ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / か

(2)の、OH=(cosθ)a と言うのが理解できません…どう言うことなんでしょうか…

No.49250 - 2018/03/14(Wed) 21:22:50

☆ Re: / RYO

まず、Hは直線OA上の点ですので
　OH↑＝(実数)OA↑
のように表せます。

ここで問題になるのは線分OHと線分OAの長さの比ですが、これは条件「|OA↑|＝|OB↑|」と三角比の定義を用いることで導出できます。
すなわち、△BOHに三角比の定義を適用すると
　|OH↑|＝(cosθ)|OB↑|
となり、条件「|OA↑|＝|OB↑|」より
　|OH↑|＝(cosθ)|OA↑|
が得られます。

以上より、
　OH↑＝(cosθ)OA↑
となります。

No.49252 - 2018/03/14(Wed) 21:59:53

★ (No Subject) / 共役複素数

α,βが虚数のとき、次のことを証明せよ
(1)αバーβが実数ならばαはβの実数倍である
(2)α+β,αβが共に実数ならばα＝βバーである

の、解答の仕方がわかりません。

No.49238 - 2018/03/14(Wed) 09:44:14

☆ Re: / IT

(1)α~βが実数ならばαはβの実数倍である
α~β=a （aは0でない実数)とおける。
両辺にαを掛けるとαα~β=aα
(1/a)αα~β=α
α=((|α|^2)/a)β

No.49239 - 2018/03/14(Wed) 12:34:22

☆ Re: / IT

(2) α+β=a,αβ=b とおくと
解と係数の関係から,α、βは　x^2-ax+b=0の２解.
x^2-ax+b=0 の解は解の公式により, x=(a±√(a^2-4b))/2であり、この一方がαで他方がβである。
ここで　a,bは実数で、α,βは虚数なので(a^2-4b)<0
よってα=β~である。

No.49240 - 2018/03/14(Wed) 12:47:21

☆ Re: / IT

(2) 前記と同じことですが直接的にすると
(α+β)^2-4αβ=(α-β)^2=Dとおくと
α+β、αβ実数なので、Dは実数である。
α-β=±√D
α+βを加えると　2α=α+β±√D,α=(α+β±√D)/2
α+βを引くと -2β=-(α+β)±√D,β=(α+β干√D)/2
α、βは虚数なので　D＜0
α=(α+β±i√-D)/2,β=(α+β干i√-D)/2
よって　α＝β~である

No.49245 - 2018/03/14(Wed) 19:47:38

☆ Re: / 共役複素数

(2)で、解の公式によりα＝βバーである、の部分の解説が欲しいです（ ; ; ）すみません

No.49246 - 2018/03/14(Wed) 20:35:18

☆ Re: / IT

元の投稿に加筆しました。

No.49251 - 2018/03/14(Wed) 21:51:09

☆ Re: / IT

（２）
α+βが実数より　α+β＝α~+β~ …?@
αβが実数より　　αβ＝α~β~　…?A

?@にβ~を掛ける　αβ~+ββ~＝α~β~+β~β~
?Aを代入　　　　　αβ~+ββ~＝αβ+β~β~
移項して　　　　　α(β~-β)＝β~(β~-β)
βは虚数よりβ~-β≠0なので　α＝β~である。

（こちらがスマートですが　前の解法が分かりやすいかも）

No.49253 - 2018/03/14(Wed) 22:09:48

★ 数列 / Ysk

この問題の(2)以降がわかりません。(2)の?狽ﾌ中の()や二乗の処理の仕方がわかりません。正答は(1)が(n+1)/2,(2)が(n+1)(n-1)/12,(3)が(a,d)＝(3,2),(201,-2)です。

No.49236 - 2018/03/14(Wed) 05:46:32

☆ Re: 数列 / ヨッシー

(2)
(1) が (n+1)/2 なので、これを s^2 の式にあてはめると
　ｓ^2＝(1/n)Σ[k=1～n]{k－(n+1)/2}^2
　　　＝(1/n)Σ[k=1～n]{k^2－(n+1)k＋(n+1)^2/4}
　　　＝(1/n){n(n+1)(2n+1)/6－n(n+1)^2/2＋n(n+1)^2/4}
　　　＝(n+1)(2n+1)/6－(n+1)^2/4
　　　＝(n+1){2(2n+1)－3(n+1)}/12
　　　＝(n+1)(n-1)/12
(3)
求める等差数列の一般項を　x[n]＝ak＋b と置きます。
x[1]＝a＋b、x[100]＝100a＋b なので、平均は　101a/2＋b＝102　です。
これより　b＝102－101a/2
分散は
　s^2＝(1/100)Σ[k=1～100](ak＋b－102)^2
　　＝(1/100)Σ[k=1～100](ak－101a/2)^2
　　＝(a^2/100)Σ[k=1～100](k－101/2)^2
　　＝(a^2/100)Σ[k=1～100](k^2－101k＋10201/4)
　Σ[k=1～100]k^2＝100・101・201/6＝338350
　Σ[k=1～100]k＝100・101/2＝5050
より
　s^2＝(a^2/100){338350－510050＋1020100/4}
　　＝83325a^2/100＝3333
　ａ^2＝4
　
公差：ａ＝２　のとき　ｂ＝１
　一般項は　2k＋1　で、初項は３
公差：ａ＝－２　のとき　ｂ＝２０３
　一般項は　－2k＋203　で　初項は　201

No.49237 - 2018/03/14(Wed) 09:00:41

★ (No Subject) / 高校一年

何でかっこ一番は共通範囲をもとめてないのに二番は求める必要があるのですか？教えてください。
またその見分け方もあわせて教えてください。

No.49232 - 2018/03/13(Tue) 18:56:53

☆ Re: / ヨッシー

(1) は
　２ｘ＋１≦－１
または
　２ｘ＋１≧１

(2) は、
　ｘ≧２　かつ　２ｘ－４＜ｘ＋１
または
　ｘ＜２　かつ　－(２ｘ－４)＜ｘ＋１

「かつ」のところは、両方満たさないといけないので、共通部分を考えます。
「または」のところは、両方満たす必要がないので、共通部分は考えません。

No.49233 - 2018/03/13(Tue) 19:25:44

★ e^πのπ^eの大小比較 / 高校数学の範囲でおねがいします。

e^πとπ^eの大小を比較せよという問題を解いていたところ、
類題を見つけました。
0<e^π-π^e<1を証明せよという問題です。
数値計算以外に解く方法はあるのでしょうか？

ps ちなみに e^πとπ^eの大小比較はlogx/xのグラフを利用しました。

No.49231 - 2018/03/13(Tue) 18:38:55

☆ Re: e^πのπ^eの大小比較 / らすかる

ここで言っている「数値計算」とは
どういう計算のことでしょうか？
もし「e^πやπ^eの近似値を数値的に求める」
という意味でしたら、それを行わなくても示せると思います。

No.49241 - 2018/03/14(Wed) 16:24:59

☆ Re: e^πのπ^eの大小比較 / 質問者です

はい。
平均値の定理など、色々な手を試しましたが、
精度が全く足りません。
ほかに、手立てはあるのでしょうか？

No.49243 - 2018/03/14(Wed) 19:12:30

☆ Re: e^πのπ^eの大小比較 / らすかる

示し方はいろいろあると思いますが、例えば…

f(x)=e^x-x^eとおくとf(e)=0でありf'(x)=e{e^(x-1)-x^(e-1)}
g(x)=logx/(x-1)とおくとg'(x)=(x-1-xlogx)/{x(x-1)^2}
h(x)=x-1-xlogxとおくとh'(x)=-logx
h(1)=0でx＞1のときh'(x)＜0なので、x＞1のときh(x)＜0
よってx＞1のときg'(x)＜0となりg(x)はx＞1で減少なので
x＞eのとき
loge/(e-1)＞logx/(x-1)
(x-1)loge＞(e-1)logx
e^(x-1)＞x^(e-1)
e^(x-1)-x^(e-1)＞0
従ってf'(x)＞0なので
f(x)はx＞eで増加
∴e^π-π^e＞0

e＜2.7183
2.7183^2=7.38915489
7.3892^2=54.60027664
54.601^2=2981.269201
2981.3^2=8888149.69
2.7183×7.3892=20.08606236
20.087×8888200=178537273.4
∴e^19＜178537274
23.73^3=13362.669117
13362^2=178543044
よってe^19＜23.73^6なので
e^(19/6)＜23.73

19^3=6859
6859^3=322687697779
(3.2268×10^11)^2=1.041223824×10^23
(1.0412×10^23)×19=1.97828×10^24
∴19^19＞1.978×10^24
6^3=216
216×22.75=4914
4914^3=118660303944
(1.187×10^11)^2=1.408969×10^22
(1.41×10^22)×6×22.75=1.92465×10^24
∴6^19×22.75^7＜1.925×10^24
よって
19^19＞6^19×22.75^7
(19/6)^19＞22.75^7
(19/6)^(19/7)＞22.75
19/7=2.714…＜eなので
(19/6)^e＞22.75
従ってe^(19/6)-(19/6)^e＜1
すなわちf(19/6)＜1
19/6=3.16…＞πであり
f(e)=0,f(x)はx＞eで増加なので
f(π)＜f(19/6)＜1

No.49249 - 2018/03/14(Wed) 20:54:18

★ (No Subject) / 中三

昨日の入試問題で、折り紙で正方形の一辺を三等分する方法について出題されました。自分自身折り紙が大好きでおもしろい問題のはずなのですが、試験時間内には考え方が分かりませんでした。

この問題の作成者はΔECF∽ΔJKDに気付かせることが意図だったのでしょうか？

No.49223 - 2018/03/13(Tue) 04:52:34

☆ Re: / ヨッシー

角度を調べているうちに、そこに行き当たるので、
方針としてはそうなのでしょう。

No.49224 - 2018/03/13(Tue) 07:22:16

☆ Re: / ヨッシー

角度を調べなくても、
　ＥＣ//ＪＫ
で即決ですね。

ただ、それに気づかない場合は、色々調べるので、別の方向から
　△ＥＣＦ∽△ＪＫＤ
を見つけるかも知れませんが、それはそれでＯＫです。

No.49225 - 2018/03/13(Tue) 09:51:06

☆ Re: / 中三

回答ありがとうございます。
EとCが重なる=折り目はECの垂直二等分線というのが大事ですね。
まず「EとCを直線で結ぶ」という作業ができるかどうかで、答えを出せるかどうかが変わっってくるような気がします。

No.49227 - 2018/03/13(Tue) 12:40:03

★ すいません / 玲奈

100の位がx
10の位がx
1のくらいがyのとき
10x+yになるのは何故ですか？

No.49216 - 2018/03/12(Mon) 23:28:25

☆ Re: すいません / らすかる

100の位x、10の位がx、1の位がyならば
10x+yにはなりません。110x+yです。
例えばx=6,y=7とすると110x+y=667となり、
確かに100の位と10の位がx、1の位がyとなりますね。

No.49218 - 2018/03/12(Mon) 23:35:17

☆ Re: すいません / 玲奈

これです…泣

No.49219 - 2018/03/12(Mon) 23:46:53

☆ Re: すいません / らすかる

それは
「100の位がx、10の位がx、1の位がy」ではなく
「100の位と10の位の2桁がx、1の位がy」ですね。
例えばx=34、y=5ならば
10x+y=345となり
確かに100の位と10の位の2桁で34=x、1の位が5となっていますね。

No.49221 - 2018/03/12(Mon) 23:53:28

☆ Re: すいません / ヨッシー

であるところがポイントですね。

No.49226 - 2018/03/13(Tue) 09:55:59

☆ Re: すいません / 関数電卓

問題は、お二人が解説されているとおりなのでしょうが…
このような奇問で生徒を悩ませることが、どれほど多くの数学嫌いを生みだしていることか！出題者は知るべきでしょう！

No.49234 - 2018/03/13(Tue) 20:30:49

★ バカですいません / 玲奈

自然数の約数の個数が素数このときはA^xになるっていうのが理解不能です。
このAは何？
教えてください

No.49215 - 2018/03/12(Mon) 22:55:03

☆ Re: バカですいません / らすかる

例えば約数の個数が7個になるような自然数は
2^6,3^6,5^6,7^6,11^6,…
つまり素数の6乗です。
（素数の6乗以外で約数の個数が7個になることはありません）
3^6ならば約数は3^0,3^1,3^2,3^3,3^4,3^5,3^6の7個となります。
よって「自然数の約数の個数が素数個の時、その自然数はA^x」
ならば、Aは素数（何でもよい）、xは約数の個数-1です。

No.49217 - 2018/03/12(Mon) 23:32:55

☆ Re: バカですいません / 玲奈

本当にすいません、Aはどうやって出せばいいのでしょうか？

No.49220 - 2018/03/12(Mon) 23:50:55

☆ Re: バカですいません / らすかる

Aは任意の素数ですから、「出す」ことは出来ません。
該当する値は素数すなわち2,3,5,7,11,13,…であり、無数にあります。
もし「出せる」ならば、他に条件があるはずです。

No.49222 - 2018/03/12(Mon) 23:55:09

☆ Re: バカですいません / 玲奈

では、3桁の自然数で約数の個数が7個の時のAはなんですか？

No.49228 - 2018/03/13(Tue) 16:02:41

☆ Re: バカですいません / ヨッシー

「では、」の部分に行き当たりばったりの様相が滲んでいますが、最初から
「約数を７個持つ３桁の数をすべて求めよ」
という問題に基づく御質問だったのでしょうか？

それはともかく、答えはすべて、らすかるさんの回答の中にあります。
>約数の個数が7個になるような自然数は
>2^6, 3^6, 5^6, 7^6, 11^6,…
念のためですが、2^6 は２の６乗（2×2×2×2×2×2）を意味します。

ちなみに、最初の御質問の
>自然数の約数の個数が素数個のときは
は
自然数の約数の個数が奇数個のときは
ではありませんか？
その後のやり取りに影響はありませんが。

No.49230 - 2018/03/13(Tue) 17:52:19

☆ Re: バカですいません / らすかる

> 自然数の約数の個数が奇数個のときは
> ではありませんか？
> その後のやり取りに影響はありませんが。
素数個と奇数個では結構違うのでは？

No.49235 - 2018/03/13(Tue) 22:30:27

★ (No Subject) / 数学不得意

答え　１８　どの様にして解いたらよいのか解りません。解説よろしくお願いします。

No.49202 - 2018/03/11(Sun) 17:26:24

☆ Re: / RYO

求める数をx、△ABCの面積をSとおく。

(?@)x≦3のとき
(三角形が2枚だけ重なった部分の面積の和)＜(三角形の面積の和)＜4S より明らかに不適。

(?A)x≧4のとき
条件より以下の等式が成立する。
　(3/9)S・1+(2/9)S・(x-3)+(3/9)S・1＝4S
⇔(2S/9)・(x-3)＝10S/3
⇔x-3＝15　(∵9/2S≠0)
⇔x＝18
これはx≧4を満たす。

以上(?@)(?A)より、求める三角形の枚数は18　…(答)

※三角形をそれぞれ9等分して考えてみてください。

No.49204 - 2018/03/11(Sun) 19:56:17

☆ Re: / 数学不得意

解説ありがとうございました。すみませんが、(x-3)の個数になるのが解りません。

No.49205 - 2018/03/11(Sun) 21:11:34

☆ Re: / RYO

三角形が4枚の場合，5枚の場合，6枚の場合，…というように、枚数が小さい場合について実際に図を描いてみれば(「実験」をしてみれば)、自ずと規則が見えてくると思います。

No.49206 - 2018/03/11(Sun) 21:51:07

☆ Re: / 数学不得意

解りました。

No.49208 - 2018/03/12(Mon) 06:43:19

★ 明日受験です！ / 蘭

明日受験を控えています！
早めの返信がありがたいです！

この問題です！
1番の答えは√2
2番の答えは√10
3番の答えは√5です

よろしくお願いします！！！

.

No.49201 - 2018/03/11(Sun) 14:37:50

☆ Re: 明日受験です！ / RYO

∠BAD＝θとすると、四角形ABCDは円に内接しているので
　∠BCD＝180°-θ
である。
△ABDと△CDBについてそれぞれ余弦定理を適用し、
　BD^2＝AB^2+AD^2-2・AB・AD・cosθ
⇔BD^2＝6-(4√2)cosθ　…?@
　BD^2＝CD^2+CB^2-2・CD・CB・cos(180°-θ)
⇔BD^2＝18+(8√2)cosθ　…?A
?A-?@より
　12√2cosθ＝-12
⇔cosθ＝-1/√2　…?B
したがって、0＜θ＜180°なので
　sinθ＝√{1-(-1/√2)^2}
　　　＝1/√2　…?C

(1)
△CDMについて余弦定理を適用し、
　DM^2＝CD^2+CM^2-2・CD・CM・cos(180°-θ)
　　　＝6-4√2・(1/√2)　(∵?B)
　　　＝2
よって、
　DM＝√2　(∵DM＞0)　…(答)

(2)
?Bを?@に代入し、
　BD^2＝10
よって、
　BD＝√10　(∵BD＞0)　…(答)

(3)
「四角形ABCDが内接している円」と「△ABDの外接円」は一致する。
そこで、求める半径の長さをRとおき、△ABDについて正弦定理を適用すると、
　BD/sinθ＝2R
⇔R＝(1/2)・{√10/(1/√2)}　(∵?C)
　　＝√5　…(答)

No.49203 - 2018/03/11(Sun) 19:40:16

☆ Re: 明日受験です！ / らすかる

別解(参考程度に)
弧BAD上にBE=AD=√2,ED=BA=2となる点Eをとると
四角形EBCDはED//BCの等脚台形
DからBCに垂線DHを下ろすとCH=(BC-ED)/2=1なので
DH=√(CD^2-CH^2)=1
DM=√(MH^2+DH^2)=√2
BD=√(BH^2+DH^2)=√10
△DMCは∠CDM=90°の直角二等辺三角形なので
CDの垂直二等分線はHを通り、CDの中点をFとするとFH//DMなので
円の中心をOとするとFH=(1/2)DM=√2/2,HO=DM=√2なのでFO=3√2/2
よって円の半径CO=√(CF^2+FO^2)=√5

No.49207 - 2018/03/12(Mon) 00:54:57

★ 4n+3形の素数 / ネイピア

∀ｐ∈奇数の素数＝２以外の素数,(pは2^(p-1)-1の素因数)・・・?@
∀p∈素数,(2^p-1の素因数をpで割ると1余る)・・・?A
∀n∈奇数,(2^n+1の素因数は８で割ると１または３余る素数である)・・・?B
上の?@～?Bを使って

ｐは４で割ると３余る素数として
q=2p+1が素数⇔2^p-1はq=2p+1で割り切れる
の証明を以下のように考えました。正しいでしょうか。検討していただきたいと思います。
よろしくお願いいたします。

（証明）
p∈{p∈4n+3形の素数│q=2p+1が素数}とする
P=4k+3∧k∈N∪{0}
q=2p+1=2(4k+3)+1=8k+7
qは８で割ると７余る・・・?C
qは奇数の素数
?@より
qは2^(q-1)-1の素因数・・・?D
2^(q-1)-1=2^2p-1=(2^p-1)(2^p+1)・・・?E
qが2^p+1の素因数とする（背理法）
pは奇数、?Bより
qは８で割ると１または３余る・・・?F
?Cと?Fは矛盾する
よって
qは2^p+1の素因数ではない・・・?G
?D，?E、?Gより
qは2^p-1の素因数
2^p-1はq=2p+1で割り切れる
p∈{p∈4n+3形の素数│2^p-1はq=2p+1で割り切れる}
{p∈4n+3形の素数│q=2p+1が素数}⊆{p∈4n+3形の素数│2^p-1はq=2p+1で割り切れる}
となり⇒が成り立つ

一方
p∈{p∈4n+3形の素数│2^p-1はq=2p+1で割り切れる}とする
2^p-1はq=2p+1で割り切れる・・・?H
lをq=2p+1の素因数とする・・・?I
?H．?Iより
lは2^p-1を割り切る
lは2^p-1の素因数
?Aより
lをpで割ると1余る
l=pm+1∧m∈N・・・?J
l,pは奇数・・・?K
?J，?Kより
mは偶数
m≧2・・・?L
l=pm+1≧2p+1・・・?M
l≦q=2p+1・・・?N
?M，?Nより
l=2p+1=q
qは素数
p∈{p∈4n+3形の素数│q=2p+1が素数}
{p∈4n+3形の素数│2^p-1はq=2p+1で割り切れる}⊆{p∈4n+3形の素数│q=2p+1が素数}となり
⇐が成り立つ
ｐは４で割ると３余る素数として
q=2p+1が素数⇔2^p-1はq=2p+1で割り切れる
が成り立つ

No.49200 - 2018/03/11(Sun) 10:26:00

★ (No Subject) / か

この部分で、ベクトルbですぐに両辺を約分しないのは、なにか理由があるんでしょうか.

No.49197 - 2018/03/11(Sun) 03:25:21

☆ Re: / IT

内積について「約分」はできません
b≠0,b・a=b・c だからといってa=c とはいえません。

No.49198 - 2018/03/11(Sun) 08:59:51

☆ Re: / か

ありがとうございます。もう１つ疑問があるのですが、、、これの例題351の考え方の(2)が、何故こうなるのかが分かりません…

No.49199 - 2018/03/11(Sun) 09:34:13

☆ Re: / ヨッシー

考え方１
ＴがＢＣをａ：ｂに分ける点である時
　ＡＴ＝{b/(a+b)}ｂ＋{a/(a+b)}ｃ
ここで、ｓ＝b/(a+b)、ｔ＝a/(a+b) とおくと、ｓとｔの間に成り立つべき関係式は
　ｓ＋ｔ＝１
です。

考え方２
点Ｔは、点Ａから見て、まず、Ａ→Ｂと進み（ＡＢ）、ＢＣの何倍か（ｔ倍とする）だけ進んだ点と考えると、
　ＡＴ＝ＡＢ＋ｔＢＣ
　　　＝ｂ＋ｔ(ｃ－ｂ)
　　　＝(1－t)ｂ＋ｔｃ
ここで、ｓ＝１－ｔと置くと、ｓ＋ｔ＝１

No.49209 - 2018/03/12(Mon) 11:26:57

★ (No Subject) / m

別の問題やってたんですけどまだわからないところが出たので質問させていただきます。。

空間において、一辺の長さが4である正方形ABCDがある。半径が1である球Sがこの正方形のいずれかの辺と共有点を持つように動く時、球Sの通過する領域をEとする。そのEの体積を求めよ。ただし、球Sとは表面も内部も含むとする。

教えてください。

No.49191 - 2018/03/10(Sat) 18:18:58

☆ Re: / らすかる

あまり自信がありませんが…

まず正方形に垂直で各辺を含む4つの平面で9個に分けると、
角は半径2の球の1/4でありこれが4つなので
合わせて半径2の球の体積となり32π/3
辺の外側は底面の半径が2で高さが4の半円柱で、
これが4つなので合わせると半径が2で高さが8の円柱の体積となり32π
中央に残った部分は正方形に垂直で対角線を含む2つの平面で4つに切って
さらに半分にすれば
半径が2で高さが2の半円柱を中心面と45°の角度の平面で切った内側なので
8∫[0～2]2(2-x)√(4-x^2)dx=32π-128/3
よって全部で 32(7π-4)/3
となると思います。

No.49194 - 2018/03/11(Sun) 01:22:02

★ (No Subject) / たろー

(2)と(3)を教えて下さい。
計算が複雑になりあっているか、わからなくなりました。

No.49190 - 2018/03/10(Sat) 17:55:12

☆ Re: / ヨッシー

Lの方程式は　ｙ＝ｍｘ＋２ｍ
(1)
　Ｓ1＝∫[-2～0]{(－ｘ^2＋４)－(ｍｘ＋２ｍ)}dx
　　＝16/3－2m
(2)
ＬとＣとの交点で、Ａではない方のｘ座標は　ｘ＝２－ｍ
Ｄのうち、直線Ｌの上側で、ｙ軸より右にある部分の面積Ｓ3は
　Ｓ3＝∫[0～2-m]{(－ｘ^2＋４)－(ｍｘ＋２ｍ)}dx
　　＝(2－m)^2・(8－m)/6
Ｓ2＋Ｓ3＝16/3 より
　Ｓ2＝16/3－(2－m)^2・(8－m)/6
　　＝m(m－6)^2/6
(3)
　Ｓ＝16/3－2m＋m(m－6)^2/6
　　＝(m^3－12m^2＋24m＋32)/6
ｍで微分して、
　Ｓ’＝(m^2－8m＋8)/2
ｍ＝4±2√2 のとき　Ｓ’＝０
特に　０＜ｍ＜２の範囲では　ｍ＝4－2√2 のときＳは最大で
　m^3－12m^2＋24m＋32＝(m^2－8m＋8)(m－4)＋64－16m
より、ｍ＝4－2√2 のとき
　Ｓ＝{64－16(4－2√2)}/6＝16√2/3

No.49210 - 2018/03/12(Mon) 16:44:13

★ ぐうきの問題が苦手で、 / m

すみません。ここまで解答は行ったのですが、それからがよくわからなくて教えていただきたいです

No.49187 - 2018/03/10(Sat) 17:30:50

☆ Re: ぐうきの問題が苦手で、 / m

これが自分の解答です。（ちなみに探索です。

No.49188 - 2018/03/10(Sat) 17:31:36

☆ Re: ぐうきの問題が苦手で、 / m

探索ではなく添削

No.49189 - 2018/03/10(Sat) 17:32:33

☆ Re: ぐうきの問題が苦手で、 / X

(1)
過程が間違っています。
例えばnがoddのとき
a[n+1]=a[n] (A)
は成立しますが、だからと言って
a[n]=a[n-1] (B)
は成立しません。
((A)の左辺の添え字であるn+1はevenですが
(B)左辺の添え字であるnはoddですので。)
nがevenのときも同様です。

これは以下のように解きます。

nがodd,evenいずれのときにおいても
与えられた二つの漸化式の和を取ると
a[n+1]+b[n+1]=2{a[n]+b[n]} (A)
つまり、{a[n]+b[n]}の漸化式である
(A)はnの偶奇によらず成立します。
∴a[n]+b[n]={a[1]+b[1]}2^(n-1)
=2^n

(2)
mとnを混同してしまっています。
確かに2m-1は奇数ですが、このとき成立するのは
a[2m-1]=a[2m]
です。
従って
c[m+1]=c[m]
は成立しません。

これは以下のように解きます。
前半)
条件から
a[2m+1]=a[2m] (C)
b[2m+1]=a[2m]+2b[2m] (D)
a[2m]=2a[2m-1]+b[2m-1] (E)
b[2m]=b[2m-1] (F)
(C)(E)より
a[2m+1]=2a[2m-1]+b[2m-1] (C)'
ここで(1)の結果により
a[2m-1]+b[2m-1]=2^(2m-1) (G)
(C)'(G)により
a[2m+1]=a[2m-1]+2^(2m-1)
∴c[m+1]=c[m]+2^(2m-1)
後半)
c[1]=a[1]=1
に注意して前半の結果の漸化式を解き、
a[2m-1](=c[m])
を求めます。
後は条件から
a[2m]=a[2m-1]
ですのでa[2m]も求められます。

(3)
これはヒントだけ。
まず(1)(2)の結果を使って
b[2m-1],b[2m]
を求めましょう。

No.49192 - 2018/03/10(Sat) 20:10:10

☆ Re: ぐうきの問題が苦手で、 / m

わかりました！！ありがとうございます！

No.49193 - 2018/03/10(Sat) 23:46:10

☆ Re: ぐうきの問題が苦手で、 / X

もう見ていないかもしれませんが、ごめんなさい。
(2)において漸化式の適用を間違えていました。
比較のため、改めて(2)の方針をアップしておきます。

(2)
mとnを混同してしまっています。
確かに2m-1は奇数ですが、このとき成立するのは
a[2m]=a[2m-1]
です。
従って
c[m+1]=c[m]
は成立しません。

これは以下のように解きます。
前半)
条件から
a[2m]=a[2m-1] (C)
b[2m]=a[2m-1]+2b[2m-1] (D)
a[2m+1]=2a[2m]+b[2m] (E)
b[2m+1]=b[2m] (F)
ここで(1)の結果により
a[2m]+b[2m]=2^(2m)
∴b[2m]=2^(2m)-a[2m]
これを(E)に代入すると
a[2m+1]=a[2m]+2^(2m)
更に(C)を代入して
a[2m+1]=a[2m-1]+2^(2m)
よって、求める漸化式は
c[m+1]=c[m]+4^m

後半)
c[1]=a[1]=1
に注意して前半の結果の漸化式を解き、
a[2m-1](=c[m])
を求めます。
後はこの結果を(C)に代入すれば
a[2m]も求められます。

No.49212 - 2018/03/12(Mon) 20:06:08

★ (No Subject) / 雪

立方体abcdefghがあって、　ab bfの中点ｐｑがあります
apqの3点を通る平面で切るときの切り口は
等脚台形(?)になるのですが、なぜ4点通っているのでしょうか？教えてください。
あと、とうきゃく台形ってなんですか！?

No.49185 - 2018/03/10(Sat) 14:00:55

☆ Re: / らすかる

立方体ABCDEFGHは、特に図や断りがなければ
一つの面が正方形ABCD、反対側の面が正方形HGFEで
その2面をつなぐ4辺がAE,BF,CG,DHであるような立方体を意味すると思います。
そう考えるとAEFBが一つの面になっていますので
ABの中点P、BFの中点Qもその面上にあり、
「A,P,Qの3点を通る平面」＝「面AEFBを含む平面」
となりますので、「切り口」はありません。

等脚台形とは、平行な各辺の両端の角度が等しい台形、すなわち
平行な2辺の垂直二等分線が一致し、その直線に関して左右対称であるような台形のことです。
対角の和が180°であるような台形、とも言えます。

No.49186 - 2018/03/10(Sat) 14:35:00

★ 三角形の内角 / ぬ

円に内接する三角形があり。三角形の内角の大きさがn:n+1:n+2となるとき、それぞれの内角は何度になりますか？

No.49182 - 2018/03/10(Sat) 01:35:53

☆ Re: 三角形の内角 / らすかる

「円に内接する」は関係ないですが、
内角の和は180°ですから
n：n+1：n+2ならば
180×n/{n+(n+1)+(n+2)}=60n/(n+1)
180×(n+1)/{n+(n+1)+(n+2)}=60
180×(n+2)/{n+(n+1)+(n+2)}=60(n+2)/(n+1)
なので
(60n/(n+1))°、60°、(60(n+2)/(n+1))°
となります。

No.49183 - 2018/03/10(Sat) 01:55:48

☆ Re: 三角形の内角 / ぬ

理解できました。ありがとうございました。

No.49184 - 2018/03/10(Sat) 04:16:41