ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 多項式関数などにおける極限値は自明？ / ぺぽ（高卒社会人）

多項式関数や三角関数など高校数学で現れる殆どの関数f(x)について
「xがaと異なる値を取りながらaに限り無く近付く時
f(x)の値はf(a)に限り無く近付く(lim[x→a]f(x)=f(a)) (但しaは定義域内の任意の実数)」…(＊)

高校教科書の関数の極限の章ではこの事を証明を示さずに記述する所から始まりますが（f(x)とaを具体的に決めて例を挙げてですが）証明は必要無いのですか？

f(x)が連続関数である…?@
f(x)が定義域内の任意のxの値aに対して
極限値lim[x→a]f(x)を持ち且つlim[x→a]f(x)=f(a)である…?A
関数の連続の定義より?@と?Aは同値
また、?Aと(＊)は同値
よって(＊)と?@は同値

ですから、多項式関数・分数関数・無理関数・三角関数・指数関数・対数関数などの関数f(x)について
高校教科書が(＊)と?@を証明無しで記述しているということは
(＊)と?@のどちらかを自明な前提或いは公理として扱っているという事ですか？

No.50075 - 2018/05/04(Fri) 15:49:45

☆ Re: 多項式関数などにおける極限値は自明？ / 黄桃

そもそも高校数学では
>lim[x→a]f(x)=f(a)
の定義がありません。定義がなくては証明できません。

＃限りなく近づくでは定義になっていません。

高校生には難しい（大学生でも難しい）ので定義せず、
>この事を証明を示さずに記述する
ことにして、直観にまかせています。

＃検索すれば連続の定義は見つかるでしょうが、最初は
＃おそらく何を言っているのかわからないと思います。

そういう意味で極限の扱いはすべて直観に頼っており、
>自明な前提或いは公理
とも違います。

＃同じことは数列の極限でもいえます。

ただし、以下のような基本的な性質と基本的な関数の連続性を「公理」として認めれば、
高校数学で使うようなほとんどの関数の連続性は保証されるでしょう。

基本的な関数の連続性
y=c(定数関数), y=x, y=1/x (x≠0), y=e^x, y=sin(x) は連続である。

性質
(1) f(x),g(x)が連続であるとき、それらの和、積、合成 f(x)+g(x), f(x)g(x), f(g(x))は（定義できる範囲で）いずれも連続である。
(2) y=f(x)が連続であり、f(x)が1対1であれば、（その範囲で）逆関数 y=f^(-1)(x)も連続である。

y=c と y=x との和と積を繰り返すことで多項式関数は連続です。
y=x^n が連続なら、(2)より y=x^(1/n) (x>=0,n:整数)も連続です。よって、y=x^(m/n)(m,n:整数)もそうです。
y=e^x が連続だから、(1)より a>0,a≠1に対し、 y=a^x =e^(log(a)x) も(2)より y=log(x)も連続です。
y=sin(x)が連続なら、y=cos(x)=sin(x+π/2)も連続。よって、y=1/cos(x)も連続。よってy=tan(x)も連続。
y=sin(ax), sin^n(bx) 等々も同様に連続です。

No.50096 - 2018/05/05(Sat) 08:09:57

☆ Re: 多項式関数などにおける極限値は自明？ / ぺぽ（高卒社会人）

返信遅くなりました、丁寧な回答ありがとうございます。
高校では直観でどうなるかを示すにとどめて結構曖昧にしているのですね。
ある関数が連続ならそれらの和、積、合成および逆関数は連続なのですね。和と積については極限値の和と積の性質を使って証明できそうですが、合成関数と逆関数の連続性はどう証明するのでしょうか？

No.50162 - 2018/05/07(Mon) 20:02:14

★ 確率の求め方がわからない / K

画像の問題の（１）と（２）の２つともわからないです。
（１）はAとBが独立で両方とも起きる場合だと思ったので、
0.5×0.7＝0.35 だと思ったのですが、回答は0.3になっていました。なぜそうなるのでしょうか？
（２）の方はP（B｜A)の（B｜A)の意味がわかりませんでした。。。

No.50069 - 2018/05/03(Thu) 12:45:14

☆ Re: 確率の求め方がわからない / ＩＴ

(1) ＡとＢが独立とは書いてないですね。
ベン図を描いて考えてみてください。
　（べん図、Ａ、Ｂを　円で描きＡ、Ｂの共通部分がＡ∩Ｂ）

(2)「条件付き確率」を習っておられませんか？出題されているのでテキストに「条件付き確率」の定義や性質が書いてあるのでは？

No.50070 - 2018/05/03(Thu) 13:49:47

☆ Re: 確率の求め方がわからない / K

ありがとうございます！
べん図、Ａ、Ｂを　円で描きＡ、Ｂの共通部分がＡ∩Ｂなのはわかるのですが、
それはつまり0.5×0.7＝0.35で求められませんか？（そう思ったのですが）

No.50071 - 2018/05/03(Thu) 16:12:33

☆ Re: 確率の求め方がわからない / IT

>それはつまり0.5×0.7＝0.35で求められませんか？

それでは、求められません。ＡとＢの関係は、いろいろ考えられます。
例えばＡ⊂Ｂならば　Ｐ（Ａ∩Ｂ）＝Ｐ（Ａ）です。

この問題の場合Ｐ(Ａ∪Ｂ)を使うとＰ（Ａ∩Ｂ）が求められます。

集合の問題に戻って考えてみてください。
Ａの元の個数が５個、Ｂの元の個数が７個、Ａ∪Ｂの元の個数が９個のとき、
Ａ∩Ｂの元の個数は？

No.50073 - 2018/05/03(Thu) 16:43:55

★ 標準偏差の値が回答と合わない / K

算出した標準偏差の値が回答と合わないです。
統計検定２級の勉強をしています。
画像の問１.２の（１）の1回目の標準偏差が、
僕が計算すると１２になりました。
√1/10・1440 = 12 と計算したからです。
でも回答は、14.1とありました。何が問題なのでしょうか？

No.50063 - 2018/05/02(Wed) 17:00:45

☆ Re: 標準偏差の値が回答と合わない / ＩＴ

1440 はどうやって出ましたか？
平均からの差の２乗の和は2000では？

No.50065 - 2018/05/02(Wed) 19:57:45

☆ Re: 標準偏差の値が回答と合わない / K

ありがとうございます。やはりその計算が間違っていました！

No.50068 - 2018/05/03(Thu) 12:41:20

★ 対数関数のグラフの書き方 / 対数

t=log2(x^2＋2) (t>=1/2)のグラフの書き方を教えてください。概形も書いていただけると嬉しいです。
(数3の微分は学びました。）

No.50055 - 2018/05/01(Tue) 21:22:54

☆ Re: 対数関数のグラフの書き方 / 対数

logの後の数字の2は底です

No.50056 - 2018/05/01(Tue) 21:23:57

☆ Re: 対数関数のグラフの書き方 / らすかる

まずは微分して傾きの変化を調べ、
再度微分して変曲点を調べましょう。
そして傾きが変化する点や変曲点、あと
計算しやすい点の座標を計算して
グラフを描くとよいと思います。
概形は↓こちらを参考にして下さい。
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+log(2%2Cx%5E2%2B2)

No.50060 - 2018/05/02(Wed) 00:08:00

★ 割り算 / 四則逆算

この写真で、なぜ左辺の90を右辺に移すのに、この方法で良いのでしょうか。何か短時間で行うための公式のようなものがありますか？

単に◻÷3/90 =1/3として、90を両辺にかける、というのを省略して書いているだけでしょうか。

No.50050 - 2018/05/01(Tue) 13:18:49

☆ Re: 割り算 / ヨッシー

Ａ÷Ｂ＝Ｃ　⇔　Ａ÷Ｃ＝Ｂ　（ただしＡ≠０）
です。
「移す」という表現に、若干違和感はありますが。

No.50051 - 2018/05/01(Tue) 14:04:45

☆ (No Subject) / 四則逆算

ありがとうございます、速さの公式と同じ考え方ですね。
このように計算問題で使うこともできるのですね。

他にももしこういった割り算の時短になるような考え方・公式がありましたら、合わせて知りたいです。

No.50052 - 2018/05/01(Tue) 15:55:12

☆ Re: 割り算 / ヨッシー

話が逆です。

Ａ÷Ｂ＝Ｃ　⇔　Ａ÷Ｃ＝Ｂ　⇔　Ａ＝Ｂ×Ｃ
という計算の規則があって、それをいろんな法則に置き換えたのが
　距離＝速さ×時間
　電圧＝電流×抵抗
　面積＝底辺×高さ
などの公式です。
速さの公式を普通の計算に使っているのではなく、速さの公式の元になっている計算規則に沿って計算しているのです。

あと、スッと変形したいのが
　ａ：ｂ＝ｃ：ｄ　⇔　ａｄ＝ｂｃ　（内掛け、外掛け）
　ａ／ｂ＝ｃ／ｄ　⇔　ａｄ＝ｂｃ　（たすき掛け）
のようなものです。
※たすき掛けは分数を縦に書くと、たすきの意味がわかるでしょう。

No.50053 - 2018/05/01(Tue) 17:24:30

★ 因数分解 / 波山

4番目のイコールがついている式から、5番目の式になる過程が分かりません、(b-c)^2の二乗はどこに消えたのでしょうか？

No.50041 - 2018/05/01(Tue) 01:03:03

☆ Re: 因数分解 / らすかる

「4番目のイコールがついている式」は
(b+c)a^2+(b+c)^2a+bc(b+c) ですから
「(b-c)^2」は元々ありません。

No.50042 - 2018/05/01(Tue) 01:18:59

☆ Re: 因数分解 / 波山

すみません、符号違いです。
(b+c)^2の二乗はどこに消えたのですか、と言いたかったのです。

No.50043 - 2018/05/01(Tue) 01:34:50

☆ Re: 因数分解 / らすかる

(b+c)a^2+(b+c)^2a+bc(b+c)
=(b+c)×a^2+(b+c)×(b+c)a+(b+c)×bc
=(b+c)×{a^2+(b+c)a+bc}
となりますね。

No.50045 - 2018/05/01(Tue) 02:15:28

★ 綺麗に展開したい。高1。 / 蘭

綺麗展開ししたいです！
宜しくお願いします！

(a-b+c)(a^2+b^2+c^2+ab+bc-ca)

です！
待ってます♪

.

No.50028 - 2018/04/30(Mon) 21:02:51

☆ Re: 綺麗に展開したい。高1。 / 元中三

a^3+b^3+c^3-3abcです。有名な式ですね。

No.50029 - 2018/04/30(Mon) 21:48:01

☆ Re: 綺麗に展開したい。高1。 / 蘭

え、記憶ですか？？！

もーちょっと、何か、途中式的なのもをお願いしたいです！

わがまますみません！
よろしくお願いします！

No.50030 - 2018/04/30(Mon) 22:01:16

☆ Re: 綺麗に展開したい。高1。 / らすかる

大して綺麗でもないですが
a+c=tとすると
(a-b+c)(a^2+b^2+c^2+ab+bc-ca)
=(t-b){(t^2-3ac)+b(t+b))}
=t(t^2-3ac)-b(t^2-3ac)+(t-b)b(t+b)
=(a+c)(a^2-ac+c^2)+b(-t^2+3ac+t^2-b^2)
=a^3-b^3+c^3+3abc

No.50035 - 2018/05/01(Tue) 00:10:22

☆ Re: 綺麗に展開したい。高1。 / IT

蘭さん、「綺麗」などと言わずに
単純に展開するのが早道では。
(a-b+c)(a^2+b^2+c^2+ab+bc-ca)
=a^3+ab^2+ac^2+(a^2)b+abc-ca^2
-ba^2-b^3-bc^2-ab^2-(b^2)c+abc
(a^2)c+(b^2)c+c^3+abc+bc^2-(c^2)a

No.50054 - 2018/05/01(Tue) 19:09:17

☆ Re: 綺麗に展開したい。高1。 / Kenji

何をもって『綺麗』と呼ぶかは個人の価値観（審美眼）の問題です。
ここでは（私にとって）見通しが良く、計算ミスの可能性の少ないやり方を書いてみます。
初めに文字の置き換えを行います。
> 見やすくするためA=a,B=-b,C=cとおくと、
> (a-b+c)(a^2+b^2+c^2+ab+bc-ca)
> =(A+B+C)(A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA)
こうすれば±の付き方が統一的になり計算ミスの可能性が減ると思います。
もちろん最後には元に戻すことが必要です。

次に一つの文字について降べきの順に整理します。
Aについて降べきの順に整理するとこうなります。
> ={A+(B+C)}{A^2-(B+C)A+B^2+C^2-BC}

ここで(B+C)が2回登場することから、B^2+C^2-BCについても(B+C)^2-3BCと変形しておきます。
> ={A+(B+C)}{A^2-(B+C)A+(B+C)^2-3BC}

以上が準備です。
実際に展開します。
> ={A^3-(B+C)A^2+(B+C)^2A-3ABC}+{(B+C)A^2-(B+C)^2A+(B+C)^3-3BC(B+C)}
プラスマイナスでキャンセルできるものを消すと
> ={A^3-3ABC}+{(B+C)^3-3BC(B+C)}
ここで、(B+C)^3=B^3+C^3+3BC(B+C)であるから
> ={A^3-3ABC}+{B^3+C^3}
> =A^3+B^3+C^3-3ABC
A,B,Cをa,-b,cに戻すと
> =a^3-b^3+c^3+3abc

No.50058 - 2018/05/01(Tue) 22:59:09

☆ Re: 綺麗に展開したい。高1。 / 蘭

まず、皆さま、素晴らしい解答をいつも本当にありがとうございます！！感謝してもしきれません。
全てありがたいことばかりで、どの解答が良いとかではないのですが、一応、感想を述べておきます！

IT様、そのまま展開するというのもアリですね……！
試験の時にはそうしたいと思います笑笑

kenji様、たしかにその通りだと思います。
ですが、kenji様のやり方、すごく良いと思いました！
ありがとうございます！！

.

No.50097 - 2018/05/05(Sat) 12:35:02

★ (No Subject) / 受験生

この問題を解いてください解説もあると嬉しいです。

No.50019 - 2018/04/30(Mon) 16:09:09

☆ Re: / noname

以下，問題のヒントとなります．このヒントをもとに一度お考え下さい．
________________________

[ヒント]
・「ア」
一般に，確率変数X,Yが独立であるとは「Xの取り得る任意の値xとYの取り得る任意の値yに対して，P(X＝x,Y＝y)＝P(X＝x)P(Y＝y)が成り立つ」時をいう．つまり，もしX,Yが独立でなければ「あるXの取り得る値x_[0]とYの取り得る値y_[0]が存在し，これらのx_[0],y_[0]に対してP(X＝x_[0],Y＝y_[0])≠P(X＝x_[0])P(Y＝y_[0])である」となる．さて，本問ではP(X＝3)＝1/2,P(X＝5)＝1/2,P(Y＝0)＝2/7,P(Y＝1)＝1/7,P(Y＝a)＝4/7である．この時，例えばX＝3,Y＝0の場合を考えてみよ．

・「イ」から「コ」
E(X),E(Y)は期待値の定義を参考に計算せよ．また，E(X+7Y)は「確率変数U,Vと実数z,wに対して，E(zU+wV)＝zE(U)+wE(V)が成り立つ」という性質を用いて計算せよ．一方，E(7XY)の値は

E(7XY)
＝7E(XY)
＝7(0・P(Y＝0)+3・P(X＝3,Y＝1)+5・P(X＝5,Y＝1)+3a・P(X＝3,Y＝a)+5a・P(X＝5,Y＝a))

を計算することにより求めよ．

・「サ」から「タ」
まずはE(Y^2),(E(Y))^2を計算し，その次にV(Y)＝E(Y^2)-(E(Y))^2を計算せよ（或いは，V(Y)の定義式を計算することでV(Y)の値を求めてもよい）．

・「チ」から「ツ」
まずはE(Y^2)を計算し，次にE(X^2),E(XY),E(Y^2)の値をもとに期待値

E((X+7Y)^2)
＝E(X^2+14XY+49Y^2)
＝E(X^2)+14E(XY)+49E(Y^2)

を計算せよ．最後に，

V(X+7Y)＝E((X+7Y)^2-(E(X+7Y))^2

を計算することでV(X+7Y)の値を求めよ．

No.50044 - 2018/05/01(Tue) 01:40:31

★ (No Subject) / 受験生

この問題を解いてください解説もあると嬉しいです

No.50018 - 2018/04/30(Mon) 16:08:45

☆ Re: / RYO

[ア～ケ]については、ご自身で正解にたどり着いていらっしゃるようですので省略します。

[コ～セ]
　|OC↑|^2
＝|{(1/3)(a↑)+(2/3)(b↑)}|^2
＝(1/9)・36+(4/9)・49+(4/9)・6
＝256/9
であるから、
　|OC↑|＝16/3　(∵|OC↑|＞0)
よって、
　cos∠AOC
＝(OA↑・OC↑)/(|OA↑||OC↑|)
＝16/{6・(16/3)}
＝1/2

以上より、
　コ：1 サ：6 シ：3 ス：1 セ：2

[ソ～タ]
cos∠AOD＝(cos∠AOC＝)1/2より
　∠AOD＝60°(∵0°＜∠AOC＜180°)
なので、△OADが正三角形であるための必要十分条件は、OA＝ODが成立することである。
よって、
　OA＝OD
⇔6＝(16/3)k
⇔k＝9/8

以上より、
　ソ：9 タ：8

[チ～ナ]
(?@)∠ODA＝90°のとき
　OD
＝(1/2)OA
＝3
よって、
　(16/3)k＝3
⇔k＝9/16
(?A)∠OAD＝90°のとき
　OD
＝2OA
＝12
よって、
　(16/3)k＝12
⇔k＝9/4

以上より、
　チ：9 ツ：1 テ：6 ト：9 ナ：4

No.50038 - 2018/05/01(Tue) 00:42:01

☆ Re: / noname

「ア」から「ケ」までは正しく求められておりますので，以下では「ケ」以降に関する問いのヒントを与えておきます．このヒントをもとに一度お考え下さい．
________________________

[ヒント]
・「コ」から「シ」
↑OC＝1/3・(↑a+2↑b)であるから，まずはベクトル↑a+2↑bの大きさを求める．その後，このベクトルの大きさを1/3倍すれば|↑OC|が求まる．

・「ス」から「セ」
↑OA・↑OC＝|↑OA||↑OC|cos∠AOCの式に|↑OA|,|↑OC|,↑OA・↑OCの値を代入してcos∠AOCの値を求めよ．

・「ソ」から「タ」
三角形OADが正三角形となるには，OA＝ODでなければならない．よって，OA＝6，OD＝kOCよりkOC＝6が成り立つ．これよりkの値を求めよ．

・「チ」から「ナ」
cos∠AOB＝1/7より0°＜∠AOB＜90°であるから，0°＜∠AOD＜∠AOB＜90°である．よって，三角形OADが直角三角形であるならば，∠OAD＝90°または∠ODA＝90°のいずれかが成立する必要がある．また，前問のことを考慮すると∠AOD＝60°の筈である（記述式の問題であればこのことを論証しなければならないが，本問は空欄補充形式なためこの様な考えて済ませる）．よって，前者の場合はOD＝OA・2により，後者の場合はOD＝OA・1/2によりそれぞれでODの長さが求まる．後は，k＝OD/OCによりそれぞれの場合でkの値を求めればよい．

No.50039 - 2018/05/01(Tue) 00:58:34

★ (No Subject) / 受験生

この問題を解いてください解説もあると嬉しいです！

No.50017 - 2018/04/30(Mon) 16:08:14

☆ Re: / noname

「ア」から「ケ」までは正しく求められておりますので，以下では「ケ」以降に関する問いのヒントを与えておきます．このヒントをもとに一度お考え下さい．
________________________

[ヒント]
・「コ」から「サ」
(与式)＝Σ_[n＝1,20](-a_[2n-1]+a_[2n])及びa_[n+1]-a_[n]＝3（n≧1）により，与式の値を求めよ．

・「シ」
因数分解の式x^2-y^2＝(x+y)(x-y)及びa_[n+1]-a_[n]＝3（n≧1）により，-(a_[n])^2+(a_[n+1])^2の値を計算せよ．

・「ス」から「タ」
(与式)＝Σ_[n＝1,20](-(a_[2n-1])^2+(a_[2n])^2)及び「カ」から「ケ」に関する問いの答えにより，与式の値を求めよ．

・「チ」から「ニ」
b_[n+1]/b_[n]＝{(3n+5)・(9/10)^{n+1}}/{(3n+2)・(9/10)^n}の式の右辺を(9/10)^nで約分し，次に分母と分子の両方を10倍して計算せよ．

・「ヌ」
b_[n+1]/b_[n]＞1の時のnの範囲，b_[n+1]/b_[n]＜1の時のnの範囲をそれぞれ求めよ．その後に，これらの結果をもとに

b_[1]＜b_[2]＜…＜b_[N-1]＜b_[N]＞b_[N+1]＞…（Nはある正の整数）

等の様な不等式を書いてみよ．その結果をもとに，{b_[n]}が最大となるnの値を求めよ．

No.50037 - 2018/05/01(Tue) 00:34:31