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★ 至急お願いします / ひろ
にじゅうせきぶんが　なぜこうなるかわかりません
No.48403 - 2018/01/29(Mon) 06:12:37
★ (No Subject) / りん
数３の体積を求める問題です
体積はπy2を積分するのではないのですか？
()全体を二乗しませんか？
No.48400 - 2018/01/29(Mon) 01:18:27
☆ Re: / りん
> 数３の体積を求める問題です
> 体積はπy2を積分するのではないのですか？
> ()全体を二乗しませんか？

すみませんgxについての質問です
お願いします
No.48401 - 2018/01/29(Mon) 01:19:28
☆ Re: / ヨッシー
> ()全体を二乗しませんか？
しません。


超単純な例で、かえって戸惑うかも知れませんが、
ｙ＝２、ｙ＝４およびｘ＝１、ｘ＝５ で挟まれた部分を、
ｘ軸回りに回転させた立体の体積の場合、
底面積は　４^2π−２^2π　であって、
（４−２）^2π　ではないのと同じです。
No.48405 - 2018/01/29(Mon) 11:08:27
☆ Re: / りん
> > ()全体を二乗しませんか？
> しません。
>
>
> 超単純な例で、かえって戸惑うかも知れませんが、
> ｙ＝２、ｙ＝４およびｘ＝１、ｘ＝５ で挟まれた部分を、
> ｘ軸回りに回転させた立体の体積の場合、
> 底面積は　４^2π−２^2π　であって、
> （４−２）^2π　ではないのと同じです。

とても分かりやすいです
ありがとうございました！
No.48420 - 2018/01/29(Mon) 19:57:58
★ Re: / 高3
正ｎ角形の頂点を時計回りにA1,A2...Anとしたとき
A3A4とA2A5は平行になりますか？なんとなく平行な気もしますし、いやそれは錯覚で、平行でない気もします。どちらなのでしょうか？証明できれば確信できるのですが、証明する方法はありますでしょうか？
よろしくお願いします
No.48399 - 2018/01/29(Mon) 00:15:37
☆ Re: / らすかる
外接円を描くと円周角から∠A3A4A2=∠A4A2A5なので平行と言えますね。
No.48402 - 2018/01/29(Mon) 02:01:28
☆ Re: / 高3
遅くなりました。良く分かりました。回答ありがとうございました！
No.48608 - 2018/02/06(Tue) 16:00:10
★ (No Subject) / 中三
?@
3N+1=M・2^a
3M+1=N・2^b
N,M,a,bをそれぞれ異なる自然数として、これらを満たすN,M,a,bは存在しますか？
?A
3N-1=M・2^a
3M-1=N・2^b
N,M,a,bをそれぞれ異なる自然数として、これらを満たすN,M,a,bは存在しますか？
No.48390 - 2018/01/28(Sun) 18:50:23
☆ Re: / らすかる
?@
N=1とすると3N+1=M・2^aからM・2^a=4なので(M,a)=(1,2),(2,1)だが
MまたはaがNと等しくなり不適、よってN＞1。
3(3N+1)+2^a=3M・2^a+2^a=(3M+1)・2^a=N・2^(a+b)
N{2^(a+b)-9}=2^a+3
N＞1なので 2^(a+b)-9＜2^a+3
∴2^a(2^b-1)＜12
また2^(a+b)-9＞0からa+b≧4
この2式を満たす自然数(a,b)（a≠b）の組は(a,b)=(3,1)のみ。
しかしこのときN=11/7となり不適。よって解なし。

?A
3(3N-1)-2^a=3M・2^a-2^a=(3M-1)・2^a=N・2^(a+b)
N{9-2^(a+b)}=2^a+3 … (1)
9-2^(a+b)＞0からa+b≦3
これを満たす(a,b)（a≠b）の組は(1,2)(2,1)のみ。
(a,b)=(1,2)のとき(1)からN=5、元の式からM=7
(a,b)=(2,1)のとき(1)からN=7、元の式からM=5
よって答えは(N,M,a,b)=(5,7,1,2),(7,5,2,1)
No.48391 - 2018/01/28(Sun) 20:05:49
☆ Re: / IT
（?@の少し違う解答）本質的にはらすかるさんのと変わらないと思いますが、参考までに書き込みます。
N＞M としても一般性を失わない。このときa＞b.
元の連立方程式からMを消去して整理すると、N(2^(a+b)-9)=2^a+3.

2^(a+b)-9＞1より, a+b≧4…(1)
Nは3以上の奇数なので,2^(a+b)-9≦(2^a+3)/3＜2^(a-1)+1
よって,(2^(a-1))(2^(b+1)-1)＜10…(2)
a≧2なので,2^(a-1)≧2.
b＝1のとき,(1)よりa≧3 (2)の左辺≧12 となり不適.
b≧2のとき,2^(b+1)-1≧7なので　(2)の左辺≧14 となり不適.

したがって解なし。
No.48392 - 2018/01/28(Sun) 20:41:12
☆ Re: / 中三
返信ありがとうございます！
?@の解が存在しないことどのようにして証明すればよいかわかりませんでした。
この証明によりコラッツ予想で循環するような数が存在しないことが証明されましたか？(ただし1→4→2→1は除く)

というかコラッツ予想はすでに証明されているのですか？インターネット上で証明らしきものがいろいろありますが、modなんとかとか自分の知らない記号がたくさん出てきたりして理解ができません。(これは自分の知識不足です)
やはり難しい記号や数式を使わないと証明できないものなのでしょうか？らすかるさんのようなすごい方ならとっくに証明できてるように思えるのですが。
No.48393 - 2018/01/28(Sun) 20:46:47
☆ Re: / 中三
ITさん
別解答ありがとうございます！
No.48394 - 2018/01/28(Sun) 20:49:54
☆ Re: / らすかる
これだけではコラッツ予想の証明にはほど遠いと思います。
コラッツ予想が証明されたという話は聞きませんので
まだ証明されていないでしょう。
No.48395 - 2018/01/28(Sun) 21:04:03
☆ Re: / 中三
らすかるさんへ
そうですか、まだ証明されていないんですね。
?@の式に解が存在しないことだけでは、「コラッツ予想において循環する数が存在しない」ということをいうには不十分なのかどうか教えていただけないでしょうか？
それと、コラッツ予想ではなぜ3をかけて1を足すのかずっと疑問に思います。別に「偶数ならば2でわる、奇数ならば1を足して2で割る」という操作の繰り返しでも1に収束するのではないでしょうか？
3N+1にこだわるなら、3以外の奇数では1に収束しない反例があるということでしょうか？
No.48396 - 2018/01/28(Sun) 21:40:04
☆ Re: / らすかる
> ?@の式に解が存在しないことだけでは、「コラッツ予想において
> 循環する数が存在しない」ということをいうには不十分なのかどうか

3O+1=M*2^a, 3M+1=N*2^b, 3N+1=O*2^c とか
3Q+1=M*2^a, 3M+1=N*2^b, 3N+1=O*2^c, 3O+1=P*2^d, 3P+1=Q*2^e など
パターンが無限にありますので、
このうち有限個を証明してもコラッツ予想の証明には全くならないですね。

> なぜ3をかけて1を足すのか

それがなぜかは存じませんが（コラッツさんがふと思いついただけの気がしますが）、
「3」が他の奇数の場合については
1だと成り立つことが容易に証明できて
5以上だと一般に成り立たないようです(Wikipediaに書いてあります)ので
aが自然数でan+1の形ならばa=3でないと問題にならないですね。
No.48398 - 2018/01/28(Sun) 22:19:00
☆ Re: / 中三
ありがとうございます。
2つだけでなく、もっと複雑な循環があるかもしれませんので、2つや3つを証明しても全く無効果ですね。
循環する数列がないことを証明するのは不可能なので、もっと別のコラッツ予想の証明方法がいずれ見つかることを望みます。
No.48410 - 2018/01/29(Mon) 17:09:28
★ (No Subject) / そぼろ
度々申し訳ございません。
∭[D]z/√(x^2+y^2+z^2)dxdydz
D=0<x^2+y^2+z^2≦4 z≧0
この３重積分の答えが合わないです。
答えは(8/3)π　となっています。
途中式の記述だけでいいのでお願いします
No.48388 - 2018/01/28(Sun) 17:45:58
☆ Re: / X
球座標に変換すると
D={(r,θ,φ):0＜r≦2,0≦θ≦2π,0≦φ≦π/2}
でヤコビヤンは(r^2)sinφゆえ
(与式)=∫[r:0→2]∫[θ:0→2π]∫[r:0→π/2]{(rcosφ){(r^2)sinφ}/(r^2)}dφdθdr
=∫[r:0→2]∫[θ:0→2π]∫[r:0→π/2](rcosφsinφ)dφdθdr
=∫[r:0→2]∫[θ:0→2π]∫[φ:0→π/2]{(1/2)rsin2φ}dφdθdr
=(1/6)・(2^3)・2π∫[φ:0→π/2]sin2φdφ
=(8π/3)[-(1/2)cos2φ][φ:0→π/2]
=8π/3
No.48389 - 2018/01/28(Sun) 18:23:43
★ (No Subject) / トム
⑶の解き方が分かりません。
とりあえず一回全て計算してみてから微分したら、答えはあっていましたが、解答の解き方とは違っていました。
解答の解き方の説明をお願いします
No.48384 - 2018/01/28(Sun) 16:55:41
☆ Re: / トム
これが問題です
No.48385 - 2018/01/28(Sun) 16:59:16
☆ Re: / トム
これが解答です
No.48386 - 2018/01/28(Sun) 16:59:55
☆ Re: / らすかる
解答では積の微分の公式 {f(x)g(x)} ’=f ’(x)g(x)+f(x)g ’(x) を使っています。
この解答ではf(x)=2x-1,g(x)=(x-2)^2です。
No.48387 - 2018/01/28(Sun) 17:26:06
★ 教えてください / 受験勉強
いっぺんが6cmの立方体があり、
pはgからhにいき、hについたらgに戻ってきます。
qはGFEまで動きます。 両方秒速1cmです。
CPイコールＰＱとなるのは何秒ごか、求め方を教えてください
No.48377 - 2018/01/28(Sun) 13:41:55
☆ Re: 教えてください / らすかる
経過時間をt(秒)として
CP=
√(t^2+36)　（0≦t≦6）
√{(12-t)^2+36}　（6＜t≦12）
PQ=
(√2)t　（0≦t≦6）
2√{(t-9)^2+9}　（6＜t≦12）
0≦t≦6 のとき CP^2=PQ^2 から t^2+36=2t^2
これを解いて t=6
6＜t≦12 のとき CP^2=PQ^2 から (12-t)^2+36=4{(t-9)^2+9}
これを解いて t=10
従って答えは 6秒後と10秒後
No.48380 - 2018/01/28(Sun) 14:21:30
★ 綺麗な図です / 受験勉強
半径12cm 中心角90度の扇型ＯＡＢがある。
こABを3当分してＯＰ ＯＱをひいたとき
赤い部分の面積の求め方を教えてください
No.48375 - 2018/01/28(Sun) 13:04:39
☆ Re: 綺麗な図です / 受験勉強
一応、県立の過去問です。
No.48376 - 2018/01/28(Sun) 13:05:26
☆ Re: 綺麗な図です / らすかる
赤＋青ですか？
それとも赤だけですか？
No.48379 - 2018/01/28(Sun) 14:05:56
☆ 綺麗な図ですね………！ / 受験勉強
赤だけです！
No.48381 - 2018/01/28(Sun) 14:29:13
☆ Re: 綺麗な図です / らすかる
円O'の周とOP,OQとの交点をC,Dとすると
△OCD=△O'CDなので
(求める部分の面積)=(扇形OPQ)-(扇形O'CD)
=12π-6π
=6π
No.48382 - 2018/01/28(Sun) 14:39:03
☆ Re: 綺麗な図です / 受験勉強
無知で申し訳ないです、
なぜ同じ面積になるんですか？
No.48408 - 2018/01/29(Mon) 17:01:37
☆ Re: 綺麗な図です / 受験勉強

もう一つお願い致します、
扇型ＯCDはなぜわかったのでしょうか。
No.48409 - 2018/01/29(Mon) 17:04:39
☆ Re: 綺麗な図です / 中三
扇形OCDはO´CDと解釈します。

らすかるさんの図を使わせていただきます。
No.48417 - 2018/01/29(Mon) 18:05:56
☆ Re: 綺麗な図です / 受験勉強
あああぁぁあ！
なるほど理解できました。ありがとうございます
No.48419 - 2018/01/29(Mon) 18:29:15
★ 高１確率 / りあ
p枚の100円玉と(p+1)枚の500円玉を同時に投げた時、表が出た500円玉の枚数より表が出た100円玉の枚数の方が多い確率を求めよ。

05京大後期理系の改題です。500円玉の枚数の方が多い確率は1/2であることは理解しました。

よろしくお願いします。
No.48372 - 2018/01/28(Sun) 09:36:30
☆ Re: 高１確率 / らすかる
両方とも表がn枚になる確率は
pCn/2^p・(p+1)Cn/2^(p+1)
なので、表の枚数が等しくなる確率は
Σ[n=0〜p]pCn/2^p・(p+1)Cn/2^(p+1)
=(2p+1)Cp/2^(2p+1)
よって100円玉の枚数の方が多くなる確率は
1/2-(2p+1)Cp/2^(2p+1)
No.48374 - 2018/01/28(Sun) 11:36:43
☆ Re: 高１確率 / IT
(別解)
まず,赤コインはすべて表に、青コインはすべて裏にしておく。
（赤コインの表の枚数-青コインの表の枚数=p）
すべての事象は、各コインについてそのままか反転するかなので2^(2p+1)とおり 。
コインを１枚反転すると「赤コインの表の枚数-青コインの表の枚数」が１減少する。

表が出た青コインの枚数より表が出た赤コインの枚数の方が多いのは、
反転するコインが0枚からp-1枚の場合である。
この場合の数をN(p)とすると,N(p)=?納i=0,p-1]C(2p+1,i).

ここで,2^(2p+1)=(1+1)^(2p+1)=?納i=0,2p+1]C(2p+1,i)=2?納i=0,p]C(2p+1,i)=2?納i=0,p-1]C(2p+1,i)+2C(2p+1,p)

よって,N(p)={2^(2p+1)-2C(2p+1,p)}/2.
求める確率は,N(p)/2^(2p+1)=(1/2) - C(2p+1,p)/2^(2p+1).
----------------------------------------------------------------------------------------
(別解２）
(x)={(1+x)^p}(1+1/x)^(p+1) を展開したときの係数を考えると
x,x^2,x^3,...,x^pの係数の和をaとおくと、求める確率はa/{2^(2p+1)}である。 （説明が必要ですが省略）

f(x)={(1+x)^(2p+1)}(1/x)^(p+1)なので
a=(1+x)^(2p+1) を展開したときのx^(p+2),x^(p+3),...,x^(2p+1)の係数の和
＝{(1+1)^(2p+1)-2C(2p+1,p)}/2 。

よって求める確率は(1/2)-C(2p+1,p)/{2^(2p+1)}
No.48378 - 2018/01/28(Sun) 13:49:43
★ 微分方程式 / 数弱
dx/dt+exp(t)x=exp(2t)
が分かりません、おそらく一階線形微分方程式の公式を使うと思うのですが
最終的にexp(e^t+2t)の積分を解くところで詰まってしまいます、
若しくは方針が間違っているのか、お願いいたします
No.48366 - 2018/01/28(Sun) 00:32:55
☆ Re: 微分方程式 / X
数弱さんの仰る通り
exp(e^t+2t)
の不定積分の計算は避けられないと思います。
No.48371 - 2018/01/28(Sun) 07:43:53
☆ Re: 微分方程式 / 黄桃
どこで置換するかだけの違いですけど、
dx/dt=e^t(e^t-x)なので u=e^t-x と置換して変数分離形にする方針でもできます。
No.48383 - 2018/01/28(Sun) 14:42:56
★ (No Subject) / ろん
連続で質問です。
写真の(1)の線分MDの長さについてです。
答えは√13なんですが、自分の答えは√37と出てしまいます。
解き方を教えてください。
No.48360 - 2018/01/27(Sat) 23:00:46
☆ Re: / ろん
写真を付け忘れました。
すみません
No.48361 - 2018/01/27(Sat) 23:01:33
☆ Re: / between
三角形ＯＭＤの2辺とその間の角がわかるので、余弦定理で求まります
No.48364 - 2018/01/27(Sat) 23:47:55
☆ Re: / ヨッシー
12を引かないといけないところを足していると思われます。
　
No.48432 - 2018/01/30(Tue) 10:18:14
★ 二次関数 / ろん
写真の（2）の解き方がわからないです。
答えはy=2x-4、y=4x-11です
No.48359 - 2018/01/27(Sat) 22:49:14
☆ Re: 二次関数 / between
A、Bの接線Ｌに対する接点をそれぞれｓ、ｔとしてそれぞれの接線を求めます。それらの接線は等しいので、係数比較してｓ、ｔが求まるので方程式も求めります
No.48365 - 2018/01/27(Sat) 23:50:52
★ Re: / 数学がんばりマン
m,nが自然数のとき
∫sinmxsinnxｄｘ＝０（ｍ≠ｎ）、π（ｍ≠ｎ）・・?@
∫sinmxsinnxｄｘ＝０（ｍ≠ｎ）、π/2（ｍ≠ｎ）・・?A
の?@,?Aの０、π、π/2はそれぞれ積分区間がどのようなときに成り立つものなのか知っている方いらっしゃいましたら教えてください。（sinmxがcosmxの場合やsinnxがcosnxの場合もお願いします）結果だけでかまいません。

∫sinmxsinnxｄｘ＝０（ｍ≠ｎ）は積分区間の幅が2πだと成り立つのは知っています。
No.48353 - 2018/01/27(Sat) 20:48:08
☆ Re: / らすかる
> ∫sinmxsinnxｄｘ＝０（ｍ≠ｎ）、π（ｍ≠ｎ）・・?@
これはどういう意味ですか？
m≠nのとき 0にもπにもなるのですか？？？
No.48355 - 2018/01/27(Sat) 22:10:20
☆ Re: / 数学がんばりマン
間違えました。?@、?A共に後者はｍ＝nです

よろしくお願いします
No.48363 - 2018/01/27(Sat) 23:28:03
☆ Re: / らすかる
∫(sinmx)^2dx = x/2-sin2mx/(4m)+C
なので0〜πでπ/2,0〜2πでπになりますね。
m≠nの場合は
∫sinmxsinnxdx = sin((m-n)x)/{2(m-n)}-sin((m+n)x)/{2(m+n)}+C
なので0〜kπで0になります。
よって
?@の積分区間の例は0〜2π
?Aの積分区間の例は0〜π
です。

sinとcosの場合は
∫sinmxcosmxdx = -cos2mx/(4m)+C
なので任意のm=nでπやπ/2になるような積分区間はありません。

両方ともcosの場合は
∫(cosmx)^2dx = x/2+sin2mx/(4m)+C
なのでsinのときと同じく0〜πでπ/2,0〜2πでπになります。
m≠nの場合は
∫cosmxcosnxdx = sin((m-n)x)/{2(m-n)}+sin((m+n)x)/{2(m+n)}+C
なのでこれもsinのときと同じく0〜kπで0になります。
よって結果も両方ともsinのときと同じです。
No.48367 - 2018/01/28(Sun) 02:53:07
☆ Re: / 数学かんばりまん
回答ありがとうございます。積分区間の始まりがゼロでない場合を知りたいです。つまりもう少し一般論でお願いしたいです。例えばサインとコサインの席を「区間幅」がどういうときにどういう値になるのか。など。これは積分 区間の幅が2πならいつもゼロになるとの回答があります。さいんこさいんのｘの係数は自然数とします。

よろしくお願いします
No.48368 - 2018/01/28(Sun) 03:55:13
☆ Re: / らすかる
sinmxcosmxの場合は上に書いたように不定積分結果が-cos2mx/(4m)+Cですから、
区間幅がπ/mの倍数の場合は0になりますが、それ以外の場合は区間の位置やmによって
値が変わり、mによらずに0以外の固定の値になるような積分区間はありません。

他の場合も、積分区間の始まりは0である必要はありません。
sinsinやcoscosの場合は
m=nの場合、区間幅が2πならπ、πならπ/2になります。
それ以外の区間幅の場合は区間の幅と位置によって値が変わりますが、
区間幅がkπ（kは自然数）の場合はkπ/2です。
m≠nの場合は、区間幅が2π/gcd(m+n,m-n)であるか、または
区間の先頭と末尾がπ/gcd(m+n,m-n)の倍数のときに0になります。

上記以外の一般の場合については、上に書いた不定積分の結果に積分区間を代入してご確認下さい。
No.48369 - 2018/01/28(Sun) 04:49:04
☆ Re: / 数学がんばりマン
ありがとうございます。

ｍ、ｎの値（m≠ｎ）に関係なく値が決まるような積分区間が知りたいです。

例えば先に申しあげましたようにｍ≠ｎとして
∫（区間幅２π）sinmxcosnxdx=0だけ分かっています

∫（区間幅π）sinｍｘcosnxdx=0も言えますか？（今の所０〜πなら０になるということは分かっています）

などということです。よろしくお願いします

よろしくお願いします
No.48370 - 2018/01/28(Sun) 05:48:39
☆ Re: / らすかる
m≠nの場合は
∫sinmxcosnxdx = -cos((m-n)x)/{2(m-n)}-cos((m+n)x)/{2(m+n)}+C
ですから、区間幅が2kπ/(gcd(m+n,m-n))であれば0になりますが、
区間幅πでは一般に0になりません。
> （今の所０〜πなら０になるということは分かっています）
これは間違いです。
∫[0〜π]sin3xcos2xdx = 6/5
ですから一般には0になりません。
ただし、mとnの偶奇が同じであれば、区間0〜πは上記に書いた
「区間幅が2kπ/(gcd(m+n,m-n))」を満たしますので、0になります。

「区間幅が2kπ/(gcd(m+n,m-n))」以外には、m,nの値に関係なく
値が決まるような積分区間はないと思います。
上でsinsin,coscosのときに「区間幅が2π/(gcd(m+n,m-n))」と
書いてしまいましたが、当然その倍数でも0になりますので
「区間幅が2kπ/(gcd(m+n,m-n))」に訂正します。
No.48373 - 2018/01/28(Sun) 10:46:56
★ 大学1年積分 / そぼろ
1/(1+x^2+y^2)^2
この関数をDの範囲で２重積分するのですが解き方を教えてもらえないでしょうか
D:(x^2+y^2)^2≦x^2-y^2,x≧0
No.48348 - 2018/01/27(Sat) 17:48:26
★ 数学A順列です / sai
数学A順列
解説を読んでも理解できません。解説お願いします

問)0、1、2、3、4から異なる数字を選んで作る三桁の整数は、全部で48こ
そのうち3の倍数となるものは[ ]こである

解説)0、1、2
、3、4のうち和が3の倍数になる3数の選び方は
(1)0、1、2と0、2、4
(2)1、2、3と2、3、4
(1)百の位は0ではないから各組について三桁の整数は
2×2!=4
(2)各組について三桁の整数は
3!=6
故に
4×2+6×2=20
[20]こ

質問)「和が3の倍数になる3数」で選ばれる四つの数(0からはじまる2つの3桁と残りのふたつ)はどのように選ばれるのでしょうか
No.48339 - 2018/01/27(Sat) 07:56:31
☆ Re: 数学A順列です / らすかる
0,1,2,3,4から3数を選ぶ方法とその3数の合計は
(a) 0,1,2 → 合計3
(b) 0,1,3 → 合計4
(c) 0,1,4 → 合計5
(d) 0,2,3 → 合計5
(e) 0,2,4 → 合計6
(f) 0,3,4 → 合計7
(g) 1,2,3 → 合計6
(h) 1,2,4 → 合計7
(i) 1,3,4 → 合計8
(j) 2,3,4 → 合計9
の10通りあり、このうち合計が3の倍数になるのは
合計が3,6,9になる(a)(e)(g)(j)の4つなので
0,1,2,3,4のうち和が3の倍数になる3数の選び方は
(0,1,2)(0,2,4)(1,2,3)(2,3,4)
の4通り
No.48342 - 2018/01/27(Sat) 14:22:43
☆ Re: 数学A順列です / IT
このぐらいだと、らすかるさんの回答の通りすべての場合を考えるのが良いと思います。

0、1、2、3、4を　３で割った余りでグループ分けすると
余り0　{0,3｝
余り1　{1,4}
余り2　{2}

0,1,2,3,4から3数を選んで合計が3の倍数になるようにするには、各グループから１つずつ選ぶ。
（１グループに３つ以上数があれば話は違います）
２は必須、{0,3｝{1,4}からそれぞれ１つずつ選べば良い。
No.48345 - 2018/01/27(Sat) 15:09:16
☆ Re: 数学A順列です / sai
返信ありがとうございます
丁寧に解説をして頂いて恐縮ですがまだ理解が追いつきません
なぜ10通りが出てくるのでしょうか
三桁の整数が48通りもあるのにそのうちの10通りなり4通りなりに選ばれる方法がわかりません
せっかく質問を理解していただいたのにすみません
解説ありがとうございました
No.48358 - 2018/01/27(Sat) 22:38:20
☆ Re: 数学A順列です / らすかる
48通りというのは
123,132,213,231,312,321
をそれぞれ別々に考えたときの場合の数ですね。
「使われる数字の組合せ」だけを考えた場合は10通りです。
(a) 0,1,2 → これの並び替えを考えると102,120,201,210の4通り
(b) 0,1,3 → 同様にこれの並び替えも4通り
(c) 0,1,4 → 同様に4通り
(d) 0,2,3 → 同様に4通り
(e) 0,2,4 → 同様に4通り
(f) 0,3,4 → 同様に4通り
(g) 1,2,3 → これの並び替えは3!=6通り
(h) 1,2,4 → 同様に6通り
(i) 1,3,4 → 同様に6通り
(j) 2,3,4 → 同様に6通り
よって全部で4×6+6×4=48通り
となっています。
「48通りのうち何個」と考えると48通り考えなければならずとても面倒なので、
まず「使われる数字の組合せ」を考えて
その後並び替え分を掛ける計算をしています。
No.48362 - 2018/01/27(Sat) 23:18:15
☆ Re: 数学A順列です / sai
ありがとうございます！
わかりました！
No.48397 - 2018/01/28(Sun) 21:52:22
★ (No Subject) / 中三
どんな平行四辺形でも3つに分割して組み替えると二等辺三角形になることを証明してください。ただし分割した図形を裏返してもよいこととします。

というか証明するようなことではなく「説明してください」のほうが適切かもしれません。
No.48338 - 2018/01/27(Sat) 07:40:30
☆ Re: / らすかる
長方形でない場合
平行四辺形で鋭角の2頂点をB,D、残りの2つの頂点を
AB≦BCとなるようにA,Cとします。
CからADに下ろした垂線の足をEとして
△ABE,△EBC,△CDEの3つに分け、
△CDEの辺CDに△ABEの辺BAをくっつければ
△EBCと合同な直角三角形ができますので
この二つで二等辺三角形になります。

長方形の場合
長方形ABCDでADの4等分点をAから近い順にE,F,Gとし、
△ABEを切り取って点Eに関して180°回転
△CDGを切り取って点Gに関して180°回転
とすれば二等辺三角形になります。
No.48343 - 2018/01/27(Sat) 14:31:15
☆ Re: / 中三
ありがとうございます。長方形の場合は考えていませんでしたが（正方形や長方形、ひし形もすべて平行四辺形ですね）長方形や正方形でもできますね。ただ対角線で二つに分けたほうが楽なのは当然ですが。
らすかるさんのおっしゃる平行四辺形において、∠ACD<90°やAB²<AC²+BC²を満たしていれば同じことが言えますか？
No.48347 - 2018/01/27(Sat) 17:26:24
☆ Re: / らすかる
> ∠ACD<90°やAB^2<AC^2+BC^2を満たしていれば同じことが言えますか？
この質問の意図はよくわからないのですが、
特定の条件を満たしていれば他の分け方もありますね。
（長方形を除く）どんな平行四辺形でも同じ方法で3分割して
二等辺三角形を作るなら、私が書いた方法が簡単で良いと思います。
No.48349 - 2018/01/27(Sat) 17:53:14
☆ Re: / 中三
すいません、大変わかりにくい質問で。∠ACD<90°でした。

>AB≦BC
というのを∠ACB<90°という条件でも同じように分割できますか？という意図で質問させていただきました。
本当に申し訳ありませんでした。

必要ないと思いますが、図でも示しておきます。
No.48356 - 2018/01/27(Sat) 22:14:20
☆ Re: / らすかる
なるほど。それなら問題ないと思います。
条件を付けて場合分けになるのは面倒ですから、
「鈍角の頂点から長い方（短くない方）の辺に下ろした垂線と対角に引いた対角線の2本で切る」
ぐらいに言っておけばよいと思います。

# ちなみに、Bが鋭角でAが直線BCに垂線BHを下ろした時に
# 0＜BH＜(1/4)BC または (1/4)BC＜BH＜(3/4)BC の場合は
# 辺に直交しない2線分で切る分け方がありますね。
No.48357 - 2018/01/27(Sat) 22:21:39
★ Re: / 数学がんばりマン
極方程式ｒ＝√6/(2-√６cosθ）が表す図形を求めよという問題で途中2r=√６(x+1)
2√(x^2+y^2)＝√６(x+1)
両辺0以上よりx≧−１のもとで二乗して
整理すると(x+3)^2-2y^2=６の双曲線の右側の部分になるのですが、実際の解答では左側の部分も答えに入っています。これはなぜですか？

よろしくお願いします
No.48337 - 2018/01/27(Sat) 06:58:25
☆ Re: / らすかる
例えばθ=0のときr=√6/(2-√6)=-3-√6となり双曲線の左側の点になります。
rは負の値をとることもありますので、
単純にrを√(x^2+y^2)に置き換えるわけにはいきません。
No.48344 - 2018/01/27(Sat) 14:51:13
☆ Re: / 数学がんばりマン
ありがとうございます。確かにｒが負になりますね..
他の類題を探してみたのですが、
ｒ＝1/(2＋√３cosθ）の表す曲線を直交座標に関する式で表せ（琉球大）というのがあり、
こっちの問題だと
２ｒ＝1-3rcosθ
⇔２√(x^2+y^2)=(1-3x)^2かつ1-3x≧０
と解答にはあり、何故か両辺0以上のもとで二乗しています。同じような問題なのにこの違いはどこからくるのでしょうか。

また、別の問題では
ｒ＝３⇔√(x^2+y^3)=3⇔x^2+y^2=9

ともありました。どのようなときにr＝√(x^2+y^2)なのか、r＝±√(x^2+y^2)なのか教えてください
No.48346 - 2018/01/27(Sat) 15:41:59
☆ Re: / らすかる
「ｒ＝1/(2＋√３cosθ）」と
「２ｒ＝1-3rcosθ」と
「２√(x^2+y^2)=(1-3x)^2」は
全部違うものなのですが、どれが正しいのでしょうか。

r=3 は正なので√(x^2+y^2)ですね。
No.48350 - 2018/01/27(Sat) 18:05:53
☆ Re: / 数学がんばりマン
すみません、書き直しました

ｒ＝1/(2＋√３cosθ）の表す曲線を直交座標に関する式で表せ（琉球大）というのがあり、
こっちの問題だと
２ｒ＝1-√3rcosθ
⇔(２√(x^2+y^2))^2=(1-√3x)^2かつ1-3x≧０
と解答にはあり、何故か両辺0以上のもとで二乗しています。同じような問題なのにこの違いはどこからくるのでしょうか。

また、一般にはｒは負でもありうるということで、機械的にr=±√(x^2+y^2)とおいてはだめなのでしょうか？
ｒ＝３
±√(x^2+y^2)＝３
両辺二乗して
x^2+y^2=9
という風にです。より難しい問題になってくるとこれだとやはり食い違いがでてくるのでしょうか？
No.48352 - 2018/01/27(Sat) 20:37:37
☆ Re: / らすかる
> かつ1-3x≧０
これは「かつ1-√3x≧0」の間違いだと思いますが、
これはあっても間違いではないですが
この問題では必要ありません。
なぜなら、r=1/(2+√3cosθ)という式からr＞0とわかっていて、
1-√3x≦0となることはないからです。

> 機械的にr=±√(x^2+y^2)とおいてはだめなのでしょうか？
ダメな場合がありそうな気はするのですが、
具体例が見つけられませんでした。
No.48354 - 2018/01/27(Sat) 21:59:07
★ (No Subject) / マキ

667と966の
最大公約数は23 最小公倍数は28014

これは合っていますか？
No.48335 - 2018/01/26(Fri) 23:48:18
☆ Re: / らすかる
合っています。
No.48336 - 2018/01/26(Fri) 23:54:31
★ (No Subject) / りん
さらに右辺の分母分子にｅ２ｔをかけているのですね。
わかりました
ありがとうございます！
No.48329 - 2018/01/26(Fri) 21:21:54
★ (No Subject) / 江


自然数nと24の最小公倍数は540である
自然数nを求めよ

という問題ですが、
これは正しいでしょうか？>_<
No.48326 - 2018/01/26(Fri) 20:48:50
☆ Re: / らすかる
正しくありません。
24には2^3が含まれますので
最小公倍数に2^3が含まれないことはあり得ません。
従って「そのような自然数nは存在しない」が答えです。
No.48328 - 2018/01/26(Fri) 20:58:27
☆ Re: / 江

なるほど。ありがとうございます！
No.48332 - 2018/01/26(Fri) 22:23:24
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