数学好きの中学生ですが、なんとか2018年と平成30年にちなんだ問題が作れないものかと、試しに3問作ってみました。
(1)は無理矢理感がすごいです。すいません。
(1)2,0,1,8,30の5つの数を一つずつ次の□に当てはめて式を完 成させよ。
□^3*□^2+□*□-□=2018
(2)次のA,B,Cに当てはまる数を答えよ。
A^3+B^2+C^1=2018
A+B+C=30
(3)?@,?Aの問いに答えよ。
?@連続する12個の自然数のうち、最も小さい数をNとす る。この12個の自然数のそれぞれの二乗の和は2018にな る。Nの値を求めよ。
※例えば3個の連続する自然数10,11,12のそれぞれの二乗 の和は
10^2+11^2+12^2=100+121+144
=365
となる。
?A連続する4個の自然数のうち最も大きい数をMとする。こ の4個の自然数のそれぞれの二乗の和は30になる。Mの値 を求めよ。
☆尚、(N-1)(M+1)=30となる。
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No.47518 - 2017/12/29(Fri) 20:52:12
| ☆ Re: 来年にちなんで / 中三 | | | No.47519 - 2017/12/29(Fri) 20:53:51 |
| ☆ Re: 来年にちなんで / IT | | | (2)は、他にA,B,Cに条件がありますか？
実数、有理数、整数、自然数 など
自然数なら A=12,B=17,C=1 ですね。Aの範囲を12以下に絞って後は総当りで出来ますね。
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No.47520 - 2017/12/29(Fri) 21:43:49 |
| ☆ Re: 来年にちなんで / 中三 | | | すいません、説明不足でした。A,B,Cはすべて自然数です。
よって、おっしゃる通りA=12,B=17,C=1です。
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No.47521 - 2017/12/29(Fri) 23:05:10 |
| ☆ Re: 来年にちなんで / 中三 | | | 追加
(4)連立方程式を解け。
X^2+Y^2=2018…?@
X-Y=30…?A (X,Yは自然数）
?@だけだと流石に難しいかと。
かといって?Aまで入れてしまうと中学生レベルの知識で解けてしまいますね。
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No.47525 - 2017/12/30(Sat) 08:39:14 |
| ☆ Re: 来年にちなんで / takec | | | 特に計算方法はないので、答えのみ。
(1)
8^3 * 2^2 + 0 * 1 - 30
(3)
?@N=7
?AM=4
(4)
X=43, Y=13
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No.47527 - 2017/12/30(Sat) 09:15:34 |
| ☆ Re: 来年にちなんで / 中三 | | | No.47528 - 2017/12/30(Sat) 09:56:55 |
| ☆ Re: 来年にちなんで / takec | | | X - Y = 30
より、
X = Y + 30
これを?@に代入して、
(Y + 30)^2 + Y^2 = 2018
2Y^2 + 60Y + 900 = 2018
Y^2 + 30Y - 559 = 0
(Y + 43)(Y - 13)=0
Yは自然数であることから、Y=13
以上より、X=43,Y=13
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No.47531 - 2017/12/30(Sat) 10:55:24 |
| ☆ Re: 来年にちなんで / 中三 | | | (4)は書かれている通り代入して解いてもらえれば簡単にできるのですが、
(3)はどうですか？
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No.47534 - 2017/12/30(Sat) 11:25:14 |
| ☆ Re: 来年にちなんで / takec | | | 失礼しました。(3)の方でしたね。
?@、?Aは同様に解けるので、?@のみ回答します。
ある自然数をX(X>=6)とおくと、連続する12個の自然数は以下のとおりとなる。
（問題で求めるNはX-5と表すことができる）
X-5,X-4,X-3,X-2,X-1,X,X+1,X+2,X+3,X+4,X+5,X+6
今これらの2乗和が2018となることから、
(X-5)^2+(X-4)^2+…+(X-1)^2+X^2+(X+1)^2+…(X+5)^2+(X+6)^2 = 2018
12X^2 + 12X + 146 = 2018
X^2 + X - 156 = 0
(X + 13)(X -12) = 0
X>=6より、Xは12。
よって、求めるNは12-5=7となる。
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No.47535 - 2017/12/30(Sat) 11:56:28 |
| ☆ Re: 来年にちなんで / 中三 | | | take cさん、ありがとうございます。
この手の問題は、真ん中の数(中央値)を文字(x)に置き換えるとで
x^2=a
x=±√a
という形で解けるのですが、偶数個の場合は真ん中の数が小数になってしまいます。
この問題だと、x=n+5.5と置いて
(x-5.5)^2+(x-4.5)^2+....(x-0.5)^2+(x+0.5)^2+....(x+4.5)^2+(x+5.5)^2=2018
12x^2+2(0.5^2+1.5^2+2.5^2+3.5^2+4.5^2+5.5^2)
=12x^2+143=2018
x^2=156.25
x=12.5(x>0)
したがってn=x-5.5
=7
となるのですが、やはり小数を文字に置くぐらいだったら、偶数個の場合、(中央値)±0.5の値を文字に置き換える方が求めやすいのでしょうか？
この問題の模範解答としては、自分の解答よりも、take cさんの解答のほうがきれいだと思いました。
年が明けたら自作問題を友達に出題する予定で、どのように解説したらよいか悩んでいたので良い解答をもらえてうれしいです。ありがとうございました！
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No.47538 - 2017/12/30(Sat) 13:16:20 |
| ☆ Re: 来年にちなんで / IT | | | (1)a^3*b^2+c*d-e=2018…?@ とします。
-30≦c*d-e≦30*8＝240 なので 1778≦a^3*b^2≦2048…?A
1,2,8,30の累乗を計算しておきます。
1,1,1
2,4,8
8,64,512
30,900,27000
?Aよりa^3*b^2=512*4=(8^3)(2^2)=2048.
?@よりc*d-e=-30.
よってe≧30なので、e=30.
c*d=0*1.
以上から a^3*b^2+c*d-e=(8^3)(2^2)+0*1-30=2018.
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No.47539 - 2017/12/30(Sat) 14:26:49 |
| ☆ Re: 来年にちなんで / 中三 | | | ITさん
(1)なんて適当に当てはめて解くものだと思っていましたが、丁寧に解説までしてくださるとは、ありがとうございます！
0*1で無理やり0を作ったり、都合のよいように指数を使ったりしているので、あまり面白くないといえばそうなのかもしれませんね。
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No.47540 - 2017/12/30(Sat) 14:59:26 |
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