ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 大きい魚。 / クシャルダオラ

　魚屋さんが300匹の魚を36000円で買いました。
　大きい方の魚を１匹150円小さい方の魚を１匹30円で売ります。全部売れると利益は6900円でした。
　大きな方の魚は何匹ですか。

No.84132 - 2022/12/02(Fri) 21:01:04

☆ Re: 大きい魚。 / らすかる

36000円で買って利益が6900円なら売って得た金額は36000+6900=42900円
しかし
もし大きい方の魚が282匹、小さい方の魚が18匹だとすると
150×282+30×18=42840円
もし大きい方の魚が283匹、小さい方の魚が17匹だとすると
150×283+30×17=42960円
となり、42900円になることはないので問題がおかしいです。

No.84133 - 2022/12/03(Sat) 00:12:48

☆ Re: 大きい魚。 / クシャルダオラ

　この問題の答えは192匹です。
　

No.84151 - 2022/12/03(Sat) 20:57:10

☆ Re: 大きい魚。 / らすかる

答えすなわち大きい方の魚が192匹だとすると、小さい方の魚は300-192=108匹になります。
そうすると、売り上げは150×192+30×108=32040円となりますので
「6900円の利益」ではなく「3960円の損失」となり、問題の条件に合いません。
よって正解が「192匹」ならば、問題がどこか間違っています。

どこが間違っているのか検討してみます。

もし魚の合計数量「300匹」が間違いだとしたら
150×192+30×(x-192)=36000+6900 から x=662 なので、
合計数量が「662匹」であれば答えと合います。
しかし普通そんな中途半端な数にはしないでしょう。

もし買値の「36000円」が間違いだとしたら
150×192+30×(300-192)=x+6900 から x=25140 なので、
買値が25140円であれば答えと合います。
しかし普通そんな中途半端な数にはしないでしょう。

もし大きい方の魚の価格「150円」が間違いだとしたら
x×192+30×(300-192)=36000+6900 から x=3305/16 となり
価格が整数になりませんので不適です。

もし小さい方の魚の価格「30円」が間違いだとしたら
150×192+x×(300-192)=36000+6900 から x=1175/9 となり
価格が整数になりませんので不適です。

もし利益「6900円」が間違いだとしたら、
上に書いたように正しくは「3960円の損失」ですから、
「全部売れると利益は-3960円でした」であれば答えと合います。
しかし普通負の値にはしないでしょう。
「利益は6900円でした」が「3960円の損失でした」ならば合いますが、
言葉と数値の2つを間違えていることになり不自然です。

従って、単純にどこかの数値を一つ間違えたというわけでもなさそうです。
数値が2箇所間違っているとすれば正しくする方法はいろいろありますが、
2箇所では何が正しいのか判断するのは難しいと思います。

例えば
魚屋さんが300匹の魚を30000円で買いました。
大きい方の魚を１匹150円小さい方の魚を１匹100円で売ります。
全部売れると利益は9600円でした。
という設定なら答えと合いますが、これの間違いとすると間違いが多すぎですよね。

No.84152 - 2022/12/03(Sat) 22:34:01

★ この判別式は何を表している？ / ケンプファー

数学２Bまでの範囲だと思うのですが。
放物線y=x^2 上の異なる３点A(a,a^2) B(b,b^^2) O(0,0)を考える。ただしa>b　
∠AOBが直角のときab=-1 ←これは前の小問で分かった。

この時、四角形AOBCが長方形になるように点Cを定める。Cの軌跡を図示せよ。
解
点C(X,Y)とす
四角形AOBCが長方形になるとき対角線OCと対角線ABの中点は一致するから

(0+X)i/2=(a+b)1/2 , (0+Y)1/2=(a^2+b^2)1/2

よって　X=a+b , Y=a^2+b^2

これらよりY=X^2+2

(ここからがわからない)

a,bを2解とする２次方程式は t^2-Xt-1=0

この式の判別式Dについて　D=X^2+4>0

よってこの２次方程式はすべての実数Xに対して異なる2解をもつ
したがって点Cの軌跡はy=x^2+2
（ここまで）

Xをtの式に入れて判別式を使うと、何を示せるのかがわかりません。
夜分に失礼いたしました。
どうぞよろしくお願いいたします。

No.84123 - 2022/12/02(Fri) 00:59:02

☆ Re: この判別式は何を表している？ / ケンプファー

すみません書き間違いです。

四角形AOBCが長方形になるとき対角線OCと対角線ABの中点は一致するから
(0+X)i/2=(a+b)1/2 , (0+Y)1/2=(a^2+b^2)1/2　間違い

(0+X)1/2=(a+b)1/2 , (0+Y)1/2=(a^2+b^2)1/2　正しくはこれです。
　　

No.84124 - 2022/12/02(Fri) 01:02:58

☆ Re: この判別式は何を表している？ / ヨッシー

もし、判別式Ｄ＞０を満たすＸが　－１＜Ｘ＜１　のように、
限られた範囲のＸだけだったら、解答は
　y=x^2+2　ただし、－1＜x＜1
のようになります。
－1＜x＜1 以外の部分、つまり、－1以下や１以上のｘについては、
∠ＡＯＢ＝90°となるような図が描けないということになります。

この問題では、そういうことはないので、
　y=x^2+2　（ｘは全実数：書く必要はなし）
が答えとなります。

No.84129 - 2022/12/02(Fri) 14:00:43

☆ Re: この判別式は何を表している？ / ケンプファー

取り急ぎご返信ありがとうございます。
まだ理解ができてないのですが、

a,bを2解とする２次方程式は t^2-Xt-1=0
　
の部分でなぜ、別の二次方程式によって条件？確認？できるのかがわからないです。
解と係数の関係であることはわかるのですが。

No.84134 - 2022/12/03(Sat) 00:17:34

☆ Re: この判別式は何を表している？ / IT

横から失礼します。
> a,bを2解とする２次方程式は t^2-Xt-1=0
> 　
> の部分でなぜ、別の二次方程式によって条件？確認？できるのかがわからないです。

「別の」とは、"何"に対して"別の"と言っておられますか？

なお、ab=-1 を満たす実数a,b について a+b の値の範囲を調べているわけですので
b=-1/a　よって a+b＝a-(1/a) ( a≠0）の値の範囲を直接調べても良いです。
a<0, a>0 それぞれでa-(1/a) は、すべての実数値を取ります。

No.84138 - 2022/12/03(Sat) 10:40:06

☆ Re: この判別式は何を表している？ / ケンプファー

ITさんありがとうございます。なかなか見れずにいまして申し訳ありません。
Y=X^2+2 がでたあと、t^2-Xt-1=0という別の式で何かを確認？しているのは、(解と係数の関係2より)ab=-1が満たされる式でa+bを組み込むことができるからでしょうか？

No.84187 - 2022/12/05(Mon) 10:55:37

☆ Re: この判別式は何を表している？ / ast

どう解釈するかはいろいろあるとは思いますが,
> t^2-Xt-1=0
における t はその作り方から t=a または t=b ですから, "t^2-Xt-1=0" 自体は "a,b それぞれを X (および Y) で表した式" をひとまとめにしたものと理解するのがもっともまっとうだと思います.
# ただし, 本問においてこのようなことができるのは, X,Y が a,b の対称式であり, かつ
# a,b のすべての基本対称式に関する情報が (X,Y の式というかたちで) 出揃っているからです.
## (これは「それ以外の場合にはできない (必要)」ではなく「この場合にはできる (十分)」なので,
## もっと違った条件下で同じような手法が利用できる可能性はあります)

そのように理解すべきという理由は, "(特定の関係式を満たす) 実数 X,Y が任意に与えられたとき, それら X,Y を適当な実数 a,b を用いて (問題で与えられたとおりの関係式として) 表せるか" ということを確認するために, a,b を X,Y で表す式がわかることはとても有効な手立てとなるからです. (逆向きの議論では実際, X,Y が a,b の式として表されることが解答中で既に明らかになっているおかげで, "a,b が (任意の) 実数ならば X,Y が (特定の関係式で結ばれる) 実数であること" をすぐに確認できます).
# 当該部分で「確認」する内容は, "X,Y を表せる a,b があるか, あるならばそれら a,b が実数にとれるか" です.
# a,b があることは t の方程式として表すことで, 実数としてとれることはその方程式の判別式で
# ともに実際に確認していることになります.
## もちろん, "一般には (問題によっては), そのようなうまい実数 a,b がとれない実数 X,Y も存在しうる"
## ということには注意する必要があります (これは既に No.84129 でヨッシーさんが書かれてますね).

No.84213 - 2022/12/07(Wed) 10:42:57

★ 数学文章問題(方程式) / 回鍋肉定食

中学生の方程式の文章問題です

?@英太さんは貯金箱に１００円硬貨と５０円硬貨と１０円硬貨を入れて貯金していた
。３種類の合計金額は２７３０円で、その中に５０円硬貨は１２枚あった。ある日、英太さんはお母さんから１００円硬貨５枚を全て１０円硬貨に両替してほしいと頼まれ貯金箱の中の３種類、の硬貨の合計枚数は、はじめあった合計枚数のちょうど半分になった。

両替する前に英太さんが持っていた100円硬貨をｘ枚、１０円硬貨をy枚として連立方程式を作り、英太さんが両替する前に持っていた１００円硬貨と１０円硬貨の枚数をそれぞれ求めなさい。

?A持っている金額でシュークリームを８個買うと２２０円あまる。１０個買うと１割引きになるので６０円あまる。持っているお金を求めなさい。

?B倉庫に玉ねぎが４個ずつ入った大きい袋と、３個ずつ入った袋が合わせて４５袋あり、
それ以外に袋に入っていない玉ねぎ４８袋あった。倉庫係になった英太さんは先生から「玉ねぎを全て袋から取り出し、袋に入っていなかった玉ねぎと合わせて、入れ直してください。
玉ねぎが入っていた袋は再利用し、まず、大きい袋に６個ずつ入れ、大きい袋がなくなったら、小さい袋に４ずつ入れてください。」と指示を受けた
指示にしたがって作業をしたところ、大きい袋に６個ずつ、小さい袋に４個ずつ、玉ねぎを入れることができ、小さい袋だけが５袋あまった。倉庫にあった玉ねぎの個数を求めなさい。

どのような計算式を立てたらよいかわからないです。
あまりにも長い文章問題なので読んでいたら、チンプンカンプンになりましたので教えて下さい。
２年前の数英出版社の中学の総復習の問題集の中にある数学部門になります。多分過去に何処かの中学校入試問題に匹敵する問題ぐらい難しいです。

No.84113 - 2022/12/01(Thu) 10:50:24

☆ Re: 数学文章問題(方程式) / ヨッシー

(1)
最初の硬貨の枚数をｘ，ｙを用いて表しなさい。・・・(i)
５枚の100円を受け取り、同じ額の10円を渡すと、何枚減りますか？
両替後の硬貨の枚数をｘ，ｙを用いて表しなさい。・・・(ii)
(ii) が (i) の半分であることから式を立てます。・・・(iii)
金額についての式（合計が2730円）の式と、(iii) の式とで
連立方程式を解きます。

(2)
割り引き前の１個の値段をｘ円。所持金をｙ円として、
220円余るときの式
60円余るときの式をそれぞれ作り、連立方程式を解きます。

(3)
大きい袋がｘ袋、小さい袋がｙ袋として、
合わせて45袋の式　・・・(i)
玉ねぎの総数を
　４個、３個入れて４８個余る場合
　６個、４個いれて、小袋が５袋余る場合
でそれぞれ表して、＝で結ぶ　・・・(ii)
(i)(ii) を連立方程式として解きます。

No.84114 - 2022/12/01(Thu) 11:34:12

★ 面積 / 高校３年

今日学校の問題で、次を扱いました。
曲線y=|x(4-x)|, x軸および直線 x=p(p>4)で囲まれた図形Dの面積を求めよ。
東北の方の私立大の問題です。

解答では、考える領域は、0≦x≦4の部分にある図形分の面積も入っていて、答えは p^3/3-2p^2+64/3。
しかし、ここにとても違和感があります。
0≦x≦4の部分の図形はx=pが絡んでいません。

曲線y=|x(4-x)|, x軸および直線 x=p(p>4)で囲まれたと言われたら、当然３つが絡むところでしょうから、4≦x≦pの部分の面積だけにはなりませんか。
なぜy=|x(4-x)|, x軸だけにしか囲まれていないところの面積も足す必要があるのでしょうか。

「囲む」という定義があいまいなので分かりません。
自分でできる限り調べましたが「囲む」とは大学数学の「連結」と何か関係があるのかなとも思いました。
しかし、自分には何が書いてあるかさっぱりでした。

まとまりのない文章ですみません。

どうぞよろしくお願いいたします。

No.84107 - 2022/11/30(Wed) 21:53:35

☆ Re: 面積 / らすかる

私も「4≦x≦pの部分だけ」という認識です。
x=pがかかわらない領域も含めるのは違和感があります。
しかしそれを除いてもちょっと変な問題ですね。なぜなら、最初から曲線は
y=|x(4-x)|とする必要はなく、
「4≦x≦pの部分だけ」だとしても
「0≦x≦4の部分も含む」としても、
いずれにしても絶対値は不要で、y=x(x-4)で十分です。
絶対値を付けてy=|x(4-x)|にして答えが変わるとは思えません。
わざわざ混乱させるための絶対値なのでしょうか。
あるいは、もしかしたら
「y=x(x-4)とx軸とx=p＞4で囲まれた図形」
ならば「4≦x≦pの部分だけ」
「y=|x(4-x)|とx軸とx=p＞4で囲まれた図形」
ならば「0≦x≦4の部分も含む」
という考え方なのでしょうかね？
（前者は曲線とx軸が交差しているが、後者は接しているだけだから、という理由で）
もしそうだとしても、「交差しなければ隣の領域も含む」と考えると
x≦0の範囲も考えることになっておかしなことになりますので、やはり
その考え方も変ですね。

とてもうろ覚えなのですが、遠い昔にそのような状況がある問題を見たような気がします。
そのときはもちろん、囲むものすべてがかかわる部分だけだったと思います。

結論：私は、「問題不備」だと思います。

No.84108 - 2022/12/01(Thu) 00:03:18

☆ Re: 面積 / ast

問題のもともとの出典をハッキリ言ってもらった方が安心できそうですが (出所をボカされるとこっちから調べようにも限りがあるので), 質問にある問題はもとの内容から改変 (一部だけ切り出しとか) されてそうな印象を受けます (結構強くそう思う). もしそういったことがあるなら問題の全体をきちんと提示してください, 全体を把握したら文の意味合いが思っていたのと違ったということは十分起こり得ることなので.

で, もちろん私個人の感覚ですが,「(曲線たちが)囲む領域」というのは「それらの曲線を境界にもつ有界領域」という解釈が大抵の場合は自然だと思います.
# (これなら, 一部の曲線が接しない領域も含めるのは不自然ではないはずですし
# もちろん非有界領域は絶対に関わってきません).
まあ, そうでない解釈を妨げるつもりはない (「囲む」というのが (融通の利かない専門用語の類いではなく) 柔軟な日常語的表現であるとは認識している) ので「大抵の場合は」というところでお茶を濁させてください (用語の曖昧さに対して感覚だよりで当たって言葉遊びになっても詮無いことなので).
# でもたとえば問題文が少し違って
#「曲線 y=x(4-x), x軸および直線 x=-1, x=5 で囲まれた図形」のようなものが訊かれていたら,
#「(全部の曲線が関わる部分はないので)囲まれる部分はない」とか「0≤x≤4の部分は囲まれてない」とか
# と答えるほうが不自然に感じないでしょうか (というか, 私は不自然に感じます).

No.84109 - 2022/12/01(Thu) 04:51:10

☆ Re: 面積 / IT

私はastさんと同じように解釈して解くと思います。

No.84110 - 2022/12/01(Thu) 05:07:19

☆ Re: 面積 / 高校３年

＞astさん
ありがとうございます。
「(囲む領域」というのは「それらの曲線を境界にもつ有界領域」という解釈が大抵の場合は自然、これなら, 一部の曲線が接しない領域も含めるのは不自然ではない・・・
というところですが、
となると、問題が
曲線y=x(x-4), x軸および直線 x=p(p>4)で囲まれた面積であった場合、0≦x≦4の放物線の下側も含むということでよろしかったでしょうか。
それとも、これは「大抵の場合」でない場合でしょうか。
もう少しで分かりそうな、そうでないような。。。
みなさん、考えていただきありがとうございます。

No.84115 - 2022/12/01(Thu) 13:35:39

☆ Re: 面積 / 高校３年

＞らすかるさん
交差するしないは確かに僕も考えました。
x=4のところの点はしっかりと交差しきっていないので、そこはいわば「立ち上がった点」と同じ。
一方でx=0のところの点は交差しきっていないものの、「立ち上がった点」と考えてしまうと有界領域にはならないので、いくら交差していなくてもそういった「端」の点は交差点と同様・・・そんな風な解釈なのかなと漠然と思っていました。

No.84116 - 2022/12/01(Thu) 13:40:41

★ 解の個数 / M & A

昨晩に引き続きもう一題お願いします。
1/x+1/y+1/z=1/12の解の個数はいくらか。
ご多忙のおり誠に恐縮なのですが宜しくお願いします。

No.84079 - 2022/11/29(Tue) 14:25:34

☆ Re: 解の個数 / らすかる

x,y,zに制限がなければ無限個ですが、
x,y,zは0以外の整数ですか？
それとも正の整数ですか？
あるいはそれ以外ですか？

No.84080 - 2022/11/29(Tue) 18:22:58

☆ Re: 解の個数 / M & A

x,y,zは正の整数です。

No.84081 - 2022/11/29(Tue) 18:31:19

☆ Re: 解の個数 / らすかる

x≦y≦zとすると1/x≧1/y≧1/zなので
1/12=1/x+1/y+1/z≦1/x+1/x+1/x=3/xからx≦36
また与式から1/x＜1/12なのでx＞12
x=y=zのとき1/x+1/y+1/z=3/x=1/12からx=36の1通り … (1)
x=y＜zのとき1/x+1/y+1/z=2/x+1/z=1/12から(x-24)(z-12)=288
x-24＜0かつz-12＜0のとき|x-24||z-12|＜288なので解なし
（以降これと同様の負×負の判定は省略）
x-24は12より小さい288の正の約数であればよいので
（∵x-24≧12のときz-12≦24となりz≦36≦xとなるのでx=y＜zを満たさない）
x-24=1,2,3,4,6,8,9の7通り … (2)
x＜y=zのとき1/x+1/y+1/z=1/x+2/y=1/12から(x-12)(y-24)=288
x-12は24より小さい288の正の約数であればよいので
（∵x-12≧24のときy-24≦12となりy≦36≦xとなるのでx＜y=zを満たさない）
x-12=1,2,3,4,6,8,9,12,16,18の10通り … (3)
x＜y＜zのとき1/x+1/y+1/z=1/12から{(x-12)y-12x}{(x-12)z-12x}=144x^2
x=13のとき(y-156)(z-156)=24336
y＜zからy-156は√24336=156より小さい24336=2^4×3^2×13^2の正の約数であればよいので
(5×3×3-1)÷2=22通り … (4)
x=14のとき(2y-168)(2z-168)=28224すなわち(y-84)(z-84)=7056
y-84は√7056=84より小さい7056=2^4×3^2×7^2の正の約数であればよいので
(5×3×3-1)÷2=22通り … (5)
x=15のとき(3y-180)(3z-180)=32400すなわち(y-60)(z-60)=3600
y-60は√3600=60より小さい3600=2^4×3^2×5^2の正の約数であればよいので
(5×3×3-1)÷2=22通り … (6)
x=16のとき(4y-192)(4z-192)=36864すなわち(y-48)(z-48)=2304
y-48は√2304=48より小さい2304=2^8×3^2の正の約数であればよいので
(9×3-1)÷2=13通り … (7)
x=17のとき(5y-204)(5z-204)=41616
5y-204は√41616=204より小さい41616の正の約数で204を加えたときに5で割り切れればよいので
1,2,3,4,6,8,9,12,16,17,18,24,34,36,48,51,68,72,102,136,144,153のうち一の位が1か6
すなわち1,6,16,36,51,136の6通り … (8)
（5y-204=1,6,16,36,51,136のとき5z-204も204を加えたときに5で割り切れる）
x=18のとき(6y-216)(6z-216)=46656すなわち(y-36)(z-36)=1296
y-36は√1296=36より小さい1296=2^4×3^4の正の約数であればよいので
(5×5-1)÷2=12通り … (9)
x=19のとき(7y-228)(7z-228)=51984
√51984=228より小さい51984の正の約数は
1,2,3,4,6,8,9,12,16,18,19,24,36,38,48,57,72,76,114,144,152,171
このうち228を加えると7の倍数になるものは7で割って3余る数なので
3,24,38,171の4通り … (10)
（7y-228=3,24,38,171のとき7z-228も228を加えたときに7で割り切れる）
x=20のとき(8y-240)(8z-240)=57600すなわち(y-30)(z-30)=900
y-30は√900=30より小さい900=2^2×3^2×5^2の正の約数であればよいので
(3×3×3-1)÷2=13通り … (11)
x=21のとき(9y-252)(9z-252)=63504すなわち(y-28)(z-28)=784
y-28は√784=28より小さい784=2^4×7^2の正の約数であればよいので
(5×3-1)÷2=7通り … (12)
x=22のとき(10y-264)(10z-264)=69696すなわち(5y-132)(5z-132)=17424
√17424=132より小さい17424の正の約数は
1,2,3,4,6,8,9,11,12,16,18,22,24,33,36,44,48,66,72,88,99,121
このうち132を加えると5の倍数になるものは5で割って3余る数すなわち一の位が3か8なので
3,8,18,33,48,88の6通り … (13)
（5y-132=3,8,18,33,48,88のとき5z-132も132を加えたときに5で割り切れる）
x=23のとき(11y-276)(11z-276)=76176
√76176=276より小さい76176の正の約数は
1,2,3,4,6,8,9,12,16,18,23,24,36,46,48,69,72,92,138,144,184,207
このうち276を加えると11の倍数になるものは存在しない
x=24のとき(12y-288)(12z-288)=82944すなわち(y-24)(z-24)=576
y-24は√576=24より小さい576=2^6×3^2の正の約数であればよいので
(7×3-1)÷2=10通り … (14)
x=25のとき(13y-300)(13z-300)=90000
√90000=300より小さく13×25-300=25より大きい90000の正の約数は
30,36,40,45,48,50,60,72,75,80,90,100,120,125,144,150,180,200,225,240,250
このうち300を加えると13の倍数になるものは13で割って12余る数なので
90の1通り … (15)
（このとき13z-300も300を加えたときに13で割り切れる）
x=26のとき(14y-312)(14z-312)=97344すなわち(7y-156)(7z-156)=24336
√24336=156より小さく7×26-156=26より大きい24336の正の約数は
36,39,48,52,72,78,104,117,144
このうち156を加えると7の倍数になるものは7で割って5余る数なので
117の1通り … (16)
（このとき7z-156も156を加えたときに7で割り切れる）
x=27のとき(15y-324)(15z-324)=104976すなわち(5y-108)(5z-108)=11664
√11664=108より小さく5×27-108=27より大きい11664の正の約数は
36,48,54,72,81
このうち108を加えると5の倍数になるものは5で割って2余る数すなわち一の位が2か7なので
72の1通り … (17)
（このとき5z-108も108を加えたときに5で割り切れる）
x=28のとき(16y-336)(16z-336)=112896すなわち(y-21)(z-21)=441
√441=21より小さく28-21=7より大きい441の正の約数は
9の1通り … (18)
x=29のとき(17y-348)(17z-348)=121104
√121104=348より小さく17×29-348=145より大きい121104の正の約数は174,232,261
このうち348を加えると17の倍数になるものは存在しない
x=30のとき(18y-360)(18z-360)=129600すなわち(y-20)(z-20)=400
√400=20より小さく30-20=10より大きい400の正の約数は
16の1通り … (19)
x=31のとき(19y-372)(19z-372)=138384
√138384=372より小さく19×31-372=217より大きい138384の正の約数は248,279
このうち372を加えると19の倍数になるものは存在しない
x=32のとき(20y-384)(20z-384)=147456すなわち(5y-96)(5z-96)=9216
√9216=96より小さく5×32-96=64より大きい9216の正の約数は72
これは96を加えて5の倍数にならないので不適
x=33のとき(21y-396)(21z-396)=156816すなわち(7y-132)(7z-132)=17424
√17424=132より小さく7×33-132=99より大きい17424の正の約数は121
これは132を加えて7の倍数にならないので不適
x=34のとき(22y-408)(22z-408)=166464すなわち(11y-204)(11z-204)=41616
√41616=204より小さく11×34-204=170より大きい41616の正の約数は存在しない
x=35のとき(23y-420)(23z-420)=176400
√176400=420より小さく23×35-420=385より大きい176400の正の約数は
392,400
このうち420を加えると23の倍数になるものは存在しない

x=y=zのとき入れ替えても同じ、
x=y＜zまたはx＜y=zのとき入れ替えが3通り、
x＜y＜zのとき入れ替えが3!=6通りあるので、
求める解の個数は全部で
1+(7+10)×3+(22+22+22+13+6+12+4+13+7+6+10+1+1+1+1+1)×6=904通り

No.84084 - 2022/11/29(Tue) 20:32:17

☆ Re: 解の個数 / M & A

これほどややこしいものとは考えてもみませんでした。ラスカル様には大変ご迷惑をおかけしました。長い解答本当にありがとうございました。

No.84086 - 2022/11/29(Tue) 20:52:30

★ 大学数学微分 / PT

関数f(x,y)=xy(1-x-y)の極地を求めよ。
という問題なのですが、途中式も含めて解説して頂けないでしょうか。答えしか載っていなくて考え方が分かりません。よろしくお願い致します。

No.84070 - 2022/11/28(Mon) 22:40:36

☆ Re: 大学数学微分 / ast

考え方も論の進め方も何もかも基本的に一変数のときと同様のこと, つまり "一階微分が消えている点 (臨界点) に対してその点での導函数の (任意の近づき方をしたときの) 符号変化を見る" という話であることに変わりないと思います. 多変数化するべき部分もあるとはいえ "一階導函数の符号変化が起きるかどうかは二階微分(ヘッシアン)で判定する" みたいなことは結局は一変数のときも同じようなことをしてただろうって話にまた戻ることになると思いますし.
# だから, 一変数の場合の流れを踏まえたうえで言えば「答え(結果)しか書いてない」じゃなくて
# 「(やるべきことはほぼ知っていて) たどり着くべき結果は明確にされてる」と受け取るべき状況じゃないかと

というか, 教科書等の資料を見ればそのことを式などを用いてもっと明確な価値で述べてあるんじゃないのかと……. (もし教科書に載ってないなら「載ってるのを買え (掲示板でのやり取りだけじゃ大事なことたくさん取りこぼす羽目になるのがオチだし)」って言わざるを得なくなるが……).
# もしかしたら教科書は抽象的で分かりにくい (から読む気がさらさらない) と言うかもしれないが,
# むしろだからこそ問題のような具体例でその記述をなぞって具体的にどういう意味の文章なのか知る,
# ってのが大学生なら最低限しないといけない数学本の読み方だと個人的には思います.

No.84072 - 2022/11/29(Tue) 02:34:46

★ 解の個数 / M & A

(1/x)+(1/y)=1/3600を満たす正の整数解
はいくつあるでしょか。

この問題の答えがわかりません。
どなたかよろしくお願いします。

No.84063 - 2022/11/28(Mon) 20:48:34

☆ Re: 解の個数 / けんけんぱ

与式の両辺に3600xyを掛けて
3600y+3600x=xy
(x-3600)(y-3600)=3600^2
3600^2を素因数分解して2つの数の掛け算にします。
それが何通りあるか、という問題に帰着されます。

No.84065 - 2022/11/28(Mon) 22:11:22

☆ Re: 解の個数 / けんけんぱ

(3600-x)(3600-y)=3600^2
と置き換えると、
x,yが正なら
(3600-x)<3600、(3600-y)<3600
なので、解なしとなりました。

No.84066 - 2022/11/28(Mon) 22:16:42

☆ Re: 解の個数 / けんけんぱ

記事No.84066　は見なかったことに。
(3600-x)=-3600、(3600-y)=-3600 というのがありました

No.84067 - 2022/11/28(Mon) 22:19:40

☆ Re: 解の個数 / X

横から失礼します。

問題の方程式から
xy-3600(x+y)=0
(x-3600)(y-3600)=3600^2 (A)
ここで条件から
x≧1
y≧1
∴
x-3600≧-3599 (B)
y-3600≧-3599 (C)

さて、x-3600が(B)を満たす負の整数であったとして
その値をaとすると
-3599≦a≦-1
∴-1≦1/a≦-1/3599
これと(A)から
y-3600=(3600^2)/a≦-(3600^2)/3599＜-3600
これと(C)を満たすyは存在しないので
(A)において
x-3600＞0かつy-3600＞0
更に
3600^2=(2・3・10)^2
=(2^4)・3^2・5^2
と素因数分解できるので
3600^2の正の約数の個数は
5・3・3=45[個]
で、この正の約数各々に対し、(A)を満たす
正の整数(x,y)の組が一つづつ対応するので、
求める正の整数解の個数は45[個]

No.84069 - 2022/11/28(Mon) 22:28:12

☆ Re: 解の個数 / らすかる

1/x+1/y=1/3600を整理して
(x-3600)(y-3600)=3600^2
x-3600＜0かつy-3600＜0のとき、条件から
|x-3600|＜3600かつ|y-3600|＜3600なので
(左辺)＜3600^2となり条件を満たさない。
よってx-3600＞0かつy-3600＞0なので
3600^2の正の約数の個数がそのまま答えとなり、
3600^2=60^4=(2^2×3×5)^4=2^8×3^4×5^4から
9×5×5=225個。

No.84073 - 2022/11/29(Tue) 03:25:57

☆ Re: 解の個数 / M & A

3名の方々の解答に感謝します。
有り難うございました。

No.84074 - 2022/11/29(Tue) 06:42:36