ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / 優樹菜

ヘロンの公式というのは
どんな三角形にも使えるのですか？

No.48307 - 2018/01/26(Fri) 18:03:39

☆ Re: / らすかる

「どんな三角形にも」というのはどういう意図かわかりませんが、
3点A,B,CがあってA,B,Cを含む平面上で線分AB,BC,CAで囲まれる部分の
面積、という意味を外れていなければ使えます。

No.48310 - 2018/01/26(Fri) 18:53:55

★ (No Subject) / 優樹菜

二次関数の問題で、
x軸と異なる2点で交わるとき、それらの交点が共にx軸の負の部分にあるときのaの範囲を求めよ
という問題で、

頂点のy座標が負
x＝0のときのyが正
軸の方程式が負

という三つの条件を満たしている範囲を探しますが、

似たような問題(二次関数で、条件を自分であげられるようにしなきゃいけない問題)で、他にはどんなものがあるのですか？>_<

No.48300 - 2018/01/26(Fri) 16:02:54

☆ Re: / 優樹菜

追加の質問なんですが、

このような問題のときは
判別式はいっさい使わなくて良いのですよね…？

No.48305 - 2018/01/26(Fri) 17:37:55

☆ Re: / らすかる

追加の質問の回答ですが、

放物線y=ax^2+bx+cにおいて
(頂点のy座標)=(判別式)/(-4a)
ですから、「頂点のy座標を使う」ことと
「判別式を使う」ことはあまり変わりません。
従って「このような問題」でなくても、
すべての問題で判別式を使わず
「頂点のy座標」で済ませることもできます。

No.48324 - 2018/01/26(Fri) 20:31:34

★ (No Subject) / 信濃

この問題は、自力で数える以外に方法はありますか？
また、自力で数えるのが一番早いですか？？

サイコロを2回投げて、出た目の数を並べて2桁の整数を作る。
このとき、3で割り切れ、4でも割り切れる整数は何通りか。
また、3で割り切れるが、4と6では割り切れない整数は何通りか。

No.48299 - 2018/01/26(Fri) 15:48:55

☆ Re: / らすかる

3でも4でも割り切れる整数は12の倍数なので
12,24,36,48,60,72,…
67以上と0,7,8,9を含むものは不適なので12,24,36の3個。

3で割り切れて6で割り切れなければ自動的に4では割り切れませんので
「4で割り切れない」という条件は不要です。
3で割り切れて6で割り切れないということは3の奇数倍なので
3,9,15,21,27,33,39,45,51,57,63,69,75,…
67以上と0,7,8,9を含むものは不適なので、それらを除外すると
3,15,21,33,45,51,63の7個。

この解き方のことを「自力で数える」というのであれば、
自力で数えるのが一番早いです。

No.48313 - 2018/01/26(Fri) 19:07:18

★ (No Subject) / 信濃

お願いします。

No.48297 - 2018/01/26(Fri) 15:34:33

☆ Re: / X

前半)
条件から問題の二次関数のxの係数について
-b=2p (A)
又、この二次関数のグラフが点(-1,4)を
通ることから
1+b+c=4 (B)
(A)(B)より
(b,c)=(-2p,3+2p)
∴問題の二次関数は
y=x^2-2px+3+2p (C)
よって(C)のグラフとx軸の交点のx座標を
α,βとするとα,βは
x^2-2px+3+2p=0 (D)
なるxの二次方程式の解なので
解と係数の関係により
α+β=2p (E)
αβ=3+2p (F)
又(D)の解の判別式をDとすると
D/4=p^2-(3+2p)＞0 (G)
更に(C)のグラフがx軸から切り取る
線分の長さが
|α-β|
となることに注意すると(E)(F)より
|α-β|^2=4p^2-4(3+2p)≦2 (H)
(G)(H)を連立して解き
2-3√2≦p＜-1,3＜p≦2+3√2

No.48323 - 2018/01/26(Fri) 20:29:36

☆ Re: / X

後半)
(C)を使い、定義域である
0≦x≦3
と(C)のグラフの軸である
x=p
との位置関係について次の場合分けをしましょう。
(i)p≦＜0のとき
(ii)0＜p＜3のとき
(iii)3≦pのとき

No.48325 - 2018/01/26(Fri) 20:31:47

★ (No Subject) / 信濃

以下のメとモをお願いします。

二次関数y＝ax^2＋bx＋cのグラフが直線x＝2を軸として、点(－1,4)を通るとき
b＝－4a, c＝4－5a である。
このグラフがx軸から切り取る線分の長さが4のとき
a＝メ/モである。

No.48296 - 2018/01/26(Fri) 15:33:26

☆ Re: / らすかる

ax^2-4ax+4-5a=0の2解をα,β（α＜β）とすると
解と係数の関係からα+β=4,αβ=(4-5a)/a
16=(β-α)^2=(α+β)^2-4αβ=16-4(4-5a)/a
これを解いて a=4/5

No.48298 - 2018/01/26(Fri) 15:44:26

☆ Re: / 信濃

なぜα<β なのですか？

また、16＝(β－α)^2
となるのはなぜですか？

No.48302 - 2018/01/26(Fri) 16:45:52

☆ Re: / らすかる

> なぜα<β なのですか？
理由はありません。
2解のうち小さい方をα、大きい方をβと決めただけです。

> また、16＝(β－α)^2
> となるのはなぜですか？
「このグラフがx軸から切り取る線分の長さ」＝β-α＝4ですから
(β-α)^2=16です。

No.48312 - 2018/01/26(Fri) 18:58:00

★ (No Subject) / Saki

お願いします。

y＝x^2＋2(m－1)x－3m＋3のグラフで
頂点の座標は(1－m),(2＋m)(1－m)であるから
頂点は放物線y＝ホ x^2＋マxの上にある。
また、
頂点のy座標が最大値になるのは
m＝ミム/メのときで、そのときのy座標の値はモ/ラである。

No.48291 - 2018/01/26(Fri) 13:47:59

☆ Re: / らすかる

頂点の座標は
x=1-m
y=(2+m)(1-m)
第1式からm=1-x、これを第2式に代入してy=-x^2+3x
よって頂点は放物線y=-x^-2+3xの上にある。

y=-x^2+3x=-(x-3/2)^2+9/4 なので
y=-x^2+3xの頂点は(3/2,9/4)
x=3/2のときm=-x+1=-1/2なので
頂点のy座標が最大値になるのは
m=-1/2のときで、そのときのy座標の値は9/4

No.48295 - 2018/01/26(Fri) 15:24:55

☆ Re: / Saki

有難うございます！！！

No.48303 - 2018/01/26(Fri) 16:54:29

★ (No Subject) / Saki

以下の問題教えてください！

f(x)＝x^2＋2ax－a＋2のグラフで
区間0≦x≦4における関数f(x)の最大値をM、最小値をmとする。
aの値を変化させたとき、
M－mはa＝あいのとき、最小値うとなる。

No.48288 - 2018/01/26(Fri) 12:49:15

☆ Re: / らすかる

f(x)=x^2+2ax-a+2=(x+a)^2-a^2-a+2 から軸はx=-a
軸がx≦0にある場合、最小値はf(0)、最大値はf(4)
軸がx≦0にある→-a≦0→a≧0
m=f(0)=-a+2, M=f(4)=7a+18
M-m=(7a+18)-(-a+2)=8a+16
この場合M-mの最小値はa=0のときの16

軸がx≧4にある場合、最小値はf(4)、最大値はf(0)
軸がx≧4にある→-a≧4→a≦-4
m=f(4)=7a+18, M=f(0)=-a+2
M-m=(-a+2)-(7a+18)=-8a-16
この場合M-mの最小値はa=-4のときの16

軸が0≦x≦2にある場合、最小値はf(-a)、最大値はf(4)
軸が0≦x≦2にある→0≦-a≦2→-2≦a≦0
m=f(-a)=-a^2-a+2, M=f(4)=7a+18
M-m=(7a+18)-(-a^2-a+2)=a^2+8a+16=(a+4)^2
この場合M-mの最小値はa=-2のとき4

軸が2≦x≦4にある場合、最小値はf(-a)、最大値はf(0)
軸が2≦x≦4にある→2≦-a≦4→-4≦a≦-2
m=f(-a)=-a^2-a+2, M=f(0)=-a+2
M-m=(-a+2)-(-a^2-a+2)=a^2
この場合M-mの最小値はa=-2のとき4

従ってa=-2のとき最小値4

No.48294 - 2018/01/26(Fri) 15:19:10

☆ Re: / Saki

ありがとうございます！！助かりました！

No.48304 - 2018/01/26(Fri) 17:22:47

★ (No Subject) / aibo

(2)がわからないです。答えは発散なのですが、何故そうなるのか教えていただきたいです。よろしくお願いします。

No.48285 - 2018/01/26(Fri) 10:13:40

☆ Re: / らすかる

a[n]=(-1)^(n-1)・{2n+3+(-1)^n}/{2n+5+(-1)^n} なので
lim[n→∞]Σ[k=1～2n-1]=2/3
lim[n→∞]Σ[k=1～2n]=-1/3
となり発散します。
言葉で言えば
奇数項の和は第2n項と2n+1項がすべて打ち消しあうので合計は2/3
偶数項の和は奇数項の和に最後の2n項を足したものであり
2n項は-4/5,-6/7,…→-1なので極限は2/3-1=-1/3
よって奇数項の和の極限と偶数項の和の極限が異なるので発散。

No.48289 - 2018/01/26(Fri) 12:52:44

★ (No Subject) / Saki

以下の問題をお願いします。

5で割ると3余る整数Aがある。
この時、(Aの21乗)を5で割ると余りは何になるか。
また、(254の4乗)を13で割ると余りは何になるか。

No.48281 - 2018/01/26(Fri) 01:13:49

☆ Re: / らすかる

(5k+3)^2=25k^2+30k+9=5(5k^2+6k+1)+4 なので
5で割ると3余る整数を2乗すると5で割ると4余る整数になる。
(5k+4)^2=25k^2+40k+16=5(5k^2+8k+3)+1 なので
5で割ると4余る整数を2乗すると5で割ると1余る整数になる。
よって5で割ると3余る整数を4乗すると5で割ると1余る整数になる。
(5k+3)(5m+1)=25km+5k+15m+3=5(5km+k+3m)+3 なので
5で割ると3余る整数に5で割ると1余る整数を掛けると5で割ると3余る整数になる。
従って5で割ると3余る整数にA^4を掛けても5で割ると3余ることは変わらないので
A^21=A×A^4×A^4×A^4×A^4×A^4から
A^21を5で割ると3余る。

254=13×19+7
(13k+7)^2=169k^2+182k+49=13(13k^2+14k+3)+10
(13k+10)^2=169k^2+260k+100=13(13k^2+20k+7)+9
よって254^4を13で割ると9余る。

No.48292 - 2018/01/26(Fri) 15:05:05

☆ Re: / Saki

なるほど！！ありがとうございます^ - ^

No.48301 - 2018/01/26(Fri) 16:38:44

★ (No Subject) / Saki

3の倍数は、各位の数の和が3の倍数
4の倍数は、下2桁が4の倍数

などとありますが、
6の倍数や7の倍数、などは、何も決まりはないのですか？

No.48280 - 2018/01/26(Fri) 01:11:42

☆ Re: / らすかる

なくはないですが、7の倍数などは複雑です。
↓こちらをご覧下さい。
http://shochandas.xsrv.jp/number/multiple.htm

No.48283 - 2018/01/26(Fri) 02:29:38

★ (No Subject) / リンゴ

この問題の、「お」以降がわかりません！
解説お願いしますm(_ _)m

No.48275 - 2018/01/26(Fri) 00:12:16

☆ Re: / ヨッシー

△ＡＯＭを含む平面でこの四面体を切った時の断面を考えます。

この図上で、ＡＯの中点をＤとし、ＤからＡＯに垂直にひいた直線と
ＯＨの交点Ｅが外接球の中心であり、ＯＥが求める半径です。
　△ＯＡＨ∽△ＯＥＤ
であり、
　ＯＡ＝３，ＡＨ＝1/√3
より
　ＯＨ＝√(26/3)
これと　ＯＤ＝3/2 より
　ＯＥ＝ＯＡ×(ＯＤ/ＯＨ)
　　＝3×3/2÷√(26/3)
　　＝9√3/2√26＝9√78/52　・・・おロあかき

求める内接球の半径をｒとすると
　Ｖ＝(1/3)(△ＡＢＣ＋△ＯＡＢ＋△ＯＢＡ＋△ＯＣＡ)ｒ
と書けます。
　△ＡＢＣ＝√3/4
　△ＯＡＢ＝△ＯＢＣ＝△ＯＣＡ＝√{(7/2)(1/2)(1/2)(5/2)}＝√35/4
より、
　△ＡＢＣ＋△ＯＡＢ＋△ＯＢＡ＋△ＯＣＡ＝(√3＋3√35)/4
であることから、
　ｒ＝3Ｖ÷(√3＋3√35)/4
　　＝{12/(√3＋3√35)}Ｖ　・・・　くけこさし

No.48286 - 2018/01/26(Fri) 10:57:21

★ (No Subject) / 安西

以下の解説をお願いします

(nの二乗)＋4n－21 が素数となるような整数nの値は、
n＝シス,セである。

答え
n＝－8,4

No.48268 - 2018/01/25(Thu) 23:40:46

☆ Re: / らすかる

n^2+4n-21=(n+7)(n-3)
これが素数になるためには
n+7=-1またはn-3=1でなければならないので
n=-8,4が解の候補
n=-8のとき(n+7)(n-3)=-(-8-3)=11
n=4のとき(n+7)(n-3)=4+7=11
よって両方とも素数になるので、
n=-8,4が解

No.48272 - 2018/01/25(Thu) 23:53:53

☆ Re: / 安西

素数になるためには、－1、1 …
となるのがわかりません…

No.48274 - 2018/01/25(Thu) 23:59:14

☆ Re: / らすかる

n+7とn-3の絶対値がどちらも2以上だったら
合成数になってしまって素数ではありませんので、
素数になるためには一方が±1でなければなりません。
従って基本的にはn+7=1,n+7=-1,n-3=1,n-3=-1の4パターンを
検討することになるのですが、
n+7とn-3のうちの「大きい方が1」または「小さい方が-1」だとすると
積は0以下となって素数にならないのは明らかですから
それを除外します。
n-3＜n+7ですから、n+7=1とn-3=-1は除外できて、
残る候補はn+7=-1とn-3=1だけになります。
# 2式が二次式だったりして大小関係がわからない場合は
# 全パターン調べる必要があります。

No.48276 - 2018/01/26(Fri) 00:15:05

☆ Re: / 安西

なるほど、ありがとうございます！
ちなみにこれは、数Aの「整数」の範囲になるのですか？

No.48278 - 2018/01/26(Fri) 00:55:11

☆ Re: / らすかる

残念ながら私は教職関係ではないのでわかりません。

No.48287 - 2018/01/26(Fri) 12:37:19

★ (No Subject) / らん

以下の問題は、自力で探す以外に方法はありますか？

13x－5y＝2を満たす自然数(x,y)の組で
xが最小である組は(x,y)＝？

No.48264 - 2018/01/25(Thu) 22:57:15

☆ Re: / らすかる

13x-5y=2
3x+(5×2)x-5y=2
3x+5(2x-y)=2
3x+3(2x-y)+2(2x-y)=2
3(3x-y)+2(2x-y)=2
(3x-y)+2(3x-y)+2(2x-y)=2
(3x-y)+2(5x-2y)=2
この式から3x-y=0,5x-2y=1を満たす整数が
式を満たすことがわかり、これを解くとx=-1,y=-3
そして自然数にするためには
13x-5y=2という式から
xに5を足してyに13を足せば良いことがわかるので
(x,y)=(-1,-3)+(5,13)=(4,10)が答え

13x-5y=2程度だったら
xに1,2,3,…を代入した方が早そうですね。

No.48266 - 2018/01/25(Thu) 23:31:21

☆ Re: / らん

ありがとうございます！！
ちなみに、こういう問題で、自力で探さずに計算を使って導く問題はよく出るのですか？

No.48269 - 2018/01/25(Thu) 23:43:32

☆ Re: / らすかる

「ユークリッドの互除法」を習えば出ると思います。

No.48271 - 2018/01/25(Thu) 23:49:55

★ (No Subject) / 中三

7²=49となり前後で分けると4=2²,9=3²となります。
このような数を求める場合
A,B,Cを一桁の自然数として
A=10B²+C²
と表せるのでB>4,C>4であることから、またはAに1～9までの数の平方を書き出していけば(後者のほうが圧倒的に簡単ですが)
求められます。
しかし4桁の数になると、前後に分けて2数とも平方数になる場合の求め方が分かりません。
答えは41²=1681=100*4²+9²です。
4が共通というのであれば求められるのでしょうか？
(4というのは?C1の4と1681=100*?C²+9²の4です。)

No.48260 - 2018/01/25(Thu) 22:15:52

☆ Re: / 中三

B<4,C<4でした。
B≦3,C≦3の方が正しいかもしれませんが。

No.48263 - 2018/01/25(Thu) 22:19:48

☆ Re: / らすかる

m^2=100a^2+b^2 とおくと
m^2-100a^2=b^2
(m+10a)(m-10a)=b^2
m+10aもb^2も正なのでm-10aも正すなわちm-10a≧1
a≧5のとき(m+10a)-(m-10a)=20a≧100から
m+10a≧101, b^2≧101となり不適
a≦3では4桁にならないのでa=4と決まる
m^2=100a^2+b^2 から
m^2-b^2=1600
(m+b)(m-b)=1600
b≦9なので1600を差が18以下の2偶数の積に分ければよい。
1600の約数で40以外で40に最も近いのは32
1600÷32=50なのでb=(50-32)÷2=9が条件を満たす
32より小さい約数では2数の差が18より大きくなり不適。
従って条件を満たす解は(a,b)=(4,9)のみ。

No.48270 - 2018/01/25(Thu) 23:48:56

☆ Re: / 中三

ありがとうございます。
式の変形のさせ方を思いつきませんでした。
大変感謝です！

No.48284 - 2018/01/26(Fri) 08:05:15

★ (No Subject) / らん

13x－5y＝2を満たす自然数(x,y)の組で
xが最小である組は(x,y)＝？

教えてください！

No.48259 - 2018/01/25(Thu) 22:15:02

☆ Re: / 中三

x=4のとき13*4-5*10=2となり(x,y)=(4,10)がxが最小になる組です。

No.48262 - 2018/01/25(Thu) 22:18:12

☆ Re: / らん

ありがとうございますm(_ _)m

No.48265 - 2018/01/25(Thu) 22:57:39

★ データの問題教えてください！ / マキ

ソとタをお願いします。

No.48254 - 2018/01/25(Thu) 20:15:32

☆ Re: データの問題教えてください！ / ヨッシー

４個のデータを a1,a2,a3,a4、６個のデータを b1,b2,b3,b4,b5,b6 とします。
　a1+a2+a3+a4＝4×20＝80　・・・(1)
　b1+b2+b3+b4+b5+b6＝6×30＝180　・・・(2)
　(a1-20)^2+(a2-20)^2+(a3-20)^2+(a4-20)^2＝4×16＝64　・・・(3)
　(b1-30)^2+(b2-30)^2+(b3-30)^2+(b4-30)^2+(b5-30)^2+(b6-30)^2＝6×25＝150　・・・(4)
(3) より
　a1^2＋a2^2＋a3^2＋a4^2－40(a1+a2+a3+a4)＋1600＝64
　a1^2＋a2^2＋a3^2＋a4^2＝40・80－1600＋64＝1664
同様に (4) より
　b1^2+b2^2+b3^2+b4^2+b5^2+b6^2＝60・180－5400＋150＝5550
よって、
　a1^2＋a2^2＋a3^2＋a4^2+b1^2+b2^2+b3^2+b4^2+b5^2+b6^2＝7214
平均は 721.4→721　・・・ソ

分散を求めるために
　Ａ＝(a1－26)^2＋・・・＋(a4－26)^2＋(b1－26)^2＋・・・＋(b6－26)^2
を求めます。
　Ａ＝(a1^2＋a2^2＋a3^2＋a4^2+b1^2+b2^2+b3^2+b4^2+b5^2+b6^2)－52(a1+a2+a3+a4+b1+b2+b3+b4+b5+b6)＋10・676
　　＝7214－52・260＋6760＝454
分散は　45.4→45　・・・タ

No.48256 - 2018/01/25(Thu) 21:08:13

☆ Re: データの問題教えてください！ / マキ

返信遅れました…
有難うございます！！！！！理解できました！

No.48334 - 2018/01/26(Fri) 23:18:49

★ (No Subject) / 新太

以下の問題をお願いします。

7で割ると4余り、8で割ると5余る自然数のうち3桁のものは何個か。
また、その中で最大の数は？

No.48253 - 2018/01/25(Thu) 20:13:59

☆ Re: / らすかる

「7で割ると4余り、8で割ると5余る3桁の自然数」
＝「7で割ると4余り、8で割ると5余る100以上999以下の数」
これに3を足すと
「7でも8でも割り切れる103以上1002以下の数」
＝「103以上1002以下の56の倍数」
1002÷56=17.…なので1002以下の56の倍数は17個
102÷56=1.…なので102以下の56の倍数は1個
よって103以上1002以下の56の倍数は17-1=16個なので
元の問題の個数も16個
また56×17-3=949なので、条件を満たす最大の数は949

No.48255 - 2018/01/25(Thu) 20:56:24

☆ Re: / らん

なぜ、3を足すのですか？>_<
あと、3を足した結果なぜ7でも8でも割り切れる、のですか？

No.48261 - 2018/01/25(Thu) 22:17:43

☆ Re: / らすかる

7で割ると4余る数は
7k+4 と表せますね。
これに3を足すと
7k+4+3=7k+7=7(k+1)ですから
7で割り切れます。
同様に8で割ると5余る数も3を足せば
8k+5+3=8k+8=8(k+1)ですから
8で割り切れます。

No.48267 - 2018/01/25(Thu) 23:34:26

☆ Re: / らん

ありがとうございます‼‼助かりました‼

No.48273 - 2018/01/25(Thu) 23:56:49