この問題の解き方とanの解を教えてください
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No.48491 - 2018/02/01(Thu) 00:30:57
| ☆ Re: 数列 / らすかる | | | a[n+2]=a[n+1]-(3/2)a[n]+4 が a[n+2]+pa[n+1]+q=r(a[n+1]+pa[n]+q) に変形できたとしてこの式を変形すると a[n+2]=(r-p)a[n+1]+pra[n]+q(r-1) pr=-3/2, r-p=1, q(r-1)=4 から適解の一つは p=(-1+i√5)/2, q=-4(1+i√5)/3, r=(1+i√5)/2 b[n]=a[n+1]+pa[n]+q とおくと b[1]=1+p+q, b[n+1]=rb[n] なので b[n]=(1+p+q)r^(n-1) よって a[n+1]=-pa[n]+b[n]-q =-pa[n]+(1+p+q)r^(n-1)-q この式が a[n+1]+sr^n+t=-p(a[n]+sr^(n-1)+t) と変形できたとしてこの式を変形すると a[n+1]=-pa[n]-s(p+r)r^(n-1)-t(p+1) -s(p+r)=1+p+q, -t(p+1)=-q から s=-(1+p+q)/(p+r)=-(r+q)/(p+r)=(5-i√5)/6 t=q/(p+1)=q/r=(-4/3)/(1/2)=-8/3 c[n]=a[n]+sr^(n-1)+t とおくと c[1]=1+s+t, c[n+1]=-pc[n] なので c[n]=(1+s+t)(-p)^(n-1) よって a[n]=-sr^(n-1)+c[n]-t =-sr^(n-1)+(1+s+t)(-p)^(n-1)-t =(i√5-5)/6・((1+i√5)/2)^(n-1)-(5+i√5)/6・((1-i√5)/2)^(n-1)+8/3 =(i√5/3)((1+i√5)/2)^n-(i√5/3)((1-i√5)/2)^n+8/3 =((i√5)(((1+i√5)/2)^n-((1-i√5)/2)^n)+8)/3
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No.48492 - 2018/02/01(Thu) 01:33:46 |
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