ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 整式の割り算 / 質問者

10番の問題です。
答えはa＝7,b=13,c=6なのですが、どうしてもc=-6になってしまいます。
解説お願いします

No.49702 - 2018/04/14(Sat) 18:54:39

☆ Re: 整式の割り算 / ＩＴ

ご自身の答案を書き込まれると、どこで間違えたか指摘でき有効な回答がしやすいと思います。

No.49703 - 2018/04/14(Sat) 19:04:39

☆ Re: 整式の割り算 / ＩＴ

P(x)={(x+1)^2}Q(x) なので　(「因数定理より」としてもいいです。）,P(-1)=0=-a+b-c　ですから、

他の条件などからa=7,b=13 が正しく求められたのなら、c=6 となるはずです。

No.49704 - 2018/04/14(Sat) 19:42:33

☆ Re: 整式の割り算 / Kenji

横から失礼します。
実際に割り算してしまう手もあります。

P(x)をx^2+2x+1で割り算して
　P(x)=(x+1)^2(x^2-x-a+1)+(2a-b-1)x+(a-c-1)
とする計算はさほど難しくありません。
この割り算が割り切れることから
　P(x)=(x+1)^2(x^2-x-a+1)
　P(3)=16(7-a)
と分かりますから因数定理によってa=7となり、
　P(x)=(x+1)^2(x^2-x-6)=x^4+x^3-7x^2-13x-6
　∴a=7,b=13,c=6
と分かります。
逆にこのとき
　P(x)=x^4+x^3-7x^2-13x-6=(x+1)^2(x^2-x-6)=(x-3)(x^3+4x^2+5x+2)）
と題意を満たすことから
　a=7,b=13,c=6
が求める答となります。

No.49710 - 2018/04/14(Sat) 23:27:41

★ (No Subject) / p

a,bは整数
（16+b):(22+a）=2:3, （16+a）:(22+b）=1:1のときのaは？
上記問題の算数的解法の詳説をお願いします。

No.49695 - 2018/04/14(Sat) 04:07:59

☆ Re: / らすかる

比の値の合計を合わせると
(16+b)：(22+a)=2：3=4：6
(16+a)：(22+b)=1：1=5：5
となりますので、全体を10としたとき16+aは5、22+aは6にあたります。
よってその差6が1にあたりますので
16+aが5にあたることから6×5=30、よってa=30-16=14です。

No.49696 - 2018/04/14(Sat) 05:35:34

☆ Re: / p

ありがとうございました。

No.49697 - 2018/04/14(Sat) 12:46:25

☆ Re: / p

すみません。らすかるさんの解法で納得したのですが、模範解答が分かりません。

(16+a):(22+b)=1:1から、aとbの差が、22-16=6となる。したがって、(16+b):(22+a)=2:3で、2と3の差が、22-16+6=12だから、a
は、12x3/(3-1)-22=14となる。

上記のように模範解答はなっています。全般的に分かりませんが、とくに最後の計算式の意味が分かりません。

No.49720 - 2018/04/15(Sun) 02:26:01

☆ Re: / p

訂正: 最後の計算式は、12x3/(3-2)-22=14でした。

No.49721 - 2018/04/15(Sun) 02:38:40

☆ Re: / らすかる

(16+a)：(22+b)=1：1から16+a=22+bなのでa-b=22-16=6
a-b=6からb=a-6なので16+b=16+(a-6)=10+a
(22+a)-(10+a)=12これが比の2と3の差だから
比の値が3である22+aはこれの3倍で12×(3/(3-2))=36
よって22+a=36なのでa=14

のように計算していますね。

No.49722 - 2018/04/15(Sun) 02:45:45

☆ Re: / p

>比の値が3である22+aはこれの3倍で12×(3/(3-2))=36

上記で、3倍とあるのに、(3-2)で割る理由が分かりません。

No.49723 - 2018/04/15(Sun) 05:10:45

☆ Re: / らすかる

例えば2と3でなく5と8だったら
比の5と8の差が3であり、
その比の差3に相当するものが12だとしたら
比の8に相当するものは12×(8/(8-5))になりますよね。

それと同じで、12が2と3の差に相当して
3の分を求めるので12×(3/(3-2))となりますね。
2と3の差が1だから明らかに3倍なので12×3としても
特に問題ないですが、比が何であっても通用する
式の形で書いているということです。

確かに「3倍」と書いてしまった場合は12×3の方が自然ですね。
模範解答に合わせるためには「3/(3-2)倍」と書くべきでした。

No.49725 - 2018/04/15(Sun) 12:44:25

☆ Re: / p

詳しい説明、ありがとうございます。よく分かりました。

No.49739 - 2018/04/16(Mon) 01:14:26

★ 中３　2次方程式 / りゅう

お久しぶりです。
いつもありがとうございます。
下記の問題を教えていただけますでしょうか？

ｐ＞０とする。
ｘの２次方程式x^2-6x-p+8=0の2つの解をa,b（ａ＜ｂ）とし、ａ＜ｍ＜ｂを満たす整数ｍの個数をＮとする。

（１）ｐ＝１のとき、Ｎの個数を求めよ

（２）Ｎ＝５となるような正の整数ｐの値を全て求めよ

どうぞよろしくお願い致します。

No.49691 - 2018/04/14(Sat) 00:28:16

☆ Re: 中３　2次方程式 / らすかる

(1)
「Nの個数」は意味不明ですので
「Nの個数を求めよ」は
「Nを求めよ」の誤りと判断します。
p=1のときx^2-6x-p+8=x^2-6x+7=0からx=3±√2
1＜3-√2＜2, 4＜3+√2＜5なので
3-√2＜m＜3+√2を満たす整数mは2,3,4の3個
よってN=3

(2)
pの値にかかわらず軸はx=3ですから、N=5になるということは
条件を満たすmが1,2,3,4,5の5個ということになります。
y=x^2-6x-p+8はx=3に関して対称なので
小さい方の解aが0≦a＜1を満たせば十分で、
これを満たすためにはf(x)=x^2-6x-p+8とおいたときに
f(0)≧0かつf(1)＜0になるということですから
-p+8≧0かつ-5-p+8＜0から3＜p≦8となります。
よってN=5となるpの値は4,5,6,7,8です。

No.49693 - 2018/04/14(Sat) 00:57:30

☆ Re: 中３　2次方程式 / りゅう

とても丁寧に説明していただいて、どうもありがとうございました。
（１）はとてもよく分かりましたが、
（２）のところで、
＞pの値にかかわらず軸はx=3ですから、
という部分が分からなかったので、教えていただけますでしょうか？

No.49698 - 2018/04/14(Sat) 13:45:15

☆ Re: 中３　2次方程式 / らすかる

x^2-6x-p+8=(x-3)^2-p-1なので軸はx=3であり、
pが変わっても軸の位置はx=3のまま変わりません。

No.49699 - 2018/04/14(Sat) 13:50:40

☆ Re: 中３　2次方程式 / りゅう

なるほど！分かりました。
二次関数のグラフをイメージするのですね。

申し訳ございませんが、
＞小さい方の解aが0≦a＜1を満たせば十分で、
これを満たすためにはf(x)=x^2-6x-p+8とおいたときに
f(0)≧0かつf(1)＜0になるということですから・・

というところが分からなかったので、教えていただけますでしょうか？
物分かりが悪くて申し訳ございません。

No.49700 - 2018/04/14(Sat) 14:08:10

☆ Re: 中３　2次方程式 / らすかる

条件を満たすmが1,2,3,4,5になるということは
0≦a＜1 かつ 5＜b≦6 を満たすということですが、
グラフがx=3に関して対称であることから
「0≦a＜1」⇔「5＜b≦6」が成り立ちますので、
「0≦a＜1」の方だけ考えれば十分です。

# もちろん、5＜b≦6の方だけを考えてもOKですが、
# 値が大きくなると計算が面倒になります。

グラフは下に凸の二次関数ですから、
「小さい方の解が0以上1未満」ということは
グラフが「＼」の方向にx軸を横切る位置が0以上1未満ということであり、
「＼」の方向に0以上1未満の位置を横切るということは
（軸はx=3ですから）x=0のとき0または正、x=1のとき負
ということになります。

# よくわからなければグラフを描いてみて下さい。

「x=0のとき0または正」を式で表すとf(0)≧0、
「x=1のとき負」を式で表すとf(1)＜0となります。

No.49701 - 2018/04/14(Sat) 16:24:01

☆ Re: 中３　2次方程式 / りゅう

ありがとうございました！

＞「0≦a＜1」⇔「5＜b≦6」が成り立ちますので、
＞「0≦a＜1」の方だけ考えれば十分です。

の説明を聞いて理解することができました。
最後まで丁寧に教えていただいて本当にありがとうございました。

No.49705 - 2018/04/14(Sat) 20:09:31

★ 微分 / ぴー

数?U・Bの勉強をしている者です。
微分のことについての質問です。

f(x)=x^3-3ax^2+3(2a^2-4a+3)xとする
(1)
三次関数 f(x) が極大値・極小値を持つ時、実数aの範囲を求めよ。
(2)
f(x)の極大値・極小値の和をaの式で表してg(a) とした時のg(a) の式を求めよ。また、g(a)の最小値の時のaの値とg(a)の値を求めよ

f(x)の最後の 2a^2-4a+3 を因数分解をしようとしたのですがうまくできませんでした。
解き方等教えてください！

No.49685 - 2018/04/13(Fri) 21:51:00

☆ Re: 微分 / らすかる

2a^2-4a+3を因数分解する必要はありません。

f(x)=x^3-3ax^2+3(2a^2-4a+3)x
f ’(x)=3x^2-6ax+3(2a^2-4a+3)
f(x)が極大値と極小値を持つためには
f ’(x)=0が異なる2解を持てばよいので
f ’(x)の判別式＞0
D/4=(-3a)^2-3(3(2a^2-4a+3))=-9(a-1)(a-3)＞0 から
1＜a＜3

(極大値と極小値の和)=(点対称の中心のf(x)の値)×2
f ’(x)=0の2解の和は解と係数の関係から2aなので
点対称の中心はx=aである点
よって
g(a)=(極大値と極小値の和)=2f(a)=2(2a-3)^2
これが最小になるのはa=3/2のときでg(a)=0

No.49688 - 2018/04/13(Fri) 22:16:27

★ 図形と方程式 / 東大夢見る浪人生

(2)の後半からお願いします。

No.49682 - 2018/04/13(Fri) 20:50:11

☆ Re: 図形と方程式 / らすかる

△ABCは
4頂点が(0,0),(5,0),(5,6),(0,6)である長方形から
3頂点が(0,0),(3,0),(0,1)である直角三角形と
3頂点が(3,0),(5,0),(5,6)である直角三角形と
3頂点が(5,6),(0,6),(0,1)である直角三角形を除いたものなので
△ABC=5×6-3×1÷2-6×2÷2-5×5÷2=10

AB：BE=2：1となるように直線AB上に点EをとるとE(9/2,-1/2)
この点を通り直線BCに平行な直線はy=3x-14
点Dの座標はこの直線と円Kとの交点なので(5,1)と(6,4)

No.49683 - 2018/04/13(Fri) 21:35:07

☆ Re: 図形と方程式 / 東大夢見る浪人生

なぜ、AB:BE=2:1に点を取るんですか？

No.49686 - 2018/04/13(Fri) 21:55:48

☆ Re: 図形と方程式 / らすかる

AB：BE=2：1ならば
(Aから直線BCまでの距離)：(Eから直線BCまでの距離)=2：1ですね。
Eを通り直線BCに平行な直線の上にDがあれば
(Dから直線BCまでの距離)=(Eから直線BCまでの距離)
つまり
(Aから直線BCまでの距離)：(Dから直線BCまでの距離)=2：1となり、
Dがどこにあっても必ず△ABC：△BCD=2：1となります。

No.49687 - 2018/04/13(Fri) 22:02:33

★ (No Subject) / Sh

筑波大学H29年度編入試験の問題です。(2),(3)がわかりません。
まず数列の極限から求めたいのですが、数列は a_k = (n-k+1) / k! と表せましたが、この先が不明です。

No.49675 - 2018/04/12(Thu) 15:46:03

☆ Re: / IT

(2)　lim(1/n)( ) の（　　）の部分は
＝1/1! +(1/1!+1/2!)+(1/1!+1/2!+1/3!)+ ...+(1/1!+1/2!+1/3!+...+1/n!) となります。
ここで(1)と(A) を使えば、極限が求められます。

※　加算方法を変える技法を使っています。

No.49677 - 2018/04/12(Thu) 20:10:24

☆ Re: / IT

(3) ε－Ｎ方式で数列の極限を求める典型問題だと思います。

lim[n→∞]a[n]=αより,
任意のε＞0に対して,
自然数mがあって　k＞mならば　|a[k]-α|＜ε/2となる。

このとき b=max{|a[i]||i=1,2,...,m} とおくと
n＞mについて
　|{(a[1]+a[2]+...+a[m]+a[m+1]+...+a[n])/n}-α|…?@
　≦{b+|α|+...+b+|α|+|a[m+1]-α|+...+|a[n]-α|}/n
　≦{m(b+|α|) +(n-m)(ε/2)}/n
　≦(m/n)(b+|α|) +ε/2
　さらに、n＞2m(b+|α|)/εならば、(m/n)(b+|α|)＜ε/2 なので　?@＜ε　となる。

以上で（A)が示せた。

計算ミス、記入ミスなどがあるかも知れませんので確認してください。
要は、前部と後部に分けて評価します。
前部＝G/n とおいてもいいです。
またa[i]-α　を考えると０に収束する場合を考えればいいです。

No.49678 - 2018/04/12(Thu) 20:48:40

★ (No Subject) / 元中三

M=a^3+b^3=c^3+d^3(a≠b≠c≠d)と表される自然数はどのようにして導くのですか？(a,b,c,dは自然数)
またMの最小が1729である証明はありますか？
どうでもいい質問ですいません！

No.49670 - 2018/04/11(Wed) 18:43:06

☆ Re: / らすかる

一般解を計算で導出することはできないような気がします。
最小が1729である証明は↓こちらをご覧下さい。
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/kakomon/2009/09h101.htm

# 余談ですが、a≠b≠c≠dというのは
# a≠b かつ b≠c かつ c≠d
# という意味に解釈されますので、
# a=2,b=3,c=2,d=3 などはあてはまってしまいます。
# この問題に限れば、a≠c≠bと書くのがよいと思います。

No.49671 - 2018/04/11(Wed) 18:58:42

☆ Re: / 元中三

回答ありがとうございます！そしてご指摘ありがとうございます。サイトを参考にさせていただきます

No.49706 - 2018/04/14(Sat) 20:19:14

★ 不定方程式 / 田中

しばらくぶりに投稿します。
Ｘ，Ｙ，Ｚは、０以上の整数とします。（０も含む）

Ｘ＋２Ｙ＋３Ｚ＝５０

を満たす、（Ｘ，Ｙ，Ｚ）の解はいくつあるでしょう。

たとえば、（５０，０，０）　　（４８，１，０）などです。答えは、２３４だと思います。力でといてみました。エレガントな解答の方法はあるでしょうか。

No.49666 - 2018/04/10(Tue) 10:42:23

☆ Re: 不定方程式 / ヨッシー

２Ｙは偶数なので、Ｘ＋３Ｚが０以上５０以下の偶数であれば、Ｙは自動的に１つ決まります。
＜Ｚが偶数のとき＞
Ｚ＝０のとき　Ｘ＝0, 2, 4,・・・50　の26通り
Ｚ＝２のとき　Ｘ＝0, 2, 4,・・・44　の23通り
　・・・
Ｚ＝16のとき　Ｘ＝0, 2 の2通り
　2＋5＋8＋・・・＋23＋26＝(2＋26)×9÷2＝126

＜Ｚが奇数のとき＞
Ｚ＝１　のとき　Ｘ＝1, 3, 5,・・・47　の24通り
Ｚ＝３　のとき　Ｘ＝1, 3, 5,・・・41　の21通り
　・・・
Ｚ＝15　のとき　Ｘ＝1, 3, 5　の３通り
　3＋6＋9＋・・・＋21＋24＝(3＋24)×8÷2＝108
合わせて　126＋108＝234(通り)

No.49667 - 2018/04/10(Tue) 11:40:14

☆ Re: 不定方程式 / 田中

ありがとうございました。やはり、このくらいの場合分けで整理して解くのですね。２Ｙが偶数であるところに注目するのが良いのですね。理路整然と解かれてていて、感激しました。

No.49668 - 2018/04/10(Tue) 12:15:16

☆ Re: 不定方程式 / らすかる

a=X+Y+Z+3, b=Y+Z+2, c=Z+1 とおくと
a+b+c=56, a＞b＞c＞0 の解を求める問題になります。
自然数a,b,cの大小関係を考慮しないとき 55C2=1485通り
a=bであるものはa=b=1～27の27通り、b=c、c=aも同じ
よって求める場合の数は (1485-27×3)÷6=234通り

No.49669 - 2018/04/11(Wed) 02:00:56

★ 極限 / 数学苦手

lim[t→－∞](te^t－e^t) の解き方を教えてください

No.49662 - 2018/04/08(Sun) 23:15:03

☆ Re: 極限 / らすかる

f(x)=√x-logxとおくと
f'(x)=1/(2√x)-1/x=(√x-2)/(2x)
f(4)=√4-log4＞0であり
x＞4のときf'(x)＞0なので
x＞4のときf(x)＞0すなわち√x＞logx

log lim[t→+∞]t/e^t
=lim[t→+∞]log(t/e^t)
=lim[t→+∞](logt-loge^t)
=lim[t→+∞](logt-t)
≦lim[t→+∞](√t-t)
=lim[t→+∞]-(√t-1/2)^2+1/4
=-∞
∴lim[t→+∞]t/e^t=0
またlim[t→+∞]1/e^t=0なので
lim[t→-∞](te^t-e^t)
=lim[t→+∞]{(-t)e^(-t)-e^(-t)}
=-lim[t→+∞](t/e^t+1/e^t)
=0

No.49663 - 2018/04/08(Sun) 23:41:42

☆ Re: 極限 / 数学苦手

こんな夜遅くにありがとうございます。
助かりました！

No.49664 - 2018/04/08(Sun) 23:47:23

★ 関数 / 中学数学苦手

（３）が　解けません。解説よろしくお願いします。答え
ｙ＝６ｘ²　ｙ＝－１５ｘ＋２２５　

No.49660 - 2018/04/08(Sun) 19:00:26

☆ Re: 関数 / X

まず
(i)P,Qがそれぞれ点B,Cに到着するまでの間
について。
条件から
AP=5x[cm]
AQ=3x[cm]
ですので
AP:AQ=5:3 (A)
一方
AB:CA=25:15=5:3 (B)
(A)(B)と∠BAC=∠PAQにより
△ABC∽△APQ
よって
△APQは∠AQP=90°の直角三角形
ですので三平方の定理により
PQ=4x[cm]
よって
y=(1/2)×PQ×AQ=6x^2
問題はこのようになるxの値の範囲ですが
まずAPの長さについて
0≦5x≦AB=25 (C)
次にAQの長さについて
0≦3x≦CA=15 (D)
(C)(D)を連立して解いたときの解が
ここでのxの値の範囲になるのですが
(C)(D)はいずれも
0≦x≦5
(つまりP,Qは出発してから5秒後に
B,Cに同時に到着することが分かります。)

次にP,Qが出発してから5秒後の地点から
点P,Qが点Dに到着するまでの間、
つまり
(ii)5≦x≦30
の場合について。
点P,Qは線分CD上にあり、
BP=5x-AB=5x-25[cm]
CQ=3x-CA=3x-15[cm]
ですので
PQ=CQ+CP=CQ+(BC-BP)
=3x-15+20-(5x-25)
=-2x+30
よって
y=(1/2)×CA×PQ
=(1/2)×15×(-2x+30)
=15×(-x+15)
=-15x+225
となります。

No.49661 - 2018/04/08(Sun) 21:13:48

☆ Re: 関数 / 中学数学苦手

解説ありがとうございます。

No.49665 - 2018/04/09(Mon) 07:16:36