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★ 位相空間 コンパクト / とんぼ
以下の問題が分かりません。
どなたか教えて頂きたいです。
よろしくお願いします。

実数全体の集合Rにおいて、次の条件(a),(b),(c)を全て満たす空でない部分集合を1つ挙げよ。
(a)コンパクトである
(b)有限集合ではない
(c)閉区間ではない
No.84746 - 2023/01/28(Sat) 21:05:00
☆ Re: 位相空間 コンパクト / IT
Ｒの部分集合がコンパクトであるための条件は、どう習いましたか？

[0,1]∪[2,3] は、ダメですか？
{0}∪{1/n;n∈Ｎ} は、どうですか？
No.84748 - 2023/01/28(Sat) 22:06:05
☆ Re: 位相空間 コンパクト / とんぼ
ありがとうございます！
納得しました！
No.84749 - 2023/01/28(Sat) 22:38:14
★ 三角関数の極限 / nn
添付ファイルの問題ですが、答えはすぐに0とわかると思うが、どうしてわざわざt=1/xとおいてあるのですか？
No.84744 - 2023/01/28(Sat) 17:22:12
☆ Re: 三角関数の極限 / ast
プレビューした場合ファイルが未選択に戻るので再度選択してから (あるいはそもそもプレビューせずに) 投稿してください.
# 編集パスを設定してあるなら, うまくいかなかったとしても後から画像を変更するなど修正が利きます.

あるいは画像に頼らずテキスト入力だけで伝わるような問題であれば, そちらも検討してみてください.
No.84745 - 2023/01/28(Sat) 18:47:55
★ (No Subject) / ぴーたろ
こんにちは。
後半の←の証明の中で、
　ただし、p,qは互いに素
とあるのですが、なぜ互いに素である必要があるのでしょうか。

よろしくお願いいたします。
No.84740 - 2023/01/28(Sat) 10:00:41
☆ Re: / ぴーたろ
> こんにちは。
> 後半の←の証明の中で、
> 　ただし、p,qは互いに素
> とあるのですが、なぜ互いに素である必要があるのでしょうか。
>
> よろしくお願いいたします。
No.84741 - 2023/01/28(Sat) 10:02:30
☆ Re: / IT
p,qが互いに素でないとき、すなわち　2以上の整数kを公約数に持てば
pm+qn は、任意の整数m,nについてkの倍数となり、
pm+qn＝1は整数解を持ちません。
No.84742 - 2023/01/28(Sat) 11:01:27
☆ Re: / ast
> なぜ互いに素である必要があるの
を文字通りに受け取るなら, それに対する回答はたしかにITさんの書かれた通りなのですが, しかし, それは画像中の「さきほど」が指す部分できちんと説明 (証明) されてるはずのこととしか思えないので, この疑問文が質問者の持った疑問を正確に表していないのではないかという疑いの線が濃厚であるように感じられます.
# 本当にそういう疑問を持ったのなら質問対象はこの画像の部分ではなく「さきほど」の部分であるはず.
# (少なくとも「さきほど」の部分もともに引用されてしかるべき場面ということになる.)
/*
仮に, たとえば「"a=p⋅gcd(a,b), b=q⋅gcd(a,b)" とした時点で "p,q は互いに素" という条件まで言い切れる理由が知りたい」というような内容をさしたかったとかであれば, 疑問としては真っ当だと思います.
# が, これは逆に「互いに素なのは (そうなるように gcd で割ってるので) 明らか」な部類なので,
# 質問するには及ばない気がする (ので, こちらで真の疑問と思われるものを想像するまでに至らない).
*/

なので, ぴーたろさんには質問文が適正なものになっているのかいちど検討してみて欲しいところです.
No.84743 - 2023/01/28(Sat) 13:45:08
★ (No Subject) / よー
大学2年生です。
画像の複素積分の解き方を教えてください。
答えはi/6log5です。
途中式などもわかりやすく教えていただけるとありがたいです。
No.84737 - 2023/01/27(Fri) 21:57:07
☆ Re: / ポテトフライ
積分路z=e^{it},-π/2≦t≦π/2なので

与式=∫_[-π/2,π/2]ie^{it}/(9+4e^{2it})dt

あとは積分を頑張って実行すれば答えになります。


参考
https://www.wolframalpha.com/input?i=int_%7B-%CF%80%2F2%7D%5E%7B%CF%80%2F2%7D+ie%5E%7Bit%7D%2F%289%2B4e%5E%7B2it%7D%29+dt&lang=ja
No.84738 - 2023/01/27(Fri) 23:05:39
☆ Re: / ast
被積分函数の正則領域上での積分だから積分路に依らず端点での値のみで決まるし, しかも 1/(z^2+a^2) (の定数倍) の形だから原始函数はあきらかに arctan いっぱつで書ける.
特に計算過程のみに関しては複素積分に特有な手順などは要らないはずなので, それでなぜ解き方すら尋ねるようなレベルで計算できないとなるのか……?
# まあ確かに相手は "複素変数の" 逆正接 arctan だが, いま必要なのは純虚数における値だから,
# 実際には実変数の逆双曲線正接 artanh になり, つまり結局は対数が出てくるのは当然の流れ.
## (各逆双曲線函数の中身が対数函数で書ける簡単な函数だというのは一般教養として.)
No.84739 - 2023/01/28(Sat) 01:51:07
☆ Re: / ポテトフライ
astさん
＞被積分函数の正則領域上での積分だから積分路に依らず端点での値のみで決まるし

確かにそうですね。複素積分の定義に従うよりはるかに簡単に計算できますね。正則関数であることから実積分っぽく計算すれば

与式=∫[-i,i]dz/(9+4z^2)
=[(1/6)arctan(2z/3)]_[-i,i]
=・・・
=(i/6)*log5
No.84747 - 2023/01/28(Sat) 21:09:07
☆ Re: / ast
まあ出題者が想定しているのはおそらく, ポテトフライさんが No.84738 で書かれた計算と同様の仕方で, ただし積分路 C を虚軸上を -i から i まではしる積分路 C' に取り換えて計算することなのではないでしょうか.
# すると ∫[-1,1] dy/(9-4y^2) という高校レベルの平易な実積分の実行可否に話が帰着されるので.
## いずれにしても「途中式」云々と訊いてくるのはしょうもない場面ですけれど.
No.84750 - 2023/01/28(Sat) 23:03:41
★ (No Subject) / ピースで目潰しパンチ
点Oを中心とする半径2の円の内部にOP＝1となるような点Pをとり、点Pで直交する2直線を引く。円と2直線の交点を反時計回りに順にA,B,C,Dとし、四角形ABCDの面積をS1、三角形ABPの面積をS2、三角形CDPの面積をS3とする。
１.点Oと直線ACの距離をhとする。S1をhの式で表せ。
２.S2×S3を求めよ。
３.S2＋S3の値の取りうる範囲を求めよ。
No.84731 - 2023/01/26(Thu) 00:18:33
☆ Re: / ヨッシー
S2 と S3 について、
2. は掛け算、3. は足し算
で間違いないですか？
No.84732 - 2023/01/26(Thu) 08:28:46
☆ Re: / ピースで目潰しパンチ
そうです。
No.84734 - 2023/01/26(Thu) 11:20:29
★ 中2数学　場合分け / 中2
中2です。場合分けの問題です。

ABCDEの五人から三人ずつ選ぶ時、組み合わせは何通りあるか
解答　10通り

この問題を解く時、私は普通に樹形図で解いたんですけど、先生が「五人から三人を選ぶのは、五人から二人を選ばないのと同じ」と言っていました。言ってることはなんとなくわかるんですけど、五人から二人選ばない解き方が思いつきません。
わかりやすく教えてくださると嬉しいです。
No.84725 - 2023/01/24(Tue) 23:57:10
☆ Re: 中2数学　場合分け / らすかる
二人選ばないということは、「選ばない二人を決める」ということですから、結局「五人から二人を選ぶ」のと同じ数になります。
No.84727 - 2023/01/25(Wed) 05:08:42
☆ Re: 中2数学　場合分け / 中2
> 二人選ばないということは、「選ばない二人を決める」ということですから、結局「五人から二人を選ぶ」のと同じ数になります。

ありがとうございます。五人から二人選んだ（二人選ばなかった）ときの組み合わせと、五人から三人選んだときの組み合わせをやってみたら確かに同じになりました！助かりました。
No.84736 - 2023/01/27(Fri) 06:26:33
★ (No Subject) / やゆん
算数小学6年です。
問) Aの自動車のタイヤは、1秒間に5回転し、そのときの時速が40kmです。また、同じタイヤで、Bの自動車は、1秒間に8回転します。Bの自動車の時速を求めなさい。

解法)40÷5=8より、1秒間にタイヤが1回転するときの時速8km、これに8をかけると8回転するときの時速が求められる。8×8=64

答え)時速64km

時速を秒速に変換し、÷5、×8をして出た秒速160/9mを時速に変換しました。
答えが時速64kmで、変換なし計算の答えと同じでした。
ただ、何故答えが同じなのか分かりません。
No.84721 - 2023/01/24(Tue) 20:54:23
☆ Re: / ヨッシー
時速○kmを秒速□m に変換するときは、
3600で割って、1000を掛けます。つまり、3.6で割ります。
逆の場合は 3.6 を掛けます。
秒速に直す解き方では
　40÷3.6÷5×8
ここまでが 秒速160/9mであり、これを時速に直すのに3.6を掛けると
　40÷3.6÷5×8×3.6
なので、40÷5×8 に対して、3.6で割って3.6を掛けているので、答えは同じになります。
No.84728 - 2023/01/25(Wed) 06:11:43
☆ Re: / ast
# 正直, No.84673 で一致を確認したことで現時点の理解としては十分だと思っていますが…….

本質的にはヨッシーさんのご回答から外れるものではないですが, 今回の問題で全く同じ比としてあらわされるものに↓以下のようなものがあります:

　　(Aの時速) : (Bの時速)
　= (1時間あたりにAが進んだ距離) : (1時間あたりにBが進んだ距離)
　= (1時間あたりのAのタイヤの回転数)×(タイヤの一周の長さ) : (1時間あたりのBのタイヤの回転数)×(タイヤの一周の長さ)
　= (1時間あたりのAのタイヤの回転数) : (1時間あたりのBのタイヤの回転数)
　= 3600×(1秒あたりのAのタイヤの回転数) : 3600×(1秒あたりのBのタイヤの回転数)
　= (1秒あたりのAのタイヤの回転数) : (1秒あたりのBのタイヤの回転数)　　// 問題で与えられた情報
　= (1秒あたりのAのタイヤの回転数)×(タイヤの一周の長さ) : (1秒あたりのBのタイヤの回転数)×(タイヤの一周の長さ)
　= (1秒あたりにAが進んだ距離) : (1秒あたりにBが進んだ距離)
　= (Aの秒速) : (Bの秒速)

↑ここでは, "ある一定の時間 (例えば1秒) で進んだ距離" が "一定時間当たりの回転数×タイヤの一周の長さ" に等しいことや, それが走らせる時間の長さに比例することなどの事実を用いていますがそれは本論ではないと思いますので割愛します (本論は「2数の比はその2数に同じ数を掛けて得られる2数の比に等しい」という比の性質だと思いますので).
※ここでは距離および長さの単位は [km] と考えてください. もちろん [m] に関して同じような式が作れますし, それらを上記の等式の途中に挟み込むこともできます.
No.84730 - 2023/01/25(Wed) 19:34:15
★ 8球の和集合の体積 / 大西
rを正の実数の定数とするとき

領域D1:(x-r)^2+(y-r)^2+(z-r)^2≦3r^2
領域D2:(x+r)^2+(y-r)^2+(z-r)^2≦3r^2
領域D3:(x-r)^2+(y+r)^2+(z-r)^2≦3r^2
領域D4:(x-r)^2+(y-r)^2+(z+r)^2≦3r^2
領域D5:(x+r)^2+(y+r)^2+(z-r)^2≦3r^2
領域D6:(x-r)^2+(y+r)^2+(z+r)^2≦3r^2
領域D7:(x+r)^2+(y-r)^2+(z+r)^2≦3r^2
領域D8:(x+r)^2+(y+r)^2+(z+r)^2≦3r^2
D=D1∪D2∪D3∪D4∪D5∪D6∪D7∪D8
とするときDの体積を求めよ。

東京工業大学の問題だと思うのですが、解答が見当たらなくて解けなくて困っています。
教えてください。
No.84720 - 2023/01/24(Tue) 20:42:34
☆ Re: 8球の和集合の体積 / IT
３次元（立体）だと難しいので２次元（平面）で考えます。
z=a での断面を調べて積分するぐらいかな（面倒ですね）
No.84722 - 2023/01/24(Tue) 21:38:51
☆ Re: 8球の和集合の体積 / IT
領域D1:(x-r)^2+(y-r)^2+(a-r)^2≦3r^2 と
領域D4:(x-r)^2+(y-r)^2+(a+r)^2≦3r^2

領域D2:(x+r)^2+(y-r)^2+(a-r)^2≦3r^2と
領域D7:(x+r)^2+(y-r)^2+(a+r)^2≦3r^2

領域D3:(x-r)^2+(y+r)^2+(a-r)^2≦3r^2と
領域D6:(x-r)^2+(y+r)^2+(a+r)^2≦3r^2

領域D5:(x+r)^2+(y+r)^2+(a-r)^2≦3r^2と
領域D8:(x+r)^2+(y+r)^2+(a+r)^2≦3r^2
は

それぞれ円の内部（円周も含む。空の場合もあり）であり、ｚの値a によって　一方が他方を含みますので
各aの値について、大きい方の４つの円の位置関係で分類し、和集合の面積を計算すれば出来ると思います。
（対称性を使って、片側だけ計算して２倍する）
No.84723 - 2023/01/24(Tue) 21:53:39
☆ Re: 8球の和集合の体積 / 大西
ITさんご返事ありがとうございます。

z=aで切って求めるのが良さそうなのですね。
隣り合う領域が3つ重なっているところがあるような気がして立体がイメージできませんでした。

対称性を考えるとx≧0,y≧0,z≧0の領域だけ考えて8倍しても
良さそうな気がしたのですが違うのでしょうか？
No.84724 - 2023/01/24(Tue) 23:30:47
☆ Re: 8球の和集合の体積 / IT
> 対称性を考えるとx≧0,y≧0,z≧0の領域だけ考えて8倍しても
> 良さそうな気がしたのですが違うのでしょうか？

良いと思います。
No.84726 - 2023/01/25(Wed) 01:00:52
☆ Re: 8球の和集合の体積 / 大西
ITさんご返事ありがとうございます。

挑戦してみます。

ありがとうございました。
No.84729 - 2023/01/25(Wed) 10:46:51
★ (No Subject) / 吉田　
7ケタの自然数のうち, 1がちょうど２個連続して並ぶようなものはいくつあるか。また, そのような数のうち, 偶数が1と隣り合わないものはいくつあるか。

この問題の解答を教えていただけますでしょうか。よろしくおねがいいたします。
No.84710 - 2023/01/23(Mon) 18:30:53
☆ Re: / IT
例えば、1100110 は含まれますか？
No.84711 - 2023/01/23(Mon) 18:44:37
☆ Re: / 吉田　
返信ありがとうございます。含まれます。
しかし, 1112301 は1が３個連続しているので含まれません。
同様に 0471156 などは先頭に0がくるので６ケタの自然数となり含まれません。
No.84712 - 2023/01/23(Mon) 18:58:48
☆ Re: / IT
けっこう面倒ですね。
条件を満たす１の配置をすべて列挙して、それぞれ残りの数の並べ方を計算する方法しか、ぱっとは思いつきません。
No.84714 - 2023/01/23(Mon) 21:03:13
☆ Re: / らすかる
例えば、1110110は含まれますか？
No.84715 - 2023/01/24(Tue) 00:04:38
☆ Re: / 吉田　
返信ありがとうございます。
含まれません。1110110 は1が連続して三個以上並んでいるので, 1が「ちょうど２個」連続して並ぶという条件に反します。
No.84716 - 2023/01/24(Tue) 13:13:55
☆ Re: / 吉田　
答えだけでも教えていただけないでしょうか。
No.84717 - 2023/01/24(Tue) 13:14:43
☆ Re: / らすかる
では1100100も含まれないということでいいでしょうか？
（条件がきちんとわからない状態では答えも出せません）
No.84718 - 2023/01/24(Tue) 13:57:08
☆ Re: / らすかる
もし
・1は必ず、ちょうど2桁連続でなければならない
・1は存在しなければならない
という条件で良ければ
以下でxは1以外の数字、yは0,1以外の数字
11xxxxx: 9^5通り
y11xxxx,yx11xxx,yxx11xx,yxxx11x,yxxxx11:
それぞれ8×9^4通りなので全部で40×9^4通り
11x11xx,11xx11x,11xxx11:
それぞれ9^3通りなので全部で3×9^3通り
y11x11x,y11xx11,yx11x11:
それぞれ8×9^2通りなので全部で24×9^2通り
従って全部で
9^5+40×9^4+3×9^3+24×9^2=325620通り
となります。
No.84719 - 2023/01/24(Tue) 14:09:01
☆ Re: / 吉田　
答えを出してもらった後で申し訳ないのですが, 題意としては
・1が連続して存在するところがある
・1が連続しているところは, 2ケタ以下である。
ということでした。抽象的ですいません。

1100011, 0110010, 1101101 含みます。
1001110, 1000100, 1110110 含みません。

「存在する1は必ず２ケタ連続である」といった題意ではありません。
No.84733 - 2023/01/26(Thu) 10:58:56
☆ Re: / らすかる
その条件ならば、上の場合分けに追加すると場合分けが結構多くなって
計算間違いの可能性が増えますので、ちょっと方法を変えます。
(先頭桁)≠0をいちいち場合分けすると大変ですので、機械的な計算で済むように
「先頭桁0を含む7桁の数(10^7通り)で条件を満たすもの」
−「先頭桁0を含む6桁の数(10^6通り)で条件を満たすもの」
として計算します。
先頭桁0を含む7桁の数において
11が一つで他は1以外
→ 1以外の数字を5個並べ、間または端計6箇所中1箇所に11を入れる
→ 9^5×6C1個
11が一つと1が一つで他は1以外
→ 1以外の数字を4個並べ、間または端計5箇所中2箇所に11と1を入れる
→ 9^4×5P2個
同様に
11が一つと1が二つ → 9^3×4C3×3C1個
11が二つ → 9^3×4C2個
11が二つと1が一つ → 9^2×3C1個
先頭桁0を含む6桁の数でも同様に
11が一つ → 9^4×5C1個
11が一つと1が一つ → 9^3×4P2個
11が一つと1が二つ → 9^2×3C1個
11が二つ → 9^2×3C2個
のようになりますので、問題の条件を満たすものは
(9^5×6C1+9^4×5P2+9^3×4C3×3C1+9^3×4C2+9^2×3C1)
-(9^4×5C1+9^3×4P2+9^2×3C1+9^2×3C2)
=456840個
となります。
No.84735 - 2023/01/26(Thu) 12:43:09
★ 集合の問題 / た
36以下の自然数のうち6、9の倍数の集合をそれぞれA、Bとする。
この時次の集合の要素の個数を求めよ。
⑴A ∩ B ⑵ A ∪ B
よろしくお願いします
No.84704 - 2023/01/22(Sun) 18:26:36
☆ Re: 集合の問題 / IT
36以下の自然数のうち6の倍数　を小さい方から　書いてみてください。

36以下の自然数のうち9の倍数　を小さい方から　書いてみてください。
No.84705 - 2023/01/22(Sun) 22:16:53
★ 数列 / 乃
a1=26,S(n+1)=2(an+a(n+1))-n^2-64 (n=1,2,3…)のとき、an>(n+4)^2 (n=1,2,3…)を示せ

a(n+2)=2an+2n^2+1になったのですが、n項とn+2項の関係式なので帰納法でこんがらがって進めません。どなたかよろしくお願いします
No.84699 - 2023/01/22(Sun) 16:44:11
☆ Re: 数列 / 乃
a(n+2)=2an+2n+1でした。
No.84702 - 2023/01/22(Sun) 17:18:34
☆ Re: 数列 / IT
a2 を求めて

1つ飛びに２系統の帰納法で示せば良いのでは？
a1→a3→a5→a7→
a2→a4→a6→a8→

a(n+2)=2a(n)+2n+1 まで出来てるなら
a(n+2)+2(n+2)+5=2(a(n)+2n+5) と変形して
一般項（奇数項・偶数項ごとに）を求めても良いですね。
No.84703 - 2023/01/22(Sun) 17:28:18
★ 反例の問題 / 学力不足　中２
数学が苦手で、考え方がよくわかりません。わかり易い解説お願いします。
No.84696 - 2023/01/22(Sun) 16:15:42
☆ Re: 反例の問題 / ななな
まず倍数とは、4の倍数と言われたら4，8，12，16とかのことです。
次に、ｎは8の倍数です。と言われたときに、「あ、ｎは64とか16とか32だ。」と考えましょう。その時に、ｎは4の倍数だと言われてるので、「64，32、16は4の倍数なのかな？」と考えます。64，32，16は4の倍数ですね。
写真の問題は、ｎが4の倍数だったら、ｎは8の倍数ですかと言われています。ということはｎは4，8，12，16とかですね。
どうでしょうか、4や12は8の倍数でしょうか。8の倍数は8，16，24，32、、、なので8の倍数ではないですね。ということで正解は正しくない、です。
No.84700 - 2023/01/22(Sun) 16:53:55
★ 円順列の隣り合わない方法について / さや
父、母、息子2人、娘2人が円形のテーブルに向かって座るとする。
女性が隣合わない方法は何通りあるか？

という問題で、
まず男性を固定して男性の並べ方が(3-1)! 次に男性の間3箇所に女性3人を並べるので(3-1)！
これらをかけて2×2=4通りを全ての円順列(6-1)！から引く　
と考えたのですが、女性を並べる時は円順列にならないみたいです。理由を教えて下さい😢　
No.84695 - 2023/01/22(Sun) 16:03:35
☆ Re: 円順列の隣り合わない方法について / IT
男性３人を並べた後の男性の間３つは、それぞれ異なる性質を持っているからです。

具体的に図示して考えると良いと思います。
No.84697 - 2023/01/22(Sun) 16:29:20
☆ Re: 円順列の隣り合わない方法について / さや
> 男性３人を並べた後の男性の間３つは、それぞれ異なる性質を持っているからです。
>
> 具体的に図示して考えると良いと思います。

男性は固定したから円順列で考えたけど隙間は何も固定してないからふつうの順列で考えるということですか？
No.84698 - 2023/01/22(Sun) 16:39:26
☆ Re: 円順列の隣り合わない方法について / IT
> 男性は固定したから円順列で考えたけど隙間は何も固定してないからふつうの順列で考えるということですか？

逆ですね、円順列なので男性は１人を固定して考えた。
女性は、既に男性が座っているので　３つの席が区別されている。ので・・・　ということです。
No.84701 - 2023/01/22(Sun) 17:02:54
☆ Re: 円順列の隣り合わない方法について / さや
ありがとうございます。隙間を埋めるときは円順列の問題でも普通の順列で考えるんですね。
No.84708 - 2023/01/23(Mon) 14:35:22
☆ Re: 円順列の隣り合わない方法について / IT
なぜかを考えないで、表面的に考えると危険ですよ。
No.84709 - 2023/01/23(Mon) 18:20:36
★ 売買損益 / クシャルダオラ
　無理だったら無視してOKです
　
　売買損益の式の立て方、意味等の解説をお願いしたいです。
　
　必要であれば例題も投稿します。
No.84694 - 2023/01/22(Sun) 14:14:08
☆ Re: 売買損益 / ヨッシー
売買損益＝売値−買値
プラスなら利益、マイナスなら損失です。

こういうこと？
No.84706 - 2023/01/22(Sun) 23:17:22
★ (No Subject) / クシャルダオラ
　いつもお世話になっております
『10人で働いて丁度12日で終わる仕事を、はじめの8日間は4人で働き、その後は8人で働きました。仕事を始めてから終えるまで何日かかりますか？』
　この答えを教えて下さい
（解説もあれば有り難いです。）
No.84691 - 2023/01/22(Sun) 07:58:43
☆ Re: / X
求める日数をx[日]とします。
今、一人が1日でできる仕事量を1とすると
問題の
10人で働いて丁度12日で終わる仕事
の仕事量について
8×4+8(x-8)=12×10
これを解いて
x=19
ということで、求める日数は
19[日]
です。
No.84692 - 2023/01/22(Sun) 08:57:50
☆ Re: / クシャルダオラ
ありがとうございました。
No.84693 - 2023/01/22(Sun) 14:12:09
★ 極限 / 涼風
a＞0とする。f(x)=ax^2+bx+cの単調増加の部分について、その逆関数g(x)を定義する。

Sn=Σ[k=1,n]{g(f(k)+α)-k}

とおくとき、lim[n→∞]Snを求めなさい。

どう考えても発散すると思うのですが、答えがαに収束になってます。どうやって解けばよいでしょうか。
No.84688 - 2023/01/22(Sun) 01:23:39
☆ Re: 極限 / IT
たしかに、最も単純な　f(x)=x^2 で考えると
α＞0について
g(f(k)+α)-k= √(k^2+α)-k=α/(√(k^2+α)+k) なので
S[n]=Σ[k=1,n]{α/(√(k^2+α)+k)}
ここで1/(√(k^2+α)+k)≧1/(2(k+α))で、
lim[n→∞]Σ[k=1,n](1/k) が発散することから発散のようですね。
　私も何か勘違いしてるかも、
出典は何ですか？「答え」しかないのですか？問題の書き間違い？
No.84690 - 2023/01/22(Sun) 03:13:16
★ (No Subject) / A
　壁にペンキを塗ります
　１日目に５分の２を塗り、２か目に、残りの７分の３と１１?uだけぬると、１３?u残ります。
　壁の広さは何?uですか?
わからないので教えてください
No.84678 - 2023/01/21(Sat) 13:16:47
☆ Re: / A
　解けました。
　お騒がせしました。
No.84679 - 2023/01/21(Sat) 13:56:58
★ 割合と比 / クシャルダオラ
　『濃度が４％で300グラムの食塩水があります。これを濃度3％にするには何グラムの水を入れれば良いですか？』
　
　答えは100グラムですが、求め方がわかりません。
　教えて下さい。
No.84660 - 2023/01/20(Fri) 11:21:17
☆ Re: 割合と比 / ヨッシー
水を入れる前
　濃度４％　食塩水３００ｇ　含まれる食塩（　　）ｇ
この（　　）を求めた上で、
水を入れたあと
　濃度３％　食塩水（　　　）ｇ　含まれる食塩（　　）ｇ
で、含まれる食塩は、前もあとも変わらないとすると、
食塩水は何グラムであるべきですか？
No.84661 - 2023/01/20(Fri) 11:30:34
★ 高校数学A / 吉田　
お世話になっております。

?@異なる(labeled)n個の玉を異なる(labeled)ｋ個の箱に入れるとき. 何通りありますか？ただし, どの箱にも一つ以上玉が入っているとします。

?A異なるn個の玉を区別のない(unlabeled)ｋ個の箱に入れるとき. 何通りありますか？ただし, どの箱にも一つ以上玉が入っているとします。

?B区別のないn個の玉を異なるｋ個の箱に入れるとき. 何通りありますか？ただし, どの箱にも一つ以上玉が入っているとします。

?@は全射の個数と一致して,
?Aは?@をk! で割ったスターリング数と一致しますが,
?Bはなぜ?@を n!で割った数と一致しないんでしょうか。
No.84640 - 2023/01/19(Thu) 16:12:44
☆ Re: 高校数学A / 吉田　
[1] 異なる(labeled)n個の玉を異なる(labeled)ｋ個の箱に入れるとき. 何通りありますか？ただし, どの箱にも一つ以上玉が入っているとします。

[2] 異なるn個の玉を区別のない(unlabeled)ｋ個の箱に入れるとき. 何通りありますか？ただし, どの箱にも一つ以上玉が入っているとします。

[3] 区別のないn個の玉を異なるｋ個の箱に入れるとき. 何通りありますか？ただし, どの箱にも一つ以上玉が入っているとします。

[1] は全射の個数と一致して,
[2] は [1] を k! で割ったスターリング数と一致しますが,
[3] はなぜ [1] を n! で割った数と一致しないんでしょうか。

> 文字化けしてしまいました。
No.84641 - 2023/01/19(Thu) 16:15:55
☆ Re: 高校数学A / ヨッシー
こういうのは、少なめの数で、実際にやってみれば、仕組みがわかります。
ＡＢＣＤＥ　５個の玉を３つの箱に入れます。
[1] で別々に扱っていた
　ＡＢＣ　Ｄ　Ｅ
　ＡＢＣ　Ｅ　Ｄ
　Ｄ　ＡＢＣ　Ｅ
　Ｄ　Ｅ　ＡＢＣ
　Ｅ　ＡＢＣ　Ｄ
　Ｅ　Ｄ　ＡＢＣ
の６通りは [2] では１通りと扱われます。
　ＡＢ　ＣＤ　Ｅ
などでも同じで、結局、[2] での１通りに対して、３個の箱をどう並べ替えるかの
違いになるので、[1] は [2] の 3! 倍の場合の数となります。

一方、[3] での１つの入れ方
　〇〇○　○　○
に相当する [1] の入れ方は
　ＡＢＣ　Ｄ　Ｅ
　ＡＢＣ　Ｅ　Ｄ
　ＡＢＤ　Ｃ　E
　ＡＢＤ　Ｅ　Ｃ
　　・・・
などで、5Ｃ3×２＝２０通り　あります。
これが決して　５！＝１２０通りではないのは、
　ＡＢＣ　Ｄ　Ｅ、ＢＡＣ　Ｄ　Ｅ、ＣＢＡ　Ｄ　Ｅ
などは区別されないので、そこまで多くはならないのです。
また、
　〇〇　〇〇　○
は、5Ｃ2×3Ｃ2＝３０通り　と先程とは違う倍率になります。
これも、一律何かで割る、ということにならない理由です。
No.84643 - 2023/01/19(Thu) 17:42:37
☆ Re: 高校数学A / 吉田　
> こういうのは、少なめの数で、実際にやってみれば、仕組みがわかります。
> ＡＢＣＤＥ　５個の玉を３つの箱に入れます。
> [1] で別々に扱っていた
> 　ＡＢＣ　Ｄ　Ｅ
> 　ＡＢＣ　Ｅ　Ｄ
> 　Ｄ　ＡＢＣ　Ｅ
> 　Ｄ　Ｅ　ＡＢＣ
> 　Ｅ　ＡＢＣ　Ｄ
> 　Ｅ　Ｄ　ＡＢＣ
> の６通りは [2] では１通りと扱われます。
> 　ＡＢ　ＣＤ　Ｅ
> などでも同じで、結局、[2] での１通りに対して、３個の箱をどう並べ替えるかの
> 違いになるので、[1] は [2] の 3! 倍の場合の数となります。
>
> 一方、[3] での１つの入れ方
> 　〇〇○　○　○
> に相当する [1] の入れ方は
> 　ＡＢＣ　Ｄ　Ｅ
> 　ＡＢＣ　Ｅ　Ｄ
> 　ＡＢＤ　Ｃ　E
> 　ＡＢＤ　Ｅ　Ｃ
> 　　・・・
> などで、5Ｃ3×２＝２０通り　あります。
> これが決して　５！＝１２０通りではないのは、
> 　ＡＢＣ　Ｄ　Ｅ、ＢＡＣ　Ｄ　Ｅ、ＣＢＡ　Ｄ　Ｅ
> などは区別されないので、そこまで多くはならないのです。
> また、
> 　〇〇　〇〇　○
> は、5Ｃ2×3Ｃ2＝３０通り　と先程とは違う倍率になります。
> これも、一律何かで割る、ということにならない理由です。

やっぱりそういう事ですよね。ありがとうございました。
No.84662 - 2023/01/20(Fri) 13:49:19
★ 教えてください。 / いち
【中３】です。

　図のように、線分ＡＢを直径とする円Ｏがある。また、線分ＡＢ上にＡ、Ｂと異なるＣをとり、ＡＣを直径とする円を円Ｏ‘とする。点Ｂから円Ｏ’に２つの接戦をひき、接点をそれぞれＰ、Ｑとする。さらに、２つの直線をＢＰ、ＢＱと円Ｏとの交点で、Ｂ以外の点をぞれぞれＤ、Ｅとする。
(２)円Ｏの半径を３cm、円Ｏ‘の半径を２cmとするとき、△ＣＰＥの面積を求めよ。
No.84633 - 2023/01/19(Thu) 14:53:31
☆ Re: 教えてください。 / ヨッシー

図のように、ＦＧＨを決めます。

△Ｏ’ＰＢは直角三角形で、
　Ｏ’Ｐ＝２、Ｏ’Ｂ＝４
なので、△Ｏ’ＰＢ、△ＡＤＢ、△ＡＦＤなどは、３辺が
　１：２：√３
の直角三角形になります。

ＤＰ：ＰＢ＝ＥＱ：ＱＢ＝ＡＯ’：Ｏ’Ｂ＝１：２
メネラウスの定理より
　(ＰＧ/ＧＥ)(ＥＱ/ＱＢ)(ＢＤ/ＤＰ)＝１
よって、
　ＰＧ：ＧＥ＝２：３
つまり
　ＨＧ：ＧＦ＝２：３

ＡＦ：ＦＤ＝ＦＤ：ＦＢ＝１：√３　より
　ＡＦ：ＦＢ＝１：３
また、ＦＨ：ＨＢ＝ＤＰ：ＰＢ＝１：２　および、ＡＣ：ＣＢ＝２：１　より、
　ＡＦ：ＦＧ：ＧＨ：ＨＢ＝５：３：２：１０
　ＡＦ：ＦＧ：ＧＨ：ＨＣ：ＣＢ＝15：9：6：10：20


△ＡＤＢ＝３×３√３÷２＝(9/2)√3
四角形ＡＥＢＤ＝9√3
△ＤＥＢ＝(3/4)9√3＝(27/4)√3
△ＥＰＢ＝(2/3)(27/4)√3＝(9/2)√3
△ＣＰＥ＝(4/9)(9/2)√3＝2√3
と順に求められます。
No.84638 - 2023/01/19(Thu) 15:56:59
☆ Re: 教えてください。 / いち
メネラウスの定理を学習していません！それでも解けますか？
No.84657 - 2023/01/20(Fri) 04:25:49
☆ Re: 教えてください。 / ヨッシー
メネラウスは不要でしたね。

ＰＧ：ＧＥ＝ＰＱ：ＤＥ＝ＰＢ：ＤＢ＝Ｏ’Ｂ：ＡＢ＝２：３

です。
No.84659 - 2023/01/20(Fri) 08:33:37
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