?@
3N+1=M・2^a
3M+1=N・2^b
N,M,a,bをそれぞれ異なる自然数として、これらを満たすN,M,a,bは存在しますか？
?A
3N-1=M・2^a
3M-1=N・2^b
N,M,a,bをそれぞれ異なる自然数として、これらを満たすN,M,a,bは存在しますか？
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No.48390 - 2018/01/28(Sun) 18:50:23
| ☆ Re: / らすかる | | | ?@
N=1とすると3N+1=M・2^aからM・2^a=4なので(M,a)=(1,2),(2,1)だが
MまたはaがNと等しくなり不適、よってN＞1。
3(3N+1)+2^a=3M・2^a+2^a=(3M+1)・2^a=N・2^(a+b)
N{2^(a+b)-9}=2^a+3
N＞1なので 2^(a+b)-9＜2^a+3
∴2^a(2^b-1)＜12
また2^(a+b)-9＞0からa+b≧4
この2式を満たす自然数(a,b)（a≠b）の組は(a,b)=(3,1)のみ。
しかしこのときN=11/7となり不適。よって解なし。
?A
3(3N-1)-2^a=3M・2^a-2^a=(3M-1)・2^a=N・2^(a+b)
N{9-2^(a+b)}=2^a+3 … (1)
9-2^(a+b)＞0からa+b≦3
これを満たす(a,b)（a≠b）の組は(1,2)(2,1)のみ。
(a,b)=(1,2)のとき(1)からN=5、元の式からM=7
(a,b)=(2,1)のとき(1)からN=7、元の式からM=5
よって答えは(N,M,a,b)=(5,7,1,2),(7,5,2,1)
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No.48391 - 2018/01/28(Sun) 20:05:49 |
| ☆ Re: / IT | | | （?@の少し違う解答）本質的にはらすかるさんのと変わらないと思いますが、参考までに書き込みます。
N＞M としても一般性を失わない。このときa＞b.
元の連立方程式からMを消去して整理すると、N(2^(a+b)-9)=2^a+3.
2^(a+b)-9＞1より, a+b≧4…(1)
Nは3以上の奇数なので,2^(a+b)-9≦(2^a+3)/3＜2^(a-1)+1
よって,(2^(a-1))(2^(b+1)-1)＜10…(2)
a≧2なので,2^(a-1)≧2.
b＝1のとき,(1)よりa≧3 (2)の左辺≧12 となり不適.
b≧2のとき,2^(b+1)-1≧7なので (2)の左辺≧14 となり不適.
したがって解なし。
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No.48392 - 2018/01/28(Sun) 20:41:12 |
| ☆ Re: / 中三 | | | 返信ありがとうございます！
?@の解が存在しないことどのようにして証明すればよいかわかりませんでした。
この証明によりコラッツ予想で循環するような数が存在しないことが証明されましたか？(ただし1→4→2→1は除く)
というかコラッツ予想はすでに証明されているのですか？インターネット上で証明らしきものがいろいろありますが、modなんとかとか自分の知らない記号がたくさん出てきたりして理解ができません。(これは自分の知識不足です)
やはり難しい記号や数式を使わないと証明できないものなのでしょうか？らすかるさんのようなすごい方ならとっくに証明できてるように思えるのですが。
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No.48393 - 2018/01/28(Sun) 20:46:47 |
| ☆ Re: / 中三 | | | No.48394 - 2018/01/28(Sun) 20:49:54 |
| ☆ Re: / らすかる | | | これだけではコラッツ予想の証明にはほど遠いと思います。
コラッツ予想が証明されたという話は聞きませんので
まだ証明されていないでしょう。
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No.48395 - 2018/01/28(Sun) 21:04:03 |
| ☆ Re: / 中三 | | | らすかるさんへ
そうですか、まだ証明されていないんですね。
?@の式に解が存在しないことだけでは、「コラッツ予想において循環する数が存在しない」ということをいうには不十分なのかどうか教えていただけないでしょうか？
それと、コラッツ予想ではなぜ3をかけて1を足すのかずっと疑問に思います。別に「偶数ならば2でわる、奇数ならば1を足して2で割る」という操作の繰り返しでも1に収束するのではないでしょうか？
3N+1にこだわるなら、3以外の奇数では1に収束しない反例があるということでしょうか？
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No.48396 - 2018/01/28(Sun) 21:40:04 |
| ☆ Re: / らすかる | | | > ?@の式に解が存在しないことだけでは、「コラッツ予想において
> 循環する数が存在しない」ということをいうには不十分なのかどうか
3O+1=M*2^a, 3M+1=N*2^b, 3N+1=O*2^c とか
3Q+1=M*2^a, 3M+1=N*2^b, 3N+1=O*2^c, 3O+1=P*2^d, 3P+1=Q*2^e など
パターンが無限にありますので、
このうち有限個を証明してもコラッツ予想の証明には全くならないですね。
> なぜ3をかけて1を足すのか
それがなぜかは存じませんが（コラッツさんがふと思いついただけの気がしますが）、
「3」が他の奇数の場合については
1だと成り立つことが容易に証明できて
5以上だと一般に成り立たないようです(Wikipediaに書いてあります)ので
aが自然数でan+1の形ならばa=3でないと問題にならないですね。
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No.48398 - 2018/01/28(Sun) 22:19:00 |
| ☆ Re: / 中三 | | | ありがとうございます。
2つだけでなく、もっと複雑な循環があるかもしれませんので、2つや3つを証明しても全く無効果ですね。
循環する数列がないことを証明するのは不可能なので、もっと別のコラッツ予想の証明方法がいずれ見つかることを望みます。
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No.48410 - 2018/01/29(Mon) 17:09:28 |
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