円柱「面」x^2+y^2=1, -1≦z≦1をCとする。
2点A(1,0,1),B(-1,0,-1)を結ぶ直線をlとする。
lを中心軸としてCを1回転させるとき、Cが通過する部分の体積Vを求めよ。
歯が立ちません
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No.49708 - 2018/04/14(Sat) 21:08:13
| ☆ Re: おしえてください / Delta | | | 回転体の体積を求める際には回転軸と図形上の点との距離が重要となるのでまずはその値を求めていきます。
tを-1≦t≦1なる実数とし、l上の点(t,0,t)を通りlと直交する平面x+z=2tにおけるCの断面を考えます。
この平面上の点(x,y,z)と直線lとの距離は点(x,y,z)と点(t,0,t)との距離と等しいのでその距離をdとすると
d^2=(x-t)^2+y^2+(z-t)^2=x^2+y^2+z^2-2(x+z)t+2t^2
(x,y,z)は平面x+z=2t上にあり、さらにC上の点だとするとx^2+y^2=1 が成立するのでこのとき、
d^2=1+z^2-2t^2 となります。
ここで-1≦z≦1でx^2+y^2=1より-1≦x≦1であり、さらにx+z=2tより zは-1≦z≦1かつ-1+2t≦z≦1+2tを満たします。
(i)-1≦t≦-1/2のとき
-1≦z≦1+2t≦0 より (1+2t)^2≦z^2≦1
(ii)-1/2≦t≦0のとき
-1≦z≦1+2tかつ1+2t≧0より 0≦z^2≦1
(iii)0≦t≦1/2のとき
-1+2t≦z≦1かつ-1+2t≦0より 0≦z^2≦1
(iv)1/2≦t≦1のとき
0≦-1+2t≦z≦1より (1-2t)^2≦z^2≦1
断面x+z=2tにおける回転体の断面積をS(t)とすると
正の実数α,βに対しα≦d≦βならば S(t)=π(β^2-α^2)と表されるのでこのようにしてS(t)を求めると
-1≦t≦-1/2 で S(t)=π{1-(1+2t)^2}=-4π(t+t^2)
-1/2≦t≦1/2 で S(t)=π
1/2≦t≦1 で S(t)=π{1-(1-2t)^2}=4π(t-t^2)
となります。
したがって、V=∫[-1:1]S(t)dt=(5/3)π
※対称性を使うと計算量や記述量が多少減ると思います。
※計算が正しい自信はないので自分で計算してみてください。
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No.49711 - 2018/04/14(Sat) 23:42:16 |
| ☆ Re: おしえてください / ＩＴ | | | Delta さんへ 軸ｌが斜めであることを考慮する必要があるのでは？ 勘違いならごめんなさい。
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No.49712 - 2018/04/14(Sat) 23:54:00 |
| ☆ Re: おしえてください / Delta | | | 言われてみればそうでしたね...。
修正に時間がかかりそうなので、どなたか分かる方は代わりに回答してくださると嬉しいです...。
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No.49713 - 2018/04/15(Sun) 00:04:09 |
| ☆ Re: おしえてください / X | | | Deltaさんの解答に付け加える形で
tを変数変換することを考えます。
(間違っていたらごめんなさい。)
lの上に、X軸という座標軸を考えます。
但し、原点をx,y,z軸のそれと同じとし、
座標軸の向きは座標軸上の点のz座標が
増加する向きに取ります。
すると条件から
X=t√2
でt:-1→1,X:-√2→√2が対応し
V=∫[-√2→√2]S(t)dX
=(1/√2)∫[-1→1]S(t)dt
∴DeltaさんのNo.49711での計算により
V=(1/√2)(5/3)π
=(5/6)π√2
となります。
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No.49714 - 2018/04/15(Sun) 00:17:47 |
| ☆ Re: おしえてください / らすかる | | | この円柱は球x^2+y^2+z^2=2に内接するから
回転体の外側はこの球面となる。
内側は、円柱が球x^2+y^2+z^2=1に外接するので
ABの端1/4ずつを除いた中央半分はその球、
そして端1/4ずつは円錐となり、
求める体積は
(4/3)π(√2)^3-π∫[-1/√2〜1/√2](1-x^2)dx-2・π(1/√2)^2・(1/√2)・(1/3)
=(5√2/3)π
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No.49715 - 2018/04/15(Sun) 00:25:25 |
| ☆ Re: おしえてください / ＩＴ | | | X さんへ
Delta さんのＶの√２倍になるのでは？
直線ｌ上の点(t,0,t) の原点からの距離は√2t なので
V=∫[-√2:√2]A(u)du
=∫[-√2:√2]S(u/√2)du
=√2∫[-1:1]S(t)dt
=√2(5/3)π では？
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No.49716 - 2018/04/15(Sun) 00:25:58 |
| ☆ Re: おしえてください / Delta | | | IT様,X様 指摘や訂正等ありがとうございます。
ars magna様 私の解答に不備がありましてお手数をおかけしました。
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No.49717 - 2018/04/15(Sun) 00:26:08 |
| ☆ Re: おしえてください / X | | | >>ITさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>Deltaさん、ars magnaさんへ
ごめんなさい。ITさんの仰る通りです。
X=t√2
から
dX=(√2)dt
であって
dX=(1/√2)dt
ではありませんね。
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No.49718 - 2018/04/15(Sun) 00:30:47 |
| ☆ Re: おしえてください / ars magna | | | 皆様方本当にありがとうございました。
これを参考にして学ぼうと思います
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No.49719 - 2018/04/15(Sun) 00:53:15 |
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