ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ ベクトル / 高2

平面上に△OABがある。この三角形の重心をG、辺OAを3:1に外分する点をP、辺OBを2:1に内分する点をQ、直線PQと直線ABの交点をR、直線PQと直線OGの交点をSとする。

⑴↑OP= ア↑OA
⑵↑OQ= イ↑OB
⑶↑OR= ウ↑OA + エ↑OB
⑷↑PQ= オ↑PR
⑸PS:SQ=カ:キ

全然わかりません。よろしくお願いします。

No.50126 - 2018/05/06(Sun) 11:23:51

☆ Re: ベクトル / noname

(1),(2)については，OA：APやOQ：QBの値と

↑OP＝(OP/OA)↑OA,↑OQ＝(OQ/OB)↑OA

をもとに求めてみて下さい．また，(3),(4),(5)は次の様に考えると計算がラクかもしれません．ただし，'…'の箇所は質問者様で補って下さい．
______________________________

[略解]
メネラウスの定理より，

BQ/OB・PR/QR・OA/AP＝1.
∴PR/QR＝OB/BQ・AP/OA＝3/1・1/2＝3/2.
∴PR：QR＝3：2.

(3)↑OR
＝(2/(2+3))↑OP+(3/(2+3))↑OQ
＝2/5・(3/2)↑OA+3/5・(2/3)↑OQ
＝….

(4)↑PQ
＝(PQ/PR)↑PR
＝….

(5)ある実数t(0＜t＜1)を用いて，PS：SQ＝1-t：tとする．この時，

↑OS
＝t↑OP+(1-t)↑OQ
＝(3t/2)↑OA+(2(1-t)/3)↑OB

と表せる．ところで，Sは直線OG上にあるため，↑OSの係数の比が1：1でなければならない．よって，

3t/2：2(1-t)/3＝1：1.
∴3t/2＝2(1-t)/3.
∴t＝….

よって，PS：SQは

PS：SQ
＝1-t：t
＝….

No.50128 - 2018/05/06(Sun) 13:46:18

☆ Re: ベクトル / RYO

(1)
「外分」の定義より　ア：3/2

(2)
「内分」の定義より　イ：2/3

※(1)・(2)については、必要であればこちらを参照してください。

(3)
Rは線分AB上の点なので、実数sを用いて
　OR↑＝s(OA↑)+(1-s)(OB↑) …?@
と表せる。
また、Rは線分PQ上の点なので、実数tを用いて
　OR↑＝t(OP↑)+(1-t)(OQ↑) …?A
⇔OR↑＝(3/2)t(OA↑)+(2/3)(1-t)(OB↑) …?B
と表せる。
OA↑とOB↑は線形独立なので、?@と?Bの係数を比較して、
　s＝(3/2)t かつ 1-s＝(2/3)(1-t)
よって、
　t＝2/5 (s＝3/5)
これを?Bに代入して、
　OR↑＝(3/5)(OA↑)+(2/5)(OB↑)
以上より、
　ウ：3/5 エ：2/5

(4)
　PR↑
＝OR↑-OP↑
＝{(2/5)(OP↑)+(3/5)(OQ↑)}-OP↑ (∵?A)
＝(-3/5)(OP↑)+(3/5)(OQ↑)
＝(3/5)(OQ↑-OP↑)
＝(3/5)(PQ↑)
よって、
　PQ↑＝(5/3)(PR↑)
以上より、
　オ：5/3

(5)
線分ABの中点をMとすると、Sは直線OM上の点なので、実数uを用いて
　OS↑
＝u(OM↑)
＝u{(1/2)(OA↑)+(1/2)(OB↑)}
＝(u/2)(OA↑)+(u/2)(OB↑) …?C
と表せる。
また、Sは線分PQ上の点なので、実数vを用いて
　OS↑
＝v(OP↑)+(1-v)(OQ↑)…?D
＝(3/2)v(OA↑)+(2/3)(1-v)(OB↑) …?E
と表せる。
OA↑とOB↑は線形独立なので、?Cと?Eの係数を比較して、
　u/2＝(3/2)v かつ u/2＝(2/3)(1-v)
よって、
　v＝4/13 (u＝12/13)
これを?Dに代入して、
　OS↑＝(4/13)(OP↑)+(9/13)(OQ↑)
よって、
　PS↑
＝OS↑-OP↑
＝{(4/13)(OP↑)+(9/13)(OQ↑)}-OP↑
＝(-9/13)(OP↑)+(9/13)(OQ↑)
＝(9/13)(OQ↑-OP↑)
＝(9/13)(PQ↑)
したがって、
　PS:SQ
＝|PS↑|:|PQ↑-PS↑|
＝|(9/13)(PQ↑)|:|(4/13)(PQ↑)|
＝9:4
以上より、
　カ：9 キ：4

No.50129 - 2018/05/06(Sun) 13:48:35

☆ Re: ベクトル / RYO

>>nonameさん
(5)の
>↑OS
>＝t↑OP+(1-t)↑OQ
という部分は、係数"t"と"(1-t)"を逆にすべきではないでしょうか？

No.50130 - 2018/05/06(Sun) 14:01:32

☆ Re: ベクトル / noname

>>RYO様
ご指摘頂き有難う御座います．記述の都合上，PS：SQの箇所を修正しておきました．

>>質問者様
記述の一部に誤植がありました．申し訳ありません．

No.50132 - 2018/05/06(Sun) 16:08:57

★ (No Subject) / がんばる！！

解説お願いいたします

No.50105 - 2018/05/05(Sat) 21:08:46

☆ Re: / ヨッシー

(1)

y＝2|x－2|－x のグラフは上の通りです。
　x＞4 → 2|x－2|－x＞0 は真
　2|x－2|－x＞0 → x＞4 は偽　(反例ｘ＝０）
よって十分条件・・・(ウ)
(2)
　ｐ→ｑ　は偽　（反例：ａ＝１，ｂ＝３）
　ｑ→ｐ　の対偶　ａ，ｂともに偶数　→　ａ^2＋ｂ^2 が偶数　が真なので
　ｑ→ｐ　も真
よって、必要条件(イ)

No.50124 - 2018/05/06(Sun) 07:16:25

☆ Re: / noname

(1)についてですが，

2|x-2|-x＞0
⇔「x≧2かつ2(x-2)-x＞0」または「x＜2かつ2(2-x)-x＞0」
⇔「x≧2かつx＞4」または「x＜2かつx＜4/3」
⇔x＞4またはx＜4/3

の様に言い換えを行い，数直線上でx＞4とx＜4/3,4＜xの範囲を図示することで考えてもよいです．

No.50125 - 2018/05/06(Sun) 11:07:47

★ (No Subject) / がんばるぞー

わからないので解説お願いします

No.50104 - 2018/05/05(Sat) 21:07:33

☆ Re: / X

(1)
条件から問題の二次方程式は少なくとも異なる
二つの実数解をもつので、解の判別式をDとすると
D/4=a^2-(a+2)＞0
∴a＜-1,2＜a (A)
又、解と係数の関係から
α+β=2a (B)
αβ=a+2 (C)
更に条件から
α+β＞2
αβ＞1
これらに(B)(C)を代入したものと
(A)とをaの連立不等式と見て
解きます。

(2)
f(x)=x^2-2ax+a+2
と置くと、y=f(x)とx軸との交点の
x座標がα、βとなっています。
よって条件を満たすためには
f(1)f(2)＜0 (D)
f(2)f(3)＜0 (E)
(D)(E)をaの連立不等式として解きます。

No.50111 - 2018/05/05(Sat) 21:53:38

☆ Re: / noname

(1)については，

「αとβがどちらも1より大きい」
⇔「α-1とβ-1のどちらも0より大きい」
⇔「(α-1)+(β-1)＞0かつ(α-1)(β-1)＞0である」
⇔「(α+β)-2＞0かつαβ-(α+β)+1＞0である」

という様に言い換えを行い，2次方程式の解と係数の関係の式を用いて

(α+β)-2＞0,
αβ-(α+β)+1＞0

が成り立つ様なaの値の範囲を求めてもよいです．

No.50114 - 2018/05/05(Sat) 22:05:56

★ (No Subject) / がんばる

宿題でわかりません
できれば記述も分かりやすくお願いします
数学苦手なので

No.50103 - 2018/05/05(Sat) 21:06:17

☆ Re: / X

(1)
△ACDについて余弦定理により
AC^2=AD^2+CD^2-2AD・CDcos∠ADC
∴条件から
AC^2=AD^2+4^2-2AD・4・(1/4) (A)
一方、△ABCについて余弦定理により
AC^2=AB^2+BC^2-2AB・BCcos∠ABC
これより
AC^2=AB^2+BC^2-2AB・BCcos(π-∠ADC)
((∵)四角形ABCDは円に内接)
AC^2=AB^2+BC^2+2AB・BCcos∠ADC
∴条件から
AC^2=2^2+3^2+2・2・3・(1/4) (B)
(A)(B)をAC,ADについての連立方程式として解きます。

(2)
∠BAC=α
と置いて、(1)の過程と同様に、
△ABD,△BCDにおいて余弦定理を適用し、
BD,cosαについての連立方程式を立てます。
但し、∠BDC=π-αとなることに注意します。

(3)
(sinθ)^2+(cosθ)^2=1
により
(sinθ)^2+(1/4)^2=1
∴sinθ＞0により
sinθ=(√15)/4
よって
sin∠ABC=sin(π-θ)
=sinθ=(√15)/4
以上と条件から、まず△ABC,△ACD
の面積を求めて和を取ります。

No.50109 - 2018/05/05(Sat) 21:46:04

☆ Re: / ヨッシー

途中、別解があります。

(1)
∠ＡＢＣ＝π－θ　より　cos∠ＡＢＣ＝－cosθ＝－1/4
△ＡＢＣにおける余弦定理より
　ＡＣ^2＝ＡＢ^2＋ＢＣ^2－２ＡＢ・ＢＣcos∠ＡＢＣ
　　　＝４＋９＋３＝１６
よって　ＡＣ＝４　　・・・答え

ＡＤ＝ｘとすると、△ＡＣＤにおける余弦定理より
　ＡＣ^2＝ＡＤ^2＋ＣＤ^2－２ＡＤＣＤcosθ
　１６＝ｘ^2＋１６－２ｘ
これをｘ＞０の範囲で解いて、　ｘ＝２　・・・答え
(2)
△ＡＣＤにおける正弦定理より、外接円の半径をＲとすると、
　２Ｒ＝ＡＣ/sinθ＝４/(√15/4)＝16/√15
よって、　Ｒ＝8/√15
△ＡＢＤは二等辺三角形であり、∠ＡＤＢ＝∠ＡＢＤ＝φ とおくと
△ＡＢＤにおける正弦定理より
　ＡＤ/sinφ＝２Ｒ
　sinφ＝ＡＤ/２Ｒ＝2/(16/√15)＝√15/8
これより　cosφ＝7/8
ＢＤの中点をＭとすると、△ＡＢＭは直角三角形であり、
　cosφ＝ＢＭ/ＡＢ
より
　ＢＭ＝ＡＢcosφ＝２(7/8)＝7/4
よって、ＢＤ＝7/4×２＝7/2　・・・答え
(3)
　Ｓ＝△ＡＤＣ＋△ＡＢＣ
　　＝(1/2)ＡＤ・ＤＣsinθ＋(1/2)ＡＢ・ＢＣsin(π－θ)
　　＝(1/2)2・4(√15/4)＋(1/2)2・3(√15/4)
　　＝√15＋(3/4)√15＝7√15/4　・・・答え

No.50113 - 2018/05/05(Sat) 21:55:08

★ (No Subject) / 高校二年

宿題でわかりません
できれば記述も分かりやすくお願いします
数学苦手なので

No.50102 - 2018/05/05(Sat) 21:03:44

☆ Re: / noname

AB＝c，BC＝a，CA＝bとし，△ABCの外接円の半径をRとすると，正弦定理より

2RsinA＝a，2RsinB＝b，2RsinC＝c.
∴a：b：c＝sinA：sinB：sinC.

ところで，条件式より

5sinA＝6sinB，4sinB＝5sinC.
∴sinA：sinB＝6：5，sinB：sinC＝5：4.
∴sinA：sinB：sinC＝6：5：4.

よって，a：b：c＝6：5：4となります．この時，ある正の実数kを用いて，a＝6k，b＝5k，c＝4kと表すことが出来ます．この時，以下の作業

(1)余弦定理を用いてcosAを計算し，その結果とcosA^2+sin^2A＝1の式を用いてsinAを計算する．
(2)まずは，△ABCの面積に関する式1/2・5k・4k・sinA＝1/2・1・(6k+5k+4k)を用いてkの値を求め，その値を使ってABの長さを求める．次に，1/2・5k・4k・sinAまたは1/2・1・(6k+5k+4k)のどちらかを使って△ABCの面積を計算する．最後に，R＝a/(2sinA)を用いて△ABCの外接円の半径を求める．

をそれぞれ行って頂ければ，問題が概ね解けるかと思います．

No.50107 - 2018/05/05(Sat) 21:26:19

☆ Re: / がんばるーー！！

上から数えて9行目までの理屈がわかりません
どうやってそうできるのですか？
教えて下さい

No.50110 - 2018/05/05(Sat) 21:46:28

☆ Re: / noname

>上から数えて9行目までの理屈がわかりません
下記の内容は理解出来ますか？

>AB＝c，BC＝a，CA＝bとし，△ABCの外接円の半径をRとすると，正弦定理より
>
>2RsinA＝a，2RsinB＝b，2RsinC＝c.
>∴a：b：c＝sinA：sinB：sinC.

No.50112 - 2018/05/05(Sat) 21:53:55

☆ Re: / がんばるーー！！

何度もすいません
以下の作業からしたは理解できました。
上から一行目正弦定理より下からがなぜそうなるのかわかりません
解説お願いします

No.50115 - 2018/05/05(Sat) 22:06:59

☆ Re: / noname

>以下の作業からしたは理解できました。
>上から一行目正弦定理より下からがなぜそうなるのかわかりません
そのことは認識しております．その上で，一つずつ「理解出来ている箇所とそうでない箇所」を質問者様と対話的に見つけていこうとしていたのですが，その意図が伝わっていなかったみたいですね．以下，まとめてコメントを付けておきました．一度お読みください．
____________________________________

>AB＝c，BC＝a，CA＝bとし，△ABCの外接円の半径をRとすると，正弦定理より
>
>2RsinA＝a，2RsinB＝b，2RsinC＝c.
まずはこの部分ですが，ここでは正弦定理の式を書いているに過ぎません．もしこの箇所が分からなければ，教科書の「正弦定理」の箇所を読み返して頂くことを強く推奨致します．

>2RsinA＝a，2RsinB＝b，2RsinC＝c.
>∴a：b：c＝sinA：sinB：sinC.
ここでは，a,b,cのそれぞれに正弦定理の式を代入して比の計算を行っているだけです．具体的には，

a：b：c＝2RsinA：2RsinB：2RsinC＝…

という様にです．

>ところで，条件式より
>
>5sinA＝6sinB，4sinB＝5sinC.
この部分は，条件式より

sinA/6＝sinB/5.
∴5sinA＝6sinB.
sinB/5＝sinC/4.
∴4sinB＝5sinC.

の様に導出しています．

>5sinA＝6sinB，4sinB＝5sinC.
>∴sinA：sinB＝6：5，sinB：sinC＝5：4.
0でない実数a,b,c,dに対して，

a：b＝c：d⇔ad＝bc

であることを思い返してみて下さい．その後に，もう一度この箇所を読み込んでみて下さい．

>∴sinA：sinB＝6：5，sinB：sinC＝5：4.
>∴sinA：sinB：sinC＝6：5：4.
0でない実数a,b,c,x,y,zに対して，a：b＝x：yかつb：c＝y：zならばa：b：c＝x：y：zです．このことを念頭に置いた上で，この箇所をもう一度読み込んでみて下さい．

>よって，a：b：c＝6：5：4となります．
a：b：c＝sinA：sinB：sinCとsinA：sinB：sinC＝6：5：4よりこの比の式が導かれます．

No.50116 - 2018/05/05(Sat) 22:29:29

☆ Re: / がんばるーー！！

理解不足で大変申し訳ありませんでした
先ほど送ってくださいました解説をよましていただきます。
またわからない事があったら今日はもう遅いので
明日質問させてくださいお願いします

No.50117 - 2018/05/05(Sat) 22:39:59

★ 連立方程式の応用 / こば

はじめまして。中学3年生です。
以下の問題で、平地がある時の立式の仕方がわかりません。教えていただきたいと思います。よろしくお願いいたします。

トラックで、荷物をＡ町から150km離れているB町へ運ぶことになった。平地では時速60kmで走っていたが、Ａ町とB町の間に峠があり、上り坂では時速40km 下り坂では時速50kmで走った。そのため、行きは3時間3分かかった。帰りは荷物を置いてきたので、平地、上り坂、下り坂ともに2割速く走ることができ、B町からＡ町まで2時間30分でもどることができた。
Ａ町とB町の間の坂道（上り坂と下り坂の和）の道のりを求めよ。

No.50099 - 2018/05/05(Sat) 16:03:21

☆ Re: 連立方程式の応用 / X

分かりにくければ変数を三つに増やして
後から減らすことを考えましょう。

平地の距離をz[km],行きのときの
上り坂と下り坂の距離をそれぞれ
x[km],y[km]とすると、まず
A町とB町との間の距離について
x+y+z=150 (A)
次に、行きにかかった時間について
z/60+x/40+y/50=3+3/60 (B)
更に帰りにかかった時間について
z/(60×1.2)+x/(50×1.2)+y/(40×1.2)=2+30/60 (C)
(帰りは速度が二割増しになっていることと
上り坂と下り坂が入れ替わっていることに注意。)

(A)(B)(C)をx,y,zの連立方程式
として解きます。
見かけ上は変数が三つになっていて
中学数学を超えますが、(A)から
z=150-x-y (A)'
ですのでこれを(B)(C)に代入すると
(150-x-y)/60+x/40+y/50=3+1/20 (B)'
(150-x-y)/72+x/60+y/48=2+1/2 (C)'
となり(B)'(C)'はx,yの連立方程式になります。
後はこれを解いてx,yを求めます。

注1)
求める距離はx+yの値ですのでzの値を
求める必要はありません。
但し、x+yの値が150[km]より小さくなる
ことは最後に必ずチェックしましょう。

注2)
セオリー通りだと、
行きのときの
上り坂と下り坂の距離をそれぞれ
x[km],y[km]としたとき、平地の
距離は
150-x-y[km] (P)
としていくわけですが、いきなり
(P)は出しにくいので、間に平地の
距離としてz[km]を設定しています。

No.50100 - 2018/05/05(Sat) 16:40:03

★ 対数関数 / コナン

問題 x>0,y>0,x+2y=8のとき、log(10)x+log(10)yの最大値を求めよ
＊()の中は底です
の解法で条件からyの範囲が?@なぜさらに狭まるのか
?Aなぜyの範囲を確認しているのか
がわかりません

No.50094 - 2018/05/05(Sat) 03:50:05

☆ Re: 対数関数 / らすかる

> ?@なぜさらに狭まるのか
x+2y=8 というのは正の数と正の数の和が8ということですから
当然x,yに上限があります。

> ?Aなぜyの範囲を確認しているのか
その後でxを消去してyを基準にして求めているからです。
yを消去してxを基準にして求めるならば、xの範囲の確認が必要です。

No.50095 - 2018/05/05(Sat) 04:43:39

☆ Re: 対数関数 / コナン

なぜ基準にするときは範囲の確認が必要なのですか？

No.50101 - 2018/05/05(Sat) 19:36:25

☆ Re: 対数関数 / らすかる

範囲外まで含めてしまうと正しくない答えが出てしまう可能性があるためです。
もしもこの問題でyの範囲を考えずに解いて
「y=5の時に最大値をとる」という答えになった場合、
その答えは無意味ですね。

No.50119 - 2018/05/06(Sun) 00:29:02

★ 参考書より質問 / 学習

同じ色の球は区別できないものとし、殻の箱があってもよいとする。

赤玉６個と白玉４個の合計１０個を区別できる４つの箱に分ける方法は何通りあるかという問題について質問です

解答では白と赤を別々の式で計算して
９！/6!3!＝８４
７！/4!3!=35
84×35としています

なぜ赤と白を一緒に計算して
13!/3!6!4!と計算してはだめなのでしょうか？

回答よろしくお願いします

No.50079 - 2018/05/04(Fri) 18:08:47

☆ Re: 参考書より質問 / IT

簡単のため　赤１個、白１個、２つの箱で考えてみます

仕切りを｜とすると

赤白｜と白赤｜は同じ分け方です。
｜赤白と｜白赤は同じ分け方です。
赤｜白と白｜赤は異なる分け方です。
3!/(1!1!1!) と計算してはダメなのが分かるのではないでしょうか？

No.50080 - 2018/05/04(Fri) 18:34:16

☆ Re: 参考書より質問 / 学習

箱の区別ができるから上記の説目のように赤と白を分ける必要があるということでしょうか？

No.50089 - 2018/05/04(Fri) 21:04:47

☆ Re: 参考書より質問 / IT

> 箱の区別ができるから上記の説目のように赤と白を分ける必要があるということでしょうか？

「箱の区別が出来ないなら、赤と白を分ける必要がない。」というわけではないと思いますが、
学習さんがどう考えておられるのか良く分からないので、うまく説明できそうにありません。

どなたか　うまい説明があればお願いします。

No.50090 - 2018/05/04(Fri) 21:37:42

☆ Re: 参考書より質問 / らすかる

13!/3!6!4!は
赤玉6個と白玉4個と仕切り3個を並べる場合の数ですね。
この計算では仕切りの間の赤玉と白玉の並び方を区別していますが、
この問題は箱に分ける問題ですから、1箱の中の「赤玉と白玉の並び方」
は関係なく、仕切りの間の異なる並び方も同一視しなければなりません。
例えば箱2に全部入れるのは明らかに1通りですが、13!/3!6!4!という式では
｜赤赤赤赤赤赤白白白白｜｜
｜赤赤赤赤赤白赤白白白｜｜
｜赤赤赤赤赤白白赤白白｜｜
｜赤赤赤赤赤白白白赤白｜｜
｜赤赤赤赤赤白白白白赤｜｜
｜赤赤赤赤白赤赤白白白｜｜
｜赤赤赤赤白赤白白白赤｜｜
・・・
｜白白白白赤赤赤赤赤赤｜｜
の210通りを区別して「箱2に全部入れるのは210通り」という計算に
なっていて、正しい「1通り」とは全然違う値になってしまいます。
従って13!/3!6!4!という式はこの問題には使えません。

No.50093 - 2018/05/04(Fri) 23:01:42

☆ Re: 参考書より質問 / 学習

なるほどは２色になると箱の中での並び方による区別が生まれてしまうのを見落としていたようです。
理解できました　丁寧な回答ありがとうございました

No.50098 - 2018/05/05(Sat) 14:47:55

★ 高一数学 / 七実

右上の見切れている部分は、x<yとする、と書いてあります
どのようにしてxとyの値を求めるのですか？

No.50078 - 2018/05/04(Fri) 18:02:47

☆ Re: 高一数学 / 元中三

xとyの値は求めず、x+yとxyの二つの基本対称式を利用して解きます。
因みにこのときx=(3-√5)/2,y=(3+√5)/2となりますがわざわざ求める必要は皆無です。

No.50081 - 2018/05/04(Fri) 18:41:04

☆ Re: 高一数学 / 七実

1番は答えが求められました！ありがとうございます！
ですが、2番が、途中式をみてもさっぱりなので、詳しい説明をして頂けると助かります

No.50082 - 2018/05/04(Fri) 18:49:33

☆ Re: 高一数学 / 七実

↑(x-y)が、どうして(-√5)になるのかがわからないです

No.50083 - 2018/05/04(Fri) 18:54:04

☆ Re: 高一数学 / IT

(x-y)^2=x^2-2xy+y^2=(x+y)^2-4xy=9-4=5
よってx-y=±√5
x<yなので　x-y=-√5

No.50086 - 2018/05/04(Fri) 19:50:08

☆ Re: 高一数学 / 七実

↑必ず(x-y)は二乗で計算しないと(-√5)は出ませんか？

No.50087 - 2018/05/04(Fri) 20:31:00

☆ Re: 高一数学 / IT

元中三さんが書いておられますが

解と係数の関係から
x,yはt^2-3t+2=0 の２解でx<yなので x=(3-√5)/2,y=(3+√5)/2

よって　x-y=-√5

No.50088 - 2018/05/04(Fri) 20:42:17

★ 多項式関数などにおける極限値は自明？ / ぺぽ（高卒社会人）

多項式関数や三角関数など高校数学で現れる殆どの関数f(x)について
「xがaと異なる値を取りながらaに限り無く近付く時
f(x)の値はf(a)に限り無く近付く(lim[x→a]f(x)=f(a)) (但しaは定義域内の任意の実数)」…(＊)

高校教科書の関数の極限の章ではこの事を証明を示さずに記述する所から始まりますが（f(x)とaを具体的に決めて例を挙げてですが）証明は必要無いのですか？

f(x)が連続関数である…?@
f(x)が定義域内の任意のxの値aに対して
極限値lim[x→a]f(x)を持ち且つlim[x→a]f(x)=f(a)である…?A
関数の連続の定義より?@と?Aは同値
また、?Aと(＊)は同値
よって(＊)と?@は同値

ですから、多項式関数・分数関数・無理関数・三角関数・指数関数・対数関数などの関数f(x)について
高校教科書が(＊)と?@を証明無しで記述しているということは
(＊)と?@のどちらかを自明な前提或いは公理として扱っているという事ですか？

No.50075 - 2018/05/04(Fri) 15:49:45

☆ Re: 多項式関数などにおける極限値は自明？ / 黄桃

そもそも高校数学では
>lim[x→a]f(x)=f(a)
の定義がありません。定義がなくては証明できません。

＃限りなく近づくでは定義になっていません。

高校生には難しい（大学生でも難しい）ので定義せず、
>この事を証明を示さずに記述する
ことにして、直観にまかせています。

＃検索すれば連続の定義は見つかるでしょうが、最初は
＃おそらく何を言っているのかわからないと思います。

そういう意味で極限の扱いはすべて直観に頼っており、
>自明な前提或いは公理
とも違います。

＃同じことは数列の極限でもいえます。

ただし、以下のような基本的な性質と基本的な関数の連続性を「公理」として認めれば、
高校数学で使うようなほとんどの関数の連続性は保証されるでしょう。

基本的な関数の連続性
y=c(定数関数), y=x, y=1/x (x≠0), y=e^x, y=sin(x) は連続である。

性質
(1) f(x),g(x)が連続であるとき、それらの和、積、合成 f(x)+g(x), f(x)g(x), f(g(x))は（定義できる範囲で）いずれも連続である。
(2) y=f(x)が連続であり、f(x)が1対1であれば、（その範囲で）逆関数 y=f^(-1)(x)も連続である。

y=c と y=x との和と積を繰り返すことで多項式関数は連続です。
y=x^n が連続なら、(2)より y=x^(1/n) (x>=0,n:整数)も連続です。よって、y=x^(m/n)(m,n:整数)もそうです。
y=e^x が連続だから、(1)より a>0,a≠1に対し、 y=a^x =e^(log(a)x) も(2)より y=log(x)も連続です。
y=sin(x)が連続なら、y=cos(x)=sin(x+π/2)も連続。よって、y=1/cos(x)も連続。よってy=tan(x)も連続。
y=sin(ax), sin^n(bx) 等々も同様に連続です。

No.50096 - 2018/05/05(Sat) 08:09:57

☆ Re: 多項式関数などにおける極限値は自明？ / ぺぽ（高卒社会人）

返信遅くなりました、丁寧な回答ありがとうございます。
高校では直観でどうなるかを示すにとどめて結構曖昧にしているのですね。
ある関数が連続ならそれらの和、積、合成および逆関数は連続なのですね。和と積については極限値の和と積の性質を使って証明できそうですが、合成関数と逆関数の連続性はどう証明するのでしょうか？

No.50162 - 2018/05/07(Mon) 20:02:14

★ 確率の求め方がわからない / K

画像の問題の（１）と（２）の２つともわからないです。
（１）はAとBが独立で両方とも起きる場合だと思ったので、
0.5×0.7＝0.35 だと思ったのですが、回答は0.3になっていました。なぜそうなるのでしょうか？
（２）の方はP（B｜A)の（B｜A)の意味がわかりませんでした。。。

No.50069 - 2018/05/03(Thu) 12:45:14

☆ Re: 確率の求め方がわからない / ＩＴ

(1) ＡとＢが独立とは書いてないですね。
ベン図を描いて考えてみてください。
　（べん図、Ａ、Ｂを　円で描きＡ、Ｂの共通部分がＡ∩Ｂ）

(2)「条件付き確率」を習っておられませんか？出題されているのでテキストに「条件付き確率」の定義や性質が書いてあるのでは？

No.50070 - 2018/05/03(Thu) 13:49:47

☆ Re: 確率の求め方がわからない / K

ありがとうございます！
べん図、Ａ、Ｂを　円で描きＡ、Ｂの共通部分がＡ∩Ｂなのはわかるのですが、
それはつまり0.5×0.7＝0.35で求められませんか？（そう思ったのですが）

No.50071 - 2018/05/03(Thu) 16:12:33

☆ Re: 確率の求め方がわからない / IT

>それはつまり0.5×0.7＝0.35で求められませんか？

それでは、求められません。ＡとＢの関係は、いろいろ考えられます。
例えばＡ⊂Ｂならば　Ｐ（Ａ∩Ｂ）＝Ｐ（Ａ）です。

この問題の場合Ｐ(Ａ∪Ｂ)を使うとＰ（Ａ∩Ｂ）が求められます。

集合の問題に戻って考えてみてください。
Ａの元の個数が５個、Ｂの元の個数が７個、Ａ∪Ｂの元の個数が９個のとき、
Ａ∩Ｂの元の個数は？

No.50073 - 2018/05/03(Thu) 16:43:55