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★ 問題集 / 4月から大学生
初めまして。4月から大学生になる者ですが、大学に入る前に数学の宿題を出されて困っています…。
宿題自体提出はしないのですが、4月早々からテストがあります。分からない問題は、画像の問題です。分かりやすく教えて下さると助かります。お願いします。
No.49049 - 2018/02/27(Tue) 19:54:43
☆ Re: 問題集 / IT
２重積分は分かるのですか？

分母が０になる原点を除けばいいと思います。


＃入学前に広義２重積分の宿題が出るとは大変ですね。
No.49055 - 2018/02/27(Tue) 20:37:03
☆ Re: 問題集 / 4月から大学生
2重積分は何とか理解はしました💦
やっぱり宿題にしては難しいですよね…。
(1)から教えて頂くことはできますか？
No.49057 - 2018/02/27(Tue) 21:42:23
☆ Re: 問題集 / IT
(1) 被積分関数が不定になるのは、分母が０になる原点 です。
(2) Dから原点を左下頂点とするδ四方の正方形を除いた領域を２つの長方形D1、D2（それぞれ境界含む）に分ければ良いと思います。
(3)２重積分計算する。
(4)の極限計算は容易だと思います。

> やっぱり宿題にしては難しいですよね…。
そうですね入学して習ってから出来るようになれば良いと思いますが、大学数学は高校数学と比べて難しので心してかかれといういうことかなと思います。
No.49059 - 2018/02/27(Tue) 22:13:03
☆ Re: 問題集 / 4月から大学生
やはり大学の数学は難しいというのがよく分かりました。(1)は理解できましたが、(2)がいまいちよく分かりませんので、詳しく解説お願いします。
No.49063 - 2018/02/28(Wed) 13:07:12
☆ Re: 問題集 / IT
(2) 例えば下図のとおり。
No.49074 - 2018/02/28(Wed) 18:14:41
☆ Re: 問題集 / 4月から大学生
なるほど！ありがとうございます❗
後は自力で解けそうです。
No.49075 - 2018/02/28(Wed) 18:47:09
★ (No Subject) / あすか
画像の問題で、解き方は一通り理解していますが、途中で、x=rcosθ,y=rsinθとおき、
D={(r,θ)0≦r≦1,0≦θ≦2π}となるのはなぜですか？どうやって求めたか分かりません。解説お願いします。
No.49047 - 2018/02/27(Tue) 19:31:18
★ (No Subject) / 中３　花輪
（２）１ｃｍ　水の深さの求め方が解りません。解説よろしくお願いします。
No.49046 - 2018/02/27(Tue) 18:45:12
☆ Re: / らすかる
(1)
(水の体積)：(容器の容積) = (水の深さ)：(容器の高さ) = 7：16

(2)
図1から(水の入っていない部分の体積)：(容器の容積) = 9：16なので
図2で(△ABCの水より上の部分の面積)：(△ABCの面積) = 9：16
従って(△ABCの水より上の部分の高さ)：(△ABCの高さ) = 3：4であり
△ABCの高さは4cmなので、水の深さは1cm
No.49052 - 2018/02/27(Tue) 20:03:20
☆ Re: / 中３　花輪
解説ありがとうございました。
No.49056 - 2018/02/27(Tue) 21:41:40
★ 数学1A / MAI

解いたのですが、答えがなく困っているので教えていただければと思います。

AB=BC=DE=CA=5、BC=AD=4を満たす四面体ABCDについて以下の問いに答えよ。
(1)辺BCの中点をMとするとき、AMの長さを求めよ。
(2)辺ADの中点をNとするとき、MNの長さを求めよ。
(3)三角形AMDの面積を求めよ。
(4)四面体ABCDの体積を求めよ。

(1)は5^2+4^2-2×20×cosθ=5^2
cosθ=2/5(θは角ABCとする)
5^2+2^2-2×10×cosθ=AM^2
AM=√21
(2)は(1)よりBN=AM=√21、BM=AN=2
(√21)^2+4^2-2×√21×4×cosMAD=(√21)^2
cosMAD=2/√21
(√21)^2+4^2-2×√21×2×cosMAD=MN^2
MN=√17
(3)はcosMAD=2/√21
sin MAD=√17/√21
面積=√21×4×√17/√21×1/2=2√17
(4)はAから垂直に下ろした点が重心Eとして、DMの1/3なので、辺AEは、(√21/3)^2+AE^2=(√21)^2
AE=(2√42)/3
体積=2√21×2√42/3×1/3=(4√42×17)/9

いかがでしょうか。

No.49043 - 2018/02/27(Tue) 18:08:04
☆ Re: 数学1A / RYO
・「DE＝5」という条件は正しいですか？
・また、「BC＝5」と「BC＝4」が同時に成り立つことはありえません。

問題文を今一度確認してみてください。
No.49045 - 2018/02/27(Tue) 18:43:23
☆ Re: 数学1A / MAI
申し訳ありませんでした。
AB=BD=DC=CA=5
BC=AD=4
でした。

再検討をお願いします。
No.49048 - 2018/02/27(Tue) 19:52:24
☆ Re: 数学1A / RYO
ずいぶん遠回りをしている(処理量の多いルートを選択している)印象がありますが、(1)〜(3)は正解だと思います。

しかし、(4)は冒頭部分の記述「Aから垂直に下ろした点が重心Eとして」に誤りがあります。一般の四面体において、「頂点(点A)から底面(△BCD)に下ろした垂線の足」と「底面(△BCD)の重心」が一致するとは限りません(本問でも一致しません)。
No.49054 - 2018/02/27(Tue) 20:22:47
☆ Re: 数学1A / MAI
回答ありがとうございます。
(1)~(3)の最短の解き方はどんな感じでしょうか。ザックリとした指針を教えていただければ嬉しいです。
(4)なのですが、では、どういった条件の時に重心になるのでしょうか。また、今回は、重心にならないということでしたがどういうふうに解いていけば良いですか。

度々申し訳ないのですが、どうぞよろしくお願いします。
No.49060 - 2018/02/28(Wed) 00:40:44
☆ Re: 数学1A / らすかる
(1) △ABMはAB=5、BM=2、∠BMA=90°の直角三角形なので、AM=√(AB^2-BM^2)=√21
(2) △MANはMA=√21、AN=2、∠ANM=90°の直角三角形なので、MN=√(MA^2-AN^2)=√17
(3) △AMD=AD×MN÷2=2√17
(4) (四面体ABCD)=(三角錐B-MAD)+(三角錐C-MAD)
　　=2(三角錐B-MAD)=2×{2√17×2×(1/3)}=8√17/3
No.49061 - 2018/02/28(Wed) 00:50:48
☆ Re: 数学1A / RYO
>(1)~(3)の最短の解き方はどんな感じでしょうか。ザックリとした指針を教えていただければ嬉しいです。
>また、今回は、重心にならないということでしたがどういうふうに解いていけば良いですか。
らすかるさんの回答を参考になさってください。

>(4)なのですが、では、どういった条件の時に重心になるのでしょうか。
四面体A-BCDにおいて、頂点から底面に下ろした垂線の足を点Hとするとき、
AH↑＝(1/3)(AB↑+AC↑+AD↑) …(式?@)
が成立するならば、その四面体において「頂点から底面に下ろした垂線の足」と「底面の重心」は一致すると言えます。例えば、正四面体においては必ず(式?@)が成立します。
No.49062 - 2018/02/28(Wed) 13:06:50
☆ Re: 数学1A / MAI
お二方ともありがとうございます。

角ANMが90度であることはなぜ言えるんでしょうか。
No.49066 - 2018/02/28(Wed) 15:48:00
☆ Re: 数学1A / RYO
△MADはMA＝MD＝√21の二等辺三角形ですので、(1)と同様に

「二等辺三角形(△MAD)の頂点(点M)と対辺(辺AD)の中点(点N)とを通る直線(直線MN)は、対辺(辺AD)の垂直二等分線となる」

性質を利用すれば、∠ANM＝90°であることが分かります。
No.49067 - 2018/02/28(Wed) 15:56:40
☆ Re: 数学1A / MAI
何度も何度もありがとうございました。
理解することができました。
No.49087 - 2018/02/28(Wed) 23:25:41
★ お願いします / しぐま
わからないのでお願いします！
No.49041 - 2018/02/27(Tue) 16:29:06
☆ Re: お願いします / RYO
　sinx-(√3)cosx＜0
⇔2[(sinx)/2-{(√3)cosx}/2]＜0
⇔2sin{x-(π/3)}＜0　(加法定理の逆より)
⇔sin{x-(π/3)}＜0　…?@

x-π/3＝t (0≦x＜2πより-π/3≦t＜5π/3 …?A)とおくと、

(?@かつ?A)
⇔(sint＜0) かつ (-π/3≦t＜5π/3)
⇔(-π/3≦t＜0) または (π＜t＜5π/3)
⇔(0≦t+π/3＜π/3) または (4π/3＜t+π/3＜2π)
⇔(0≦x＜π/3) または (4π/3＜x＜2π)　…答
No.49042 - 2018/02/27(Tue) 16:51:32
★ 群論 / なにゃら
群論入門をやっていますが演習問題が、わからないので教えてほしいです.
G,Hをそれぞれ元の個数がm,nの巡回群でx,yをそれぞれの生成元とする.
(1)x^(i_1)=x^(i_2)であるような全てのi_1,i_2∈Zに対しy^(i_1)=y^(i_2)という性質が成り立つためにm,nが満たさなければならない必要十分条件を求めよ.

(2)(1)の性質を満たすm,nに対しては全てのi∈Zに対してφ(x^i)=y^iとなるような準同型φ:G→Hが存在する事を示せ.

(1)はi_1=i_2+mz z∈Zとi_1=i_2+nz' z'∈Z を満たせばいいかなと考えましたがよくわかんないです。
No.49040 - 2018/02/27(Tue) 14:06:35
☆ Re: 群論 / IT
(1)だけ
i_1>i_2 のときを考えればいい。

x^(i_1)=x^(i_2)⇔x^(i_1-i_2)=1 (Gの単位元）⇔m|(i_1-i_2)
y^(i_1)=y^(i_2)⇔y^(i_1-i_2)=1 (Hの単位元）⇔n|(i_1-i_2)

したがって
　m|(i_1-i_2)　ならば　n|(i_1-i_2) である. ための必要十分条件を求めればよい。
それは,n|m である。

整数a,b について　aがbの約数であることを　a|b と表す。
No.49058 - 2018/02/27(Tue) 21:45:14
☆ Re: 群論 / なにゃら
返信が遅れてしまって申し訳ないです.
しっかり理解できましたし(2)もできそうです.
ありがとうございます.
No.49195 - 2018/03/11(Sun) 02:13:19
★ もし / お願い
もし、三角形の頂点から底辺に引いた線が底辺と垂直に交わって、
底辺が二等分されたら
それは二等辺三角形ですか？
No.49030 - 2018/02/26(Mon) 22:35:02
☆ Re: もし / らすかる
左右の三角形が合同ですから二等辺三角形ですね。
No.49031 - 2018/02/26(Mon) 22:38:45
★ 空間図形 / 数学不得意
答え（２）4√10 （３）4√7 　解き方がよく解りません。詳しい解説よろしくお願いします。
No.49029 - 2018/02/26(Mon) 21:13:37
☆ Re: 空間図形 / 中三
(2)の解説を作りました。
No.49037 - 2018/02/27(Tue) 07:15:38
☆ Re: 空間図形 / 中三
(3)の解説です。
No.49038 - 2018/02/27(Tue) 07:57:29
☆ Re: 空間図形 / 数学不得意
解説ありがとうございました。
No.49044 - 2018/02/27(Tue) 18:16:18
★ すみません / YOU
下の立体の問題の解き方を教えてください
No.49028 - 2018/02/26(Mon) 21:03:01
☆ Re: すみません / 関数電卓
一辺が 6 cm の正四面体の体積を計算できますか？
求める立体の体積は、それの半分です。
No.49032 - 2018/02/26(Mon) 23:30:43
☆ Re: すみません / お願い
高さが求まらないです…どこですか？
No.49064 - 2018/02/28(Wed) 15:00:44
☆ Re: すみません / 関数電卓
BC の中点を F、A から面 BCD に下ろした垂線の足を H とし、立体を面 BCD 上、3 点 B,F,C が 1 点に重なって見える方向から見ると図のようになります。AH が高さです。
なぜこの角度から見るかというと、AF、AD、AH、FD が視線に垂直になるように置かないと、長さが計算できないからです。
立体図形と見比べながらお考え下さい。
No.49070 - 2018/02/28(Wed) 16:50:28
☆ Re: すみません / 関数電卓
正四面体の半分とするより、直接計算した方がわかり易かったですね。
△BCE⊥AD なので
求める体積＝(1/3)△BCE･AE＝(1/3)(1/2)･6･3√2･3＝9√2
No.49080 - 2018/02/28(Wed) 20:58:33
★ 3番 / YOU
3番について教えてください。
そもそも図形を想像できません…
どこを底面と見て…
教えてください！
No.49027 - 2018/02/26(Mon) 21:00:56
☆ Re: 3番 / 関数電卓
(1) ∠AFG＝∠AIG＝90°、∠FAG＝∠IAF (共通) ですから、△AGF∽△AFI です。
(2) △AFG の面積＝(1/2)AF･FG＝(1/2)･6√2･6＝18√2
△AFG の面積＝(1/2)･AG･FI＝(1/2)･6√3･FI＝3√3･FI
　∴ FI＝(18√2)/(3√3)＝2√6
(3) 線分 DG の中点を J とし、立体を面 CGHD 方向から見ると図のようになります。立体 AFIC は△AFI を底面とする三角錐で、高さは 図の CJ です。
よって、求める体積＝(1/3)･△AFI･CJ＝(1/3)･(1/2)･4√3･2√6･3√2＝24 cm^3
No.49034 - 2018/02/26(Mon) 23:50:25
☆ Re: 3番 / お願い
AIGはなぜ90ど
なのですか？180度に感じます
バカで申し訳ない
No.49065 - 2018/02/28(Wed) 15:04:43
☆ Re: 3番 / 関数電卓
> AIGはなぜ90どなのですか？180度に感じます

∠AIF のことですか？ それは、立体図形を平面に投影して見ているからです。立体図形と見比べて下さい。そもそも∠AIF＝90°は、問題の設定です。
No.49071 - 2018/02/28(Wed) 17:12:35
★ (No Subject) / 中三
正方形の折り紙を「折る」ことだけによって一辺を2:1+√2に分けることはできないでしょうか？
No.49026 - 2018/02/26(Mon) 20:23:51
☆ Re: / らすかる
「折る」が折り紙で使う技を使ってよいという意味ならば、できます。
正方形の一辺を1として、0〜1の任意の有理数が作れることは比較的簡単にわかると思います。
そして角を45°に折れば√2倍の長さも作れますから、
2/(3+√2)=(6-2√2)/7は作れますね。
No.49033 - 2018/02/26(Mon) 23:32:43
☆ Re: / 中三
ありがとうございます。
折り方はこれでよいでしょうか？
No.49035 - 2018/02/27(Tue) 06:32:18
☆ Re: / 中三
画像を貼り忘れました。
No.49036 - 2018/02/27(Tue) 06:32:51
☆ Re: / らすかる
いいと思います。
No.49039 - 2018/02/27(Tue) 11:52:11
★ (No Subject) / 高2
|a|＜1，|b|＜1のとき
|ab|＝|a||b|＜1･1＝1
|ab|<1

不等式の有名な拡張の問題の途中式です。
|a|＜1，|b|＜1からどうやって|ab|<1を求めているのか分からないです。
左辺、右辺同士をそれぞれかけてるように見えるのですが、不等式同士って条件次第で掛け算できるのですか？
No.49018 - 2018/02/26(Mon) 18:54:50
☆ Re: / ヨッシー
０＜ａ＜ｂ　０＜ｃ＜ｄ　ならば
　０＜ａｃ＜ｂｄ
です。すべて正の数であれば、小さいもの同士の積＜大きいもの同士の積　です。

応用して、全て負の数なら、
　大きいもの同士の積＜小さいもの同士の積　です。
No.49020 - 2018/02/26(Mon) 19:19:42
☆ Re: / 高2
返信ありがとうございます！
ようやく理解できました。ありがとうございました。
No.49025 - 2018/02/26(Mon) 20:12:10
★ (No Subject) / 中３
点Ｄから対角線AGに引いた垂線の長さなのですが
∠ADGは直角ですか？
そうでなければ解き方を教えてください。
No.49017 - 2018/02/26(Mon) 18:24:03
☆ Re: / ヨッシー
直角です。

長方形ＣＤＨＧを含む平面と線分ＡＤが垂直なので、
この平面上に引いた、いかなる直線もＡＤと垂直です。
No.49019 - 2018/02/26(Mon) 19:17:16
★ (No Subject) / aa
用
積分の展開プロセスが分かりません。使った公式も教えて頂けると嬉しいです

∫dt/√t

∫√t-dt/2
No.49014 - 2018/02/26(Mon) 11:36:23
☆ Re: / ヨッシー
上の方は、
　∫(ｘ^n)dx＝{x^(n+1)}/(n+1)
を使います。
　∫dt/√t＝∫{ｔ^(-1/2)}dt
と考えると、適用できます。

下の方は、もはやどういう式なのかわかりません。
どこまでが分子なのか？どこまで √ に入っているのか？
式を見直すとともに、必要に応じてカッコを付けるなりして下さい。

下の方の記事は消しておきます。
No.49016 - 2018/02/26(Mon) 13:54:52
☆ Re: / aa
ありがとうございます
これですね
No.49021 - 2018/02/26(Mon) 19:43:43
☆ Re: / aa
すみません解決しました
ありがとうございますm(_ _)m
No.49022 - 2018/02/26(Mon) 20:00:10
★ (No Subject) / 中三
√a+√b,√cの大小比較について、
a+b≧cのとき√a+√b>√c
a+b<cのとき
4ab>(c-a-b)²
ならば
√a+√b>√c
4ab<(c-a-b)²
ならば
√a+√b<√c
4ab=(c-a-b)²
ならば
√a+√b=√c
というのは正しいですか？
もし正しいなら
円周率πが3.1より大きいことは半径1/2の円に内接する正十二角形の周の長さを使って
3(√6-√2)>3.1
を前述の方法で示せば近似値を使わなくても示せると考えました。
No.49009 - 2018/02/26(Mon) 05:59:46
☆ Re: / IT
> 正しいですか？
大筋は、正しいと思いますが

細かいことを言えば
　「a+b≧cのとき√a+√b>√c」は偽ですから
(たとえばa=b=c=0のとき)
a>0,b>0,c>0 という前提をおいた方が良いと思います。

No.49012 - 2018/02/26(Mon) 11:02:12
☆ Re: / 中三
a,b,cを正の有理数と置いていませんでした。返信ありがとうございます。
No.49015 - 2018/02/26(Mon) 12:34:03
★ (No Subject) / トム
ごめんなさい。物理の問題なのですが
文字式が綺麗にできなくて……
どのように計算していけばいいのか教えてください。

f=(2v/ V - v)fo

v = V f / 2fo+ f
No.49003 - 2018/02/25(Sun) 23:01:57
☆ Re: / トム
上の式を下の式にする方法を教えてください
No.49004 - 2018/02/25(Sun) 23:31:22
☆ Re: / X
単にvについての方程式と見て解くだけです。
他の文字は単なる数字として考えてみましょう。
No.49005 - 2018/02/25(Sun) 23:43:36
★ 開区間と閉区間 / あー
開区間と閉区間についてです。
y'の上に書いてある-1<x<4となるのが分かりません。
No.48999 - 2018/02/25(Sun) 20:19:38
☆ Re: 開区間と閉区間 / X
これは恐らく右極限、左極限について考えているからだと
思います(数学IIでは多分範囲外だと思いますが)。
話が長くなりますがご容赦ください。

例えば
lim[x→a]f(x)=α
(αは有限の値)
とは
lim[x→a+0]f(x)=α
(xがx=aの右側からx=aに近づく、という意味で
これを右極限と言います。)
と
lim[x→a-0]f(x)=α
(xがx=aの左側からx=aに近づく、という意味で
これを左極限と言います。)
の両方が成立していることを意味しています。

ここで(1)に戻ると、定義域は
-1≦x≦4
ですので
左端であるx=-1においては
問題の関数の微分係数を計算する上で
左極限が定義できません。
同様に
右端であるx=4においては
問題の関数の微分係数を計算する上で
右極限が定義できません。

以上の理由でy'を計算する際に
-1≦x≦4
ではなくて
-1＜x＜4
となっています。

(注)恐らく、あーさんは添付写真の解答の増減表で
x=4のときのy'の値は特に問題にしないので
+を書かずに空白にしたのだとおもいますが、
この採点者はx=4でy'が定義できないので
空白にしなければならない、と判断しています。
ですので、ここで+を書いていたら、
間違いなくはねられてます。)

もっともこれはまず定義域を実数全体として
増減表を書いておき、これから
-1≦x≦4
の部分を抜き出すような解答の書き方で
十分避けられます。
No.49001 - 2018/02/25(Sun) 21:14:58
★ (No Subject) / しぐま
答えだけでも大丈夫なのでお願いします！
No.48990 - 2018/02/25(Sun) 17:20:53
☆ Re: / IT
1 です。
いろいろ方法はあります.
そのままでもできますが　x=2^(-t/30) とおくと分かり易いかも。
No.48995 - 2018/02/25(Sun) 18:54:21
☆ Re: / しぐま
ありがとうございます！
No.49000 - 2018/02/25(Sun) 20:59:46
★ 教えてください。 / 玲
ピンク色のところと黄緑色のところの面積の求め方を教えてください。
No.48987 - 2018/02/25(Sun) 16:44:37
☆ Re: 教えてください。 / 関数電卓
六角形は、円に内接する正六角形ではないのですか？
No.48988 - 2018/02/25(Sun) 16:56:17
☆ Re: 教えてください。 / IT
辺の長さが３，４，５の直角三角形以外の図の条件が不明ですが,左右対称だとすると

小さなピンクの円は半径が1/2
大きな円は半径が１になると思います。
No.48998 - 2018/02/25(Sun) 20:12:04
☆ Re: 教えてください。 / 関数電卓
IT さんがお書きの通り、ピンクの円の半径は 1/2 ですね。
No.49002 - 2018/02/25(Sun) 21:42:20
☆ Re: 教えてください。 / 関数電卓
半径 1/2 の円と半径 1 の円が、中心間 √2/2 で交わっているので、図のようにα、βを定めると、
sinα＝√14/8、cosα＝5√2/8、sinβ＝√14/4、cosβ＝−√2/4

図の黄緑の面積＝2α−5√7/32
図の水色の面積＝β＋√7/32
黄緑＋水色＝2α＋β−√7/8＝2ArcSin(√14/8)＋ArcSin(√14/4)−√7/8
No.49006 - 2018/02/26(Mon) 00:39:29
☆ Re: 教えてください。 / らすかる
> 関数電卓さん

図の黄緑の面積＝α−5√7/32
図の水色の面積＝β/4＋√7/32
であり
α=ArcSin(√14/8), β=π-ArcSin(√14/4) なので
黄緑＋水色＝α＋β−√7/8＝ArcSin(√14/8)＋(π-ArcSin(√14/4))/4−√7/8
={4ArcSin(√14/8)-ArcSin(√14/4)+π}/4-√7/8
=(ArcSin(23√14/128)+π)/4-√7/8
ですね。
No.49008 - 2018/02/26(Mon) 02:28:33
☆ Re: 教えてください。 / 関数電卓
あれ？！？！
失礼しました。ご指摘ありがとうございます。
No.49013 - 2018/02/26(Mon) 11:29:52
★ (No Subject) / とある高3
画像の問題の解き方が分かりません。解説お願いします。
No.48986 - 2018/02/25(Sun) 16:39:09
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