aを実数とし，xの4次関数
f(x)=x^4+4/3x^3-2x^2-4ax
[xの4乗+3分の4x3乗-2x2乗-4ax です。]
がx=α，β，γ（α＜β＜γ）で極値をとるとする。
?@aの取り得る値の範囲を求めよ。
?Af(x)を1/4ｆ’(ｘ）で割ったときの余りをR(x)とする。
R(x)を求めよ。
?B座標平面において曲線y=R(x)は3点A(α，ｆ(α））
B（β，ｆ(β），C（γ，ｆ(γ））を通ることを示せ。
?Cy=f(x)のグラフと曲線y=R(x)との共有点が?BのA,B,C以外に存在しないようなaの値を求めよ。
お手数をかけますが宜しくお願い致します。
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No.49609 - 2018/04/06(Fri) 13:00:16
| ☆ Re: 春休みの宿題プリントからです / X | | | 回答の前に一言。
次回からはこの掲示板の上の方の四角の囲みの中にある
数式の見なされ方を参照してから、数式をアップ
しましょう。
(1)
条件から
f'(x)=4x^3+4x^2-4x-4a (A)
f"(x)=12x^2+8x-4
=4(3x-1)(x+1) (B)
ここで題意を満たすためには
xの方程式
f'(x)=0
が異なる三つの実数解を持たなければならない
ので
f'(x)の極大値、極小値が互いに0でない異符号の値
でなければなりません。
∴f'(1/3)f'(-1)＜0
これをaの不等式として解きます。
(2)
(A)より
(1/4)f'(x)=x^3+x^2-x-a
これでf(x)を実際に割る割り算を実行しましょう。
(3)
これは(2)の結果を使わなくても解けます。
方針だけ。
f(x)を(1/4)f'(x)で割った商をQ(x)とすると
条件から
f(x)=(1/4)f'(x)Q(x)+R(x) (C)
(C)にx=α、β、γを代入し
f'(α)=f'(β)=f'(γ)=0
であることを使います。
(4)
問題の共有点のx座標について
f(x)=R(x)
∴(C)より
f'(x)Q(x)=0
よって題意を満たすためにはxの方程式
Q(x)=0
が実数解を持たないようにしなければなりません。
(2)の過程でQ(x)は具体的に求められていますので
そこからQ(x)の係数、定数項が満たすべきaの方程式
を導いて解き、(1)の結果を満たすものを求めます。
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No.49616 - 2018/04/06(Fri) 16:45:26 |
| ☆ Re: 春休みの宿題プリントからです / 高橋鉄平  | | | 先生が与えてくださったヒントをもとに解いてみました。
(1)は-5/27＜a＜1
(2)はR(x)=-4/3x^2-(3a-1/3)x+1/3a
(3)はf(α)=R(α),f(β)=R(β),ｆ(γ)=R(γ）だからかなと思うのですが(4）が今いち分かりません。
申し訳ありません。
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No.49633 - 2018/04/07(Sat) 13:21:14 |
| ☆ Re: 春休みの宿題プリントからです / X | | | (1)
正解です。
(2)
>>R(x)=-4/3x^2-(3a-1/3)x+1/3a
が
R(x)=-(4/3)x^2-(3a-1/3)x+(1/3)a
の意味であるなら正解です。
(No.49616で書いたように括弧はきちんとつけましょう。)
(3)
>>(3)はf(α)=R(α),f(β)=R(β),ｆ(γ)=R(γ）だからかなと思うのですが
それで問題ありません。
(4)
ごめんなさい。Q(x)にaが混じらない場合を
考えていませんでした。
この問題はその場合ですね。
問題の共有点のx座標について
f(x)=R(x)
∴(2)の過程から
(x+1/3)・(1/4)f'(x)+R(x)=R(x)
(つまりQ(x)=x+1/3ということです。)
これより
(x+1/3)f'(x)=0
∴x=-1/3又はf'(x)=0
よって題意を満たすためには
x=-1/3がf'(x)=0の解の一つ
でなければならないので
f'(-1/3)=0
でなければならないので
-4/27+4/9+4/3-4a=0
これを解いて
a=11/27
となります。
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No.49657 - 2018/04/08(Sun) 16:00:16 |
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