」または「男1人と女2人」を選べば良い訳だから
C(7, 2)*C(4, 1)+C(7, 1)*C(4, 2) = 21*4+7*6 = 126[通り]

# 質問の趣旨である「なにが間違っているのか」からズレてしまってごめんなさい!
No.87778 - 2024/03/23(Sat) 20:34:46
☆ Re: 場合の数 / らすかる
男子を7人から1人選んで(7通り)女子を4人から1人選び(4通り)、
最後に残り9人から1人選ぶ(9通り)とすると
最後に選ぶのが男子女子どちらでも、先に選んだ人との交換で同じ結果となり
どのパターンでも必ず2重複となるので、条件を満たす選び方は
7×4×9÷2=126通り
No.87781 - 2024/03/24(Sun) 09:24:50
★ 高2です / ぴーたろ
解説の下から3行目をx=18n ではなく、x=27nとしたら間違いになりますか？間違いの場合はなぜだめなのか教えてください。
よろしくお願いいたします。
No.87770 - 2024/03/22(Fri) 10:50:44
☆ Re: 高2です / X
模範解答の方針では
z=3n
と置いたとき
z=x+y
でx∈A(つまりxが9の倍数)
y∈B(つまりyが15の倍数である)
ようなx,yが存在することを示しています。
ですので
x=27n
と置くと
y=z-x=-24n
∴y∈Bとなるようにyを選べていないので
証明になりません。
No.87771 - 2024/03/22(Fri) 11:23:40
☆ Re: 高2です / WIZ
解説の「x=18n」の部分を単純に「x=27n」に置き換えたら、勿論間違いになります。
何故だめなのかはXさんの書き込みの通り。

但し、nを整数とし、x = 27nとして証明したいということであれば、
z = 3(-n) = -3n, y = -30nとすれば、x ∈ A, y ∈ Bでx+y = z ∈ Cとできますので、
「x=18n」の部分以外も書き換えれば正しく証明できます。
No.87772 - 2024/03/22(Fri) 21:10:49
☆ Re: 高2です / ぴーたろ
Xさん
WIZさん
ありがとうございます、理解できました！！
No.87773 - 2024/03/23(Sat) 10:53:11
★ 組み合わせ / 冬川
高校数学の組み合わせの問題なのですが、考え方を教えていただきたいです。

【問題】
3行100列のマス目がある。
その各マスに表・裏の区別があるコインがすべて表向きに置かれている。
操作１と２の繰り返しで得られる配置は何通りか。

操作１：１〜３の整数（i = 1,2,3）を1つ選び、第i行にあるコインをすべて表にする

操作２：１〜１００の整数（j = 1,2,…,100）を1つ選び、第j列にあるコインをすべて裏にする

【答】
6*4^100 - 6*3^100 + 2^100　通り
No.87755 - 2024/03/19(Tue) 18:29:43
☆ Re: 組み合わせ / IT
第j行にあるコインをすべて裏 は、「第ｊ列」ですね。

結構むつかしいですね。
できてませんが、
最後の操作１で表にする１つの行と操作２で裏にする１つの列以外の２行・９９列について考えると
ある列が上から○×となっていれば、他の列は上から×○になることはないですね。その他の組み合わせは、あり得ます。
No.87756 - 2024/03/19(Tue) 21:37:28
☆ Re: 組み合わせ / 冬川
> 第j行にあるコインをすべて裏 は、「第ｊ列」ですね。
すみません間違えてました、その通りです！修正しました
No.87757 - 2024/03/19(Tue) 22:16:20
☆ Re: 組み合わせ / IT
列数を少なく（４列とかに）して考えると良いかも知れませんね。
最終形をみれば、最終操作列は１つに定まりますが、最終操作行は、判別できない場合があるので、先に言った方法では難しいかも知れませんね。

３つの行をA,B,Cとします。　
３行とも操作したとして,それぞれの行が最後に操作された順番をA,B,C とすると
Cは１枚だけが裏返しで他の99枚は表
BはCが裏である列のコインは裏で、他のコインは表裏どちらもあり得ますね。
AはBが裏である列のコインは裏で、他のコインは表裏どちらもあり得ますね。
この考え方で数えられるのではないでしょうか。

結果を見たときにA,B,Cの操作順が区別できない場合があるので調整する必要があると思います。

答えからすると、操作１で終わる。のもありのようですね？
出典は何ですか？　できれば出題者に確認されると良いと思います。
No.87758 - 2024/03/20(Wed) 07:27:50
☆ Re: 組み合わせ / WIZ
問題文について確認したいのですが、「操作１と２の繰り返し」というのは、
「操作１→操作２→操作１→操作２→・・・」というふうに、
必ず交互に操作しなければいけないという意味なのか、
それとも操作１を連続２回など、任意の順序で操作しても良いのかどちらでしょう?
# 交互か任意で結果が違うのかも含めて、私には解法は分かっていませんけど。
No.87759 - 2024/03/20(Wed) 09:51:46
☆ Re: 組み合わせ / 冬川
> 最終形をみれば、最終操作列は１つに定まりますが、最終操作行は、判別できない場合があるので、先に言った方法では難しいかも知れませんね。

この考え方の根幹は、最終操作が操作１のときと、操作２の時で場合分けしてそれぞれ数えるという考え方でしょうか？
No.87760 - 2024/03/20(Wed) 10:05:52
☆ Re: 組み合わせ / 冬川
> 問題文について確認したいのですが、「操作１と２の繰り返し」というのは、
> 「操作１→操作２→操作１→操作２→・・・」というふうに、
> 必ず交互に操作しなければいけないという意味なのか、
> それとも操作１を連続２回など、任意の順序で操作しても良いのかどちらでしょう?

すみません、この問題文しか手元にないので確認してみますが、自分は任意の順序で操作しても良いととらえていました。
No.87761 - 2024/03/20(Wed) 10:07:42
☆ Re: 組み合わせ / IT
> この考え方の根幹は、最終操作が操作１のときと、操作２の時で場合分けしてそれぞれ数えるという考え方でしょうか？

違います。そもそも　最終操作は操作２という前提で考えようとしていましたが、そうではないようですね。
No.87762 - 2024/03/20(Wed) 10:12:33
☆ Re: 組み合わせ / IT
2015年日本ジュニア数学オリンピックの問題のようですね
下記２つめに解答がありますが、結果が異なる操作順をもれなく重複なく数え上げていることの説明が不足しているように思います。（略解ということかも知れませんが）
解答文では行と列、操作１と操作２を取り違えている？タイポ？

https://www.imojp.org/archive/challenge/old/jjmo13yq.html

https://www.takeda.tv/toyota/blog/post-133964/
No.87763 - 2024/03/20(Wed) 10:25:53
☆ Re: 組み合わせ / 冬川
> 2015年日本ジュニア数学オリンピックの問題のようですね

なんと！数学オリンピックの問題だったんですね。難しいわけですね。
全然解けなかったので助かりました。ありがとうございます！
No.87764 - 2024/03/20(Wed) 10:33:31
☆ Re: 組み合わせ / 冬川
友人が手書きで写してた問題なので、どこかで落としてたのかもしれません。すみません。ありがとうございました！
No.87766 - 2024/03/20(Wed) 13:19:58
☆ Re: 組み合わせ / WIZ
ITさんの紹介されたリンク先の解答を読んでも私にはチンプンカンプンでした。
頭の固いシニアには難問でも、頭の柔らかいジュニアにはさほど難問ではないのかな?
解説探してもITさん紹介のやつ以外は見当たらないし。
他の問題の解説はチラホラ見かけますが・・・。
2015年のJJMO予選問題恐るべし!
No.87767 - 2024/03/20(Wed) 17:55:23
☆ Re: 組み合わせ / IT
リンク先の解答をざっとしか見ていませんが、

・操作１、操作２とも　ある行、ある列に対しての操作は　複数回行っていたとしても、最後の操作だけにしても結果は同じである。

・複数の操作２についてその間に操作１がない場合は、その順序は、結果に影響しない。

・操作１（i）の前に操作２(j)を行うのと、操作１（i）の後に、操作２(j) を行うのとでは、結果が異なる。

などの基本原理のもとに考える。

・操作１(1),操作１(2),操作１(3) の順番は６通りある。
（操作１(i)をしない場合もあるが、最初に操作１(i)をすれば、しないことと同じなので、３つすべてやるとしても良い。）
・・・　

操作２(j)は、操作１(1)の前、操作１(1)と(2)の間、操作１(2)と(3)の間、操作１(3)の後の４か所どこかでの実施がありえる。
全部で4^100通り

・・・

（ポイント）操作１はすべてのi=1,2,3、操作２は、すべてのj=1,...,n について１度は実施する。と考えても良い。

操作２(j)をやらない場合があるかも知れませんが、
操作１(1)操作１(2)操作１(3)の前にやると考えると、やらない場合と同じなので良い。
No.87768 - 2024/03/20(Wed) 18:59:37
☆ Re: 組み合わせ / IT
> 他の問題の解説はチラホラ見かけますが・・・。
> 2015年のJJMO予選問題恐るべし!
https://www.imojp.org/domestic/jjmo_yosen.html

１から８問めまでは、比較的容易で　９〜１２問は難問だったようです。
2467人中9点6人、10点2人、11,12点なし　です。
合格者92名には有名中学が多いですね。
No.87769 - 2024/03/20(Wed) 19:42:01
★ 複素数平面 / Nick
(b)複素数平面を利用してどのように求められるのかを教えていただきたいです。
No.87752 - 2024/03/19(Tue) 16:51:01
☆ Re: 複素数平面 / ヨッシー
原点をＯ、z1 の表す点をＡ、z1＋z2 の表す点をＢとすると、
∠ＯＡＢ＝π/4、ＯＡ＝ＡＢ　などから
ＯＢとｘ軸のなす角が π/8 とわかります。
すると、z1＋z2 の虚部/実部 がtan(π/8) となります。
No.87753 - 2024/03/19(Tue) 17:00:33
☆ Re: 複素数平面 / Nick
理解できました。早々にご返信ありがとうございました。
No.87754 - 2024/03/19(Tue) 17:20:15
★ なんで座標にマスがないのに座標がわかるのか教えてください / 数学苦手
数学1の図形と計量の問題です。
問題の解答で、右の説明のところの、180°-120°であるから〜からがいまいちピンときません。
正三角形の半分を考えるよりも三角定規の辺の比で考えた方がいいと思うんですけど、、
あと、自分が吹き出しに書いている考え方でもあっていますか？ちなみにこれは違う問題集から引っ張ってきたのですが、、教えてください。
ごちゃごちゃしててすみません
No.87748 - 2024/03/13(Wed) 15:24:34
☆ Re: なんで座標にマスがないのに座標がわかるのか教えてください / 山田山
質問者さんのおっしゃる通り60°三角定規の考え方で良いと思います。吹き出しに書いてある事も間違いではありません。タイトルについては座標平面上に於いて、半径2,中心(0.0)の円周上の点についてx座標をcosθ,y座標をsinθとして表しているからです。
No.87749 - 2024/03/14(Thu) 05:06:16
☆ Re: なんで座標にマスがないのに座標がわかるのか教えてください / 数学苦手
なるほど。
自分的には三角定規のほうが分かりやすかったので、
三角定規の考え方でやってみようと思います！！
ありがとうございました！
No.87750 - 2024/03/14(Thu) 14:05:38
★ 複素数平面 / Nick
私の解答が合っているか確認していただきたいです。(b)が特に不安です。また何かアドバイスがあれば頂きたいです。
No.87734 - 2024/03/11(Mon) 22:51:45
☆ Re: 複素数平面 / Nick
(a)です
No.87735 - 2024/03/11(Mon) 22:52:22
☆ Re: 複素数平面 / Nick
(b)です
No.87737 - 2024/03/11(Mon) 22:53:03
☆ Re: 複素数平面 / Nick
(b)です。
No.87738 - 2024/03/11(Mon) 22:53:21
☆ Re: 複素数平面 / Nick
(b)です
No.87739 - 2024/03/11(Mon) 22:54:01
☆ Re: 複素数平面 / X
(a)については問題ありません。

(b)について。
境界線がf(z)によりどのように変換されるか
を考える方針に問題はありませんが、
記述の仕方が問題です。

f(z)=u+iv
と置いているので、f(z)を計算する際に
例えば、(i)において
＞＞u=f(z)=…
と書くのはよろしくありません。
(ii)(iii)においても
f(z)=…
と書くところを
u=…
と書いてしまっています。
(解答の流れからf(z)のことだとは分かりますが。)

それと、u,vの値の範囲についてですが
(i)はvの値の範囲のみで十分です。
同様に
(ii)についてはvの値の範囲を
(iii)についてはuの値の範囲を
それぞれ書いておく必要があります。
No.87742 - 2024/03/12(Tue) 11:30:03
☆ Re: 複素数平面 / Nick
大変分かりやすくありがとうございます。
u=f(z)=•••ではなく、w=f(z)=•••と書いています。字が汚く申し訳ありません。

作図に関しては正解しているという認識でよろしいですか？
No.87743 - 2024/03/12(Tue) 12:23:47
☆ Re: 複素数平面 / X
＞＞作図に関しては正解しているという認識でよろしいですか？
それで問題ないと思います。
No.87745 - 2024/03/12(Tue) 21:18:16
★ (No Subject) / 海
放物線C1：y＝x^2−4x＋3
放物線C2：y＝x^2＋3
C1とC2の接戦l：y＝−2x＋2

これらの線で囲まれた部分の面積の計算式を知りたいです。
No.87703 - 2024/03/11(Mon) 00:10:07
☆ Re: / WIZ
y = x^2+3とy = -2x+2の接点は(-1, 4)
y = x^2-4x+3とy = -2x+2の接点は(1, 0)
y = x^2+3とy = x^2-4x+3の交点は(0, 3)

よって囲まれた面積は
∫[-1, 0]{(x^2+3)-(-2x+2)}dx+∫[0, 1]{(x^2-4x+3)-(-2x+2)}dx
No.87704 - 2024/03/11(Mon) 00:41:27
★ 高一:場合の数 / 山田山
この問題に対して次の様な解き方で解きましたが解答と数値が一致しませんでした。何が原因か教えて頂けると幸いです。
No.87701 - 2024/03/10(Sun) 23:36:43
☆ Re: 高一:場合の数 / WIZ
特定の2人をA, Bとし、特定でない8人をC〜Jとします。

特定の2人(A, B)から2人を選ぶ方法は、C(2, 2) = 1通り
特定でない8人(C〜J)から5人を選ぶ方法は、C(8, 5) = 56通り

特定の2人(A, B)から1人を選ぶ方法は、C(2, 1) = 2通り
特定でない8人(C〜J)から6人を選ぶ方法は、C(8, 6) = 28通り

合計は、1*56+2*28 = 112通り

質問者さんの誤りは、特定の2人(A, B)から1人を選んだ場合、
その選んだ特定の人以外の9人から6人を選んでいること。
選んだ特定の人以外の9人には特定の2人の内の選ばれなかった人も含まれてしまっている
なので、特定の2人が同時に選ばれる場合を重複して数えてしまっている。
No.87705 - 2024/03/11(Mon) 00:56:46
☆ Re: 高一:場合の数 / 山田山
回答ありがとうございます。とてもわかりやすかったです。
No.87706 - 2024/03/11(Mon) 01:58:53
★ 対数関数の不等式 / 数学
(2)についてです。過去問で勉強してるの
ですが、解説はありません。
真数条件でx＞2までしか分からず
どう解けば良いのか教えて頂きたいです。
No.87690 - 2024/03/10(Sun) 20:00:13
☆ Re: 対数関数の不等式 / IT
まず絶対値記号を除去します。

Log(x)+Log(x-2)-1＜3
Log(x)-(Log(x-2)-1)＜3,底2の表記は省略
は解けますか？

解けないなら、分かり易い解説付きの問題集をやる方が効率的だと思います。
No.87694 - 2024/03/10(Sun) 20:31:28
☆ Re: 対数関数の不等式 / 数学
回答ありがとうございます。
底がeなら省略されるっていう知識しかなく
よく分かってないです。
こんな感じでやれば値は求めれたのですが、
説明不足だったりしますかね、、、
No.87696 - 2024/03/10(Sun) 21:42:05
☆ Re: 対数関数の不等式 / IT
底2は、普通は省略しません。私がこの場の入力を簡単にするために省略したのです。
No.87697 - 2024/03/10(Sun) 21:50:31
☆ Re: 対数関数の不等式 / IT
適当な所に「かつ」を書いた方が良いと思います。
No.87698 - 2024/03/10(Sun) 21:55:59
☆ Re: 対数関数の不等式 / 数学
ITさん、ありがとうございます！助かりました！
No.87702 - 2024/03/11(Mon) 00:01:22
★ 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)
こんにちは

整数問題-０7 京都大学過去問

何卒宜しくお願いします

以下問題

------------------------------
No.87681 - 2024/03/10(Sun) 15:38:22
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / らすかる
a≧3かつb≧3とすると(左辺)≧18c、(右辺)≦17cなので解なし、よってa=2またはb=2
a=2を代入して整理すると(2b-5)(4c-5)=33となり、この式とb＜cを満たす解はない。
b=2を代入して整理すると(2a-5)(2c-1)=15となり、この式とa＜cを満たす解は(a,c)=(3,8)のみ。
従って条件を満たす解は(a,b,c)=(3,2,8)
No.87686 - 2024/03/10(Sun) 18:39:17
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / IT
少し違う解答のポイント（完成答案ではないです）
右辺＜17c なので ab≦8
またa,b は2以上で互いに異なるのでab≧6
よってab=6,8

左辺は偶数なのでbは偶数。
以上から(a,b)=(3,2),(2,4),(4,2)　後は簡単。
No.87688 - 2024/03/10(Sun) 19:09:37
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)
らすかる先生

こんばんは

お久しぶりです

ご回答ありがとうございます。

早速ですが

>a≧3かつb≧3とすると(左辺)≧18c、‥?@
>(右辺)≦17cなので解なし、よってa=2またはb=2…?A

?@の不等式は、a≧3かつb≧3とすると仮定して評価されていますが、

a≧4かつb≧4とすると(左辺)≧32c
右辺)≦17cなので解なし、よってa=3,2またはb=3,2

とも考えられませんか

何卒宜しくお願いします
No.87689 - 2024/03/10(Sun) 19:50:41
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / らすかる
a≧3かつb≧3で成り立たないのですから、3を大きくしても意味がありません。
a≧10かつb≧10とかでも同じことが言えますが、何か意味がありますか？
No.87699 - 2024/03/10(Sun) 22:00:32
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)
らすかる先生
こんばんは

a≧4かつb≧4とすると(左辺)≧32c
右辺)≦17cなので解なし、よってa=3,2またはb=3,2

>a≧3かつb≧3で成り立たない

此れは、右辺)≦17cなので解なしを意味するもので

a=3,2またはb=3,2の場合を考慮しないでもいいわけではない



とは言えない


何が成り立たないのでしょうか
No.87700 - 2024/03/10(Sun) 23:27:05
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / らすかる
何を言いたいのかわかりません。
「何が成り立たないのでしょうか」の「成り立つ」が何を指しているのかもわかりません。
例えば
a≧10かつb≧10とすると(左辺)≧200c
(右辺)≦17cなので解なし、よってa=2,3,4,5,6,7,8,9またはb=2,3,4,5,6,7,8,9
としたらa=2,3,4,5,6,7,8,9とb=2,3,4,5,6,7,8,9の考慮が必要
と言いたいのですか？
数字を大きくすれば解の存在範囲を絞れないだけのことなので
a≧4かつb≧4とするのは全く意味がないことだと思いますが。
単に
a≧3かつb≧3で始めたらa=2とb=2だけ考慮すればよい
a≧4かつb≧4で始めたらa=2,3とb=2,3を考慮すればよい
a≧5かつb≧5で始めたらa=2,3,4とb=2,3,4を考慮すればよい
という考え方が正しいか、という意味でしたら正しいですが、そういうことでしょうか。
No.87707 - 2024/03/11(Mon) 02:05:27
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)
らすかる先生

夜遅くまでありがとうございます。

早速ですが

ラスカル先生の論法ですと

>数字を大きくすれば解の存在範囲を絞れない

のです

>a≧3かつb≧3

だけから議論を始めた事に誤りがあるのではないでしょうか

>a≧3かつb≧3で始めたらa=2とb=2だけ考慮すればよい
a≧4かつb≧4で始めたらa=2,3とb=2,3を考慮すればよい
a≧5かつb≧5で始めたらa=2,3,4とb=2,3,4を考慮すればよい

そのとらえ方で相違ありません

a≧3かつb≧3　のみで始めた論法は一般性を欠くと思われます
No.87708 - 2024/03/11(Mon) 02:54:42
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / らすかる
なぜa≧3かつb≧3から始めるのが誤りなのですか？
なぜ一般性を欠くのですか？
a≧4かつb≧4から始めたら一般性を欠かないのですか？
「a≧3かつb≧3」の否定は「a＜3またはb＜3」なので
「a≧3かつb≧3のとき解なし」ならば
「解があるのはa＜3またはb＜3のとき」
この論理のどこに問題がありますか？
No.87710 - 2024/03/11(Mon) 02:59:32
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)
>a≧4かつb≧4から始めたら一般性を欠かないのですか？

これも一般性を欠きます


数字を大きくすれば解の存在範囲を絞れない

では議論になりません。
No.87711 - 2024/03/11(Mon) 03:17:27
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)

------------------------------------
「a≧3かつb≧3」の否定は「a＜3またはb＜3」なので
「a≧3かつb≧3のとき解なし」ならば
「解があるのはa＜3またはb＜3のとき」
この論理のどこに問題がありますか？
--------------------------------------

問題ないと思われます
No.87712 - 2024/03/11(Mon) 03:22:43
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / らすかる
問題ないのに、なぜ「一般性を欠く」とか「議論にならない」ということになるのですか？
解の範囲を絞るために
「条件Aを仮定すると解が存在しないから、
解が存在するためには条件Aを満たさない場合だけを考えればよい」
のように考えるのは全くもって普通の解き方だと思いますが、
これの何が悪いのですか？
No.87713 - 2024/03/11(Mon) 03:26:43
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)
そもそも、
a≧3かつb≧3

から始めた議論です

その議論が

数字を大きくすれば解の存在範囲を絞れない

では、一般的な議論はできません
No.87714 - 2024/03/11(Mon) 03:33:08
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / らすかる
それが理解できません。
解の範囲をなるべく狭く絞りたいから、
右辺の係数2+5+10=17から
17より大きい18になるように
2×3×3=18からa≧3,b≧3とすれば最大限に絞れる
という考え方で決めた数です。
数字を大きくすると解の存在範囲を絞れないのではなく、
解の候補が多くなってその後が面倒になるだけで
別にa≧4かつb≧4から始めても問題はありません。
「一般的な議論」が何のことを言っているのか
いまだにサッパリわかりませんので、
何を意味しているのか具体的に書いてもらえませんか？
No.87715 - 2024/03/11(Mon) 03:42:43
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)


ラスカル先生は
a≧3,b≧3

から始めて

a≧4かつb≧4

仮に

a≧pかつb≧p とすると

ラスカル様の論法では

考慮すべきpは無限大に存在します

それを一般的に扱えますか
No.87716 - 2024/03/11(Mon) 04:10:49
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / らすかる
この問題では、「考慮すべきp」は無限には存在しません。
（例えばp=10などは考慮するだけ無駄なので、「考慮すべきではありません」。）
p=3だけ考慮すれば十分であり、4以上のpは考慮する必要がありません。
p=3の考慮だけで全く正しく問題が解けているのに、なぜ4以上を考慮する必要があるのですか？
No.87717 - 2024/03/11(Mon) 04:16:03
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)
>この問題では、「考慮すべきp」は無限には存在しません。

全くその通りです

ただ、ラスカル様の論法では

------------------------------------------

a≧3かつb≧3で始めたらa=2とb=2だけ考慮すればよい
a≧4かつb≧4で始めたらa=2,3とb=2,3を考慮すればよい
a≧5かつb≧5で始めたらa=2,3,4とb=2,3,4を考慮すればよい

--------------------------------------------

無限に存在します。
No.87718 - 2024/03/11(Mon) 04:24:14
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / らすかる
「考慮可能なもの」は無限に存在しますが
「考慮すべきもの」は無限ではありません。
「考慮可能なものが無限に存在する」ということは、すなわち「解き方が無限に存在する」ということになるだけで、その無限にある解き方のうち最も簡単なものが「a≧3かつb≧3」ですから、この条件にするのが最適です。
No.87719 - 2024/03/11(Mon) 04:32:57
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)

----------------------------------------------

その無限にある解き方のうち最も簡単なもの

が「a≧3かつb≧3」ですから、この条件にするのが最適です。

------------------------------------------

此れは議論ではありません

「最も簡単なもの」これは主観です
No.87720 - 2024/03/11(Mon) 04:51:37
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)
>「考慮すべきもの」は無限ではありません。
「考慮すべきもの」此れは主観ですか？
No.87721 - 2024/03/11(Mon) 05:02:51
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)
---------------------------------------
a≧3かつb≧3で始めたらa=2とb=2だけ考慮すればよい
a≧4かつb≧4で始めたらa=2,3とb=2,3を考慮すればよい
a≧5かつb≧5で始めたらa=2,3,4とb=2,3,4を考慮すればよい
という考え方が正しいか、という意味でしたら正しいです
-------------------------------------------
つまり、無限大に考慮しなければなりません。
No.87722 - 2024/03/11(Mon) 05:12:03
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / らすかる
> 「最も簡単なもの」これは主観です
主観ではありません。
a≧3かつb≧3のときに解がないことが示せれば、
解を調べるのはa=2とb=2の二つだけです。
これをa≧4かつb≧4にするとa=2,3とb=2,3の4つ、
a≧5かつb≧5にするとa=2,3,4とb=2,3,4の6つですから、
どう考えても「a≧3かつb≧3」とするのが最も簡単です。

> 「考慮すべきもの」此れは主観ですか？
主観ではありません。
例えば「a≧3かつb≧3のときに解がない」ことが示せれば、
自動的に
「a≧4かつb≧4のときに解がない」
「a≧5かつb≧5のときに解がない」
・・・
も成り立ちますので、「考慮すべきもの」は一つしかありません。
もし何かの勘違いで
「a≧4かつb≧4のときに解がない」
を示してしまったとしても、やはり自動的に
「a≧5かつb≧5のときに解がない」
「a≧6かつb≧6のときに解がない」
・・・
も成り立ちますので、同じく「考慮すべきもの」は一つしかありません。
つまりどれか一つのpに関して考慮すればそれ以上は考慮する必要がありませんので、
「考慮すべきものは無限」ということはあり得ません。
No.87723 - 2024/03/11(Mon) 05:25:03
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)
少し話が逸れたようです。原点に戻りましょう

>a≧3かつb≧3とすると(左辺)≧18c、(右辺)≦17cなので解なし、よってa=2またはb=2

a≧4かつb≧4で始めたらa=2,3とb=2,3を考慮
a≧5かつb≧5で始めたらa=2,3,4とb=2,3,4を考慮

しなければなりません
No.87724 - 2024/03/11(Mon) 06:06:15
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)
朝が来ちゃいましたね

ありがとうございます。
No.87725 - 2024/03/11(Mon) 06:08:59
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)
No.87724 - 2024/03/11(Mon) 06:06:15
補足

(考慮すべき),(考慮可能)ではなく

考慮しなければなりません
No.87726 - 2024/03/11(Mon) 06:17:24
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / らすかる
「a≧3かつb≧3のとき解はない」ことが示せたら、
「a≧4かつb≧4のとき」
「a≧5かつb≧5のとき」
なども解がないことが自明ですから、
「a≧3かつb≧3」で考えれば「a≧4かつb≧4」や「a≧5かつb≧5」などを
「考慮する必要はありません」。

「a≧3かつb≧3のとき解はない」ことがわかった場合、
a=2とb=2を考慮する必要があります。
「a≧4かつb≧4のとき解はない」ことがわかった場合、
a=2,3とb=2,3を考慮する必要があります。
「a≧pかつb≧pのとき解はない」ことがわかった場合、
2≦a＜pと2≦b＜pを考慮する必要があります。
これらは当然ですが、
「a≧3かつb≧3のとき解はない」ことを示す労力
「a≧4かつb≧4のとき解はない」ことを示す労力
「a≧5かつb≧5のとき解はない」ことを示す労力
・・・
は全く同じですから、
その後に示すのがa=2とb=2の二つだけである
「a≧3かつb≧3」について示すのが最も簡潔な解答になります。
No.87727 - 2024/03/11(Mon) 06:42:21
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)
長くお付き合い頂きありがとうございます。

「労力」とは、どういう意味ですか

また、

No.87727 - 2024/03/11(Mon) 06:42:21

を答案にするとどの様になりますか
No.87728 - 2024/03/11(Mon) 07:00:16
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / らすかる
「労力」は、ほぼそれを示すの書く必要のある文字数です。
並べて書いたものは全部全く同じ式で数値が異なるだけですから、
労力は同じですね。

「87727を答案にする」とはどういう意味ですか？
「答案としてa≧3かつb≧3のとき解はないこととa=2とb=2について調べれば十分」
ということを詳しく説明しているだけで、87727は答案ではありません。

一つ質問なのですが、私が87686で書いた最初の解答は「誤り」とお考えですか？
No.87729 - 2024/03/11(Mon) 07:06:16
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)
>一つ質問なのですが、私が87686で書いた最初の解答は「誤り」とお考えですか？

以下の記述が無い限り不十分と考えます
-------------------------------------------

「a≧3かつb≧3のとき解はない」ことがわかった場合、
a=2とb=2を考慮する必要がある
「a≧4かつb≧4のとき解はない」ことがわかった場合、
a=2,3とb=2,3を考慮する必要がある。
「a≧pかつb≧pのとき解はない」ことがわかった場合、
2≦a＜pと2≦b＜pを考慮する必要がある

「a≧3かつb≧3のとき解はない」ことを示す労力
「a≧4かつb≧4のとき解はない」ことを示す労力
「a≧5かつb≧5のとき解はない」ことを示す労力
・・・
は全く同じである
その後に示すのがa=2とb=2の二つだけである

-----------------------------------------------
No.87730 - 2024/03/11(Mon) 07:20:50
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / らすかる
それではもうこれ以上説明しても（今まで説明したことの繰り返しにしかならず）理解して頂くのは無理っぽいので、これで終わりにします。
87686の解答は
a=2かつb=2の場合は「a=2のとき」と「b=2のとき」に含まれる
a=2かつb≧3の場合は「a=2のとき」に含まれる
a≧3かつb=2の場合は「b=2のとき」に含まれる
a≧3かつb≧3の場合は最初の解なしの説明に含まれる
となっていてすべての場合を網羅しており、完全に正しく、不十分な点は何一つありません。
87730で書いてあることは解答には全く不要です。
以後、このスレへの回答は控えさせていただきます。
No.87731 - 2024/03/11(Mon) 07:49:14
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)
らすかる先生

最後までお付き合いいただきありがとうございました
No.87732 - 2024/03/11(Mon) 07:55:46
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / 通りすがり

横レス失礼
Nishino氏は、「a≧3かつb≧3」を満たす正の整数(a,b)の集合が、「a≧pかつb≧p (p≧4)」を満たす正の整数(a,b)の集合を含んでいるという集合の包含関係を理解していないように見える。だから、別の集合と考えて、場合分けのようにp≧4に言及しないといけないと考えているのではないか。
　
もしNishino氏が上記のことを理解しているとしたら、上記のこと（集合の包含関係）を自明とするらすかる氏と、自明としてはいけないと考えるNishino氏の間で齟齬が生じているように見える。（私は自明派）
No.87744 - 2024/03/12(Tue) 20:31:10
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / けんけんぱ
もう一つ横レスです
Nishino氏は中学2年なのですから、まずは学校の先生に質問するのが良いと思います。
ネットの掲示板では、文字だけのやりとりですので、読解力と文章力を必要とします。
見ていると語彙の少ないNishino氏では、どちらもまだ未熟であると言わざるを得ません。
まずは身近な大人に質問をし、ネットの掲示板を利用する際はその大人が質問するようにした方がいいと思いますよ。
No.87746 - 2024/03/12(Tue) 23:07:01
★ 三角関数 / 高校生
QA²の計算方法が分かりません。
答えは分かるのですがその過程の展開
を詳しく知りたいです。
No.87676 - 2024/03/10(Sun) 14:38:27
☆ Re: 三角関数 / 高校生
Q(cos2θ，sin2θ)です。
No.87677 - 2024/03/10(Sun) 14:39:52
☆ Re: 三角関数 / IT
図で考えると計算は簡単だと思います。
No.87678 - 2024/03/10(Sun) 14:58:21
☆ Re: 三角関数 / IT
下図のとおり、QA^2= (2sinθ)^2 です。
No.87687 - 2024/03/10(Sun) 18:54:04
☆ Re: 三角関数 / Nishino (中学２年生)
IT先生へ

質問とは異なるのですが

添付されているきれいな図は

何のソフトを使って作成されているのですか
No.87691 - 2024/03/10(Sun) 20:02:10
☆ Re: 三角関数 / IT
> 何のソフトを使って作成されているのですか
grapes です
https://tomodak.com/grapes/
No.87693 - 2024/03/10(Sun) 20:25:22
☆ Re: 三角関数 / Nishino (中学２年生)
IT先生

こんばんは


教えて頂きありがとうございます。

早速、インストールして練習してみます

彼処
No.87695 - 2024/03/10(Sun) 21:25:11
★ 整数問題-０6 鳥取大学 / Nishino (中学２年生)
整数問題-０6 鳥取大学

こんにちは

何卒宜しくお願いします

以下問題

----------------------------------------
No.87665 - 2024/03/09(Sat) 01:51:58
☆ Re: 整数問題-０6 鳥取大学 答案 / Nishino (中学２年生)
こんにちは

答案出来ました

ご指摘ご指導のほどよろしくお願いいたします。
No.87679 - 2024/03/10(Sun) 15:04:57
☆ Re: 整数問題-０6 鳥取大学 / Nishino (中学２年生)
追伸

Pick's theorem を格子点の個数を求めることが楽になる問題は、先ずないのであるが、、、
この問題は、特異のケース
No.87680 - 2024/03/10(Sun) 15:11:21
★ 最大値のｘの範囲がわかりません / 宇宙人
答えは順番に0　2√3/9　5
なんですけど解き方が分かりません。
No.87663 - 2024/03/08(Fri) 23:40:48
☆ Re: 最大値のｘの範囲がわかりません / IT
問題を正しく理解できていますか？
（母国語（＝日本語？）で書いてみられた方がいいかも）

特に,「"the number of real　solutions" is maximum 」は、
「"solutions" is maximum 」ではないですよ。

問題を正しく理解されたうえで、まずy=x|x^2-3x+2| のグラフを描きます。
No.87667 - 2024/03/09(Sat) 08:29:38
★ 体積の求め方（３）の問題 / 学力不足　中３
答え　１８√２　㎤
学力不足で解き方が解りません。詳しい解説を、よろしくお願いします。
No.87657 - 2024/03/08(Fri) 19:38:07
☆ Re: 体積の求め方（３）の問題 / IT
(2)の 線分AH の長さはどうなりましたか？

△ABHの面積は分かりますか？
（ABを底辺としたときの高さを三平方（ピタゴラス）の定理で求ます。）

後は、三角錐の体積の公式を使えば、問題の体積が求められると思います。
No.87658 - 2024/03/08(Fri) 20:06:53
☆ Re: 体積の求め方（３）の問題 / 学力不足　中３
ありがとうございます。何とか解けました。
No.87666 - 2024/03/09(Sat) 04:24:40
★ 確率と期待値 / Nick
この問題の解説をお願い致します
No.87653 - 2024/03/08(Fri) 13:19:56
☆ Re: 確率と期待値 / Nick
(1)と(2)はこのようになりました。(3)は(2)の和で求められるかと思うのですが、この式ではおそらく発散するので求められず、分かりません。
よろしくお願い致します
No.87654 - 2024/03/08(Fri) 13:22:34
☆ Re: 確率と期待値 / IT
(2)までが合っているかは、最後までは確認していませんが
合っていたとして、(3)の和は、有限和なので「発散」しないのでは？
No.87659 - 2024/03/08(Fri) 21:42:51
☆ Re: 確率と期待値 / Nick
私の発散という解釈が間違っていました。ただNを無限大にすることができれば区分求積法から求められるとは思うのですが、問題からはNを無限大にすることはできないです。したがって値を出すことはできないと思いました。
No.87660 - 2024/03/08(Fri) 22:09:10
☆ Re: 確率と期待値 / IT
Σが使ってあっても各Nについて値は求まっていることに違いはないと思いますが？
No.87661 - 2024/03/08(Fri) 22:42:52
☆ Re: 確率と期待値 / Nick
それはそうなのですが、シグマを使わずに値を表すことはできないです。私はシグマを使わずに値を出したいのです。
No.87662 - 2024/03/08(Fri) 22:54:19
★ 高校 数学A 場合の数と確率 期待値について / 高校2年生
下記のような問の期待値を求める問題で、私と先生との答えが違っている状況です。

・コインを投げ、表が出たらもう一度投げられるが、裏が出たら終わりというゲームである。
・1回目に表が出たら4円、2回目に表が出たら4の2乗の16円、3回目に表が出たら64円貰える。
というようにn回目まで連続して表を出したら、4のn乗円もらえる。
（→3回目まで表の時は、足した84円でなく、64円のみである）
・裏が出たら、ゲーム終了で、それまでの金額も没収で0円となる。・途中でやめることもでき、やめた場合はその時の金額がもらえる
・表が出る限り最大で10回目まで投げることができる。
なおその時の当選金額は1048576円である

このゲームの期待値を求める際、
私は人によってやめる回数が変わるので期待値はそれぞれのやめる回数の期待値の最小値（1回目 確率1/2 当選金4円 期待値2円）から期待値の最大値（10回目 確率1/1024 当選金1048576円 期待値 1024円）の間の金額となると思うのですが、
先生は1回目から10回目の期待値を求め、足してしまい、2046円となっています
(正確には期待値の定義式x1p1+x2p2+…+xnpnに代入して求めていると思います)

もし私の考え方が違っている場合は、期待値をどういう捉え方で考えたらよいか、教えていただき、
先生の考え方が違っている場合は、期待値が2046円にならない理由を教えてほしいです。
よろしくお願いします
No.87650 - 2024/03/08(Fri) 08:05:09
☆ Re: 高校 数学A 場合の数と確率 期待値について / WIZ
この問題文だけでは当選金の期待値は計算できないと思います。
私が問題文に不足していると思う情報は「ゲームをやめるかやめないかの確率」です。

当選金を確率変数x, その当選金となる確率pとすれば
期待値はΣ{x[k]p[k]}という定義で、人による解釈の違いが入り込む余地はありません。
xの取り得る値は{0, 4, 4^2, 4^3, ・・・, 4^10}の11通りで、これは問題文から明確に分かります。
しかし、各xの値に対する確率pが問題文からは決定できないと思うのです。

質問者さんの考え方に誤りがあると思う点として、
「最小値（1回目 確率1/2 当選金4円 期待値2円）」という記述です。

当選金を得るためにはゲームをやめるという選択をしなければなりません。
例えば、(やめる確率, やめない確率) = (1/2, 1/2)だとすると、
最小値である1回目は、(当選金 = 4円)*(表が出る確率 = 1/2)*(やめる確率 = 1/2) = (期待値 = 1円)
となるのではないかと思います。

数学から少し離れますが、(やめる確率, やめない確率)について考察してみると

参加費が無く、負けても当選金が0になるだけで損をすることはないのだから、
常に(やめる確率, やめない確率) = (0, 1)というギャンブラー(!)もいるでしょう。

或いは、1回や2回表がでても当選金なんてたかが知れているからやめないが、
もし5回も続けて表が出たら当選金は1000円超えなので、次裏が出て没収されるのは惜しいから
この辺でやめておくかと考える人もいるでしょう。
この場合は当選金が増えるとやめる確率も上がるという慎重派というか現実派とも言えます。

10回続けて表が出たらやめなくてはいけないのだから、
この時は(やめる確率, やめない確率) = (1, 0)とも言えます。
当選金は最大で4^10なのだから、k回目(1 ≦ k ≦ 10)での
(やめる確率, やめない確率) = ((1/4)^(10-k), 1-(1/4)^(10-k))とか?

先生がどういう計算をしたのかは分かりませんが、
9回目までは(やめる確率, やめない確率) = (1/2, 1/2)という固定、
10回目は(やめる確率, やめない確率) = (1, 0)だとすると、

x[0] = 0, 1 ≦ k ≦ 10としてx[k] = 4^k,
1 ≦ k ≦ 9としてp[k] = ((1/2)^k)(1/2), p[10] = (1/2)^10
p[0] = 1-Σ[k=1, 10]p[k] = 1-(1/4){1-(1/2)^10}/{1-1/2} = 1/2-(1/2)^11

(期待値) = Σ[k=0, 10]{x[k]p[k]}
= 0*{1/2-(1/2)^11}+Σ[k=1, 9]{(4^k)((1/2)^k)(1/2)}+(4^10)((1/2)^10)
= (1/2)Σ[k=1, 10]{(2^k)}+2^10 = (1/2)*2*(1-2^10)/(1-2)+1024 = 2^10-1+1024 = 2047

(やめる確率, やめない確率) = ((1/4)^(10-k), 1-(1/4)^(10-k))だとすると、
(期待値) = Σ[k=0, 10]{x[k]p[k]}
= 0*1+Σ[k=1, 10]{(4^k)((1/2)^k)((1/4)^(10-k))}
= Σ[k=1, 10]{(2^k)(4^(k-10))} = Σ[k=1, 10]{(8^k)/(4^10)}
= (8/(4^10)){1-8^10}/{1-8} = (8/7)(8^10-1)/(4^10) = 1170.28574・・・

# まあ、私の個人的感覚が多分に入った理屈ですから、話半分として聞いといてください。
No.87651 - 2024/03/08(Fri) 11:34:46
☆ Re: 高校 数学A 場合の数と確率 期待値について / 黄桃
>裏が出たら、ゲーム終了で、それまでの金額も没収で0円となる。
のであれば、
k回(k≧1)続けて表が出たらやめる、という作戦の期待値は確かに
(1/2)^k*2^(2k)=2^k (円)です。
この期待値が最大になるのはkが最大の時です。
だから、期待値を最大にする作戦、というのであれば、裏が出るまで続けろ、ということになります。

＃1回だけのゲームなら、無理ゲーでも、
＃期待値の計算では、いくらでも(1兆回でも)繰り返してもよい
＃という前提なので、一発勝負とは話がかなり変わってきます。

>先生は1回目から10回目の期待値を求め、足してしまい、
これは裏が出ても没収されない場合ですね。
先生は、没収されない場合を扱った有名な問題(サンクトペテルブルクのパラドックス、あるいは、サンクトペテルブルクの問題)をアレンジしようとしてうっかりしたのではないでしょうか。
Wikipedia にいろいろ書いてあるので興味があれば読んでみてください。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B5%E3%83%B3%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%9A%E3%83%86%E3%83%AB%E3%83%96%E3%83%AB%E3%82%AF%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
No.87668 - 2024/03/09(Sat) 11:44:48
★ 整数問題-０5 学習院大学大学 / Nishino (中学２年生)
整数問題-０5 学習院大学大学

おはようございます。
雪が降っております。ご自愛くださいませ。

何卒宜しくお願いします

以下問題

------------------------------------
No.87649 - 2024/03/08(Fri) 06:52:26
☆ Re: 整数問題-０5 学習院大学大学 / X
問題の等式から
m^2-1=2^n
(m+1)(m-1)=2^n
∴正の整数の組(m,n)の候補に対し
m+1=2^k (A)
m-1=2^(n-k) (B)
(但し、k=0,1,…,n)
(A)-(B)より
2^k-2^(n-k)=2
∴2^n={2^(k-1)-1}・2^(k+1) (B)'
ここで
2^(k-1)-1は偶数にはなりえない
ことに注意すると
2^(k-1)-1=1
∴k=2
このとき(A)(B)'から
(m,n)=(3,3)
No.87656 - 2024/03/08(Fri) 19:24:29
☆ Re: 整数問題-０5 学習院大学大学 / Nishino (中学２年生)
X先生

こんばんは

お久しぶりです。

回答読ませていただきました

以下答案です

------------------------------

ありがとうございます。

大筋、私も同じ考え方をしました
No.87664 - 2024/03/09(Sat) 01:37:50
☆ Re: 整数問題-０5 学習院大学大学 / X
＞＞(m+1)-(m-1)=(2^k)(k-1)=2
とありますが
(m+1)-(m-1)=(2^k)(k-1)
とした根拠は何ですか？
No.87669 - 2024/03/09(Sat) 16:49:55
☆ Re: 整数問題-０5 学習院大学大学 / Nishino (中学２年生)
X先生

こんにちは

返信が遅くなり申し訳ありません

早速ですが

>(m+1)-(m-1)=(2^k)(k-1)とした根拠は何ですか？

m+1>m-1, かつ、(m+1)-(m-1)=2

から

(m+1)=2^(k+1)と置くなら,
(m-1)=2^k と置く他ありません
No.87682 - 2024/03/10(Sun) 15:50:48
☆ Re: 整数問題-０5 学習院大学大学 / X
いえ、
m+1=2^(k+1) (A)
m-1=2^k (B)
と置くことができることは分かります。
そうではなくて、何故そのとき
＞＞(m+1)-(m-1)=(2^k)(k-1)
と変形できるか、ということです。
(A)(B)のとき
(m+1)-(m-1)=(2^k)(2-1)=2^k
ではありませんか？
No.87683 - 2024/03/10(Sun) 16:58:22
☆ Re: 整数問題-０5 学習院大学大学 / Nishino (中学２年生)
X先生

こんにちは

>(m+1)-(m-1)=(2^k)(2-1)=2^k

申し訳ございません。その通りですね

ここから、k=1 と保証できます

ご指摘ありがとうございます。
No.87684 - 2024/03/10(Sun) 17:30:02
★ よろしくお願いします / cavy
斜線部の面積を求める問題です。小学生が分かる解き方でお願い致します。
No.87643 - 2024/03/07(Thu) 11:10:27
☆ Re: よろしくお願いします / らすかる
二つの直角三角形は相似なので
6：(下の直角三角形の縦の長さ)=(上の直角三角形の横の長さ)：4
よって
(下の直角三角形の縦の長さ)×(上の直角三角形の横の長さ)=6×4=24
なので
(斜線部の面積)=(下の直角三角形の縦の長さ)×(上の直角三角形の横の長さ)÷2=12
No.87644 - 2024/03/07(Thu) 11:41:46
☆ Re: よろしくお願いします / ヨッシー
新しく斜線を引いた部分と同じ面積であると
気づいたなら、
　4×6÷2＝12
と出来ます。
No.87646 - 2024/03/07(Thu) 13:07:04
☆ Re: よろしくお願いします / cavy
どちらの解法も小学生が理解出来そうです。ありがとうございました。
No.87655 - 2024/03/08(Fri) 16:50:32
★ 確率　期待値 / Nick
(2)(3)を教えていただきたいです。
(1)は順に1/3, 11/45, 681/4050となりました。もし違うのであればご指摘お願いします。
No.87630 - 2024/03/05(Tue) 20:56:45
☆ Re: 確率　期待値 / ヨッシー
(1) は合っていますが、約分し切れていないものがあります。

この問題、出典は何ですか？
No.87639 - 2024/03/07(Thu) 00:52:13
☆ Re: 確率　期待値 / Nick
227/1350でしたね。ありがとうございます
出典は東京大学の2020年度編入学試験からです。
No.87641 - 2024/03/07(Thu) 08:39:03
☆ Re: 確率　期待値 / Nick
(2)の(b)(c)は解答できました。合っているでしょうか？ただ(d)(e)の漸化式の解き方が分かりません。(c)は数列を書き出して求めました。
No.87642 - 2024/03/07(Thu) 09:50:11
☆ Re: 確率　期待値 / WIZ
(2)(a)
現状で残り球数は、n ≧ 1かつ(赤, 青, 白) = (L, M, n)個として、S = L+M+nとおきます。
白がn個ある状態で、後m回でゲーム終了となる確率をp(n, m)とします。

p(n, 1) = (赤) = L/S

p(n, 2) = (青赤)+(白赤)
= (M/S)(L/S)+(n/S)(L/(S-1))
= (M/S)p(n, 1)+(n/S)p(n-1, 1)

p(n, 3) = (青){(青赤)+(白赤)}+(白){(青赤)+(白赤)}
= (M/S){(M/S)(L/S)+(n/S)(L/(S-1))}+(n/S){(M/(S-1))(L/(S-1))+(n/(S-1))(L/(S-2))}
= (M/S)p(n, 2)+(n/S)p(n-1, 2)

一般に、mを2以上の整数として
p(n, m) = (M/S)p(n, m-1)+(n/S)p(n-1, m-1)
となると推論できます。

厳密ではありませんが、確率p(n, m)は、
青を引き(確率 = M/S)、白がn個のまま後m-1回でゲーム終了となる(確率 = p(n, m-1))か、
白を引き(確率 = n/S)、白がn-1個となり後m-1回でゲーム終了となる(確率 = p(n-1, m-1))
という確率の和であるということで証明に代えさせて頂きます!

G(n)とは終了となるまでのゲーム回数の期待値だから、

G(n) = Σ[m=1, ∞]{p(n, m)*m}
= p(n, 1)*1+Σ[m=2, ∞]{p(n, m)*m}
= L/S+Σ[m=2, ∞]{{(M/S)p(n, m-1)+(n/S)p(n-1, m-1)}*m}
= L/S+Σ[m=1, ∞]{{(M/S)p(n, m)+(n/S)p(n-1, m)}*(m+1)}
= L/S+Σ[m=1, ∞]{{(M/S)p(n, m)+(n/S)p(n-1, m)}*m}+Σ[m=1, ∞]{(M/S)p(n, m)+(n/S)p(n-1, m)}

ここで、確率の総和なので、
Σ[m=1, ∞]p(n, m) = 1
Σ[m=1, ∞]p(n-1, m) = 1
と考えられるので(厳密なのか?)

⇒ G(n) = L/S+(M/S)*G(n)+(n/S)*G(n-1)+M/S+n/S
⇒ S*G(n) = L+M*G(n)+n*G(n-1)+M+n
⇒ (S-M)*G(n) = (L+n)*G(n) = L+M+n+n*G(n-1)

・・・と目的の式は導けます。
# 不備だらけだと思いますので、識者の方のツッコミよろしくお願いいたします!
No.87645 - 2024/03/07(Thu) 12:00:33
☆ Re: 確率　期待値 / WIZ
> Nickさん
答案についてコメントします。

(c)で(a)の関係式を使ってしまうなら、
(b)でも使ってしまえばもっと短い回答にできると思いますがというツッコミは置いといて、

(b)はL = Mという前提なのだから、そして明記されていませんがL ≠ 0だと思いますので、
G(0) = (L+M)/Lで計算を止めないで、G(0) = (L+M)/L = 2L/L = 2ですよね?

次に(c)の回答で、
> G(N) = (N/(1+N))*G(N-1)+(2+N)/(1+N)
> G(N) = (N^2+5N+4)/(2(N+1))
と上の式から下の式にいきなり変形しているのが気になります。
# 何か暗算でできるような上手い方法があるのかな?
# 「数列を書き出して」って書いてありましたね。失礼!

L = M = 1, n = N, G(0) = 2で、G(n)を数列と捉えれば、(a)の関係式から

(L+n)*G(n) = L+M+n+n*G(n-1)
⇒ (1+N)*G(N) = 2+N+N*G(N-1)
⇒ (1+N)*G(N)-N*G(N-1) = 2+N
⇒ Σ[k=1, N]{(1+k)*G(k)-k*G(k-1)} = Σ[k=1, N]{2+k}
⇒ (1+N)*G(N)-1*G(0) = 2N+N(N+1)/2
⇒ (1+N)*G(N) = G(0)+(N^2+5N)/2 = 2+(N^2+5N)/2
⇒ G(N) = (N^2+5N+4)/(2(N+1)) = (N+1)(N+4)/(2(N+1)) = (N+4)/2

(d)
L = M = 2, n = N

(L+n)*G(n) = L+M+n+n*G(n-1)
⇒ (2+N)*G(N) = 4+N+N*G(N-1)
⇒ (2+N)(1+N)*G(N) = (4+N)(1+N)+(1+N)N*G(N-1)
⇒ (2+N)(1+N)*G(N)-(1+N)N*G(N-1) = N^2+5N+4
⇒ Σ[k=1, N]{(2+k)(1+k)*G(k)-(1+k)k*G(k-1)} = Σ[k=1, N]{k^2+5k+4}
⇒ (2+N)(1+N)*G(N)-2*1*G(0) = N(N+1)(2N+1)/6+5N(N+1)/2+4N

# 続きは質問者さんの方で計算してみてください!

(e)
L = M = 3, n = N

(L+n)*G(n) = L+M+n+n*G(n-1)
⇒ (3+N)*G(N) = 6+N+N*G(N-1)
⇒ (3+N)(2+N)(1+N)*G(N) = (6+N)(2+N)(1+N)+(2+N)(1+N)N*G(N-1)

# 計算が面倒なだけで、(c)(d)とほとんど同じ。
# 実は(c)(d)の計算からもっと効率的な方法が見えてくるのかもしれませんね。
No.87647 - 2024/03/07(Thu) 21:14:05
☆ Re: 確率　期待値 / Nick
大変詳しい解説ありがとうございます。復習してみます。
No.87652 - 2024/03/08(Fri) 13:19:08
★ 京都大学過去問　不定方程式 / Nishino (中学２年生)
京都大学過去問　不定方程式

何卒宜しくお願いします

以下問題

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No.87625 - 2024/03/05(Tue) 13:08:37
☆ Re: 京都大学過去問　不定方程式 答案 / Nishino (中学２年生)
おはようございます。

答案を作成しましたので添付します

結構苦労して作成しました

ご指摘ご指導のほどよろしくお願いいたします。

追伸　ラスカル先生お帰りなさい、少し心配しました。
No.87648 - 2024/03/08(Fri) 04:04:17
☆ Re: 京都大学過去問　不定方程式 / GandB
　よくもまあこんな方法を考えつくもんだなあ。
　常識的な解法は絶対に使いたくないという質問者の趣味＆執念に、ある意味感心するwwwwwww
　答えは合っているんだろうが、とても詳細を追う気にはなれない。
　ただ、入試問題の解答ということであれば、採点者は大量の解答を裁かないといけないので、詳細を追うのをめんどくさがって大幅減点されるかもしれないwwww
No.87692 - 2024/03/10(Sun) 20:18:14
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