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★ (No Subject) / 中三
√a+√b,√cの大小比較について、
a+b≧cのとき√a+√b>√c
a+b<cのとき
4ab>(c-a-b)²
ならば
√a+√b>√c
4ab<(c-a-b)²
ならば
√a+√b<√c
4ab=(c-a-b)²
ならば
√a+√b=√c
というのは正しいですか？
もし正しいなら
円周率πが3.1より大きいことは半径1/2の円に内接する正十二角形の周の長さを使って
3(√6-√2)>3.1
を前述の方法で示せば近似値を使わなくても示せると考えました。
No.49009 - 2018/02/26(Mon) 05:59:46
☆ Re: / IT
> 正しいですか？
大筋は、正しいと思いますが

細かいことを言えば
　「a+b≧cのとき√a+√b>√c」は偽ですから
(たとえばa=b=c=0のとき)
a>0,b>0,c>0 という前提をおいた方が良いと思います。

No.49012 - 2018/02/26(Mon) 11:02:12
☆ Re: / 中三
a,b,cを正の有理数と置いていませんでした。返信ありがとうございます。
No.49015 - 2018/02/26(Mon) 12:34:03
★ (No Subject) / トム
ごめんなさい。物理の問題なのですが
文字式が綺麗にできなくて……
どのように計算していけばいいのか教えてください。

f=(2v/ V - v)fo

v = V f / 2fo+ f
No.49003 - 2018/02/25(Sun) 23:01:57
☆ Re: / トム
上の式を下の式にする方法を教えてください
No.49004 - 2018/02/25(Sun) 23:31:22
☆ Re: / X
単にvについての方程式と見て解くだけです。
他の文字は単なる数字として考えてみましょう。
No.49005 - 2018/02/25(Sun) 23:43:36
★ 開区間と閉区間 / あー
開区間と閉区間についてです。
y'の上に書いてある-1<x<4となるのが分かりません。
No.48999 - 2018/02/25(Sun) 20:19:38
☆ Re: 開区間と閉区間 / X
これは恐らく右極限、左極限について考えているからだと
思います(数学IIでは多分範囲外だと思いますが)。
話が長くなりますがご容赦ください。

例えば
lim[x→a]f(x)=α
(αは有限の値)
とは
lim[x→a+0]f(x)=α
(xがx=aの右側からx=aに近づく、という意味で
これを右極限と言います。)
と
lim[x→a-0]f(x)=α
(xがx=aの左側からx=aに近づく、という意味で
これを左極限と言います。)
の両方が成立していることを意味しています。

ここで(1)に戻ると、定義域は
-1≦x≦4
ですので
左端であるx=-1においては
問題の関数の微分係数を計算する上で
左極限が定義できません。
同様に
右端であるx=4においては
問題の関数の微分係数を計算する上で
右極限が定義できません。

以上の理由でy'を計算する際に
-1≦x≦4
ではなくて
-1＜x＜4
となっています。

(注)恐らく、あーさんは添付写真の解答の増減表で
x=4のときのy'の値は特に問題にしないので
+を書かずに空白にしたのだとおもいますが、
この採点者はx=4でy'が定義できないので
空白にしなければならない、と判断しています。
ですので、ここで+を書いていたら、
間違いなくはねられてます。)

もっともこれはまず定義域を実数全体として
増減表を書いておき、これから
-1≦x≦4
の部分を抜き出すような解答の書き方で
十分避けられます。
No.49001 - 2018/02/25(Sun) 21:14:58
★ (No Subject) / しぐま
答えだけでも大丈夫なのでお願いします！
No.48990 - 2018/02/25(Sun) 17:20:53
☆ Re: / IT
1 です。
いろいろ方法はあります.
そのままでもできますが　x=2^(-t/30) とおくと分かり易いかも。
No.48995 - 2018/02/25(Sun) 18:54:21
☆ Re: / しぐま
ありがとうございます！
No.49000 - 2018/02/25(Sun) 20:59:46
★ 教えてください。 / 玲
ピンク色のところと黄緑色のところの面積の求め方を教えてください。
No.48987 - 2018/02/25(Sun) 16:44:37
☆ Re: 教えてください。 / 関数電卓
六角形は、円に内接する正六角形ではないのですか？
No.48988 - 2018/02/25(Sun) 16:56:17
☆ Re: 教えてください。 / IT
辺の長さが３，４，５の直角三角形以外の図の条件が不明ですが,左右対称だとすると

小さなピンクの円は半径が1/2
大きな円は半径が１になると思います。
No.48998 - 2018/02/25(Sun) 20:12:04
☆ Re: 教えてください。 / 関数電卓
IT さんがお書きの通り、ピンクの円の半径は 1/2 ですね。
No.49002 - 2018/02/25(Sun) 21:42:20
☆ Re: 教えてください。 / 関数電卓
半径 1/2 の円と半径 1 の円が、中心間 √2/2 で交わっているので、図のようにα、βを定めると、
sinα＝√14/8、cosα＝5√2/8、sinβ＝√14/4、cosβ＝−√2/4

図の黄緑の面積＝2α−5√7/32
図の水色の面積＝β＋√7/32
黄緑＋水色＝2α＋β−√7/8＝2ArcSin(√14/8)＋ArcSin(√14/4)−√7/8
No.49006 - 2018/02/26(Mon) 00:39:29
☆ Re: 教えてください。 / らすかる
> 関数電卓さん

図の黄緑の面積＝α−5√7/32
図の水色の面積＝β/4＋√7/32
であり
α=ArcSin(√14/8), β=π-ArcSin(√14/4) なので
黄緑＋水色＝α＋β−√7/8＝ArcSin(√14/8)＋(π-ArcSin(√14/4))/4−√7/8
={4ArcSin(√14/8)-ArcSin(√14/4)+π}/4-√7/8
=(ArcSin(23√14/128)+π)/4-√7/8
ですね。
No.49008 - 2018/02/26(Mon) 02:28:33
☆ Re: 教えてください。 / 関数電卓
あれ？！？！
失礼しました。ご指摘ありがとうございます。
No.49013 - 2018/02/26(Mon) 11:29:52
★ (No Subject) / とある高3
画像の問題の解き方が分かりません。解説お願いします。
No.48986 - 2018/02/25(Sun) 16:39:09
★ 積分お願いします / とつ
x^4/x+1を積分お願いします
No.48985 - 2018/02/25(Sun) 16:35:58
☆ Re: 積分お願いします / 関数電卓
x^4/(x＋1)＝x^3−x^2＋x−1＋1/(x＋1)　を積分して下さい。
No.48989 - 2018/02/25(Sun) 17:07:06
★ ありがとうございます / YOU
色々と解説していただきありがとうございます！
No.48984 - 2018/02/25(Sun) 16:35:04
★ 教えて欲しいです / YOU
{√2(12-x)}^2
を解いて欲しいです
どうなってるのかサッパリで
No.48976 - 2018/02/25(Sun) 15:04:10
☆ Re: 教えて欲しいです / らすかる
それはただの式なので「解く」ことはできません。
No.48980 - 2018/02/25(Sun) 15:11:25
★ (No Subject) / YOU
どうやったらＥＢが求まりますか？
No.48974 - 2018/02/25(Sun) 14:55:35
☆ Re: / らすかる
BF=xとおくとEF=12なのでEB=√(144-x^2)
△EBF∽△FCGからEB：FC=EF：FG=√2：1なので
FC=√(288-2x^2)/2
BF+FC=12に代入して
x+√(288-2x^2)/2=12
これを解いてx=4,12
x＜12なので x=4
従ってEB=√(144-x^2)=8√2
No.48975 - 2018/02/25(Sun) 15:04:00
☆ Re: / YOU
ごめんなさい
FCの求め方がわからないです
教えてください
お願いします
No.48977 - 2018/02/25(Sun) 15:08:53
☆ Re: / らすかる
EB：FC=√2：1から
FC=EB/√2=√(144-x^2)/√2
=√2√(144-x^2)/2
=√(288-2x^2)/2
です。
No.48979 - 2018/02/25(Sun) 15:10:22
☆ Re: / YOU
√(144-x^2)/√2を解いたのですが
FCが12ーx/2
になってしまいます
何がいけないのでしょうか？
No.48991 - 2018/02/25(Sun) 17:59:50
☆ Re: / YOU
何度も申し訳ないです
↑のFCの式は解決しましたが、
x+√(288-2x^2)/2=12
の答えが12になってしまい、4が出ません
ご教示ください
No.48992 - 2018/02/25(Sun) 18:08:35
☆ Re: / らすかる
x+√(288-2x^2)/2=12
√(288-2x^2)/2=12-x
√(288-2x^2)=24-2x
288-2x^2=(24-2x)^2
288-2x^2=4x^2-96x+576
6x^2-96x+288=0
x^2-16x+48=0
(x-4)(x-12)=0
x=4,12
となります。
No.49007 - 2018/02/26(Mon) 00:41:57
★ 3 / YOU
二乗してルート3の数字ってどんな数でしょうか？
No.48972 - 2018/02/25(Sun) 14:34:38
☆ Re: 3 / らすかる
±[4]√3=±3^(1/4) つまり3の4乗根です。
No.48973 - 2018/02/25(Sun) 14:55:24
★ (No Subject) / YOU
図3についてです
重なった点をPとして，Pから垂線PQを下ろす
ＰＱの長さってどうやって求められるのですか？
No.48971 - 2018/02/25(Sun) 14:20:27
☆ Re: / らすかる
△PAB∽△PCDで相似比はAB：CD=2：3なので
BQ：QC=2：3
よって△ABC∽△PQCから
AB：PQ=5：3なのでPQ=(3/5)AB=12/5
No.48978 - 2018/02/25(Sun) 15:09:13
★ (No Subject) / macwell
長さ13mのはしごが壁にかかっている。
端Aが壁から12mの地点を0.6m/sの速さで右に動いてる瞬間、端Bはどれだけの速さで落ちているか

この問題で三平方の定理
x^2+y^2=13^2というのを使う理由はなんですか？
何故この式が出てくるのですか？

この定理なんですけど
xの2乗って距離の2個分を表してるんじゃないですか？
2個分を表してどうするんですか？
なんかこのx^2+y^2=13^2式の関係はXが変動しても成り立つという解説なんですけど

XやＹの距離が2個分？っていうのが分かりません
No.48967 - 2018/02/25(Sun) 12:28:51
☆ Re: / macwell
間違えました

x^2+y^2=13^2の
X、Ｙなどで2乗としていますが
2乗としたものの長さにする理由が分かりません

例えばXが3だったら
3×3で3が3つあるということになるから
3mが3つ分の距離になるということになるんじゃないですか？(2だったら2つ分)

そういうことだったら
2乗にして
(X、Ｙ、などを)2乗にした距離(長さ)にする理由が分かりません(このはしごの途中のこの式)
No.48969 - 2018/02/25(Sun) 13:16:39
★ (No Subject) / あすか
画像の問題を解くと、与式=∫[y:0→1]∫[x:y^2→y](x+y)dxdy
となるらしいですが、yの積分範囲がこのようになるのは分かりますが、xの積分範囲がこのようになるのが分かりません。解説お願いします。
No.48961 - 2018/02/25(Sun) 12:13:54
☆ Re: / あすか
グラフはこんな感じになりました。
グラフ通りだったら、0≦x≦1になるのではないのでしょうか？
No.48962 - 2018/02/25(Sun) 12:16:00
☆ Re: / X
直線y=tがDに切られてできる線分において
x軸方向の積分範囲は
x:t^2→t
これを更にy軸方向に
t:0→1
で積分します。
No.48964 - 2018/02/25(Sun) 12:23:43
☆ Re: / X
もう少し補足。
仮に
x:0→1
で積分したいのであれば
y:x→√x
となります。

(「積分順序の変換」のキーワードで調べてみて下さい)
No.48965 - 2018/02/25(Sun) 12:24:37
☆ Re: / あすか
なるほど❗
理解できました！
No.48982 - 2018/02/25(Sun) 16:15:16
★ (No Subject) / YOU
下の問題で
高さはどの辺になりますか？
No.48953 - 2018/02/25(Sun) 09:55:11
☆ Re: / ヨッシー
どの面を底面とするかによります。
△ＣＥＦ以外なら、どの面を底面にしても、
高さは展開図上の線分で表せます。
No.48954 - 2018/02/25(Sun) 10:21:35
★ 曲面積 / とある高3
この前の数学の授業でやった問題なんですが、難しすぎて授業では理解できませんでした。一応ある程度理解した上で、月曜日また先生に聞きに行きたいので、分かりやすく教えて下さると有難いです。お願いします。
No.48949 - 2018/02/25(Sun) 03:45:48
☆ Re: 曲面積 / X
問題の表面積は放物線
y=1-x^2 (0≦x≦1) (A)
をy軸の周りに回転してできる回転体の側面積
と等しくなっています。
そこで求める側面積をSとすると
dS=2πx・((A)の微小線素の長さ)
={2π√(1-y)}√(1+(dx/dy)^2)dy
={2π√(1-y)}√(1+1/{4(1-y)})dy
=2π√(5/4-y)dy

よって
S=∫[0→1]2π√(5/4-y)dy
=2π[-(2/3)(5/4-y)^(3/2)][0→1]
=(4π/3){(5/4)√(5/4)-(1/4)(1/2)}
=(π/6)(5√5-1)
となります。
No.48963 - 2018/02/25(Sun) 12:19:32
☆ Re: 曲面積 / とある高3
そこで求める側面積をSとすると
dS=2πx・((A)の微小線素の長さ)
=2πx・√(1+y'^2)dx…
のところで、√(1+y^2)が出てくるのはなぜですか？
No.48983 - 2018/02/25(Sun) 16:22:17
☆ Re: 曲面積 / X
ごめんなさい。No.48963で誤りがありましたので
修正しました、再度ご覧下さい。

それでご質問に対する回答ですが
教科書などで積分を使った曲線の長さの公式
をもう一度復習しましょう。
No.48996 - 2018/02/25(Sun) 19:10:02
★ (No Subject) / 渥美
画像の問題を予習で解こうと思ったのですが、解き方がよく分かりません。解説お願いします。
No.48947 - 2018/02/25(Sun) 03:36:12
☆ Re: / 渥美
計算過程を詳しく教えて頂きたいです。
No.48948 - 2018/02/25(Sun) 03:37:54
☆ Re: / X
(1)
極座標に変換すると
ヤコビヤンはrですので
(与式)=∫[θ:0→2π]∫[r:0→1]{r/√(1+r^2)}drdθ
=2π∫[r:0→1]{r/√(1+r^2)}dr
=…

(2)
問題の重積分の被積分関数はx,yに関していずれも
偶関数となっており、又Dはx,y軸に関して対称です。
よって
(与式)=4∬[D']cosxcosydxdy
D'={(x,y)|x+y≦π/2,x≧0,y≧0}
後はD'を図示して積分範囲を考えてみて下さい。
(分からなかったら、その旨をアップして下さい。)
No.48950 - 2018/02/25(Sun) 07:52:17
☆ Re: / 渥美
解説ありがとうございます。
(1)の∫[θ:0→2π]∫[r:0→1]{r/√(1+r^2)}drdθ
で、θの積分範囲とrの積分範囲はどうやって求めたのでしょうか？補足お願いします。
No.48956 - 2018/02/25(Sun) 11:30:01
☆ Re: / X
極座標において半径aの円の方程式は
r=a (0≦θ＜2π)
となることはよろしいですか？
これを踏まえてもう一度考えてみましょう。
No.48960 - 2018/02/25(Sun) 12:12:26
☆ Re: / あすか
最近習ったところなので、まだ知識が曖昧ですみません。あと、極座標変換はどういう問題の時に使うのでしょうか？お願いします。
No.48981 - 2018/02/25(Sun) 16:13:48
☆ Re: / X
これはどの変換にも言えることですが、
変換によって被積分関数、Dの書式が
簡単になる場合に使う、としか言えません。

敢えて言えば、Dの形状が対称図形に
なっている場合は考慮してみても
よいのでは、といった程度です。
(例えば(2)のDも対称図形ですが
極座標変換を適用すると、被積分関数が
煩雑になってしまって原始関数を
求めることができなくなってしまいます。)
No.48997 - 2018/02/25(Sun) 19:14:05
★ 数学的帰納法による等式の証明 / 匿名の助
以下の問題の(2)(3)について御教授いただきたく存じます。
No.48941 - 2018/02/25(Sun) 00:24:23
☆ Re: 数学的帰納法による等式の証明 / 匿名の助
解答・解説1/3
ここまでは理解できております。
No.48942 - 2018/02/25(Sun) 00:26:16
☆ Re: 数学的帰納法による等式の証明 / 匿名の助
解答・解説2/3
ここの定義式?@,?Aを用いるところから理解できないようです(弟の代わりに質問しています)
定義式?@,?Aについては最後に載せます。
No.48943 - 2018/02/25(Sun) 00:30:34
☆ Re: 数学的帰納法による等式の証明 / 匿名の助
解答・解説3/3
(3)は全く分からないようです。
焦っており、乱文ですが、御容赦ください。
No.48944 - 2018/02/25(Sun) 00:33:16
☆ Re: 数学的帰納法による等式の証明 / 匿名の助
> 解答・解説3/3
> (3)は全く分からないようです。
> 焦っており、乱文ですが、御容赦ください。
No.48945 - 2018/02/25(Sun) 00:34:20
☆ Re: 数学的帰納法による等式の証明 / 匿名の助
定義式?@,?Aです。
連投、ミスなど多大なる御無礼をお許しください(インターネットに慣れていないもので…)
何卒宜しくお願い致します。
No.48946 - 2018/02/25(Sun) 00:38:48
☆ Re: 数学的帰納法による等式の証明 / ヨッシー
(2)
?Bまでは、理解されているということなので、その続きから。
?Cは、解説の通り、?Bの両辺に ｘ−１ を掛けたものです。
?Dは、?Cの左辺をｘの次数によって、まとめたものです。
そこからの数行は、?Dの各係数を?@?Aを使って出来るだけ簡単にしようという変形です。
　a(1,k)＝a(1,k+1)＝1　は蛇足で　a(1,k)＝1 で十分です。
?Aに
　m=1、n=k-1 を代入すると　a(2,k-1)−a(1,k)＝a(2,k) が
　m=2、n=k-2 を代入すると　a(3,k-2)−a(2,k-1)＝a(3,k-1) が
　　・・・
　m=k-r、n=r を代入すると　a(k-r+1,r)−a(k-r,r+1)＝a(k-r+1,r+1) が
　　・・・
　m=k-2、n=2 を代入すると　a(k-1,2)−a(k-2,3)＝a(k-1,3) が
がそれぞれ得られ、?Aに
　m=k-1、n=1 を代入した　a(k,2)＝a(k,1)−a(k-1,2) を移項して
　a(k-1,2)＝a(k,1)−a(k,2)
が得られます。
これらを?Dに代入して、最終項をちょっと直したのが、「したがって?Cは」の上の式です。
あとは、数学的帰納法のまとめの部分です。

(3) は、(2) の結果への代入と式変形ですので、変形の手順を追えば、分かると思います。
No.48955 - 2018/02/25(Sun) 11:08:01
★ (No Subject) / 中３　IB
（２）√41/2 が答えです。　解き方がよくわかりません。解説よろしくお願いします。
No.48940 - 2018/02/24(Sat) 23:49:03
☆ Re: / ヨッシー

ＡＢの中点をＭ、ＣＤの中点をＮとすると、ＩはＯＭ上に、ＪはＯＮ上にあります。
メネラウスの定理より
　(OI/IM)(MB/BA)(AE/EO)＝１
より、ＯＩ：ＩＭ＝１：１ となり、ＩはＯＭの中点、。
同様にＪはＯＮの中点とわかります。
すると、△ＯＩＪは△ＯＭＮの面積の 1/4 倍となります。

△ＯＭＮにおいて、ＭＮ＝４、ＯＭ＝ＯＮ＝√(49−4)＝3√5
よって、△ＯＭＮのＭＮを底辺にしたときの高さは、
　√(45−4)＝√41
　△ＯＭＮ＝4×√41÷2＝2√41
　△ＯＩＪ＝△ＯＭＮ÷４＝√41／2
No.48957 - 2018/02/25(Sun) 11:32:25
☆ Re: / 中３　IB
解説ありがとうございました。
No.49011 - 2018/02/26(Mon) 07:51:54
★ (No Subject) / You
8と9についても解説してくださいませんか？
No.48939 - 2018/02/24(Sat) 22:41:04
☆ Re: / X
(8)
条件から
1.95≦n/40＜2.05
これより
78≦n＜82
よって求める値は78です。

(9)
直線ABの方程式を
y=bx
とすると、条件から
A(-2,-2b),B(-3/b,-3)
点A,Bは双曲線y=a/xの上にありますので
-2b=a/2 (A)
-3=-ab/3 (B)
(A)(B)をa,bについての連立方程式として解きます。
但し、図から
a＜0
であることに注意します。
((A)を使って(B)からbを消去してみましょう。)
No.48951 - 2018/02/25(Sun) 08:00:30
☆ Re: / YOU
8をもう少し噛み砕いて教えて頂けますか？
すみません
No.48952 - 2018/02/25(Sun) 09:17:25
☆ Re: / X
まず
1.95≦n/40＜2.05 (A)
はn/40が小数点第二位を四捨五入して
2.0
となるときのn/40の値の範囲を示しています。
(A)の各辺に40をかけると
78≦n＜82
となります。
No.48966 - 2018/02/25(Sun) 12:28:44
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