ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 3乗根の連分数展開について / vow256

高校2年生で連分数について研究している者です。
3乗根√2を正則連分数に直す方法を教えていただきたいです。
答え自体はネットで調べるとすぐに出るのですが、途中計算が分かりません。
一応、フラクタル連分数での表記法には辿り着いている(はずな)ので、そこから直せるのであればその方法でも大丈夫です。
宜しくお願いします。

No.49916 - 2018/04/25(Wed) 20:00:52

☆ Re: 3乗根の連分数展開について / らすかる

素朴なやり方でよければ…

見やすくするため[3]√2をaと書き、b=5/4,c=9/7とします。
(5/4)^3=125/64＜2＜729/341=(9/7)^3からb＜a＜cです。

1＜b＜a＜c＜2 → [1]
1/(a-1)=a^2+a+1
3＜61/16=b^2+b+1＜a^2+a+1＜c^2+c+1=193/49＜4 → [3]
1/(a^2+a+1-3)=1/(a^2+a-2)=(3a^2+4a+2)/10＜(3c^2+4c+2)/10=593/490＜2 → [1]
1/{(3a^2+4a+2)/10-1}=10/(3a^2+4a-8)=(4a^2+5a+4)/3
5＜11/2=(4b^2+5b+4)/3＜(4a^2+5a+4)/3＜(4c^2+5c+4)/3=835/147＜6 → [5]
1/{(4a^2+5a+4)/3-5}=3/(4a^2+5a-11)=(23a^2+29a+27)/55
＜(23c^2+29c+27)/55=5013/2695＜2 → [1]
・・・
なので
1;3,1,5,1,…
となります。

No.49929 - 2018/04/25(Wed) 23:09:14

★ (No Subject) / 浪人生

(2)からお願いします！！

No.49914 - 2018/04/25(Wed) 16:34:32

☆ Re: / X

方針を。

(2)
f'(x)=x^2-4x+3
となるので、y=f(x)のグラフのlとの接点の座標を
(t,f(t))
とするとlの方程式は
y=(t^2-4t+3)(x-t)+f(t)
これが点(1,5/3)を通るので
5/3=(t^2-4t+3)(1-t)+f(t)
これをtの方程式として解きます。

(3)
(2)の過程から、A,Bのx座標について
f(x)=(t^2-4t+3)(x-t)+f(t)
(tは(2)で値を求めたtです。)
これをxの方程式として解いて、A,Bのx座標を
求めます。
ここからA,Bの座標が求められますので
線分ABの中点としてMの座標も求められます。
後は、積分範囲に注意してS[1],S[2]を求めます。
(必ずy=f(x),lのグラフを描きましょう。)

No.49915 - 2018/04/25(Wed) 18:40:41

★ 数列 / 年間200万

(2)の後半からお願いします。

No.49911 - 2018/04/24(Tue) 18:40:13

☆ Re: 数列 / 年間200万

> (2)の後半からお願いします。

No.49912 - 2018/04/24(Tue) 18:40:47

☆ Re: 数列 / X

(2)
後半)
前半の結果から
b[n]=(1/2)^(n-1)=1/2^(n-1)
∴1/b[n]=2^(n-1)
よって
S[n]=Σ[k=1～n]2^(k-1)=(1-2^n)/(1-2)=2^n-1

(3)
(等比数列の和の公式の導出過程を復習した上で
以下の方針をご覧下さい。)
T[n]=Σ[k=1～n]a[k]S[k]
と置くと、(1)(2)の結果により
T[n]=Σ[k=1～n](2k-3)(2^k-1) (A)
∴2T[n]=Σ[k=1～n](2k-3){2^(k+1)-2}
となるので
2T[n]=Σ[k=2～n+1](2k-5)(2^k-2) (B)
((∵)k+1を改めてkと置いた)
(A)-(B)より
-T[n]=-1-(2n-3){2^(n+1)-2}+Σ[k=2～n]{(2k-3)(2^k-1)-(2k-5)(2^k-2)}
これより
T[n]=1+(2n-3){2^(n+1)-2}-Σ[k=2～n]{2^(k+1)-3(2^k-1)+5(2^k-2)}
T[n]=1+(2n-3){2^(n+1)-2}-Σ[k=2～n]{8・2^(k-1)-7}
T[n]=1+(2n-3){2^(n+1)-2}+1-Σ[k=1～n]{8・2^(k-1)-7}
…

No.49913 - 2018/04/24(Tue) 19:03:22

★ 教えて下さい / 健児

高校入試問題ですが、答えも解き方もわかりません。どうか教えて下さい。

No.49908 - 2018/04/24(Tue) 09:59:28

☆ Re: 教えて下さい / ヨッシー

(1)
まずは、０≦－６ａ－１≦ａ＋１５を満たさないといけませんので、
　－２≦ａ≦－１　つまり、ａ＝－２またはａ＝－１に限られます。
ａ＝－２のとき
　11≦√x≦13
　該当する整数ｘは　121,122・・・169 の 49個
ａ＝－１のとき
　5≦√x≦14
　該当する整数ｘは　25,26・・・196　の172個
よって、ａ＝－２　・・・答え

(2)
１＜ｘ＜２より　１＜ｘ^2＜４　
ｘの整数部分は１であり、ｘ^2 の整数部分は２または３（１は不適）
　ｘ^2の整数部分が２のとき
　　ｘ^2－ｘ＝１
　これを解いて　ｘ＝(1±√5)/2
　このうち、１＜ｘ＜２　かつ　２＜ｘ^2＜３を満たすのは　ｘ＝(1＋√5)/2

　ｘ^2の整数部分が３のとき
　　ｘ^2－ｘ＝２
　これを解いて　ｘ＝－１，２　・・・不適

　以上より　ｘ＝(1＋√5)/2　・・・答え

No.49909 - 2018/04/24(Tue) 10:24:16

★ 中３　2次関数 / りゅう

いつもお世話になります。
（２）と（３）が分からないので教えてください。
すみませんが解答はございません。
よろしくお願い致します。

No.49906 - 2018/04/24(Tue) 09:06:33

☆ Re: 中３　2次関数 / らすかる

(2)
P(0,8)として
△OAP=8×2÷2=8
△ABP=4×6÷2=12
△OBP=4×8÷2=16
∴△OAB=△OAP+△ABP-△OBP=4
△OAC,△OADの底辺をOC,ODとすると
高さはAのy座標なので2
よって面積が4になるためには底辺の長さは4なので
OC=OD=4からC(-4,0),D(4,0)

(3)
△OAB=△OACなので
△ABC=四角形OABC-△OAC=四角形OABC-△OAB=△OBC=4×8÷2=16

No.49907 - 2018/04/24(Tue) 09:26:02

☆ Re: 中３　2次関数 / りゅう

今回も分かりやすく教えていただいて、どうもありがとうございました。
おかげでとても理解できました。
いつもありがとうございます。

No.49910 - 2018/04/24(Tue) 11:32:15

★ 指数対数 / sct

x^2-6x＋17=(x-3)^2＋8 より log(2)(x^2-6x＋17)は x=?@のとき最小値?Aをとる。

関数f(x)=｛log(2)(x^2-6x＋17)｝^2 - 2log(2)(x^2-6x＋17)＋5 において、a=log(2)(x^2-6x＋17) とおくとf(x)は

f(x)=(a-?B)^2＋?C と表される。

a≧?Dより、f(x)の最小値は?Eで、このとき x=?Fである。

お願いします！！

No.49902 - 2018/04/23(Mon) 22:48:33

☆ Re: 指数対数 / ヨッシー

次の問題は解けますか？解けるならもう一歩です。
1) ｙ＝ｘ^2－6x＋17 のとき、ｙの取りうる値の範囲は？
2) ｘ≧８のとき　log[2]ｘの取りうる値の範囲は？
3) ｘ≧３のとき　ｙ＝ｘ^2－２ｘ＋５　の取りうる値の範囲は？
それぞれ、最小値とその時のｘの値も合わせて答えよ。

No.49904 - 2018/04/24(Tue) 08:55:26

★ 場合の数 / 耐水性

A、Bの二人がじゃんけんをして、どちらかが3回先に勝ったところで止めるゲームを考える。引き分けはないものとすると、勝負の分かれ道は何通りあるか。

高校1年の数学です。解き方がわからず困っています。よろしくお願いします。

No.49897 - 2018/04/23(Mon) 20:20:07

☆ Re: 場合の数 / IT

「勝負の分かれ道」の意味が良く分かりませんが

勝負が決まりゲームが止まるまでの「じゃんけんの回数」は３回、４回、５回のうちいずれかですので、それぞれどんな場合があるかを考えれば良いのではないでしょうか？

No.49898 - 2018/04/23(Mon) 20:46:38

☆ Re: 場合の数 / 耐水性

よくよく考えてやってみたら、理解することができました。ありがとうございます！

No.49899 - 2018/04/23(Mon) 20:58:00

☆ Re: 場合の数 / IT

自力で出来たみたいですが書きかけていたので参考までに書き込みます。

Aが３回先に勝つ場合
３回で決着　AAAの１とおり。
４回で決着　***A ：*のうち2つはA,１つはBなので3C2=3とおり
５回で決着　****A ：*のうち2つはA,２つはBなので4C2とおり
これらを合計して２倍する。（Bが３回先に勝つ場合も同様なので）

No.49900 - 2018/04/23(Mon) 21:00:42

☆ Re: 場合の数 / らすかる

Aが勝つ場合を考え、4回以下で勝つときは残り5回目までを
Bが勝つことにすれば、5回中3回Aが勝つ場合の数なので5C3通り
∴5C3×2=20通り

No.49903 - 2018/04/23(Mon) 23:05:02

★ 数列 / 化学の新研究

(1)からお願いします。

No.49896 - 2018/04/23(Mon) 19:58:29

☆ Re: 数列 / X

S[n]=2a[n]+n-5 (A)
とします。

(1)
(A)においてn=1のとき
a[1]=2a[1]-4
∴a[1]=4

(2)
条件から
a[n+1]=S[n+1]-S[n]
∴(A)から
a[n+1]={2a[n+1]+n+1-5}-{2a[n]+n-5}
これより
a[n+1]=2a[n+1]-2a[n]+1
∴a[n+1]=2a[n]-1

(3)
(2)の結果から
a[n+1]-1=2(a[n]-1)
∴a[n]-1=(a[1]-1)・2^(n-1)
これに(1)の結果を代入して
a[n]=3・2^(n-1)+1 (B)
一方、条件から
T[n]=Σ[k=1～n]S[k]
これに(A)を代入すると
T[n]=Σ[k=1～n]{2a[n]+n-5}
=2S[n]+(1/2)n(n+1)-5n
=2{2a[n]+n-5}+(1/2)n(n+1)-5n
=4a[n]+(1/2)n(n+1)-4n-5
これに(B)を代入して
T[n]=4{3・2^(n-1)+1}+(1/2)n(n+1)-4n-5
=3・2^(n+1)+(1/2)n^2-(7/2)n-1

No.49901 - 2018/04/23(Mon) 21:04:28

★ (No Subject) / 高校二年

かっこの二番解説お願いします

No.49894 - 2018/04/23(Mon) 19:12:41

☆ Re: / ヨッシー

(1) で３つが異なる目の出方は、１２０通り（確率 5/9) と
出たと思いますが、このうち、例えば、
(1,2,3)(1,3,2)(2,1,3)(2,3,1)(3,1,2)(3,2,1) の６通りは、
出た目はすべて同じで、出る順が違う組です。
このうち、条件を満たすのは、(3,2,1) だけ（６つに１つ）ですので、
目の出方は 120÷６＝２０，確率は 5/54
となります。

No.49895 - 2018/04/23(Mon) 19:23:44

★ (No Subject) / 2

この関数を微分する方法を教えてください。

No.49885 - 2018/04/23(Mon) 01:06:46

☆ Re: / らすかる

{f(x)}^n の微分は n{f(x)}^(n-1)・f'(x) なので
{(tanx+1/tanx)^2}'=2(tanx+1/tanx)・{tanx+1/tanx}' です。
tanxの微分は1/(cosx)^2、1/tanxの微分は-1/(sinx)^2なので
{tanx+1/tanx}'=1/(cosx)^2-1/(sinx)^2 ですね。
あとは式を整理すれば終わりです。

先に変形して
tanx+1/tanx=sinx/cosx+cosx/sinx=1/(sinxcosx)=2/sin2x から
(tanx+1/tanx)^2=(2/sin2x)^2=4/(sin2x)^2 なので
{(tanx+1/tanx)^2}'={4/(sin2x)^2}'
=-16sin2xcos2x/(sin2x)^4
=-16cos2x/(sin2x)^3
のようにすることもできます。

No.49887 - 2018/04/23(Mon) 01:38:52

★ 指数法則 / あいうえお

指数法則 a^r✖a^s=a^(r+s)などはなぜa>0で定義されているのですか。(負の有理数の時は？)

No.49883 - 2018/04/22(Sun) 23:16:53

☆ Re: 指数法則 / らすかる

aが負だとr,sが整数でない時に不都合ですね。

No.49884 - 2018/04/22(Sun) 23:25:18

☆ Re: 指数法則 / あいうえお

> aが負だとr,sが整数でない時に不都合ですね。

なぜですか？

No.49890 - 2018/04/23(Mon) 07:57:16

☆ Re: 指数法則 / らすかる

例えば(-1)^(1/3)や(-1)^(2/3)は3価なので
3価のうちのどれを選ぶかによって
(-1)^(1/3)×(-1)^(2/3)の値は変わります。
(-1)^√2など指数が無理数だと無限価で、
さらに困ることになります。

No.49891 - 2018/04/23(Mon) 08:10:05

★ (No Subject) / わし

高校数学です

考え方教えてください。

No.49879 - 2018/04/22(Sun) 20:28:05

☆ Re: / IT

高校数学ではなくて大学数学ですね。
（現行高校数学では行列は習いませんし、過去にあったときも２次正方行列まででした。）

a[n]に掛けてある行列をA として、Aを対角化してA^p を考えるのですが、
選択式問題なので　
((1/2)^2)A^2,((1/2)^3)A^3,((1/2)^4)A^4 を計算すれば、推測できて,答えが選べると思います。

No.49882 - 2018/04/22(Sun) 22:20:36

★ 求め方 / moeirltalmp

求め方教えてください

No.49870 - 2018/04/22(Sun) 15:07:08

☆ Re: 求め方 / moeirltalmp

> 求め方教えてください

ちなみに答えは
1.80×10^2か3です

No.49873 - 2018/04/22(Sun) 15:51:18

☆ Re: 求め方 / X

有効数字が1,8,0ですので頭につく値は
1.80
後は1800をこれで割って
1000(=10^3)
ですので、求める値は
1.80×10^3
となります。

No.49880 - 2018/04/22(Sun) 20:47:53

★ 数と式 / ぴんく

途中式教えてください！！
x=3,y=-1です！！

No.49863 - 2018/04/22(Sun) 14:19:15

☆ Re: 数と式 / 高3

x＋y=2-?@
x－2y=5-?A
?@-?Aより、3y=－3 よってy=－1
?@より x=3

No.49866 - 2018/04/22(Sun) 14:33:54

☆ Re: 数と式 / ぴんく

> x＋y=2-?@
> x－2y=5-?A
> ?@-?Aより、3y=－3 よってy=－1
> ?@より x=3

ありがとうございます😭

No.49869 - 2018/04/22(Sun) 15:05:22

★ 数と式中学 / あわ

途中式教えてもらえますか？
x=4,y=3です。

No.49850 - 2018/04/22(Sun) 10:29:38

☆ Re: 数と式中学 / IT

１つめの式を６倍　3x+2y=18
２つめの式を２倍　4x-2y=10
二つの式を足すと　7x=28
これを７で割って　x=4
これを２つめの式に代入8-y=5
移項して　8-5=y

No.49852 - 2018/04/22(Sun) 12:41:54

★ 資料の活用 / れーぬ

途中式と答え教えてください。お願いします。

No.49849 - 2018/04/22(Sun) 10:25:21

☆ Re: 資料の活用 / IT

3
100円が表になる確率は1/2 このとき表が出た硬貨の金額の合計は60円以上。
100円が裏になる確率は1/2
このとき表が出た硬貨の金額の合計が60円以上になるのは、
50円、10円ともに表のときで確率は1/2×1/2

よって求める確率は1/2+(1/2)(1/2)(1/2)

4
１人も男子が含まれない確率は(3/6)(2/5)なので
求める確率は1-(3/6)(2/5)

組み合わせを使うなら
６人から２人を選ぶ組み合わせの数は6C2
女子３人から２人を選ぶ組み合わせの数は3C2

よって女子だけが選ばれる確率は(3C2)/(6C2)
求める確率は1-(3C2)/(6C2)

No.49854 - 2018/04/22(Sun) 13:08:14

☆ Re: 資料の活用 / れーぬ

> 3
> 100円が表になる確率は1/2 このとき表が出た硬貨の金額の合計は60円以上。
> 100円が裏になる確率は1/2
> このとき表が出た硬貨の金額の合計が60円以上になるのは、
> 50円、10円ともに表のときで確率は1/2×1/2
>
> よって求める確率は1/2+(1/2)(1/2)(1/2)
>
> 4
> １人も男子が含まれない確率は(3/6)(2/5)なので
> 求める確率は1-(3/6)(2/5)
>
> 組み合わせを使うなら
> ６人から２人を選ぶ組み合わせの数は6C2
> 女子３人から２人を選ぶ組み合わせの数は3C2
>
> よって女子だけが選ばれる確率は(3C2)/(6C2)
> 求める確率は1-(3C2)/(6C2)

ありがとうございます

ちなみに

2番も教えていただけませんか？？

No.49872 - 2018/04/22(Sun) 15:13:17

★ 図形中学2年 / れーぬ

⑴96°
⑵xは77°、yは27°
です。
途中式教えてください。

No.49848 - 2018/04/22(Sun) 10:21:39

☆ Re: 図形中学2年 / 高3

見ずらい所があったら言ってください。

No.49862 - 2018/04/22(Sun) 13:58:30

☆ Re: 図形中学2年 / れーぬ

> 見ずらい所があったら言ってください。

わざわざありがとうございます

No.49871 - 2018/04/22(Sun) 15:09:43

★ 関数二年生 / のの

2点（-4,5）,（2,2）を通る直線。
回答はy=-（1/2）x+3です。
途中式教えてください

No.49847 - 2018/04/22(Sun) 10:15:06

☆ Re: 関数二年生 / IT

求める直線の式をy=ax+b とおく
（-4,5）を通るので　5=-4a+b…?@
（2,2）を通るので　2=2a+b…?A
?@-?A　3=-6a よってa=-1/2
?Aに代入　2=-1+b よってb=3

No.49853 - 2018/04/22(Sun) 12:52:20