ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ ベクトル / Kazakh

(3)が分かりません、よろしくお願いします

No.49736 - 2018/04/15(Sun) 23:44:43

☆ Re: ベクトル / X

前半)
まず点Hは平面ABD上にありますので
↑OH=x↑a+y↑b+z↑OD (A)
但し
x+y+z=1 (B)
(A)に(2)の結果を代入して
↑OHを↑a,↑b,↑cの式で表します。
(これを(A)'とします。)
次に
↑OH⊥(平面ABD)
ですので
↑OH⊥↑a
↑OH⊥↑b
∴
↑OH・↑a=0 (C)
↑OH・↑b=0 (D)
更に条件から
↑b・↑c=↑c・↑a=↑a・↑b (E)
(C)(D)に(A)'を代入して左辺を展開します。
(これらを(C)'(D)'とします。)
次に(1)の結果と(E)により
↑b・↑c,↑c・↑aの値も求められますので
(C)'(D)'よりx,y,zの方程式を導くことができます。
(これらを(C)"(D)"とします。)

以上(B)(C)"(D)"を連立してx,y,zを求めます。

後半)
前半の結果を使って|↑OH|^2の値を求めます。

No.49740 - 2018/04/16(Mon) 05:47:36

★ おしえてください / ars magna

円柱「面」x^2+y^2=1, -1≦z≦1をCとする。
2点A(1,0,1),B(-1,0,-1)を結ぶ直線をlとする。
lを中心軸としてCを1回転させるとき、Cが通過する部分の体積Vを求めよ。

歯が立ちません

No.49708 - 2018/04/14(Sat) 21:08:13

☆ Re: おしえてください / Delta

回転体の体積を求める際には回転軸と図形上の点との距離が重要となるのでまずはその値を求めていきます。

tを-1≦t≦1なる実数とし、l上の点(t,0,t)を通りlと直交する平面x+z=2tにおけるCの断面を考えます。
この平面上の点(x,y,z)と直線lとの距離は点(x,y,z)と点(t,0,t)との距離と等しいのでその距離をdとすると
d^2=(x-t)^2+y^2+(z-t)^2=x^2+y^2+z^2-2(x+z)t+2t^2
(x,y,z)は平面x+z=2t上にあり、さらにC上の点だとするとx^2+y^2=1 が成立するのでこのとき、
d^2=1+z^2-2t^2 となります。

ここで-1≦z≦1でx^2+y^2=1より-1≦x≦1であり、さらにx+z=2tより zは-1≦z≦1かつ-1+2t≦z≦1+2tを満たします。
(i)-1≦t≦-1/2のとき
-1≦z≦1+2t≦0 より (1+2t)^2≦z^2≦1
(ii)-1/2≦t≦0のとき
-1≦z≦1+2tかつ1+2t≧0より 0≦z^2≦1
(iii)0≦t≦1/2のとき
-1+2t≦z≦1かつ-1+2t≦0より 0≦z^2≦1
(iv)1/2≦t≦1のとき
0≦-1+2t≦z≦1より (1-2t)^2≦z^2≦1

断面x+z=2tにおける回転体の断面積をS(t)とすると
正の実数α,βに対しα≦d≦βならば S(t)=π(β^2-α^2)と表されるのでこのようにしてS(t)を求めると
-1≦t≦-1/2 で S(t)=π{1-(1+2t)^2}=-4π(t+t^2)
-1/2≦t≦1/2 で S(t)=π
1/2≦t≦1 で S(t)=π{1-(1-2t)^2}=4π(t-t^2)
となります。
したがって、V=∫[-1:1]S(t)dt=(5/3)π

※対称性を使うと計算量や記述量が多少減ると思います。
※計算が正しい自信はないので自分で計算してみてください。

No.49711 - 2018/04/14(Sat) 23:42:16

☆ Re: おしえてください / ＩＴ

Delta さんへ　軸ｌが斜めであることを考慮する必要があるのでは？　勘違いならごめんなさい。

No.49712 - 2018/04/14(Sat) 23:54:00

☆ Re: おしえてください / Delta

言われてみればそうでしたね...。
修正に時間がかかりそうなので、どなたか分かる方は代わりに回答してくださると嬉しいです...。

No.49713 - 2018/04/15(Sun) 00:04:09

☆ Re: おしえてください / X

Deltaさんの解答に付け加える形で
tを変数変換することを考えます。
(間違っていたらごめんなさい。)

lの上に、X軸という座標軸を考えます。
但し、原点をx,y,z軸のそれと同じとし、
座標軸の向きは座標軸上の点のz座標が
増加する向きに取ります。
すると条件から
X=t√2
でt:-1→1,X:-√2→√2が対応し
V=∫[-√2→√2]S(t)dX
=(1/√2)∫[-1→1]S(t)dt
∴DeltaさんのNo.49711での計算により
V=(1/√2)(5/3)π
=(5/6)π√2
となります。

No.49714 - 2018/04/15(Sun) 00:17:47

☆ Re: おしえてください / らすかる

この円柱は球x^2+y^2+z^2=2に内接するから
回転体の外側はこの球面となる。
内側は、円柱が球x^2+y^2+z^2=1に外接するので
ABの端1/4ずつを除いた中央半分はその球、
そして端1/4ずつは円錐となり、
求める体積は
(4/3)π(√2)^3-π∫[-1/√2～1/√2](1-x^2)dx-2・π(1/√2)^2・(1/√2)・(1/3)
=(5√2/3)π

No.49715 - 2018/04/15(Sun) 00:25:25

☆ Re: おしえてください / ＩＴ

X さんへ　
Delta さんのＶの√２倍になるのでは？
直線ｌ上の点(t,0,t) の原点からの距離は√2t なので
V=∫[-√2:√2]A(u)du
=∫[-√2:√2]S(u/√2)du
=√2∫[-1:1]S(t)dt
=√2(5/3)π　では？

No.49716 - 2018/04/15(Sun) 00:25:58

☆ Re: おしえてください / Delta

IT様,X様指摘や訂正等ありがとうございます。

ars magna様私の解答に不備がありましてお手数をおかけしました。

No.49717 - 2018/04/15(Sun) 00:26:08

☆ Re: おしえてください / X

>>ITさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>Deltaさん、ars magnaさんへ
ごめんなさい。ITさんの仰る通りです。
X=t√2
から
dX=(√2)dt
であって
dX=(1/√2)dt
ではありませんね。

No.49718 - 2018/04/15(Sun) 00:30:47

☆ Re: おしえてください / ars magna

皆様方本当にありがとうございました。
これを参考にして学ぼうと思います

No.49719 - 2018/04/15(Sun) 00:53:15

★ (No Subject) / 元中三

-4x^2+400x+1が平方数となるような自然数xの求め方をおしえていただけますでしょうか。

No.49707 - 2018/04/14(Sat) 20:37:45

☆ Re: / らすかる

-4x^2+400x+1=m^2 とおいて整理すると
(2x-100)^2+m^2=10001=73×137
73=3^2+8^2, 137=4^2+11^2なので、恒等式
(x^2+y^2)(u^2+v^2)=(xu+yv)^2+(xv-yu)^2
にあてはめて10001=1^1+100^2=65^2+76^2を得る。
よって2x-100=100,±76が解なので
求める解は x=12,88,100

No.49709 - 2018/04/14(Sat) 21:43:17

☆ Re: / 元中三

回答ありがとうございます！
前にも同じような質問をさせていただいたのですが忘れてしまいましたので質問させていただきました。
以前はA^2+B^2=100A+Bを満たすA,Bの求め方で質問させていただきましたが、1001=73・137というのが重要なんですね。
その恒等式は東大寺学園高校の過去入試問題で取り上げられていましたが、すごい式だと見るたびに思います。

No.49724 - 2018/04/15(Sun) 06:47:54

★ 整式の割り算 / 質問者

10番の問題です。
答えはa＝7,b=13,c=6なのですが、どうしてもc=-6になってしまいます。
解説お願いします

No.49702 - 2018/04/14(Sat) 18:54:39

☆ Re: 整式の割り算 / ＩＴ

ご自身の答案を書き込まれると、どこで間違えたか指摘でき有効な回答がしやすいと思います。

No.49703 - 2018/04/14(Sat) 19:04:39

☆ Re: 整式の割り算 / ＩＴ

P(x)={(x+1)^2}Q(x) なので　(「因数定理より」としてもいいです。）,P(-1)=0=-a+b-c　ですから、

他の条件などからa=7,b=13 が正しく求められたのなら、c=6 となるはずです。

No.49704 - 2018/04/14(Sat) 19:42:33

☆ Re: 整式の割り算 / Kenji

横から失礼します。
実際に割り算してしまう手もあります。

P(x)をx^2+2x+1で割り算して
　P(x)=(x+1)^2(x^2-x-a+1)+(2a-b-1)x+(a-c-1)
とする計算はさほど難しくありません。
この割り算が割り切れることから
　P(x)=(x+1)^2(x^2-x-a+1)
　P(3)=16(7-a)
と分かりますから因数定理によってa=7となり、
　P(x)=(x+1)^2(x^2-x-6)=x^4+x^3-7x^2-13x-6
　∴a=7,b=13,c=6
と分かります。
逆にこのとき
　P(x)=x^4+x^3-7x^2-13x-6=(x+1)^2(x^2-x-6)=(x-3)(x^3+4x^2+5x+2)）
と題意を満たすことから
　a=7,b=13,c=6
が求める答となります。

No.49710 - 2018/04/14(Sat) 23:27:41

★ (No Subject) / p

a,bは整数
（16+b):(22+a）=2:3, （16+a）:(22+b）=1:1のときのaは？
上記問題の算数的解法の詳説をお願いします。

No.49695 - 2018/04/14(Sat) 04:07:59

☆ Re: / らすかる

比の値の合計を合わせると
(16+b)：(22+a)=2：3=4：6
(16+a)：(22+b)=1：1=5：5
となりますので、全体を10としたとき16+aは5、22+aは6にあたります。
よってその差6が1にあたりますので
16+aが5にあたることから6×5=30、よってa=30-16=14です。

No.49696 - 2018/04/14(Sat) 05:35:34

☆ Re: / p

ありがとうございました。

No.49697 - 2018/04/14(Sat) 12:46:25

☆ Re: / p

すみません。らすかるさんの解法で納得したのですが、模範解答が分かりません。

(16+a):(22+b)=1:1から、aとbの差が、22-16=6となる。したがって、(16+b):(22+a)=2:3で、2と3の差が、22-16+6=12だから、a
は、12x3/(3-1)-22=14となる。

上記のように模範解答はなっています。全般的に分かりませんが、とくに最後の計算式の意味が分かりません。

No.49720 - 2018/04/15(Sun) 02:26:01

☆ Re: / p

訂正: 最後の計算式は、12x3/(3-2)-22=14でした。

No.49721 - 2018/04/15(Sun) 02:38:40

☆ Re: / らすかる

(16+a)：(22+b)=1：1から16+a=22+bなのでa-b=22-16=6
a-b=6からb=a-6なので16+b=16+(a-6)=10+a
(22+a)-(10+a)=12これが比の2と3の差だから
比の値が3である22+aはこれの3倍で12×(3/(3-2))=36
よって22+a=36なのでa=14

のように計算していますね。

No.49722 - 2018/04/15(Sun) 02:45:45

☆ Re: / p

>比の値が3である22+aはこれの3倍で12×(3/(3-2))=36

上記で、3倍とあるのに、(3-2)で割る理由が分かりません。

No.49723 - 2018/04/15(Sun) 05:10:45

☆ Re: / らすかる

例えば2と3でなく5と8だったら
比の5と8の差が3であり、
その比の差3に相当するものが12だとしたら
比の8に相当するものは12×(8/(8-5))になりますよね。

それと同じで、12が2と3の差に相当して
3の分を求めるので12×(3/(3-2))となりますね。
2と3の差が1だから明らかに3倍なので12×3としても
特に問題ないですが、比が何であっても通用する
式の形で書いているということです。

確かに「3倍」と書いてしまった場合は12×3の方が自然ですね。
模範解答に合わせるためには「3/(3-2)倍」と書くべきでした。

No.49725 - 2018/04/15(Sun) 12:44:25

☆ Re: / p

詳しい説明、ありがとうございます。よく分かりました。

No.49739 - 2018/04/16(Mon) 01:14:26

★ 中３　2次方程式 / りゅう

お久しぶりです。
いつもありがとうございます。
下記の問題を教えていただけますでしょうか？

ｐ＞０とする。
ｘの２次方程式x^2-6x-p+8=0の2つの解をa,b（ａ＜ｂ）とし、ａ＜ｍ＜ｂを満たす整数ｍの個数をＮとする。

（１）ｐ＝１のとき、Ｎの個数を求めよ

（２）Ｎ＝５となるような正の整数ｐの値を全て求めよ

どうぞよろしくお願い致します。

No.49691 - 2018/04/14(Sat) 00:28:16

☆ Re: 中３　2次方程式 / らすかる

(1)
「Nの個数」は意味不明ですので
「Nの個数を求めよ」は
「Nを求めよ」の誤りと判断します。
p=1のときx^2-6x-p+8=x^2-6x+7=0からx=3±√2
1＜3-√2＜2, 4＜3+√2＜5なので
3-√2＜m＜3+√2を満たす整数mは2,3,4の3個
よってN=3

(2)
pの値にかかわらず軸はx=3ですから、N=5になるということは
条件を満たすmが1,2,3,4,5の5個ということになります。
y=x^2-6x-p+8はx=3に関して対称なので
小さい方の解aが0≦a＜1を満たせば十分で、
これを満たすためにはf(x)=x^2-6x-p+8とおいたときに
f(0)≧0かつf(1)＜0になるということですから
-p+8≧0かつ-5-p+8＜0から3＜p≦8となります。
よってN=5となるpの値は4,5,6,7,8です。

No.49693 - 2018/04/14(Sat) 00:57:30

☆ Re: 中３　2次方程式 / りゅう

とても丁寧に説明していただいて、どうもありがとうございました。
（１）はとてもよく分かりましたが、
（２）のところで、
＞pの値にかかわらず軸はx=3ですから、
という部分が分からなかったので、教えていただけますでしょうか？

No.49698 - 2018/04/14(Sat) 13:45:15

☆ Re: 中３　2次方程式 / らすかる

x^2-6x-p+8=(x-3)^2-p-1なので軸はx=3であり、
pが変わっても軸の位置はx=3のまま変わりません。

No.49699 - 2018/04/14(Sat) 13:50:40

☆ Re: 中３　2次方程式 / りゅう

なるほど！分かりました。
二次関数のグラフをイメージするのですね。

申し訳ございませんが、
＞小さい方の解aが0≦a＜1を満たせば十分で、
これを満たすためにはf(x)=x^2-6x-p+8とおいたときに
f(0)≧0かつf(1)＜0になるということですから・・

というところが分からなかったので、教えていただけますでしょうか？
物分かりが悪くて申し訳ございません。

No.49700 - 2018/04/14(Sat) 14:08:10

☆ Re: 中３　2次方程式 / らすかる

条件を満たすmが1,2,3,4,5になるということは
0≦a＜1 かつ 5＜b≦6 を満たすということですが、
グラフがx=3に関して対称であることから
「0≦a＜1」⇔「5＜b≦6」が成り立ちますので、
「0≦a＜1」の方だけ考えれば十分です。

# もちろん、5＜b≦6の方だけを考えてもOKですが、
# 値が大きくなると計算が面倒になります。

グラフは下に凸の二次関数ですから、
「小さい方の解が0以上1未満」ということは
グラフが「＼」の方向にx軸を横切る位置が0以上1未満ということであり、
「＼」の方向に0以上1未満の位置を横切るということは
（軸はx=3ですから）x=0のとき0または正、x=1のとき負
ということになります。

# よくわからなければグラフを描いてみて下さい。

「x=0のとき0または正」を式で表すとf(0)≧0、
「x=1のとき負」を式で表すとf(1)＜0となります。

No.49701 - 2018/04/14(Sat) 16:24:01

☆ Re: 中３　2次方程式 / りゅう

ありがとうございました！

＞「0≦a＜1」⇔「5＜b≦6」が成り立ちますので、
＞「0≦a＜1」の方だけ考えれば十分です。

の説明を聞いて理解することができました。
最後まで丁寧に教えていただいて本当にありがとうございました。

No.49705 - 2018/04/14(Sat) 20:09:31

★ 微分 / ぴー

数?U・Bの勉強をしている者です。
微分のことについての質問です。

f(x)=x^3-3ax^2+3(2a^2-4a+3)xとする
(1)
三次関数 f(x) が極大値・極小値を持つ時、実数aの範囲を求めよ。
(2)
f(x)の極大値・極小値の和をaの式で表してg(a) とした時のg(a) の式を求めよ。また、g(a)の最小値の時のaの値とg(a)の値を求めよ

f(x)の最後の 2a^2-4a+3 を因数分解をしようとしたのですがうまくできませんでした。
解き方等教えてください！

No.49685 - 2018/04/13(Fri) 21:51:00

☆ Re: 微分 / らすかる

2a^2-4a+3を因数分解する必要はありません。

f(x)=x^3-3ax^2+3(2a^2-4a+3)x
f ’(x)=3x^2-6ax+3(2a^2-4a+3)
f(x)が極大値と極小値を持つためには
f ’(x)=0が異なる2解を持てばよいので
f ’(x)の判別式＞0
D/4=(-3a)^2-3(3(2a^2-4a+3))=-9(a-1)(a-3)＞0 から
1＜a＜3

(極大値と極小値の和)=(点対称の中心のf(x)の値)×2
f ’(x)=0の2解の和は解と係数の関係から2aなので
点対称の中心はx=aである点
よって
g(a)=(極大値と極小値の和)=2f(a)=2(2a-3)^2
これが最小になるのはa=3/2のときでg(a)=0

No.49688 - 2018/04/13(Fri) 22:16:27

★ 図形と方程式 / 東大夢見る浪人生

(2)の後半からお願いします。

No.49682 - 2018/04/13(Fri) 20:50:11

☆ Re: 図形と方程式 / らすかる

△ABCは
4頂点が(0,0),(5,0),(5,6),(0,6)である長方形から
3頂点が(0,0),(3,0),(0,1)である直角三角形と
3頂点が(3,0),(5,0),(5,6)である直角三角形と
3頂点が(5,6),(0,6),(0,1)である直角三角形を除いたものなので
△ABC=5×6-3×1÷2-6×2÷2-5×5÷2=10

AB：BE=2：1となるように直線AB上に点EをとるとE(9/2,-1/2)
この点を通り直線BCに平行な直線はy=3x-14
点Dの座標はこの直線と円Kとの交点なので(5,1)と(6,4)

No.49683 - 2018/04/13(Fri) 21:35:07

☆ Re: 図形と方程式 / 東大夢見る浪人生

なぜ、AB:BE=2:1に点を取るんですか？

No.49686 - 2018/04/13(Fri) 21:55:48

☆ Re: 図形と方程式 / らすかる

AB：BE=2：1ならば
(Aから直線BCまでの距離)：(Eから直線BCまでの距離)=2：1ですね。
Eを通り直線BCに平行な直線の上にDがあれば
(Dから直線BCまでの距離)=(Eから直線BCまでの距離)
つまり
(Aから直線BCまでの距離)：(Dから直線BCまでの距離)=2：1となり、
Dがどこにあっても必ず△ABC：△BCD=2：1となります。

No.49687 - 2018/04/13(Fri) 22:02:33

★ (No Subject) / Sh

筑波大学H29年度編入試験の問題です。(2),(3)がわかりません。
まず数列の極限から求めたいのですが、数列は a_k = (n-k+1) / k! と表せましたが、この先が不明です。

No.49675 - 2018/04/12(Thu) 15:46:03

☆ Re: / IT

(2)　lim(1/n)( ) の（　　）の部分は
＝1/1! +(1/1!+1/2!)+(1/1!+1/2!+1/3!)+ ...+(1/1!+1/2!+1/3!+...+1/n!) となります。
ここで(1)と(A) を使えば、極限が求められます。

※　加算方法を変える技法を使っています。

No.49677 - 2018/04/12(Thu) 20:10:24

☆ Re: / IT

(3) ε－Ｎ方式で数列の極限を求める典型問題だと思います。

lim[n→∞]a[n]=αより,
任意のε＞0に対して,
自然数mがあって　k＞mならば　|a[k]-α|＜ε/2となる。

このとき b=max{|a[i]||i=1,2,...,m} とおくと
n＞mについて
　|{(a[1]+a[2]+...+a[m]+a[m+1]+...+a[n])/n}-α|…?@
　≦{b+|α|+...+b+|α|+|a[m+1]-α|+...+|a[n]-α|}/n
　≦{m(b+|α|) +(n-m)(ε/2)}/n
　≦(m/n)(b+|α|) +ε/2
　さらに、n＞2m(b+|α|)/εならば、(m/n)(b+|α|)＜ε/2 なので　?@＜ε　となる。

以上で（A)が示せた。

計算ミス、記入ミスなどがあるかも知れませんので確認してください。
要は、前部と後部に分けて評価します。
前部＝G/n とおいてもいいです。
またa[i]-α　を考えると０に収束する場合を考えればいいです。

No.49678 - 2018/04/12(Thu) 20:48:40