以下の条件(1)〜(3)を満たす整数 (a,b,c) の組をすべて求めよ。
(1) a,b,c はいずれも素数である。
(2) ab-1, bc-1 はどちらも平方数である。
(3) ca-1 は素数の六乗で表される数である。
解説をお願いします。
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No.48616 - 2018/02/06(Tue) 18:19:58
| ☆ Re: 整数 / 中三 | | | まだ1組だけですが(a,b,c)=(13,2,5)
aとcを入れ替えてもいいなら(5,2,13)もです。
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No.48620 - 2018/02/06(Tue) 19:27:41 |
| ☆ Re: 整数 / らすかる | | | ca-1=p^6とすると
ca=p^6+1=(p^2+1)(p^4-p^2+1)
pが3以上の素数のときp^2+1が偶数なので
ca=2×{(p^2+1)/2}×(p^4-p^2+1)
p≧3から(p^2+1)/2＞1,p^4-p^2+1=p^2(p^2-1)+1＞1なので
caの素因数が3個以上となり不適、よってp=2
p=2のときp^6+1=65=5×13なので(a,c)=(5,13),(13,5)
5b-1=m^2, 13b-1=n^2とおくと8b=n^2-m^2=(n+m)(n-m)
bは素数なので(n+m,n-m)=(4b,2),(2b,4),(b,8)(8,b)
(∵n+mとn-mの偶奇は同じなので(8b,1)は不適、また(2,4b)と(4,2b)はn+m≦n-mとなり不適)
(n+m,n-m)=(4b,2)の場合
n-m=2からm=n-2なので8b=n^2-(n-2)^2=4n-4 ∴2b=n-1
13b-1=n^2から2n^2+2=26b=13n-13
2n^2-13n+15=0
(2n-3)(n-5)=0
nは整数なのでn=5
∴b=2なので(a,b,c)=(5,2,13),(13,2,5)となり、これは条件を満たす。
(n+m,n-m)=(2b,4)の場合
n-m=4からm=n-4なので8b=n^2-(n-4)^2=8n-16 ∴b=n-2
13b-1=n^2からn^2=13b-1=13n-27
n^2-13n+27=0
n=(13±√61)/2
nは整数なので不適
(n+m,n-m)=(b,8)の場合
n+mとn-mの偶奇が同じなのでb=2しかないが、n+m＜n-mとなり不適
(n+m,n-m)=(8,b)の場合
n+mとn-mの偶奇が同じなのでb=2だが、これは(n+m,n-m)=(4b,2)のb=2と同じ
従って条件を満たす組は(a,b,c)=(5,2,13),(13,2,5)の2組。
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No.48625 - 2018/02/06(Tue) 23:20:31 |
| ☆ Re: 整数 / 高３理系 | | | No.48632 - 2018/02/07(Wed) 12:18:56 |
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