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★ 教えてください / 玲奈
公約数に1って含まれるんでしょうか？
No.49213 - 2018/03/12(Mon) 22:22:35
☆ Re: 教えてください / らすかる
含まれます。
No.49214 - 2018/03/12(Mon) 22:45:58
★ (No Subject) / 数学不得意
答え　１８　どの様にして解いたらよいのか解りません。解説よろしくお願いします。
No.49202 - 2018/03/11(Sun) 17:26:24
☆ Re: / RYO
求める数をx、△ABCの面積をSとおく。

(?@)x≦3のとき
(三角形が2枚だけ重なった部分の面積の和)＜(三角形の面積の和)＜4S より明らかに不適。

(?A)x≧4のとき
条件より以下の等式が成立する。
　(3/9)S・1+(2/9)S・(x-3)+(3/9)S・1＝4S
⇔(2S/9)・(x-3)＝10S/3
⇔x-3＝15　(∵9/2S≠0)
⇔x＝18
これはx≧4を満たす。

以上(?@)(?A)より、求める三角形の枚数は18　…(答)

※三角形をそれぞれ9等分して考えてみてください。
No.49204 - 2018/03/11(Sun) 19:56:17
☆ Re: / 数学不得意
解説ありがとうございました。すみませんが、(x-3)の個数になるのが解りません。
No.49205 - 2018/03/11(Sun) 21:11:34
☆ Re: / RYO
三角形が4枚の場合，5枚の場合，6枚の場合，…というように、枚数が小さい場合について実際に図を描いてみれば(「実験」をしてみれば)、自ずと規則が見えてくると思います。
No.49206 - 2018/03/11(Sun) 21:51:07
☆ Re: / 数学不得意
解りました。
No.49208 - 2018/03/12(Mon) 06:43:19
★ 明日受験です！ / 蘭
明日受験を控えています！
早めの返信がありがたいです！


この問題です！
1番の答えは√2
2番の答えは√10
3番の答えは√5です


よろしくお願いします！！！

.
No.49201 - 2018/03/11(Sun) 14:37:50
☆ Re: 明日受験です！ / RYO
∠BAD＝θとすると、四角形ABCDは円に内接しているので
　∠BCD＝180°-θ
である。
△ABDと△CDBについてそれぞれ余弦定理を適用し、
　BD^2＝AB^2+AD^2-2・AB・AD・cosθ
⇔BD^2＝6-(4√2)cosθ　…?@
　BD^2＝CD^2+CB^2-2・CD・CB・cos(180°-θ)
⇔BD^2＝18+(8√2)cosθ　…?A
?A-?@より
　12√2cosθ＝-12
⇔cosθ＝-1/√2　…?B
したがって、0＜θ＜180°なので
　sinθ＝√{1-(-1/√2)^2}
　　　 ＝1/√2　…?C

(1)
△CDMについて余弦定理を適用し、
　DM^2＝CD^2+CM^2-2・CD・CM・cos(180°-θ)
　　　＝6-4√2・(1/√2)　(∵?B)
　　　＝2
よって、
　DM＝√2　(∵DM＞0)　…(答)

(2)
?Bを?@に代入し、
　BD^2＝10
よって、
　BD＝√10　(∵BD＞0)　…(答)

(3)
「四角形ABCDが内接している円」と「△ABDの外接円」は一致する。
そこで、求める半径の長さをRとおき、△ABDについて正弦定理を適用すると、
　BD/sinθ＝2R
⇔R＝(1/2)・{√10/(1/√2)}　(∵?C)
　　＝√5　…(答)
No.49203 - 2018/03/11(Sun) 19:40:16
☆ Re: 明日受験です！ / らすかる
別解(参考程度に)
弧BAD上にBE=AD=√2,ED=BA=2となる点Eをとると
四角形EBCDはED//BCの等脚台形
DからBCに垂線DHを下ろすとCH=(BC-ED)/2=1なので
DH=√(CD^2-CH^2)=1
DM=√(MH^2+DH^2)=√2
BD=√(BH^2+DH^2)=√10
△DMCは∠CDM=90°の直角二等辺三角形なので
CDの垂直二等分線はHを通り、CDの中点をFとするとFH//DMなので
円の中心をOとするとFH=(1/2)DM=√2/2,HO=DM=√2なのでFO=3√2/2
よって円の半径CO=√(CF^2+FO^2)=√5
No.49207 - 2018/03/12(Mon) 00:54:57
★ 4n+3形の素数 / ネイピア
∀ｐ∈奇数の素数＝２以外の素数,(pは2^(p-1)-1の素因数)・・・?@
∀p∈素数,(2^p-1の素因数をpで割ると1余る)・・・?A
∀n∈奇数,(2^n+1の素因数は８で割ると１または３余る素数である)・・・?B
上の?@〜?Bを使って

ｐは４で割ると３余る素数として
q=2p+1が素数⇔2^p-1はq=2p+1で割り切れる
の証明を以下のように考えました。正しいでしょうか。検討していただきたいと思います。
よろしくお願いいたします。

（証明）
p∈{p∈4n+3形の素数│q=2p+1が素数}とする
P=4k+3∧k∈N∪{0}
q=2p+1=2(4k+3)+1=8k+7
qは８で割ると７余る・・・?C
qは奇数の素数
?@より
qは2^(q-1)-1の素因数・・・?D
2^(q-1)-1=2^2p-1=(2^p-1)(2^p+1)・・・?E
qが2^p+1の素因数とする（背理法）
pは奇数、?Bより
qは８で割ると１または３余る・・・?F
?Cと?Fは矛盾する
よって
qは2^p+1の素因数ではない・・・?G
?D，?E、?Gより
qは2^p-1の素因数
2^p-1はq=2p+1で割り切れる
p∈{p∈4n+3形の素数│2^p-1はq=2p+1で割り切れる}
{p∈4n+3形の素数│q=2p+1が素数}⊆{p∈4n+3形の素数│2^p-1はq=2p+1で割り切れる}
となり⇒が成り立つ

一方
p∈{p∈4n+3形の素数│2^p-1はq=2p+1で割り切れる}とする
2^p-1はq=2p+1で割り切れる・・・?H
lをq=2p+1の素因数とする・・・?I
?H．?Iより
lは2^p-1を割り切る
lは2^p-1の素因数
?Aより
lをpで割ると1余る
l=pm+1∧m∈N・・・?J
l,pは奇数・・・?K
?J，?Kより
mは偶数
m≧2・・・?L
l=pm+1≧2p+1・・・?M
l≦q=2p+1・・・?N
?M，?Nより
l=2p+1=q
qは素数
p∈{p∈4n+3形の素数│q=2p+1が素数}
{p∈4n+3形の素数│2^p-1はq=2p+1で割り切れる}⊆{p∈4n+3形の素数│q=2p+1が素数}となり
⇐が成り立つ
ｐは４で割ると３余る素数として
q=2p+1が素数⇔2^p-1はq=2p+1で割り切れる
が成り立つ
No.49200 - 2018/03/11(Sun) 10:26:00
★ (No Subject) / か
この部分で、ベクトルbですぐに両辺を約分しないのは、なにか理由があるんでしょうか.
No.49197 - 2018/03/11(Sun) 03:25:21
☆ Re: / IT
内積について「約分」はできません
b≠0,b・a=b・c だからといってa=c とはいえません。
No.49198 - 2018/03/11(Sun) 08:59:51
☆ Re: / か
ありがとうございます。もう１つ疑問があるのですが、、、これの例題351の考え方の(2)が、何故こうなるのかが分かりません…
No.49199 - 2018/03/11(Sun) 09:34:13
☆ Re: / ヨッシー
考え方１
ＴがＢＣをａ：ｂに分ける点である時
　ＡＴ＝{b/(a+b)}ｂ＋{a/(a+b)}ｃ
ここで、ｓ＝b/(a+b)、ｔ＝a/(a+b) とおくと、ｓとｔの間に成り立つべき関係式は
　ｓ＋ｔ＝１
です。

考え方２
点Ｔは、点Ａから見て、まず、Ａ→Ｂと進み（ＡＢ）、ＢＣ の何倍か（ｔ倍とする）だけ進んだ点と考えると、
　ＡＴ＝ＡＢ＋ｔＢＣ
　　　＝ｂ＋ｔ(ｃ−ｂ)
　　　＝(1−t)ｂ＋ｔｃ
ここで、ｓ＝１−ｔ と置くと、ｓ＋ｔ＝１
No.49209 - 2018/03/12(Mon) 11:26:57
★ 一様収束 / なにゃら
広義一様収束するが一様収束しない例としてe^xの冪級数展開が挙げられます. 広義一様収束することは理解できたのですが一様収束しないことがわからないです.説明を見ても言葉でしか書いていないので数式で示してくれると嬉しいです.

fn(x)=Σ(k=0〜n) x^k/k! として考えています.
一様収束の定義より
|fn(x)-f(x)|=Σ(k=n+1〜∞) x^k/k!
…うまく不等式評価できません.
No.49196 - 2018/03/11(Sun) 02:19:26
★ (No Subject) / m
別の問題やってたんですけどまだわからないところが出たので質問させていただきます。。

空間において、一辺の長さが4である正方形ABCDがある。半径が1である球Sがこの正方形のいずれかの辺と共有点を持つように動く時、球Sの通過する領域をEとする。そのEの体積を求めよ。ただし、球Sとは表面も内部も含むとする。


教えてください。
No.49191 - 2018/03/10(Sat) 18:18:58
☆ Re: / らすかる
あまり自信がありませんが…

まず正方形に垂直で各辺を含む4つの平面で9個に分けると、
角は半径2の球の1/4でありこれが4つなので
合わせて半径2の球の体積となり32π/3
辺の外側は底面の半径が2で高さが4の半円柱で、
これが4つなので合わせると半径が2で高さが8の円柱の体積となり32π
中央に残った部分は正方形に垂直で対角線を含む2つの平面で4つに切って
さらに半分にすれば
半径が2で高さが2の半円柱を中心面と45°の角度の平面で切った内側なので
8∫[0〜2]2(2-x)√(4-x^2)dx=32π-128/3
よって全部で 32(7π-4)/3
となると思います。
No.49194 - 2018/03/11(Sun) 01:22:02
★ (No Subject) / たろー
(2)と(3)を教えて下さい。
計算が複雑になりあっているか、わからなくなりました。
No.49190 - 2018/03/10(Sat) 17:55:12
☆ Re: / ヨッシー
Lの方程式は　ｙ＝ｍｘ＋２ｍ
(1)
　Ｓ1＝∫[-2〜0]{(−ｘ^2＋４)−(ｍｘ＋２ｍ)}dx
　　＝16/3−2m
(2)
ＬとＣとの交点で、Ａではない方のｘ座標は　ｘ＝２−ｍ
Ｄのうち、直線Ｌの上側で、ｙ軸より右にある部分の面積Ｓ3は
　Ｓ3＝∫[0〜2-m]{(−ｘ^2＋４)−(ｍｘ＋２ｍ)}dx
　　＝(2−m)^2・(8−m)/6
Ｓ2＋Ｓ3＝16/3 より
　Ｓ2＝16/3−(2−m)^2・(8−m)/6
　　＝m(m−6)^2/6
(3)
　Ｓ＝16/3−2m＋m(m−6)^2/6
　　＝(m^3−12m^2＋24m＋32)/6
ｍで微分して、
　Ｓ’＝(m^2−8m＋8)/2
ｍ＝4±2√2 のとき　Ｓ’＝０
特に　０＜ｍ＜２ の範囲では　ｍ＝4−2√2 のときＳは最大で
　m^3−12m^2＋24m＋32＝(m^2−8m＋8)(m−4)＋64−16m
より、ｍ＝4−2√2 のとき
　Ｓ＝{64−16(4−2√2)}/6＝16√2/3
No.49210 - 2018/03/12(Mon) 16:44:13
★ ぐうきの問題が苦手で、 / m
すみません。ここまで解答は行ったのですが、それからがよくわからなくて教えていただきたいです
No.49187 - 2018/03/10(Sat) 17:30:50
☆ Re: ぐうきの問題が苦手で、 / m
これが自分の解答です。（ちなみに探索です。
No.49188 - 2018/03/10(Sat) 17:31:36
☆ Re: ぐうきの問題が苦手で、 / m
探索ではなく添削
No.49189 - 2018/03/10(Sat) 17:32:33
☆ Re: ぐうきの問題が苦手で、 / X
(1)
過程が間違っています。
例えばnがoddのとき
a[n+1]=a[n] (A)
は成立しますが、だからと言って
a[n]=a[n-1] (B)
は成立しません。
((A)の左辺の添え字であるn+1はevenですが
(B)左辺の添え字であるnはoddですので。)
nがevenのときも同様です。

これは以下のように解きます。

nがodd,evenいずれのときにおいても
与えられた二つの漸化式の和を取ると
a[n+1]+b[n+1]=2{a[n]+b[n]} (A)
つまり、{a[n]+b[n]}の漸化式である
(A)はnの偶奇によらず成立します。
∴a[n]+b[n]={a[1]+b[1]}2^(n-1)
=2^n

(2)
mとnを混同してしまっています。
確かに2m-1は奇数ですが、このとき成立するのは
a[2m-1]=a[2m]
です。
従って
c[m+1]=c[m]
は成立しません。

これは以下のように解きます。
前半)
条件から
a[2m+1]=a[2m] (C)
b[2m+1]=a[2m]+2b[2m] (D)
a[2m]=2a[2m-1]+b[2m-1] (E)
b[2m]=b[2m-1] (F)
(C)(E)より
a[2m+1]=2a[2m-1]+b[2m-1] (C)'
ここで(1)の結果により
a[2m-1]+b[2m-1]=2^(2m-1) (G)
(C)'(G)により
a[2m+1]=a[2m-1]+2^(2m-1)
∴c[m+1]=c[m]+2^(2m-1)
後半)
c[1]=a[1]=1
に注意して前半の結果の漸化式を解き、
a[2m-1](=c[m])
を求めます。
後は条件から
a[2m]=a[2m-1]
ですのでa[2m]も求められます。

(3)
これはヒントだけ。
まず(1)(2)の結果を使って
b[2m-1],b[2m]
を求めましょう。
No.49192 - 2018/03/10(Sat) 20:10:10
☆ Re: ぐうきの問題が苦手で、 / m
わかりました！！ありがとうございます！
No.49193 - 2018/03/10(Sat) 23:46:10
☆ Re: ぐうきの問題が苦手で、 / X
もう見ていないかもしれませんが、ごめんなさい。
(2)において漸化式の適用を間違えていました。
比較のため、改めて(2)の方針をアップしておきます。

(2)
mとnを混同してしまっています。
確かに2m-1は奇数ですが、このとき成立するのは
a[2m]=a[2m-1]
です。
従って
c[m+1]=c[m]
は成立しません。

これは以下のように解きます。
前半)
条件から
a[2m]=a[2m-1] (C)
b[2m]=a[2m-1]+2b[2m-1] (D)
a[2m+1]=2a[2m]+b[2m] (E)
b[2m+1]=b[2m] (F)
ここで(1)の結果により
a[2m]+b[2m]=2^(2m)
∴b[2m]=2^(2m)-a[2m]
これを(E)に代入すると
a[2m+1]=a[2m]+2^(2m)
更に(C)を代入して
a[2m+1]=a[2m-1]+2^(2m)
よって、求める漸化式は
c[m+1]=c[m]+4^m

後半)
c[1]=a[1]=1
に注意して前半の結果の漸化式を解き、
a[2m-1](=c[m])
を求めます。
後はこの結果を(C)に代入すれば
a[2m]も求められます。
No.49212 - 2018/03/12(Mon) 20:06:08
★ (No Subject) / 雪
立方体abcdefghがあって、　ab bfの中点ｐｑがあります
apqの3点を通る平面で切るときの切り口は
等脚台形(?)になるのですが、なぜ4点通っているのでしょうか？教えてください。
あと、とうきゃく台形ってなんですか！?
No.49185 - 2018/03/10(Sat) 14:00:55
☆ Re: / らすかる
立方体ABCDEFGHは、特に図や断りがなければ
一つの面が正方形ABCD、反対側の面が正方形HGFEで
その2面をつなぐ4辺がAE,BF,CG,DHであるような立方体を意味すると思います。
そう考えるとAEFBが一つの面になっていますので
ABの中点P、BFの中点Qもその面上にあり、
「A,P,Qの3点を通る平面」＝「面AEFBを含む平面」
となりますので、「切り口」はありません。

等脚台形とは、平行な各辺の両端の角度が等しい台形、すなわち
平行な2辺の垂直二等分線が一致し、その直線に関して左右対称であるような台形のことです。
対角の和が180°であるような台形、とも言えます。
No.49186 - 2018/03/10(Sat) 14:35:00
★ 三角形の内角 / ぬ
円に内接する三角形があり。三角形の内角の大きさがn:n+1:n+2となるとき、それぞれの内角は何度になりますか？
No.49182 - 2018/03/10(Sat) 01:35:53
☆ Re: 三角形の内角 / らすかる
「円に内接する」は関係ないですが、
内角の和は180°ですから
n：n+1：n+2ならば
180×n/{n+(n+1)+(n+2)}=60n/(n+1)
180×(n+1)/{n+(n+1)+(n+2)}=60
180×(n+2)/{n+(n+1)+(n+2)}=60(n+2)/(n+1)
なので
(60n/(n+1))°、60°、(60(n+2)/(n+1))°
となります。
No.49183 - 2018/03/10(Sat) 01:55:48
☆ Re: 三角形の内角 / ぬ
理解できました。ありがとうございました。
No.49184 - 2018/03/10(Sat) 04:16:41
★ (No Subject) / aibo
P：r =√2a+√(cos2θ) （極方程式)の増減表からx,y平面での軌跡を求める方法がわかりません。どなたか教えてください。
No.49180 - 2018/03/09(Fri) 23:49:32
☆ Re: / aibo
間違えました、√2a√(cos2θ)です。
No.49181 - 2018/03/09(Fri) 23:51:39
☆ Re: / ヨッシー

直交座標だと、上のようなグラフですが、極座標では、下のグラフのようになります。

偏角−π／４から０までは、角度が増えるにつれて、ｒ（原点からの距離)が増えて、偏角０（ｘ軸）で最大になり、その後減っていきます。
No.49211 - 2018/03/12(Mon) 17:43:44
☆ Re: / aibo
ありがとうございます。
No.49229 - 2018/03/13(Tue) 16:30:26
★ 空間図形 / 中3田丸
図形が苦手で解りません。解説よろしくお願いします。（２）答え　２７㎤　です。
No.49177 - 2018/03/09(Fri) 16:31:11
☆ Re: 空間図形 / X
まず、四面体ACFHの体積を求めます。
図から
(四面体ACFHの体積)=(立方体ABCD-EFGHの体積)-4×(三角錐HACDの体積)
=6[cm]×6[cm]×6[cm]-4×(1/3)×{(1/2)×(6[cm]×6[cm])}×6[cm]
=72[cm^3] (A)
一方、問題の立体を△RSTを含む平面で
四面体CRST,正四角錐RPQTS
に分割すると、
四面体CRSTと四面体ACFHとの相似比は1:2
ですので
四面体CRSTと四面体ACFHとの体積比は1:4
よって(A)により
(四面体CRSTの体積)=(1/4)×(四面体ACFHの体積)
=18[cm^3] (B)
更に、点Rから正方形PQTSに下ろした垂線の足をIとすると
RI=(1/2)AE=3[cm]
△ACDにおいて三平方の定理により
AC=6√2[cm]
ですので
PQ=QT=(1/2)AC=3√2[cm]
以上から
(正四角錐RPQTSの体積)=(1/3)×PQ×QT×RI
=(1/3)×3√2[cm]×3√2[cm]×3[cm]
=18[cm^3] (C)
(B)(C)により
(立体PQR-STCの体積)=(四面体CRSTの体積)+(正四角錐RPQTSの体積)
=18[cm^3]+18[cm^3]
=36[cm^3]
となります。
No.49178 - 2018/03/09(Fri) 17:01:39
★ 関数 / 中３　花輪
（２）が解けません。詳しい解説お願いします。
No.49175 - 2018/03/09(Fri) 15:50:29
☆ Re: 関数 / らすかる
四角形ABQPが平行四辺形ならば
(Bのy座標)-(Qのy座標)=(Aのy座標)-(Pのy座標)
でなければなりません。
逆にこれを満たせば平行四辺形になります。
よってPのy座標は12-4/3=32/3ですから、
Pの座標は(±4√2,32/3)となります。
No.49176 - 2018/03/09(Fri) 16:18:30
☆ Re: 関数 / 中３　花輪
平行四辺形の高さが等しいことを利用して方程式で解くのですね。
No.49179 - 2018/03/09(Fri) 18:36:58
★ あと2日で受験！ / 蘭
あと2日で受験を控えています。

この問題の1番最後がわかりません。
私がやると、計算が死ぬほどキツくなります。

答えは105/4（4分の105）だそうです。

最も良い解き方を教えてください。


.
No.49172 - 2018/03/09(Fri) 09:55:52
☆ Re: あと2日で受験！ / ヨッシー
最も良いかどうかはわかりませんが。

(2)の(ア) で、ＤＧ＝9/4 が出ていると思いますが、これと
△ＤＧＥにおける三平方の定理から　ＥＧ＝15/4 まで出せます。

ＡからＥＦに垂線ＡＨを下ろします。

△ＧＥＤ∽△ＡＥＨ　相似比はＥＧ：ＥＡ＝３：７　より、
　ＡＨ＝ＤＧ×7/3
　　　＝9/4×7/3＝21/4
　ＥＨ＝ＥＤ×7/3＝７
△ＡＥＢ∽△ＡＨＦ　相似比は　ＡＥ：ＡＨ＝５：３
　ＨＦ＝ＢＥ×3/5＝３
以上より
　ＥＦ＝１０，ＡＨ＝21/4
であるので、
　△ＡＥＦ＝10×21/4÷2＝105/4
No.49173 - 2018/03/09(Fri) 11:47:47
☆ Re: 感謝です。 / 蘭
いつも本当にありがとうございます！
マジで助かってます！

理解できました。
またよろしくお願いします！
No.49174 - 2018/03/09(Fri) 13:06:20
★ 判別式 / 数学苦手太郎
黄色部分がなぜ -a-2の二乗にならないのかわかりません。教えてください。。
No.49166 - 2018/03/08(Thu) 22:47:53
☆ Re: 判別式 / IT
-a-2の二乗=(-a-2)^2={(-1)(a+2)}^2={(-1)^2}(a+2)^2=(a+2)^2 です。
No.49167 - 2018/03/08(Thu) 22:57:28
☆ Re: 判別式 / 数学苦手太郎
ありがとうございます！！！！
No.49168 - 2018/03/08(Thu) 23:11:30
★ なんで！ / 井
これの角が同じになる理由を教えてください！
No.49165 - 2018/03/08(Thu) 22:43:02
☆ Re: なんで！ / RYO
四角形DBCEは円に内接しているので、
　∠DBC
＝180°-∠DEC
＝∠AED

【参考リンク】
No.49169 - 2018/03/08(Thu) 23:13:09
★ 図形の問題 / Kazakh
よろしくお願いします
No.49164 - 2018/03/08(Thu) 22:21:06
☆ Re: 図形の問題 / X
(1)
方針を。
条件から△APQ,△APRは
∠APQ=∠APR=π/2
の直角三角形ですので
PQ=PR=t√3 (A)
又、△AQRは正三角形ですので
QR=2t (B)
(A)(B)を使い、△PQRに余弦定理を適用し
まずcos∠QPRを求めます。
その上で
(sin∠QPR)^2+(cos∠QPR)^2=1
を用いてsin∠QPRを求めます。
求める半径は△PQRの外接円の半径ですので
△PQRにおいて正弦定理を適用します。

(2)
(1)の過程から△BPQ,△BPRは
∠BPQ=∠BPR=π/2
の直角三角形ですので円周角により
△BPQ,△BPRの外接円の中心は
それぞれ辺BQ,BRの中点です。
そこでこれらをそれぞれL,Mとおくと
↑AL=(↑AB+↑AQ)/2={↑AB+(2t/6)↑AC}/2
=(1/2)↑AB+(t/6)↑AC (B)
↑AM=(↑AB+↑AR)/2={↑AB+(2t/6)↑AD}/2
=(1/2)↑AB+(t/6)↑AD (C)
さて、正四面体ABCDにおいて各頂点から相対する
面に下ろした垂線の足は相対する面である
正三角形の重心。
∴△BPQ,△BPRに対する垂線の方向ベクトル
をそれぞれ↑v,↑wとすると
↑v=(↑DA+↑DB+↑DC)/3
=(↑AB+↑AC)/3-↑AD (D)
↑w=(↑CA+↑CB+↑CD)/3
=(↑AB+↑AD)/3-↑AC (E)
更に四面体BPQRの外接球の中心をTとすると
↑AT=↑AL+x↑v=↑AM+y↑w (F)
(x,yは実数)
(D)(E)(F)より
↑AT=(1/2)↑AB+(t/6)↑AC+x{(↑AB+↑AC)/3-↑AD}
=(1/2)↑AB+(t/6)↑AD+y{(↑AB+↑AD)/3-↑AC}
整理をして
↑AT=(1/2+x/3)↑AB+(t/6+x/3)↑AC-x↑AD
=(1/2+y/3)↑AB-y↑AC+(t/6+y/3)↑AD (G)
ここで
↑AB,↑AC,↑ADは互いに↑0ではなく
又
↑AB,↑AC,↑ADは互いに平行ではなく
かつ
↑AB,↑AC,↑ADは同一平面内に存在しません。
よって、(D)において中辺、右辺の
↑AB,↑AC,↑ADの係数を比較する
ことができ
1/2+x/3=1/2+y/3 (H)
t/6+x/3=-y (I)
t/6+y/3=-x (J)
(H)(I)(J)を連立して解き
(x,y)=(-t/8,-t/8)
これと(G)により
↑AT=(1/2-t/24)↑AB+(t/8)↑AC+(t/8)↑AD
よって正四面体BPQRの外接円の半径の二乗をzとすると
z=|↑BT|^2=|↑AT-↑AB|^2
=|↑AT|^2-2↑AT・↑AB+|↑AB|^2
=|(1/2-t/24)↑AB+(t/8)↑AC+(t/8)↑AD|^2-2((1/2-t/24)↑AB+(t/8)↑AC+(t/8)↑AD)・↑AB+|↑AB|^2 (K)
条件から
|↑AB|=|↑AC|=|↑AD|^=6
↑AB・↑AC=↑AC・↑AD=↑AD・↑AB
=|↑AB||↑AC|cos∠BAC
=6・6・cos(π/3)
=18
となることに注意して(K)を展開して整理をすると
z=(11/8)t^2-3t+9
=(11/8)(t-12/11)^2+81/11 (K)'
横軸にt,縦軸にzを取った(K)'のグラフを
0＜t≦3
の範囲で描くことにより、zの最小値は
81/11
よって求める半径の最小値は
9/√11
となります。
((K)と(K)'の間の計算が煩雑です。
もっと簡単な方法があるかもしれません。)
No.49171 - 2018/03/09(Fri) 09:25:38
★ 体論の問題 / TAROU
次の問題がわからないです。

Fを標数0の体とする。a∈Fとする。a=0でないとする。nを２以上の整数とする。任意のnの約数である素数pに対してaはFの元のp-th powerにならないとする。nが4の倍数のとき、-a=4*b^4 (b∈F)と表せないとする。このとき、t^n-aはF[t]の既約多項式であることを示せ。

LangのUnder graduate algebraのfield theryの問題です。解答がなくて困っています。
t^２+4b^4(b∈F)が既約でないことは確かめました。
nが素数の場合は既約になるということは証明できました。
上記の条件で考えた場合どうなるのでしょうか？
No.49162 - 2018/03/08(Thu) 21:34:41
★ 対称性の問題 / Kazakh
解き方がわかりません。よろしくお願いします
No.49159 - 2018/03/08(Thu) 13:08:31
☆ Re: 対称性の問題 / らすかる
「半径rの球面上に4点A,B,C,Dがある。四面体ABCDの各辺の長さは」で検索すると
いくつか解答が出てきますが、↓このあたりが簡単で良いかと思います。
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13127382753
No.49160 - 2018/03/08(Thu) 14:04:44
☆ Re: 対称性の問題 / RYO
＜別解＞

辺ABの中点をM、辺CDの中点をNとおく。
このとき、CB＝CA(＝2)よりCM⊥ABであるから、△ACMについて三平方の定理を適用し、
　CM＝√(AC^2-AM^2)　(∵CM＞0)
　　 ＝(√13)/2
また、△ABC≡△ABDよりMC＝MDなので、MN⊥CDである。そこで、△MCNについて三平方の定理を適用し、
　MN＝√(CM^2-CN^2)　(∵MN＞0)
　　 ＝3/2

ここで、四面体ABCDは△CDMを含む面に関して対称なので、球面の中心Oは△CDM内に存在する。
さらに、C,Dはいずれも球面上の点であり、点Oからの距離が等しいので、点Oは線分CDの垂直二等分線上に存在する。
以上より、点Oは線分MN上にあるといえる。

また、OC＝OD(＝r),OA＝OB(＝r)よりON⊥CD,OM⊥ABである。

そこで、ON＝x(0＜x＜3/2)とおき、△OCNと△OAMについてそれぞれ三平方の定理を適用すると、
　OC^2＝ON^2+CN^2
⇔r^2＝x^2+1　…?@
　OA^2＝OM^2+AM^2
⇔r^2＝(3/2-x)^2+{(√3)/2)}^2
　　 ＝x^2-3x+3　…?A
?@-?Aより
　3x-2＝0
⇔x＝2/3
これを?@に代入して、
　r^2＝13/9
よって、
　r＝(√13)/3　(∵r＞0)　…答
No.49161 - 2018/03/08(Thu) 14:16:27
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