ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / あーー

➀でバーンサイドの定理もどきで16を導いたのですが
?Aの分母はなぜ15なのですか？？(上の16を用いて解けますか？使わない解き方はおそらく理解できてるはずです)

No.48464 - 2018/01/31(Wed) 18:06:03

☆ Re: / らすかる

16通りのうち180°回転対称であるパターンは
○×△○×△と○△×○△×の2通りであり、
それらの確率が他のパターンの確率の1/2倍ですから、
(16-2)x+2(1/2)x=1からx=1/15と求まります。
つまり、○×△○×△と○△×○△×の確率は1/30ずつ、
他の14通りの確率は1/15となります。
そして同じ玉が隣り合わないのが
○×○△×△、○△○×△×、○×△○△×、
○×△○×△、○△×○△×
の5通りであり、1行目の3通りが1/15ずつ、
2行目の2通りが1/30ずつなので
(1/15)×3+(1/30)×2=4/15となります。

No.48481 - 2018/01/31(Wed) 22:54:44

☆ Re: / あーー

返信遅くなり申し訳ありません！理解できました！ありがとうございました！！

No.48593 - 2018/02/05(Mon) 16:50:53

★ 二次関数と放物線に関する質問 / 財布

黒のアンダーラインを引いてある部分がどうやって求めているのかさっぱり分かりません。分かりやすく教えてくださるかたいらっしゃいませんか？よろしくお願いいたします。

No.48463 - 2018/01/31(Wed) 15:21:07

☆ Re: 二次関数と放物線に関する質問 / ヨッシー

x=(1/4c)y^2 と書くと、ｘがｙの関数とみなせます。
　ｙ＝(1/4c)ｘ^2
のグラフを、横向けたようなグラフで、図の通りです。

　ｙ＝(1/4c)ｘ^2
をｘで微分すると
　ｙ’＝(1/2c)ｘ
であり、これは、ｘ座標ｘの点における接線の傾きが (1/2c)ｘ
であることを表します。
これの、ｘとｙが入れ替わっただけです。

No.48466 - 2018/01/31(Wed) 18:06:59

☆ Re: 二次関数と放物線に関する質問 / 財布

ご丁寧にありがとうございました。感謝しています。また機会がありましたらよろしくお願いいたします。

No.48473 - 2018/01/31(Wed) 21:07:38

★ 大阪桐蔭過去問 / 中三

この問題の2?Aの解き方が悔しいながらわかりません。

No.48460 - 2018/01/31(Wed) 13:56:46

☆ Re: 大阪桐蔭過去問 / らすかる

内接球の半径が求められたということは
三角錐B-ACFの体積と△ACFの面積は求まっていますよね？
そうしたら
(△ACFの面積)×(三角錐B-ACFの高さ)÷3=(三角錐B-ACFの体積)
から三角錐B-ACFの高さが得られ、
平面ACFから平面LMNまでの距離は
(三角錐B-ACFの高さ)÷2
内接球の中心から切断面までの距離は
(平面ACFから平面LMNまでの距離)-(内接球の半径)
切断面の半径の2乗は
(内接球の半径)^2-(内接球の中心から切断面までの距離)^2
切り口の面積は
π(切断面の半径の2乗)
で出ると思います。

計算に自信がありませんが
?@の答えは(3√2-2√3)/2 (cm)
?Aの答えは(16-6√6)π/9 (cm^2)
となりました。

No.48461 - 2018/01/31(Wed) 15:15:00

☆ Re: 大阪桐蔭過去問 / 中三

解答ありがとうございます。
私もらすかるさんと全く同じ解答でした。?@は私もわかったのですが、?Aは何度解いても答えと合致しませんでした。
答えは私のうろ覚えですが、たぶん(16-6√6)π/9ではなかったと思います。しかし、勝手な思い込みかもしれないんで明日問題の提供者の友達のもう一度確認してみます。友達の持っている問題集の答えそのものが印刷ミスの可能性も考えられます。
丁寧にありがとうございました。
因みに私は{2(内接球の半径)-(平面ACFから平面LMNまでの距離)}×(平面ACFから平面LMNまでの距離)=(切断面円の半径)²
を利用して解きました。

No.48469 - 2018/01/31(Wed) 20:16:52

★ 東京大学過去問 / 勉強男

大問４「２」についての質問です
（?C）で
ｎ-１回投げて、少なくとも１回表が出て書かれる文字がn個以上になり、左からn-1番目がＢで、かつＮ番目がＢである確率が

[（1-Pn-1）-1/2^n-1]*1/2とありますがこの部分がいまいちわかりません（1-Pn-1）-1/2^n-1は何を表しているのですか？

No.48456 - 2018/01/31(Wed) 12:13:09

☆ Re: 東京大学過去問 / 勉強男

その２です

No.48457 - 2018/01/31(Wed) 12:14:04

☆ Re: 東京大学過去問 / 勉強男

３です

No.48458 - 2018/01/31(Wed) 12:14:53

★ 東京大学過去問質問 / 勉強男

大問２において絶対値1/2a>=1かつa=0でないから
-1/2<=a<0または　0<a<=1/2と計算していますが、
絶対値1/2a>=1を計算すると1/2a>=1,1/2a<=-1となり計算すると1/2>=a,-1/2>=aとなりますよね。ひっかかっているのが答えの　-1/2<=aの部分で自分が絶対値の計算を上記のようにすると,-1/2>=aとなってしまいます。どういった計算をして解答のような答えをだしているのでしょうか？

解答よろしくお願いします

No.48452 - 2018/01/31(Wed) 12:04:03

☆ Re: 東京大学過去問質問 / 勉強男

写真１です

No.48453 - 2018/01/31(Wed) 12:05:46

☆ Re: 東京大学過去問質問 / 勉強男

写真２です

No.48454 - 2018/01/31(Wed) 12:06:49

☆ Re: 東京大学過去問質問 / 勉強男

写真３です

No.48455 - 2018/01/31(Wed) 12:07:54

☆ Re: 東京大学過去問質問 / X

数学Iに戻って、分数に変数を含むような不等式の
解法の復習をしましょう。

1/(2a)≧1 (A)
1/(2a)≦-1 (B)
とします。
(A)より
a/2≧a^2かつa≠0
a(a-1/2)≦0かつa≠0
∴0＜a≦1/2
(B)より
a/2≦-a^2かつa≠0
a(a+1/2)≦0かつa≠0
-1/2≦a＜0
となります。

No.48462 - 2018/01/31(Wed) 15:18:04

☆ Re: 東京大学過去問質問 / 勉強男

理解できましたありがとうございます

No.48465 - 2018/01/31(Wed) 18:06:22

★ (No Subject) / iM

ある参考書の中間値の定理を使う問題で

関数y=3^x-7x+2が連続であることを言うために

y=3^xは指数関数で連続、y=-7x+2は一次関数で連続だから
それらを加えたy=3^x-7x+2は連続。

という記述がされていて、「連続なグラフどうしを足したり、引いたり、掛けたりしたグラフは連続」という説明がされていたのですが、なぜそうなるのでしょうか。

No.48448 - 2018/01/31(Wed) 10:30:53

☆ Re: / X

例えばf(x),g(x)がx=aで連続であるとすると
連続の定義により
lim[x→a]f(x)=f(a) (A)
lim[x→a]g(x)=g(a) (B)
(A)(B)により
lim[x→a]{f(x)+g(x)}=f(a)+g(a)
lim[x→a]{f(x)g(x)}=f(a)g(a)
∴f(x)+g(x),f(x)g(x)もx=aで連続。
後はaを任意の実数で考えます。

No.48450 - 2018/01/31(Wed) 11:46:31

☆ Re: 累乗根の単元について / iM

なるほど、、
理解できました！ありがとうございます！

No.48459 - 2018/01/31(Wed) 12:50:51

★ 高３です / りん

赤で書いているところの解き方を教えてください！

No.48443 - 2018/01/30(Tue) 22:59:19

☆ Re: 高３です / X

問題文の頭の部分が添付された画像から
切れていませんか？
f[0](x)
に対する条件が見当たりません。

No.48444 - 2018/01/30(Tue) 23:26:18

☆ Re: 高３です / りん

f(０)(X)=1　(０≦X≦π/2)
がありました！すみませんお願いします

No.48449 - 2018/01/31(Wed) 11:34:53

☆ Re: 高３です / X

条件から
c[1]=∫[0→π/2]f[0](x)sinxdx (A)
(A)において、積分範囲が
x:0→π/2
ゆえ、
f[0](x)=1
を代入することができ
c[1]=∫[0→π/2]sinxdx=1
となります。

No.48451 - 2018/01/31(Wed) 11:49:37

★ 何度も申し訳ないです / 受験勉強

この四角柱の高さはどう見ますか？
三平方の定理は関係ない…のか？

No.48441 - 2018/01/30(Tue) 21:54:28

☆ Re: 何度も申し訳ないです / らすかる

質問の意味がわかりません。
もし「高さはどう見ますか」が
「高さは図でどこにあたりますか」という意味なら
「四角柱の高さ」＝「立面図の二等辺三角形の高さ」
ですが、多分そんなことは聞いてないですよね？

No.48445 - 2018/01/31(Wed) 00:02:34

☆ Re: 何度も申し訳ないです / IT

それは四角錐だと思いますが、

なぜか白く消してある２箇所の寸法を使うのでは？
だとすると三平方の定理を使えば計算できますが、

No.48446 - 2018/01/31(Wed) 07:21:01

★ (No Subject) / ゆい

確率のpcの見分けを教えてください

No.48439 - 2018/01/30(Tue) 21:46:52

☆ Re: / 中三

順列と組み合わせのことですか？
どちらも「選ぶ」ことに変わりはありませんが、Pは順番も関係するのに対してCは順番は関係しません。
問題文の条件からどちらが適切なのかはわかると思います

No.48471 - 2018/01/31(Wed) 21:04:07

★ お願いします。 / 宮水

aを実数とするxの二次関数y＝x^2－ax＋(1/4)a^2＋a－6のグラフをGとする

放物線Gが、x軸のx>1の部分と異なる2点で交わるようなaの値の範囲はナ√ニ<a<ヌである

また、点(p,q)を通る放物線Gが１つだけになるためのp,qに関する条件は
q＝ネp－ノであり、このとき、aをpで表すとa＝ハp－ヒである。

No.48436 - 2018/01/30(Tue) 13:08:34

☆ Re: お願いします。 / X

前半)
条件からxの二次方程式
x^2-ax+(1/4)a^2+a-6=0 (A)
はx＞1なる異なる2つの実数解を持つ
ことになります。
よって(A)の解をα、βとすると
解と係数の関係により
α+β=a＞1 (B)
αβ=(1/4)a^2+a-6＞1 (C)
又、(A)の解の判別式をDとすると
D=a^2-4{(1/4)a^2+a-6}＞0 (D)
(B)(C)(D)を連立して解きます。

後半)
題意を満たすためには問題の二次関数に
(x,y)=(p,q)
を代入して得られる等式
p^2-ap+(1/4)a^2+a-6=q (F)
をaの二次方程式と見たときに重解を
持てばよいことになります。
このことから(F)の解の判別式に
対する条件を使い、p,qの間に
成り立つ条件式を導きます。

No.48437 - 2018/01/30(Tue) 13:31:34

★ (No Subject) / 宮水

この問題の、レロ以降を解説お願いします。

No.48435 - 2018/01/30(Tue) 13:02:22

☆ Re: / ヨッシー

△ＡＢＤ∽△ＡＰＢ　より
　ＡＢ：ＡＰ＝ＡＤ：ＡＢ
から、
　ＡＤ×ＡＰ＝ＡＢ^2＝３６　・・・レロ

Ｄの最小はＤがＢＣの中点に来たときで、そのとき　ＡＤ＝√11
よって、　√11＜ＡＤ＜６
の範囲で、ＡＤが３６の約数になるのは　ＡＤ＝４　・・・あ

このとき、
　ＡＰ＝９，ＤＰ＝５
ＢＤ＝ｘとおくと
　ＢＰ＝3x/2
△ＡＢＤ∽△ＣＰＤ　より
　ＣＰ＝ＡＢ×ＤＰ／ＢＤ＝30/x
ＢＣの中点をＭとすると、
　ＡＭ＝√11、ＤＭ＝√5、ＢＤ＝ｘ＝5－√5
から
　1/x＝(5＋√5)/20
　ＣＰ＝(3/2)(5＋√5)
よって、
　ＢＰ＋ＣＰ＝(3/2)(5－√5)＋(3/2)(5＋√5)＝１５　・・・いう

△ＢＰＣの面積をＳとすると、求める内接円の半径ｒは
　ｒ＝２Ｓ／(ＢＰ＋ＣＰ＋ＢＣ)＝２Ｓ／２５
で求められます。
　sin∠ＢＰＣ＝sin(2×∠ＡＢＣ)＝5√11/18
　Ｓ＝(1/2)ＢＰ・ＣＰsin∠ＢＰＣ
　　＝(1/2)45・5√11/18
　　＝25√11/4
よって、
　ｒ＝25√11/4×2/25＝√11/2　・・・えおか

No.48447 - 2018/01/31(Wed) 10:20:21

★ (No Subject) / ふーみん

至急、この証明を教えてください。お願いします

No.48430 - 2018/01/30(Tue) 06:53:03

☆ Re: / ヨッシー

(1)
ｙ＝１／ｘのグラフ上で、ｘ＝ｋ，ｘ＝ｋ＋１の部分を考えます。

ｙ＝１／ｘのグラフは単調減少なので、上のようなグラフになります。
　赤の面積＝1/(k+1)
　（赤＋青）の面積＝∫[k～k+1](1/x)dx
　（赤＋青＋黄）の面積＝1/k
よって、
　1/(k+1)＜∫[k～k+1](1/x)dx＜1/k
(2)
　1/(k+1)＜∫[k～k+1](1/x)dx＜1/k
は、
　1/(k+1)＜log(k+1)－log(k)＜1/k
と書けます。これに、k=1からk=n までを当てはめると
　1/2＜log(2)－log(1)＜1
　1/3＜log(3)－log(2)＜1/2
　　・・・
　1/n＜log(n)－log(n-1)＜1/(n-1)
　1/(n+1)＜log(n+1)－log(n)＜1/n
辺々足すと
　1/2＋1/3＋・・・＋1/(n+1)＜log(n+1)＜1＋1/2＋・・・＋1/n　・・・(i)
また、n-1 式目までを足すと
　1/2＋1/3＋・・・＋1/n＜log(n)＜1＋1/2＋・・・＋1/(n-1)　・・・(ii)
(i) より
　log(n+1)＜1＋1/2＋・・・＋1/n
log(n)＜log(n+1) より
　log(n)＜1＋1/2＋・・・＋1/n
(ii) より
　1/2＋1/3＋・・・＋1/n＜log(n)
両辺１を加えて
　1＋1/2＋1/3＋・・・＋1/n＜1＋log(n)
以上より
　log(n)＜1＋1/2＋・・・＋1/n＜1＋log(n)

No.48431 - 2018/01/30(Tue) 09:47:00

☆ Re: / X

(1)の別解

条件から平均値の定理により
1/c=∫[k→k+1](dx/x) (A)
k＜c＜k+1 (B)
なるcが存在します。
(B)より
1/(k+1)＜1/c＜1/k
これに(A)を代入して
1/(k+1)＜∫[k→k+1](dx/x)＜1/k

…ですが問題を図形的な意味から理解するためには
ヨッシーさんの解答の方が的確だと思います。

No.48434 - 2018/01/30(Tue) 12:04:29

★ 高３です / りん

(３)この書き方はどういう表示ですか？
どのようにときますか？

No.48423 - 2018/01/29(Mon) 20:11:01

☆ Re: 高３です / りん

すみません問題です

No.48424 - 2018/01/29(Mon) 20:12:50

☆ Re: 高３です / ヨッシー

(3)が見当たりません。

No.48426 - 2018/01/29(Mon) 21:52:47

☆ Re: 高３です / りん

まちがえました！これです

No.48427 - 2018/01/29(Mon) 21:52:49

☆ Re: 高３です / IT

よく見えませんが、「行列」のようですね。
現在の課程では、「行列」は習わないので出題されないのでは？　何年度の過去問ですか？（旧課程(2014年以前）では？）

No.48428 - 2018/01/29(Mon) 22:41:47

☆ Re: 高３です / りん

> よく見えませんが、「行列」のようですね。
> 現在の課程では、「行列」は習わないので出題されないのでは？　何年度の過去問ですか？（旧課程(2014年以前）では？）

そうです。2010年度のものです。
初めてみたので焦りました。よかったです

No.48433 - 2018/01/30(Tue) 11:49:06

★ つまり？ / 受験勉強

x軸について対照、という場合にはどういう座標関係になるんですか？

No.48421 - 2018/01/29(Mon) 19:59:08

☆ Re: つまり？ / 受験勉強

例えば(t、-2t+4)
の場合などです

No.48422 - 2018/01/29(Mon) 20:02:53

☆ Re: つまり？ / IT

x軸について対称　ですね。
x座標は等しく、y座標は　-１を掛けた値になります。

(t、-2t+4)　と　x軸について対称な点は(t, 2t-4) です。
図を描いて確認してください。

No.48425 - 2018/01/29(Mon) 20:32:52

★ 確率の問題です / マキ

これの、「えお」は
(8!/4!×4!)－2
以外に計算法はありますか？
また、答えを出すのに早い方法は何ですか？

あと、そ/すせ
が分かりません。解説お願いします。

No.48413 - 2018/01/29(Mon) 18:00:11

☆ Re: 確率の問題です / マキ

すみません、問題はこれです

No.48414 - 2018/01/29(Mon) 18:00:50

☆ Re: 確率の問題です / ヨッシー

多分、一番早いのは、ご自分で書かれた、8Ｃ4－2＝68 でしょう。
他の方法としては
　Ｃを通る：4Ｃ3×4Ｃ1＝16
　Ｄを通る：4Ｃ2×4Ｃ2＝36
　Ｅを通る：4Ｃ1×4Ｃ3＝16
　16＋36＋16＝68
という方法や、図に数字を書いていく方法などあります。

Ｄを通る方法は上記の通り36通り。
Ｆを通る方法は
　6Ｃ3×2Ｃ1＝40（通り）
Ｄ，Ｆの両方通るのは、先に求めた通り 24通り。
Ｄ、Ｆの一方のみ通る方法は
　36＋40－24×2＝28
確率は　28/68＝7/17
となります。

No.48418 - 2018/01/29(Mon) 18:23:17

★ 解説お願いします。 / マキ

二次関数y＝x^2＋2ax＋bのグラフは
頂点が直線y＝－x－4上にある
また、点(1,1)を通る。

この時、a＝ア又はイウである。

No.48412 - 2018/01/29(Mon) 17:24:19

☆ Re: 解説お願いします。 / ヨッシー

頂点　(-a, b－a^2) が直線ｙ＝－ｘ－４上にあることから
　b-a^2＝a－4　・・・(1)
(1,1) を通ることから
　1＝1^2＋2a＋b　・・・(2)
(1)(2) を解いて
　ａ＝１または－４

No.48416 - 2018/01/29(Mon) 18:05:51

★ のんたいとる / 受験勉強

2から始まる連続する自然数nの偶数の和について、
正直訳がわからないのですが

偶数の個数偶数のわ
1個 2=1^2+2
2 2+4=2^2+2
3 2+4+6=3^2+3
n 2+4+……2n=n^2+n

が成り立つ訳を奇数がnこの時奇数の和はn^2というものを元に説明して頂きたいです。お願い致します

No.48411 - 2018/01/29(Mon) 17:12:01

☆ Re: のんたいとる / ヨッシー

1=1^2
1+3=2^2
1+3+5=3^2
・・・
1+3+5+・・・+(2n-1)＝n^2
これが、奇数の和です。
偶数の和は
2＝(1+1)＝＝(1)+(1)=1^2＋1
2+4=(1+1)+(3+1)＝(1+3)+(1+1)＝2^2＋2
2+4+6=(1+1)+(3+1)+(5+1)=(1+3+5)+(1+1+1)=3^2+3
　・・・
2+4+6+・・・+2n=(1+1)+(3+1)+(5+1)+・・・+{(2n-1)+1}
　＝{1+3+5+・・・+(2n-1)}+(1+1+1+・・・+1)＝n^2+n
のようになります。

No.48415 - 2018/01/29(Mon) 18:01:08

★ 至急 / ken

この問題の解き方がわかりません。教えて欲しいです。

∫(2x+1)/(x^2+4x+5)dx

No.48406 - 2018/01/29(Mon) 15:32:24

☆ Re: 至急 / らすかる

(x^2+4x+5)'=2x+4なので
(2x+1)/(x^2+4x+5)=(2x+4)/(x^2+4x+5)-3/(x^2+4x+5)と分ければ
∫(2x+4)/(x^2+4x+5)dx=log(x^2+4x+5)+C1
(-3)∫1/(x^2+4x+5)dx=(-3)∫1/{(x+2)^2+1}dx=-3arctan(x+2)+C2
とできますね。

No.48407 - 2018/01/29(Mon) 16:43:48