ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 高３です / りん

(２)のさ、し、す、解説お願いします。

No.48532 - 2018/02/03(Sat) 01:36:26

☆ Re: 高３です / X

(a)
半角の公式により
(tan(π/8))^2={1-cos(π/4)}/{1+cos(π/4)}
=(√2-1)/(√2+1)
=(√2-1)^2
∴tan(π/8)＞0より
tan(π/8)=√2-1
同じ方針で
tan(3π/8)
も求めます。

(b)
求める体積をVとすると
V=∫[π/8→3π/8]π{{(√3)/(sinx(cosx)^2)}^2}dx
=3π∫[π/8→3π/8]{1+1/(tanx)^2}{1+(tanx)^2}{1/(cosx)^2}dx
ここで
tanx=t
と置くと(a)の結果により
V=3π∫[√2-1→√2+1](1+1/t^2)(1+t^2)dt
=…
(被積分関数を展開します。)
注)
数値代入後の計算ですが、この問題の場合は
√2+1=β,√2-1=α
と置き
β-α=2,αβ=3
となることを使って計算した方が多少
煩雑さを避けられます。

No.48536 - 2018/02/03(Sat) 12:30:06

★ (No Subject) / prime number

こんにちは。高1です。初投稿です。
場合の数と確率の問題で、
問
同じ色の玉は区別できないとする。
赤玉2個、白玉2個、青玉2個の計6個を円形に並べる並べ方は何通りあるか。答 16通り

自分は、１つの玉を固定して求めそこから赤玉、青玉、白玉の重複の分を割るやり方でやっているのですが答えが合いません
5!×1/2×1/2×1/2=15 通りこの方法だとなぜ求められないのでしょうか？お願い致します。

No.48531 - 2018/02/03(Sat) 01:35:40

☆ Re: / らすかる

5!のすべてのパターンが8重複だったら「×1/2×1/2×1/2」で合うわけですが、
合わないということは8重複でないパターンがあるということですね。
そのパターンは赤白青赤白青と赤青白赤青白というパターンです。
例えば赤白青赤白青は
(1)赤1白1青1赤2白2青2
(2)赤1白1青2赤2白2青1
(3)赤1白2青1赤2白1青2
(4)赤1白2青2赤2白1青1
(5)赤2白1青1赤1白2青2
(6)赤2白1青2赤1白2青1
(7)赤2白2青1赤1白1青2
(8)赤2白2青2赤1白1青1
の8通りになりそうですが、(1)と(8)、(2)と(7)、(3)と(6)、(4)と(5)が
円形では全く同じパターンであり、4重複にしかなっていません。
従ってこれらのパターンに「1/2×1/2×1/2」を掛けているのが合わない原因です。
5!=120通りには赤白青赤白青の4重複と赤青白赤青白の4重複が含まれ、
残りの112通りがそれ以外のパターンの8重複ですから
112÷8+8÷4=16通り
となります。

No.48533 - 2018/02/03(Sat) 02:50:54

★ 高３です / りん

(３)の解き方を教えてください
お願いします

No.48529 - 2018/02/03(Sat) 01:25:02

☆ Re: 高３です / りん

続きです

No.48530 - 2018/02/03(Sat) 01:25:51

☆ Re: 高３です / X

前半)
条件から
a^2+b^2=15 (A)
又、点A,B,Cは互いに異なる点で、
かつ同一直線上にあるので
↑CB=k↑CA
(kは0でない実数)
∴成分比較により
b^2-1=k(a^2-1) (B)
b^3-1=k(a^3-1) (C)
(C)÷(B)より
(b^2+b+1)/(b+1)=(a^2+a+1)/(a+1)
(a+1)(b^2+b+1)=(b+1)(a^2+a+1)
(a+1)b^2=(b+1)a^2
ab(a-b)+a^2-b^2=0
(ab+a+b)(a-b)=0
ここでa＞0,b＜0ゆえa≠b
∴ab+a+b=0 (D)
よって
a+b=x,ab=y
と置くと、(A)(D)はそれぞれ
x^2-2y=15 (A)'
x+y=0 (D)'
a＞0,b＜0から
y＜0
に注意して(A)'(D)'をx,yの
連立方程式として解きます。
(D)'より
x=-y
(A)'に代入して
y^2-2y-15=0
(y-5)(y+3)=0
∴y=-3
これを(D)'に代入して
x=3
よって
a+b=3,ab=-3

後半)
前半の結果と解と係数の関係により、
a,bはtの二次方程式
t^2-3t-3=0 (E)
の解となります。
(E)より
t=3±√21
よってa＞0,b＜0より
(a,b)=(3+√21,3-√21)
となります。

No.48537 - 2018/02/03(Sat) 13:01:23

★ 数学1A / Ukaritai

三角形ABCにおいて、AB=6,BC=3,AC=5である。また、辺ABのBを超える延長上に点Eがあり、CE=4である。四角形DECB が円Oに内接している時、以下の問いに答えよ。

⑴線分DEの長さ
⑵四角形DECBの2つの対角線の交点をPとおくときDP/PCの値を求めよ。
⑶円Oの半径を求めよ。

よろしくお願いします。

No.48521 - 2018/02/02(Fri) 20:27:40

☆ Re: 数学1A / 中三

Dはどこですか？
弧CE上の点でもともと具体的に説明されていないのですか？

No.48526 - 2018/02/02(Fri) 22:46:09

☆ Re: 数学1A / らすかる

DはACの延長上の点のような気がしますね。

No.48527 - 2018/02/02(Fri) 23:13:44

☆ Re: 数学1A / Ukaritai

申し訳ありません。
うち間違えていました。
点D,点Eの説明ですが、辺ABのBを超える延長上に点D、辺ACのCを超える延長上に点Eがあり、CE=4である。
となっていました。
これで再検討お願い致します。

No.48540 - 2018/02/03(Sat) 16:49:59

☆ Re: 数学1A / 中三

(1)ΔABC∽ΔAEDよりAB:BC=AE:ED
相似を使ってDE=9/2
(2)CP:EP=2:3
DP:EP=3:8
連比を使ってEPをそろえるとCP:DP=16:9
∴DP/CP=9/16
(3)ΔABCとΔB

No.48542 - 2018/02/03(Sat) 17:59:04

☆ Re: 数学1A / 中三

すいません、途切れてしまいました。
続けます。

ΔABCとΔBECで余弦定理を用いてBEの長さを求めてsin∠BCEとBEの長さから正弦定理より半径を導出します。計算に自信がないので解答はまだ出してません。

No.48544 - 2018/02/03(Sat) 18:31:19

☆ Re: 数学1A / Ukaritai

ありがとうございます。

No.48598 - 2018/02/05(Mon) 18:38:31

★ 関数 / 数学不得意

（３）の解き方がよくわかりません。詳しい解説よろしくお願いします。午後１時７分３０秒が答えです。

No.48518 - 2018/02/02(Fri) 17:11:57

☆ Re: 関数 / らすかる

Q地点から妹に追いつくまでの距離は200×7=1400m
妹がQ地点に着いて6分後にAさんが出発したので
妹がQ地点に着いてからAさんが妹に追いつくまでの時間は6+22=28分
よって妹の歩く速さは1400÷28=50m/分
家からQ地点までの距離は700+90×10=1600mなので
妹が引き返すのをグラフにするとy=-50(x+6)+1600=-50x+1300
x=5のときy=1050なのでAさんがP地点についた時点では
妹はまだP地点とQ地点の間にいる
従ってAさんが妹に出会うのはP地点とQ地点の間となる
AさんのP地点からQ地点までのグラフはy=90x+250であり
y=-50x+1300とy=90x+250の交点のx座標はx=7.5
従ってAさんが出発してから7.5分後に会うことになるから
出会う時刻は1時7分30秒

No.48520 - 2018/02/02(Fri) 20:12:56

☆ 解説ありがとうございます / 数学不得意

妹が引き返すのをグラフにするとy=-50(x+6)+1600ここの解説がよくわかりません。

No.48534 - 2018/02/03(Sat) 09:36:52

☆ Re: 関数 / らすかる

横軸が時刻（x=0が1時、x=5が1時5分、x=15が1時15分、x=22が1時22分）
縦軸が位置（y=0が家、y=700がP、y=1600がQ、y=3000が妹に追いついた地点）
を表している、というのはよろしいでしょうか。
そうすると
妹がQ地点に着いたのが1時の6分前なので
x=-6のときy=1600
そして妹にAが追いついたのが1時22分なので
x=22のときy=3000
よって傾き（妹の速さ）は(3000-1600)/(22-(-6))=50
同じ速さで引き返すと傾きが-50なので
(x,y)=(-6,1600)を通り傾き-50であるグラフは
y=-50(x+6)+1600
となります。

# 妹が引き返さない場合のグラフはy=50(x+6)+1600=50x+1900ですから、
# Aさんのグラフにy=50x+1900（-38≦x≦22）と
# y=-50x+1300（-6≦x≦26）を重ねて描いてみると
# わかりやすいかと思います。

No.48539 - 2018/02/03(Sat) 14:17:07

☆ Re: 関数 / 数学不得意

y=-50(x+6)+1600　何回もすみません。-50(x+6)+1600の式の意味がわかりません。

No.48546 - 2018/02/03(Sat) 18:46:40

☆ Re: 関数 / らすかる

(a,b)を通り傾きがmの直線はy=m(x-a)+bですから
m=-50、(a,b)=(-6,1600)を代入するとy=-50(x+6)+1600となります。

No.48547 - 2018/02/03(Sat) 19:04:25

★ 図形 / macwell

この写真の解説を詳しくしてもらってもいいですか？
この写真の解説が分かりません

No.48516 - 2018/02/02(Fri) 17:02:11

☆ Re: 図形 / macwell

この写真です

No.48517 - 2018/02/02(Fri) 17:03:11

☆ Re: 図形 / らすかる

この図形全体を2つの点線で切ると、
左側の直角三角形と扇形と右側の直角三角形の3つになります。
これが解説の左の図です。
そして白い部分は左側の長方形と右側の小さい扇形にわけられます。
これが解説の右の図です。
求める面積は「図形全体」－「白い部分」であり、
「図形全体」を3つに分けた時の「左側の直角三角形」と「右側の直角三角形」を
合わせると、白い部分の「左側の長方形」になりますので、結局
「図形全体」－「白い部分」
＝「大きい扇形」－「小さい扇形」
となります。
大きい扇形は半径10cm、中心角90°
小さい扇形は半径8cm、中心角90°
なので
(π×10^2×1/4)-(π×8^2×1/4)
という式で求まることになります。

No.48519 - 2018/02/02(Fri) 19:59:56

☆ Re: 図形 / macwell

ありがとうございます！
3つに直角三角形左側と大きいおうぎ形と直角三角形右側があり、そのうちの2つの三角形を合わせると引く長方形になるからそれを全体から引くと大きいおうぎ形と小さいおうぎ形が残るという意味だと思うんですが
「大きい扇形」－「小さい扇形」という式と図形の意味が分かりません。
大きいおうぎ形から小さいおうぎ形を引けるのかって思ってしまいます…
大きいおうぎ形と小さいおうぎ形の角度は同じかな？とか…
どういう風になってるんでしょうか

No.48522 - 2018/02/02(Fri) 21:02:16

☆ Re: 図形 / らすかる

「○」－「△」というのは
『「○」という図形から「△」という図形を除いた部分』
という意味ではありません。そのように考えると意味不明になります。
「○」－「△」というのは
「○の面積」－「△の面積」
という意味です。

誤解のないように書き直すと、
「図形全体の面積」＝「左側の直角三角形の面積」＋「大きい扇形の面積」＋「右側の直角三角形の面積」
「白い部分の面積」＝「長方形の面積」＋「小さい扇形の面積」
「求める面積」＝「図形全体の面積」－「白い部分の面積」
「長方形の面積」＝「左側の直角三角形の面積」＋「右側の直角三角形の面積」
ですから
「求める面積」＝「図形全体の面積」－「白い部分の面積」
＝{「左側の直角三角形の面積」＋「大きい扇形の面積」＋「右側の直角三角形の面積」}
　－{「長方形の面積」＋「小さい扇形の面積」}
＝{「左側の直角三角形の面積」＋「大きい扇形の面積」＋「右側の直角三角形の面積」}
　－{「左側の直角三角形の面積」＋「右側の直角三角形の面積」＋「小さい扇形の面積」}
＝「大きい扇形の面積」－「小さい扇形の面積」
となります。

扇形の中心角は、どちらも長方形を90°回転することによって出来た角度ですから
90°です。

No.48524 - 2018/02/02(Fri) 21:22:31

☆ Re: 図形 / macwell

大きい扇型の面積－小さい扇型の面積をしたら斜線部が求められるというのが納得いきません…
左側の直角三角形と右側の直角三角形は足すと長方形だからその２つの三角形は消えて大きい扇型が残るんですよね？
そして後は小さい扇型を引けばよいということは理解できてるんです。
ですが大きい扇型から小さい扇型を引いて斜線が出る理由がわかりません

教えて頂けませんか？

No.48560 - 2018/02/04(Sun) 10:45:55

☆ Re: 図形 / macwell

ありがとうございます！納得しました

No.48561 - 2018/02/04(Sun) 11:24:51

★ 質問 / 勉強男

線分y=√３x[0<=x<=2]上の点Ｐと線分y=-√３x[-3<=x<=0]上の点Ｑが線分ＯＰとＯＱの長さの和が６になるように動く
このとき線分ＰＱの通過する領域をＤとする

sを-3<=s<=2をみたす実数とするとき点[s,t]がＤに入るようなtの範囲を求める

という問題で

ＯＰ+ＯＱ＝２ｐ-２ｑより２ｐ-２ｑ＝６から
ｐ-ｑ＝３と計算しているのですがＯＰ+ＯＱ＝２ｐ+２ｑとしか自分の計算ではでません　ＯＱ＝√q^2+3q^2＝２ｑではないのですか？
なぜＯＰ+ＯＱ＝２ｐ-２ｑなのでしょうか？

解答よろしくおねがいします

No.48511 - 2018/02/02(Fri) 13:01:42

☆ Re: 質問 / X

点Qのx座標がqであればq＜0ですので
OQ=2|q|=2・(-q)=-2qです。

No.48512 - 2018/02/02(Fri) 13:53:08

☆ Re: 質問 / 勉強男

理解できました
ありがとうございます

No.48525 - 2018/02/02(Fri) 22:22:58

★ (No Subject) / りん

Xを求めるところまでわかったのですが
f(X)がなぜこの答えになるのかわかりません
お願いします。

No.48507 - 2018/02/02(Fri) 11:57:32

☆ Re: / りん

答えです

No.48508 - 2018/02/02(Fri) 11:58:01

☆ Re: / X

添付写真の一枚目の左側の手計算で
最下部の一行上までは正しいようですが
その次の行(つまり最下部)で右辺の
第二項の分母の√を忘れています。

更にその右の手計算はその間違えた
x[n]の値をf(x)に代入して計算して
いるようですが、sinの中に入れる際に
√3をかけるのを忘れています。
(左側の手計算の最下部から一行上の
値を、√3をかけずにそのままsinの
中に入れて計算してみて下さい。)

No.48510 - 2018/02/02(Fri) 12:47:40

☆ Re: / りん

こたえでました！ありがとうございます

No.48528 - 2018/02/03(Sat) 01:23:35

★ (No Subject) / iM

細かい質問ですみません。
単調増加、という言葉についてなのですが、
水平になる部分があるとき
(f'(x)=0となるxがあるとき)
でも単調増加と書いていいのでしょうか？

No.48504 - 2018/02/02(Fri) 07:50:06

☆ Re: / らすかる

「水平になる部分がある」のと
「f'(x)=0となるxがある」のは違いますね。
例えばy=x^3はf'(x)=0となるxはありますが
水平になる部分はありません。
また、「f'(x)=0となるxがある」かどうかは
単調増加とはほとんど関係ありません。

で、本題ですが、「水平になる部分がある」場合に
「単調増加」と言っていいかどうかは場合によります。
↓こちらの「実関数での単調性」の語法1～3をご覧下さい。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E8%AA%BF%E5%86%99%E5%83%8F

# 高校以下の場合は、「水平になる部分がある」ような
# 微妙な関数について「単調増加」かどうかを問題に
# するようなことはないような気がします。

No.48505 - 2018/02/02(Fri) 08:09:50

☆ (No Subject) / iM

ありがとうございます。
例として出されたy=x^3で言えば、
x=0の時f'(x)=0で接戦の傾きが0になって
一瞬水平になるんじゃないかと思ったんですが、
よく考えたら一瞬の点じゃ水平と言えないですよね、、

Wikipediaの記述を読ませていただいたのですが、僕が思っていたのは広義単調増加のことだとわかりました。
間違った意味で使ってしまうのが怖いので、記述でむやみに単調増加と書くのはやめておきます、、

No.48506 - 2018/02/02(Fri) 09:40:36

★ 数列 / けい

この問題の解き方とanの解を教えてください

No.48491 - 2018/02/01(Thu) 00:30:57

☆ Re: 数列 / らすかる

a[n+2]=a[n+1]-(3/2)a[n]+4 が
a[n+2]+pa[n+1]+q=r(a[n+1]+pa[n]+q)
に変形できたとしてこの式を変形すると
a[n+2]=(r-p)a[n+1]+pra[n]+q(r-1)
pr=-3/2, r-p=1, q(r-1)=4 から適解の一つは
p=(-1+i√5)/2, q=-4(1+i√5)/3, r=(1+i√5)/2
b[n]=a[n+1]+pa[n]+q とおくと b[1]=1+p+q, b[n+1]=rb[n] なので
b[n]=(1+p+q)r^(n-1)
よって
a[n+1]=-pa[n]+b[n]-q
=-pa[n]+(1+p+q)r^(n-1)-q
この式が
a[n+1]+sr^n+t=-p(a[n]+sr^(n-1)+t)
と変形できたとしてこの式を変形すると
a[n+1]=-pa[n]-s(p+r)r^(n-1)-t(p+1)
-s(p+r)=1+p+q, -t(p+1)=-q から
s=-(1+p+q)/(p+r)=-(r+q)/(p+r)=(5-i√5)/6
t=q/(p+1)=q/r=(-4/3)/(1/2)=-8/3
c[n]=a[n]+sr^(n-1)+t とおくと c[1]=1+s+t, c[n+1]=-pc[n] なので
c[n]=(1+s+t)(-p)^(n-1)
よって
a[n]=-sr^(n-1)+c[n]-t
=-sr^(n-1)+(1+s+t)(-p)^(n-1)-t
=(i√5-5)/6・((1+i√5)/2)^(n-1)-(5+i√5)/6・((1-i√5)/2)^(n-1)+8/3
=(i√5/3)((1+i√5)/2)^n-(i√5/3)((1-i√5)/2)^n+8/3
=((i√5)(((1+i√5)/2)^n-((1-i√5)/2)^n)+8)/3

No.48492 - 2018/02/01(Thu) 01:33:46

★ (No Subject) / みさ

数2の問題なのですが3～6まで途中式も含めて教えてください
やり方がわかりません…

No.48480 - 2018/01/31(Wed) 22:29:44

☆ Re: / ガム

3です、

No.48487 - 2018/01/31(Wed) 23:50:27

☆ Re: / X

大問3)
正解です。
但しx,yをzで表すよりも、比例式の手法で
(第1式)=k
と置いてx,y,zをkで表してから第2式に
代入してみてもよかったかもしれません。

大問4)
(1)
条件の不等式の両辺にabをかけた後に移項をします。

(2)
(中辺)-(左辺)＞0
(右辺)-(中辺)＞0
を証明します。
いずれの場合も通分して分子を整理した上で
(1)の結果を使います。

大問5)
(左辺)-(右辺)を計算すると
=(bx-ay)^2
となります。

大問6)
証明すべき不等式は
(√a+√b)^2≦2(a+b)
と同値ですのでこれを証明します。
(右辺)-(左辺)=a-2√(ab)+b
=(√a-√b)^2≧0
(不等号の下の等号はa=bのとき成立)

No.48489 - 2018/02/01(Thu) 00:25:51

★ 時計 / √

教えてください。

丸い時計は、円周を１２等分したものですが、
「１０」と「２」を結んだ直線が、
中心から「１２」までの半径を二等分すると
思うのですが、理由を教えてください。

No.48477 - 2018/01/31(Wed) 22:15:42

☆ Re: 時計 / X

時計の中心をO,「10」「12」「2」に対応する点を
A,B,Cとすると
△ABO,△BCOは正三角形
であり、又
CA⊥BO
ですので、二等辺三角形の性質により
CAはBOを二等分します。

No.48478 - 2018/01/31(Wed) 22:23:30

☆ Re: 時計 / らすかる

他の考え方
「10と12を結んだ直線」と「8と2を結んだ直線」は平行で
「8と2を結んだ直線」は中心を通りますので
「10と12を結んだ直線」と「中心と2を結んだ直線」は平行です。
同様に「12と2を結んだ直線」と「10と中心を結んだ直線」も
平行ですから、10・中心・2・12を頂点とする四角形は
平行四辺形です。平行四辺形の対角線は互いに他の対角線を
2等分しますので、10と2を結んだ直線は中心と12を結んだ線分を2等分します。

No.48483 - 2018/01/31(Wed) 23:06:18

☆ Re: 時計 / √

Ｘさん　らすかるさん

分かりました。
ありがとうございました。

私は、以前、
「１２」と「６」を結んだ線を軸にして
左右対称の位置にある数字同士を結んだ線は、
直径を同じ間隔に分けていると、頭の中だけで、
大きな勘違いをしていました。
実際に書いてみて違うと気づいた大馬鹿者でした（＾＾；

No.48485 - 2018/01/31(Wed) 23:25:38

★ 極値を持つための条件 / aibo

この問題の解き方を教えてください。

No.48467 - 2018/01/31(Wed) 19:08:48

☆ Re: 極値を持つための条件 / X

y'=acosx+1/(cosx)^2
={a(cosx)^3+1}/(cosx)^2
ここで
(y'の分母)=0のとき
(y'の分子)=1≠0
よって
(i)a=0のとき
y'=1/(cosx)^2＞0
∴不適
(ii)a≠0のとき
a=A^3
と置くと
y'=(Acosx+1){(Acosx)^2-Acosx+1}/(cosx)^2
=A(cosx+1/A){(Acosx)^2-Acosx+1}/(cosx)^2

∴題意を満たすためにはcosxの方程式
cosx+1/A=0
が-1＜cosx＜1において解を持てばよいので
-1＜-1/A＜1
これより
-A^2＜A＜A^2かつA≠0
∴A＜-1,1＜A
Aを元に戻して
a＜-1,1＜a

以上から求めるaの値の範囲は
a＜-1,1＜a
となります。

No.48468 - 2018/01/31(Wed) 20:16:12

☆ Re: 極値を持つための条件 / らすかる

a=-1,1のときはAcosx+1≧0すなわちy'≧0なので極値は持ちませんね。

No.48470 - 2018/01/31(Wed) 20:57:49

☆ Re: 極値を持つための条件 / X

＞＞らすかるさんへ
ご指摘ありがとうございます。
＞＞aiboさんへ
ごめんなさい。らすかるさんの仰る通りです。
No.48468を修正しましたので再度ご覧下さい。

No.48475 - 2018/01/31(Wed) 21:56:54

☆ Re: 極値を持つための条件 / aibo

Xさん、らすかるさん、助かりました。ありがとうございます。

No.48493 - 2018/02/01(Thu) 13:28:12