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★ 直積集合の反例 / Ali
A×B=(C×D)∩(E×F)なるA,Bが存在しない集合C,D,E,Fの例を挙げて下さい。
No.49579 - 2018/04/03(Tue) 05:37:46
★ 図形の問題 / 数学不得意
（４）が解りません。解説よろしくお願いいたします。
No.49574 - 2018/04/02(Mon) 14:25:57
☆ Re: / 数学不得意
図形の問題の答え
No.49575 - 2018/04/02(Mon) 14:29:52
☆ Re: 図形の問題 / らすかる
単位は省略します。
QR=3√3, RS=√{3^2+(6√2)^2}=9
横(QとR、SとTが重なる方向)から見た図を
Q=R=(-3/2,-3√2), S=T=(3/2,3√2)となるように
原点がOであるxy平面上に描くと
Pはx=-3上にあり、直線QSは y=(2√2)xなので
Pから底面に下ろした直線は y=(-√2/4)x
よってP(-3,3√2/4)となるから
PO=√{3^2+(3√2/4)^2}=9√2/4
従って体積は QR×RS×PO÷3=81√6/4
No.49576 - 2018/04/02(Mon) 17:56:44
☆ Re: 図形の問題 / ヨッシー
別解です。

図は、点Ｑと点Ｒが重なって見える方向からの側面図とその底面図です。
ＱＲ＝3√3、ＲＳ＝9 はすぐに求められます。
図において、ＲＳの中点Ｗを通りＲＳに垂直な直線をＰＶ（Ｐ，Ｖは側面上の点）とすると
△ＲＳＴ∽△ＶＰＵ　より
　ＰＶ＝ＲＳ×6/6√2＝9/√2
四角錐の高さＰＷはPVの半分で、9/2√2
よって、求める体積は
　3√3×9×9/2√2÷3＝81√6/4
No.49578 - 2018/04/02(Mon) 18:46:46
☆ Re: 図形の問題 / 数学不得意
解説ありがとうございます。△ＲＳＴ∽△ＶＰＵなるのが解りません。
No.49586 - 2018/04/03(Tue) 18:51:33
☆ Re: 図形の問題 / ヨッシー
他にも示し方はありますが、例えばこんな感じです。
ＶＷとＳＴの交点をＸとします。
△ＲＳＴと△ＸＳＷはともに直角三角形であり、
∠ＲＳＴは共通。よって、
　△ＲＳＴ∽△ＸＳＷ
△ＸＳＷと△ＶＰＵはともに直角三角形であり、
　∠ＳＸＷ＝∠ＵＶＰ　（同位角）
よって、
　△ＸＳＷ∽△ＶＰＵ
以上より、
　△ＲＳＴ∽△ＶＰＵ（∽△ＸＳＷ）
No.49587 - 2018/04/03(Tue) 19:16:44
☆ Re: 図形の問題 / 数学不得意
何回もすみません。四角錐の高さＰＷはPVの半分で、9/2√2になるのが解りません。
No.49589 - 2018/04/03(Tue) 21:13:21
☆ Re: 図形の問題 / ヨッシー
図をよく見ると、ＲとＳは、長方形の中心（対角線の交点）に対して対称な位置にあります。（頂点からともに1.5cmの位置なので）
よって、その中点Ｗは長方形の中心であり、それを通る直線上のＰとＶも、Ｗに対して対称な位置になります。
よって、ＰＷはＰＶの半分となります。

この図の方向から見たときのＰＷが四角錐の高さになるのは問題ないですよね？
No.49590 - 2018/04/04(Wed) 01:34:32
★ (No Subject) / 元中三
この問題の解法についてです。
No.49569 - 2018/04/02(Mon) 11:00:05
☆ Re: / 元中三
これでOKでしょうか？
No.49570 - 2018/04/02(Mon) 11:06:54
☆ Re: / ヨッシー
>ａ＞０ より 2p+2 は負、すなわちｐは負
の記述はあまりよろしくありません。
そこは正確に、2p+2＜0 すなわち　p＜−1
と書かないと、この問題では良いが、もし、ｐ＝−１ が
解の候補だったら、この解答者は p=−1 も採用するのではないか？
と疑われてしまいます。

また、
　a{p＋(p＋2)}
は、何かの公式によるものでしょうか？
ｐとｐ＋２ を足すことに意味を持たせないと、たまたま当たったという
印象があります。
いきなり
　a(2p＋2)
と書いてあれば、「途中が省略されているんだな」と思われるだけで、
上記のような疑いは持たれません。
私の知らない公式があるのかも知れませんが。
No.49573 - 2018/04/02(Mon) 12:48:38
☆ Re: / 元中三
回答ありがとうございます

p＜0の説明は不十分でした
a{p+(p+2)}の表記もおかしかったですね
二次関数y=ax^2においてxがpからqまで増加するときの変化の割合はa(p+q)という公式に直接当てはめたのでおかしな表記になってしまいました

ご丁寧なご指摘ありがとうございました！に
No.49577 - 2018/04/02(Mon) 18:44:52
☆ Re: / ヨッシー
なるほど。
ちょっと下にある、記事の結果を使ったのですね。
ただ、公式と言えるほど一般に認知されているかはわかりませんね。

検算の武器としてなら有効と思います。
No.49588 - 2018/04/03(Tue) 19:27:11
★ よろしくお願いします / やまやま
118について質問です。
1、3点の中から2点を2組取り出し、垂直二等分面を考える
2、2つの垂直二等分面の交わりである直線ベクトルをよとめる。
3、3点の属する平面と、2のベクトル方程式の交点を求めると答えがでる。

進めかたはなんとなくわかったのですが、2の直線ベクトルをだすことができなくてつまづいています。
お願い致します。
No.49568 - 2018/04/02(Mon) 10:16:14
☆ Re: よろしくお願いします / ヨッシー
方針はそれでいいです。
下記では、半ば強引に直線の式を出しています。

ＡＢの中点(2,3,-1) を通りＡＢ＝(2,2,-4) に垂直な平面
　2x+2y-4z=14　→　x+y-2z=7
ＢＣの中点(2,2,0) を通りＣＢ＝(2,4,-6) に垂直な平面
　2x+4y-6z=12　→　x+2y-3z=6
この２平面の交線を通る２点として
　(0, -9, -8) ←ｘ＝０ を代入してから y,z について解く
　(9, 0, 1)　←ｙ＝０を代入してから x, z について解く
を選ぶと、交線の方向ベクトル (1, 1, 1) が得られ、交線の式
　x=m, y=m-9, z=m-8 (mは実数)
を得ます。
３点ＡＢＣで出来る平面上の点は
　(x,y,z)=(1,2,1)+sＡＢ/2＋tＡＣ/2
　　　=(1,2,1)+s(1,1,-2)+t(0,-1,1)
　　　=(s+1, s-t+2, -2s+t+1)
で表せるので、交線の式と連立させて、
　s+1=m, s-t+2=m-9, -2s+t+1=m-8
これらを連立させて解くと、
　s=6, t=10, m=7
これから得られる
　(7, -2, -1)
が求める中心の座標です。
No.49572 - 2018/04/02(Mon) 12:16:57
★ (No Subject) / よろしくおねがいします、
こんばんは。
数学3の質問です。
実数全体で定義された関数f(x)が第二次導関数f’’(x)を持つとする。
次のことを微分係数の考え方を利用して示せ。

(1) y=f(x)のグラフが直線x=aに関して対称であれば
f’(a)=0

(2) y=f(x)のグラフが点(a,f(a))に関して対称であればf’’(a)=0



よろしくおねがいします。
No.49561 - 2018/04/01(Sun) 23:27:13
☆ Re: / X
(1)
条件から
f(a-x)=f(a+x) (A)
∴微分係数の定義により
f'(a)=lim[h→0]{f(a+h)-f(a)}/h
=lim[h→0]{f(a+h)-f(a)+{f(a-h)-f(a+h)}}/h
((∵)(A)にx=hを代入してf(a-h)-f(a+h)=0)
=lim[h→0]{f(a-h)-f(a)}/h
=lim[h→0]-{f(a+(-h))-f(a)}/(-h)
=-f'(a)
となるので
2f'(a)=0
∴f'(a)=0

(2)
y=f(x)のグラフは点(a,f(a))に関して対称
⇒y=f'(x)のグラフは直線x=aに関して対称 (P)
が成立すれば、(1)の結果により問題の命題は
成立します。
ということで(P)を示します。

条件から点(a,f(a))は
点(a-x,f(a-x)),(a+x,f(a+x))
を結ぶ線分の中点ですので
{f(a-x)+f(a+x)}/2=f(a)
∴f(a-x)+f(a+x)=2f(a)
両辺xで微分して
-f'(a-x)+f'(a+x)=0
∴f'(a-x)=f'(a+x)
となるので(P)は成立します。
No.49565 - 2018/04/02(Mon) 05:19:38
★ (No Subject) / 極限
∀x,y∈Rにおいて、関数f(x)がつぎの条件を満たすとき、
f’(x)を求めよ。

f(x+y)=f(x)+f(y)+xy(x+y)
f(0)=0

よろしくおねがいします。
No.49560 - 2018/04/01(Sun) 23:04:32
☆ Re: / X
>>f(0)=0
を
f'(0)=0
のタイプミスとみて回答します。

f(x+y)=f(x)+f(y)+xy(x+y) (A)
f'(0)=0 (B)
とします。
導関数の定義により
f'(x)=lim[y→0]{f(x+y)-f(x)}/y
これに(A)を代入して
f'(x)=lim[y→0]{f(y)+xy(x+y)}/y
=lim[y→0]{f(y)/y+x(x+y)} (C)
ここで(A)にx=y=0を代入することにより
f(0)=0
∴(C)は
f'(x)=lim[y→0]{(f(y)-f(0))/y+x(x+y)}
=f'(0)+x^2
(B)を代入して
f'(x)=x^2
となります。
No.49564 - 2018/04/02(Mon) 04:52:16
★ (No Subject) / 微分可能
lim[x→2]{(ax^2+by-3)/x-2}=1となる

a,bの条件の求め方をお教えお願いします。
No.49559 - 2018/04/01(Sun) 22:38:12
☆ Re: / X
lim[x→2]{(ax^2+by-3)/x-2}=1
を
lim[x→2]{(ax^2+bx-3)/(x-2)}=1
のタイプミスとみて回答を。

条件式を(A)とすると、(A)が成立するには
lim[x→2](ax^2+bx-3)=0
∴4a+2b-3=0
となるので
b=-2a+3/2
これを(A)の左辺に代入して極限を計算する
ことにより、aの方程式を導きます。
No.49566 - 2018/04/02(Mon) 05:22:32
★ (No Subject) / 三角関数
-sin(x+kπ/2)=cos{x+(k+1)π/2}
と、変形できる経緯をお教えお願いします。
No.49558 - 2018/04/01(Sun) 22:21:49
☆ Re: / X
(右辺)=cos{(x+nπ/2)+π/2}
=cos(x+nπ/2)cos(π/2)-sin(x+nπ/2)sin(π/2)
=(左辺)
となります。
No.49563 - 2018/04/02(Mon) 04:45:55
☆ Re: / らすかる
別解
sin(α+π/2)=cosα と -cosα=cos(α+π) から
-sinα=-cos(α-π/2)=cos(α-π/2+π)=cos(α+π/2)
-sinα=cos(α+π/2) で α=x+kπ/2 とおけば
-sin(x+kπ/2)=cos(x+(k+1)π/2)
No.49571 - 2018/04/02(Mon) 11:51:02
★ 複素数平面 / 推薦筑波
"基礎問題精講 数学III 複素数平面 13(2)"について。

(2)において、解答の下から2行目のz=1/(√3i)=-√3/(3i)がわかりません。なぜ、zに負の符号が付くんですか？
No.49554 - 2018/04/01(Sun) 17:09:16
☆ Re: 複素数平面 / IT
> z=1/(√3i)=-√3/(3i)がわかりません
z=-√3/(3i)　ではなくて、
z=-(√3/3)i ですね？

1/i を考えてみてください。（分母のiを消してください。）
No.49555 - 2018/04/01(Sun) 17:31:16
★ 無理関数不等式のグラフの書き方 / ny
√(2-2xy)≦x-yのグラフの書き方を教えてください
自分は新高２生です。

円のような形になるのでしょうか？

御教授願います。
No.49551 - 2018/04/01(Sun) 14:36:16
☆ Re: 無理関数不等式のグラフの書き方 / IT
もう1つの質問先に回答しました。

http://www2.ezbbs.net/cgi/reply?id=eijitkn&dd=34&re=80493
No.49553 - 2018/04/01(Sun) 15:18:54
★ 不偏分散においてn-1で割る理由 / 高橋由伸
お世話になります。
統計に関する質問があります。小生は大学4年であります。

不偏分散を（平方和）/(n-1)というようにn-1で割る理由として、「自由度がn-1」だからというものを文献などで見かけます。根拠としては、平方和を求める際に平均値x(ave)を定義しますが、その平均値が束縛条件になっている、というものです。
これは正しいのでしょうか？？
データ数ｎ（x1、x2、・・・xn）の標本を考えると、これらは確率変数であり、それから定義される標本平均もまた確率変数になるため、自由度はnではないのか？？と小生は考えています。

また、この件に付随して、zを標準正規分布に従うとして、W=Σz^2=Σ｛x-x(ave)｝/σ^2とすると、x(ave)が束縛条件になるため、Wは自由度n-1のカイ二乗分布に従うと書かれた文献があります。しかし、x(ave)が確率変数であるため、Wの自由度はnではないのか？？と思います。

小生の考えに欠陥はありますでしょうか？？
よろしくお願いします。
No.49550 - 2018/04/01(Sun) 11:04:37
☆ Re: 不偏分散においてn-1で割る理由 / 黄桃
きちんとした数理統計学の教科書を読むことをお勧めします。
分布の平均（あるいは分散）と標本の平均（あるいは分散）の違いも明確ではないように思います。
特に、母平均が未知であるか既知であるかがはっきり区別できていないようです。

確率変数Xの平均をμ、分散をσ^2 とし、Xの大きさnに関する標本をX[1],...,X[n]とします。
標本平均X^-=(1/n)ΣX[i], 標本分散S^2=(1/n)Σ(X[i]-X^-)^2 です。

＃ご質問の文章からは x(ave)がμの意味なのかX^-の意味なのかわかりません。
＃流れ的には標本平均のように思えますが、x(ave)とは別に標本平均という言葉も出てきており、
＃よくわかりません。

不偏分散に関して言えば、E(S^2)を計算すれば、
(1/n)ΣE(Xi-μ)^2-E(X^- - μ)^2=σ^2-(1/n)σ^2=((n-1)/n)σ^2 (X^- -μは、平均0,分散σ^2/nの確率変数になります）
となり、E(X^- - μ)^2 由来の項、すなわち、標本平均の分布に関する項があるために、S^2では不偏推定量にならないのでした。
これを修正するために、n/(n-1)を S^2に乗じたもの、つまり、(1/(n-1))Σ(X[i]-X^-)^2が不偏分散と呼ばれるのでした。

これを評して「そもそも分散とは平均からの偏りという相対的な数値であるから平均を0にしても同じことであり、これはΣX[i]=0ということだから、自由度が1つ小さい」といっているのでしょう(n=1なら推定のしようがない方が当然です）。

なお、μが既知であれば、S^2の代わりに (1/n)Σ(X[i]-μ)^2 を使えば、これは不偏推定量になり自由度nのχ2乗分布になります。

両者を混同しているように見えます。

2番目も、おそらく、
(*)「Xが分散σ^2の正規分布に従う時(平均は未知)、それから抽出された大きさnの無作為標本による標本分散S^2を
S^2=(Σ(X[i]-X^-)^2)/n
とすれば、nS^2/σ^2 は自由度n-1のχ2乗分布に従う」
という類のことを誤解しているのではないでしょうか。

母平均μが既知なら、上で述べたようにσ^2の推定には、Σ(Xi-μ)^2/nを使えばよく、これは、自由度nのχ^2分布に従います。

(*)のようにμが未知なら不偏分散と同様で、標本分散の分布には、（元の分布の平均を推定するために）標本平均の分布がかかわってくるので、ここ由来の項により自由度が1つ減って自由度(n-1)のχ2乗分布になるのでした。
No.49556 - 2018/04/01(Sun) 18:52:55
☆ Re: 不偏分散においてn-1で割る理由 / 高橋由伸
返信ありがとうございます。
ここで述べていた平均は、x(ave)を含めて標本平均の意味で使っていました。母平均との区別が曖昧な表現になってしまいすいませんでした。

黄桃様の返信の一番最後の
【(*)のようにμが未知なら不偏分散と同様で、標本分散の分布には、（元の分布の平均を推定するために）標本平均の分布がかかわってくるので、ここ由来の項により自由度が1つ減って自由度(n-1)のχ2乗分布になるのでした。】
がいまいち理解できません。

例えば、X^−=Σxi/n＝（定数）となるのであれば、（連立方程式のように考えると）その式を用いてn個のxiの内から一つを消去できるため、自由度が1つ減るというのは理解できます。
しかし、X^−はあくまで確率変数であるため、X^−の式があっても、X^−という変数が新たに加わるため、あくまで自由度はnのままではないのか？という疑問を持っています。
もしくは、中心極限定理より「X^−は正規分布に従う」というのが束縛条件になっているのでしょうか？？しかし、その場合でも、nが小さい場合では「X^−は正規分布に従う」とは言えないので、納得できません。

よろしくお願いします。
No.49562 - 2018/04/02(Mon) 01:22:21
☆ Re: 不偏分散においてn-1で割る理由 / 黄桃
後半部分は、大分省略しています。掲示板で書くには長すぎます。S^2の分布についてちゃんとした教科書を（図書館などで）読んでください。

ポイントは、Xが正規分布であれば、S^2とX^-は独立に分布するので、nS^2/σ^2のモーメント母関数が、Σ(Xi-μ)^2/σのモーメント母関数を(X^- -μ)/(σ/√n))のモーメント母関数で割ったものと計算できることです（モーメント母関数を取る前は不偏分散と同様の式です）。

こうした背景から「自由度」と呼ぶとイメージが湧き、整合性も保てると考える人が多いのでこの呼称が一般的になったとお考え下さい。最初になんらかの「自由度」という概念があると思わない方がいいと思います。
No.49567 - 2018/04/02(Mon) 07:58:47
☆ Re: 不偏分散においてn-1で割る理由 / 黄桃
きちんとした数理統計学の教科書を読むことをお勧めします。
分布の平均（あるいは分散）と標本の平均（あるいは分散）の違いも明確ではないように思います。
特に、母平均が未知であるか既知であるかがはっきり区別できていないようです。

確率変数Xの平均をμ、分散をσ^2 とし、Xの大きさnに関する標本をX[1],...,X[n]とします。
標本平均X^-=(1/n)ΣX[i], 標本分散S^2=(1/n)Σ(X[i]-X^-)^2 です。

＃ご質問の文章からは x(ave)がμの意味なのかX^-の意味なのかわかりません。
＃流れ的には標本平均のように思えますが、x(ave)とは別に標本平均という言葉も出てきており、
＃よくわかりません。

不偏分散に関して言えば、E(S^2)を計算すれば、
(1/n)ΣE(Xi-μ)^2-E(X^- - μ)^2=σ^2-(1/n)σ^2=((n-1)/n)σ^2 (X^- -μは、平均0,分散σ^2/nの確率変数になります）
となり、E(X^- - μ)^2 由来の項、すなわち、標本平均の分布に関する項があるために、S^2では不偏推定量にならないのでした。
これを修正するために、n/(n-1)を S^2に乗じたもの、つまり、(1/(n-1))Σ(X[i]-X^-)^2が不偏分散と呼ばれるのでした。

これを評して「そもそも分散とは平均からの偏りという相対的な数値であるから平均を0にしても同じことであり、これはΣX[i]=0ということだから、自由度が1つ小さい」といっているのでしょう(n=1なら推定のしようがない方が当然です）。

なお、μが既知であれば、S^2の代わりに (1/n)Σ(X[i]-μ)^2 を使えば、これは不偏推定量になり自由度nのχ2乗分布になります。

両者を混同しているように見えます。

2番目も、おそらく、
(*)「Xが分散σ^2の正規分布に従う時(平均は未知)、それから抽出された大きさnの無作為標本による標本分散S^2を
S^2=(Σ(X[i]-X^-)^2)/n
とすれば、nS^2/σ^2 は自由度n-1のχ2乗分布に従う」
という類のことを誤解しているのではないでしょうか。

母平均μが既知なら、上で述べたようにσ^2の推定には、Σ(Xi-μ)^2/nを使えばよく、これは、自由度nのχ^2分布に従います。

(*)のようにμが未知なら不偏分散と同様で、標本分散の分布には、（元の分布の平均を推定するために）標本平均の分布がかかわってくるので、ここ由来の項により自由度が1つ減って自由度(n-1)のχ2乗分布になるのでした。
No.49556 - 2018/04/01(Sun) 18:52:55
☆ Re: 不偏分散においてn-1で割る理由 / 高橋由伸
返信ありがとうございます。
ここで述べていた平均は、x(ave)を含めて標本平均の意味で使っていました。母平均との区別が曖昧な表現になってしまいすいませんでした。

黄桃様の返信の一番最後の
【(*)のようにμが未知なら不偏分散と同様で、標本分散の分布には、（元の分布の平均を推定するために）標本平均の分布がかかわってくるので、ここ由来の項により自由度が1つ減って自由度(n-1)のχ2乗分布になるのでした。】
がいまいち理解できません。

例えば、X^−=Σxi/n＝（定数）となるのであれば、（連立方程式のように考えると）その式を用いてn個のxiの内から一つを消去できるため、自由度が1つ減るというのは理解できます。
しかし、X^−はあくまで確率変数であるため、X^−の式があっても、X^−という変数が新たに加わるため、あくまで自由度はnのままではないのか？という疑問を持っています。
もしくは、中心極限定理より「X^−は正規分布に従う」というのが束縛条件になっているのでしょうか？？しかし、その場合でも、nが小さい場合では「X^−は正規分布に従う」とは言えないので、納得できません。

よろしくお願いします。
No.49562 - 2018/04/02(Mon) 01:22:21
☆ Re: 不偏分散においてn-1で割る理由 / 黄桃
後半部分は、大分省略しています。掲示板で書くには長すぎます。S^2の分布についてちゃんとした教科書を（図書館などで）読んでください。

ポイントは、Xが正規分布であれば、S^2とX^-は独立に分布するので、nS^2/σ^2のモーメント母関数が、Σ(Xi-μ)^2/σのモーメント母関数を(X^- -μ)/(σ/√n))のモーメント母関数で割ったものと計算できることです（モーメント母関数を取る前は不偏分散と同様の式です）。

こうした背景から「自由度」と呼ぶとイメージが湧き、整合性も保てると考える人が多いのでこの呼称が一般的になったとお考え下さい。最初になんらかの「自由度」という概念があると思わない方がいいと思います。
No.49567 - 2018/04/02(Mon) 07:58:47
★ 不偏分散においてn-1で割る理由 / 高橋由伸
お世話になります。
統計に関する質問があります。小生は大学4年であります。

不偏分散を（平方和）/(n-1)というようにn-1で割る理由として、「自由度がn-1」だからというものを文献などで見かけます。根拠としては、平方和を求める際に平均値x(ave)を定義しますが、その平均値が束縛条件になっている、というものです。
これは正しいのでしょうか？？
データ数ｎ（x1、x2、・・・xn）の標本を考えると、これらは確率変数であり、それから定義される標本平均もまた確率変数になるため、自由度はnではないのか？？と小生は考えています。

また、この件に付随して、zを標準正規分布に従うとして、W=Σz^2=Σ｛x-x(ave)｝/σ^2とすると、x(ave)が束縛条件になるため、Wは自由度n-1のカイ二乗分布に従うと書かれた文献があります。しかし、x(ave)が確率変数であるため、Wの自由度はnではないのか？？と思います。

小生の考えに欠陥はありますでしょうか？？
よろしくお願いします。
No.49550 - 2018/04/01(Sun) 11:04:37
☆ Re: 不偏分散においてn-1で割る理由 / 黄桃
きちんとした数理統計学の教科書を読むことをお勧めします。
分布の平均（あるいは分散）と標本の平均（あるいは分散）の違いも明確ではないように思います。
特に、母平均が未知であるか既知であるかがはっきり区別できていないようです。

確率変数Xの平均をμ、分散をσ^2 とし、Xの大きさnに関する標本をX[1],...,X[n]とします。
標本平均X^-=(1/n)ΣX[i], 標本分散S^2=(1/n)Σ(X[i]-X^-)^2 です。

＃ご質問の文章からは x(ave)がμの意味なのかX^-の意味なのかわかりません。
＃流れ的には標本平均のように思えますが、x(ave)とは別に標本平均という言葉も出てきており、
＃よくわかりません。

不偏分散に関して言えば、E(S^2)を計算すれば、
(1/n)ΣE(Xi-μ)^2-E(X^- - μ)^2=σ^2-(1/n)σ^2=((n-1)/n)σ^2 (X^- -μは、平均0,分散σ^2/nの確率変数になります）
となり、E(X^- - μ)^2 由来の項、すなわち、標本平均の分布に関する項があるために、S^2では不偏推定量にならないのでした。
これを修正するために、n/(n-1)を S^2に乗じたもの、つまり、(1/(n-1))Σ(X[i]-X^-)^2が不偏分散と呼ばれるのでした。

これを評して「そもそも分散とは平均からの偏りという相対的な数値であるから平均を0にしても同じことであり、これはΣX[i]=0ということだから、自由度が1つ小さい」といっているのでしょう(n=1なら推定のしようがない方が当然です）。

なお、μが既知であれば、S^2の代わりに (1/n)Σ(X[i]-μ)^2 を使えば、これは不偏推定量になり自由度nのχ2乗分布になります。

両者を混同しているように見えます。

2番目も、おそらく、
(*)「Xが分散σ^2の正規分布に従う時(平均は未知)、それから抽出された大きさnの無作為標本による標本分散S^2を
S^2=(Σ(X[i]-X^-)^2)/n
とすれば、nS^2/σ^2 は自由度n-1のχ2乗分布に従う」
という類のことを誤解しているのではないでしょうか。

母平均μが既知なら、上で述べたようにσ^2の推定には、Σ(Xi-μ)^2/nを使えばよく、これは、自由度nのχ^2分布に従います。

(*)のようにμが未知なら不偏分散と同様で、標本分散の分布には、（元の分布の平均を推定するために）標本平均の分布がかかわってくるので、ここ由来の項により自由度が1つ減って自由度(n-1)のχ2乗分布になるのでした。
No.49556 - 2018/04/01(Sun) 18:52:55
☆ Re: 不偏分散においてn-1で割る理由 / 高橋由伸
返信ありがとうございます。
ここで述べていた平均は、x(ave)を含めて標本平均の意味で使っていました。母平均との区別が曖昧な表現になってしまいすいませんでした。

黄桃様の返信の一番最後の
【(*)のようにμが未知なら不偏分散と同様で、標本分散の分布には、（元の分布の平均を推定するために）標本平均の分布がかかわってくるので、ここ由来の項により自由度が1つ減って自由度(n-1)のχ2乗分布になるのでした。】
がいまいち理解できません。

例えば、X^−=Σxi/n＝（定数）となるのであれば、（連立方程式のように考えると）その式を用いてn個のxiの内から一つを消去できるため、自由度が1つ減るというのは理解できます。
しかし、X^−はあくまで確率変数であるため、X^−の式があっても、X^−という変数が新たに加わるため、あくまで自由度はnのままではないのか？という疑問を持っています。
もしくは、中心極限定理より「X^−は正規分布に従う」というのが束縛条件になっているのでしょうか？？しかし、その場合でも、nが小さい場合では「X^−は正規分布に従う」とは言えないので、納得できません。

よろしくお願いします。
No.49562 - 2018/04/02(Mon) 01:22:21
☆ Re: 不偏分散においてn-1で割る理由 / 黄桃
後半部分は、大分省略しています。掲示板で書くには長すぎます。S^2の分布についてちゃんとした教科書を（図書館などで）読んでください。

ポイントは、Xが正規分布であれば、S^2とX^-は独立に分布するので、nS^2/σ^2のモーメント母関数が、Σ(Xi-μ)^2/σのモーメント母関数を(X^- -μ)/(σ/√n))のモーメント母関数で割ったものと計算できることです（モーメント母関数を取る前は不偏分散と同様の式です）。

こうした背景から「自由度」と呼ぶとイメージが湧き、整合性も保てると考える人が多いのでこの呼称が一般的になったとお考え下さい。最初になんらかの「自由度」という概念があると思わない方がいいと思います。
No.49567 - 2018/04/02(Mon) 07:58:47
☆ Re: 不偏分散においてn-1で割る理由 / 黄桃
きちんとした数理統計学の教科書を読むことをお勧めします。
分布の平均（あるいは分散）と標本の平均（あるいは分散）の違いも明確ではないように思います。
特に、母平均が未知であるか既知であるかがはっきり区別できていないようです。

確率変数Xの平均をμ、分散をσ^2 とし、Xの大きさnに関する標本をX[1],...,X[n]とします。
標本平均X^-=(1/n)ΣX[i], 標本分散S^2=(1/n)Σ(X[i]-X^-)^2 です。

＃ご質問の文章からは x(ave)がμの意味なのかX^-の意味なのかわかりません。
＃流れ的には標本平均のように思えますが、x(ave)とは別に標本平均という言葉も出てきており、
＃よくわかりません。

不偏分散に関して言えば、E(S^2)を計算すれば、
(1/n)ΣE(Xi-μ)^2-E(X^- - μ)^2=σ^2-(1/n)σ^2=((n-1)/n)σ^2 (X^- -μは、平均0,分散σ^2/nの確率変数になります）
となり、E(X^- - μ)^2 由来の項、すなわち、標本平均の分布に関する項があるために、S^2では不偏推定量にならないのでした。
これを修正するために、n/(n-1)を S^2に乗じたもの、つまり、(1/(n-1))Σ(X[i]-X^-)^2が不偏分散と呼ばれるのでした。

これを評して「そもそも分散とは平均からの偏りという相対的な数値であるから平均を0にしても同じことであり、これはΣX[i]=0ということだから、自由度が1つ小さい」といっているのでしょう(n=1なら推定のしようがない方が当然です）。

なお、μが既知であれば、S^2の代わりに (1/n)Σ(X[i]-μ)^2 を使えば、これは不偏推定量になり自由度nのχ2乗分布になります。

両者を混同しているように見えます。

2番目も、おそらく、
(*)「Xが分散σ^2の正規分布に従う時(平均は未知)、それから抽出された大きさnの無作為標本による標本分散S^2を
S^2=(Σ(X[i]-X^-)^2)/n
とすれば、nS^2/σ^2 は自由度n-1のχ2乗分布に従う」
という類のことを誤解しているのではないでしょうか。

母平均μが既知なら、上で述べたようにσ^2の推定には、Σ(Xi-μ)^2/nを使えばよく、これは、自由度nのχ^2分布に従います。

(*)のようにμが未知なら不偏分散と同様で、標本分散の分布には、（元の分布の平均を推定するために）標本平均の分布がかかわってくるので、ここ由来の項により自由度が1つ減って自由度(n-1)のχ2乗分布になるのでした。
No.49556 - 2018/04/01(Sun) 18:52:55
☆ Re: 不偏分散においてn-1で割る理由 / 高橋由伸
返信ありがとうございます。
ここで述べていた平均は、x(ave)を含めて標本平均の意味で使っていました。母平均との区別が曖昧な表現になってしまいすいませんでした。

黄桃様の返信の一番最後の
【(*)のようにμが未知なら不偏分散と同様で、標本分散の分布には、（元の分布の平均を推定するために）標本平均の分布がかかわってくるので、ここ由来の項により自由度が1つ減って自由度(n-1)のχ2乗分布になるのでした。】
がいまいち理解できません。

例えば、X^−=Σxi/n＝（定数）となるのであれば、（連立方程式のように考えると）その式を用いてn個のxiの内から一つを消去できるため、自由度が1つ減るというのは理解できます。
しかし、X^−はあくまで確率変数であるため、X^−の式があっても、X^−という変数が新たに加わるため、あくまで自由度はnのままではないのか？という疑問を持っています。
もしくは、中心極限定理より「X^−は正規分布に従う」というのが束縛条件になっているのでしょうか？？しかし、その場合でも、nが小さい場合では「X^−は正規分布に従う」とは言えないので、納得できません。

よろしくお願いします。
No.49562 - 2018/04/02(Mon) 01:22:21
☆ Re: 不偏分散においてn-1で割る理由 / 黄桃
後半部分は、大分省略しています。掲示板で書くには長すぎます。S^2の分布についてちゃんとした教科書を（図書館などで）読んでください。

ポイントは、Xが正規分布であれば、S^2とX^-は独立に分布するので、nS^2/σ^2のモーメント母関数が、Σ(Xi-μ)^2/σのモーメント母関数を(X^- -μ)/(σ/√n))のモーメント母関数で割ったものと計算できることです（モーメント母関数を取る前は不偏分散と同様の式です）。

こうした背景から「自由度」と呼ぶとイメージが湧き、整合性も保てると考える人が多いのでこの呼称が一般的になったとお考え下さい。最初になんらかの「自由度」という概念があると思わない方がいいと思います。
No.49567 - 2018/04/02(Mon) 07:58:47
★ 軌跡逆の吟味 / 荒生
軌跡の逆の吟味が必要なのはわかりますが、実際に逆が成り立たない例を教えてください。
No.49548 - 2018/03/31(Sat) 23:58:40
★ 軌跡 / 荒生
軌跡を求める手順で、逆の吟味を省略できる場合でそれが明らかな場合というのがあるのですが、どのような時に明らかと言えるのかわかりません。
No.49546 - 2018/03/31(Sat) 23:55:35
☆ Re: 軌跡 / らすかる
軌跡に限らず、途中で同値変形でない変形を行った場合は逆の吟味が必要で、
すべて同値変形である場合は不要です。
「同値変形でない変形」とは逆が成り立つとは限らない変形のことで、
例えば「両辺を2乗」という操作がこれにあたります。
No.49549 - 2018/04/01(Sun) 03:03:56
★ 極限 / 柳生
数列{a[n]}と数列{s[n]}をそれぞれ以下のように定める。
a[1]＝1, a[n+1]＝a[n]+1/(2a[n])
s[n]＝Σ[k＝1〜n]{1/(a[k])²}
このとき、数列{s[n]}の極限を調べなさい。

解説をお願いします。
No.49539 - 2018/03/31(Sat) 18:43:22
☆ Re: 極限 / RYO
{s[n]}は(非常にゆっくりと)正の無限大に発散します。
以下、このことを背理法で示します。


[前提?T]
条件より、{a[n]}と{s[n]}はどちらも常に正の値をとる。…?@

[前提?U]
　a[n+1]＝a[n]+1/(2a[n])
⇔(a[n+1])^2＝(a[n])^2+1+1/{4(a[n])^2} (∵?@)
⇔(a[n+1])^2-(a[n])^2＝1+1/{4(a[n])^2}
よって、
　(a[n+1])^2
＝{(a[n+1])^2-(a[n])^2}+{(a[n])^2-(a[n-1])^2}+…+{(a[2])^2-(a[1])^2}+(a[1])^2
＝[1+1/{4(a[n])^2}]+[1+1/{4(a[n-1])^2}]+…+[1+1/{4(a[1])^2}]+1
＝n+(1/4)[{1/(a[1])^2}+{1/(a[2])^2}+…+{1/(a[n])^2}]+1
＝n+(s[n])/4+1　…?A

[証明]
n→∞のとき{s[n]}が(有限の値に)収束すると仮定すると、任意の自然数nに対して
　(a[n])^2
＝n+(s[n-1])/4 (∵?A)
≦n+m
が成立するような自然数mが存在する。
このとき、
　s[n]
＝Σ[k＝1〜n]{1/(a[k])^2}
≧Σ[k＝1〜n]{1/(k+m)}
＝Σ[k＝1〜n+m](1/k)-Σ[k＝1〜m](1/k) …?B
ここで、n→∞のときΣ[k＝1〜n+m](1/k)は正の無限大に発散する([参考])ので、(?Bの右辺)は正の無限大に発散する。
よって、追い出しの原理により{s[n]}も正の無限大に発散することになるが、これは仮定に矛盾する。
したがって、{s[n]}は発散する。

以上より、?@と合わせて{s[n]}は正の無限大に発散することが示された。
No.49541 - 2018/03/31(Sat) 19:40:06
☆ Re: 極限 / らすかる
a[n]は増加数列なのでa[n]≧1、よって
(a[n+1])^2=(a[n])^2+1/(4(a[n])^2)+1＜(a[n])^2+2
が成り立つので(a[n])^2＜2n
従って
lim[n→∞]Σ[k=1〜n]{1/(a[k])^2}
＞lim[n→∞]Σ[k=1〜n]{1/(2k)}
→+∞
No.49542 - 2018/03/31(Sat) 19:48:11
☆ Re: 極限 / 柳生
>>RYOさん
丁寧な解説をありがとうございます！
自力でこの方針を思いつける自信はありませんが、ひとまず理解はできたと思います(^^)

>>らすかるさん
回答ありがとうございます！
とてもシンプルで魅力的な解法なのですが、
>(a[n+1])^2=(a[n])^2+1/(4(a[n])^2)+1＜(a[n])^2+2
>が成り立つので(a[n])^2＜2n
の部分が理解できません。
もう少し分かりやすく(かみくだいて)説明していただけませんか？
No.49543 - 2018/03/31(Sat) 20:29:53
☆ Re: 極限 / らすかる
(a[1])^2=1＜2
(a[n+1])^2＜(a[n])^2+2 すなわち (a[n+1])^2-(a[n])^2＜2 なので
n≧2のとき (a[n])^2=(a[1])^2+Σ[k=2〜n]{(a[k])^2-(a[k-1])^2}＜2+Σ[k=2〜n]2=2n
となりますね。
No.49544 - 2018/03/31(Sat) 20:37:08
☆ Re: 極限 / 柳生
>>らすかるさん
なるほど〜
解説ありがとうございました！
No.49547 - 2018/03/31(Sat) 23:55:38
★ 図形の問題 / 数学不得意
（２）（３）図形が苦手で解りません。解説よろしくお願いします。
No.49533 - 2018/03/31(Sat) 13:37:48
☆ Re: 図形の問題 / 数学不得意
答えです。
No.49534 - 2018/03/31(Sat) 13:39:41
☆ Re: 図形の問題 / ヨッシー
(2)
(ア)立方体から球を引くだけなので省略
(イ)12cmをｘ等分するだけなので省略
(ウ)半径 6/x の球がｘ^3個あるので、１個の球の体積は
　288π/ｘ^3　cm^3
全部の球の体積は　288π/ｘ^3×ｘ^3＝288π
　(以下略)
(あ)
(ア)と(ウ)が同じなので　イ：間違っており
(い) エ：・・・変わらない

(3)
平面図と正面図および正面図を45°回転した方向から見た図は以下の通り
（ただし、球Ｂは１段にしてある）

図の△ＡＢＣにおける三平方の定理より
　ＡＢ＝3√7
これに、球Ａの半径と球Ｂの半径と球Ｂの直径を足して
　6+3+6＋3√7＝15＋3√7
No.49545 - 2018/03/31(Sat) 23:50:01
☆ Re: 図形の問題 / 数学不得意
(3)解説ありがとうございました。
No.49557 - 2018/04/01(Sun) 19:34:35
★ 中3範囲。 図形の問題です。 / 蘭
いつもお世話になっております。
また全然わからない問題に出会ってしまいました。

この問題です。

解けそうで解けないです。

答えも知らないです。

いつも協力ありがとうございます！
回答よろしくお願いします。


.
No.49529 - 2018/03/31(Sat) 09:16:51
☆ Re: 中3範囲。 図形の問題です。 / らすかる
△APR=(7/13)(9/11)△ABC=(63/143)△ABC
△BQP=(6/13)(1/2)△ABC=(3/13)△ABC
△CRQ=(2/11)(1/2)△ABC=(1/11)△ABC
なので
△PQR=△ABC-△APR-△BQP-△CRQ
=△ABC-(63/143)△ABC-(3/13)△ABC-(1/11)△ABC
=(34/143)△ABC
よって正方形PQRS=(68/143)△ABCなので、
正方形の一辺をxとすると△ABC=(143/68)x^2

△BQP=(3/13)△ABC=(33/68)x^2
BからPQに垂線BHを下ろすと
BH=△BQP×2÷PQ=(33/34)x

P,A,RからBCに垂線PD,AE,RFを下ろすと
PD=(6/13)AE, RF=(2/11)AEなので
PD：RF=6/13：2/11=33：13
△PDQ≡△QFRからQD=RFなのでPD：QD=33：13
△BHQ∽△PDQからBH：QH=PD：QD=33：13なのでQH=(13/33)BH=(13/34)x
よってPH=PQ-QH=x-(13/34)x=(21/34)x
BH^2+PH^2=BP^2にBH=(33/34)x,PH=(21/34)x,BP=6を代入して
{(33/34)^2+(21/34)^2}x^2=36
∴x^2=36/{(33/34)^2+(21/34)^2}=136/5
No.49535 - 2018/03/31(Sat) 13:48:08
☆ Re: 中3範囲。 図形の問題です。 / 蘭
なんと………
えげつない答えなんでしょう笑笑



本当にありがとうございます！！！

いつもお世話になり、ほんとうに感謝しています！
またよろしくお願いします。


.
No.49536 - 2018/03/31(Sat) 15:00:46
☆ Re: 中3範囲。 図形の問題です。 / らすかる
計算間違いがありましたので、元の書き込みを修正しました。
問題文を検索すると、もっと簡潔な解き方が見つかります。
No.49538 - 2018/03/31(Sat) 15:17:52
★ (No Subject) / 元中三
変化の割合についてまとめてみたのですが、(2)の反比例のグラフの変化の割合は正しいですか？
No.49527 - 2018/03/31(Sat) 09:08:04
☆ Re: 完璧です。 / 蘭


見たらわかります。完璧です。

何も問題ありません。


.
No.49528 - 2018/03/31(Sat) 09:13:52
☆ Re: / 元中三
ありがとうございます
中学校では反比例のグラフの変化の割合は学習しなかったので質問させていただきました
No.49531 - 2018/03/31(Sat) 09:29:19
★ 何個もごめんなさい / こういち
a*2-ac-ab+bcが、(a-b)(a-c)になる、考え方を教えてください。公式はありますか？
No.49522 - 2018/03/30(Fri) 23:53:55
☆ Re: 何個もごめんなさい / 鶏
まず関係ないですが「*」は「×」を意味します。累乗の場合は「^」を使います。
a*2-ac-ab+bcをa^2-ac-ab+bcと解釈してお答えします。

多文字の因数分解は、次数の一番少ない文字について整理するといいです。
次数の一番少ない文字が複数ある場合はそのどちらかについて整理します。
今回はaの2次式、bの1次式、cの1次式なのでbについて整理すると
a^2-ac-ab+bc=b(c-a)+a^2-ac
となります。するとbの含まれない項がaでさらにくくれるので
b(c-a)+a^2-ac=b(c-a)+a(a-c)
ここで、c-aは-(a-c)とできるので
b(c-a)+a(a-c)=-b(a-c)+a(a-c)
これで共通因数a-cが出てきたのでさらにくくって
-b(a-c)+a(a-c)=(a-b)(a-c)
となります。

問題になるような多文字の因数分解はたいていこんな感じで低い次数の文字について整理すると解けるので、教科書にあるもの以外は特別に公式を覚える必要はないと思っています。
No.49525 - 2018/03/31(Sat) 00:44:46
★ (No Subject) / こういち
2x*2-3xy-2y*2+3y-1
は、どうなるのですか？
歯が立たない
No.49520 - 2018/03/30(Fri) 23:32:19
☆ Re: / こういち
(2x-y+1)(x-2y+1)
になるのですが、違いますよね
No.49521 - 2018/03/30(Fri) 23:37:55
☆ Re: / らすかる
2x^2-3xy-2y^2+3y-1 はどうにもなりません（因数分解できません）。
2x^2-3xy-2y^2+x+3y-1 ならば (2x+y-1)(x-2y+1) となります。
No.49526 - 2018/03/31(Sat) 06:02:08
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