ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / 高1

連続で失礼します。

不等式で、３≧ｘ　　　３≦ｘ
の二つが答えになったときは、
ｘ＝３
にしてよいのですか？

No.49635 - 2018/04/07(Sat) 14:49:03

☆ Re: / 鶏

「３≧ｘ　　　３≦ｘの二つが答えである」という表現が「3≧xかつ3≦x」を表しているのか「3≧xまたは3≦x」を表しているのかで全く意味が違います。
前者の場合はおっしゃる通りx=3に他ありません。なので「x=3にしてよい」というよりはむしろ、x=3と答えないと減点される可能性があります。
後者の場合は「xは3以下でもいいし3以上でもいい」ということですから、「xは全ての実数」と答えます。

No.49645 - 2018/04/07(Sat) 16:44:52

★ よろしくお願いします / 新高１です

(3)図は、したの図において、x＝2cmのとき、線分GI上にある点Pを、辺CD上にある点をQとし、点Ｅと点P、点Pと点Qをそれぞれ結んだ場合を表している。EP＋PQ＝l(エル)cmとする。l(エル)の値が最も小さくなる時、l(エル)の値を求めよ。

問題は、丸写しをしました。おかしな部分があれば教えてくださいm(｡>__<｡)m
(1)の答えは、(78＋√91)／4cm²となりました。
この答えは、あっているでしょうか？また、(2)と(3)の解き方を教えてください。

No.49626 - 2018/04/06(Fri) 20:15:58

☆ Re: よろしくお願いします / らすかる

(3)
条件からIQ⊥CD
EB=1(cm)
BI=10/3(cm)
IQ=4/3(cm)
IR=IQとなるように点RをID上にとれば
(lの最短距離)=(EP+PQの最短距離)=(EP+PRの最短距離)=(線分ERの長さ)
=√(EB^2+BR^2)=√{EB^2+(BI+IR)^2}=√{EB^2+(BI+IQ)^2}
=√205/3

No.49630 - 2018/04/06(Fri) 21:00:41

★ 続きがあります / 新高１です

問題三角錐A-BCDがある。AB＝3cm、BC＝4cm、CD＝3cm、BD＝5cm、∠ABC＝∠ABD＝90°である。立体EFG-BHIは、点E、点F、点G、点H、点Iが、それぞれ辺AB、辺AC、辺AD、辺BC、辺BD上にある三角柱である。AE＝xとする。
(1)立体A-BCDの表面積を求めよ。
(2)立体A-EFGの体積をVcm3、立体FC-HCDIの体積をWcm3とする。V：W＝1：2のとき、xの値を求めよ。

No.49625 - 2018/04/06(Fri) 20:09:00

☆ Re: 続きがあります / らすかる

(1)
直角を挟む2辺が3cmと4cmの直角三角形が二つ
直角を挟む2辺が3cmと5cmの直角三角形が二つ
なので表面積は3×4+3×5=27(cm^2)

(2)
三角錐A-BCDの体積は(3×4÷2)×3×(1/3)=6(cm^3)なのでV=6×(x/3)^3=2x^3/9
「立体FC-HCDI」が
「立体FG-HCDI」の誤りならば
三角柱EFG-BHIの体積は2x^2/3・(3-x)=2(3-x)x^2/3(cm^3)
∴W=6-2x^3/9-2(3-x)x^2/3=2(2x^3-9x^2+27)/9
よってV：W=1：2のとき
2x^3/9：2(2x^3-9x^2+27)/9=1：2
x≧0に注意してこれを解いて x=√3

# 続きは「返信」を押して書きましょう。

No.49628 - 2018/04/06(Fri) 20:51:52

☆ Re: 続きがあります / 新高１です

フェルダリングに引っかかってしまい返信が大変遅くなり申し訳ありませんでした。
続きの書き方に頭が回らなかったこともすみません。
ご回答、本当にありがとうございました。

No.49684 - 2018/04/13(Fri) 21:44:02

★ (No Subject) / 高1

2x^2＋(7－3y)x＋(y－2)(y－3)
が(x－y＋2)(2x－y＋3)になるのは何故か教えてください。

何個もすいません

No.49621 - 2018/04/06(Fri) 18:23:19

☆ Re: / X

問題の式をxの二次式と見てたすき掛けをします。

No.49623 - 2018/04/06(Fri) 19:13:18

☆ Re: / こういち

二次式にする方法、式がわからないです
方程式でないと出来ないのでは？と思ってしまいます

No.49631 - 2018/04/06(Fri) 22:40:43

☆ Re: / X

教科書、参考書で因数分解の項目で
たすき掛けの解説のところを復習しましょう。

No.49632 - 2018/04/06(Fri) 23:45:47

☆ Re: / 元中三

xに着目すると既に二次式ですよ。
展開の逆を考えるとたすき掛けの理解は容易だとおもいます。

No.49636 - 2018/04/07(Sat) 14:51:09

★ (No Subject) / カップめん

Wを0以上の実数、A,Bを実数とする。
このとき
W>=A+B、W>=-A+B、W>=A-B、W>=-A-B
ならば
W>=|A|+|B|
だとおもうのですが証明はどうすればよいですか？
具体的な数字だと成立します。

No.49619 - 2018/04/06(Fri) 18:01:40

☆ Re: / らすかる

A≧0かつB≧0のとき|A|+|B|=A+BなのでW≧A+B=|A|+|B|
A≧0かつB＜0のとき|A|+|B|=A-BなのでW≧A-B=|A|+|B|
A＜0かつB≧0のとき|A|+|B|=-A+BなのでW≧-A+B=|A|+|B|
A＜0かつB＜0のとき|A|+|B|=-A-BなのでW≧-A-B=|A|+|B|

No.49622 - 2018/04/06(Fri) 18:55:25

☆ Re: / カップめん

ありがとうございます。
自分で勝手に難しく考えすぎてしまっていました。

No.49624 - 2018/04/06(Fri) 19:26:27

★ (No Subject) / こういち

(x-y)^2-z^2
の因数分解の方法を教えてください

No.49612 - 2018/04/06(Fri) 15:53:51

☆ Re: / X

公式
a^2-b^2=(a-b)(a+b)
を適用することを考えましょう。

No.49613 - 2018/04/06(Fri) 16:16:40

☆ Re: / 高1

今、答えをみたのですが
（x-y）（x+y）－ｚ＾２が
（x-y-ｚ）（x+y-ｚ）
になるのは何故ですか?

No.49617 - 2018/04/06(Fri) 17:29:29

☆ Re: / X

そのようにはなりません。
(x-y)(x+y)-z^2=x^2-y^2-z^2
(x-y-z)(x+y-z)={(x-z)-y}{(x-z)+y}
=(x-z)^2-y^2
=x^2-y^2+z^2-2zx
ですので
(x-y)(x+y)-z^2≠(x-y-z)(x+y-z)
です。
(アップした内容にタイプミスはありませんか？)

No.49618 - 2018/04/06(Fri) 17:36:00

☆ Re: / 高1

（x-y）（x+y）－ｚ＾２は自分で解きました。

No.49620 - 2018/04/06(Fri) 18:22:20

★ 春休みの宿題プリントからです / 高橋鉄平

aを実数とし，xの4次関数
f(x)=x^4+4/3x^3-2x^2-4ax

[xの4乗+3分の4x3乗-2x2乗-4ax です。]

がx=α，β，γ（α＜β＜γ）で極値をとるとする。
?@aの取り得る値の範囲を求めよ。
?Af(x)を1/4ｆ’(ｘ）で割ったときの余りをR(x)とする。
　R(x)を求めよ。
?B座標平面において曲線y=R(x)は3点A(α，ｆ(α））
B（β，ｆ(β），C（γ，ｆ(γ））を通ることを示せ。
?Cy=f(x)のグラフと曲線y=R(x)との共有点が?BのA,B,C以外に存在しないようなaの値を求めよ。

お手数をかけますが宜しくお願い致します。

No.49609 - 2018/04/06(Fri) 13:00:16

☆ Re: 春休みの宿題プリントからです / X

回答の前に一言。
次回からはこの掲示板の上の方の四角の囲みの中にある
数式の見なされ方を参照してから、数式をアップ
しましょう。

(1)
条件から
f'(x)=4x^3+4x^2-4x-4a (A)
f"(x)=12x^2+8x-4
=4(3x-1)(x+1) (B)
ここで題意を満たすためには
xの方程式
f'(x)=0
が異なる三つの実数解を持たなければならない
ので
f'(x)の極大値、極小値が互いに0でない異符号の値
でなければなりません。
∴f'(1/3)f'(-1)＜0
これをaの不等式として解きます。

(2)
(A)より
(1/4)f'(x)=x^3+x^2-x-a
これでf(x)を実際に割る割り算を実行しましょう。

(3)
これは(2)の結果を使わなくても解けます。
方針だけ。

f(x)を(1/4)f'(x)で割った商をQ(x)とすると
条件から
f(x)=(1/4)f'(x)Q(x)+R(x) (C)
(C)にx=α、β、γを代入し
f'(α)=f'(β)=f'(γ)=0
であることを使います。

(4)
問題の共有点のx座標について
f(x)=R(x)
∴(C)より
f'(x)Q(x)=0
よって題意を満たすためにはxの方程式
Q(x)=0
が実数解を持たないようにしなければなりません。

(2)の過程でQ(x)は具体的に求められていますので
そこからQ(x)の係数、定数項が満たすべきaの方程式
を導いて解き、(1)の結果を満たすものを求めます。

No.49616 - 2018/04/06(Fri) 16:45:26

☆ Re: 春休みの宿題プリントからです / 高橋鉄平

先生が与えてくださったヒントをもとに解いてみました。
(1)は-5/27＜a＜1　
(2)はR(x)=-4/3x^2-(3a-1/3)x+1/3a
(3)はf(α)=R(α),f(β)=R(β),ｆ(γ)=R(γ）だからかなと思うのですが(4）が今いち分かりません。
申し訳ありません。

No.49633 - 2018/04/07(Sat) 13:21:14

☆ Re: 春休みの宿題プリントからです / X

(1)
正解です。

(2)
>>R(x)=-4/3x^2-(3a-1/3)x+1/3a
が
R(x)=-(4/3)x^2-(3a-1/3)x+(1/3)a
の意味であるなら正解です。
(No.49616で書いたように括弧はきちんとつけましょう。)

(3)
>>(3)はf(α)=R(α),f(β)=R(β),ｆ(γ)=R(γ）だからかなと思うのですが
それで問題ありません。

(4)
ごめんなさい。Q(x)にaが混じらない場合を
考えていませんでした。
この問題はその場合ですね。

問題の共有点のx座標について
f(x)=R(x)
∴(2)の過程から
(x+1/3)・(1/4)f'(x)+R(x)=R(x)
(つまりQ(x)=x+1/3ということです。)
これより
(x+1/3)f'(x)=0
∴x=-1/3又はf'(x)=0
よって題意を満たすためには
x=-1/3がf'(x)=0の解の一つ
でなければならないので
f'(-1/3)=0
でなければならないので
-4/27+4/9+4/3-4a=0
これを解いて
a=11/27
となります。

No.49657 - 2018/04/08(Sun) 16:00:16

★ 高校数学です / だもの

ｌ２ｘ－６ｌ<ｘ　　　をといてみよう、というやつで
次の式が　　　２ｘ－６≧０になるのですが
理解ができません。
なぜ？　　
　　　　　　　　　また、今はエルを入力しているのですが
この、絶対値を表す記号「ｌ」はどう入力するのですか？

No.49608 - 2018/04/06(Fri) 12:43:36

☆ Re: 高校数学です / X

>>次の式が　　　２ｘ－６≧０になるのですが
回答者は、だものさんが参照されている解答が
見えていません。
前後の文章関係が分かるように質問する対象の
解答を全てアップして下さい。

>>絶対値を表す記号「ｌ」はどう入力するのですか？
shiftキーを押しながら「\」キーを押せば
たいていのキーボードでは絶対値の記号の代用
で使える
|
が出ます。

No.49615 - 2018/04/06(Fri) 16:23:37

★ ピンとこない / だもの

ｂ/aで、
ａ≠０のとき　　ｂ≠０のとき

それぞれ答えが実数になるかを
教えてください。

No.49602 - 2018/04/05(Thu) 14:36:58

☆ Re: ピンとこない / ヨッシー

ａ（分母）≠０　のとき、
　b/a は実数にも虚数にもなる
　実数になる例　ａ＝１、ｂ＝２
　虚数になる例　ａ＝１、ｂ＝ｉ
ｂ（分子）≠０　のとき
　ａ＝０　のとき　b/aは定義できない
　ａ≠０　のとき
　　b/a は実数にも虚数にもなる。ただし０にはならない。
　実数になる例　ａ＝１、ｂ＝２
　虚数になる例　ａ＝１、ｂ＝ｉ

No.49603 - 2018/04/05(Thu) 14:47:07

☆ Re: ピンとこない / だもの

深いですね!

No.49611 - 2018/04/06(Fri) 14:13:37

★ 図形 / ハート雲

解き方が分かりません。
もし、定理などを使ってとくのであれば、それも教えていただけるとありがたいです。

No.49598 - 2018/04/05(Thu) 10:17:28

☆ Re: 図形 / らすかる

円O,A,Bの中心をO,A,Bとし、
O,Bから直線lに下ろした垂線の足をQ,Rとして、
OQの延長と円Oの交点をSとします。
また円Aの半径をrとします。
PB=2-r、BR=rで△PBR∽△POQ、PO=1なのでOQ=r/(2-r)
OSはAを通るのでOQ+QS=1からr/(2-r)+2r=1
r＜1に注意してこれを解いて r=(3-√5)/2

No.49599 - 2018/04/05(Thu) 11:30:15

☆ Re: 図形 / ヨッシー

図を作ったので貼っておきます。

私は、
　ＰＯ：ＰＢ＝ＱＯ：ＲＢ
より
　１：(２－ｒ)＝(１－２ｒ)：ｒ
のように、比から
　(２－ｒ)(１－２ｒ)＝ｒ
と持っていく方法を思いつきました。

No.49600 - 2018/04/05(Thu) 11:44:17

☆ Re: 図形 / ハート雲

細かく書いてくださって本当に助かりました。
わかりやすい解説と図をありがとうございます！

No.49601 - 2018/04/05(Thu) 12:05:54

★ (No Subject) / 元中三

角の三等分線に関する問題です。
解き方を参考にしたいので解いていただきたいです。よろしくお願いします。

No.49591 - 2018/04/04(Wed) 08:48:35

☆ Re: / らすかる

(1)
PA：PC=AB：BC=4：5
x軸上にあってAR：RC=4：5を満たしBと異なる点Rは(-40,0)
PはBRを直径とする円（アポロニウスの円）すなわち
中心が原点で半径がOB=40の円周上にあるのでOP=OB=40
PO：PB=OA：AB=4：1からPB=(1/4)PO=10
角の二等分線の長さの公式からPA=√(PO・PB-OA・AB)=12
PA：PC=4：5からPC=(5/4)PA=15
従ってPO=40,PA=12,PB=10,PC=15なのでPO+PA+PB+PC=77

(2)
OP=OBから∠OPB=∠OBPなので∠POA=(180-4a)°

(3)
PはOを中心として半径40の円とAを中心として半径12の円の交点なので
x^2+y^2=40^2, (x-32)^2+y^2=12^2 から(x,y)=(155/4,±15√7/4)
点Pは第１象限にあるので、Pの座標は(155/4,15√7/4)

# ×第一象現
# ○第一象限

No.49592 - 2018/04/04(Wed) 10:22:35

☆ Re: / ヨッシー

横から失礼します。
(2) の AP=OB は OP=OB ですね。

No.49593 - 2018/04/04(Wed) 11:52:44

☆ Re: / らすかる

御指摘ありがとうございます。元記事を修正しました。

No.49594 - 2018/04/04(Wed) 13:06:45

☆ Re: / 元中三

第一象限でしたね(笑)
お恥ずかしいです...　　

私は角の二等分線の定理を駆使してときましたので、アポロニウスの円の解き方は参考になりました！ありがとうございました

No.49595 - 2018/04/04(Wed) 14:03:45

★ 恒等式 / I

(a+b+C)/a=(a+b+c)/b=(a+b+c)/cが成り立つとき、(a+B)(b+c)(c+a)/abcの値を求めよ。という問題で、答えは8と-1らしいのですが、なぜ-1が出てくるのか教えていただけないでしょうか。よろしくおねがいします。

No.49584 - 2018/04/03(Tue) 17:31:52

☆ Re: 恒等式 / ヨッシー

(a+b+c)/a=(a+b+c)/b=(a+b+c)/c は、a+b+c≠0 のときは、これで割って、
　1/a＝1/b＝1/c　から　a=b=c
よって、
　(a+b)(b+c)(c+a)/abc＝(2a)^3/a^3＝8
です。一方、a+b+c＝0 のとき　a+b=-c, b+c=-a, c+a=-b とおけるので、
　(a+b)(b+c)(c+a)/abc＝(-c)(-a)(-b)/abc＝-1
となります。

No.49585 - 2018/04/03(Tue) 17:51:16

★ (No Subject) / ちむ

xy平面上を速さ1で自由に動くことができる点Pがある。ただし、Pは、直線y=√3x上を動く時のみ速さ2で動くものとする。このとき、Pが原点Oを出発して点A（2,√3）に至るまでにかかる時間の最小値を求めよ

お願いします

No.49580 - 2018/04/03(Tue) 07:21:18

☆ Re: / ヨッシー

速さ２で動くのを最大限利用しない手はないので、最初は、
ｙ＝√3ｘに沿って進み、途中から点Ａまで真っすぐ進みます。
原点から、点Ｂ(ｘ、√3ｘ) まで進むとすると
　ＯＢ＝２ｘ
　かかる時間はｘ
また
　ＡＢ^2＝(ｘ－２)^2＋３(ｘ－１)^2
　　＝４ｘ^2－10ｘ＋７
ＡＢ間にかかる時間は
　√(４ｘ^2－10ｘ＋７)
よって、点Ｏから点Ａまでにかかる時間 f(x) は、
　f(x)＝ｘ＋√(４ｘ^2－10ｘ＋７)
ｘで微分して、
　f'(x)＝１＋(1/2)(8x－10)/√(４ｘ^2－10ｘ＋７)
　　＝１＋(4x－5)/√(４ｘ^2－10ｘ＋７)
f'(x)＝0 となるのは、
　(5－4x)＝√(４ｘ^2－10ｘ＋７)　・・・(i)
となるとき。両辺２乗して
　16x^2－40x＋25＝4x^2－10x＋7
　12x^2－30x＋18＝0
　(x－1)(12x－18)＝0
　x＝1, 3/2
このうち、(i) を満たすのはｘ＝１のみ
このとき、
　ＯＢ間の時間＝１、ＡＢ間の時間＝１
合計２　・・・答え

No.49581 - 2018/04/03(Tue) 09:31:30