ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 極値 / あすか

4x^2+y^2=4のとき、12x^2+16xy-3y^2の極値を求めよ。という問題ですが、画像は解答になりますが、途中までは理解できるのですが、よって、x=yのとき、?@より、(x,y)=(±2/√5,±2/√5)…が出てくるのかが分かりません。どういう計算をしたら出てくるのか解説お願いいたします。

No.48712 - 2018/02/12(Mon) 12:48:37

☆ Re: 極値 / ヨッシー

ｘ＝ｙを
　４ｘ^2＋ｙ^2－４＝０
に代入して、
　４ｘ^2＋ｘ^2－４＝０
　５ｘ^2＝４
　ｘ^2＝４／５
　ｘ＝±2/√5
ｙ＝ｘより
　ｙ＝±2/√5　（複合同順）
となります。

No.48713 - 2018/02/12(Mon) 13:53:21

☆ Re: 極値 / あすか

なるほど❗
理解出来ました！ありがとうございました！

No.48714 - 2018/02/12(Mon) 15:32:57

★ 循環小数 / 雪

7分の2 循環小数285714
を1つずつ足していって(2たす8たす5…)のように。
その合計が500を超えるのは小数第何位か？
っていうのの考え方を教えてください。

No.48708 - 2018/02/12(Mon) 11:07:43

☆ Re: 循環小数 / ヨッシー

285714 がひとかたまりで繰り返されるので、
　2+8+5+7+1+4=27
が何回足されると500以下で一番500に近くなるかを調べて、
そこに、2, 8, 5, 7 と足して500を超えるところを見つけます。

No.48709 - 2018/02/12(Mon) 12:06:55

★ (No Subject) / Y

画像のようになる解き方が分かりません。
多分微分で何か勘違いしてるのかもしれませんので、解説お願いいたします。

No.48702 - 2018/02/11(Sun) 19:43:47

☆ Re: / X

y=√(uv)
において、vを定数と見てuで微分をしてみましょう。

No.48703 - 2018/02/11(Sun) 21:44:52

☆ Re: / Y

上手くいかないです…
具体的な解説お願いします。

No.48705 - 2018/02/11(Sun) 23:00:18

☆ Re: / X

では具体的に。
∂y/∂u=(∂/∂u)√(uv)
=(∂/∂u){√u√v}
=(√u)(∂/∂u)√v
=…

No.48707 - 2018/02/12(Mon) 08:36:48

☆ Re: / Y

なるほど！
分かりました❗

No.48711 - 2018/02/12(Mon) 12:42:41

★ (No Subject) / お願いします

入試問題です。何問もすみません。

今後の入試のために解き方教えてください。

No.48701 - 2018/02/11(Sun) 18:57:31

☆ Re: / 鶏

ベクトルの矢印は省略するので雰囲気で読んでください。

OP=(1-t)OA+tOB
OQ=tOA+(1-t)OC
より二式をOK=sOP+(1-s)OQに代入して
OK=s((1-t)OA+tOB)+(1-s)(tOA+(1-t)OC)
=(-2st+s-t)OA+stOB+(st-s-t+1)OC

A(a,a’)、B(b,b’)、C(c,c’)とすると
OK=(-2st+s-t)(a,a’)+st(b,b’)+(st-s-t+1)(c,c’)
=((-2a+b+c)st+(a-c)s+(a-c)t+c,(-2a’+b’+c’)st+(a’-c’)s+(a’-c’)t+c’)
一方OK=(5st-2s-2t+1,5st-3s-3t+2)であるので、
OKのx成分について
(-2a+b+c)st+(a-c)s+(a-c)t+c=5st-2s-2t+1…?@
OKのy成分について
(-2a’+b’+c’)st+(a’-c’)s+(a’-c’)t+c’=5st-3s-3t+2…?A

?@と?Aはsとtに関係なく成り立つので、sとt両方についての恒等式になります。
よって両辺の係数を比較して
?@より-2a+b+c=5、a-c=-2、c=1
?Aより-2a’+b’+c’=5、a’-c’=-3、c’=2
以上六式から
a=-1、b=2、c=1、a’=-1、b’=1、c’=2
ゆえにA(-1,-1)、B(2,1)、C(1,2)となりOB=(2,1)です。

AB=(3,2)、AC=(2,3)がわかるので、
|AB|=√13、|AC|=√13、AB・AC=12
したがってcosθ=12/((√13)*(√13))=12/13です。

検算してないので計算は必ずご自分でお確かめください。

No.48706 - 2018/02/12(Mon) 02:27:50

☆ Re: / お願いします

ありがとうございます！

No.48710 - 2018/02/12(Mon) 12:21:07

★ (No Subject) / お願いします

解答教えてください。

No.48700 - 2018/02/11(Sun) 18:56:14

☆ Re: / X

(1)
b[n]=π/a[n]
より
a[n]=n/b[n]
これと問題の漸化式である
a[n+1]={(n+1)/n}a[n]/(1+2a[n])
により
(n+1)/b[n+1]={(n+1)/n}(n/b[n])/(1+2n/b[n])
これより
1/b[n+1]=1/(b[n]+2n)
b[n+1]=b[n]+2n
∴b[n+1]-b[n]=2n

(2)
(1)の結果により
b[n]=b[1]+Σ[k=1～n-1]2k
=1/a[1]+n(n-1)
=n^2-n+16

(3)
(2)の結果により
n/(n^2-n+16)≧1/9
これより
9n≧n^2-n+16
(注)n^2-n+16=(n-1/2)^2+63/4＞0)
n^2-10n+16≦0
(n-2)(n-8)≦0
∴2≦n≦8
よって求めるnは
n=8

No.48704 - 2018/02/11(Sun) 21:55:28

★ 円錐 / 雪

母線が6cm 底面の半径が1cmの円錐(扇型の中心角60度)の円錐ABCがある。 BCは直径でAB上にＡＰ4cmの点pをとる。Bから側面を一周するように紐をかけてpまでまく。長さが最も短くなる時の紐の長さを教えてください。
どうしても3ルート3になってしまうのです

No.48690 - 2018/02/10(Sat) 22:56:52

☆ Re: 円錐 / らすかる

展開図上に二つあるPのうち紐の終点でない方をQとして
紐の始点であるBから直線PQ上に垂線BHを下ろすと
BQ=2なのでBH=√3、QH=1ですからPH=5となり、
(紐の長さ)=√(BH^2+PH^2)=2√7(cm)となりますね。

No.48692 - 2018/02/10(Sat) 23:17:39

☆ Re: 円錐 / 雪

なぜBQ=2なのでBH=√3になるのですか？

No.48695 - 2018/02/11(Sun) 08:30:18

☆ Re: 円錐 / らすかる

△BHQは∠BHQ=90°、∠HQB=60°、∠QBH=30°の三角形だからです。

No.48696 - 2018/02/11(Sun) 08:33:06

☆ Re: 円錐 / 雪

本当に理解力がなくて申し訳ありません、∠HQB=60°
になるのはどうしてなのでしょうか
お手数おかけします。

No.48697 - 2018/02/11(Sun) 11:22:11

☆ Re: 円錐 / らすかる

∠HQBは∠PQAの対頂角ですので∠PQAと同じく60°です。

No.48698 - 2018/02/11(Sun) 11:44:55

☆ Re: 円錐 / らすかる

図です。

No.48723 - 2018/02/12(Mon) 23:41:17

☆ Re: 円錐 / らすかる

こうした方が簡単ですね。
BからAPに垂線BHを下ろすと
AB=6、∠BAP=60°からAH=3、BH=3√3
AP=4なのでHP=AP-AH=1
従ってBP=√(BH^2+HP^2)=2√7

No.48727 - 2018/02/13(Tue) 02:39:29

★ 数量 / 雪

500円玉4枚イコール50円玉7枚のおもさ
100円玉5枚の重さイコール50円玉6枚の重さのとき
硬貨の重さを50円あたりの重さとして求めるにはどうすればいいのでしょうか？ 50円玉の重さをａとします。

No.48689 - 2018/02/10(Sat) 22:39:20

☆ Re: 数量 / らすかる

500円玉の重さをb、100円玉の重さをcとすると
1行目から 4b=7a … (1)
2行目から 5c=6a … (2)
(1)の両辺を4で割って b=(7/4)a
(2)の両辺を5で割って c=(6/5)a
よって500円玉は(7/4)a、100円玉は(6/5)a

No.48691 - 2018/02/10(Sat) 23:05:36

★ 確率質問 / 学生

解説を読んでもいまいち理解できなかったため質問させていただきます。
?T　　１からn-1回まで奇数はn/2個あるので
?U1　１からn-1回まで奇数はn-1/2個あるので
?U2　１からn-1回まで偶数はn-1/2個あるので

とそれぞれ書いてありますが奇数が～個ある。偶数が～個あるとはどういう意味でしょうか？

そ解説部分を読んでも解答の全体像がいまいちつかめません。
詳しく解説していただけないでしょうか？
よろしくおねがいします

No.48682 - 2018/02/10(Sat) 15:17:10

☆ Re: 確率質問 / IT

＞?T１からn-1回まで奇数はn/2個あるので
＞?U1　１からn-1回まで奇数は(n-1)/2個あるので
＞?U2　１からn-1回まで偶数は(n-1)/2個あるので
とそれぞれ書いてありますが奇数が～個ある。偶数が～個あるとはどういう意味でしょうか？

ｎ＝５など　具体的な場合どうなるか考えてみてください。

No.48683 - 2018/02/10(Sat) 15:52:01

☆ Re: 確率質問 / 学生

例えば?Tでn=5ならＡの順番で初めて表が出て[1,0]となるのは１回目か３回目か５回目の奇数回目ですよね
５回で決着がつくから[1/2]^5となるまではわかります
ただ１からn-1この場合なら１から４回目までに奇数は5/2個あるというのがいまいち理解できません

No.48687 - 2018/02/10(Sat) 18:32:51

☆ Re: 確率質問 / IT

画像が小さくて　切れているところもあるようなので良くわからないところがありますが
?Tの場合はnは偶数になる　と解説に書いてあるようです。

No.48688 - 2018/02/10(Sat) 19:16:21

☆ Re: 確率質問 / 学生

理解できました　最後の部分勘違いしていたようです
ありがとうございました

No.48699 - 2018/02/11(Sun) 16:31:01

★ 四角形 / 白石

向かい合う角が90度で残りの角２つが90度ではない四角形ってあり得ますか？

No.48679 - 2018/02/10(Sat) 13:27:14

☆ Re: 四角形 / らすかる

あります。
例えば(0,2)(-1,0)(0,-2)(4,0)を頂点とする四角形。

他には、辺の長さが9,24,25の直角三角形と
辺の長さが15,20,25の直角三角形の斜辺同士をくっつけて
四角形を作るとか。

# 一般には、線分ACを直径とする円を考えて
# ACで分けられる二つの半円のうち一方の弧上にB、
# 他方の弧上に（BDが直径にならないように）Dをとれば、
# 四角形ABCDは目的の四角形になります。

No.48680 - 2018/02/10(Sat) 13:57:58

★ ルート / 月子

√３６０－１２ｎ　　　の答えが整数になるときのｎの求め方を教えてください。

あと、√の中がマイナスになる場合はどうすればいいんですか

No.48670 - 2018/02/09(Fri) 19:14:32

☆ Re: ルート / 蘭

√（360-12n）は 12でくくると

√12(30-n）になりますよね？

12は平方数である4（=2の二乗）と平方数ではない3のかけ算なので

√2^2 × 3（30-n) です。

これが整数になるには
30-n は3×平方数か 0になります。

よって答えは、27 18 3 30となります。

ルートの中にマイナスはつきません。

.

No.48672 - 2018/02/09(Fri) 19:43:31

☆ Re: ルート / 月子

√12(30-n）は揃うまで１つずつ計算するのですか？

No.48674 - 2018/02/09(Fri) 20:53:49

☆ Re: ルート / くび

1つずつやる手間を省く為に、12を素因数分解したうちの2乗にならない｢3｣を出しています
3が余ってしまう以上、必ず(30-n)が約数に3を持たなければいけません。
また、3を約数に持っていたとしても3で割った後の余りが平方数でなければ最終的にすべて2乗の形になりません。
なので
(30-n)=3m^2
になります
0もしくは3の倍数で、なおかつそれに掛けられたものは平方数でなければいけません。
であれば
3×0=0
3×1=3
3×4=12
3×9=27
と続いていきますが、ルートの中がマイナスになってはいけないので3-nが30より大きくなること(3×16から先)はありません
この4つの値が(30-n)と等しくなるときのnの値を求めると上記の方の答えになります

No.48676 - 2018/02/09(Fri) 23:54:24

☆ Re: わーい / 蘭

わけがわかりません！爆笑

がんばります！
お二方とも本当にありがとうございました！

No.48686 - 2018/02/10(Sat) 18:15:54

☆ Re: ルート / らすかる

√(360-12n)
=√{2^2×3(30-n)}
=2√{3(30-n)}
ですから、少なくとも30-nが3の倍数である必要があります。
30は3の倍数ですから、30-nが3の倍数になるためには
nも3の倍数でなければなりません。
そこでn=3mとおくと
=2√{3(30-3m)}
=2√{3^2×(10-m)}
=6√(10-m)
となります。
√(10-m)が整数になるのは
10-mが平方数の場合ですから
10-m=k^2とおくと
m=10-k^2です。

もしnが自然数という条件があるならば
n=3mによりm＞0ですから
10-k^2＞0からk^2＜10
よってk=0,1,2,3（∵負の数は考える必要がありません）
からm=10,9,6,1
従ってn=30,27,18,3
となります。

もしnが整数（0や負の数もOK）ならば
m≦0もOKですから
任意の整数kに対して
n=3m=3(10-k^2)=30-3k^2
が答えになります。

No.48693 - 2018/02/11(Sun) 00:48:07

★ 西大和高校（奈良）の問題です。 / 蘭

助けて欲しいです！！！

問題は、こうです。

√12a と √（5n+9)
の値がどちらも整数になるような自然数aのうち
最小のものを求めよ。

答えはわかっていません、

解説よろしくお願い申し上げます！

.

No.48665 - 2018/02/09(Fri) 16:33:52

☆ Re: 西大和高校（奈良）の問題です。 / ヨッシー

5n+9 は5a+9 のこととします。

ある整数を２乗した数を平方数といいます。
　12a が平方数になるには、a は a＝3k^2 という形の数です。
このとき、
　5a+9＝15k^2＋9
この数は、３の倍数ですが、平方数なので、９の倍数でもあります。
すると、15k^2 も９の倍数で、15 は３を約数に１個しか持っていないので、
k^2 が３の倍数、ひいては、ｋが３の倍数となります。
k=3m とおくと、
　5a+9＝9・15m^2＋9＝9(15m^2＋1)
となり、15m^2＋1 が平方数となるｍを探すことになります。
ｍ＝０は不適で、ｍ＝１のとき、ｋ＝３、ａ＝２７
が得られ、
　√(12a)＝18　√(5a+9)＝12
となります。

No.48667 - 2018/02/09(Fri) 17:24:52

☆ Re: 西大和高校（奈良）の問題です。 / 蘭

理解力が乏しくほんとうに申し訳ないのですが、

「15k^2+9
この数は、３の倍数ですが、平方数なので、９の倍数でもあります。」

平方数となんでわかるのでしょうか。

15となにかの2乗をかけたら平方数にはならないと思うし、
+9きたとしても、絶対そうなるとはおもえません！

解説お願いします！

.

No.48669 - 2018/02/09(Fri) 18:22:07

☆ Re: 西大和高校（奈良）の問題です。 / くび

その数が必ずしも平方数にはなりません。
｢平方数にならなければいけないので｣と言っているのです。
3では括れるけど平方数にならない！じゃあ9で括れれば平方数(3^2p,pは自然数)になるよね、9の倍数ということにしよう。
という条件を付けています。
その条件の元、15k^2を9の倍数にするにはkがどんな数字であれば良いか、をその後調べていますね。

No.48675 - 2018/02/09(Fri) 23:29:47

★ これは… / 月子

１から５の数字が１つずつ書かれたカードを２枚戻さずに引きます。
その数字を、１から６までの数字が書かれたビンゴカードに
チェックするのですが、（ところどころ空いていて計９マス）ビンゴになる確率を求める場合
１．３　　　　　　と　　　　３．１は
同じですか？

No.48662 - 2018/02/09(Fri) 16:06:05

☆ Re: これは… / らすかる

確率の分母をどのように考えるかによって変わります。

No.48664 - 2018/02/09(Fri) 16:15:02

★ 何通りでしょうか / 月子

２と書かれたカードが1枚
５と書かれたカードが1枚
何も書かれてないカードが2枚あります。
何も書かれていないカードの数字は６面ダイスを振ってきめ
４つの数字を並べてできる最も小さい数をｙとします。
こうしてできる数字は何通りですか
何回か２２２５　のような数字になることがあると思うのですがそれは全て合わせて１通りでしょうか

No.48661 - 2018/02/09(Fri) 16:00:47

☆ Re: 何通りでしょうか / らすかる

問題は「何通りできるか」すなわち「できる可能性がある数字はいくつあるか」
ですから、「何回か」などの「回数」は関係ありません。

No.48663 - 2018/02/09(Fri) 16:13:43

☆ Re: 何通りでしょうか / 月子

つまりは何通りなのでしょうか(・・?
樹形図しかないですかね…

No.48666 - 2018/02/09(Fri) 16:38:45

☆ Re: 何通りでしょうか / らすかる

2つのサイコロを振って出る目の組合せになりますので
(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)
(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)
(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)
(4,4)(4,5)(4,6)
(5,5)(5,6)
(6,6)
の6+5+4+3+2+1=21通りです。
重複組合せの式を御存知なら6H2=21通りと一発で求まります。

No.48668 - 2018/02/09(Fri) 17:26:21

★ (No Subject) / ぶなしめじ

原点Oを中心とする座標空間において、点P(2,2,4)をとる。線分OPを一辺として、対角線の長さが12の直方体を考える。この直方体をOPを軸として一回転させたとき、直方体の頂点のうちPから最も遠い点Qが描く円をCとする。
(1)円Cの半径は?@である。また点Qのz座標をqとするとqの取り得る値の範囲は?A≦q≦?B
(2)点R(3,-5,6)をとり、円Cを含む平面に垂線RHを下ろす。Hの座標は?C。
またQRの長さが取りうる値の範囲は?D≦QR≦?E

?@～?Eを埋めよという問題です。よろしくおねがいします。

No.48660 - 2018/02/09(Fri) 13:13:55