1≦a<b<c<d≦n-1を満たす整数について、nが12の倍数の時、a+b+c+d=nを満たす(a,b,c,d)の組数を求めよという問題なのですが、
まずa,b,c,dの大小関係がないものとして、
a+b+c+d=nを満たす組数Aを求め、
a,b,c,dのうちどれか2個が等しい組数B、
a,b,c,dのうちどれか3個が等しい組数C、
a,b,c,dがすべて等しい組数D
とすると、
(A-B-C-D)/4!が答えになるはずだと思います。
・Aについて
(n-1)(n-2)(n-3)/3!
・Bについて
a=bとして考えて、
2a+c+d=nを満たすすべての組数B1を求め、
a,c,dのうちどれか2個が等しい組数B2、
a,c,dがすべて等しい組数B3
として、
B1は
a=k(1≦k≦n/2-1)として、
(c,d)=(1,n-2k-1),(2,n-2k-2),・・・,(n-2k-1,1)のn-2k-1組あるので、(1≦k≦n/2-1)で和を取って
B1=Σ(n-2k-1)=(n-2)^2/4
B2は
a=cのときを考えて、3a+d=nとなり、
(a,d)=(1,n-3),(2,n-6),・・・,(n/3-1,3)から(n/4,n/4)を除いた(n/3-2)組が考えられ、a=dのときも同様なので2(n/3-2)組、
c=dのときを考えて2a+2c=nとなり、
(a,c)=(1,n/2-1),(2,n/2-2),・・・,(n/2-1,1)から(n/4,n/4)を除いた(n/2-2)組が考えられ、
B2=2(n/3-2)＋(n/2-2)=7n/6-6
B3は1
a=c,a=d,b=c,b=d,c=dのときも同じなので
B=6(B1-B2-B3)=3n^2/2-13n+36
・Cについて
a=b=cとして、3a+d=nを満たす組は
(a,d)=(1,n-3),(2,n-6),・・・,(n/3-1,3)から(n/4,n/4)を除いた
(n/3-2)組が考えられ、a=b=d,a=c=d,b=c=dも同様であるので
Cは4(n/3-2)
・Dについて
a=b=c=d=n/4のみであるので1
だと思うのですが
(A-B-C-D)/24に代入してn=12のときを計算すると整数にならないのでA,B,C,Dのうちどれかが間違っているのだと思います。
解き方を教えてください。
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No.86168 - 2023/08/09(Wed) 14:47:11
| ☆ Re: 整数の組数 / IT | | | ざっと見ただけですが a=b<c=d などの場合が考慮されてないのでは？
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No.86169 - 2023/08/09(Wed) 16:01:30 |
| ☆ Re: 整数の組数 / 大西 | | | ITさん返信ありがとうございます。
一旦、a,b,c,dの大小関係は考えないところからスタートしていて、
a=b≠c=dのときは、B2に含めているつもりです。
Bの前提条件がa=bのときをまず考えて、その中でB2がc=dのときを考えているのですが、何がおかしいでしょうか？
あと、a=b<c=d“など”ということは他に何が考慮されていないのでしょうか？
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No.86170 - 2023/08/09(Wed) 16:54:41 |
| ☆ Re: 整数の組数 / IT | | | > あと、a=b<c=d“など”ということは他に何が考慮されていないのでしょうか？
まずa,b,c,dの大小関係がないものとして、なので
a=b>c=d や a=c ≠ b=d などのことです。
なお、
a,b,c,dのうちどれか2個が等しい組、
a,b,c,dのうちどれか3個が等しい組
a,b,c,dがすべて等しい組
これらには包含関係があるのでしょうか？ないのでしょうか？
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No.86173 - 2023/08/09(Wed) 19:11:49 |
| ☆ Re: 整数の組数 / 大西 | | | ITさん返信ありがとうございます。
包含関係はないです。
イメージとしては、4枚のポーカーを考えた時に
a,b,c,dのうちどれか2個が等しい組＝ワンペアorツーペア
a,b,c,dのうちどれか3個が等しい組＝スリーカード
a,b,c,dがすべて等しい組＝フォーカード
の意味です。
なので、a=b>c=d や a=c ≠ b=d などはワンペアとツーペアにあたります。
a+b+c+d=nを満たすすべての組からこの3つを引けばa,b,c,dがすべて異なる場合の組数が出て、それを4!で割ればa<b<c<dの場合の答えが出ると考えました。
No.86170で書かせていただいたように2ペアが2組できる部分は、B2に含めているつもりです。
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No.86174 - 2023/08/09(Wed) 19:55:14 |
| ☆ Re: 整数の組数 / らすかる | | | とりあえず正解を
a,b,c,dが任意：(n-1)C3=(n-1)(n-2)(n-3)/6
a=b＜c＜d：Σ[a=1〜n/4-1]{(n-4a-1)-1}/2=(n-4)^2/16
a＜b=c＜d：Σ[b=2〜n/4](b-1)+Σ[b=n/4+1〜n/3-1](n-3b-1)=(n^2-8n+24)/24
a＜b＜c=d：Σ[c=n/4+1〜n/3-1]{(4c-n)/2-1}+Σ[c=n/3〜n/2-2]{(n-2c-1)-1}/2=(n^2-12n+48)/48
よってa,b,c,dのうち二つが等しく他が異なるものは
{(n-4)^2/16+(n^2-8n+24)/24+(n^2-12n+48)/48}×4P2=(3n^2-26n+72)/2
a=b＜c=d：aは最小1最大n/4-1なのでn/4-1
よってa,b,c,dのうち二つずつ等しい2組になるのは
(n/4-1)×4C2=(3/2)(n-4)
a=b=c＜d：aは最小1最大n/4-1なのでn/4-1
a＜b=c=d：bは最小n/4+1最大n/3-1なので(n/3-1)-(n/4+1)+1=n/12-1
よってa,b,c,dのうち三つが等しく残りの1個が異なるものは
{(n/4-1)+(n/12-1)}×4=(4/3)(n-6)
a=b=c=dは1通り
従って
(n-1)(n-2)(n-3)/6-(3n^2-26n+72)/2-(3/2)(n-4)-(4/3)(n-6)-1
=(n^3-15n^2+72n-144)/6
なので、a＜b＜c＜dとなるのは
(n^3-15n^2+72n-144)/144通り
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No.86175 - 2023/08/09(Wed) 23:07:26 |
| ☆ Re: 整数の組数 / 大西 | | | らすかるさん返信ありがとうございます。
> よってa,b,c,dのうち二つずつ等しい2組になるのは
> (n/4-1)×4C2=(3/2)(n-4)
この部分の計算が抜けていました。
ITさんにもご指摘していただいてたのですが、B2に含まれると
思ってしまっていました。
それ以外は合っていることが分かりました。
場合分けの仕方がややこしいですね。
漏れなくダブりなくというのが苦手です。
ありがとうございました。
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No.86176 - 2023/08/09(Wed) 23:23:06 |
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