この問題を教えてください
BC=2, ∠A=π/2の三角形ABCがある。直線BCに関してAと対称な点をDとし、点EをAC(ベクトル)=BE(ベクトル)を満たすようにとる。また、直線BEと直線CDの交点をGとする。AC>BCを満たすように三角形ABCを動かすとき、三角形AFGの面積を最大にするtan^2(∠ACB)の値を求めよ。
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No.49336 - 2018/03/20(Tue) 15:01:10
| ☆ Re: 三角比とベクトル / ヨッシー  | | | ＢＣは直角三角形ＡＢＣの斜辺なので
ＡＣ＞ＢＣ
にはなり得ません。
また、点Ｆが定義されていません。
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No.49337 - 2018/03/20(Tue) 15:16:33 |
| ☆ Re: 三角比とベクトル / ぱっぱ | | | AC>ABでした
また、点FとはBEとADの交点であります
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No.49340 - 2018/03/20(Tue) 16:15:48 |
| ☆ Re: 三角比とベクトル / ヨッシー | | | 
∠ＡＣＢ＝θ (0＜θ＜π/4) とおくと ∠ＡＯＢ＝2x （ＯはＢＣの中点）であるので、
Ａ(cos2θ, sin2θ)、Ｂ(1, 0)、Ｃ(-1, 0)
Ｄ(cos2θ, −sin2θ)、Ｅ(−cos2θ, −sin2θ)
と表せます。
ＥＢの式は
ｙ＝sin2θ(x−1)/(1＋cos2θ)
Ｆはこの直線上でＡとｘ座標が同じ点であるので、Ｆのｙ座標Ｆyは
Ｆy＝sin2θ(cos2θ−1)/(1＋cos2θ)
ＡＦの長さは
ＡＦ＝sin2θ−sin2θ(cos2θ−1)/(1＋cos2θ)
＝2sin2θ/(1＋cos2θ)
△ＡＦＧにおいて、ＡＦを底辺としたときの高さは、
Ａのｘ座標の cos2θ であるので、
△ＡＦＧ＝cos2θ・sin2θ/(1＋cos2θ)
＝sin4θ/2(1＋cos2θ)
f(θ)＝sin4θ/2(1＋cos2θ) と置きます。θで微分して
f'(θ)＝{2cos4θ(1＋cos2θ)＋sin2θsin4θ}/(1＋cos2θ)^2
(分子)＝2(2cos^2(2θ)−1)(1＋cos2θ)＋2sin^2(2θ)cos2θ
＝2(2cos^2(2θ)−1)(1＋cos2θ)＋2{1−cos^2(2θ)}cos2θ
＝2{2cos^2(2θ)−1＋2cos^3(2θ)−cos2θ＋cos2θ−cos^3(2θ)}
＝2{cos^3(2θ)＋2cos^2(2θ)−1}
＝2(cos2θ＋1)(cos^2(2θ)＋cos2θ−1)
0＜2θ＜π/2 より 0＜cos2θ＜1
この範囲で (分子)＝０ を解くと
cos2θ＝(√5−1)/2
2cos^2θ−1＝(√5−1)/2
cos^2θ＝(√5＋1)/4
tan^2θ＝(1/cos^2θ)−1 より
tan^2∠ＡＣＢ＝√5−2 ・・・答
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No.49361 - 2018/03/21(Wed) 19:11:03 |
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