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★ 図形と方程式 / 東大夢見る浪人生
(2)の後半からお願いします。
No.49682 - 2018/04/13(Fri) 20:50:11
☆ Re: 図形と方程式 / らすかる
△ABCは
4頂点が(0,0),(5,0),(5,6),(0,6)である長方形から
3頂点が(0,0),(3,0),(0,1)である直角三角形と
3頂点が(3,0),(5,0),(5,6)である直角三角形と
3頂点が(5,6),(0,6),(0,1)である直角三角形を除いたものなので
△ABC=5×6-3×1÷2-6×2÷2-5×5÷2=10

AB：BE=2：1となるように直線AB上に点EをとるとE(9/2,-1/2)
この点を通り直線BCに平行な直線はy=3x-14
点Dの座標はこの直線と円Kとの交点なので(5,1)と(6,4)
No.49683 - 2018/04/13(Fri) 21:35:07
☆ Re: 図形と方程式 / 東大夢見る浪人生
なぜ、AB:BE=2:1に点を取るんですか？
No.49686 - 2018/04/13(Fri) 21:55:48
☆ Re: 図形と方程式 / らすかる
AB：BE=2：1ならば
(Aから直線BCまでの距離)：(Eから直線BCまでの距離)=2：1ですね。
Eを通り直線BCに平行な直線の上にDがあれば
(Dから直線BCまでの距離)=(Eから直線BCまでの距離)
つまり
(Aから直線BCまでの距離)：(Dから直線BCまでの距離)=2：1となり、
Dがどこにあっても必ず△ABC：△BCD=2：1となります。
No.49687 - 2018/04/13(Fri) 22:02:33
★ (No Subject) / 東大夢見る浪人生
(2)の後半からお願いします。
No.49681 - 2018/04/13(Fri) 20:49:50
★ 三角関数の導関数 / 新米
sin3xの導関数を極限値の計算から求めたいのですが中々合わないです。
No.49679 - 2018/04/12(Thu) 21:24:05
☆ Re: 三角関数の導関数 / IT
(sin(3(x+h))-sin(3x))/h
=(sin(3x)cos(3h)+cos(3x)sin(3h)-sin(3x))/h
=sin(3x)(cos(3h)-1)/h + 3cos(3x)sin(3h)/(3h)

ここで　sin(h)/h →1（h→0）を使うと
　
(cos(3h)-1)/h=(cos(3h)-1)(cos(3h)+1)/(h(cos(3h)+1))
=-(sin(3h))^2)/(h(cos(3h)+1))
=(-3(sin(3h)/(3h))((sin(3h))/(h(cos(3h)+1))) →0（h→0）

3cos(3x)sin(3h)/(3h)→3cos(3x)（h→0）
No.49680 - 2018/04/12(Thu) 22:08:01
★ (No Subject) / Sh
筑波大学H29年度編入試験の問題です。(2),(3)がわかりません。
まず数列の極限から求めたいのですが、数列は a_k = (n-k+1) / k! と表せましたが、この先が不明です。
No.49675 - 2018/04/12(Thu) 15:46:03
☆ Re: / IT
(2)　lim(1/n)( ) の（　　）の部分は
＝1/1! +(1/1!+1/2!)+(1/1!+1/2!+1/3!)+ ...+(1/1!+1/2!+1/3!+...+1/n!) となります。
ここで(1)と(A) を使えば、極限が求められます。

※　加算方法を変える技法を使っています。
No.49677 - 2018/04/12(Thu) 20:10:24
☆ Re: / IT
(3) ε−Ｎ方式で数列の極限を求める典型問題だと思います。

lim[n→∞]a[n]=αより,
任意のε＞0に対して,
自然数mがあって　k＞mならば　|a[k]-α|＜ε/2となる。

このとき b=max{|a[i]||i=1,2,...,m} とおくと
n＞mについて
　|{(a[1]+a[2]+...+a[m]+a[m+1]+...+a[n])/n}-α|…?@
　≦{b+|α|+...+b+|α|+|a[m+1]-α|+...+|a[n]-α|}/n
　≦{m(b+|α|) +(n-m)(ε/2)}/n
　≦(m/n)(b+|α|) +ε/2
　さらに、n＞2m(b+|α|)/εならば、(m/n)(b+|α|)＜ε/2 なので　?@＜ε　となる。

以上で（A)が示せた。

計算ミス、記入ミスなどがあるかも知れませんので確認してください。
要は、前部と後部に分けて評価します。
前部＝G/n とおいてもいいです。
またa[i]-α　を考えると０に収束する場合を考えればいいです。
No.49678 - 2018/04/12(Thu) 20:48:40
★ (No Subject) / a
記述でベクトル書くとき、画像の右のように書いてはダメですか？
No.49674 - 2018/04/12(Thu) 14:50:07
☆ Re: / X
ダメです。
きちんと矢印を書きましょう。
No.49676 - 2018/04/12(Thu) 16:53:43
★ (No Subject) / 鼻炎
2つのベクトルa,b の間の角をαとすれば
(a,b)=?Ua?U ?Ub?Ucosα
の証明で波線の部分がどうやって求めているのか分かりません。分かりやすく教えていただけませんでしょうか。
No.49672 - 2018/04/12(Thu) 00:07:59
☆ Re: / らすかる
(a,a)t^2-2(a,b)t+(b,b) を平方完成すれば
(a,a){t-(a,b)/(a,a)}^2+(b,b)-(a,b)^2/(a,a)
となりますので、t-(a,b)/(a,a)=0すなわちt=(a,b)/(a,a)のときに
最小値(b,b)-(a,b)^2/(a,a)をとりますね。
No.49673 - 2018/04/12(Thu) 00:12:44
★ (No Subject) / 元中三
M=a^3+b^3=c^3+d^3(a≠b≠c≠d)と表される自然数はどのようにして導くのですか？(a,b,c,dは自然数)
またMの最小が1729である証明はありますか？
どうでもいい質問ですいません！
No.49670 - 2018/04/11(Wed) 18:43:06
☆ Re: / らすかる
一般解を計算で導出することはできないような気がします。
最小が1729である証明は↓こちらをご覧下さい。
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/kakomon/2009/09h101.htm

# 余談ですが、a≠b≠c≠dというのは
# a≠b かつ b≠c かつ c≠d
# という意味に解釈されますので、
# a=2,b=3,c=2,d=3 などはあてはまってしまいます。
# この問題に限れば、a≠c≠bと書くのがよいと思います。
No.49671 - 2018/04/11(Wed) 18:58:42
☆ Re: / 元中三
回答ありがとうございます！そしてご指摘ありがとうございます。サイトを参考にさせていただきます
No.49706 - 2018/04/14(Sat) 20:19:14
★ 不定方程式 / 田中
しばらくぶりに投稿します。
Ｘ，Ｙ，Ｚは、０以上の整数とします。（０も含む）

Ｘ＋２Ｙ＋３Ｚ＝５０

を満たす、（Ｘ，Ｙ，Ｚ）の解はいくつあるでしょう。

たとえば、（５０，０，０）　　（４８，１，０）などです。答えは、２３４だと思います。力でといてみました。エレガントな解答の方法はあるでしょうか。
No.49666 - 2018/04/10(Tue) 10:42:23
☆ Re: 不定方程式 / ヨッシー
２Ｙは偶数なので、Ｘ＋３Ｚが０以上５０以下の偶数であれば、Ｙは自動的に１つ決まります。
＜Ｚが偶数のとき＞
Ｚ＝０のとき　Ｘ＝0, 2, 4,・・・50　の26通り
Ｚ＝２のとき　Ｘ＝0, 2, 4,・・・44　の23通り
　・・・
Ｚ＝16のとき　Ｘ＝0, 2 の2通り
　2＋5＋8＋・・・＋23＋26＝(2＋26)×9÷2＝126

＜Ｚが奇数のとき＞
Ｚ＝１　のとき　Ｘ＝1, 3, 5,・・・47　の24通り
Ｚ＝３　のとき　Ｘ＝1, 3, 5,・・・41　の21通り
　・・・
Ｚ＝15　のとき　Ｘ＝1, 3, 5　の３通り
　3＋6＋9＋・・・＋21＋24＝(3＋24)×8÷2＝108
合わせて　126＋108＝234(通り)
No.49667 - 2018/04/10(Tue) 11:40:14
☆ Re: 不定方程式 / 田中
ありがとうございました。やはり、このくらいの場合分けで整理して解くのですね。２Ｙが偶数であるところに注目するのが良いのですね。理路整然と解かれてていて、感激しました。
No.49668 - 2018/04/10(Tue) 12:15:16
☆ Re: 不定方程式 / らすかる
a=X+Y+Z+3, b=Y+Z+2, c=Z+1 とおくと
a+b+c=56, a＞b＞c＞0 の解を求める問題になります。
自然数a,b,cの大小関係を考慮しないとき 55C2=1485通り
a=bであるものはa=b=1〜27の27通り、b=c、c=aも同じ
よって求める場合の数は (1485-27×3)÷6=234通り
No.49669 - 2018/04/11(Wed) 02:00:56
★ 極限 / 数学苦手
lim[t→−∞](te^t−e^t) の解き方を教えてください
No.49662 - 2018/04/08(Sun) 23:15:03
☆ Re: 極限 / らすかる
f(x)=√x-logxとおくと
f'(x)=1/(2√x)-1/x=(√x-2)/(2x)
f(4)=√4-log4＞0であり
x＞4のときf'(x)＞0なので
x＞4のときf(x)＞0すなわち√x＞logx

log lim[t→+∞]t/e^t
=lim[t→+∞]log(t/e^t)
=lim[t→+∞](logt-loge^t)
=lim[t→+∞](logt-t)
≦lim[t→+∞](√t-t)
=lim[t→+∞]-(√t-1/2)^2+1/4
=-∞
∴lim[t→+∞]t/e^t=0
またlim[t→+∞]1/e^t=0なので
lim[t→-∞](te^t-e^t)
=lim[t→+∞]{(-t)e^(-t)-e^(-t)}
=-lim[t→+∞](t/e^t+1/e^t)
=0
No.49663 - 2018/04/08(Sun) 23:41:42
☆ Re: 極限 / 数学苦手
こんな夜遅くにありがとうございます。
助かりました！
No.49664 - 2018/04/08(Sun) 23:47:23
★ 関数 / 中学数学苦手
（３）が　解けません。解説よろしくお願いします。答え
ｙ＝６ｘ²　ｙ＝−１５ｘ＋２２５　
No.49660 - 2018/04/08(Sun) 19:00:26
☆ Re: 関数 / X
まず
(i)P,Qがそれぞれ点B,Cに到着するまでの間
について。
条件から
AP=5x[cm]
AQ=3x[cm]
ですので
AP:AQ=5:3 (A)
一方
AB:CA=25:15=5:3 (B)
(A)(B)と∠BAC=∠PAQにより
△ABC∽△APQ
よって
△APQは∠AQP=90°の直角三角形
ですので三平方の定理により
PQ=4x[cm]
よって
y=(1/2)×PQ×AQ=6x^2
問題はこのようになるxの値の範囲ですが
まずAPの長さについて
0≦5x≦AB=25 (C)
次にAQの長さについて
0≦3x≦CA=15 (D)
(C)(D)を連立して解いたときの解が
ここでのxの値の範囲になるのですが
(C)(D)はいずれも
0≦x≦5
(つまりP,Qは出発してから5秒後に
B,Cに同時に到着することが分かります。)

次にP,Qが出発してから5秒後の地点から
点P,Qが点Dに到着するまでの間、
つまり
(ii)5≦x≦30
の場合について。
点P,Qは線分CD上にあり、
BP=5x-AB=5x-25[cm]
CQ=3x-CA=3x-15[cm]
ですので
PQ=CQ+CP=CQ+(BC-BP)
=3x-15+20-(5x-25)
=-2x+30
よって
y=(1/2)×CA×PQ
=(1/2)×15×(-2x+30)
=15×(-x+15)
=-15x+225
となります。
No.49661 - 2018/04/08(Sun) 21:13:48
☆ Re: 関数 / 中学数学苦手
解説ありがとうございます。
No.49665 - 2018/04/09(Mon) 07:16:36
★ 開成高校。 / 蘭
いつもお世話になっております！


開成高校の有名な問題です！
よろしくお願いいたします！
No.49655 - 2018/04/08(Sun) 13:14:49
☆ Re: 開成高校。 / らすかる
直線BGとACの交点をMとするとMはACの中点であり、
AM=GM=CMですからGM=2cmです。
そしてGはBMを2：1に内分する点なので
BG=2BM=4cmとなります。
No.49656 - 2018/04/08(Sun) 14:15:06
☆ Re: 開成高校。 / 蘭
感謝感激雨嵐です。
いつも本当にありがとうございます！！！！

とてもパズル的要素が強いですね！
理解できました！


またよろしくお願いいたします！！



.
No.49658 - 2018/04/08(Sun) 17:08:21
★ 高校入試範囲です！ / 蘭
いつもお世話になっております。
今回もまたよろしくお願いいたします。


この問題の最後が分かりません！！
答えは、三角形CPRが3/2（二分の三）と三角形STQが9です。

三角形CPRは容易でしたが、三角形CPRは意味わかりません。

解き方を教えてください！！！
No.49651 - 2018/04/08(Sun) 09:54:45
☆ Re: 高校入試範囲です！ / らすかる
PT//SQなので△STQ=△SRQですね。
RS=(3/2)CSなので△SRQ=(3/2)△CSQです。
No.49652 - 2018/04/08(Sun) 10:04:18
☆ Re: 高校入試範囲です！ / 蘭
うわぁぁぁぁぁ……


めっちゃ簡単……

いつもすみません！
本当にありがとうございます！

またよろしくお願いいたします！

.
No.49654 - 2018/04/08(Sun) 13:13:54
★ お願いします / 数学苦手中学生
画像の問題3問です。
最初の問題で躓きました
よろしくお願いします
No.49648 - 2018/04/07(Sat) 21:44:03
☆ Re: お願いします / 元中三
(1)二次関数の傾きの公式と切片の公式から傾きは(1/2)×(-3+2)=-1/2切片は-(1/2)×(-3)×2=3
よってABの式はy＝(-1/2)x+3

(2)ABの切片を三角形の高さとみなすと3×5×(1/2)=15/2

(3)ABを底辺とみなしたとき高さが等しいので原点OをとおるABに平行な直線とACとの交点が点Pです。
No.49649 - 2018/04/07(Sat) 22:49:39
☆ Re: お願いします / 数学苦手中学生
ありがとうございます！助かりました！
No.49650 - 2018/04/07(Sat) 23:51:37
★ 平面図形 / 中学数学苦手
図形の証明が苦手です。解説よろしくお願いいたします。
No.49646 - 2018/04/07(Sat) 19:39:17
☆ Re: 平面図形 / らすかる
∠AFG=∠DCH=∠EAHなのでAC//FD
∠AEH=∠DBG=∠FAGなのでAB//ED
∴平行四辺形。
No.49647 - 2018/04/07(Sat) 20:33:42
☆ Re: 平面図形 / 中学数学苦手
解説ありがとうございます。
No.49659 - 2018/04/08(Sun) 18:55:32
★ よろしくお願いいたします / 高2
(1)についてです
連続する2つの整数を2n,2n＋1とおいてはダメなのでしょうか？
No.49640 - 2018/04/07(Sat) 16:18:14
☆ Re: よろしくお願いいたします / 元中三
nとn+1とおいてから、nが奇数と偶数の場合の両方を証明する必要があると思われます。

中学生までは
連続する2数のうちどちらか一方は偶数でもう一方は奇数であるから
で良かったんですがね。自明なことですし(笑)

あと間違っているかもしれないのであまり宛てにしないでください。
No.49643 - 2018/04/07(Sat) 16:35:28
☆ Re: よろしくお願いいたします / 元中三
簡単に言うと
連続する二つの整数は
奇数、偶数と偶数、奇数の二パターンあるよね、ということですね。
No.49644 - 2018/04/07(Sat) 16:38:21
★ 申し訳ありません / 高1
2x^2-（3y-7）x+（ｙ-2）（y-3）
＝{2ｘ-（y-3）}{ｘ-（ｙ-2）}


x^2-2xy+（y-z）（y+z）
＝{ｘ-（y-z）}{ｘ-（y+z）}

こういう問題のコツを教えてください。
お願いします。
No.49638 - 2018/04/07(Sat) 15:09:37
☆ Re: 申し訳ありません / 元中三
まず上の方です。下手くそな説明ですいません。
展開の逆を考えてみるとたすき掛けが出来るようになると思います！
ちなみに私はたすき掛けが嫌いなのでx以外に文字が含まれていないときは計算で求めております(笑)
No.49639 - 2018/04/07(Sat) 16:04:07
☆ Re: 申し訳ありません / 元中三
下の方です。
No.49641 - 2018/04/07(Sat) 16:25:17
☆ Re: 申し訳ありません / 元中三
画像の向きが悪く字も読みにくくて申し訳ありません(>_<)
No.49642 - 2018/04/07(Sat) 16:27:10
☆ Re: 申し訳ありません / 高1
感謝感激です!
素敵
ありがとうございます
No.49653 - 2018/04/08(Sun) 10:11:05
★ (No Subject) / 高1
連続で失礼します。

不等式で、３≧ｘ　　　３≦ｘ
の二つが答えになったときは、
ｘ＝３
にしてよいのですか？
No.49635 - 2018/04/07(Sat) 14:49:03
☆ Re: / 鶏
「３≧ｘ　　　３≦ｘの二つが答えである」という表現が「3≧xかつ3≦x」を表しているのか「3≧xまたは3≦x」を表しているのかで全く意味が違います。
前者の場合はおっしゃる通りx=3に他ありません。なので「x=3にしてよい」というよりはむしろ、x=3と答えないと減点される可能性があります。
後者の場合は「xは3以下でもいいし3以上でもいい」ということですから、「xは全ての実数」と答えます。
No.49645 - 2018/04/07(Sat) 16:44:52
★ (No Subject) / 高1
〈（ｘ−ｙ）＾２−ｚ＾２〉
を因数分解するとどうなりますか
教えてください。
No.49634 - 2018/04/07(Sat) 14:45:16
☆ Re: / 元中三
(x-y+z)(x-y-z)です。
下の方にも同じような投稿があったと思いますが。
No.49637 - 2018/04/07(Sat) 14:53:13
★ よろしくお願いします / 新高１です
(3)図は、したの図において、x＝2cmのとき、線分GI上にある点Pを、辺CD上にある点をQとし、点Ｅと点P、点Pと点Qをそれぞれ結んだ場合を表している。EP＋PQ＝l(エル)cmとする。l(エル)の値が最も小さくなる時、l(エル)の値を求めよ。

問題は、丸写しをしました。おかしな部分があれば教えてくださいm(｡>__<｡)m
(1)の答えは、(78＋√91)／4cm²となりました。
この答えは、あっているでしょうか？また、(2)と(3)の解き方を教えてください。
No.49626 - 2018/04/06(Fri) 20:15:58
☆ Re: よろしくお願いします / らすかる
(3)
条件からIQ⊥CD
EB=1(cm)
BI=10/3(cm)
IQ=4/3(cm)
IR=IQとなるように点RをID上にとれば
(lの最短距離)=(EP+PQの最短距離)=(EP+PRの最短距離)=(線分ERの長さ)
=√(EB^2+BR^2)=√{EB^2+(BI+IR)^2}=√{EB^2+(BI+IQ)^2}
=√205/3
No.49630 - 2018/04/06(Fri) 21:00:41
★ 続きがあります / 新高１です
問題 三角錐A-BCDがある。AB＝3cm、BC＝4cm、CD＝3cm、BD＝5cm、∠ABC＝∠ABD＝90°である。立体EFG-BHIは、点E、点F、点G、点H、点Iが、それぞれ辺AB、辺AC、辺AD、辺BC、辺BD上にある三角柱である。AE＝xとする。
(1)立体A-BCDの表面積を求めよ。
(2)立体A-EFGの体積をVcm3、立体FC-HCDIの体積をWcm3とする。V：W＝1：2のとき、xの値を求めよ。
No.49625 - 2018/04/06(Fri) 20:09:00
☆ Re: 続きがあります / らすかる
(1)
直角を挟む2辺が3cmと4cmの直角三角形が二つ
直角を挟む2辺が3cmと5cmの直角三角形が二つ
なので表面積は3×4+3×5=27(cm^2)

(2)
三角錐A-BCDの体積は(3×4÷2)×3×(1/3)=6(cm^3)なのでV=6×(x/3)^3=2x^3/9
「立体FC-HCDI」が
「立体FG-HCDI」の誤りならば
三角柱EFG-BHIの体積は2x^2/3・(3-x)=2(3-x)x^2/3(cm^3)
∴W=6-2x^3/9-2(3-x)x^2/3=2(2x^3-9x^2+27)/9
よってV：W=1：2のとき
2x^3/9：2(2x^3-9x^2+27)/9=1：2
x≧0に注意してこれを解いて x=√3

# 続きは「返信」を押して書きましょう。
No.49628 - 2018/04/06(Fri) 20:51:52
☆ Re: 続きがあります / 新高１です
フェルダリングに引っかかってしまい返信が大変遅くなり申し訳ありませんでした。
続きの書き方に頭が回らなかったこともすみません。
ご回答、本当にありがとうございました。
No.49684 - 2018/04/13(Fri) 21:44:02
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