ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 放物線と円の共有点 / 春休み中の新高2です

下の写真のマーカーを引いた部分のようにする理由がわかりません。また、x^2>0がどこから出て来たのかもわかりません。x^2>=0ならまだわかりますが。お願いします。

No.49462 - 2018/03/26(Mon) 21:54:58

☆ Re: 放物線と円の共有点 / X

円x^2+y^2=4
において、1つのyの値に対してxの値が二つ
定まるようなxに対し
x≠0
∴x^2＞0
です。

No.49463 - 2018/03/26(Mon) 22:01:40

☆ Re: 放物線と円の共有点 / 春休み中の、

0<x^2<4としないのはなぜですか？

No.49476 - 2018/03/27(Tue) 21:43:40

☆ Re: 放物線と円の共有点 / X

0<x^2<4
ではなくて
0<x^2≦4
ですね。
(y=0のときx=2,-2で、xの値が二つ対応しますので)
>>≦4
を付けてもつけなくても
-2＜y＜2
となることに変わりはありません。

No.49488 - 2018/03/28(Wed) 19:28:31

★ 図形の問題と漸化式 / kou2

画像の解説で、初めから漸化式の形を作るまでの解説がどうしてそうなるかわかりません。どの三角形に着目しているのか分からないです。
画像１枚目問題、画像２,３枚目解説です。

よろしくお願いします。

No.49457 - 2018/03/26(Mon) 21:49:12

☆ Re: 図形の問題と漸化式 / kou2

画像２です。

No.49459 - 2018/03/26(Mon) 21:50:15

☆ Re: 図形の問題と漸化式 / kou2

画像３です。

No.49460 - 2018/03/26(Mon) 21:51:27

☆ Re: 図形の問題と漸化式 / X

画像2枚目の1行目に出てくる二つの三角形が
3行目の二つの式とどう対応しているかを
考えましょう。

No.49461 - 2018/03/26(Mon) 21:54:35

☆ Re: 図形の問題と漸化式 / kou2

画像２枚目の３行目の式をどうやって作るかは分かるのですが、作った目的が分かりません。また、4行目の式がどうしてその式になるのか分からないです。

No.49464 - 2018/03/26(Mon) 22:12:43

☆ Re: 図形の問題と漸化式 / X

3行目の第二式を第一式に代入しましょう。

No.49466 - 2018/03/26(Mon) 22:18:55

☆ Re: 図形の問題と漸化式 / kou2

理解出来ました。ありがとうございました。

No.49467 - 2018/03/26(Mon) 22:41:35

★ 円と放物線の位置関係 / 春休み中の新高2です

下の図の状況のように、円と放物線が接するのは3回あると思います。ここで放物線の式を変形してx^2=k-y (円の式から-2<y<2)とし、
円の方程式に代入します。そして出来たyについての2次方程式の判別式をDとして、D=0の時はすなわち2次方程式の解が1つ、つまり下図で交点のy座標がただ１つのときだと考えました。この考え方でいくと?A?BもD=0を満たすはずですが答えは?@の時ののみでした。なぜですか？

No.49455 - 2018/03/26(Mon) 21:47:03

☆ Re: 円と放物線の位置関係 / 春休み中の新高2です

入れ忘れました

No.49456 - 2018/03/26(Mon) 21:48:15

☆ Re: 円と放物線の位置関係 / X

?@?Bの場合は接点における共通接線が
x軸平行になるからです。
yについての二次方程式を考えているので
x軸平行の共通接線に関する条件は導出できません。

No.49465 - 2018/03/26(Mon) 22:14:19

☆ Re: 円と放物線の位置関係 / 春休み中の新高2です

どういうことですか？

No.49468 - 2018/03/26(Mon) 23:41:34

☆ Re: 円と放物線の位置関係 / X

例えば円
x^2+y^2=1 (A)
の接線の方程式を求めるときに
解の判別式を用いる方針を使う場合
求める接線の方程式を
y=ax+b (B)
又は
x=cy+d (C)
と置いて(A)に代入して
(B)の場合はyを消去してxの二次方程式((B)'とします)を
(C)の場合はxを消去してyの二次方程式((C)'とします)を
導くことはよろしいですか？

このとき(B)ではy軸平行の直線を表すことができません。
∴(B)'ではy軸平行の接線(つまり直線x=1,x=-1)
に対する条件は導出できません。
同様に(C)'ではx軸平行の接線(つまり直線y=1,y=-1)
に対する条件は導出できません。
これらのことと同じことです。

No.49470 - 2018/03/27(Tue) 05:35:38

☆ Re: 円と放物線の位置関係 / X

ちなみに、
x^2+y^2=4 (P)
y=x^2+k
からyを消去して得られるxの4次方程式
x^2+(x^2+k)^2=4
が重解をもつという条件を考えると
(微分を使わなければならないので
過程は省略しますが)この場合は
?@?A?B全ての場合が導出できます。
(これは?@?A?Bと(P)との接点における
共通接線にy軸平行のものが含まれていない
ことに対応しています。)

No.49471 - 2018/03/27(Tue) 06:04:41

★ 軌跡 / みやん高二

1枚めが問題で2枚目が解答です。
( 2 )の回答の最後で、XYとxy を入れ替えていますが、この時、XY,xyは違う点なのになぜいる変えていいのでしょうか。
ふつうの軌跡の問題では、普通にそうしますが。

No.49450 - 2018/03/26(Mon) 19:35:39

☆ Re: 軌跡 / みやん高二

お願いします

No.49451 - 2018/03/26(Mon) 19:36:34

☆ Re: 軌跡 / X

点(x,y)が軸に使われている文字をそのまま使っているので
誤解を招きますが、点(x,y)に入れ替えているわけでは
ありません。

この問題を脇に置いておいて、例えばxy平面上の
任意の点P(t,u)が
2t+u=0
を満たすとき、点Pの軌跡は
直線2x+y=0
となりますが、これは点Pを点(x,y)に入れ替えた
わけではありませんよね。
これと同じことです。

No.49458 - 2018/03/26(Mon) 21:50:09

★ 最大値 / カップめん

|x-y|<=1,|x-z|<=2,|y-z|<=1のときax+by+(-a-b)zの最大値はいくつか？ただしa,bは定数である．

解く方針だけでも結構ですのでご教授願います．

No.49446 - 2018/03/26(Mon) 17:24:19

☆ Re: 最大値 / らすかる

|x-y|≦1かつ|y-z|≦1のとき|x-z|≦|x-y|+|y-z|≦2なので、
|x-z|≦2は無視して|x-y|≦1と|y-z|≦1だけ考慮すればよい。
ax+by+(-a-b)z=a(x-y)+(a+b)(y-z)
|x-y|≦1からa(x-y)の最大値は|a|
|y-z|≦1から(a+b)(y-z)の最大値は|a+b|
よって与式の最大値は|a|+|a+b|

No.49447 - 2018/03/26(Mon) 18:40:01

☆ Re: 最大値 / カップめん

回答ありがとうございます．
助かりました．

No.49484 - 2018/03/28(Wed) 14:57:39

★ (No Subject) / 元中三

大問5の解き方なんですが中学数学で解くにはどうすればいいですか？

No.49444 - 2018/03/26(Mon) 17:09:22

☆ Re: / 元中三

画像の向きが悪いですのですいません
問題作成時は以前投稿した公式で解くことしか考慮していませんでした

公式(？)です

No.49445 - 2018/03/26(Mon) 17:14:50

☆ Re: / ヨッシー

(2) で設定した点Ｅを(1)で先取りしています。
(1)
△ＢＡＤ∽△ＡＥＤ∽△ＢＥＣ　より
　ＢＥ：ＢＡ＝ＢＣ：ＢＤ
　ＢＥ＝９×２１÷１７＝189/17
よって、
　ＤＥ＝17－189/17＝100/17
また、
　ＤＥ：ＡＤ＝ＡＤ：ＢＤ
より、
　ＡＤ^2＝ＤＥ・ＢＤ＝100
　ＡＤ＝１０　・・・答え
(2)
　ＢＥ：ＤＥ＝189:100　・・・答え
　ＡＥ＝ＡＢ÷ＡＤ×ＤＥ＝9÷10×100/17＝90/17
　ＣＥ＝ＡＤ÷ＢＤ×ＢＣ＝10÷17×21＝210/17
よって、
　ＡＥ：ＣＥ＝90:210＝３：７　・・・答え
(3)
△ＡＤＣは二等辺三角形で、ＡＤ＝ＣＤ＝１０、ＡＣ＝300/17
よって、ＡＣの中点をＦとすると、△ＡＦＤにおける三平方の定理より
　ＤＦ＝√(100－22500/289)＝√6400/289＝80/17
よって、
　△ＡＣＤ＝300/17×80/17÷２＝12000/289
ＤＥ：ＢＥ＝100:189 より
　四角形ＡＢＣＤ＝12000/289×289/100＝１２０・・・答え

No.49452 - 2018/03/26(Mon) 19:43:44

☆ Re: / 元中三

ご丁寧にありがとうございます！
やはり分数の計算がややこしいですね(笑)
あまりよろしい問題ではありませんでした
改めて見ると(5)はもはや中学の知識では解く気になりません！

No.49454 - 2018/03/26(Mon) 21:43:53

★ 因数分解 / 元中三

たすき掛けを使わずに因数分解するにはこの方法でよろしいでしょうか？

No.49441 - 2018/03/26(Mon) 16:40:51

☆ Re: 因数分解 / 元中三

流石にacの特定は無理でした

No.49442 - 2018/03/26(Mon) 16:44:21

☆ Re: 因数分解 / 元中三

たすき掛けよりめんどくさいのは自明ですので正誤判定だけお願いします。
b/a>d/cを補足しておきます
それと、もっといい方法があるのならば、教えていただけたら幸いです

No.49443 - 2018/03/26(Mon) 16:47:27

☆ Re: 因数分解 / ヨッシー

考え方は正しいです。
というか、解の公式は因数分解の最終手段として使用します。

また、ａ、ｃが一意に決まらないのは当然で
　(４ｘ＋８)(ｘ＋３)
　(２ｘ＋４)(２ｘ＋６)
　(ｘ＋２)(４ｘ＋１２)
のように、同じ式でもいろんな書き方（分数も許すと無限に）が出来ます。

No.49448 - 2018/03/26(Mon) 18:57:19

☆ Re: 因数分解 / 元中三

acが決まらないのは当然ですね（笑）
解の公式を最終手段で使うなんて初めて聞きました
中学のときに、たすき掛けを使用する因数分解を、x²の係数を1にしてから中学校で習う方法どうりにやっていたのですが、分数ともなると少し難易度が高かったので文字で表して解いてみよう、ということで今回に至りました

いつもいろいろお世話になっています。これからもよろしくお願いします！

No.49449 - 2018/03/26(Mon) 19:26:59

★ 解の吟味 2重になっていたらすみません / 高校生です

2円 x^2+y^2-2ax-6ay+40a-50=0と
x^2+y^2-10=0 が接するとき定数aの値を求めよという問題なのですが写真のマーカー部分がわかりません。

No.49438 - 2018/03/26(Mon) 10:56:34

☆ Re: 解の吟味 2重になっていたらすみません / らすかる

例えば √x=-1 を解くために両辺を2乗するとx=1ですが
x=1を解答にすると間違いですね。
両辺を2乗した場合は不適解が出てくる可能性がありますので、
出てきた解が条件を満たしているかを確認する必要があります。

No.49439 - 2018/03/26(Mon) 12:47:03

☆ Re: 解の吟味 2重になっていたらすみません / 高校生です

必要十分条件を満たしていないからという解釈でいいですか？

No.49453 - 2018/03/26(Mon) 21:27:34

☆ Re: 解の吟味 2重になっていたらすみません / らすかる

はい、いいです。

No.49469 - 2018/03/27(Tue) 02:22:00

★ 定数の定義域 / 来年高校2年生

下の写真の模範解答でk＋10>0より…という文言があり、最後にもkが定義域を満たしてるかのチェックをしているのですが、
なぜkの定義域をはじめに確認する必要があるのですか？

No.49434 - 2018/03/26(Mon) 00:19:36

☆ Re: 定数の定義域 / RYO

円の方程式x^2+y^2+2x-6y-k＝0 …?@を変形すると、
　(x+1)^2+(y-3)^2＝k+10 …?A
となりますので、?@が円を表す式になるためには、?Aの右辺が正の値をとること、つまりk+10＞0であることが必要です。

注１：?@が円を表す式でなければそもそも問題が成立しませんので、(暗黙のうちに)前提条件として「(式?Aの右辺)＞0」が与えられている、と考えます。
注２：正確に言いますと、確認しているのは「定義域」ではなく「(必要条件としての)円の存在条件」です。「定義域」という用語の定義を教科書等で確認されてみてはいかがでしょうか。
注３：設定状況の成立条件は、必ずしも解答の冒頭で言及されなければならないものではありませんので、最終的に条件の一つとして考慮されていれば、そのタイミングは問題になりません。

No.49436 - 2018/03/26(Mon) 05:33:23

★ 階差の形 / 高2

階差、階差の形とは何なのか？
階差についてwikipediaやコトバンクで調べると、「画像のように隣り合う項について次にある項から前の項を引いた差。」とあります。

しかし階差を利用する和
a[n] - a[n+1]
f(k)-f(k+1)
という風に階差の形にできれば和が求まるなどと書いてあります。

つまり、
階差:隣り合う2項間の次にある項から前の項を引いた差
階差の形:隣り合う2項間の前の項から後の項を引いた差(階差に似ているので階差の形という)
ということで、階差と階差の形は異なるものになるのでしょうか？

それとも
階差:隣り合う2項間の式の差
a[n+1] - a[n]、a[n] - a[n+1]はどちらも階差
となるのでしょうか？

よろしくお願いします。

No.49433 - 2018/03/25(Sun) 22:50:16

☆ Re: 階差の形 / 高2

自己解決しました。

No.49440 - 2018/03/26(Mon) 16:13:52

★ 指数対数 / A

この問題の解き方を教えて下さい。

No.49423 - 2018/03/25(Sun) 17:49:30

☆ Re: 指数対数 / IT

2 つめの式を整理して
log[2]((x+1)/(y+3))=-1,x+1>0,y+3>0
(x+1)/(y+3)=1/2
y=2x-1,x+1>0,y+3>0
を１つめの式に代入して t=3^x の2次方程式にして解きます。

No.49424 - 2018/03/25(Sun) 18:03:28

☆ Re: 指数対数 / IT

2 つめの式を移項して　log[2](x+1)+1=log[2](y+3)

よって 2^{log[2](x+1)+1}=2^log[2](y+3)
2(x+1)=y+3,(>0) としてもいいです。

No.49425 - 2018/03/25(Sun) 18:10:05

☆ Re: 指数対数 / A

回答して頂きありがとうございました。

No.49426 - 2018/03/25(Sun) 18:18:45

★ (No Subject) / つかポン

すいません。間違えて投稿してしまいました
この図形のMはどこを指しているんでしょうか？
まえに教えていただいたのですがよくわかりませんでした
空間図形系が苦手で、できるだけわかりやすく教えてください
すいません。お願いします

No.49421 - 2018/03/25(Sun) 16:31:43

☆ Re: / X

問題文をよく読みましょう。
点Mは辺OB上の点であり、又
BM=3[cm]
という条件が付いています。

No.49422 - 2018/03/25(Sun) 16:38:49

★ 等比数列と対数 / 高2

【問題】
数列{an}は初項1,公比5の等比数列である。
a1+a2+…an≧10^100を満たす最小のnを求めよ。ただしlog[10]2=0.3010とする。

【解説】
画像

【分からないところ】
「ゆえに5^n>4・10~100を満たす最小のnを求めればよい」とありますが、+1は何故消えたんでしょうか？

よろしくお願いします。

No.49415 - 2018/03/25(Sun) 00:36:53

☆ Re: 等比数列と対数 / らすかる

a,bが整数ならば
a≧b+1 と
a＞b は
同じ意味です。

No.49416 - 2018/03/25(Sun) 01:32:07

☆ Re: 等比数列と対数 / 高2

理解出来ました。
ありがとうございました。

No.49418 - 2018/03/25(Sun) 08:24:43

★ 三角関数 / 質問者

最後の(2)のaとbの値の求め方がこの解説を読んでもわかりません。
解説お願いします

No.49409 - 2018/03/24(Sat) 18:54:54

☆ Re: 三角関数 / X

元の問題の解答欄のソまではすでに解けている
という前提で回答を。

0≦θ≦π/2
より
0≦cθ≦cπ/2 (A)
ここで
c≧3
により(A)の右辺について
cπ/2≧3π/2
よって
cθ=π/2
なるθを取ることができます。
このこととb＞0により
g(θ)=b(sincθ+1)≦b{sin(π/2)+1}=2b
つまりg(θ)の最大値は2bです。
後はよろしいですね。

No.49412 - 2018/03/24(Sat) 19:55:18

★ (No Subject) / 因数分解

2a^2-5a(b+c)+3(b+c)^2の解答なのですが、たすき掛けの一番下の行の真ん中が-3(b+c)^2になっている意味がわかりません。+ではないのですか？？

No.49408 - 2018/03/24(Sat) 18:19:44

☆ Re: / X

因数分解さんの仰る通りですね。
-は誤植だと思います。

No.49410 - 2018/03/24(Sat) 19:34:16

☆ Re: / 因数分解

やっぱりそうですよね(^_^;)ありがとうございます！

No.49413 - 2018/03/24(Sat) 20:46:29

★ (No Subject) / さっし

{-(2/3)(t+7)^2-{-(2/3)(t-1)^2}}/{(t+7)-(t-1)}
=(1/8)(2/3){-(t+7)^2+(t-1)^2}★
=(1/12)(-16t-48)
=-(1/3)(4t+12)
Xさんから教えていただいた式の途中から「★」
のところからわかりません
写真の一番下の式になってしまいここからどう
計算していいのかがわかりません
解説お願いします。

No.49404 - 2018/03/24(Sat) 12:52:44

☆ Re: / ヨッシー

上の式は、何を計算したものですか？
それは、何と等しいということになっていますか？

上の？の所にはある値か入って、それが成り立つように、
ｔを求めます。

No.49406 - 2018/03/24(Sat) 13:03:19

☆ Re: / X

添付写真に対しての回答はヨッシーさんが
既にされていますので、もう一つの質問
>>Xさんから教えていただいた式の途中から「★」
>>のところからわかりません
に対して、回答を。

もう少し計算過程を細かくしてみます。
{-(2/3)(t+7)^2-{-(2/3)(t-1)^2}}/{(t+7)-(t-1)}
={-(2/3)(t+7)^2-{-(2/3)(t-1)^2}}/8
=(1/8){-(2/3)(t+7)^2-{-(2/3)(t-1)^2}}
=(1/8){-(2/3)(t+7)^2+(2/3)(t-1)^2}
=(1/8)(2/3){-(t+7)^2+(t-1)^2} ({}の中から2/3をくくり出しています。)
注)
可能な限り分数の係数はくくり出すという、
単なる計算上の工夫です。
(分数を足し算引き算の中にそのまま残して計算すると
(私の場合は)計算間違いをしやすいので。)

それと、添付写真の
＞＞=？
の手前までの計算でNo.49394の
(A)と違っているように見えますが
飽くまで見かけだけであって、
さっしさんの計算は間違っていません。
念のため。

No.49407 - 2018/03/24(Sat) 18:09:55

☆ Re: / さっし

本当にありがとうございます！
わかりやすかったです！

No.49414 - 2018/03/24(Sat) 21:10:07

★ ログ / ぽん

この計算の仕方を教えてください・・・
ログの値が与えてあります。