初めて、投稿させていただきます。よろしくお願いいたします。
数学の参考書を読んでいて、途中経過や、なぜそうなるのかわからないところがあって質問させていただきました。
高校レベルの１次変換に関する参考書の、ベクトルの内分点、外分点に関する記述です。その直近の例題の文章と解答になります。下記に書いてあるような疑問の箇所の論理展開を初めて見て戸惑っています。行間が読めないと言うのでしょうか？ベクトルについては一通り（基礎的なことは）勉強したとは思っていたのですがこのような記述は他の参考書などには載っていなく、調べようがなく困っていました。こちらの掲示板を見つけ、もしかしたらという思いで質問させていただきました。文章がかなりの長文になってしましました。もし掲示板のルール的にマズイようでしたら削除等していただければと思います。よろしくお願いいたします。
注意 記述を簡単にするため、ベクトルの表記について →a,→b,→pをそれぞれa,b,pと略して記述します。
例題
異なる２点A,Bの位置ベクトルをそれぞれa,bとする。
点Pの位置ベクトル p=(1-t)a+tb (tは実数)が、次の条件をみたすとき、点Pは直線ABのどの範囲に存在するか。
(1) 0≦t≦1
(2)t≦0
解答
(1)
0≦t≦1 のとき 0≦1-t≦1
とくに、t=0のときは、p=aより点Pは点Aと一致する。t=1のとき、p=bより点 Pは点Bと一致する。
t≠0,1のとき、
tも(1-t)も正の数なので、 ?@
Pは線分ABをt:(1-t)に内分する点になる。 ?A
以上のことから、点Pの存在する範囲は、
0≦t≦1のとき、線分ABである。
(2)
t=0すなわち点Pが点Aと一致する時を除くと、
t<0 ?B
よって、
点Pは、線分ABを(-t):(1-t)に外分する点になる。 ?C
また、t<0のとき、-t<1-tより、 ?D
外分点は点Aの側の延長線上にあることがわかる。 ?E
以上のことから、点Pの存在する範囲は、
t≦0のとき、点AからベクトルBA方向に線分ABを延長した半直線である。
以上が参考書の例題と解答の記述です。
わからないところは以下の通りです。
疑問1.
?@から?Aになぜ、結論できるか？
また?@の 「tも(1-t)も正の数 」と 正の数であることを確認する意味
疑問2.
?Bから?Cになぜ、結論できるのか？
また、?Cにて(-t):(1-t) の(-t)について、内分の時とは違いtにマイナスがつく意味
（この参考書とは関係の無い、色々なサイトなどをみて、外分の時の比の取り方について、比に向きがあるから、戻ってくるから、マイナスとするなど、といった記述がありました。そもそも比で向きを考えるなどこれまで初耳で、どうも、根拠として納得しがたい部分があり,
またマイナスの比というのもうまく飲み込めない状態です。もちろん外分点の公式などで、内分と違いマイナスがつくことは理解しているつもりですが、(-t):(1-t)のこととうまく理解が繋がりません。 (-t):(1-t)という表記自体この参考書で初めて見ました。）
疑問3.
?Dについて
「t<0のとき、-t<1-tより 」から?Eをなぜ結論できるのか？
特に、-t<1-t が何を示しているのかがよくわかりません。
以上３点について教えてください。
よろしくお願いいたします。
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No.49395 - 2018/03/24(Sat) 01:42:25
| ☆ Re: ベクトルの内分、外分に関する記述について / テトラポット | | | ご返信ありがとうございます。ご返信を拝見し、ようやく納得できました。
丁寧に記述していただき、大変わかりやすく、また、勉強になりました。
１点お伺いさせてください。比の表し方に関することだと思うのですが、
「まとめると」のところの、場合分け、３種類のところ（内分と外分２種類）なのですが、引用しますと、
０＜ｔ＜１ のとき つまり 1−t＞０ かつ t＞０ のとき
線分ＡＢ上にあり、ＡＢを ｔ：１−ｔ に内分する点
ｔ＞１ のとき、つまり 1−t＜０ かつ t＞０ のとき
点Ｂ側の半直線上にあり、ＡＢを ｔ：ｔ−１ に外分する点
ｔ＜０ のとき、つまり 1−t＞０ かつ t＜０ のとき
点Ａ側の半直線上にあり、ＡＢを −ｔ：1−ｔ に外分する点
のところなのですが、
それぞれの場合の２行目、○:●に外分する（もしくは内分する）点というところで
○と●にマイナスがついたりつかなかったりしていますが、
（ｔ＞１ のときは ｔ：ｔ−１ = ｔ：-(1−ｔ) とみれば）
このマイナスの付き方というのは、それぞれの場合の１行目のところからきていて、
「ｔ＞１ のとき、つまり 1−t＜０ かつ t＞０ のとき」
の「1−t＜０」つまり(1−t)が負であるから、「ｔ：(1−ｔ)」の(1−ｔ)にマイナスをつける 。
「ｔ＜０ のとき、つまり 1−t＞０ かつ t＜０ のとき」
の「ｔ＜０」つまりtが負であるから、「ｔ：(1−ｔ)」のtにマイナスをつける 。
というようにtによって、負になる方(tか(1-t))にマイナスをつけると考えて、外分の場合、○:●のどちらにかはマイナスをつけて、
正の数どうしの比として表さなければならないのでしょうか？
比の表し方のルールとかよくわかっていないのですが、疑問に思いました。
見当外れのことでしたら申し訳ありません。
自分でも疑問をうまく言葉にできず、わかりにくいかもしれません申し訳ないです。これで通じればと思います。よろしくお願いいたします。
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No.49417 - 2018/03/25(Sun) 01:38:07 |
| ☆ Re: ベクトルの内分、外分に関する記述について / ヨッシー  | | | >正の数どうしの比として表さなければならないのでしょうか？
「正の数で書かないといけない」と言っても差し支えありません。
計算上はどちらでも良いのですが、実際の記述として、
−１：−１ に内分する
−２：−３ に外分する
などとは、普通言わないからです。
こういうところで、ちゃんと理解して書いているかどうかが問われる可能性があります。
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No.49431 - 2018/03/25(Sun) 20:25:08 |
| ☆ Re: ベクトルの内分、外分に関する記述について / テトラポット | | | ご返信ありがとうございます。
なるほど、よくわかりました。
今回は本当にありがとうございました。
おかげさまでより理解を深めることができたと思います。
また何かありましたらお伺いすることがあるかもしれませんが、その時はよろしくお願いいたします。
ありがとうございました。
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No.49432 - 2018/03/25(Sun) 20:31:14 |
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