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★ 四角形 / 白石
向かい合う角が90度で残りの角２つが90度ではない四角形ってあり得ますか？
No.48679 - 2018/02/10(Sat) 13:27:14
☆ Re: 四角形 / らすかる
あります。
例えば(0,2)(-1,0)(0,-2)(4,0)を頂点とする四角形。

他には、辺の長さが9,24,25の直角三角形と
辺の長さが15,20,25の直角三角形の斜辺同士をくっつけて
四角形を作るとか。

# 一般には、線分ACを直径とする円を考えて
# ACで分けられる二つの半円のうち一方の弧上にB、
# 他方の弧上に（BDが直径にならないように）Dをとれば、
# 四角形ABCDは目的の四角形になります。
No.48680 - 2018/02/10(Sat) 13:57:58
★ 中点連結定理 / 月子
中点連結定理は、辺の長さが１；２になりますが、
面積としては　１；２　　　１；４どちらが正しいのですか(・・?
No.48677 - 2018/02/10(Sat) 10:09:59
☆ Re: 中点連結定理 / ヨッシー

こちらの図を見て考えてください。

というか、どことどこの比のことを言っているかわかりませんので、ご自分で判断してください。
No.48678 - 2018/02/10(Sat) 12:42:08
★ 連続ですみません / 月子
３：４イコールｘ：ｙ　　でｘイコール３ｋとするとｙが４ｋになる理由を教えてください。
なんか分数になってしまいます
No.48671 - 2018/02/09(Fri) 19:16:30
☆ Re: 連続ですみません / X
3:4=x:yより
4x=3y
これにx=3kを代入してみましょう。
No.48673 - 2018/02/09(Fri) 20:53:48
★ ルート / 月子
√３６０−１２ｎ　　　の答えが整数になるときのｎの求め方を教えてください。

あと、√の中がマイナスになる場合はどうすればいいんですか
No.48670 - 2018/02/09(Fri) 19:14:32
☆ Re: ルート / 蘭


√（360-12n）は 12でくくると

√12(30-n）になりますよね？

12は平方数である4（=2の二乗）と平方数ではない3のかけ算なので

√2^2 × 3（30-n) です。

これが整数になるには
30-n は3×平方数 か 0になります。

よって答えは、27 18 3 30となります。


ルートの中にマイナスはつきません。

.
No.48672 - 2018/02/09(Fri) 19:43:31
☆ Re: ルート / 月子
√12(30-n）は揃うまで１つずつ計算するのですか？
No.48674 - 2018/02/09(Fri) 20:53:49
☆ Re: ルート / くび
1つずつやる手間を省く為に、12を素因数分解したうちの2乗にならない｢3｣を出しています
3が余ってしまう以上、必ず(30-n)が約数に3を持たなければいけません。
また、3を約数に持っていたとしても3で割った後の余りが平方数でなければ最終的にすべて2乗の形になりません。
なので
(30-n)=3m^2
になります
0もしくは3の倍数で、なおかつそれに掛けられたものは平方数でなければいけません。
であれば
3×0=0
3×1=3
3×4=12
3×9=27
と続いていきますが、ルートの中がマイナスになってはいけないので3-nが30より大きくなること(3×16から先)はありません
この4つの値が(30-n)と等しくなるときのnの値を求めると上記の方の答えになります
No.48676 - 2018/02/09(Fri) 23:54:24
☆ Re: わーい / 蘭
わけがわかりません！爆笑


がんばります！
お二方とも本当にありがとうございました！
No.48686 - 2018/02/10(Sat) 18:15:54
☆ Re: ルート / らすかる
√(360-12n)
=√{2^2×3(30-n)}
=2√{3(30-n)}
ですから、少なくとも30-nが3の倍数である必要があります。
30は3の倍数ですから、30-nが3の倍数になるためには
nも3の倍数でなければなりません。
そこでn=3mとおくと
=2√{3(30-3m)}
=2√{3^2×(10-m)}
=6√(10-m)
となります。
√(10-m)が整数になるのは
10-mが平方数の場合ですから
10-m=k^2とおくと
m=10-k^2です。

もしnが自然数という条件があるならば
n=3mによりm＞0ですから
10-k^2＞0からk^2＜10
よってk=0,1,2,3（∵負の数は考える必要がありません）
からm=10,9,6,1
従ってn=30,27,18,3
となります。

もしnが整数（0や負の数もOK）ならば
m≦0もOKですから
任意の整数kに対して
n=3m=3(10-k^2)=30-3k^2
が答えになります。
No.48693 - 2018/02/11(Sun) 00:48:07
★ 西大和高校（奈良）の問題です。 / 蘭
助けて欲しいです！！！

問題は、こうです。


√12a と √（5n+9)
の値がどちらも整数になるような自然数aのうち
最小のものを求めよ。


答えはわかっていません、

解説よろしくお願い申し上げます！

.
No.48665 - 2018/02/09(Fri) 16:33:52
☆ Re: 西大和高校（奈良）の問題です。 / ヨッシー
5n+9 は5a+9 のこととします。

ある整数を２乗した数を平方数といいます。
　12a が平方数になるには、a は a＝3k^2 という形の数です。
このとき、
　5a+9＝15k^2＋9
この数は、３の倍数ですが、平方数なので、９の倍数でもあります。
すると、15k^2 も９の倍数で、15 は ３を約数に１個しか持っていないので、
k^2 が３の倍数、ひいては、ｋが３の倍数となります。
k=3m とおくと、
　5a+9＝9・15m^2＋9＝9(15m^2＋1)
となり、15m^2＋1 が平方数となるｍを探すことになります。
ｍ＝０ は不適で、ｍ＝１ のとき、ｋ＝３、ａ＝２７
が得られ、
　√(12a)＝18　√(5a+9)＝12
となります。
No.48667 - 2018/02/09(Fri) 17:24:52
☆ Re: 西大和高校（奈良）の問題です。 / 蘭
理解力が乏しくほんとうに申し訳ないのですが、

「15k^2+9
この数は、３の倍数ですが、平方数なので、９の倍数でもあります。」

平方数となんでわかるのでしょうか。

15となにかの2乗をかけたら平方数にはならないと思うし、
+9きたとしても、絶対そうなるとはおもえません！

解説お願いします！

.
No.48669 - 2018/02/09(Fri) 18:22:07
☆ Re: 西大和高校（奈良）の問題です。 / くび
その数が必ずしも平方数にはなりません。
｢平方数にならなければいけないので｣と言っているのです。
3では括れるけど平方数にならない！じゃあ9で括れれば平方数(3^2p,pは自然数)になるよね、9の倍数ということにしよう。
という条件を付けています。
その条件の元、15k^2を9の倍数にするにはkがどんな数字であれば良いか、をその後調べていますね。
No.48675 - 2018/02/09(Fri) 23:29:47
★ これは… / 月子
１から５の数字が１つずつ書かれたカードを２枚戻さずに引きます。
その数字を、１から６までの数字が書かれたビンゴカードに
チェックするのですが、（ところどころ空いていて計９マス）ビンゴになる確率を求める場合
１．３　　　　　　と　　　　３．１は
同じですか？
No.48662 - 2018/02/09(Fri) 16:06:05
☆ Re: これは… / らすかる
確率の分母をどのように考えるかによって変わります。
No.48664 - 2018/02/09(Fri) 16:15:02
★ 何通りでしょうか / 月子
２と書かれたカードが1枚
５と書かれたカードが1枚
何も書かれてないカードが2枚あります。
何も書かれていないカードの数字は６面ダイスを振ってきめ
４つの数字を並べてできる最も小さい数をｙとします。
こうしてできる数字は何通りですか
何回か２２２５　のような数字になることがあると思うのですがそれは全て合わせて１通りでしょうか
No.48661 - 2018/02/09(Fri) 16:00:47
☆ Re: 何通りでしょうか / らすかる
問題は「何通りできるか」すなわち「できる可能性がある数字はいくつあるか」
ですから、「何回か」などの「回数」は関係ありません。
No.48663 - 2018/02/09(Fri) 16:13:43
☆ Re: 何通りでしょうか / 月子
つまりは何通りなのでしょうか(・・?
樹形図しかないですかね…
No.48666 - 2018/02/09(Fri) 16:38:45
☆ Re: 何通りでしょうか / らすかる
2つのサイコロを振って出る目の組合せになりますので
(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)
(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)
(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)
(4,4)(4,5)(4,6)
(5,5)(5,6)
(6,6)
の6+5+4+3+2+1=21通りです。
重複組合せの式を御存知なら6H2=21通りと一発で求まります。
No.48668 - 2018/02/09(Fri) 17:26:21
★ (No Subject) / ぶなしめじ
原点Oを中心とする座標空間において、点P(2,2,4)をとる。線分OPを一辺として、対角線の長さが12の直方体を考える。この直方体をOPを軸として一回転させたとき、直方体の頂点のうちPから最も遠い点Qが描く円をCとする。
(1)円Cの半径は?@である。また点Qのz座標をqとするとqの取り得る値の範囲は?A≦q≦?B
(2)点R(3,-5,6)をとり、円Cを含む平面に垂線RHを下ろす。Hの座標は?C。
またQRの長さが取りうる値の範囲は?D≦QR≦?E

?@〜?Eを埋めよという問題です。よろしくおねがいします。
No.48660 - 2018/02/09(Fri) 13:13:55
★ (No Subject) / アッポー
自分の解き方のどこがいけないにのかがわかりません！お願いします
No.48657 - 2018/02/09(Fri) 11:40:21
☆ Re: / アッポー
投稿中に気がついたのですがもしかして 3C2 ではなく ×2ですか？？ややこしくなりすみません
No.48658 - 2018/02/09(Fri) 11:43:53
☆ Re: / らすかる
はい、×2です。
No.48659 - 2018/02/09(Fri) 11:46:51
★ 平面ベクトル / くび
高二数Bの平面ベクトルです
復習でやっていたのですが色々と忘れてしまっていてまったく解けません
解説をお願いしたいです
No.48656 - 2018/02/09(Fri) 11:34:13
★ 関数 / 数学不得意
（２）2/9 (3) -4/3 答えです。わからないので、詳しい解説よろしくお願いします。
No.48652 - 2018/02/08(Thu) 18:49:02
☆ Re: 関数 / ヨッシー
(1)
△ＡＯＣにおいて、ＯＣを底辺とすると、Ａのｙ座標が高さとなるので、
　ＯＣ＝14×2÷4＝7　答え　７
(2)
Ｂのｙ座標が８であることはすぐにわかります。
Ｂからｙ軸までの距離（＝Ａのｘ座標）の２倍がＯＣであるので、
Ｂのｘ座標を−ｂ（ｂ＞０）とすると、Ｃのｘ座標は２ｂ，
ＢＣの中点のｘ座標は　（２ｂ−ｂ）／２＝ｂ／２ となり、ｂ＝６ とわかります。
　ｙ＝ａｘ^2
が、点Ｂ(6,8) を通ることから　ａ＝8/36＝2/9 とわかります。
(3)
Ａの座標を（ｍ，４ｍ）とおくと、Ｂは（−ｍ、４ｍ）
Ｃは（２ｍ，０）ですので、ＢＣの傾きは
　−４ｍ／３ｍ＝−４／３　・・・答え
No.48653 - 2018/02/08(Thu) 19:20:00
☆ Re: 関数 / 数学不得意
解説ありがとうございました。
No.48655 - 2018/02/08(Thu) 20:33:21
★ (No Subject) / 受験生
ありがとうございます！
No.48651 - 2018/02/08(Thu) 18:46:30
★ (No Subject) / 受験生
解答お願いします。
No.48649 - 2018/02/08(Thu) 18:15:09
☆ Re: / ヨッシー
(i) 省略
(ii)
　a[n+2]−a[n+1]＝ｃ(a[n+1]−a[n])
を展開して整理すると
　a[n+2]−(1+c)a[n+1]＋ca[n]＝０
a[n+2]−4a[n+1]＋3a[n]＝０ と比較して、
　ｃ＝３

(iii)
b[n]＝a[n+1]−a[n] とおくと、
b[1]＝3、b[n+1]＝3b[n] より、b[n] は、初項３、公比３の等比数列で一般項は
　b[n]＝３^n

(iv)
Σ[k=1〜n-1]b[k]＝Σ[k=1〜n-1]３^k＝Ｓ　とおくと、
　Ｓ＝3＋9＋27＋・・・＋3^(n-1)
　3S＝　9＋27＋・・・＋3^(n-1)＋3^n
下式から上式を引いて
　2S＝3^n−3
　Ｓ＝(3^n−3)/2

(v) b[n] は a[n] の階差数列なので、n≧2 のとき
　a[n]＝a[1]＋Σ[k=1〜n-1]b[k]＝2＋(3^n−3)/2
これは、ｎ＝１ のときも成り立つ。よって
　a[n]＝2＋(3^n−3)/2
No.48650 - 2018/02/08(Thu) 18:36:13
★ 定積分の計算 / にゃんこ
∫[0..1]r^3/√(4+r^2)drを計算せよ。

u:=r^2+4と置くと,du/2=rdrなので

∫[0..1]r^3/√(4+r^2)dr=∫[4..5](u-4)/(2√u)du
=1/2∫[4..5]√u-4u^{-1/2}du
=1/2[2u^{3/2}/3-8u^{1/2}]_4^5
=1/2(10√5/3-8√5-64/3+16)
=5√5/3-4√5-32/3+8
=-7√5/3+8/3

となったのですが正解は-7√5/3+16/3でどうしても一致しません。
どこで間違ったのでしょうか?

また,部分積分法でも計算してみました。

∫[0..1]r^3/√(4+r^2)dr=∫[0..1]r^2r/√(4+r^2)dr
=∫[0..1]r^2√(4+r^2)'dr
=[r^2√(4+r^2)]_0^1-∫[0..1]r^2'√(4+r^2)dr
=√5-2∫[0..1]r√(4+r^2)dr=√5-2[2(4+r^2)^(3/2)/3]_0^1
=√5-4/3[(4+r^2)^(3/2)]_0^1
=√5-4/3(5√5-32)=-17√5/3-128/3.

これもどこで間違ったのでしょうか?
No.48645 - 2018/02/08(Thu) 12:31:18
☆ Re: 定積分の計算 / らすかる
・2u^(3/2)/3にu=4を代入したら64/3にはなりません。16/3です。
・(これ以前に間違いがあるので無意味ですが)-32/3+8は8/3にはなりません。-8/3です。

・r√(4+r^2)の積分は2(4+r^2)^(3/2)/3ではありません。(4+r^2)^(3/2)/3です。
・(4+r^2)^(3/2)にr=0を代入したら32ではありません。8です。
No.48646 - 2018/02/08(Thu) 13:13:46
☆ Re: 定積分の計算 / にゃんこ
どうも有難うございます。
No.48694 - 2018/02/11(Sun) 08:21:12
★ 合同 / 雪
ABCは正三角形です。ＡＣＥとCBDの合同を教えてください。
お願い致します。
No.48641 - 2018/02/07(Wed) 23:55:46
☆ Re: 合同 / らすかる
∠BCD = ∠BCA-∠FCA = 60°-∠FCA = ∠DFA-∠FCA = ∠CAE
∠ECA = ∠DBC = 60°
BC = AC
∴一辺両端角相等により△ACE≡△CBD。
No.48643 - 2018/02/08(Thu) 01:20:43
★ 関数 / 数学不得意
（２）が解けません。詳しい解説お願いします。24/5 0 が答えです。
No.48639 - 2018/02/07(Wed) 22:42:04
☆ Re: 関数 / らすかる
AP=2AQから点Pのx座標は6なのでP(6,1)
A(2,3)なので直線Lの式はy=-(1/2)x+4
よってQの座標はQ(0,4)
Q'(0,-4)とするとRQ=RQ'なので
(△PQRの周の長さ)=PQ+PR+RQ=PQ+PR+RQ'
従ってRが直線PQ'上にあるとき周の長さが最小となる。
直線PQ'の式はy=(5/6)x-4なので
y=0を代入してx=24/5となり、R(24/5,0)を得る。
No.48640 - 2018/02/07(Wed) 23:27:40
★ 3^2018≡1 (mod8) / 悩める吟遊詩人
3^2018 ＝ (3^2)^(1009) ≡ 1^1009 ≡ 1 (mod8)

「3^2018を8で割った余りが1であること」は、合同式を用いれば以上のように簡単に証明できますが、「小学生でも分かるように」(つまり合同式や二項展開の知識を用いずに)説明するにはどうしたらよいのでしょうか？

よろしくお願いします。
No.48636 - 2018/02/07(Wed) 21:24:45
☆ Re: 3^2018≡1 (mod8) / らすかる
どの程度の知識を使って良いのかよくわかりませんので
回答として適切かどうかわかりませんが…

3^1=3は8で割って3余る
3^2=3×3=9=8×1+1なので3^2は8で割って1余る
3^3=(8×1+1)×3=8×3+3なので3^3は8で割って3余る
3^4=(8×3+3)×3=8×9+9=8×10+1なので3^4は8で割って1余る
3^5=(8×10+1)×3=8×30+3なので3^5は8で割って3余る
以下同様に
8で割って3余る数を3倍すると
(8×○+3)×3 = 8×3×○+9 = 8×(3×○+1)+1
なので8で割って1余る数になり、
8で割って1余る数を3倍すると
(8×○+1)×3 = 8×(3×○)+3
なので8で割って3余る数になる。
よって3^1,3^2,3^3,3^4,3^5,…を8で割った余りは
3,1,3,1,3,…のように3と1を交互に繰り返すから
3^(奇数)を8で割った余りは3
3^(偶数)を8で割った余りは1
となる。
従って3^2018を8で割った余りは1。
No.48638 - 2018/02/07(Wed) 22:10:20
☆ Re: 3^2018≡1 (mod8) / らすかる
「8で割って3余る数を3倍すると8で割って1余る数になる」
「8で割って1余る数を3倍すると8で割って3余る数になる」
は、小学生向けには図を使うとわかりやすいかと思います。

「8で割って3余る数」は8個ずつのかたまりを作っていくと3個余る。
○○○…○○ ○
○○○…○○ ○
○○○…○○ ○
○○○…○○
○○○…○○
○○○…○○
○○○…○○
○○○…○○

これを3倍すると8個ずつのかたまりの個数が3倍になり、余りが9個になる。
○○○…○○ ○○○…○○ ○○○…○○ ○ ○ ○
○○○…○○ ○○○…○○ ○○○…○○ ○ ○ ○
○○○…○○ ○○○…○○ ○○○…○○ ○ ○ ○
○○○…○○ ○○○…○○ ○○○…○○
○○○…○○ ○○○…○○ ○○○…○○
○○○…○○ ○○○…○○ ○○○…○○
○○○…○○ ○○○…○○ ○○○…○○
○○○…○○ ○○○…○○ ○○○…○○

9個の余りで8個のかたまりが一つできて、1個余る。
○○○…○○ ○○○…○○ ○○○…○○ ○ ○
○○○…○○ ○○○…○○ ○○○…○○ ○
○○○…○○ ○○○…○○ ○○○…○○ ○
○○○…○○ ○○○…○○ ○○○…○○ ○
○○○…○○ ○○○…○○ ○○○…○○ ○
○○○…○○ ○○○…○○ ○○○…○○ ○
○○○…○○ ○○○…○○ ○○○…○○ ○
○○○…○○ ○○○…○○ ○○○…○○ ○

よって「8で割って3余る数」を3倍すると「8で割って1余る数」になる。
No.48644 - 2018/02/08(Thu) 02:42:59
☆ Re: 3^2018≡1 (mod8) / 悩める吟遊詩人
回答ありがとうございます。
非常に詳細で、かつ明快な解説に感銘を受けました。
参考にさせていただこうと思います(^^)
No.48648 - 2018/02/08(Thu) 15:42:27
★ (No Subject) / 中３　IB
数学の復習をしています。（２）（３）の問題が解けません。解説お願いします。
No.48631 - 2018/02/07(Wed) 11:56:10
☆ Re: / ヨッシー
(2)
メニューＢでは、100kWh を超えると、１kWhあたり35円なので、
使用電力量ｘkWh、電気代ｙ円とすると、
　ｙ＝35x＋ａ
という関係があります。ｘ＝100 のとき、y=1600 になるように
ａを調節すると、
　ｙ＝35x−1900　（Ｂの第２段階）
となります。これに、ｘ＝200 を代入すると
　ｙ＝5100　・・・ウ
となります。

グラフで、ＡのグラフとＢのグラフが交わっているところが
150kWh あたりにあります。この点のｘを求めると、それを境に
Ｂの方が安い、Ｂの方が高いが切り替わります。
この付近の、Ｂのグラフは前述の　ｙ＝35x−1900
Ａのグラフは　ｙ＝10x＋1800　（Ａの第１段階）
これらが交わるのは、両者連立させて
　35x−1900＝10x＋1800
これを解いて
　ｘ＝148　・・・エ

(3)
x=100 のときＡの電気量は　y=2800 であり、Ｂの1600 より1200円多く、
差が1300円となるのは、ｘがもっと少ないときです。
ｘ＜100 の範囲において、Ｂの電気量は ｙ＝12x＋400　（Ｂの第１段階）
Ａの方が1300円高くなるのは
　10x＋1800＝12x＋400＋1300
これを解いて
　ｘ＝50
ｘ＝200 のときＢの電気量は　y=5100 で、Ａの 3800円よりちょうど 1300円高い。

以上より　50kWh以上、200kWh以下
No.48633 - 2018/02/07(Wed) 12:55:27
☆ Re: / 中３　IB
解説ありがとうございました。
No.48637 - 2018/02/07(Wed) 21:52:57
★ チェバとメネラウス / まあくん
解説してるの見たが、分かりにくい。チェバは、逆時計回りで６個の各三角形の底辺を順番に、分子→分母 × 分子→分母 × 分子→分母というように左から順番に当てはめて= 右側 (１)とする。
メネラウスは、ポップ、ステップ(此までチェバと同じ)→ジャンプで１つ先の点→戻って中に食込むＱ→中→Ａ=1 このように習った方はいますかね？
No.48629 - 2018/02/07(Wed) 01:21:43
☆ Re: チェバとメネラウス / ヨッシー
私は「習っていない」ので、どう覚えるかでいうと、
上のようにたどる場合が多いですが、最初に中に食い込むを
書いた方が、行き先がわかりやすいかも知れません。
いずれにしても、チェバと同じく、分子、分母、分子、分母、分子、分母とたどることです。

蛇足ですが、天秤の考え方で求める方法があり便利です。

図のように、５：４の位置に支点を置いて、天秤を釣り合わせるには、
支点からの距離の逆比になるようにおもりをつければ釣り合い、支点には両者の合計分の力がかかります。

これを三角形に応用し、左図のａ：ｂを求める問題に対して、各辺を天秤に見立てて、おもりを付けていくと、ａ：ｂのところは
　１０：５＝２：１
となり、その逆比で　ａ：ｂ＝１：２　と求められます。
No.48634 - 2018/02/07(Wed) 18:53:44
★ 交換子の計算 / ちむ
x,Py］［y,Pz］ ［H,x］の計算を教えて下さい
なおすべての文字に^これがついており、Py,Pzは運動量のy,z成分、Hはハミルトニアンです
No.48619 - 2018/02/06(Tue) 19:22:15
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