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高一です / Lily
正四面体ABCDについて、次のことを証明せよ。

辺BC,AC,AD,BDの中点をそれぞれP,Q,R,Sとするとき、四角形PQRSは正方形である。


基本的な問題のはずなのですが、中点連結定理により四辺が等しい事までしか示せません。

数Aの基本事項を用いてシンプルに証明するにはどうしたら宜しいでしょうか?

No.49117 - 2018/03/05(Mon) 15:17:00

Re: 高一です / ヨッシー
1.直線Lの1点から垂直に引いた異なる2本の直線をともに含む平面Sは、直線Lと垂直である。
2.直線Lと平面Sが垂直である時、平面Sに含まれる任意の直線は、直線Lと垂直である。
3.直線Lと直線Mが垂直である時、直線Mに平行な任意の直線は直線Lと垂直である。

この3つの性質から、
 AB⊥CD
これと、
 AB//PQ//SR 、 CD//PS//QR
から、PQRSの4つの角が直角であることが言えます。

No.49118 - 2018/03/05(Mon) 15:43:01

Re: 高一です / Lily
確かに!!
そうですね。

丁寧な御説明、本当に有難うございました。

No.49119 - 2018/03/05(Mon) 16:05:34
(No Subject) / トム
数?Vの問題集をやっていたら
『sinx+ cosx =√2sin( x+π/4)』というのがわりと出てくるのですが、これって何かの公式なんでしょうか?
習ってるのかもしれませんが記憶にありません。
どういうことなのか教えてください。

No.49110 - 2018/03/04(Sun) 12:43:42

Re: / IT
三角関数の合成公式 です。

おそらく多くの数2の教科書に出てくる基本的なものだと思います。教科書を確認してみてください。
加法定理から直ちに導かれます。詳しくは下記をご覧ください。
https://mathtrain.jp/asinbcos

No.49112 - 2018/03/04(Sun) 13:12:37
何故 / 留萌
どうして相似なのか教えて欲しいです
No.49108 - 2018/03/04(Sun) 11:54:14

Re: 何故 / 留萌
これもお願い致します
No.49109 - 2018/03/04(Sun) 11:54:59

Re: 何故 / RYO
(3)
(?@)△AFE∽△DEGを示す。
∠FEH=EAF(=90°)なので、
 ∠DEG=180°-(∠AEF+∠FEH)
    =180°-(∠AEF+∠EAF)
    =∠AFE
また、
 ∠FAE=90°=∠EDG
したがって、二角相等により△AFEと△DEGは相似である。

(?A)△DEG∽△HIGを示す。
対頂角は等しいので、
 ∠EGD=IGH
また、
 ∠EDG=90°=∠IHG
したがって、二角相等により△DEGと△HIGは相似である。

以上より、△AFE∽△DEG∽△HIGである。

(2)
∠EFD=∠EBF(=90°)なので、
 ∠DFC=180°-(∠BFE+∠EFD)
    =180°-(∠BFE-∠EBF)
    =∠FEB
また、
 ∠EBF=90°=∠FCD
したがって、二角相等により△EBFと△FCDは相似である。

No.49111 - 2018/03/04(Sun) 13:03:22

Re: 何故 / 中三
全然関係ないですが、その本は「塾技」ですよね。
p116の(1)の正三角形の折り返しの相似が理解できたのであれば(2)の正方形と(3)の長方形の折り返しの相似も理解できると思うのですが。

No.49113 - 2018/03/04(Sun) 15:30:19
(・・? / 雪
2次関数の変域が一定でないのは何故ですか?
No.49106 - 2018/03/04(Sun) 11:19:56

Re: (・・? / 雪
すいません。
変化の割合です。

No.49107 - 2018/03/04(Sun) 11:20:22

Re: (・・? / 中三
変化の割合=傾きより、グラフが直線でなければ傾きも一定ではありません。二次関数のグラフは曲線なので変化の割合は一定ではありません。
余談ですが、二次関数y=ax²のグラフにおいてxの値がpからqまで増加するときの変化の割合はa(p+q)で表すことができます。

No.49114 - 2018/03/04(Sun) 15:33:46

Re: (・・? / IT
変化の割合が一定ということは、任意の実数x,h≠0 について(f(x+h)-f(x))/h が一定ということです。
(f(x+h)-f(x))/h=a ,f(0)=bとおけます。
x=0 とおくと f(h)-f(0)=ah
f(h)=ah+f(0)=ah+b となりf(x)は1次関数または定数関数です。

No.49116 - 2018/03/04(Sun) 17:30:17
ベクトル / 高2
1.2番はどうとくんですか??
よければ解説お願いします。

No.49105 - 2018/03/04(Sun) 10:53:49

Re: ベクトル / X
(1)
条件から、点P,Q,Rはそれぞれ
辺AB,BC,CAの中点ですので
↑OP=(↑OA+↑OB)/2 (A)
↑OQ=(↑OB+↑OC)/2 (B)
↑OR=(↑OC+↑OA)/2 (C)
(A)(B)(C)を
2↑OP+k↑OQ+3↑OR=↑0 (D)
に代入すると
2(↑OA+↑OB)/2+k(↑OB+↑OC)/2+3(↑OC+↑OA)/2=↑0
これより
2(↑OA+↑OB)+k(↑OB+↑OC)+3(↑OC+↑OA)=↑0
5↑OA=-(k+2)↑OB-(k+3)↑OC
∴↑OA={-(k+2)↑OB-(k+3)↑OC}/5

(2)
(i)
条件から
|↑OA|=|↑OB|=|↑OC|≠0 (E)
さて(1)の結果から
|↑OA|^2=|{-(k+2)↑OB-(k+3)↑OC}/5|^2 (F)
ここで↑OB⊥↑OCより
↑OB・↑OC=0 (G)
に注意して(F)を整理すると
|↑OA|^2={(1/25)(k+2)^2}|↑OB|^2+{(1/25)(k+3)^2}|↑OC|^2
更に(E)を用いると
1=(1/25)(k+2)^2+(1/25)(k+3)^2
条件からk>0に注意してこれをkの方程式として解き
k=1

(ii)
(i)と(1)の結果により
↑OA=-(3↑OB+4↑OC)/5 (G)
(E)より
|↑OA|=|↑OB|=|↑OC|=R
と置くと(G)(H)により
↑OA・↑OB=-(3/5)R^2
↑OA・↑OC=-(4/5)R^2

cos∠AOB=↑OA・↑OB/R^2=-3/5
cos∠COA=↑OA・↑OC/R^2=-4/5
よって
S=(△OABの面積)+(△OBCの面積)+(△OCAの面積)
=(1/2)OA・OBsin∠AOB+(1/2)OB・OCsin∠BOC+(1/2)OC・ABsin∠COA
=(1/2)(R^2)√{1-(cos∠AOB)^2}+(1/2)R^2+(1/2)(R^2)√{1-(cos∠COA)^2}
=(6/5)(R^2)
T=πR^2
となるので
T/S=5π/6

No.49115 - 2018/03/04(Sun) 17:24:45
関数の値の変化 / トム
微分で0が出ない値になった時、どのように極限を見つければ良いのか教えてください。
No.49102 - 2018/03/03(Sat) 19:55:40

Re: 関数の値の変化 / X
f'(x)の符号が反転する境界となるxの値に対する
f(x)の値が候補になります。
しかし、飽くまで「候補」ですので注意して下さい。

No.49103 - 2018/03/03(Sat) 20:36:00
(No Subject) / 高校一年
すべて解説お願いします
四角4と四角5のすべて解説お願いします

No.49100 - 2018/03/03(Sat) 06:03:11

Re: / IT
[4] 1の出るところ 7C3 とおり、2の出るところ 4C2 とおり。
求める確率は (7C3)(4C2)((1/6)^3)((1/6)^2)(4/6)^2

[5] 箱A,B,Cを選ぶ確率はそれぞれ1/3
赤1、白1を取り出す確率はそれぞれ
 箱A:(3C1)(1C1)/(4C2)=1/2
 箱B:(2C1)(2C1)/(4C2)=2/3
 箱C:箱Aと等しい。=1/2

求める確率は (1/2+2/3+1/2)*(1/3)

No.49104 - 2018/03/03(Sat) 21:58:35
(No Subject) / 高校一年
すべて解説お願いします
No.49099 - 2018/03/03(Sat) 06:02:06

Re: / IT
(1) Aの男3人は、5C3 とおり
  Bの3人は、6C3 とおり

(2) 女部屋は,3とおり
  女部屋がAのとき
   Aの女3人は、4C3 とおり
   Bの3人は、6C3 とおり

(3) 女2人部屋は3とおり
  女2人部屋がAのとき
   Aの女2人は、4C2 とおり
   Aの男1人は、5C1 とおり
   Bの女1人は、2C1 とおり
   Bの男2人は、4C2 とおり

(4) 女なしの部屋は3とおり
  Aが女なしのとき
   Aの男3人は、5C3 とおり
   Bの女2人は、4C2 とおり
   Bの男1人は、2C1 とおり

最後の計算は自分でやってみてください。

No.49101 - 2018/03/03(Sat) 14:39:54
確率 / 中2生 小野寺
(2)5/16  (2)が解けません。解説よろしくお願いします。
No.49093 - 2018/03/01(Thu) 21:33:44

Re: 確率 / らすかる
(1)
図2の2段目の○を消したものなので、3点少なくなり、7点。

(2)
b=1のとき、奇数になるのはa=3のみ。
b=2のとき、奇数になるのはa=2,3,4の場合。
b=3のとき、奇数になるのはa=3のみ。
b=4の場合は奇数にならない。
よって奇数になるのは5通りなので、求める確率は5/16。

No.49094 - 2018/03/01(Thu) 21:54:18

Re: 確率 / 中2生 小野寺
すみませんが、(2)の解説がよくわかりません。
No.49095 - 2018/03/01(Thu) 23:26:08

Re: 確率 / らすかる
       b
a  1  2  3  4
1  6 10 14 20
2  4  7 10 14
3  3  5  7 10
4  2  3  4  6
a,bのすべての組合せに対して得点を調べるとこのような表になりますので、
奇数は5通りです。

No.49096 - 2018/03/02(Fri) 02:45:35

Re: 確率 / 中2生 小野寺
解りました。解説ありがとうございました。
No.49097 - 2018/03/02(Fri) 07:16:49
数学1の例題40 / Dio
数研出版からでている4STEP数I 改訂版の例題40のAM^2=のところですが、なぜ2/√7などが出てくるか,分かりません
解説お願いします

No.49088 - 2018/03/01(Thu) 10:38:06

Re: 数学1の例題40 / Dio
あ、これが解説です、詳しい説明をよろしくお願いします!
No.49089 - 2018/03/01(Thu) 10:41:22

Re: 数学1の例題40 / 関数電卓
上の解説以上に 「詳しく」 と言われても…
余弦定理から
 cosB=(AB^2+BC^2−CA^2)/(2AB・BC)=(3^2+(√7)^2−2^2)/(2・3・√7)=2/√7
 AM^2=AB^2+BM^2−2AB・BM・cosB=3^2+(√7/2)^2−2・3・√7/2・2/√7=19/4

No.49090 - 2018/03/01(Thu) 11:23:41

Re: 数学1の例題40 / Dio
すいません!それです!ありがとうございます!少し理解していなかったものなので、これで理解出来ました?
No.49091 - 2018/03/01(Thu) 13:33:18

Re: 数学1の例題40 / 関数電卓
良かったですね。
No.49092 - 2018/03/01(Thu) 19:06:43
(No Subject) / 高二
したの問題がわかりません。答えは2/39 ×π です。
解き方も教えて下さると嬉しいです

No.49081 - 2018/02/28(Wed) 22:19:55

Re: / X
問題の立体は半径5a/2[cm]の球から
同心で半径a[cm]の球をくりぬいた
ものになります。
よってその体積は…

No.49082 - 2018/02/28(Wed) 22:23:20

Re: / 高二
ありがとうございます!!
答え、117πa³/6になりました、、
解答の2π/39は間違ってるんですかね??

No.49083 - 2018/02/28(Wed) 22:32:39

Re: / IT
117 は3 で割り切れるので 39πa³/2 ですね
解答はプリントミスでは?
そもそも a³ が付かないのはおかしいですね。

No.49086 - 2018/02/28(Wed) 23:04:01
数I / まな
3番がわかりません。解説お願いします。
No.49078 - 2018/02/28(Wed) 20:01:56

Re: 数I / IT
(1) の答えはどうなりましたか?

グラフを描いて考えると分かりやすいと思います。
(参考図)

No.49079 - 2018/02/28(Wed) 20:24:39
すみません / お願い
重根について教えてください
No.49072 - 2018/02/28(Wed) 17:39:20
(No Subject) / お願い
9x^2-6x+1
の解き方を教えてください

No.49069 - 2018/02/28(Wed) 16:39:20

Re: / Z
解の公式を使いましょう。
No.49085 - 2018/02/28(Wed) 22:40:50

Re: / 中三
等式ではないので解くことはできません。
9x²-6x+1=0のことであれば(3x-1)²=0と変形できるのでx=1/3と解くのが一般的です。

No.49098 - 2018/03/02(Fri) 19:00:48
(No Subject) / 4月から大学生
画像の問題ですが、自分なりに解いてみましたが、
与式は、∫[-π/2~0]{∫[(-x-π/2)~(x+π/2)]cos(x)*cos(y)dy}dx
+∫[0~π/2]{∫[(x-π/2)~(π/2-x)]cos(x)*cos(y)dy}dxといった感じになり、答えは、πになりました。
合っているか確認お願いいたします。

No.49068 - 2018/02/28(Wed) 16:33:39

Re: / 関数電卓
被積分関数は、x、y についてともに偶関数なので、x≧0、y≧0 についてのみ計算し、それを 4 倍すれば OK です。答 π はあっています。
No.49073 - 2018/02/28(Wed) 18:14:18

Re: / 4月から大学生
そのx≧0、y≧0 についてのみ計算し、それを 4 倍する解き方を教えてもらうことはできますか?
No.49076 - 2018/02/28(Wed) 18:51:41

Re: / 関数電卓
求める積分は、以下の通りです。
与式=4∫[0,π/2]cos(x)(∫[0,π/2−x]cos(y)dy)dx
  =4∫[0,π/2]cos(x)([sin(y)][0,π/2−x])dx
  =4∫[0,π/2]cos(x)sin(π/2−x)dx
  =4∫[0,π/2](cos(x))^2dx
  =4∫[0,π/2](1+cos(2x))/2・dx
  =2[x+sin(2x)/2][0,π/2]
  =π

No.49077 - 2018/02/28(Wed) 19:29:15

Re: / 4月から大学生
なるほど!
そっちのほうが簡単に解けそうですね。
ありがとうございます。

No.49084 - 2018/02/28(Wed) 22:38:58
問題集 / 4月から大学生
初めまして。4月から大学生になる者ですが、大学に入る前に数学の宿題を出されて困っています…。
宿題自体提出はしないのですが、4月早々からテストがあります。分からない問題は、画像の問題です。分かりやすく教えて下さると助かります。お願いします。

No.49049 - 2018/02/27(Tue) 19:54:43

Re: 問題集 / IT
2重積分は分かるのですか?

分母が0になる原点を除けばいいと思います。


#入学前に広義2重積分の宿題が出るとは大変ですね。

No.49055 - 2018/02/27(Tue) 20:37:03

Re: 問題集 / 4月から大学生
2重積分は何とか理解はしました💦
やっぱり宿題にしては難しいですよね…。
(1)から教えて頂くことはできますか?

No.49057 - 2018/02/27(Tue) 21:42:23

Re: 問題集 / IT
(1) 被積分関数が不定になるのは、分母が0になる原点 です。
(2) Dから原点を左下頂点とするδ四方の正方形を除いた領域を2つの長方形D1、D2(それぞれ境界含む)に分ければ良いと思います。
(3)2重積分計算する。
(4)の極限計算は容易だと思います。

> やっぱり宿題にしては難しいですよね…。
そうですね入学して習ってから出来るようになれば良いと思いますが、大学数学は高校数学と比べて難しので心してかかれといういうことかなと思います。

No.49059 - 2018/02/27(Tue) 22:13:03

Re: 問題集 / 4月から大学生
やはり大学の数学は難しいというのがよく分かりました。(1)は理解できましたが、(2)がいまいちよく分かりませんので、詳しく解説お願いします。
No.49063 - 2018/02/28(Wed) 13:07:12

Re: 問題集 / IT
(2) 例えば下図のとおり。
No.49074 - 2018/02/28(Wed) 18:14:41

Re: 問題集 / 4月から大学生
なるほど!ありがとうございます❗
後は自力で解けそうです。

No.49075 - 2018/02/28(Wed) 18:47:09
(No Subject) / あすか
画像の問題で、解き方は一通り理解していますが、途中で、x=rcosθ,y=rsinθとおき、
D={(r,θ)0≦r≦1,0≦θ≦2π}となるのはなぜですか?どうやって求めたか分かりません。解説お願いします。

No.49047 - 2018/02/27(Tue) 19:31:18
(No Subject) / 中3 花輪
(2)1cm 水の深さの求め方が解りません。解説よろしくお願いします。
No.49046 - 2018/02/27(Tue) 18:45:12

Re: / らすかる
(1)
(水の体積):(容器の容積) = (水の深さ):(容器の高さ) = 7:16

(2)
図1から(水の入っていない部分の体積):(容器の容積) = 9:16なので
図2で(△ABCの水より上の部分の面積):(△ABCの面積) = 9:16
従って(△ABCの水より上の部分の高さ):(△ABCの高さ) = 3:4であり
△ABCの高さは4cmなので、水の深さは1cm

No.49052 - 2018/02/27(Tue) 20:03:20

Re: / 中3 花輪
解説ありがとうございました。
No.49056 - 2018/02/27(Tue) 21:41:40
数学1A / MAI

解いたのですが、答えがなく困っているので教えていただければと思います。

AB=BC=DE=CA=5、BC=AD=4を満たす四面体ABCDについて以下の問いに答えよ。
(1)辺BCの中点をMとするとき、AMの長さを求めよ。
(2)辺ADの中点をNとするとき、MNの長さを求めよ。
(3)三角形AMDの面積を求めよ。
(4)四面体ABCDの体積を求めよ。

(1)は5^2+4^2-2×20×cosθ=5^2
cosθ=2/5(θは角ABCとする)
5^2+2^2-2×10×cosθ=AM^2
AM=√21
(2)は(1)よりBN=AM=√21、BM=AN=2
(√21)^2+4^2-2×√21×4×cosMAD=(√21)^2
cosMAD=2/√21
(√21)^2+4^2-2×√21×2×cosMAD=MN^2
MN=√17
(3)はcosMAD=2/√21
sin MAD=√17/√21
面積=√21×4×√17/√21×1/2=2√17
(4)はAから垂直に下ろした点が重心Eとして、DMの1/3なので、辺AEは、(√21/3)^2+AE^2=(√21)^2
AE=(2√42)/3
体積=2√21×2√42/3×1/3=(4√42×17)/9

いかがでしょうか。

No.49043 - 2018/02/27(Tue) 18:08:04

Re: 数学1A / RYO
・「DE=5」という条件は正しいですか?
・また、「BC=5」と「BC=4」が同時に成り立つことはありえません。

問題文を今一度確認してみてください。

No.49045 - 2018/02/27(Tue) 18:43:23

Re: 数学1A / MAI
申し訳ありませんでした。
AB=BD=DC=CA=5
BC=AD=4
でした。

再検討をお願いします。

No.49048 - 2018/02/27(Tue) 19:52:24

Re: 数学1A / RYO
ずいぶん遠回りをしている(処理量の多いルートを選択している)印象がありますが、(1)〜(3)は正解だと思います。

しかし、(4)は冒頭部分の記述「Aから垂直に下ろした点が重心Eとして」に誤りがあります。一般の四面体において、「頂点(点A)から底面(△BCD)に下ろした垂線の足」と「底面(△BCD)の重心」が一致するとは限りません(本問でも一致しません)。

No.49054 - 2018/02/27(Tue) 20:22:47

Re: 数学1A / MAI
回答ありがとうございます。
(1)~(3)の最短の解き方はどんな感じでしょうか。ザックリとした指針を教えていただければ嬉しいです。
(4)なのですが、では、どういった条件の時に重心になるのでしょうか。また、今回は、重心にならないということでしたがどういうふうに解いていけば良いですか。

度々申し訳ないのですが、どうぞよろしくお願いします。

No.49060 - 2018/02/28(Wed) 00:40:44

Re: 数学1A / らすかる
(1) △ABMはAB=5、BM=2、∠BMA=90°の直角三角形なので、AM=√(AB^2-BM^2)=√21
(2) △MANはMA=√21、AN=2、∠ANM=90°の直角三角形なので、MN=√(MA^2-AN^2)=√17
(3) △AMD=AD×MN÷2=2√17
(4) (四面体ABCD)=(三角錐B-MAD)+(三角錐C-MAD)
  =2(三角錐B-MAD)=2×{2√17×2×(1/3)}=8√17/3

No.49061 - 2018/02/28(Wed) 00:50:48

Re: 数学1A / RYO
>(1)~(3)の最短の解き方はどんな感じでしょうか。ザックリとした指針を教えていただければ嬉しいです。
>また、今回は、重心にならないということでしたがどういうふうに解いていけば良いですか。

らすかるさんの回答を参考になさってください。

>(4)なのですが、では、どういった条件の時に重心になるのでしょうか。
四面体A-BCDにおいて、頂点から底面に下ろした垂線の足を点Hとするとき、
AH↑=(1/3)(AB↑+AC↑+AD↑) …(式?@)
が成立するならば、その四面体において「頂点から底面に下ろした垂線の足」と「底面の重心」は一致すると言えます。例えば、正四面体においては必ず(式?@)が成立します。

No.49062 - 2018/02/28(Wed) 13:06:50

Re: 数学1A / MAI
お二方ともありがとうございます。

角ANMが90度であることはなぜ言えるんでしょうか。

No.49066 - 2018/02/28(Wed) 15:48:00

Re: 数学1A / RYO
△MADはMA=MD=√21の二等辺三角形ですので、(1)と同様に

「二等辺三角形(△MAD)の頂点(点M)と対辺(辺AD)の中点(点N)とを通る直線(直線MN)は、対辺(辺AD)の垂直二等分線となる」

性質を利用すれば、∠ANM=90°であることが分かります。

No.49067 - 2018/02/28(Wed) 15:56:40

Re: 数学1A / MAI
何度も何度もありがとうございました。
理解することができました。

No.49087 - 2018/02/28(Wed) 23:25:41
お願いします / しぐま
わからないのでお願いします!
No.49041 - 2018/02/27(Tue) 16:29:06

Re: お願いします / RYO
 sinx-(√3)cosx<0
⇔2[(sinx)/2-{(√3)cosx}/2]<0
⇔2sin{x-(π/3)}<0 (加法定理の逆より)
⇔sin{x-(π/3)}<0 …?@

x-π/3=t (0≦x<2πより-π/3≦t<5π/3 …?A)とおくと、

(?@かつ?A)
⇔(sint<0) かつ (-π/3≦t<5π/3)
⇔(-π/3≦t<0) または (π<t<5π/3)
⇔(0≦t+π/3<π/3) または (4π/3<t+π/3<2π)
⇔(0≦x<π/3) または (4π/3<x<2π) …答

No.49042 - 2018/02/27(Tue) 16:51:32
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