ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 14面体 / 数学好き

中学数学の問題集

4⃣の(3)が分かりません。教えてください。

No.47696 - 2018/01/06(Sat) 10:04:43

☆ Re: 14面体 / らすかる

正八角形ABCDEFGHで
線分AD,EH,BG,CFを描いて9個に分けると
1cm角の正方形が1個
1cm×√2/2cmの長方形が4個
2辺が√2/2cmの直角二等辺三角形が4個
なので…（後は計算できますよね？）

No.47697 - 2018/01/06(Sat) 10:57:44

☆ Re: 14面体 / 数学好き

それは正八角形の面積ではないでしょうか？
外接球の表面積の求め方が分かりません。
４⃣の?Bの問題です。

No.47698 - 2018/01/06(Sat) 13:50:57

☆ Re: 14面体 / らすかる

あ、ごめんなさい。立体の表面積と勘違いしていました。
外接球の表面積は、外接球の直径が求まれば求まりますね。
一つの八角形の頂点をABCDEFGHとして
対面の八角形の頂点をA'B'C'D'E'F'G'H'
（ただし最初の八角形を正面に見た時に
AとA'、BとB'、…、HとH'が重なる順番とする）
とすると、
AD=AA'=1+√2なのでDA'=√2(1+√2)=2+√2
DE=1なので(EA')^2=(2+√2)^2+1^2=7+4√2
これが直径の2乗なので、外接球の表面積は(7+4√2)πとなります。

No.47700 - 2018/01/06(Sat) 14:21:52

☆ Re: 14面体 / 数学好き

ありがとうございます。
よく考えたらこの立体の正八角形の部分を正方形に変えたらアルキメデスの準正多面体になりますね。

No.47701 - 2018/01/06(Sat) 15:52:04

★ ２次方程式 / 数学不得意

規則性の問題わかりません。詳しい解説よろしくお願いします。答えは１７５本　ｎ＝７です。

No.47694 - 2018/01/06(Sat) 08:18:08

☆ Re: ２次方程式 / らすかる

1番目は
横棒 (1+2+3)×2+(2+3)+3=20
縦棒 1×1+2×2+3×(3+1)=17
合計 37
2番目は
横棒 (2+3+4)×3+(3+4)+4=38
縦棒 2×2+3×3+4×(4+1)=33
合計 71
3番目は
横棒 (3+4+5)×4+(4+5)+5=62
縦棒 3×3+4×4+5×(5+1)=55
合計 117
のようになっていますので、
n番目は
横棒 {n+(n+1)+(n+2)}×(n+1)+{(n+1)+(n+2)}+(n+2)=3n^2+9n+8
縦棒 n×n+(n+1)×(n+1)+(n+2)×{(n+2)+1}=3n^2+7n+7
合計 6n^2+16n+15
となります。従って
(1)
4番目は 6×4×4+16×4+15=175
(2)
6n^2+16n+15=421 を解くと
6n^2+16n-406=0
3n^2+8n-203=0
(3n+29)(n-7)=0
nは自然数なので n=7

No.47695 - 2018/01/06(Sat) 08:38:53

☆ Re: ２次方程式 / 数学不得意

何とかわかりました。解説ありがとうございました。

No.47706 - 2018/01/06(Sat) 18:31:43

★ 高校数学　命題 / 黒毛和牛

次の◻にあてはまるのは　必要　か十分か必要十分をその命題及び逆を作って判断せよ。と言う内容です。　

解き方が解らないですのでお返事お願い致します。

No.47684 - 2018/01/05(Fri) 19:27:39

☆ Re: 高校数学　命題 / ヨッシー

必要条件
ｘ＞１０　→　ｘ＞１２　は偽　　・・・元の命題
ｘ＞１２　→　ｘ＞１０　は真　　・・・逆の命題（以下同じ）

十分条件
ｎが自然数かつｎは６の倍数　→　ｎが偶数　は真
ｎが自然数かつｎが偶数　→　ｎは６の倍数　は偽

No.47689 - 2018/01/05(Fri) 22:27:13

☆ Re: 高校数学　命題 / 黒毛和牛

ありがとうございました❗

No.47705 - 2018/01/06(Sat) 18:27:52

★ 数?U　対数方程式 / pui

こちらの（5）についてです。答えを導く際すべてが同値な変形であれば真数条件はいらないとのことですが、私はこの問題において解答を導くまですべて同値変形をしているように感じたのですが、解答では真数条件を確認していました。(5)においてどこで同値でない変形をしているのか教えてください。
（５）の解答手順と、真数条件が不要なときについて説明されている箇所も下に貼ります。

No.47670 - 2018/01/05(Fri) 17:03:33

☆ Re: 数?U　対数方程式 / pui

（5）の解答例です

No.47671 - 2018/01/05(Fri) 17:04:18

☆ Re: 数?U　対数方程式 / pui

真数条件が不要な場合について書かれている箇所です

No.47672 - 2018/01/05(Fri) 17:05:13

☆ Re: 数?U　対数方程式 / pui

画像が逆さまになっていたので再投稿させていただきます。すみません。

No.47676 - 2018/01/05(Fri) 18:33:58

☆ Re: 数?U　対数方程式 / ヨッシー

同値とは？を考えるより、
真数が正になることが明らかなら、真数条件を持ち出す必要はない
という理解で良いと思います。

No.47679 - 2018/01/05(Fri) 18:55:18

☆ Re: 数?U　対数方程式 / pui

本題から少しそれてしまいますが、「真数が正になることが明らか」というのは、同値変形のみを行っているということが分かったうえで出てくる事柄ではないんですか？

No.47680 - 2018/01/05(Fri) 19:04:25

☆ Re: 数?U　対数方程式 / らすかる

例えば真数が x^2+2x+3 ならば、同値変形とは関係なく
正になることは明らかですね。

No.47683 - 2018/01/05(Fri) 19:18:10

☆ Re: 数?U　対数方程式 / pui

はい、正になります、、
しつこくて申し訳ないんですが、参考書に載っている解説に則って考えてみたいです。真数条件を確認しているということはどこかで同値でない操作をしているはずなのですが、対数の定義は行き来できますし、そこから解を出すまでも行き来が可能な気がするのですが、、、

No.47687 - 2018/01/05(Fri) 21:45:54

☆ Re: 数?U　対数方程式 / ヨッシー

その解説について言えば、
　log[3]ｘ＋log[3](x-2)＝１　→　log[3]{x(x-2)}＝１　
ですが
　log[3]{x(x-2)}＝１　→　log[3]ｘ＋log[3](x-2)＝１
ではありませんので、同値変形ではありません。

182[5] で言うと
　log[x-1](x^3-2x^2-2x+3)＝3　→　(x-1)^3＝x^3-2x^2-2x+3
ですが、
　(x-1)^3＝x^3-2x^2-2x+3　→　log[x-1](x^3-2x^2-2x+3)＝3
ではないので、同値ではありません。
ここに、x^3-2x^2-2x+3＞0 かつ x-1＞0 かつ x-1≠1 という前提が入ると
　(x-1)^3＝x^3-2x^2-2x+3　→　log[x-1](x^3-2x^2-2x+3)＝3
も真となり、同値になります。

No.47688 - 2018/01/05(Fri) 22:21:36

☆ Re: 数?U　対数方程式 / IT

実戦的には、真数＞0　を何らかの方法で直接確認したほうが分かり易く確実でいいと思います。（途中の式変形が同値かどうか考えるより）

なお、182[5] では、最後に、x=4のとき　x^3-2x^2-2x+3＞0 と確認する場合
x^3-2x^2-2x+3＝(x-1)^3 かつx-1＞0 →x^3-2x^2-2x+3＞0
と考えたほうが代入計算も不要ですし良いと思います。

No.47690 - 2018/01/05(Fri) 22:29:49

☆ Re: 数?U　対数方程式 / pui

解説ありがとうございます。常に真数条件は確認していきたいと思います。

No.47691 - 2018/01/05(Fri) 22:49:09

★ 高校数学I / k

a≦490のとき、491≦a≦499のときなどの範囲ってどうやって考えるのですか？[1]はなぜ480ではなくて490なのですか？

No.47668 - 2018/01/05(Fri) 16:10:56

☆ Re: 高校数学I / X

添付写真の中の
CHART&SOLUTION
の項目の中に書かれていることをよく読んで
もう一度考えてみましょう。
それでも分からないようでしたら、その旨を
アップして下さい。

No.47681 - 2018/01/05(Fri) 19:04:41

☆ Re: 高校数学I / k

> 添付写真の中の
CHART&SOLUTION
の項目の中に書かれていることをよく読んで
もう一度考えてみましょう。
それでも分からないようでしたら、その旨を
アップして下さい。

読んでみてじっくり考えたら、理解できました。
ありがとうございました。

No.47692 - 2018/01/05(Fri) 22:49:34

★ 数?U整式の割り算 / pui

赤い下線を引いた箇所が理解できません。割ったときの余りがP(x)と等しいとき求める整式がR(x)となる理由を教えてください。

No.47663 - 2018/01/05(Fri) 08:51:16

☆ Re: 数?U整式の割り算 / ヨッシー

R(x) を x^2＋1 で割った余りが、 3x＋2 で、
x^2＋x＋1 で割った余りが2x＋3 であるとすると、
任意の整式 Q(x) に対して、
　P(x)＝(x^2＋1)(x^2＋x＋1)Q(x)＋R(x)
は、x^2＋1 で割った余りが、 3x＋2 で、
x^2＋x＋1 で割った余りが2x＋3 である整式です。
つまり、Q(x) を変えることによって、P(x) は無数に作れるわけですが、
その中で次数が最小のものは、Q(x)＝０のときの
　P(x)＝R(x)
である、ということです。

No.47664 - 2018/01/05(Fri) 09:27:22

☆ Re: 数?U整式の割り算 / pui

再度質問すみません。そういったR(x)が必ず存在するといえるのはどうしてでしょうか。

No.47669 - 2018/01/05(Fri) 16:31:25

☆ Re: 数?U整式の割り算 / ヨッシー

必ず存在するかは分かりません。
ここで言っているのは、
　「存在するなら３次以下ですよ」
ということで、それに沿って調べていったら、確かに存在する、
というのを、そのあと調べていくのです。

No.47673 - 2018/01/05(Fri) 17:14:01

☆ Re: 数?U整式の割り算 / pui

3次以下と言える理由がどうしても腑に落ちません。
P(x)＝(x^2＋1)(x^2＋x＋1)Q(x)＋R(x)
とするとこの式に当てはまる3次式のR(x)は存在せず、R(x)が4次式だったら存在した、とは絶対ならないのでしょうか。なぜR(x)はこの式に収まるのでしょうか。
何度も質問すみません。

No.47677 - 2018/01/05(Fri) 18:39:36

☆ Re: 数?U整式の割り算 / らすかる

絶対になりません。
もしS(x)が4次式で
P(x)=(x^2+1)(x^2+x+1)Q(x)+S(x)
となった場合、S(x)の4次の項の係数をaとして
S(x)からa(x^2+1)(x^2+x+1)を引けば3次以下の式になりますから、
S(x)=a(x^2+1)(x^2+x+1)+(3次以下の式)
となり、この(3次以下の式)をR(x)とおけば
P(x)=(x^2+1)(x^2+x+1)Q(x)+S(x)
=(x^2+1)(x^2+x+1)Q(x)+a(x^2+1)(x^2+x+1)+R(x)
=(x^2+1)(x^2+x+1){Q(x)+a}+R(x)
となりますので、必ず条件を満たす3次以下の式
R(x)が存在することになります。

No.47682 - 2018/01/05(Fri) 19:16:15

☆ Re: 数?U整式の割り算 / pui

なるほど、理解できました。丁寧に教えてくださって本当にありがとうございます。

No.47686 - 2018/01/05(Fri) 21:37:51

★ 小6 相当算教えてください。 / ぶどう

いつも詳しい解説ありがとうござすます。
相当算だと思うのですが、教えてください。
問題　
けんじ君が買い物に出かけました。
まず、1400円の商品を買い、次に残りのお金の3/5を
使いました。すると、最後に残ったお金は、はじめに持って
いたお金の1/6でした。
けんじ君がはじめに持っていたお金は何円ですか?

解答　2400円です。

よろしくお願いします。

No.47654 - 2018/01/04(Thu) 10:39:49

☆ Re: 小6 相当算教えてください。 / らすかる

1400円の商品を買った後に「残りのお金の3/5を使った」ということは、
1400円の商品を買った後に残ったお金の2/5が最後に残ったわけですから、
「1400円の商品を買った後に残ったお金の2/5」
＝「はじめに持っていたお金の1/6」です。
「1400円の商品を買った後に残ったお金」は
「1400円の商品を買った後に残ったお金の2/5」の5/2倍なので
「1400円の商品を買った後に残ったお金」
＝「はじめに持っていたお金の1/6の5/2倍」
＝「はじめに持っていたお金の5/12」
つまり
はじめに持っていたお金の7/12が1400円なので
はじめに持っていたお金は2400円となります。

No.47655 - 2018/01/04(Thu) 11:01:40

☆ Re: 小6 相当算教えてください。 / ぶどう

らすかる様
いつも詳しい解説ありがとうございます。

はじめに持っていたお金は
1400円の商品を買った後に残ったお金の2/5」の5/2倍
なるほど理解できました。ありがとうございました。

No.47659 - 2018/01/04(Thu) 15:47:15

★ 高校漸化式 / エンヴィー

何か書き込もうと思っても、大抵思いとどまる様な自分ですが、今日は書かせていただきます。

　とある世に知られた数列の漸化式のうちのひとつを自分が見つけ、自分で解いた。これを他の人に解いてもらえたらなあ、ということです。自作と言っても初出の漸化式であるとは全く思いません。漸化式作成の経緯を考えるに恐らくは既出です。
　不安はあります。なにせ数学は極普通の理系高校生ぐらいの知識しかないので、例えば、「実はこのような問題をいくらでも生成する方法がある、とかだったらどうしよう。」とか思ったりします。
　前置きはこれくらいにして、早速問題です。

[問題]
　kを0<k<1を満たす定数とするとき、次で定められる数列{a[n]}の一般項を求めよ。

a[1]=k, a[2]=k(1-k)/(k+1), a[n+2]=a[n+1](1-S[n+1])/(a[n+1]+1-S[n])

※
(1)推定&数学的帰納法で解く解き方
(2)式変形を駆使する解き方
の2種類あるかと思いますが、(2)による解き方を思いついた故の記事投稿となります。

No.47647 - 2018/01/04(Thu) 05:46:48

☆ Re: 高校漸化式 / らすかる

S[n+1]=S[n]+a[n]を使ってa[n+2]=a[n+1](1-S[n+1])/(a[n+1]+1-S[n]) を変形して
(1-S[n+2])/a[n+2]-(1-S[n+1])/a[n+1]=1
b[n]=(1-S[n])/a[n]とおくとb[1]=(1-k)/k=1/k-1, b[n+1]=b[n]+1なので
b[n]=1/k+n-2
よって
(1-S[n])/a[n]=1/k+n-2
(1-S[n])/(S[n]-S[n-1])=1/k+n-2
整理して
S[n](1/k+n-1)=S[n-1](1/k+n-2)+1
c[n]=S[n](1/k+n-1)とおくとc[1]=1, c[n]=c[n-1]+1 なので
c[n]=n
よって
S[n](1/k+n-1)=n
S[n]=n/(1/k+n-1)
∴a[n]=n/(1/k+n-1)-(n-1)/{1/k+(n-1)-1}
=k(1-k)/{(1+(n-1)k)(1+(n-2)k)}

# 途中で分母が0になるかどうかなどの細かい点は省略しました。

No.47648 - 2018/01/04(Thu) 06:19:54

☆ Re: 高校漸化式 / エンヴィー

　わざわざ解いていただきありがとうございました。解かれることでようやく心のざわざわがすっきりしました。

No.47649 - 2018/01/04(Thu) 08:19:09

★ (No Subject) / 数学好き

中学数学の問題集?@

No.47642 - 2018/01/04(Thu) 02:22:19

☆ Re: / 数学好き

中学数学の問題集?A

No.47643 - 2018/01/04(Thu) 02:25:04

☆ Re: / 数学好き

中学数学の問題集?B

No.47644 - 2018/01/04(Thu) 02:26:55

☆ Re: / 数学好き

以上で、1⃣の(7)(9),2⃣の(6)?A,3⃣の(4)が分かりません。
解答、解説をお願いします。

No.47645 - 2018/01/04(Thu) 02:30:05

☆ Re: / ヨッシー

(7)
ＡＤ^2＋ＣＤ^2＝２３１２
ＡＢ^2＋ＣＢ^2＝２３１２
両者が等しいので、∠ＡＤＣ＝∠ＡＢＣ＝90°と分かります。
ＡＣ^2＝２３１２，ＡＣ＝34√2
半径ｒは
　ｒ＝ＡＣ／２＝17√2

(9)

図のような二等辺三角形を考えます。
●の部分は36°です。
ｘ＝ＢＣが求める長さです。
△ＡＢＣ∽△ＢＣＤ　より
　６：ｘ＝ｘ：（６－ｘ）
　ｘ^2＝３６－６ｘ
これを解いて、
　ｘ＝3√5－3

(6)
y＝1/3x は y＝(1/3)x と解釈します。
これと、y=32/x を連立させて解くと、
　Ｄ：(4√6, 4√6/3)
後半は単に、傾き２の直線と、傾き1/3の直線のなす角を求める問題ですから、
図より、　∠ＡＯＤ＝45°

(4)
(3) で正12角形の一辺の長さが出たのであれば、
その1/4 がｙ。ｘは三平方の定理から求められます。

No.47650 - 2018/01/04(Thu) 09:56:01

☆ Re: / 数学好き

ありがとうございます。
2⃣の(6)については同じような問題が違うページにもありました。たしか、XY座標上に任意にA(p,q)をとりAに対してP(p-q,p+q),Q(p+q,q-p)をとるとき、∠AOP=∠AOQ=45°になるとか…。

No.47651 - 2018/01/04(Thu) 10:08:37

☆ Re: / 中三

横から失礼しますが、1⃣の(1)はどうやって証明するのですか？

No.47666 - 2018/01/05(Fri) 14:12:24

☆ Re: / らすかる

9×aの十の位をb、一の位をcすなわち9a=10b+cとおくと
9(a-b)=b+cなのでb+cは9の倍数
18≦9a≦81から1≦b≦8、0≦c≦9なので1≦b+c≦17となり、
b+cは9の倍数なのでb+c=9

No.47674 - 2018/01/05(Fri) 17:46:43

☆ Re: / 中三

9a=10a-a
=10a-a+10-10
=10a-10+10-a
=10(a-1)+(10-a)
と変形して、2≦a≦9でaは自然数だから
a-1は1以上8以下の自然数、10-aは1以上8以下の自然数である。
したがって、a-1と10-aはいずれも1桁の自然数だから、a-1は9aの十の位の数を、10-aは9aの一の位の数をあらわす。
これらの和は
(a-1)+(10-a)=9
∴9aの十の位の数と一の位の数の和は9になる。
こんな感じで証明できてますか？

No.47685 - 2018/01/05(Fri) 20:12:57

☆ Re: / らすかる

その証明で問題ないと思います。

No.47693 - 2018/01/06(Sat) 03:52:54

★ すいません、もう一つ / 健児

一辺が９正四面体の頂点Aから底面BCDに垂線AHをひき、AHを直径とする球を底面BCDの上に置くとき、この球は正四面体の３つの面と交わる。このとき、面ABCの球の内部にある面積を求めよの答えと解き方を教えて下さい。宜しくお願いします。

No.47635 - 2018/01/03(Wed) 23:45:21

☆ Re: すいません、もう一つ / 中三

計算ミスあると思いますが、まず答えは12πcm^2。

No.47636 - 2018/01/04(Thu) 00:35:05

☆ Re: すいません、もう一つ / 中三

解き方です。

No.47637 - 2018/01/04(Thu) 01:12:17

☆ Re: すいません、もう一つ / 健児

すいません。答えが４π＋６√３になっているんです。

解説の内容は、よくわかるのですが、、、

No.47638 - 2018/01/04(Thu) 01:45:43

☆ Re: すいません、もう一つ / らすかる

中三さんの図を使って
AE=9√3/2、AE：AH=AH：AFから
AE：AF=AE^2：AH^2=9：8なのでAF=8√3/2=4√3
AFを直径とする円の中心をO、円とAB,ACの交点を
P,Qとすると円の半径は2√3で∠POQ=2π/3なので
扇形OPQの面積は(2√3)^2・π/3=4π
△APOと△AQOはOから最長辺に垂線を下ろして二つずつに分けると
斜辺が2√3で辺の比が2：1：√3の三角形が4つなので
(√3×3÷2)×4=6√3
よって求める面積は4π+6√3

# 中三さんが求めたのは円Oの面積ですね。

No.47639 - 2018/01/04(Thu) 01:52:56

☆ Re: すいません、もう一つ / 中三

大変失礼いたしました。
円OとΔABCが重なる部分の面積を求めなければなりませんね。(問題文の理解すらできないとは...自分がバカでした。)

らすかるさん
自分の誤解説の図まで使って丁寧に説明していただいて、大変恐縮です。

No.47641 - 2018/01/04(Thu) 02:18:42

★ 高校入試問題 / 健児

一辺が６の正四面体でその４つの面に接する球をPとし、この正四面体の３つの面に接し、Pと外接する球をQとするとき、PとQの体積比を求めよとあるのですが、球Qの意味がわからないので、当然、答えも解き方もわかりません。どうか、説明お願いします。

No.47633 - 2018/01/03(Wed) 23:37:17

☆ Re: 高校入試問題 / IT

正四面体の４隅のいずれかで球Ｐとの隙間に　ピッタリ収まる球　になると思います。

正四面体の高さ-球Ｐの直径＝球Ｑが内接する（仮想の）正四面体の高さ
を使えば　Ｐ，Ｑの体積比が求められると思います。

(図）

No.47634 - 2018/01/03(Wed) 23:44:05

★ (No Subject) / 中三

正方形ABCDを、鋭角三角形のみに分割せよ。
これ、解けますか？自分はもちろん無理でしたし、解答を見ないと理解できませんでした。
問題文について理解できないところがあれば、質問してください。

No.47632 - 2018/01/03(Wed) 21:21:24

☆ Re: / らすかる

解答を見て理解したということは、「あなたは解けますか？」という質問なのですね？
昔解いたことがありますが、自力で解けましたよ。

No.47640 - 2018/01/04(Thu) 02:07:37

☆ Re: / らすかる

解いたのは10年前でした。
ネット上に残っていました。
http://www.crossroad.jp/cgi-bin/bbs/mathbbs/cbbs.cgi?mode=al2&namber=27637&no=0&KLOG=3

No.47646 - 2018/01/04(Thu) 03:03:25

☆ Re: / 中三

すごいですね。
8個、9個、10個、14個など何通りにも解答があるのですね。(14個のやつを使いまくれば無限個に分割できそうですが)
最小の8個と14個の解答しか見たことがないんですが、最小が8個というのはやはり証明できないんでしょうか。

No.47652 - 2018/01/04(Thu) 10:13:45

☆ Re: / らすかる

↓ここに証明がありました。
http://www.kyoto-be.ne.jp/rakuhoku-hs/BuildUpload/PDFFile01149337.pdf

No.47653 - 2018/01/04(Thu) 10:31:46

☆ Re: / 中三

ありがとうございます。

No.47656 - 2018/01/04(Thu) 11:17:08